Tumataas, bumababa at extrema ng isang function
Ang paghahanap ng mga agwat ng pagtaas, pagbaba at labis ng isang function ay ang mga sumusunod: isang malayang gawain, at ang pinakamahalagang bahagi ng iba pang mga gawain, lalo na, full function study. Ang paunang impormasyon tungkol sa pagtaas, pagbaba at labis na pagpapaandar ay ibinigay sa teoretikal na kabanata sa derivative, na lubos kong inirerekomenda para sa paunang pag-aaral (o pag-uulit)– para din sa kadahilanang ang sumusunod na materyal ay batay sa pinaka mahalagang hinango, pagiging isang maayos na pagpapatuloy ng artikulong ito. Bagaman, kung ang oras ay maikli, kung gayon ang isang purong pormal na pagsasanay ng mga halimbawa mula sa aralin ngayon ay posible rin.
At ngayon ay may espiritu ng pambihirang pagkakaisa sa hangin, at direkta kong nararamdaman na ang lahat ng naroroon ay nag-aalab sa pagnanais matutong galugarin ang isang function gamit ang derivative nito. Samakatuwid, ang makatwiran, mahusay, walang hanggang terminolohiya ay agad na lumilitaw sa iyong mga screen ng monitor.
Para saan? Ang isa sa mga dahilan ay ang pinaka-praktikal: nang sa gayon ay malinaw kung ano ang karaniwang kinakailangan sa iyo sa isang partikular na gawain!
Monotonicity ng function. Extremum point at extrema ng isang function
Isaalang-alang natin ang ilang function. Upang ilagay ito nang simple, ipinapalagay namin na siya tuloy-tuloy sa buong linya ng numero:
Kung sakali, alisin natin agad ang mga posibleng ilusyon, lalo na sa mga mambabasa na kamakailan lamang ay nakakilala sa mga agwat ng patuloy na pag-sign ng function. Ngayon kami HINDI INTERESADO, kung paano matatagpuan ang graph ng function na nauugnay sa axis (sa itaas, sa ibaba, kung saan nagsa-intersect ang axis). Upang maging kapani-paniwala, burahin sa isip ang mga palakol at mag-iwan ng isang graph. Dahil doon nakasalalay ang interes.
Function nadadagdagan sa isang pagitan kung para sa alinmang dalawang punto ng agwat na ito na konektado ng kaugnayan , ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Iyon ay, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function, at ang graph nito ay "mula sa ibaba hanggang sa itaas". Ang demonstration function ay lumalaki sa pagitan.
Gayundin, ang pag-andar bumababa sa isang agwat kung para sa alinmang dalawang punto ng isang naibigay na agwat na , ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Iyon ay, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function, at ang graph nito ay "mula sa itaas hanggang sa ibaba." Ang aming function ay bumababa sa pagitan 
.
Kung ang isang function ay tumaas o bumaba sa isang pagitan, kung gayon ito ay tinatawag mahigpit na monotonous sa pagitan na ito. Ano ang monotony? Kunin ito nang literal - monotony.
Maaari mo ring tukuyin hindi bumababa function (naka-relax na kondisyon sa unang kahulugan) at hindi tumataas function (pinalambot na kondisyon sa ika-2 kahulugan). Ang isang hindi bumababa o hindi tumataas na function sa isang agwat ay tinatawag na isang monotonic na function sa isang ibinigay na agwat (mahigpit na monotony - espesyal na kaso monotony lang).
Isinasaalang-alang din ng teorya ang iba pang mga diskarte sa pagtukoy ng pagtaas/pagbaba ng isang function, kabilang ang sa kalahating pagitan, mga segment, ngunit upang hindi ibuhos ang langis-langis-langis sa iyong ulo, kami ay sumasang-ayon na gumana nang may bukas na mga pagitan na may mga kategoryang kahulugan - ito ay mas malinaw, at para sa paglutas ng maraming praktikal na mga problema ay sapat na.
kaya, sa aking mga artikulo ang salitang "monotonicity ng isang function" ay halos palaging nakatago mga pagitan mahigpit na monotony(mahigpit na pagtaas o mahigpit na pagbaba ng pag-andar).
