Lesson plan.
1. Organisasyon sandali.
2. Paglalahad ng materyal.
3. Takdang-Aralin.
4. Pagbubuod ng aralin.
Sa panahon ng mga klase
I. Pansamahang sandali.
II. Pagtatanghal ng materyal.
Pagganyak.
Ang pagpapalawak ng hanay ng mga tunay na numero ay binubuo ng pagdaragdag ng mga bagong numero (haka-haka) sa tunay na mga numero. Ang pagpapakilala ng mga numerong ito ay dahil sa imposibilidad ng pagkuha ng ugat ng isang negatibong numero sa hanay ng mga tunay na numero.
Panimula ng konsepto kumplikadong numero.
Ang mga haka-haka na numero, na kung saan kami ay umakma sa mga tunay na numero, ay nakasulat sa form bi, Saan i ay isang haka-haka na yunit, at i 2 = - 1.
Batay dito, nakuha namin ang sumusunod na kahulugan ng isang kumplikadong numero.
Kahulugan. Ang isang kumplikadong numero ay isang pagpapahayag ng anyo a+bi, Saan a At b- tunay na mga numero. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
a) Dalawang kumplikadong numero a 1 + b 1 i At a 2 + b 2 i katumbas kung at kung lamang a 1 = a 2, b 1 = b 2.
b) Ang pagdaragdag ng mga kumplikadong numero ay tinutukoy ng panuntunan:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Ang pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay tinutukoy ng panuntunan:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Algebraic form kumplikadong numero.
Pagsusulat ng isang kumplikadong numero sa form a+bi ay tinatawag na algebraic form ng isang complex number, kung saan A- tunay na bahagi, bi ay ang haka-haka na bahagi, at b- totoong numero.
Kumplikadong numero a+bi ay itinuturing na katumbas ng zero kung ang tunay at haka-haka na mga bahagi nito ay katumbas ng zero: a = b = 0
Kumplikadong numero a+bi sa b = 0 itinuturing na kapareho ng isang tunay na numero a: a + 0i = a.
Kumplikadong numero a+bi sa a = 0 ay tinatawag na puro haka-haka at may denotasyon bi: 0 + bi = bi.
Dalawang kumplikadong numero z = a + bi At = a – bi, na naiiba lamang sa tanda ng haka-haka na bahagi, ay tinatawag na conjugate.
Mga operasyon sa kumplikadong mga numero sa algebraic form.
Maaari mong gawin ang mga sumusunod na operasyon sa mga kumplikadong numero sa algebraic form.
1) Dagdag.
Kahulugan. Kabuuan ng mga kumplikadong numero z 1 = a 1 + b 1 i At z 2 = a 2 + b 2 i ay tinatawag na complex number z, ang tunay na bahagi nito ay katumbas ng kabuuan ng mga tunay na bahagi z 1 At z 2, at ang haka-haka na bahagi ay ang kabuuan ng mga haka-haka na bahagi ng mga numero z 1 At z 2, yan ay z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Numero z 1 At z 2 ay tinatawag na mga termino.
Ang pagdaragdag ng mga kumplikadong numero ay may mga sumusunod na katangian:
1º. Commutativity: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Pagkakaisa: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Kumplikadong numero –a –bi tinatawag na kabaligtaran ng isang kumplikadong numero z = a + bi. Complex number, kabaligtaran ng complex number z, denoted -z. Kabuuan ng mga kumplikadong numero z At -z katumbas ng zero: z + (-z) = 0
Halimbawa 1: Magsagawa ng karagdagan (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Pagbabawas.
Kahulugan. Ibawas mula sa isang kumplikadong numero z 1 kumplikadong numero z 2 z, Ano z + z 2 = z 1.
Teorama. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kumplikadong numero ay umiiral at natatangi.
Halimbawa 2: Magsagawa ng pagbabawas (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Pagpaparami.
Kahulugan. Produkto ng mga kumplikadong numero z 1 =a 1 +b 1 i At z 2 =a 2 +b 2 i ay tinatawag na complex number z, tinukoy ng pagkakapantay-pantay: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Numero z 1 At z 2 ay tinatawag na mga kadahilanan.
Ang pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay may mga sumusunod na katangian:
1º. Commutativity: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Pagkakaisa: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distributivity ng multiplikasyon na may kaugnayan sa karagdagan:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- totoong numero.
