Sa artikulong ito matututunan mo kung paano hanapin ang lugar ng isang figure, limitado ng mga linya, gamit ang mga kalkulasyon gamit ang mga integral. Sa unang pagkakataon ay nakatagpo tayo ng pagbabalangkas ng naturang problema sa mataas na paaralan, kapag natapos na natin ang pag-aaral ng mga tiyak na integral at oras na upang simulan ang geometric na interpretasyon ng nakuhang kaalaman sa pagsasanay.
Kaya, kung ano ang kinakailangan upang matagumpay na malutas ang problema ng paghahanap ng lugar ng isang figure gamit ang mga integral:
- Kakayahang gumawa ng karampatang mga guhit;
- Mga kasanayan sa paglutas tiyak na integral sa pamamagitan ng paggamit sikat na formula Newton-Leibniz;
- Ang kakayahang "makita" ang isang mas kumikitang opsyon sa solusyon - i.e. maunawaan kung paano magiging mas maginhawang magsagawa ng pagsasama sa isang kaso o iba pa? Kasama ang x-axis (OX) o ang y-axis (OY)?
- Well, where would we be without correct calculations?) Kabilang dito ang pag-unawa kung paano lutasin ang ibang uri ng integral at tamang numerical calculations.
Algorithm para sa paglutas ng problema sa pagkalkula ng lugar ng isang figure na nalilimitahan ng mga linya:
1. Gumagawa kami ng drawing. Maipapayo na gawin ito sa isang checkered na piraso ng papel, sa isang malaking sukat. Nilagdaan namin ang pangalan ng function na ito gamit ang isang lapis sa itaas ng bawat graph. Ang pagpirma sa mga graph ay ginagawa lamang para sa kaginhawahan ng karagdagang mga kalkulasyon. Ang pagkakaroon ng nakatanggap ng isang graph ng nais na figure, sa karamihan ng mga kaso ay agad na malinaw kung aling mga limitasyon ng pagsasama ang gagamitin. Ito ay kung paano namin malutas ang problema graphical na pamamaraan. Gayunpaman, nangyayari na ang mga halaga ng mga limitasyon ay fractional o hindi makatwiran. Samakatuwid, maaari kang gumawa ng mga karagdagang kalkulasyon, pumunta sa ikalawang hakbang.
2. Kung ang mga limitasyon ng pagsasama ay hindi tahasang tinukoy, pagkatapos ay makikita namin ang mga punto ng intersection ng mga graph sa isa't isa at tingnan kung ang aming graphic na solusyon may analitikal.
3. Susunod, kailangan mong pag-aralan ang pagguhit. Depende sa kung paano nakaayos ang mga function graph, mayroong iba't ibang diskarte upang mahanap ang lugar ng isang pigura. Isaalang-alang natin iba't ibang halimbawa upang mahanap ang lugar ng isang figure gamit ang mga integral.
3.1. Ang pinaka-klasiko at pinakasimpleng bersyon ng problema ay kapag kailangan mong hanapin ang lugar ng isang hubog na trapezoid. Ano ang isang curved trapezoid? Ito ay isang flat figure na limitado ng x-axis (y = 0), diretso x = a, x = b at anumang kurba na tuloy-tuloy sa pagitan mula sa a dati b. Bukod dito, ang figure na ito ay hindi negatibo at matatagpuan hindi sa ibaba ng x-axis. Sa kasong ito, ang lugar ng curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng isang tiyak na integral, na kinakalkula gamit ang Newton-Leibniz formula:
Halimbawa 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Anong mga linya ang nililimitahan ng pigura? Mayroon kaming parabola y = x2 – 3x + 3, na matatagpuan sa itaas ng axis OH, ito ay hindi negatibo, dahil lahat ng punto ng parabola na ito ay may mga positibong halaga. Susunod, binigyan ng mga tuwid na linya x = 1 At x = 3, na tumatakbo parallel sa axis OU, ay ang mga boundary lines ng figure sa kaliwa at kanan. Well y = 0, ito rin ang x-axis, na naglilimita sa figure mula sa ibaba. Ang resultang figure ay may kulay, tulad ng makikita mula sa figure sa kaliwa. SA sa kasong ito, maaari mong simulan kaagad ang paglutas ng problema. Sa harap natin ay isang simpleng halimbawa ng isang hubog na trapezoid, na higit nating lutasin gamit ang formula ng Newton-Leibniz.
