Bahay Amoy mula sa bibig Ano ang monotonicity ng isang function? Ano ang pantay, panaka-nakang, monotonikong pag-andar

Amoy mula sa bibig

Ano ang monotonicity ng isang function? Ano ang pantay, panaka-nakang, monotonikong pag-andar

dumarami sa pagitan ng $X$ kung para sa alinmang $x_1, x_2\in X$ tulad na \(x_1

Tinatawag ang function hindi bumababa

$\blacktriangleright$ Tinatawag ang function na $f(x)$. bumababa sa pagitan ng $X$ kung para sa alinmang $x_1, x_2\in X$ tulad na $x_1 f(x_2)$ .

Tinatawag ang function hindi tumataas sa pagitan ng $X$ kung para sa alinmang $x_1, x_2\in X$ tulad na \(x_1

$\blacktriangleright$ Ang pagtaas at pagbaba ng mga function ay tinatawag mahigpit na monotonous, at hindi tumataas at hindi bumababa ay simple lang monotonous.

$\blacktriangleright$ Mga pangunahing katangian:

ako. Kung ang function na $f(x)$ ay mahigpit na monotone sa $X$ , pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay $x_1=x_2$ ($x_1,x_2\in X$ ) ito ay sumusunod sa $f( x_1)= f(x_2)$ , at kabaliktaran.

Halimbawa: ang function na $f(x)=\sqrt x$ ay mahigpit na tumataas para sa lahat $x\in $ , samakatuwid ang equation $x^2=9$ ay may hindi hihigit sa isang solusyon sa pagitan na ito, o sa halip ay isa: $x=-3$ .

ang function na $f(x)=-\dfrac 1(x+1)$ ay mahigpit na tumataas para sa lahat ng $x\in (-1;+\infty)$, kaya ang equation na $-\dfrac 1 (x +1)=0$ ay walang higit sa isang solusyon sa pagitan na ito, o sa halip ay wala, dahil ang numerator ng kaliwang bahagi ay hindi kailanman maaaring katumbas ng zero.

III. Kung ang function na $f(x)$ ay hindi bumababa (hindi tumataas) at tuloy-tuloy sa segment , at sa mga dulo ng segment ay kinukuha ang mga value $f(a)= A, f(b)=B$ , pagkatapos para sa $C\in $ ($C\in $ ) ang equation na $f(x)=C$ ay laging may kahit isang solusyon.

Halimbawa: ang function na $f(x)=x^3$ ay mahigpit na tumataas (iyon ay, mahigpit na monotone) at tuloy-tuloy para sa lahat $x\in\mathbb(R)$ , samakatuwid para sa anumang $C\ sa ( -\infty;+\infty)$ ang equation na $x^3=C$ ay may eksaktong isang solusyon: $x=\sqrt(C)$ .

Gawain 1 #3153

Antas ng gawain: Mas madali kaysa sa Unified State Exam

may eksaktong dalawang ugat.

Isulat muli natin ang equation bilang: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Isaalang-alang ang function na $f(t)=t^3+t$ . Pagkatapos ang equation ay muling isusulat sa anyo: \ Pag-aralan natin ang function $f(t)$ . \ Dahil dito, tumataas ang function na $f(t)$ para sa lahat ng $t$ . Nangangahulugan ito na ang bawat value ng function $f(t)$ ay tumutugma sa eksaktong isang value ng argument $t$ . Samakatuwid, upang magkaroon ng mga ugat ang equation, kinakailangan: \ Para magkaroon ng dalawang ugat ang resultang equation, dapat na positibo ang discriminant nito: \

Sagot:

$\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)$

Gawain 2 #2653

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter $a$ kung saan ang equation \

may dalawang ugat.

(Gawain mula sa mga subscriber.)

Gumawa tayo ng kapalit: $ax^2-2x=t$ , $x^2-1=u$ . Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form: \ Isaalang-alang ang function na $f(w)=7^w+\sqrtw$ . Pagkatapos ang aming equation ay kukuha ng anyo: \

Hanapin natin ang derivative \ Tandaan na para sa lahat ng $w\ne 0$ ang derivative ay $f"(w)>0$ , dahil $7^w>0$ , $w^6>0$ . Tandaan din na ang mismong function na $f(w)$ ay tinukoy para sa lahat ng $w$ . $\mathbb(R)$ .
Nangangahulugan ito na ang pagkakapantay-pantay $f(t)=f(u)$ ay posible kung at kung $t=u$ . Bumalik tayo sa orihinal na mga variable at lutasin ang resultang equation:

\ Upang magkaroon ng dalawang ugat ang equation na ito, dapat itong parisukat at ang discriminant nito ay dapat positibo:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Sagot:

$(-\infty;1)\cup(1;2)$

Gawain 3 #3921

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Hanapin ang lahat ng positibong halaga ng parameter $a$ kung saan ang equation

ay may hindi bababa sa $2$ na mga solusyon.

Ilipat natin ang lahat ng terminong naglalaman ng $ax$ sa kaliwa, at ang mga naglalaman ng $x^2$ sa kanan, at isaalang-alang ang function
\

Pagkatapos ang orihinal na equation ay kukuha ng anyo:
\

Hanapin natin ang derivative:
\

kasi $(t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0$, pagkatapos ay $f"(t)\geqslant 0$ para sa anumang $t\in \mathbb(R)$ .

Bukod dito, $f"(t)=0$ kung $(t-2)^2=0$ at $1+\cos(2t)=0$ nang sabay, na hindi totoo para sa anumang \ (t\) . Samakatuwid, $f"(t)> 0$ para sa anumang $t\in \mathbb(R)$ .

Kaya, ang function na $f(t)$ ay mahigpit na tumataas para sa lahat $t\in \mathbb(R)$ .

Nangangahulugan ito na ang equation na $f(ax)=f(x^2)$ ay katumbas ng equation $ax=x^2$ .

Ang equation na $x^2-ax=0$ para sa $a=0$ ay may isang ugat $x=0$, at para sa $a\ne 0$ mayroon itong dalawa iba't ibang ugat$x_1=0$ at $x_2=a$ .
Kailangan nating hanapin ang mga halaga ng $a$ kung saan ang equation ay magkakaroon ng hindi bababa sa dalawang ugat, isinasaalang-alang din ang katotohanan na $a>0$ .
Samakatuwid, ang sagot ay: $a\in (0;+\infty)$ .

Sagot:

$(0;+\infty)$ .