Sa pagsasagawa, ang pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay isinasagawa ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang kabuuan sa isang kabuuan at paghihiwalay ng tunay at haka-haka na mga bahagi.
Sa sumusunod na halimbawa, isasaalang-alang natin ang pagpaparami ng mga kumplikadong numero sa dalawang paraan: ayon sa panuntunan at sa pamamagitan ng pagpaparami ng kabuuan sa kabuuan.
Halimbawa 3: Gawin ang multiplikasyon (2 + 3i) (5 – 7i).
1 paraan. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
Paraan 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Dibisyon.
Kahulugan. Hatiin ang isang kumplikadong numero z 1 sa isang kumplikadong numero z 2, ay nangangahulugan ng paghahanap ng ganoong kumplikadong numero z, Ano z z 2 = z 1.
Teorama. Ang quotient ng mga kumplikadong numero ay umiiral at natatangi kung z 2 ≠ 0 + 0i.
Sa pagsasagawa, ang quotient ng kumplikadong mga numero ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa conjugate ng denominator.
Hayaan z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Pagkatapos
.
Sa sumusunod na halimbawa, magsasagawa kami ng paghahati gamit ang formula at ang panuntunan ng multiplikasyon sa pamamagitan ng conjugate ng numero sa denominator.
Halimbawa 4. Hanapin ang quotient 
.
5) Pagtaas sa isang positibong buong kapangyarihan.
a) Mga kapangyarihan ng haka-haka na yunit.
Sinasamantala ang pagkakapantay-pantay i 2 = -1, madaling tukuyin ang anumang positibong integer na kapangyarihan ng haka-haka na yunit. Meron kami:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 atbp.
Ito ay nagpapakita na ang mga halaga ng degree sa, Saan n– isang positibong integer, pana-panahong inuulit habang tumataas ang indicator ng 4 .
Samakatuwid, upang taasan ang bilang i sa isang positibong buong kapangyarihan, dapat nating hatiin ang exponent sa 4 at bumuo i sa isang kapangyarihan na ang exponent ay katumbas ng natitirang bahagi ng dibisyon.
Halimbawa 5: Kalkulahin: (i 36 + i 17) at 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) Ang pagpapataas ng isang kumplikadong numero sa isang positibong integer na kapangyarihan ay isinasagawa ayon sa tuntunin ng pagpapataas ng isang binomial sa katumbas na kapangyarihan, dahil ito ay kumakatawan espesyal na kaso pagpaparami ng magkaparehong kumplikadong mga kadahilanan.
Halimbawa 6: Kalkulahin: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Ang mga kumplikadong numero ay isang extension ng hanay ng mga tunay na numero, karaniwang tinutukoy ng . Ang anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin bilang isang pormal na kabuuan , kung saan at mga tunay na numero at ang haka-haka na yunit.
Ang pagsulat ng complex number sa anyong , , ay tinatawag na algebraic form ng complex number.
Mga katangian ng mga kumplikadong numero. Geometric na interpretasyon ng isang kumplikadong numero.
Mga aksyon sa mga kumplikadong numero na ibinigay sa algebraic form:
Tingnan natin ang mga patakaran kung saan mga operasyon sa aritmetika sa mga kumplikadong numero.
Kung ang dalawang kumplikadong numero α = a + bi at β = c + di ay ibinigay, kung gayon
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (labing isang)
Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng mga operasyon ng pagdaragdag at pagbabawas ng dalawang nakaayos na pares ng mga tunay na numero (tingnan ang mga formula (1) at (3)). Natanggap namin ang mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga kumplikadong numero: upang magdagdag ng dalawang kumplikadong mga numero, dapat naming hiwalay na idagdag ang kanilang mga tunay na bahagi at, nang naaayon, ang kanilang mga haka-haka na bahagi; Upang ibawas ang isa pa mula sa isang kumplikadong numero, kinakailangang ibawas ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi, ayon sa pagkakabanggit.
Ang bilang – α = – a – bi ay tinatawag na kabaligtaran ng bilang na α = a + bi. Ang kabuuan ng dalawang numerong ito ay zero: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
Upang makuha ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga kumplikadong numero, ginagamit namin ang formula (6), ibig sabihin, ang katotohanan na i2 = -1. Isinasaalang-alang ang kaugnayang ito, makikita natin ang (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, i.e.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
Ang formula na ito ay tumutugma sa formula (2), na tumutukoy sa multiplikasyon ng mga nakaayos na pares ng mga tunay na numero.