3.2. Sa nakaraang talata 3.1, sinuri namin ang kaso kapag ang isang curved trapezoid ay matatagpuan sa itaas ng x-axis. Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang mga kondisyon ng problema ay pareho, maliban na ang function ay nasa ilalim ng x-axis. Ang isang minus ay idinagdag sa karaniwang formula ng Newton-Leibniz. Isasaalang-alang namin kung paano malutas ang naturang problema sa ibaba.
Halimbawa 2 . Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Sa halimbawang ito mayroon kaming parabola y = x2 + 6x + 2, na nagmumula sa axis OH, diretso x = -4, x = -1, y = 0. Dito y = 0 nililimitahan ang nais na pigura mula sa itaas. Direkta x = -4 At x = -1 ito ang mga hangganan kung saan kakalkulahin ang tiyak na integral. Ang prinsipyo ng paglutas ng problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura ay halos ganap na tumutugma sa halimbawa ng numero 1. Ang pagkakaiba lamang ay ang ibinigay na function ay hindi positibo, at patuloy din sa pagitan [-4; -1] . Ano ang ibig mong sabihin na hindi positibo? Tulad ng makikita mula sa figure, ang figure na nasa loob ng ibinigay na x ay may eksklusibong "negatibong" coordinate, na kung ano ang kailangan nating makita at tandaan kapag nilulutas ang problema. Hinahanap namin ang lugar ng figure gamit ang Newton-Leibniz formula, na may minus sign lamang sa simula.
Ang artikulo ay hindi nakumpleto.
A)
Solusyon.
Ang una at pinakamahalagang punto ng desisyon ay ang pagtatayo ng pagguhit.
Gawin natin ang pagguhit:
Ang equation y=0 nagtatakda ng "x" axis;
- x=-2 At x=1 - tuwid, parallel sa axis OU;
- y=x 2 +2 - isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas, na may vertex sa punto (0;2).
Magkomento. Upang makabuo ng isang parabola, sapat na upang mahanap ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes, i.e. paglalagay x=0 hanapin ang intersection sa axis OU at pagpapasya nang naaayon quadratic equation, hanapin ang intersection sa axis Oh .
Ang vertex ng isang parabola ay matatagpuan gamit ang mga formula: 
Maaari ka ring bumuo ng mga linya point by point.
Sa pagitan [-2;1] ang graph ng function y=x 2 +2 matatagpuan sa itaas ng axis baka , Kaya naman:
Sagot: S =9 sq. na yunit
Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at alamin kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, "sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, magkakaroon ng mga 9, tila totoo. Ito ay ganap na malinaw na kung nakuha natin, sabihin nating, ang sagot: 20 parisukat na mga yunit, pagkatapos ay malinaw na ang isang pagkakamali ay ginawa sa isang lugar - 20 mga cell ay malinaw na hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, hindi hihigit sa isang dosena. Kung ang sagot ay negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.
Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curved trapezoid sa ilalim ng ehe Oh?
b) Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y=-e x , x=1 at coordinate axes.
Solusyon.
Gumawa tayo ng drawing.
Kung isang hubog na trapezoid ganap na matatagpuan sa ilalim ng axis Oh , pagkatapos ay matatagpuan ang lugar nito gamit ang formula:
Sagot: S=(e-1) sq. units" 1.72 sq. units
Pansin! Ang dalawang uri ng mga gawain ay hindi dapat malito:
1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon ito ay maaaring negatibo.
2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang minus sa formula na tinalakay lamang.
Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong upper at lower half-plane.
kasama) Hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya y=2x-x 2, y=-x.
Solusyon.
Una kailangan mong kumpletuhin ang pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga punto ng intersection ng mga linya. Hanapin natin ang mga intersection point ng parabola 
at tuwid 
Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analitikal.
Malutas namin ang equation:
Nangangahulugan ito na ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a=0 , itaas na limitasyon ng pagsasama b=3 .
|
Nagtatayo kami binigay na linya: 1. Parabola - vertex sa punto (1;1); axis intersection Oh - puntos (0;0) at (0;2). 2. Straight line - bisector ng 2nd at 4th coordinate angles. At ngayon Pansin! Kung sa segment [ a;b] ilang tuluy-tuloy na pag-andar f(x) mas malaki kaysa o katumbas ng ilan tuluy-tuloy na pag-andar g(x), kung gayon ang lugar ng kaukulang figure ay matatagpuan gamit ang formula: At hindi mahalaga kung saan matatagpuan ang figure - sa itaas ng axis o sa ibaba ng axis, ngunit ang mahalaga ay kung aling graph ang HIGHER (na may kaugnayan sa isa pang graph) at kung alin ang nasa ibaba. Sa halimbawang isinasaalang-alang, malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa |
.Maaari kang bumuo ng mga linya ng punto sa punto, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay nagiging malinaw "sa kanilang sarili." Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon ay kailangan pa ring gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang detalyadong konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran).