Gawain 4 #1232

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter $a$ , para sa bawat isa kung saan ang equation \

ay may natatanging solusyon.

I-multiply natin ang kanan at kaliwang bahagi ng equation sa $2^(\sqrt(x+1))$ (mula noong $2^(\sqrt(x+1))>0$ ) at muling isulat ang equation sa anyo: \

Isaalang-alang ang function $y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))$ para sa $t\geqslant 0$ (mula noong $\sqrt(x+1)\geqslant 0$ ).

Derivative $y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\kanan)$.

kasi $2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0$ para sa lahat $t\geqslant 0$ , pagkatapos ay $y"<0$ при всех $t\geqslant 0$ .

Dahil dito, habang ang $t\geqslant 0$ ang function na $y$ ay bumababa nang monotonically.

Ang equation ay maaaring isaalang-alang sa anyong $y(t)=y(z)$ , kung saan $z=ax, t=\sqrt(x+1)$ . Mula sa monotonicity ng function ay sumusunod na ang pagkakapantay-pantay ay posible lamang kung $t=z$ .

Nangangahulugan ito na ang equation ay katumbas ng equation: $ax=\sqrt(x+1)$, na katumbas naman ng system: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

Kapag $a=0$ ang system ay may isang solusyon $x=-1$ na nakakatugon sa kondisyon $ax\geqslant 0$ .

Isaalang-alang ang kaso $a\ne 0$ . Discriminant ng unang equation ng system $D=1+4a^2>0$ para sa lahat ng $a$ . Dahil dito, ang equation ay laging may dalawang ugat na $x_1$ at $x_2$, at ang mga ito ay may magkaibang mga palatandaan (dahil ayon sa teorem ni Vieta $x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0$ ).

Nangangahulugan ito na para sa $a<0$ условию $ax\geqslant 0$ подходит отрицательный корень, при $a>0$ ang kundisyon ay natutugunan ng isang positibong ugat. Samakatuwid, ang sistema ay palaging may natatanging solusyon.

Kaya, $a\in \mathbb(R)$ .

Sagot:

$a\in \mathbb(R)$ .

Gawain 5 #1234

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter $a$ , para sa bawat isa kung saan ang equation \

ay may hindi bababa sa isang ugat mula sa segment na $[-1;0]$ .

Isaalang-alang ang function $f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3$ para sa ilang nakapirming $a$ . Hanapin natin ang derivative nito: $f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)$.

Tandaan na $f"(x)\geqslant 0$ para sa lahat ng value ng $x$ at $a$ , at katumbas ng $0$ para lang sa $x=a=1 $. Ngunit para sa $a=1$:
$f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow$ ang equation na $2(x-1)^3=0$ ay may iisang ugat na $x=1$ na hindi nakakatugon sa kundisyon. Samakatuwid, ang $a$ ay hindi maaaring katumbas ng $1$ .

Nangangahulugan ito na para sa lahat ng $a\ne 1$ ang function na $f(x)$ ay mahigpit na tumataas, samakatuwid, ang equation na $f(x)=0$ ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa isang ugat. Isinasaalang-alang ang mga katangian ng cubic function, ang graph ng $f(x)$ para sa ilang nakapirming $a$ ay magiging ganito:

Nangangahulugan ito na para magkaroon ng ugat ang equation mula sa segment na $[-1;0]$, kinakailangan: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Kaya, $a\in [-2;0]$ .

Sagot:

$a\sa [-2;0]$ .

Gawain 6 #2949

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter $a$ , para sa bawat isa kung saan ang equation \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

may mga ugat.

(Gawain mula sa mga subscriber)

ODZ equation: $2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in $. Samakatuwid, upang magkaroon ng mga ugat ang isang equation, kinakailangan na kahit isa sa mga equation \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(o)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] nagkaroon ng mga desisyon sa ODZ.

1) Isaalang-alang ang unang equation \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(naipon)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(aligned) \end(gathered)\kanan. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Ang equation na ito ay dapat na may mga ugat sa  . Isaalang-alang ang isang bilog:

Kaya, nakikita natin na para sa alinmang $2a+2\in [\sin 0;\sin 1]$ ang equation ay magkakaroon ng isang solusyon, at para sa lahat ng iba ay wala itong mga solusyon. Samakatuwid, kapag $a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]$ ang equation ay may mga solusyon.

2) Isaalang-alang ang pangalawang equation \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Isaalang-alang ang function na $f(x)=8x\sqrt(x-x^2)$ . Hanapin natin ang derivative nito: \ Sa ODZ, ang derivative ay may isang zero: $x=\frac34$ , na isa ring pinakamataas na punto ng function $f(x)$ .
Tandaan na $f(0)=f(1)=0$ . Kaya, sa eskematiko ang graph $f(x)$ ay ganito ang hitsura:

Samakatuwid, upang magkaroon ng mga solusyon ang equation, kinakailangan na ang graph $f(x)$ ay mag-intersect sa tuwid na linya $y=-a$ (ang figure ay nagpapakita ng isa sa mga angkop na opsyon). Ibig sabihin, kailangan iyon \ . Para sa mga ito $x$:

Ang function na $y_1=\sqrt(x-1)$ ay mahigpit na tumataas. Ang graph ng function na $y_2=5x^2-9x$ ay isang parabola, ang vertex nito ay nasa puntong $x=\dfrac(9)(10)$ . Dahil dito, para sa lahat ng $x\geqslant 1$, ang function na $y_2$ ay mahigpit ding tumataas (ang kanang sangay ng parabola). kasi ang kabuuan ng mahigpit na pagtaas ng mga function ay mahigpit na tumataas, pagkatapos ay ang $f_a(x)$ ay mahigpit na tumataas (ang pare-parehong $3a+8$ ay hindi nakakaapekto sa monotonicity ng function).

Ang function na $g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)$ para sa lahat ng $x\geqslant 1$ ay kumakatawan sa bahagi ng kanang sangay ng hyperbola at mahigpit na bumababa.

Ang paglutas ng equation na $f_a(x)=g_a(x)$ ay nangangahulugang paghahanap ng mga intersection point ng mga function $f$ at $g$ . Mula sa kanilang kabaligtaran na monotonicity ito ay sumusunod na ang equation ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa isang ugat.