Tandaan na ang kabuuan at produkto ng dalawang kumplikadong conjugate na numero ay tunay na mga numero. Sa katunayan, kung α = a + bi, = a – bi, pagkatapos ay α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, i.e.
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
Kapag hinahati ang dalawang kumplikadong numero sa anyong algebraic, dapat asahan na ang quotient ay ipinahayag din ng isang numero ng parehong uri, i.e. α/β = u + vi, kung saan u, v R. Hayaan nating makuha ang panuntunan para sa paghahati ng mga kumplikadong numero. . Hayaang ibigay ang mga numerong α = a + bi, β = c + di, at β ≠ 0, i.e. c2 + d2 ≠ 0. Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na ang c at d ay hindi sabay na nawawala (ang kaso ay hindi kasama kapag c = 0 , d = 0). Ang paglalapat ng formula (12) at ang pangalawa ng mga pagkakapantay-pantay (13), makikita natin:
Samakatuwid, ang quotient ng dalawang kumplikadong numero ay tinutukoy ng formula:
naaayon sa formula (4).
Gamit ang resultang formula para sa numerong β = c + di, mahahanap mo ang kabaligtaran na numero nito na β-1 = 1/β. Sa pag-aakalang a = 1, b = 0 sa formula (14), nakukuha natin
Tinutukoy ng formula na ito ang kabaligtaran ng isang ibinigay na kumplikadong numero maliban sa zero; masalimuot din ang numerong ito.
Halimbawa: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
Mga operasyon sa kumplikadong mga numero sa algebraic form.
55. Pangangatwiran ng isang kumplikadong numero. Trigonometric na anyo ng pagsulat ng isang kumplikadong numero (derivation).
Arg.com.numbers. – sa pagitan ng positibong direksyon ng totoong X axis at ng vector na kumakatawan sa ibinigay na numero.
Trigon formula. Numero: ,
Algebraic na anyo ng pagsulat ng complex number................................................ ......... ................... | |||
Ang eroplano ng mga kumplikadong numero .............................................. ...................... ................................ ............................ ... | |||
Mga kumplikadong conjugate na numero................................................. .................... ................................ .......................... | |||
Mga operasyong may kumplikadong mga numero sa anyong algebraic............................................. .......... | |||
Pagdaragdag ng mga kumplikadong numero.............................................. ........... ................................................ ................. | |||
Pagbabawas ng mga kumplikadong numero................................................. .................... ................................ ..................... | |||
Pagpaparami ng mga kumplikadong numero................................................ ..................... ................................ .................. | |||
Paghahati ng mga kumplikadong numero................................................. ......... ................................................ ................ ... | |||
Trigonometric na anyo ng pagsulat ng complex number................................................ ......... .......... | |||
Mga operasyong may kumplikadong mga numero sa trigonometriko na anyo................................................. ......... | |||
Pagpaparami ng mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko............................................ ........ | |||
Paghahati ng mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko............................................ .......... | |||
Pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang positibong integer na kapangyarihan......................................... .......... | |||
Pag-extract ng root ng positive integer degree mula sa complex number.................................... | |||
Pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang makatwirang kapangyarihan............................................ .................. ..... | |||
Kumplikadong serye................................................ ... ................................................... ......... .................... | |||
Mga serye ng kumplikadong numero................................................. .................... ................................ .......................... | |||
Power series sa complex plane............................................ ........ ................................ | |||
Dalawang panig serye ng kapangyarihan sa kumplikadong eroplano................................................. ..... | |||
Mga pag-andar ng isang kumplikadong variable................................................. ....................................................... | |||
Pangunahing mga pag-andar ng elementarya................................................. ......... ................................................ . | |||
Mga formula ni Euler................................................ ... ................................................... ......... .................... | |||
Exponential na anyo ng kumakatawan sa isang kumplikadong numero ............................................. ...................... . | |||
Relasyon sa pagitan ng trigonometriko at hyperbolic na pag-andar..................................... | |||
Logarithmic function................................................. ... ................................................... ......... | |||
Pangkalahatang exponential at pangkalahatang mga function ng kapangyarihan................................................ ........ .............. | |||