Kapitbahayan ng isang punto. Mga salita kung saan tumakas ang mga mag-aaral saanman nila kaya at nagtatago sa takot sa mga sulok. ...Kahit pagkatapos ng post Cauchy na mga limitasyon Malamang hindi na sila nagtatago, pero medyo nanginginig lang =) Don't worry, there won't be any proof of theorems now pagsusuri sa matematika– Kinailangan ko ang kapaligiran upang magbalangkas ng mga kahulugan nang mas mahigpit matinding puntos. Tandaan natin:
Kapitbahayan ng isang punto tinatawag na interval na naglalaman puntong ito, habang para sa kaginhawahan ang pagitan ay madalas na ipinapalagay na simetriko. Halimbawa, ang isang punto at ang karaniwang kapitbahayan nito:
Sa totoo lang, ang mga kahulugan:
Tinatawag ang punto mahigpit na pinakamataas na punto, Kung umiiral kanyang kapitbahayan, para sa lahat mga halaga kung saan, maliban sa punto mismo, ang hindi pagkakapantay-pantay . Sa aming partikular na halimbawa, ito ay isang tuldok.
Tinatawag ang punto mahigpit na minimum na punto, Kung umiiral kanyang kapitbahayan, para sa lahat mga halaga kung saan, maliban sa punto mismo, ang hindi pagkakapantay-pantay . Sa pagguhit ay may puntong "a".
Tandaan : ang pangangailangan ng simetrya ng kapitbahayan ay hindi kinakailangan. Bilang karagdagan, ito ay mahalaga ang mismong katotohanan ng pagkakaroon kapitbahayan (maliit man o mikroskopiko) na nakakatugon sa mga tinukoy na kundisyon
Tinatawag ang mga puntos mahigpit na matinding puntos o simple lang matinding puntos mga function. Iyon ay, ito ay isang pangkalahatang termino para sa pinakamataas na puntos at pinakamababang puntos.
Paano natin naiintindihan ang salitang "matinding"? Oo, nang direkta sa monotony. Mga matinding punto ng roller coasters.
Tulad ng kaso ng monotonicity, ang mga maluwag na postulate ay umiiral at mas karaniwan sa teorya (na, siyempre, ang mga mahigpit na kaso na isinasaalang-alang ay nasa ilalim!):
Tinatawag ang punto pinakamataas na punto, Kung umiiral ang paligid nito ay ganyan para sa lahat
Tinatawag ang punto pinakamababang punto, Kung umiiral ang paligid nito ay ganyan para sa lahat mga halaga ng kapitbahayan na ito, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili.
Tandaan na ayon sa huling dalawang kahulugan, ang anumang punto ng isang pare-parehong function (o isang "flat na seksyon" ng isang function) ay itinuturing na parehong maximum at isang minimum na punto! Ang function, sa pamamagitan ng paraan, ay parehong hindi tumataas at hindi bumababa, iyon ay, monotonic. Gayunpaman, iiwan natin ang mga pagsasaalang-alang na ito sa mga teorista, dahil sa pagsasanay ay halos palaging iniisip natin ang tradisyonal na "mga burol" at "mga guwang" (tingnan ang pagguhit) na may natatanging "hari ng burol" o "prinsesa ng latian". Bilang isang pagkakaiba-iba, ito ay nangyayari tip, nakadirekta pataas o pababa, halimbawa, ang minimum ng function sa punto.
Oh, at nagsasalita tungkol sa royalty:
– tinatawag ang kahulugan maximum mga function;
– tinatawag ang kahulugan pinakamababa mga function.
Karaniwang pangalan - sukdulan mga function.
Mangyaring mag-ingat sa iyong mga salita!
Extremum na puntos– ito ay mga “X” na halaga.
Extremes- kahulugan ng "laro".
! Tandaan : minsan ang mga nakalistang termino ay tumutukoy sa "X-Y" na mga punto na direktang nakalagay sa GRAPH NG mismong function.
Ilang extrema ang maaaring magkaroon ng isang function?
Wala, 1, 2, 3, ... atbp. sa kawalang-hanggan. Halimbawa, ang sine ay may walang katapusang maraming minima at maxima.