Kapag $x\geqslant 1$ \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Samakatuwid, ang equation ay magkakaroon ng natatanging solusyon kung:

\\ tasa

Sagot:

\(a\in (-\infty;-1]\cup , limitado sa segment na ito;

· ang kabuuan ng pagtaas (pagbaba) ng mga function ay isang pagtaas (pagbaba) ng function;

· kung function f tumataas (bumababa) at n– isang kakaibang numero, tumataas din ito (bumababa);

· Kung f"(x)>0 para sa lahat xО(a,b), pagkatapos ay ang function y=f(x) ay tumataas sa pagitan (a,b);

· Kung f"(x)<0 para sa lahat xО(a,b), pagkatapos ay ang function y=f(x) ay bumababa sa pagitan (a,b);

· Kung f(x) – tuluy-tuloy at monotonikong function sa set X, pagkatapos ay ang equation f(x)=C, Saan SA– maaaring mayroon ang pare-parehong ito X hindi hihigit sa isang solusyon;

· kung nasa domain ng kahulugan ng equation f(x)=g(x) function f(x) tumataas, at ang pag-andar g(x) bumababa, kung gayon ang equation ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang solusyon.

Teorama. (isang sapat na kondisyon para sa monotonicity ng isang function). Kung tuloy-tuloy sa segment [ a, b] function y = f(X) sa bawat punto ng pagitan ( a, b) ay may positibong (negatibong) derivative, pagkatapos ay tumataas (bumababa) ang function na ito sa segment [ a, b].

Patunay. Hayaan >0 para sa lahat xО(a,b). Isaalang-alang ang dalawang di-makatwirang halaga x 2 > x 1 , kabilang sa [ a, b]. Ayon sa formula ni Lagrange x 1<с < х 2 . (Sa) > 0 At x 2 – x 1 > 0, samakatuwid > 0, kung saan > , iyon ay, ang function na f(x) ay tumataas sa pagitan [ a, b]. Ang ikalawang bahagi ng teorama ay napatunayan sa katulad na paraan.

Theorem 3. (isang kinakailangang tanda ng pagkakaroon ng extremum ng isang function). Kung ang function na differentiable sa punto c sa=f(X) ay may extremum sa puntong ito, pagkatapos .

Patunay. Hayaan, halimbawa, ang pag-andar sa= f(X) ay may pinakamataas sa punto c. Nangangahulugan ito na mayroong isang butas na kapitbahayan ng punto c tulad na para sa lahat ng mga punto x nasiyahan ang kapitbahayan na ito f(x) < f (c), yan ay f(c) ay ang pinakamalaking halaga ng function sa kapitbahayan na ito. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng teorama ni Fermat.

Ang kaso ng isang minimum sa punto c ay napatunayan sa katulad na paraan.

Magkomento. Maaaring may extremum ang isang function sa isang punto kung saan wala ang derivative nito. Halimbawa, ang isang function ay may pinakamababa sa puntong x = 0, kahit na wala ito. Ang mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay zero o hindi umiiral ay tinatawag na mga kritikal na punto ng function. Gayunpaman, ang function ay walang extremum sa lahat ng mga kritikal na punto. Halimbawa, ang function y = x 3 ay walang extrema, bagaman ang hinango nito =0.

Theorem 4. (isang sapat na tanda ng pagkakaroon ng extremum). Kung tuluy-tuloy na pag-andar y = f(x) ay may derivative sa lahat ng mga punto ng isang tiyak na pagitan na naglalaman ng kritikal na punto C (maliban, marahil, ang puntong ito mismo), at kung ang derivative, kapag ang argumento ay pumasa mula kaliwa papunta sa kanan sa kritikal na punto C, nagbabago ang sign mula plus patungo sa minus, pagkatapos ay ang function sa point C ay may maximum, at kapag ang sign ay nagbago mula sa minus hanggang plus, ang minimum.

Patunay. Hayaang maging kritikal na punto ang c at hayaan, halimbawa, kapag ang argumento ay dumaan sa puntong c ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus. Nangangahulugan ito na sa ilang pagitan (c–e; c) tumataas ang function, at sa pagitan (c; c+e)– bumababa (sa e>0). Samakatuwid, sa punto c ang function ay may maximum. Ang kaso ng isang minimum ay napatunayan sa katulad na paraan.

Magkomento. Kung ang derivative ay hindi nagbabago ng sign kapag ang argument ay dumaan sa kritikal na punto, kung gayon ang function sa puntong ito ay walang extremum.

Dahil ang mga kahulugan ng limitasyon at pagpapatuloy para sa isang function ng ilang mga variable ay halos nag-tutugma sa mga kaukulang mga kahulugan para sa isang function ng isang variable, kung gayon para sa mga function ng ilang mga variable ang lahat ng mga katangian ng mga limitasyon at tuluy-tuloy na mga function ay napanatili

©2015-2019 site
Lahat ng karapatan ay pag-aari ng kanilang mga may-akda. Ang site na ito ay hindi inaangkin ang pagiging may-akda, ngunit nagbibigay libreng paggamit.
Petsa ng paggawa ng page: 2016-02-12

Theorem sa limitasyon ng isang monotone function. Ang isang patunay ng teorama ay ibinibigay gamit ang dalawang pamamaraan. Ibinibigay din ang mga kahulugan ng mahigpit na pagtaas, di-pagbaba, mahigpit na pagbaba at hindi pagtaas ng mga function. Kahulugan ng isang monotonic function.

Mga Kahulugan

Mga kahulugan ng pagtaas at pagbaba ng mga function
Hayaan ang function f (x) ay tinukoy sa ilang hanay ng mga tunay na numero X.
Tinatawag ang function mahigpit na tumataas (mahigpit na bumababa), kung para sa lahat x′, x′′ ∈ X kaya na x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Tinatawag ang function hindi bumababa (hindi tumataas), kung para sa lahat x′, x′′ ∈ X kaya na x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Kasunod nito na ang isang mahigpit na pagtaas ng function ay hindi rin bumababa. Ang isang mahigpit na pagpapababa ng function ay hindi rin tumataas.

Kahulugan ng isang monotonic function
Tinatawag ang function monotonous, kung ito ay hindi bumababa o hindi tumataas.

Upang pag-aralan ang monotonicity ng isang function sa isang tiyak na set X, kailangan mong hanapin ang pagkakaiba ng mga halaga nito sa dalawang di-makatwirang punto na kabilang sa set na ito. Kung , kung gayon ang function ay mahigpit na tumataas; kung , hindi bumababa ang function; kung , pagkatapos ay mahigpit na bumababa; kung , hindi ito tumataas.