Differentiation ng mga function ng isang complex variable................................................ ......... | |||
Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann................................................ ..................................................... .......... ............ | |||
Mga pormula para sa pagkalkula ng derivative................................................. ....................................... | |||
Mga katangian ng operasyon ng pagkita ng kaibhan ................................................. ...................... ................................ ... | |||
Mga katangian ng tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang analytical function.................................... | |||
Muling pagtatayo ng isang function ng isang kumplikadong variable mula sa kanyang tunay o haka-haka |
|||
Paraan numero 1. Paggamit ng curve integral................................................ ......... . | |||
Paraan Blg. 2. Direktang aplikasyon ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann...................................... | |||
Paraan Blg. 3. Sa pamamagitan ng derivative ng hinahangad na function ................................................. .......... ......... | |||
Pagsasama-sama ng mga function ng isang kumplikadong variable................................................ ......... .......... | |||
Integral Cauchy formula................................................. ..................................................... ........... | |||
Pagpapalawak ng mga pag-andar sa seryeng Taylor at Laurent...................................... .......... .............................. | |||
Mga zero at singular na punto ng isang function ng isang kumplikadong variable...................................... ............. ..... | |||
Mga zero ng isang function ng isang complex variable................................................ ......... ....................... | |||
Nakahiwalay na mga singular na punto ng isang function ng isang complex variable.................................... | |||
14.3 Isang punto sa infinity bilang isang singular na punto ng isang function ng isang complex variable
Mga Deduksyon................................................. ....................................................... ............. ..................................... ... | |||
Pagbawas sa huling punto ................................................ ...... ................................................ ............ ...... | |||
Nalalabi ng isang function sa isang punto sa infinity....................................... ........... .............. | |||
Pagkalkula ng mga integral gamit ang mga nalalabi................................................... ....... ................................ | |||
Mga tanong sa sariling pagsusulit................................................ ..................... ................................ ........................ ....... | |||
Panitikan................................................. ................................................ ...................................... | |||
Index ng paksa................................................ ................................................ ...... .............. | |||
Paunang Salita
Ang wastong pamamahagi ng oras at pagsisikap kapag naghahanda para sa teoretikal at praktikal na mga bahagi ng pagsusulit o sertipikasyon ng module ay medyo mahirap, lalo na dahil palaging walang sapat na oras sa session. At tulad ng ipinapakita sa pagsasanay, hindi lahat ay makayanan ito. Bilang resulta, sa panahon ng pagsusulit, ang ilang mga mag-aaral ay nalutas nang tama ang mga problema, ngunit nahihirapang sagutin ang pinakasimpleng teoretikal na isyu, habang ang iba ay maaaring bumalangkas ng theorem, ngunit hindi ito mailalapat.
Ang mga patnubay na ito para sa paghahanda para sa pagsusulit sa kursong "Teorya ng Mga Pag-andar ng isang Kumplikadong Variable" (TFCP) ay isang pagtatangka na lutasin ang kontradiksyon na ito at tiyakin ang sabay-sabay na pag-uulit ng teoretikal at praktikal na materyal ng kurso. Ginagabayan ng prinsipyong “Theory without practice is dead, practice without theory is blind,” naglalaman ang mga ito ng parehong teoretikal na probisyon ng kurso sa antas ng mga kahulugan at formulations, pati na rin ang mga halimbawang naglalarawan ng aplikasyon ng bawat ibinigay na teoretikal na posisyon, at sa gayon ay nagpapadali ang pagsasaulo at pag-unawa nito.
Ang layunin ng iminungkahing mga rekomendasyong metodolohikal– tulungan ang mag-aaral na maghanda para sa pagsusulit sa isang pangunahing antas. Sa madaling salita, ang isang pinalawig na libro ng sangguniang nagtatrabaho ay pinagsama-sama na naglalaman ng mga pangunahing punto na ginamit sa mga klase sa kursong TFKP at kinakailangan kapag gumaganap. takdang aralin at paghahanda para sa mga kaganapan sa pagkontrol. Bukod sa pansariling gawain mga mag-aaral, maaaring gamitin ang electronic educational publication na ito kapag nagsasagawa ng mga klase sa interactive na anyo gamit ang isang electronic board o para sa paglalagay sa isang distance learning system.
Pakitandaan na hindi pinapalitan ng gawaing ito ang alinman sa mga aklat-aralin o mga tala sa panayam. Para sa isang malalim na pag-aaral ng materyal, inirerekumenda na sumangguni sa mga nauugnay na seksyon na inilathala ng MSTU. N.E. Bauman pangunahing aklat-aralin.