MAHALAGA! Ang terminong "maximum of function" hindi magkapareho ang terminong "maximum na halaga ng isang function". Madaling mapansin na ang halaga ay pinakamataas lamang sa isang lokal na kapitbahayan, at sa kaliwang tuktok ay mayroong "mas cool na mga kasama". Gayundin, ang "minimum ng isang function" ay hindi katulad ng "minimum na halaga ng isang function," at sa drawing makikita natin na ang value ay minimum lamang sa isang partikular na lugar. Sa bagay na ito, tinatawag din ang mga extremum point mga lokal na extremum point, at ang extrema - mga lokal na sukdulan . Naglalakad sila at gumagala sa malapit at global mga kapatid. Kaya, ang anumang parabola ay nasa tuktok nito pandaigdigang minimum o global maximum. Dagdag pa, hindi ko kikilalanin ang pagitan ng mga uri ng mga kalabisan, at ang paliwanag ay mas binibigkas para sa pangkalahatang mga layuning pang-edukasyon - ang mga karagdagang adjectives na “lokal”/“global” ay hindi dapat magtaka sa iyo.
Ibuod natin ang ating maikling iskursiyon sa teorya gamit ang isang test shot: ano ang ibig sabihin ng gawain na "hanapin ang mga monotonicity interval at extremum point ng function"?
Hinihikayat ka ng mga salita na hanapin ang:
– mga agwat ng pagtaas/pagbaba ng function (hindi bumababa, hindi tumataas ay lumilitaw nang mas madalas);
– maximum at/o pinakamababang puntos (kung mayroon man). Kaya, upang maiwasan ang pagkabigo, mas mahusay na hanapin ang mga minimum/maximum mismo ;-)
Paano matukoy ang lahat ng ito? Gamit ang derivative function!
Paano makahanap ng mga pagitan ng pagtaas, pagbaba,
extremum point at extrema ng function?
Maraming mga patakaran, sa katunayan, ay alam na at naiintindihan mula sa aralin tungkol sa kahulugan ng derivative.
Tangent derivative 
nagdadala ng masasayang balita na ang paggana ay tumataas sa kabuuan domain ng kahulugan.
Sa cotangent at ang hinango nito 
ang sitwasyon ay eksaktong kabaligtaran.
Ang arcsine ay tumataas sa pagitan - ang derivative dito ay positibo: 
.
Kapag ang function ay tinukoy, ngunit hindi naiba. Gayunpaman, sa kritikal na punto ay mayroong isang right-handed derivative at isang right-handed tangent, at sa kabilang gilid ay mayroong kanilang mga kaliwang kamay na katapat.
Sa tingin ko, hindi masyadong mahirap para sa iyo na magsagawa ng katulad na pangangatwiran para sa arc cosine at sa hinango nito.
Lahat ng mga kaso sa itaas, marami sa mga ito ay tabular derivatives, Paalala ko sa iyo, sundan nang direkta mula sa mga derivative na kahulugan.
Bakit i-explore ang isang function gamit ang derivative nito?
Upang mas maunawaan kung ano ang hitsura ng graph ng function na ito: kung saan ito napupunta sa "ibaba pataas", kung saan ang "itaas pababa", kung saan ito umabot sa mga minimum at maximum (kung umabot man ito). Hindi lahat ng function ay napakasimple - sa karamihan ng mga kaso wala kaming ideya sa lahat tungkol sa graph ng isang partikular na function.
Panahon na upang magpatuloy sa mas makabuluhang mga halimbawa at isaalang-alang algorithm para sa paghahanap ng mga pagitan ng monotonicity at extrema ng isang function:
Halimbawa 1
Maghanap ng mga pagitan ng pagtaas/pagbaba at sukdulan ng function
Solusyon:
1) Ang unang hakbang ay ang paghahanap domain ng isang function, at tandaan din ang mga break point (kung mayroon sila). SA sa kasong ito ang function ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, at ang aksyon na ito ay sa isang tiyak na lawak na pormal. Ngunit sa ilang mga kaso, ang mga seryosong hilig ay sumiklab dito, kaya't ituring natin ang talata nang walang paghamak.
2) Ang pangalawang punto ng algorithm ay dahil sa
isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum:
Kung mayroong isang extremum sa isang punto, kung gayon ang halaga ay hindi umiiral.
Nalilito sa ending? Extremum ng function na "modulus x". .
Ang kondisyon ay kinakailangan, ngunit hindi sapat, at ang kabaligtaran ay hindi palaging totoo. Kaya, hindi pa sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na ang function ay umabot sa maximum o minimum sa punto . Ang isang klasikong halimbawa ay na-highlight na sa itaas - ito ay isang kubiko na parabola at ang kritikal na punto nito.