Kung sa isang tiyak na set ang function ay positibo: , pagkatapos ay upang matukoy ang monotonicity, maaari mong pag-aralan ang quotient ng paghahati ng mga halaga nito sa dalawang arbitrary na punto ng set na ito. Kung , kung gayon ang function ay mahigpit na tumataas; kung , hindi bumababa ang function; kung , pagkatapos ay mahigpit na bumababa; kung , hindi ito tumataas.

Teorama
Hayaan ang function f (x) hindi bumababa sa pagitan (a, b), Saan .
Kung ito ay bounded sa itaas ng bilang M:, pagkatapos ay mayroong isang may hangganan kaliwang limitasyon sa punto b:. Kung f (x) ay hindi limitado mula sa itaas, kung gayon .
Kung f (x) ay nililimitahan sa ibaba ng bilang na m : , pagkatapos ay may hangganang kanang limitasyon sa puntong a : . Kung f (x) ay hindi nakatali sa ibaba, kung gayon .

Kung ang mga punto a at b ay nasa infinity, kung gayon sa mga expression ang mga palatandaan ng limitasyon ay nangangahulugan na .
Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas nang mas compact.

Hayaan ang function f (x) hindi bumababa sa pagitan (a, b), Saan .
;
.

Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon sa mga punto a at b:

Isang katulad na theorem para sa isang hindi tumataas na function.
;
.

Hayaang hindi tumaas ang function sa pagitan kung saan . Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon:
Bunga
Hayaang maging monotoniko ang function sa pagitan. Pagkatapos sa anumang punto mula sa agwat na ito, mayroong isang panig na may hangganan na mga limitasyon ng function:

At .

Katibayan ng teorama

Ang pag-andar ay hindi bumababa

b - huling numero

Ang pag-andar ay limitado mula sa itaas

.
;
.

1.1.1. Hayaang ma-bound ang function mula sa itaas ng numerong M: para sa .
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
sa .
;
;
.
Ibahin natin ang huling hindi pagkakapantay-pantay:
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos

Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
Dahil, kung gayon. Pagkatapos

"Mga kahulugan ng isang panig na limitasyon ng isang function sa isang end point").

Ang function ay hindi limitado mula sa itaas
1. Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan.
1.1. Hayaang ang bilang b ay may hangganan: .
1.1.2. Hayaang ang function ay hindi nakatali sa itaas.

Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos

Patunayan natin na sa kasong ito ay may hangganan.
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
Tukuyin natin ang . Pagkatapos ay para sa sinumang mayroon, kaya

Nangangahulugan ito na ang limitasyon sa kaliwa sa punto b ay (tingnan ang "Mga kahulugan ng isang panig na walang katapusan na mga limitasyon ng isang function sa isang dulong punto").

b - huling numero

Ang function ay hindi limitado mula sa itaas
b maaga plus infinity
1.1.2. Hayaang ang function ay hindi nakatali sa itaas.

1.2.1. Hayaang ma-bound ang function mula sa itaas ng numerong M: para sa .
.
Dahil ang function ay bounded sa itaas, mayroong isang may hangganan supremum Ayon sa kahulugan ng eksaktong upper bound,:
;
sumusunod na mga kondisyon
.

para sa anumang positibong mayroong isang argumento para sa kung saan
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos

Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos sa . O kaya
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
Kaya, nalaman namin na para sa sinuman ay mayroong isang numero, kaya

"Mga kahulugan ng isang panig na limitasyon ng isang function sa isang end point").

Ang function ay hindi limitado mula sa itaas
"Mga kahulugan ng one-sided na limitasyon sa infinity").
1.2. Hayaang ang bilang b ay katumbas ng plus infinity: .
1.1.2. Hayaang ang function ay hindi nakatali sa itaas.

1.2.2. Hayaang ang function ay hindi nakatali sa itaas.
.

Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos sa .

Kaya para sa anumang mayroong isang numero, kaya
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
Nangangahulugan ito na ang limitasyon sa ay katumbas ng (tingnan ang "Mga kahulugan ng isang panig na walang katapusan na mga limitasyon sa infinity").

Ang pag-andar ay hindi tumataas

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang function ay hindi tumaas. Maaari mong, tulad ng nasa itaas, isaalang-alang ang bawat opsyon nang hiwalay. Ngunit sasakupin namin sila kaagad. Para dito ginagamit namin. Patunayan natin na sa kasong ito ay may hangganan.

Isaalang-alang ang finite infimum ng set ng mga value ng function:
.
Dito ang B ay maaaring maging isang may hangganang numero o isang punto sa infinity. Ayon sa kahulugan ng isang eksaktong lower bound, ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
;
para sa anumang kapitbahayan ng punto B mayroong isang argumento kung saan
.
Ayon sa mga kondisyon ng teorama, . Kaya naman .

Dahil ang pag-andar ay hindi tumaas, pagkatapos ay kapag . Simula noon
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
O kaya
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
Susunod, tandaan namin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa kaliwang butas na kapitbahayan ng punto b.

Kaya, nalaman namin na para sa anumang kapitbahayan ng punto, mayroong isang butas na kaliwang kapitbahayan ng punto b tulad na
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
Nangangahulugan ito na ang limitasyon sa kaliwa sa punto b ay:

(tingnan ang unibersal na kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy).

Limitahan sa punto a

Ngayon ay ipapakita namin na may limitasyon sa punto a at hanapin ang halaga nito.

Isaalang-alang natin ang pag-andar. Ayon sa mga kondisyon ng theorem, ang function ay monotoniko para sa . Palitan natin ang variable na x ng - x (o gumawa ng substitution at pagkatapos ay palitan ang variable t ng x ). Pagkatapos ang function ay monotoniko para sa . Pagpaparami ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng -1 at ang pagbabago ng kanilang pagkakasunud-sunod ay dumating kami sa konklusyon na ang function ay monotoniko para sa .

Sa katulad na paraan madaling ipakita na kung hindi ito bumababa, kung gayon hindi ito tataas. Pagkatapos, ayon sa kung ano ang napatunayan sa itaas, mayroong isang limitasyon
.
Kung hindi ito tumaas, hindi ito bumababa. Sa kasong ito ay may limitasyon
.

Ngayon ay nananatiling ipakita na kung mayroong limitasyon ng isang function sa , pagkatapos ay mayroong limitasyon ng function sa , at ang mga limitasyong ito ay pantay-pantay:
.