Ang nais na pigura ay nililimitahan ng isang parabola sa itaas at isang tuwid na linya sa ibaba.
Sa segment 
, ayon sa kaukulang formula:
Sagot: S =4.5 sq. na yunit
Sa katunayan, upang mahanap ang lugar ng isang pigura, hindi mo kailangan ng ganoong karaming kaalaman sa hindi tiyak at tiyak na integral. Ang gawain na "kalkulahin ang lugar gamit ang isang tiyak na integral" ay palaging nagsasangkot ng pagbuo ng isang guhit, marami pang iba paksang isyu ang iyong magiging kaalaman at kasanayan sa pagguhit. Kaugnay nito, kapaki-pakinabang na i-refresh ang iyong memorya ng mga graph ng pangunahing mga pag-andar ng elementarya, at, sa pinakamababa, makakagawa ng isang tuwid na linya at isang hyperbola.
Ang curved trapezoid ay isang flat figure na nililimitahan ng isang axis, straight lines, at ang graph ng isang function na tuloy-tuloy sa isang segment na hindi nagbabago ng sign sa interval na ito. Hayaang matatagpuan ang figure na ito hindi mas mababa x-axis:
Pagkatapos ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay ayon sa bilang na katumbas ng isang tiyak na integral. Ang anumang tiyak na integral (na umiiral) ay may napakahusay geometriko na kahulugan.
Mula sa punto ng view ng geometry, ang tiyak na integral ay AREA.
Yan ay, isang tiyak na integral (kung mayroon) geometrically tumutugma sa lugar ng isang tiyak na figure. Halimbawa, isaalang-alang ang tiyak na integral. Ang integrand ay tumutukoy sa isang curve sa eroplano na matatagpuan sa itaas ng axis (ang mga nais ay maaaring gumawa ng isang pagguhit), at ang tiyak na integral mismo ay ayon sa numero na katumbas ng lugar ng kaukulang curvilinear trapezoid.
Halimbawa 1
Ito ay isang tipikal na pahayag ng pagtatalaga. Ang una at pinakamahalagang punto ng desisyon ay ang pagtatayo ng pagguhit. Bukod dito, ang pagguhit ay dapat na itayo TAMA.
Kapag gumagawa ng isang pagguhit, inirerekumenda ko ang sumusunod na pagkakasunud-sunod: sa simula ito ay mas mahusay na bumuo ng lahat ng mga tuwid na linya (kung mayroon sila) at lamang Pagkatapos- mga parabola, hyperbola, mga graph ng iba pang mga function. Ito ay mas kumikita upang bumuo ng mga graph ng mga function punto sa punto.
Sa problemang ito, maaaring magmukhang ganito ang solusyon.
Iguhit natin ang pagguhit (tandaan na ang equation ay tumutukoy sa axis):
Sa segment, matatagpuan ang graph ng function sa itaas ng axis, Kaya naman:
Sagot:
Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at alamin kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, "sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, magkakaroon ng mga 9, tila totoo. Ito ay ganap na malinaw na kung nakuha natin, sabihin nating, ang sagot: 20 square units, kung gayon ito ay malinaw na ang isang pagkakamali ay ginawa sa isang lugar - 20 mga cell malinaw naman ay hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, sa karamihan ng isang dosena. Kung ang sagot ay negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.
Halimbawa 3
Kalkulahin ang lugar ng figure na nakatali ng mga linya at coordinate axes.
Solusyon: Gumawa tayo ng drawing:
Kung matatagpuan ang isang hubog na trapezoid sa ilalim ng ehe(o hindi bababa sa hindi mas mataas ibinigay na axis), kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan gamit ang formula:
Sa kasong ito:
Pansin! Ang dalawang uri ng mga gawain ay hindi dapat malito:
1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon ito ay maaaring negatibo.
2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang minus sa formula na tinalakay lamang.
Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong itaas at mas mababang kalahating eroplano, at samakatuwid, mula sa pinakasimpleng mga problema sa paaralan ay nagpapatuloy tayo sa mas makabuluhang mga halimbawa.
Halimbawa 4
Hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya, .
Solusyon: Una kailangan mong kumpletuhin ang pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga punto ng intersection ng mga linya. Hanapin natin ang mga intersection point ng parabola at ang tuwid na linya. Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analitikal. Malutas namin ang equation:
Nangangahulugan ito na ang mas mababang limitasyon ng pagsasama ay , ang itaas na limitasyon ng pagsasama ay .