Ngunit maging iyon man, kinakailangang kondisyon idinidikta ng extremum ang pangangailangang maghanap ng mga kahina-hinalang punto. Upang gawin ito, hanapin ang derivative at lutasin ang equation:
Sa simula ng unang artikulo tungkol sa mga function graph Sinabi ko sa iyo kung paano mabilis na bumuo ng isang parabola gamit ang isang halimbawa 
: “...kunin natin ang unang derivative at itinutumbas ito sa sero: ... Kaya, ang solusyon sa ating equation: - sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola...”. Ngayon, sa tingin ko, naiintindihan ng lahat kung bakit eksaktong matatagpuan ang vertex ng parabola sa puntong ito =) Sa pangkalahatan, dapat tayong magsimula sa isang katulad na halimbawa dito, ngunit ito ay masyadong simple (kahit na para sa isang tsarera). Bilang karagdagan, mayroong isang analogue sa pinakadulo ng aralin tungkol sa derivative ng isang function. Samakatuwid, taasan natin ang antas:
Halimbawa 2
Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity at extrema ng function
Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Kumpletong solusyon at isang tinatayang huling sample ng gawain sa pagtatapos ng aralin.
Dumating na ang pinakahihintay na sandali ng pagpupulong sa mga fractional-rational function:
Halimbawa 3
Galugarin ang isang function gamit ang unang derivative
Bigyang-pansin kung paano maaaring baguhin ang isa at ang parehong gawain.
Solusyon:
1) Ang function ay dumaranas ng walang katapusang mga discontinuities sa mga punto.
2) Nakikita namin ang mga kritikal na punto. Hanapin natin ang unang derivative at ipantay ito sa zero: 
Lutasin natin ang equation. Ang isang fraction ay zero kapag ang numerator nito ay zero:
Kaya, nakakakuha tayo ng tatlong kritikal na puntos: 
3) Ibinalot namin ang LAHAT ng nakitang mga punto sa linya ng numero at paraan ng pagitan tinutukoy namin ang mga palatandaan ng DERIVATIVE:
Ipinaaalala ko sa iyo na kailangan mong kumuha ng ilang punto sa pagitan at kalkulahin ang halaga ng derivative dito 
at tukuyin ang tanda nito. Mas kumikita kahit hindi magbilang, ngunit "tantiyahin" sa salita. Kunin natin, halimbawa, ang isang punto na kabilang sa pagitan at gawin ang pagpapalit: 
. 
Dalawang "plus" at isang "minus" ang nagbibigay ng "minus", samakatuwid, na nangangahulugan na ang derivative ay negatibo sa buong pagitan.
Ang aksyon, tulad ng naiintindihan mo, ay kailangang isagawa para sa bawat isa sa anim na pagitan. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang numerator factor at denominator ay mahigpit na positibo para sa anumang punto sa anumang pagitan, na lubos na nagpapadali sa gawain.
Kaya, sinabi sa amin ng derivative na ang FUNCTION MISMO ay tumataas ng 
at bumababa ng . Ito ay maginhawa upang ikonekta ang mga pagitan ng parehong uri sa icon ng pagsali.
Sa puntong ang function ay umabot sa maximum nito:
Sa puntong ang function ay umabot sa isang minimum: 
Isipin kung bakit hindi mo kailangang muling kalkulahin ang pangalawang halaga ;-)
Kapag dumadaan sa isang punto, ang derivative ay hindi nagbabago ng sign, kaya ang function ay WALANG EXTREMUM doon - pareho itong nabawasan at nanatiling bumababa.
! Ulitin natin mahalagang punto : ang mga puntos ay hindi itinuturing na kritikal - naglalaman ang mga ito ng isang function hindi determinado. Alinsunod dito, dito Sa prinsipyo walang maaaring maging labis(kahit na ang derivative ay nagbabago ng sign).
Sagot: tumataas ang function ng 
at bumababa ng Sa puntong ang maximum ng function ay naabot: 
, at sa punto – ang pinakamababa: .
Kaalaman sa mga monotonicity interval at extrema, kasama ng itinatag asymptotes nagbibigay na ng napakagandang ideya ng hitsura function na graphics. Ang isang taong may karaniwang pagsasanay ay kayang matukoy sa salita na ang graph ng isang function ay may dalawang patayong asymptote at isang pahilig na asymptote. Narito ang ating bayani: 
Subukang muli na iugnay ang mga resulta ng pag-aaral sa graph ng function na ito.