Ipakilala natin ang notasyon:
(1) .
Ipahayag natin ang f sa mga tuntunin ng g:
.
Kumuha tayo ng di-makatwirang positibong numero. Hayaang magkaroon ng epsilon neighborhood ng point A. Ang kapitbahayan ng epsilon ay tinukoy para sa parehong may hangganan at walang katapusang mga halaga ng A (tingnan ang "Kapitbahayan ng isang punto"). Dahil may limitasyon (1), kung gayon, ayon sa kahulugan ng limitasyon, para sa anumang mayroong ganoon
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos

Hayaan ang isang bilang isang may hangganan. Ipahayag natin ang kaliwang butas na kapitbahayan ng punto -a gamit ang mga hindi pagkakapantay-pantay:
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
Palitan natin ang x ng -x at isaalang-alang na:
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
Ang huling dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa nabutas na kanang kapitbahayan ng punto a. Pagkatapos
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos

Hayaan ang isang maging isang walang katapusang bilang, . Inuulit namin ang pangangatwiran.
sa ;
sa ;
sa ;
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos

Kaya, nalaman namin na para sa sinuman ay mayroong ganoon
Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
Ibig sabihin nito ay
.

Ang teorama ay napatunayan.

Aralin at presentasyon sa algebra sa ika-10 baitang sa paksa: "Pagsisiyasat ng isang function para sa monotonicity. Algoritmo ng pananaliksik"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga manual at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 10 mula sa 1C
Algebraic na problema sa mga parameter, grade 9–11
Kapaligiran ng software "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ang pag-aaralan natin:
1. Pagbaba at pagtaas ng mga function.
2. Relasyon sa pagitan ng derivative at monotonicity ng isang function.
3. Dalawang mahalagang theorems sa monotonicity.
4. Mga halimbawa.

Guys, kanina marami tayong pinagtitinginan iba't ibang function at binuo ang kanilang mga graph. Ngayon, ipakilala natin ang mga bagong panuntunan na gumagana para sa lahat ng mga function na aming isinasaalang-alang at patuloy na isasaalang-alang.

Pagbaba at pagtaas ng mga function

Tingnan natin ang konsepto ng pagtaas at pagbaba ng mga function. Guys, ano ang isang function?

Ang isang function ay isang sulat y= f(x), kung saan ang bawat halaga ng x ay nauugnay sa isang solong halaga ng y.

Tingnan natin ang graph ng ilang function:

Ipinapakita ng aming graph: ang mas malaking x, mas maliit ang y. Kaya't tukuyin natin ang isang nagpapababang function. Ang isang function ay tinatawag na bumababa kung ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

Kung x2 > x1, pagkatapos ay f(x2) Ngayon tingnan natin ang graph ng function na ito:
Ang graph na ito ay nagpapakita na ang mas malaking x, mas malaki ang y. Kaya't tukuyin natin ang isang pagtaas ng function. Ang isang function ay tinatawag na pagtaas kung ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.
Kung x2 > x1, kung gayon ang f(x2 > f(x1) o: mas malaki ang x, mas malaki ang y.

Kung ang isang function ay tumaas o bumaba sa isang tiyak na agwat, kung gayon ito ay sinabi na ito ay monotoniko sa pagitan na ito.

Relasyon sa pagitan ng derivative at monotonicity ng isang function

Guys, ngayon isipin natin kung paano mo mailalapat ang konsepto ng derivative kapag nag-aaral ng mga function graph. Gumuhit tayo ng graph ng dumaraming function na naiba-iba at gumuhit ng ilang tangent sa ating graph.

Kung titingnan mo ang aming mga tangent o biswal na gumuhit ng anumang iba pang tangent, mapapansin mo na ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng x-axis ay magiging talamak. Nangangahulugan ito na ang tangent ay may positibong slope. Tangent slope katumbas ng halaga derivative sa abscissa ng punto ng tangency. Kaya, ang halaga ng derivative ay positibo sa lahat ng mga punto sa aming graph. Para sa pagtaas ng function, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f"(x) ≥ 0, para sa anumang punto x.

Guys, tingnan natin ngayon ang graph ng ilang bumababa na function at bumuo ng mga tangent sa graph ng function.

Tingnan natin ang mga tangent at biswal na gumuhit ng anumang iba pang tangent. Mapapansin natin na ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng x-axis ay mapurol, na nangangahulugang ang tangent ay may negatibong slope. Kaya, ang halaga ng derivative ay negatibo sa lahat ng mga punto sa aming graph. Para sa isang bumababa na function, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f"(x) ≤ 0, para sa anumang punto x.

Kaya, ang monotonicity ng isang function ay nakasalalay sa tanda ng derivative:

Kung ang isang function ay tumaas sa isang interval at may isang derivative sa interval na ito, kung gayon ang derivative na ito ay hindi magiging negatibo.

Kung ang isang function ay bumababa sa isang interval at may isang derivative sa interval na ito, kung gayon ang derivative na ito ay hindi magiging positibo.

Mahalaga, upang ang mga pagitan kung saan isinasaalang-alang namin ang function ay bukas!

Dalawang mahalagang theorems sa monotonicity

Theorem 1. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay na f'(x) ≥ 0 ay humahawak sa lahat ng mga punto ng isang bukas na pagitan X (at ang pagkakapantay-pantay ng derivative sa zero ay alinman ay hindi humahawak o humahawak, ngunit lamang sa isang may hangganan na hanay ng mga puntos), kung gayon ang ang function na y= f(x) ay tumataas sa pagitan ng X.

Theorem 2. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay f'(x) ≤ 0 ay humahawak sa lahat ng mga punto ng isang bukas na pagitan X (at ang pagkakapantay-pantay ng derivative sa zero ay alinman ay hindi humahawak o humahawak, ngunit lamang sa isang may hangganan na hanay ng mga puntos), kung gayon ang ang function na y= f(x) ay bumababa sa pagitan ng X.

Teorama 3. Kung sa lahat ng punto ng bukas na pagitan X ang pagkakapantay-pantay
f'(x)= 0, kung gayon ang function na y= f(x) ay pare-pareho sa pagitan na ito.

Mga halimbawa ng pag-aaral ng isang function para sa monotonicity

1) Patunayan na ang function na y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 ay tumataas sa buong linya ng numero.

Solusyon: Hanapin natin ang derivative ng ating function: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Dahil ang degree sa x ay pantay, kung gayon function ng kapangyarihan tumatagal lamang ng mga positibong halaga. Pagkatapos y" > 0 para sa anumang x, na nangangahulugang sa pamamagitan ng Theorem 1, ang ating function ay tumataas sa buong linya ng numero.