Sa dulo ng manwal mayroong isang listahan ng mga inirerekomendang literatura at isang indeks ng paksa, na kinabibilangan ng lahat ng naka-highlight sa teksto naka-bold italic mga tuntunin. Ang index ay binubuo ng mga hyperlink sa mga seksyon kung saan ang mga terminong ito ay mahigpit na tinukoy o inilarawan at kung saan ang mga halimbawa ay ibinigay upang ilarawan ang kanilang paggamit.
Ang manwal ay inilaan para sa 2nd year na mga mag-aaral ng lahat ng faculties ng MSTU. N.E. Bauman.
1. Algebraic form ng pagsulat ng complex number
Notasyon ng anyong z = x + iy, kung saan ang x,y ay tunay na mga numero, ang i ay isang haka-haka na yunit (i.e. i 2 = − 1)
ay tinatawag na algebraic form ng pagsulat ng complex number z. Sa kasong ito, ang x ay tinatawag na tunay na bahagi ng isang kumplikadong numero at tinutukoy ng Re z (x = Re z), ang y ay tinatawag na haka-haka na bahagi ng isang kumplikadong numero at tinutukoy ng Im z (y = Im z).
Halimbawa. Ang complex number z = 4− 3i ay may tunay na bahagi Rez = 4 at isang haka-haka na bahagi na Imz = − 3.
2. Kumplikadong numero ng eroplano
SA ang mga teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable ay isinasaalang-alangkumplikadong numero ng eroplano, na tinutukoy ng alinman o paggamit ng mga titik na nagsasaad ng mga kumplikadong numero z, w, atbp.
Ang pahalang na axis ng kumplikadong eroplano ay tinatawag totoong axis, ang mga tunay na numero z = x + 0i = x ay nakalagay dito.
Ang patayong axis ng kumplikadong eroplano ay tinatawag na imaginary axis;
3. Mga kumplikadong conjugate na numero
Ang mga numerong z = x + iy at z = x − iy ay tinatawag kumplikadong conjugate. Sa kumplikadong eroplano ay tumutugma sila sa mga punto na simetriko tungkol sa totoong axis.
4. Mga operasyong may kumplikadong mga numero sa algebraic form
4.1 Pagdaragdag ng mga kumplikadong numero
Ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero | z 1= x 1+ iy 1 | at z 2 = x 2 + iy 2 ay tinatawag na complex number |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | operasyon | karagdagan |
||||||||||
Ang mga kumplikadong numero ay katulad ng operasyon ng pagdaragdag ng mga algebraic binomials. | |||||||||||||
Halimbawa. Ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero z 1 = 3+ 7i at z 2 | = −1 +2 i | magiging kumplikadong numero |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Malinaw, | kabuuan sa isang komprehensibong paraan | conjugate | ay | totoo | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Pagbabawas ng mga kumplikadong numero | |||||||||||||
Ang pagkakaiba ng dalawang kumplikadong numero z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | tinawag | komprehensibo |
||||||||||
numero z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Halimbawa. Ang pagkakaiba ng dalawang kumplikadong numero | z 1 =3 −4 i | at z 2 | = −1 +2 i | magkakaroon ng komprehensibo |
|||||||||
numero z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Sa pamamagitan ng pagkakaiba | kumplikadong conjugate | ay | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Pagpaparami ng mga kumplikadong numero | |||||||||||||
Produkto ng dalawang kumplikadong numero | z 1= x 1+ iy 1 | at z 2= x 2+ iy 2 | tinatawag na kumplikado |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Kaya, ang operasyon ng pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay katulad ng pagpapatakbo ng pagpaparami ng algebraic binomials, na isinasaalang-alang ang katotohanan na i 2 = - 1.
Pahina 2 ng 3
Algebraic na anyo ng isang kumplikadong numero.
Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga kumplikadong numero.
Nakilala na natin ang algebraic form ng complex number - ito ang algebraic form ng complex number. Bakit form ang pinag-uusapan natin? Ang katotohanan ay mayroon ding mga trigonometric at exponential na anyo ng mga kumplikadong numero, na tatalakayin sa susunod na talata.
Ang mga operasyong may kumplikadong mga numero ay hindi partikular na mahirap at hindi gaanong naiiba sa ordinaryong algebra.