Walang extremum sa kritikal na punto, ngunit mayroon inflection ng graph(na, bilang panuntunan, ay nangyayari sa mga katulad na kaso).
Halimbawa 4
Hanapin ang extrema ng function
Halimbawa 5
Maghanap ng mga monotonicity interval, maxima at minima ng function
…parang isang uri ng holiday na "X in a cube" ngayon....
Soooo, sino sa gallery ang nag-alok na uminom para dito? =)
Ang bawat gawain ay may sariling mga makabuluhang nuances at teknikal na mga subtleties, na kung saan ay nagkomento sa sa dulo ng aralin.
Function y=f(x) tinawag dumarami sa pagitan (a;b), kung para sa alinman x 1 At x 2 x 1
Graph ng pagtaas ng function
· Pag-andar y = f(x) tinawag bumababa sa pagitan (a;b), kung para sa alinman x 1 At x 2 mula sa pagitan na ito tulad na x 1
Graph ng isang bumababa na function
Ang pagbaba at pagtaas ng mga function nang magkasama ay bumubuo ng isang klase monotonous mga function. Ang mga monotone function ay may ilang mga espesyal na katangian.
Function f(x), monotoniko sa pagitan [ a,b], limitado sa segment na ito;
· ang kabuuan ng pagtaas (pagbaba) ng mga function ay isang pagtaas (pagbaba) ng function;
· kung function f tumataas (bumababa) at n– isang kakaibang numero, tumataas din ito (bumababa);
· Kung f"(x)>0 para sa lahat xО(a,b), pagkatapos ay ang function y=f(x) ay tumataas sa pagitan (a,b);
· Kung f"(x)<0 para sa lahat xО(a,b), pagkatapos ay ang function y=f(x) ay bumababa sa pagitan (a,b);
· Kung f(x) – tuluy-tuloy at monotonikong function sa set X, pagkatapos ay ang equation f(x)=C, Saan SA– maaaring mayroon ang pare-parehong ito X hindi hihigit sa isang solusyon;
· kung nasa domain ng kahulugan ng equation f(x)=g(x) function f(x) tumataas, at ang pag-andar g(x) bumababa, kung gayon ang equation ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang solusyon.
Teorama. (isang sapat na kondisyon para sa monotonicity ng isang function). Kung tuloy-tuloy sa segment [ a, b] function y = f(X) sa bawat punto ng pagitan ( a, b) ay may positibong (negatibong) derivative, pagkatapos ang function na ito ay tumataas (bumababa) sa pagitan [ a, b].
Patunay. Hayaan >0 para sa lahat xО(a,b). Isaalang-alang ang dalawang di-makatwirang halaga x 2 > x 1 , kabilang sa [ a, b]. Ayon sa formula ni Lagrange x 1<с < х 2 . (Sa) > 0 At x 2 – x 1 > 0, samakatuwid > 0, kung saan > , iyon ay, ang function na f(x) ay tumataas sa pagitan [ a, b]. Ang ikalawang bahagi ng teorama ay napatunayan sa katulad na paraan.
Theorem 3. (isang kinakailangang tanda ng pagkakaroon ng extremum ng isang function). Kung ang function na differentiable sa punto c sa=f(X) ay may extremum sa puntong ito, pagkatapos .
Patunay. Hayaan, halimbawa, ang pag-andar sa= f(X) ay may pinakamataas sa punto c. Nangangahulugan ito na mayroong isang butas na kapitbahayan ng punto c tulad na para sa lahat ng mga punto x nasiyahan ang kapitbahayan na ito f(x) < f (c), yan ay f(c) ay ang pinakamalaking halaga ng function sa kapitbahayan na ito. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng teorama ni Fermat.
Ang kaso ng isang minimum sa punto c ay napatunayan sa katulad na paraan.
Magkomento. Maaaring may extremum ang isang function sa isang punto kung saan wala ang derivative nito. Halimbawa, ang isang function ay may pinakamababa sa puntong x = 0, kahit na wala ito. Ang mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay zero o hindi umiiral ay tinatawag na mga kritikal na punto ng function. Gayunpaman, ang function ay walang extremum sa lahat ng mga kritikal na punto. Halimbawa, ang function y = x 3 ay walang extrema, bagaman ang hinango nito =0.