2) Patunayan na ang function ay bumababa: y= sin(2x) - 3x.

Hanapin natin ang derivative ng ating function: y"= 2cos(2x) - 3.
Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
kasi -1 ≤ cos(x) ≤ 1, na nangangahulugan na ang ating hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa anumang x, pagkatapos ay sa pamamagitan ng Theorem 2 ang function na y= sin(2x) - 3x ay bumababa.

3) Suriin ang function para sa monotonicity: y= x 2 + 3x - 1.

Solusyon: Hanapin natin ang derivative ng ating function: y"= 2x + 3.
Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Pagkatapos ang aming function ay tumataas para sa x ≥ -3/2, at bumababa para sa x ≤ -3/2.
Sagot: Para sa x ≥ -3/2, tumataas ang function, para sa x ≤ -3/2, bumababa ang function.

4) Suriin ang monotonicity ng function: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Solusyon: Hanapin natin ang derivative ng ating function: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay mas malaki sa o katumbas ng zero:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Ngunit imposible ito, dahil... Kuwadrado na ugat ay tinukoy lamang para sa mga positibong expression, na nangangahulugan na ang aming function ay walang bumababa na mga pagitan.
Sagot: para sa x ≥ 1/3 tumataas ang function.

Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

a) Patunayan na ang function na y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 ay tumataas sa buong linya ng numero.
b) Patunayan na ang function ay bumababa: y= cos(5x) - 7x.
c) Suriin ang monotonicity ng function: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Suriin ang monotonicity ng function: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Tumataas, bumababa at extrema ng isang function

Ang paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas, pagbaba at labis ng isang function ay parehong independiyenteng gawain at isang mahalagang bahagi ng iba pang mga gawain, sa partikular, buong pag-aaral ng function. Ang paunang impormasyon tungkol sa pagtaas, pagbaba at labis na pagpapaandar ay ibinigay sa teoretikal na kabanata sa derivative, na lubos kong inirerekomenda para sa paunang pag-aaral (o pag-uulit)– para din sa kadahilanang ang sumusunod na materyal ay batay sa pinaka mahalagang hinango, pagiging isang maayos na pagpapatuloy ng artikulong ito. Bagaman, kung maikli ang oras, posible rin ang isang puro pormal na pagsasanay ng mga halimbawa mula sa aralin ngayon.

At ngayon ay may espiritu ng pambihirang pagkakaisa sa hangin, at direkta kong nararamdaman na ang lahat ng naroroon ay nag-aalab sa pagnanais matutong galugarin ang isang function gamit ang derivative nito. Samakatuwid, ang makatwiran, mahusay, walang hanggang terminolohiya ay agad na lumilitaw sa iyong mga screen ng monitor.

Para saan? Ang isa sa mga dahilan ay ang pinaka-praktikal: nang sa gayon ay malinaw kung ano ang karaniwang kinakailangan sa iyo sa isang partikular na gawain!

Monotonicity ng function. Extremum point at extrema ng isang function

Isaalang-alang natin ang ilang function. Upang ilagay ito nang simple, ipinapalagay namin na siya tuloy-tuloy sa buong linya ng numero:

Kung sakali, alisin natin agad ang mga posibleng ilusyon, lalo na sa mga mambabasa na kamakailan lamang ay nakakilala sa mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng function. Ngayon kami HINDI INTERESADO, kung paano matatagpuan ang graph ng function na nauugnay sa axis (sa itaas, sa ibaba, kung saan nagsa-intersect ang axis). Upang maging kapani-paniwala, burahin sa isip ang mga palakol at mag-iwan ng isang graph. Dahil doon nakasalalay ang interes.

Function nadadagdagan sa isang pagitan kung para sa alinmang dalawang punto ng agwat na ito na konektado ng kaugnayan , ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Iyon ay, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function, at ang graph nito ay "mula sa ibaba hanggang sa itaas". Ang demonstration function ay lumalaki sa pagitan.

Gayundin, ang pag-andar bumababa sa isang agwat kung para sa alinmang dalawang punto ng isang naibigay na agwat na , ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Iyon ay, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function, at ang graph nito ay "mula sa itaas hanggang sa ibaba". Ang aming function ay bumababa sa pagitan .

Kung ang isang function ay tumaas o bumaba sa isang pagitan, kung gayon ito ay tinatawag mahigpit na monotonous sa pagitan na ito. Ano ang monotony? Kunin ito nang literal - monotony.

Maaari mo ring tukuyin hindi bumababa function (naka-relax na kondisyon sa unang kahulugan) at hindi tumataas function (pinalambot na kondisyon sa ika-2 kahulugan). Ang isang hindi bumababa o hindi tumataas na function sa isang agwat ay tinatawag na isang monotonic na function sa isang ibinigay na agwat (mahigpit na monotony - espesyal na kaso monotony lang).

Isinasaalang-alang din ng teorya ang iba pang mga diskarte sa pagtukoy ng pagtaas/pagbaba ng isang function, kabilang ang sa kalahating pagitan, mga segment, ngunit upang hindi ibuhos ang langis-langis-langis sa iyong ulo, kami ay sumasang-ayon na gumana nang may bukas na mga pagitan na may mga kategoryang kahulugan - ito ay mas malinaw, at para sa paglutas ng maraming praktikal na mga problema ay sapat na.

kaya, sa aking mga artikulo ang salitang "monotonicity ng isang function" ay halos palaging nakatago mga pagitan mahigpit na monotony (mahigpit na pagtaas o mahigpit na pagbaba ng pag-andar).

Kapitbahayan ng isang punto. Mga salita kung saan tumakas ang mga mag-aaral saanman nila kaya at nagtatago sa takot sa mga sulok. ...Kahit pagkatapos ng post Cauchy na mga limitasyon Malamang hindi na sila nagtatago, pero medyo nanginginig lang =) Don't worry, there won't be any proof of theorems now pagsusuri sa matematika– Kinailangan ko ang kapaligiran upang magbalangkas ng mga kahulugan nang mas mahigpit matinding puntos. Tandaan natin:

Kapitbahayan ng isang punto tinatawag na interval na naglalaman puntong ito, habang para sa kaginhawahan ang pagitan ay madalas na ipinapalagay na simetriko. Halimbawa, ang isang punto at ang karaniwang kapitbahayan nito:

Sa totoo lang, ang mga kahulugan:

Tinatawag ang punto mahigpit na pinakamataas na punto, Kung umiiral kanyang kapitbahayan, para sa lahat mga halaga kung saan, maliban sa punto mismo, ang hindi pagkakapantay-pantay . Sa aming partikular na halimbawa, ito ay isang tuldok.