Pagdaragdag ng mga kumplikadong numero
Halimbawa 1
Magdagdag ng dalawang kumplikadong numero,
Upang magdagdag ng dalawang kumplikadong numero, kailangan mong idagdag ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi:
Simple, hindi ba? Ang aksyon ay napakalinaw na hindi ito nangangailangan ng karagdagang mga komento.
Sa simpleng paraan na ito mahahanap mo ang kabuuan ng anumang bilang ng mga termino: isama ang mga tunay na bahagi at isama ang mga haka-haka na bahagi.
Para sa mga kumplikadong numero, ang panuntunan ng unang klase ay wasto: 
– ang muling pagsasaayos ng mga tuntunin ay hindi nagbabago sa kabuuan.
Pagbabawas ng Mga Kumplikadong Numero
Halimbawa 2
Hanapin ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga kumplikadong numero at , kung ,
Ang aksyon ay katulad ng karagdagan, ang tanging kakaiba ay ang subtrahend ay dapat ilagay sa mga bracket, at pagkatapos ay ang mga panaklong ay dapat buksan sa karaniwang paraan na may pagbabago ng tanda:
Ang resulta ay hindi dapat nakalilito; ang resultang numero ay may dalawa, hindi tatlong bahagi. Ang tunay na bahagi lang ay ang tambalang: . Para sa kalinawan, ang sagot ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: .
Kalkulahin natin ang pangalawang pagkakaiba:
Narito ang tunay na bahagi ay pinagsama din:
Upang maiwasan ang anumang pagmamaliit, magbibigay ako maikling halimbawa na may "masamang" haka-haka na bahagi: . Dito hindi mo na magagawa nang walang panaklong.
Pagpaparami ng mga kumplikadong numero
Oras na para ipakilala sa iyo ang sikat na pagkakapantay-pantay:
Halimbawa 3
Hanapin ang produkto ng mga kumplikadong numero,
Malinaw, ang gawain ay dapat na nakasulat tulad nito:
Ano ang iminumungkahi nito? Nagmamakaawa na buksan ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial. Iyan ang kailangan mong gawin! Ang lahat ng mga algebraic na operasyon ay pamilyar sa iyo, ang pangunahing bagay ay tandaan iyon at mag-ingat.
Ulitin natin, omg, ang tuntunin ng paaralan para sa pagpaparami ng mga polynomial: Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa pang polynomial.
Isusulat ko ito nang detalyado:
Sana naging malinaw sa lahat iyon
Atensyon, at muli pansin, kadalasan ang mga pagkakamali ay ginawa sa mga palatandaan.
Tulad ng kabuuan, ang produkto ng mga kumplikadong numero ay nababago, iyon ay, ang pagkakapantay-pantay ay totoo: .
SA panitikang pang-edukasyon at sa Internet madaling makahanap ng isang espesyal na formula para sa pagkalkula ng produkto ng mga kumplikadong numero. Gamitin ito kung gusto mo, ngunit tila sa akin na ang diskarte sa pagpaparami ng mga polynomial ay mas pangkalahatan at mas malinaw. Hindi ko ibibigay ang formula, I think that in sa kasong ito- Ito ay pinupuno ang iyong ulo ng sup.
Dibisyon ng mga kumplikadong numero
Halimbawa 4
Dahil sa mga kumplikadong numero , . Hanapin ang quotient.
Gumawa tayo ng quotient:
Ang paghahati ng mga numero ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpaparami ng denominator at numerator sa conjugate expression ng denominator.
Tandaan natin ang balbas formula at tingnan ang ating denominator: . Ang denominator ay mayroon nang , kaya ang conjugate expression sa kasong ito ay , ibig sabihin
Ayon sa panuntunan, ang denominator ay dapat na i-multiply sa , at, upang walang magbago, ang numerator ay dapat na i-multiply sa parehong numero:
Isusulat ko ito nang detalyado:
Pumili ako ng isang "magandang" halimbawa: kung kukuha ka ng dalawang numero "mula sa simula", kung gayon bilang resulta ng paghahati ay halos palaging makakakuha ka ng mga fraction, tulad ng .