Theorem 4. (isang sapat na tanda ng pagkakaroon ng extremum). Kung tuluy-tuloy na pag-andar y = f(x) ay may derivative sa lahat ng punto ng isang tiyak na agwat na naglalaman ng kritikal na punto C (maliban, marahil, para sa puntong ito mismo), at kung ang derivative, kapag ang argumento ay pumasa mula kaliwa hanggang kanan sa kritikal na punto C, nagbabago ang sign mula sa plus sa minus, pagkatapos ay ang function sa point C ay may maximum, at kapag ang sign ay nagbago mula sa minus hanggang plus, ang minimum.
Patunay. Hayaang maging kritikal na punto ang c at hayaan, halimbawa, kapag ang argumento ay dumaan sa puntong c ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus. Nangangahulugan ito na sa ilang pagitan (c–e; c) tumataas ang function, at sa pagitan (c; c+e)– bumababa (sa e>0). Samakatuwid, sa punto c ang function ay may maximum. Ang kaso ng isang minimum ay napatunayan sa katulad na paraan.
Magkomento. Kung ang derivative ay hindi nagbabago ng sign kapag ang argument ay dumaan sa kritikal na punto, kung gayon ang function sa puntong ito ay walang extremum.
Dahil ang mga kahulugan ng limitasyon at pagpapatuloy para sa isang function ng ilang mga variable ay halos nag-tutugma sa mga kaukulang mga kahulugan para sa isang function ng isang variable, kung gayon para sa mga function ng ilang mga variable ang lahat ng mga katangian ng mga limitasyon at tuluy-tuloy na mga function ay napanatili
©2015-2019 site
Lahat ng karapatan ay pag-aari ng kanilang mga may-akda. Hindi inaangkin ng site na ito ang pagiging may-akda, ngunit nagbibigay libreng paggamit.
Petsa ng paggawa ng page: 2016-02-12
Set ng numero X binibilang simetriko may kaugnayan sa zero, kung para sa alinman xЄ X ibig sabihin - X kabilang din sa set X.
Function y = f(XX, binibilang kahit X xЄ X, f(X) = f(-X).
Para sa pantay na function, ang graph ay simetriko tungkol sa Oy axis.
Function y = f(X), na tinukoy sa set X, binibilang kakaiba, kung matupad sumusunod na mga kondisyon: a) marami X simetriko tungkol sa zero; b) para sa sinuman xЄ X, f(X) = -f(-X).
Para sa isang kakaibang function, ang graph ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
Function sa = f(x), xЄ X, tinawag pana-panahon sa X, kung may numero T (T ≠ 0) (panahon function) na ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
- X - T At X + T mula sa marami X para kahit kanino XЄ X;
- para kahit kanino XЄ X, f(X + T) = f(X - T) = f(X).
Kung sakali T ay ang panahon ng function, pagkatapos ay anumang numero ng form mT, Saan mЄ Z, m≠ 0, ito rin ang panahon ng function na ito. Ang pinakamaliit na positibong panahon ng isang naibigay na function (kung mayroon) ay tinatawag na pangunahing panahon nito.
Kung sakali T ay ang pangunahing panahon ng function, pagkatapos ay upang bumuo ng graph nito, maaari mong i-plot ang bahagi ng graph sa alinman sa mga pagitan ng domain ng pagtukoy ng haba T, at pagkatapos ay gumawa ng parallel na paglipat ng seksyong ito ng graph kasama ang O axis X ni ± T, ±2 T, ....
Function y = f(X), may hangganan sa ibaba sa isang set X A na para sa sinuman XЄ X, A ≤ f(X). Graph ng isang function na naka-bound sa ibaba sa set X, ay ganap na matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya sa = A(ito ay isang pahalang na linya).
Function sa = f(x), may hangganan mula sa itaas sa isang set X(Dapat itong tukuyin sa set na ito), kung mayroong isang numero SA na para sa sinuman XЄ X, f(X) ≤ SA. Ang graph ng isang function na naka-bound sa itaas sa set X ay ganap na matatagpuan sa ibaba ng linya sa = SA(ito ay isang pahalang na linya).
Isinasaalang-alang ang function limitado sa isang set X(dapat itong tukuyin sa hanay na ito) kung ito ay nakatali sa hanay na ito mula sa itaas at ibaba, ibig sabihin, mayroong mga ganoong numero A At SA na para sa sinuman XЄ X nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay A ≤ f(x) ≤ B. Graph ng isang function na naka-bound sa isang set X, ay ganap na matatagpuan sa pagitan ng mga tuwid na linya sa = A At sa = SA(ito ay mga pahalang na linya).