Tinatawag ang punto mahigpit na minimum na punto, Kung umiiral kanyang kapitbahayan, para sa lahat mga halaga kung saan, maliban sa punto mismo, ang hindi pagkakapantay-pantay . Sa pagguhit ay may puntong "a".

Tandaan : ang pangangailangan ng simetrya ng kapitbahayan ay hindi kinakailangan. Bilang karagdagan, ito ay mahalaga ang mismong katotohanan ng pagkakaroon kapitbahayan (maliit man o mikroskopiko) na nakakatugon sa mga tinukoy na kundisyon

Tinatawag ang mga puntos mahigpit na matinding puntos o simple lang matinding puntos mga function. Iyon ay, ito ay isang pangkalahatang termino para sa pinakamataas na puntos at pinakamababang puntos.

Paano natin naiintindihan ang salitang "matinding"? Oo, nang direkta sa monotony. Mga matinding punto ng roller coasters.

Tulad ng kaso ng monotonicity, ang mga maluwag na postulate ay umiiral at mas karaniwan sa teorya (na, siyempre, ang mga mahigpit na kaso na isinasaalang-alang ay nasa ilalim!):

Tinatawag ang punto pinakamataas na punto, Kung umiiral ang paligid nito ay ganoon para sa lahat
Tinatawag ang punto pinakamababang punto, Kung umiiral ang paligid nito ay ganoon para sa lahat mga halaga ng kapitbahayan na ito, ang hindi pagkakapantay-pantay ay hawak.

Tandaan na ayon sa huling dalawang kahulugan, ang anumang punto ng isang pare-parehong function (o isang "flat na seksyon" ng isang function) ay itinuturing na parehong maximum at isang minimum na punto! Ang function, sa pamamagitan ng paraan, ay parehong hindi tumataas at hindi bumababa, iyon ay, monotonic. Gayunpaman, iiwan natin ang mga pagsasaalang-alang na ito sa mga teorista, dahil sa pagsasanay ay halos palaging iniisip natin ang tradisyonal na "mga burol" at "mga guwang" (tingnan ang pagguhit) na may natatanging "hari ng burol" o "prinsesa ng latian". Bilang isang pagkakaiba-iba, ito ay nangyayari tip, nakadirekta pataas o pababa, halimbawa, ang minimum ng function sa punto.

Oh, at nagsasalita tungkol sa royalty:
– ang kahulugan ay tinatawag maximum mga function;
– ang kahulugan ay tinatawag pinakamababa mga function.

Karaniwang pangalan – sukdulan mga function.

Mangyaring mag-ingat sa iyong mga salita!

Extremum na puntos– ito ay mga “X” na halaga.
Extremes- kahulugan ng "laro".

! Tandaan : minsan ang mga nakalistang termino ay tumutukoy sa "X-Y" na mga punto na direktang nakalagay sa GRAPH NG mismong function.

Ilang extrema ang maaaring magkaroon ng isang function?

Wala, 1, 2, 3, ... atbp. sa kawalang-hanggan. Halimbawa, ang sine ay may walang katapusang minima at maxima.

MAHALAGA! Ang terminong "maximum of function" hindi magkapareho ang terminong "maximum na halaga ng isang function". Madaling mapansin na ang halaga ay pinakamataas lamang sa isang lokal na kapitbahayan, at sa kaliwang itaas ay mayroong "mas cool na mga kasama". Gayundin, ang "minimum ng isang function" ay hindi katulad ng "minimum na halaga ng isang function," at sa pagguhit ay makikita natin na ang halaga ay pinakamababa lamang sa isang partikular na lugar. Sa bagay na ito, tinatawag din ang mga extremum point mga lokal na extremum point, at ang extrema - mga lokal na sukdulan . Naglalakad sila at gumagala sa malapit at global mga kapatid. Kaya, ang anumang parabola ay nasa tuktok nito pandaigdigang minimum o global maximum. Higit pa rito, hindi ko kikilalanin ang pagitan ng mga uri ng kalabisan, at ang paliwanag ay mas binibigkas para sa pangkalahatang layuning pang-edukasyon - ang mga karagdagang adjectives na “lokal”/“global” ay hindi dapat magtaka sa iyo.

Ibuod natin ang ating maikling iskursiyon sa teorya gamit ang isang test shot: ano ang ibig sabihin ng gawain na "hanapin ang mga monotonicity interval at extremum point ng function"?

Hinihikayat ka ng mga salita na hanapin ang:

– mga agwat ng pagtaas/pagbaba ng function (hindi bumababa, hindi tumataas ay lumilitaw nang mas madalas);

– maximum at/o pinakamababang puntos (kung mayroon man). Kaya, upang maiwasan ang pagkabigo, mas mahusay na hanapin ang mga minimum/maximum mismo ;-)

Paano matukoy ang lahat ng ito? Gamit ang derivative function!

Paano makahanap ng mga pagitan ng pagtaas, pagbaba,
extremum point at extrema ng function?

Maraming mga patakaran, sa katunayan, ay kilala at naiintindihan mula sa aralin tungkol sa kahulugan ng derivative.

Tangent derivative nagdadala ng masasayang balita na ang paggana ay tumataas sa kabuuan domain ng kahulugan.

Sa cotangent at ang hinango nito ang sitwasyon ay eksaktong kabaligtaran.

Ang arcsine ay tumataas sa pagitan - ang derivative dito ay positibo: .
Kapag ang function ay tinukoy, ngunit hindi naiba. Gayunpaman, sa kritikal na punto ay mayroong isang right-handed derivative at isang right-handed tangent, at sa kabilang gilid ay naroon ang kanilang kaliwang kamay na mga katapat.

Sa tingin ko, hindi masyadong mahirap para sa iyo na magsagawa ng katulad na pangangatwiran para sa arc cosine at sa hinango nito.

Lahat ng mga kaso sa itaas, marami sa mga ito ay tabular derivatives, Paalala ko sa iyo, sundan nang direkta mula sa mga derivative na kahulugan.

Bakit tuklasin ang isang function gamit ang derivative nito?

Upang mas maunawaan kung ano ang hitsura ng graph ng function na ito: kung saan ito napupunta sa "ibaba pataas", kung saan ang "itaas pababa", kung saan ito umabot sa mga minimum at maximum (kung umabot man ito). Hindi lahat ng function ay napakasimple - sa karamihan ng mga kaso wala kaming ideya sa lahat tungkol sa graph ng isang partikular na function.