Kung maaari, mas mainam na huwag gamitin ang pamamaraang ito..
Ito ay higit na kumikita at mas mabilis na bumuo ng mga linya ng punto sa punto, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay nagiging malinaw "sa kanilang sarili." Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon ay kailangan pa ring gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang detalyadong konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran). At isasaalang-alang din natin ang gayong halimbawa.
Bumalik tayo sa ating gawain: mas makatwiran na gumawa muna ng isang tuwid na linya at pagkatapos ay isang parabola. Gawin natin ang pagguhit:
At ngayon ang gumaganang formula: Kung mayroong ilang tuluy-tuloy na pag-andar sa segment mas malaki kaysa sa o katumbas ng ilang tuluy-tuloy na pag-andar , pagkatapos ay ang lugar ng figure na nalilimitahan ng mga graph ng mga function na ito at ang mga linya , , ay matatagpuan gamit ang formula: 
Dito hindi mo na kailangang isipin kung saan matatagpuan ang figure - sa itaas ng axis o sa ibaba ng axis, at, halos nagsasalita, mahalaga kung aling graph ang MAS MATAAS(kaugnay sa isa pang graph), at alin ang nasa IBABA.
Sa halimbawang isinasaalang-alang, malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa
Ang nakumpletong solusyon ay maaaring magmukhang ganito:
Ang nais na pigura ay nililimitahan ng isang parabola sa itaas at isang tuwid na linya sa ibaba.
Sa segment, ayon sa kaukulang formula:
Sagot:
Halimbawa 4
Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya , , , .
Solusyon: Una, gumawa tayo ng drawing:
Ang pigura na ang lugar na kailangan nating hanapin ay may kulay na asul(tingnang mabuti ang kondisyon - kung paano limitado ang figure!). Ngunit sa pagsasagawa, dahil sa kawalan ng pansin, madalas na lumitaw ang isang "glitch" na kailangan mong hanapin ang lugar ng isang figure na may kulay. berde!
Ang halimbawang ito ay kapaki-pakinabang din dahil kinakalkula nito ang lugar ng isang figure gamit ang dalawang tiyak na integral.
Talaga:
1) Sa segment sa itaas ng axis mayroong isang graph ng isang tuwid na linya;
2) Sa segment sa itaas ng axis mayroong isang graph ng isang hyperbola.
Malinaw na ang mga lugar ay maaaring (at dapat) idagdag, samakatuwid:
Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang mga aplikasyon ng integral calculus. Sa araling ito susuriin natin ang tipikal at pinakakaraniwang gawain pagkalkula ng lugar ng isang figure ng eroplano gamit ang isang tiyak na integral. Sa wakas, hayaan ang lahat ng naghahanap ng kahulugan sa mas mataas na matematika na mahanap ito. Hindi mo malalaman. Kailangan nating ilapit ito sa buhay lugar ng cottage ng bansa elementarya function at hanapin ang lugar nito gamit ang isang tiyak na integral.
Upang matagumpay na makabisado ang materyal, dapat mong:
1) Unawain ang hindi tiyak na integral kahit man lang sa isang intermediate na antas. Kaya, dapat basahin muna ng mga dummies ang aralin Hindi.
2) Magagawang ilapat ang Newton-Leibniz formula at kalkulahin ang tiyak na integral. Maaari kang magtatag ng mainit na pakikipagkaibigan sa ilang mga integral sa pahina Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon. Ang gawain na "kalkulahin ang lugar gamit ang isang tiyak na integral" ay palaging nagsasangkot ng pagbuo ng isang guhit, kaya ang iyong kaalaman at kasanayan sa pagguhit ay magiging isang nauugnay na isyu. Sa pinakamababa, kailangan mong makabuo ng isang tuwid na linya, parabola at hyperbola.
Magsimula tayo sa isang hubog na trapezoid. Ang curved trapezoid ay isang flat figure na nililimitahan ng graph ng ilang function y = f(x), aksis OX at mga linya x = a; x = b.
Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay ayon sa bilang na katumbas ng isang tiyak na integral
Anumang tiyak na integral (na umiiral) ay may napakagandang geometric na kahulugan. Sa aralin Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon sinabi namin na ang isang tiyak na integral ay isang numero. At ngayon ay oras na para magpahayag ng isa pa kapaki-pakinabang na katotohanan. Mula sa punto ng view ng geometry, ang tiyak na integral ay AREA. Yan ay, ang tiyak na integral (kung mayroon) geometrically tumutugma sa lugar ng isang tiyak na figure. Isaalang-alang ang tiyak na integral
Integrand
ay tumutukoy sa isang kurba sa eroplano (maaari itong iguhit kung ninanais), at ang tiyak na integral mismo ay ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng kaukulang curvilinear trapezoid.