Sa ilang mga kaso, bago hatiin ang isang fraction, ipinapayong gawing simple ito, halimbawa, isaalang-alang ang quotient ng mga numero: . Bago hatiin, inaalis namin ang mga hindi kinakailangang minus: sa numerator at denominator ay kinuha namin ang mga minus sa mga bracket at binabawasan ang mga minus na ito: 
. Para sa mga gustong lumutas ng mga problema, narito ang tamang sagot:
Bihirang, ngunit nangyayari ang sumusunod na gawain:
Halimbawa 5
Ang isang kumplikadong numero ay ibinigay. Isulat ang numerong ito sa algebraic form (i.e. sa form).
Ang pamamaraan ay pareho - pinarami namin ang denominator at numerator sa expression na conjugate sa denominator. Tingnan natin muli ang formula. Ang denominator ay naglalaman na ng , kaya ang denominator at numerator ay dapat na i-multiply sa conjugate expression, iyon ay, sa pamamagitan ng:
Sa pagsasagawa, madali silang mag-alok ng isang sopistikadong halimbawa kung saan kailangan mong magsagawa ng maraming operasyon na may mga kumplikadong numero. Walang panic: mag-ingat ka, sundin ang mga alituntunin ng algebra, ang karaniwang pamamaraan ng algebraic, at tandaan na .
Trigonometric at exponential form ng complex number
Marami pa sa talatang ito tayo'y mag-uusap tungkol sa trigonometrikong anyo ng isang kumplikadong numero. Demonstratibong anyo sa mga praktikal na gawain ay hindi gaanong karaniwan. Inirerekomenda ko ang pag-download at, kung maaari, pag-print ng mga trigonometrikong talahanayan, metodolohikal na materyal makikita sa page Mga formula sa matematika at mga mesa. Hindi ka makakarating nang walang mga mesa.
Anumang kumplikadong numero (maliban sa zero) ay maaaring isulat sa trigonometric form: 
, saan iyon modulus ng complex number, A - argumento ng kumplikadong numero. Huwag tayong tumakas, ang lahat ay mas simple kaysa sa tila.
Katawanin natin ang numero sa kumplikadong eroplano. Para sa katiyakan at pagiging simple ng paliwanag, ilalagay namin ito sa unang coordinate quadrant, i.e. naniniwala kami na:
Modulus ng isang kumplikadong numero ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa kaukulang punto sa kumplikadong eroplano. Sa madaling salita, module ay ang haba radius vector, na nakasaad sa pula sa drawing.
Ang modulus ng isang kumplikadong numero ay karaniwang tinutukoy ng: o
Gamit ang Pythagorean theorem, madaling makakuha ng formula para sa paghahanap ng modulus ng complex number: . Ang formula na ito patas para sa anumang nangangahulugang "a" at "maging".
Tandaan: Ang modulus ng isang complex number ay isang generalization ng konsepto modulus ng isang tunay na numero, bilang ang distansya mula sa isang punto hanggang sa pinanggalingan.
Argumento ng isang kumplikadong numero tinawag sulok sa pagitan positibong semi-axis ang tunay na axis at ang radius vector na iginuhit mula sa pinanggalingan hanggang sa kaukulang punto. Hindi tinukoy ang argumento para sa isahan: .
Ang prinsipyong pinag-uusapan ay talagang katulad ng polar coordinate, kung saan ang polar radius at polar angle ay natatanging tumutukoy sa punto.
Ang argumento ng isang kumplikadong numero ay karaniwang tinutukoy: o
Mula sa geometric na pagsasaalang-alang, nakuha namin ang sumusunod na pormula para sa paghahanap ng argumento:
. Pansin! Gumagana lang ang formula na ito sa tamang kalahating eroplano! Kung ang complex number ay hindi matatagpuan sa 1st o 4th coordinate quadrant, kung gayon ang formula ay bahagyang naiiba. Susuriin din natin ang mga kasong ito.
Ngunit una, tingnan natin ang pinakasimpleng mga halimbawa kapag ang mga kumplikadong numero ay matatagpuan sa mga coordinate axes.
Halimbawa 7
Gawin natin ang pagguhit:
Sa katunayan, ang gawain ay pasalita. Para sa kalinawan, muling isusulat ko ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero: 
Alalahanin nating mabuti, ang modyul - haba(na palaging hindi negatibo), ang argumento ay sulok.
1) Katawanin natin ang numero sa anyong trigonometriko. Hanapin natin ang modulus at argumento nito. Obvious naman na . Pormal na pagkalkula gamit ang formula: .