Function sa = f (X), ay itinuturing na bounded sa set X(Dapat itong tukuyin sa set na ito), kung mayroong isang numero SA> 0, na para sa alinman xЄ X, │f(X)│≤ SA.
Function sa = f(X), XЄ X, tinawag tumataas (hindi bumababa) sa isang subset M SA X kapag para sa lahat X 1 at X 2 ng M ganyan X 1 < X 2, patas f(X 1) < f(X 2) (f(X 1) ≤ f(X 2)). O ang function na y ay tinatawag dumarami sa isang set SA, kung ang isang mas malaking halaga ng argumento mula sa set na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.
Function sa = f(X), XЄX, tinawag bumababa (hindi tumataas) sa isang subset M SA X kapag para sa lahat X 1 at X 2 ng M ganyan X 1 < X 2, patas f(X 1) > f(X 2) (f(X 1) ≥ f(X 2)). O function sa ay tinatawag na pagbaba sa set SA, kung ang mas malaking halaga ng argumento mula sa set na ito ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function.
Function sa = f(x), XЄ X, tinawag monotonous sa isang subset M SA X, kung ito ay bumababa (hindi tumataas) o tumataas (hindi bumababa) ng M.
Kung ang function sa = f(X), XЄ X, ay bumababa o tumataas sa isang subset M SA X, pagkatapos ay tinatawag ang naturang function mahigpit na monotonous sa isang set M.
Numero M tinawag ang pinakamalaking halaga ng function y sa set SA, kung ang numerong ito ay ang halaga ng function sa isang tiyak na halaga ng x 0 argumento mula sa setSA, at para sa iba pang mga halaga ng argumento mula sa set K ang halaga ng function na y ay hindi mas malaki kaysa sa numeroM.
Numero m tinawag pinakamababang halaga mga function y sa set SA, kung ang numerong ito ay ang halaga ng function sa isang tiyak na halaga X 0 argumento mula sa set SA, at para sa iba pang mga halaga ng argumentong x mula sa set SA ang halaga ng function na y ay hindi bababa sa numero m.
Mga pangunahing katangian ng isang function , kung saan mas mainam na simulan ang pag-aaral at pagsasaliksik nito, ito ang lugar ng kahulugan at kahalagahan nito. Dapat mong tandaan kung paano inilalarawan ang mga graph mga pag-andar ng elementarya. Pagkatapos lamang ay maaari kang magpatuloy sa pagbuo ng mas kumplikadong mga graph. Ang paksang "Mga Pag-andar" ay may malawak na aplikasyon sa ekonomiya at iba pang larangan ng kaalaman. Pinag-aaralan ang mga function sa buong kurso ng matematika at patuloy na pinag-aaralan sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon . Doon, pinag-aaralan ang mga function gamit ang una at pangalawang derivatives.
Una kaming nagkakilala sa kursong algebra sa ika-7 baitang. Sa pagtingin sa graph ng function, ibinaba namin ang kaukulang impormasyon: kung, gumagalaw sa kahabaan ng graph mula kaliwa hanggang kanan, sabay-sabay kaming lumipat mula sa ibaba hanggang sa itaas (na parang umaakyat sa isang burol), pagkatapos ay idineklara namin ang function sa tumataas (Larawan 124); kung lilipat kami mula sa itaas hanggang sa ibaba (bumababa sa isang burol), pagkatapos ay idineklara namin na ang function ay bumababa (Larawan 125).
Gayunpaman, ang mga mathematician ay hindi masyadong mahilig sa pamamaraang ito ng pag-aaral ng mga katangian ng isang function. Naniniwala sila na ang mga kahulugan ng mga konsepto ay hindi dapat nakabatay sa isang guhit - ang pagguhit ay dapat lamang maglarawan ng isa o ibang katangian ng isang function sa graphics. Magbigay tayo ng mahigpit na mga kahulugan ng mga konsepto ng pagtaas at pagbaba ng mga function.
Kahulugan 1.
Ang function na y = f(x) ay sinasabing tumataas sa pagitan ng X kung, mula sa hindi pagkakapantay-pantay x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
Kahulugan 2. Ang function na y = f(x) ay sinasabing bumababa sa pagitan ng X kung ang hindi pagkakapantay-pantay x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует hindi pagkakapantay-pantay f(x 1) > f(x 2).