Halimbawa 1
, , , .
Ito ay isang tipikal na pahayag ng pagtatalaga. Ang pinakamahalagang punto solusyon - pagguhit. Bukod dito, ang pagguhit ay dapat na itayo TAMA.
Kapag gumagawa ng isang pagguhit, inirerekumenda ko ang sumusunod na pagkakasunud-sunod: sa simula ito ay mas mahusay na bumuo ng lahat ng mga tuwid na linya (kung mayroon sila) at lamang Pagkatapos– mga parabola, hyperbola, mga graph ng iba pang mga function. Ang point-by-point construction technique ay matatagpuan sa reference material Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar. Doon ay makakahanap ka rin ng napakakapaki-pakinabang na materyal para sa aming aralin - kung paano mabilis na bumuo ng isang parabola.
Sa problemang ito, maaaring magmukhang ganito ang solusyon.
Gawin natin ang pagguhit (tandaan na ang equation y= 0 ay tumutukoy sa axis OX):
Hindi namin lilim ang hubog na trapezoid dito malinaw kung anong lugar ang pinag-uusapan. Ang solusyon ay nagpapatuloy tulad nito:
Sa segment [-2; 1] function graph y = x 2 + 2 matatagpuan sa itaas ng axisOX, Kaya naman:
Sagot: .
Sino ang nahihirapan sa pagkalkula ng tiyak na integral at paglalapat ng Newton-Leibniz formula
,
sumangguni sa panayam Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon. Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at alamin kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit "sa pamamagitan ng mata" - mabuti, magkakaroon ng mga 9, tila totoo. Ito ay ganap na malinaw na kung nakuha natin, sabihin nating, ang sagot: 20 square units, kung gayon ito ay malinaw na ang isang pagkakamali ay ginawa sa isang lugar - 20 mga cell malinaw naman ay hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, hindi hihigit sa isang dosena. Kung ang sagot ay negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.
Halimbawa 2
Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya xy = 4, x = 2, x= 4 at axis OX.
Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Kumpletong solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.
Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curved trapezoid sa ilalim ng eheOX?
Halimbawa 3
Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y = e-x, x= 1 at coordinate axes.
Solusyon: Gumawa tayo ng drawing:
Kung isang hubog na trapezoid ganap na matatagpuan sa ilalim ng axis OX , pagkatapos ay matatagpuan ang lugar nito gamit ang formula:
Sa kasong ito:
.
Pansin! Ang dalawang uri ng mga gawain ay hindi dapat malito:
1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon ito ay maaaring negatibo.
2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang minus sa formula na tinalakay lamang.
Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong itaas at mas mababang kalahating eroplano, at samakatuwid, mula sa pinakasimpleng mga problema sa paaralan ay nagpapatuloy tayo sa mas makabuluhang mga halimbawa.
Halimbawa 4
Hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya y = 2x – x 2 , y = -x.
Solusyon: Una kailangan mong gumawa ng drawing. Kapag gumagawa ng isang pagguhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga punto ng intersection ng mga linya. Hanapin natin ang mga intersection point ng parabola y = 2x – x 2 at tuwid y = -x. Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analitikal. Malutas namin ang equation:
Nangangahulugan ito na ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a= 0, itaas na limitasyon ng pagsasama b= 3. Kadalasan ay mas kumikita at mas mabilis ang pagbuo ng mga linya ng punto sa punto, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay nagiging malinaw "sa kanilang sarili." Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon kung minsan ay kailangang gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang detalyadong konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran). Bumalik tayo sa ating gawain: mas makatwiran na gumawa muna ng isang tuwid na linya at pagkatapos ay isang parabola. Gawin natin ang pagguhit:
Ulitin natin na kapag gumagawa ng pointwise, ang mga limitasyon ng pagsasama ay kadalasang tinutukoy "awtomatikong".
At ngayon ang gumaganang formula:
Kung sa segment [ a; b] ilang tuluy-tuloy na pag-andar f(x) mas malaki kaysa sa o katumbas ng ilang tuluy-tuloy na pag-andar g(x), kung gayon ang lugar ng kaukulang figure ay matatagpuan gamit ang formula:
Dito hindi mo na kailangang isipin kung saan matatagpuan ang figure - sa itaas ng axis o sa ibaba ng axis, ngunit mahalaga kung aling graph ang MAS MATAAS(kaugnay sa isa pang graph), at alin ang nasa IBABA.