Panahon na upang magpatuloy sa mas makabuluhang mga halimbawa at isaalang-alang algorithm para sa paghahanap ng mga pagitan ng monotonicity at extrema ng isang function:

Halimbawa 1

Maghanap ng mga pagitan ng pagtaas/pagbaba at sukdulan ng function

Solusyon:

1) Ang unang hakbang ay ang paghahanap domain ng isang function, at tandaan din ang mga break point (kung mayroon sila). SA sa kasong ito ang function ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, at ang aksyon na ito ay sa isang tiyak na lawak na pormal. Ngunit sa ilang mga kaso, ang mga seryosong hilig ay sumiklab dito, kaya't ituring natin ang talata nang walang paghamak.

2) Ang pangalawang punto ng algorithm ay dahil sa

isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum:

Kung mayroong isang extremum sa isang punto, kung gayon ang halaga ay hindi umiiral.

Nalilito sa ending? Extremum ng function na "modulus x". .

Ang kondisyon ay kinakailangan, ngunit hindi sapat, at ang kabaligtaran ay hindi palaging totoo. Kaya, hindi pa sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na ang function ay umabot sa maximum o minimum sa punto . Ang isang klasikong halimbawa ay na-highlight na sa itaas - ito ay isang kubiko na parabola at ang kritikal na punto nito.

Ngunit maging iyon man, kinakailangang kondisyon idinidikta ng extremum ang pangangailangang maghanap ng mga kahina-hinalang punto. Upang gawin ito, hanapin ang derivative at lutasin ang equation:

Sa simula ng unang artikulo tungkol sa mga function graph Sinabi ko sa iyo kung paano mabilis na bumuo ng isang parabola gamit ang isang halimbawa : “...kunin natin ang unang derivative at itinutumbas ito sa sero: ... Kaya, ang solusyon sa ating equation: - sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola...”. Ngayon, sa tingin ko, naiintindihan ng lahat kung bakit eksaktong matatagpuan ang vertex ng parabola sa puntong ito =) Sa pangkalahatan, dapat tayong magsimula sa isang katulad na halimbawa dito, ngunit ito ay masyadong simple (kahit na para sa isang tsarera). Bilang karagdagan, mayroong isang analogue sa pinakadulo ng aralin tungkol sa derivative ng isang function. Samakatuwid, taasan natin ang antas:

Halimbawa 2

Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity at extrema ng function

Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Kumpletong solusyon at isang tinatayang huling sample ng gawain sa pagtatapos ng aralin.

Dumating na ang pinakahihintay na sandali ng pagpupulong sa mga fractional-rational function:

Halimbawa 3

Galugarin ang isang function gamit ang unang derivative

Bigyang-pansin kung paano maaaring baguhin ang isa at ang parehong gawain.

Solusyon:

1) Ang function ay dumaranas ng walang katapusang mga discontinuities sa mga punto.

2) Nakikita namin ang mga kritikal na punto. Hanapin natin ang unang derivative at ipantay ito sa zero:

Lutasin natin ang equation. Ang isang fraction ay zero kapag ang numerator nito ay zero:

Kaya, nakakakuha tayo ng tatlong kritikal na puntos:

3) Ibinalot namin ang LAHAT ng nakitang mga punto sa linya ng numero at paraan ng pagitan tinutukoy namin ang mga palatandaan ng DERIVATIVE:

Ipinaaalala ko sa iyo na kailangan mong kumuha ng ilang punto sa pagitan at kalkulahin ang halaga ng derivative dito at tukuyin ang tanda nito. Mas kumikita kahit hindi magbilang, ngunit "tantiyahin" sa salita. Kunin natin, halimbawa, ang isang puntong kabilang sa pagitan at gawin ang pagpapalit: .

Dalawang "plus" at isang "minus" ang nagbibigay ng "minus", samakatuwid, na nangangahulugan na ang derivative ay negatibo sa buong pagitan.

Ang aksyon, tulad ng naiintindihan mo, ay kailangang isagawa para sa bawat isa sa anim na pagitan. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang numerator factor at denominator ay mahigpit na positibo para sa anumang punto sa anumang pagitan, na lubos na nagpapadali sa gawain.

Kaya, sinabi sa amin ng derivative na ang FUNCTION MISMO ay tumataas ng at bumababa ng . Maginhawang ikonekta ang mga pagitan ng parehong uri gamit ang icon ng pagsali.

Sa puntong ang function ay umabot sa maximum nito:
Sa puntong ang function ay umabot sa isang minimum:

Isipin kung bakit hindi mo kailangang muling kalkulahin ang pangalawang halaga ;-)

Kapag dumadaan sa isang punto, ang derivative ay hindi nagbabago ng sign, kaya ang function ay WALANG EXTREMUM doon - pareho itong bumaba at nanatiling bumababa.

! Ulitin natin mahalagang punto : ang mga puntos ay hindi itinuturing na kritikal - naglalaman ang mga ito ng isang function hindi determinado. Alinsunod dito, dito Sa prinsipyo walang maaaring maging labis(kahit na ang derivative ay nagbabago ng sign).

Sagot: tumataas ang function ng at bumababa ng Sa puntong ang maximum ng function ay naabot: , at sa punto – ang pinakamababa: .

Kaalaman sa monotonicity interval at extrema, kasama ng na-establish asymptotes nagbibigay na ng napakagandang ideya ng hitsura function na graphics. Ang isang taong may karaniwang pagsasanay ay kayang matukoy sa salita na ang graph ng isang function ay may dalawang patayong asymptote at isang pahilig na asymptote. Narito ang ating bayani:

Subukang muli na iugnay ang mga resulta ng pag-aaral sa graph ng function na ito.
Walang extremum sa kritikal na punto, ngunit mayroon inflection point(na, bilang panuntunan, ay nangyayari sa mga katulad na kaso).

Halimbawa 4

Hanapin ang extrema ng function

Halimbawa 5

Maghanap ng mga monotonicity interval, maxima at minima ng function

…parang isang uri ng holiday na "X in a cube" ngayon....
Soooo, sino sa gallery ang nag-alok na uminom para dito? =)

Ang bawat gawain ay may sariling mga makabuluhang nuances at teknikal na mga subtleties, na kung saan ay nagkomento sa sa dulo ng aralin.

Ano ang monotonicity ng isang function? Ano ang pantay, panaka-nakang, monotonikong pag-andar

Mga Kahulugan