Sa pagsasagawa, mas maginhawang gamitin ang mga sumusunod na pormulasyon:
ang isang function ay tumataas kung ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function;
bumababa ang isang function kung ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.
Gamit ang mga kahulugang ito at ang mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero na itinatag sa § 33, magagawa nating patunayan ang mga konklusyon tungkol sa pagtaas o pagbaba ng mga naunang pinag-aralan na function.
1. Linear function y = kx +m
Kung k > 0, ang function ay tataas sa kabuuan (Larawan 126); kung k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Patunay. Hayaan ang f(x) = kx +m. Kung x 1< х 2 и k >Oh, kung gayon, ayon sa pag-aari ng 3 hindi pagkakapantay-pantay ng numero (tingnan ang § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Kaya, mula sa hindi pagkakapantay-pantay x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. linear mga function y = kx+ m.
Kung x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , at ayon sa property 2, mula sa kx 1 > kx 2 sumusunod na ang kx 1 + m> kx 2 + i.e.
Kaya, mula sa hindi pagkakapantay-pantay x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Nangangahulugan ito ng pagbaba sa function na y = f(x), i.e. linear function y = kx + m.
Kung ang isang function ay tumataas (bumababa) sa buong domain ng kahulugan nito, kung gayon maaari itong tawaging pagtaas (pagbaba) nang hindi ipinapahiwatig ang pagitan. Halimbawa, tungkol sa function na y = 2x - 3 masasabi nating tumataas ito sa buong linya ng numero, ngunit masasabi rin natin ito nang mas maikli: y = 2x - 3 - pagtaas
function.
2. Function y = x2
1. Isaalang-alang ang function na y = x 2 sa ray. Kunin natin ang dalawang di-positibong numero na x 1 at x 2 upang ang x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Dahil ang mga numero - x 1 at - x 2 ay hindi negatibo, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng huling hindi pagkakapantay-pantay, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan (-x 1) 2 > (-x 2) 2, i.e. Nangangahulugan ito na f(x 1) >f(x 2).
Kaya, mula sa hindi pagkakapantay-pantay x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).
Samakatuwid, ang function na y = x 2 ay bumababa sa ray (- 00, 0] (Fig. 128).
1. Isaalang-alang ang isang function sa pagitan (0, + 00).
Hayaan ang x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).
Kaya, mula sa hindi pagkakapantay-pantay x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Nangangahulugan ito na bumababa ang function sa open ray (0, + 00) (Fig. 129).
2. Isaalang-alang ang isang function sa pagitan (-oo, 0). Hayaan ang x 1< х 2 , х 1 и х 2 - mga negatibong numero. Pagkatapos - x 1 > - x 2, at ang magkabilang panig ng huling hindi pagkakapantay-pantay ay mga positibong numero, at samakatuwid (ginamit muli namin ang hindi pagkakapantay-pantay na napatunayan sa halimbawa 1 mula sa § 33). Susunod na mayroon kami, kung saan kami nagmula.
Kaya, mula sa hindi pagkakapantay-pantay x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) ibig sabihin. bumababa ang function sa open ray (- 00 , 0)
Karaniwan ang mga terminong "tumataas na pag-andar" at "pagbaba ng pag-andar" ay pinagsama karaniwang pangalan monotonikong function, at ang pag-aaral ng isang function para sa pagtaas at pagbaba ay tinatawag na pag-aaral ng isang function para sa monotonicity.
Solusyon.
1) I-plot natin ang function na y = 2x2 at kunin ang sangay ng parabola na ito sa x< 0 (рис. 130).
2) Bumuo at piliin ang bahagi nito sa segment (Larawan 131).
3) Bumuo tayo ng hyperbola at piliin ang bahagi nito sa open ray (4, + 00) (Fig. 132).
4) Ilarawan natin ang lahat ng tatlong "piraso" sa isang coordinate system - ito ang graph ng function na y = f(x) (Fig. 133).
Basahin natin ang graph ng function na y = f(x).
1. Ang domain ng kahulugan ng function ay ang buong linya ng numero.
2. y = 0 sa x = 0; y > 0 para sa x > 0.
3. Bumababa ang function sa ray (-oo, 0], tumataas sa segment, bumababa sa ray, ay convex paitaas sa segment, convex pababa sa ray)