Sa halimbawang isinasaalang-alang, malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid mula sa 2 x – x 2 ay dapat ibawas - x.
Ang nakumpletong solusyon ay maaaring magmukhang ganito:
Ang nais na pigura ay limitado ng isang parabola y = 2x – x 2 sa itaas at tuwid y = -x sa ibaba.
Sa segment 2 x – x 2 ≥ -x. Ayon sa kaukulang formula:
Sagot: .
Sa katunayan, ang formula ng paaralan para sa lugar ng isang curved trapezoid sa lower half-plane (tingnan ang halimbawa No. 3) ay espesyal na kaso mga formula
.
Dahil ang axis OX ibinigay ng equation y= 0, at ang graph ng function g(x) na matatagpuan sa ibaba ng axis OX, Iyon
.
At ngayon ay isang pares ng mga halimbawa para sa iyong sariling solusyon
Halimbawa 5
Halimbawa 6
Hanapin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya
Kapag nilulutas ang mga problema na kinasasangkutan ng pagkalkula ng lugar gamit ang isang tiyak na integral, minsan ay nangyayari ang isang nakakatawang insidente. Tama ang pagguhit, tama ang mga kalkulasyon, ngunit dahil sa kawalang-ingat... Ang lugar ng maling figure ay natagpuan.
Halimbawa 7
Gumawa muna tayo ng drawing:
Ang pigura na ang lugar na kailangan nating hanapin ay may kulay na asul(tingnang mabuti ang kondisyon - kung paano limitado ang figure!). Ngunit sa pagsasagawa, dahil sa kawalan ng pansin, ang mga tao ay madalas na nagpasya na kailangan nilang hanapin ang lugar ng figure na may kulay na berde!
Ang halimbawang ito ay kapaki-pakinabang din dahil kinakalkula nito ang lugar ng isang figure gamit ang dalawang tiyak na integral. Talaga:
1) Sa segment [-1; 1] sa itaas ng axis OX ang graph ay matatagpuan tuwid y = x+1;
2) Sa isang segment sa itaas ng axis OX ang graph ng isang hyperbola ay matatagpuan y = (2/x).
Malinaw na ang mga lugar ay maaaring (at dapat) idagdag, samakatuwid:
Sagot:
Halimbawa 8
Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya
Ipakita natin ang mga equation sa anyong "paaralan".
at gumawa ng point-by-point drawing:
Mula sa pagguhit ay malinaw na ang aming itaas na limitasyon ay "mabuti": b = 1.
Ngunit ano ang mas mababang limitasyon?! Ito ay malinaw na ito ay hindi isang integer, ngunit ano ito?
maaaring, a=(-1/3)? Ngunit nasaan ang garantiya na ang pagguhit ay ginawa nang may perpektong katumpakan, ito ay maaaring lumabas na iyon a=(-1/4). Paano kung mali ang pagkakagawa namin ng graph?
Sa ganitong mga kaso, kailangan mong gumugol ng karagdagang oras at linawin ang mga limitasyon ng pagsasama nang analytical.
Hanapin natin ang mga intersection point ng mga graph
Upang gawin ito, lutasin namin ang equation:
.
Kaya naman, a=(-1/3).
Ang karagdagang solusyon ay walang kuwenta. Ang pangunahing bagay ay hindi malito sa mga pamalit at palatandaan. Ang mga kalkulasyon dito ay hindi ang pinakasimpleng. Sa segment
, 
,
ayon sa kaukulang formula:
Sagot: 
Upang tapusin ang aralin, tingnan natin ang dalawa pang mahihirap na gawain.
Halimbawa 9
Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya
Solusyon: Ilarawan natin ang figure na ito sa drawing.
Upang gumuhit ng point-by-point drawing na kailangan mong malaman hitsura sinusoids. Sa pangkalahatan, kapaki-pakinabang na malaman ang mga graph ng lahat ng elementarya na pag-andar, pati na rin ang ilang mga halaga ng sine. Matatagpuan ang mga ito sa talahanayan ng mga halaga trigonometriko function . Sa ilang mga kaso (halimbawa, sa kasong ito), posible na bumuo ng isang eskematiko na pagguhit, kung saan ang mga graph at mga limitasyon ng pagsasama ay dapat na sa panimula ay wastong ipinapakita.
Walang mga problema sa mga limitasyon ng pagsasama dito;
– Ang "x" ay nagbabago mula sa zero hanggang sa "pi". Gumawa tayo ng karagdagang desisyon:
Sa isang segment, ang graph ng isang function y= kasalanan 3 x matatagpuan sa itaas ng axis OX, Kaya naman:
(1) Makikita mo kung paano pinagsama-sama ang mga sine at cosine sa mga kakaibang kapangyarihan sa aralin Integrals ng trigonometriko function. Kinurot namin ang isang sinus.