Ito ay malinaw na (ang numero ay namamalagi nang direkta sa tunay na positibong semi-axis). Kaya ang numero sa trigonometric form ay: 
.
Ang pagkilos ng reverse check ay kasinglinaw ng araw:
2) Katawanin natin ang numero sa trigonometric form. Hanapin natin ang modulus at argumento nito. Obvious naman na . Pormal na pagkalkula gamit ang formula: .
Malinaw (o 90 degrees). Sa pagguhit, ang sulok ay ipinahiwatig sa pula. Kaya ang numero sa trigonometric form ay: 
.
Paggamit ng talahanayan ng mga halaga trigonometriko function, madaling ibalik ang algebraic form ng numero (kasabay ng pagsasagawa ng check):
3) Katawanin natin ang numero sa anyong trigonometriko. Hanapin natin ang modulus at argumento nito. Obvious naman na . Pormal na pagkalkula gamit ang formula: .
Malinaw (o 180 degrees). Sa pagguhit, ang sulok ay ipinahiwatig sa asul. Kaya ang numero sa trigonometric form ay: 
.
Pagsusuri:
4) At ang pang-apat kawili-wiling kaso. Katawanin natin ang numero sa anyong trigonometric. Hanapin natin ang modulus at argumento nito. Obvious naman na . Pormal na pagkalkula gamit ang formula: .
Ang argumento ay maaaring isulat sa dalawang paraan: Unang paraan: (270 degrees), at, nang naaayon: 
. Pagsusuri:
Gayunpaman, ang sumusunod na panuntunan ay mas karaniwan: Kung ang anggulo ay higit sa 180 degrees, pagkatapos ito ay nakasulat na may minus sign at ang kabaligtaran na oryentasyon ("pag-scroll") ng anggulo: (minus 90 degrees), ang anggulo ay minarkahan sa pagguhit berde. Madaling makita iyon at pareho ang anggulo.
Kaya, ang entry ay tumatagal ng form: 
Pansin! Sa anumang kaso ay hindi mo dapat gamitin ang parity ng cosine, ang kakaiba ng sine, at higit pang "pasimplehin" ang notasyon:
Sa pamamagitan ng paraan, ito ay kapaki-pakinabang na tandaan hitsura at mga katangian ng trigonometriko at kabaligtaran na mga function ng trigonometriko, ang mga sangguniang materyales ay nasa mga huling talata ng pahina Mga graph at katangian ng pangunahing elementarya na pag-andar . At ang mga kumplikadong numero ay mas madaling matutunan!
Sa disenyo ng pinakasimpleng mga halimbawa, dapat isulat ng isa: "halata na ang modyul ay pantay-pantay... malinaw na ang argumento ay katumbas ng...". Ito ay talagang halata at madaling lutasin sa salita.
Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang mas karaniwang mga kaso. Tulad ng nabanggit ko na, walang mga problema sa module na dapat mong palaging gamitin ang formula. Ngunit ang mga pormula para sa paghahanap ng argumento ay mag-iiba, depende ito sa kung saang coordinate quarter naroroon ang numero. Sa kasong ito, tatlong opsyon ang posible (kapaki-pakinabang na kopyahin ang mga ito sa iyong kuwaderno):
1) Kung (1st at 4th coordinate quarters, o right half-plane), dapat mahanap ang argument gamit ang formula.
2) Kung (2nd coordinate quarter), dapat mahanap ang argumento gamit ang formula 
.
3) Kung (3rd coordinate quarter), dapat mahanap ang argumento gamit ang formula 
.
Halimbawa 8
Kinakatawan ang mga kumplikadong numero sa trigonometric form: , , , .
Dahil may mga nakahanda nang formula, hindi na kailangang kumpletuhin ang pagguhit. Ngunit mayroong isang punto: kapag hiniling sa iyo na kumatawan sa isang numero sa trigonometric form, kung gayon Mas mainam na gawin pa rin ang pagguhit. Ang katotohanan ay ang isang solusyon na walang pagguhit ay kadalasang tinatanggihan ng mga guro;
Eh, hindi ako gumuhit ng kahit ano gamit ang kamay sa loob ng isang daang taon, eto na:
As always, medyo madumi yun =)
Ipapakita ko ang mga numero at sa kumplikadong anyo, ang una at pangatlong numero ay para sa independiyenteng solusyon.
Katawanin natin ang numero sa anyong trigonometric. Hanapin natin ang modulus at argumento nito.