(2) Ginagamit namin ang pangunahing trigonometric identity sa form
(3) Baguhin natin ang variable t=cos x, pagkatapos: ay matatagpuan sa itaas ng axis, samakatuwid:
.
.
Tandaan: tandaan kung paano kinukuha ang integral ng tangent cubed;
.
Problema 1(tungkol sa pagkalkula ng lugar ng isang hubog na trapezoid).
Sa Cartesian rectangular coordinate system xOy, binibigyan ang isang figure (tingnan ang figure) na nililimitahan ng x axis, mga tuwid na linya x = a, x = b (a ng isang curvilinear trapezoid. Kinakailangang kalkulahin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid.
Solusyon. Binibigyan tayo ng Geometry ng mga recipe para sa pagkalkula ng mga lugar ng polygons at ilang bahagi ng isang bilog (sektor, segment). Gamit ang mga geometric na pagsasaalang-alang, makakahanap lamang tayo ng tinatayang halaga ng kinakailangang lugar, na nangangatuwiran tulad ng sumusunod.
Hatiin natin ang segment [a; b] (base ng isang curved trapezoid) sa n pantay na bahagi; ang partisyon na ito ay isinasagawa gamit ang mga puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Gumuhit tayo ng mga tuwid na linya sa mga puntong ito na kahanay sa y-axis. Pagkatapos ang ibinigay na curvilinear trapezoid ay hahatiin sa n bahagi, sa n makitid na hanay. Ang lugar ng buong trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga haligi.
Isaalang-alang natin ang k-th column nang hiwalay, i.e. isang hubog na trapezoid na ang base ay isang segment. Palitan natin ito ng isang parihaba na may parehong base at taas na katumbas ng f(x k) (tingnan ang figure). Ang lugar ng rectangle ay katumbas ng \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kung saan ang \(\Delta x_k \) ay ang haba ng segment; Natural na isaalang-alang ang nagresultang produkto bilang isang tinatayang halaga ng lugar ng kth column. 
Kung gagawin natin ngayon ang parehong sa lahat ng iba pang mga column, darating tayo sa sumusunod na resulta: ang lugar S ng isang naibigay na curvilinear trapezoid ay humigit-kumulang katumbas ng lugar S n ng isang stepped figure na binubuo ng n rectangles (tingnan ang figure):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Dito, para sa kapakanan ng pagkakapareho ng notasyon, ipinapalagay namin na a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - haba ng segment, \(\Delta x_1 \) - haba ng segment, atbp.; sa kasong ito, tulad ng napagkasunduan namin sa itaas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Kaya, \(S \approx S_n \), at ang tinatayang pagkakapantay-pantay na ito ay mas tumpak, mas malaki ang n.
Sa pamamagitan ng kahulugan, pinaniniwalaan na ang kinakailangang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay katumbas ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problema 2(tungkol sa paglipat ng isang punto)
Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya. Ang pag-asa ng bilis sa oras ay ipinahayag ng formula v = v(t). Hanapin ang paggalaw ng isang punto sa loob ng isang yugto ng panahon [a; b].
Solusyon. Kung ang kilusan ay pare-pareho, kung gayon ang problema ay malulutas nang napakasimple: s = vt, i.e. s = v(b-a). Para sa hindi pantay na paggalaw, kailangan mong gumamit ng parehong mga ideya kung saan ibinatay ang solusyon sa nakaraang problema.
1) Hatiin ang pagitan ng oras [a; b] sa n pantay na bahagi.
2) Isaalang-alang ang isang yugto ng panahon at ipagpalagay na sa panahong ito ang bilis ay pare-pareho, katulad ng sa oras t k. Kaya ipinapalagay namin na v = v(t k).
3) Hanapin natin ang tinatayang halaga ng paggalaw ng punto sa loob ng isang yugto ng panahon;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Hanapin ang tinatayang halaga ng displacement s:
\(s \approx S_n \) kung saan
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Ang kinakailangang displacement ay katumbas ng limitasyon ng sequence (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
I-summarize natin. Mga solusyon iba't ibang gawain nabawasan sa parehong modelo ng matematika. Maraming mga problema mula sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya ang humahantong sa parehong modelo sa proseso ng solusyon. Kaya ito matematikal na modelo kailangang espesyal na pag-aralan.
Ang konsepto ng isang tiyak na integral
Magbigay tayo ng mathematical na paglalarawan ng modelo na binuo sa tatlong itinuturing na problema para sa function na y = f(x), tuluy-tuloy (ngunit hindi kinakailangang hindi negatibo, gaya ng ipinapalagay sa mga isinasaalang-alang na problema) sa pagitan [a; b]:
1) hatiin ang segment [a; b] sa n pantay na bahagi;
2) buuin ang kabuuan $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) kalkulahin ang $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
alam ko pagsusuri sa matematika napatunayan na ang limitasyong ito ay umiiral sa kaso ng tuluy-tuloy (o putol-putol na tuloy-tuloy) na function. Siya ay tinatawag isang tiyak na integral ng function na y = f(x) sa ibabaw ng segment [a; b] at tinukoy bilang sumusunod:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Ang mga numero a at b ay tinatawag na mga limitasyon ng pagsasama (mas mababa at itaas, ayon sa pagkakabanggit).
Bumalik tayo sa mga gawaing tinalakay sa itaas. Ang kahulugan ng lugar na ibinigay sa Problema 1 ay maaari na ngayong muling isulat bilang mga sumusunod:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
dito S ay ang lugar ng curvilinear trapezoid na ipinapakita sa figure sa itaas. Ito ay geometric na kahulugan ng isang tiyak na integral.
Ang kahulugan ng displacement s ng isang punto na gumagalaw sa isang tuwid na linya na may bilis na v = v(t) sa tagal ng panahon mula t = a hanggang t = b, na ibinigay sa Problema 2, ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:
Newton - Leibniz formula
Una, sagutin natin ang tanong: ano ang koneksyon sa pagitan ng tiyak na integral at ng antiderivative?
Ang sagot ay matatagpuan sa Problema 2. Sa isang banda, ang displacement s ng isang punto na gumagalaw sa isang tuwid na linya na may bilis na v = v(t) sa tagal ng panahon mula t = a hanggang t = b ay kinakalkula ng ang formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Sa kabilang banda, ang coordinate ng isang gumagalaw na punto ay isang antiderivative para sa bilis - sabihin natin itong s(t); nangangahulugan ito na ang displacement s ay ipinahayag ng formula na s = s(b) - s(a). Bilang resulta, nakukuha namin ang:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kung saan ang s(t) ay ang antiderivative ng v(t).
Ang sumusunod na teorama ay napatunayan sa kurso ng pagsusuri sa matematika.
Teorama. Kung ang function na y = f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [a; b], kung gayon ang formula ay wasto
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kung saan ang F(x) ay ang antiderivative ng f(x).
Ang ibinigay na pormula ay karaniwang tinatawag Formula ng Newton-Leibniz bilang parangal sa Ingles na pisiko na si Isaac Newton (1643-1727) at ang pilosopong Aleman na si Gottfried Leibniz (1646-1716), na tumanggap nito nang nakapag-iisa sa isa't isa at halos sabay-sabay.
Sa pagsasagawa, sa halip na isulat ang F(b) - F(a), ginagamit nila ang notation na \(\left. F(x)\right|_a^b \) (tinatawag itong minsan dobleng pagpapalit) at, nang naaayon, muling isulat ang formula ng Newton-Leibniz sa form na ito:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kaliwa. F(x)\kanan|_a^b \)
Kapag kinakalkula ang isang tiyak na integral, hanapin muna ang antiderivative, at pagkatapos ay magsagawa ng dobleng pagpapalit.
Batay sa formula ng Newton-Leibniz, makakakuha tayo ng dalawang katangian ng tiyak na integral.
Ari-arian 1. Integral ng kabuuan ng mga function katumbas ng kabuuan integral:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Ari-arian 2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa integral sign:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Kinakalkula ang mga lugar ng mga figure ng eroplano gamit ang isang tiyak na integral
Gamit ang integral, maaari mong kalkulahin ang mga lugar hindi lamang ng mga curvilinear trapezoid, kundi pati na rin ng mga flat figure nang higit pa kumplikadong uri, halimbawa ang ipinapakita sa figure. Ang figure P ay nililimitahan ng mga tuwid na linya x = a, x = b at mga graph ng tuluy-tuloy na function y = f(x), y = g(x), at sa segment [a; b] ang hindi pagkakapantay-pantay na \(g(x) \leq f(x) \) ay hawak. Upang kalkulahin ang lugar S ng naturang figure, magpapatuloy kami bilang mga sumusunod:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Kaya, ang lugar S ng isang figure na nililimitahan ng mga tuwid na linya x = a, x = b at mga graph ng mga function y = f(x), y = g(x), tuloy-tuloy sa segment at tulad na para sa anumang x mula sa segment [a; b] ang hindi pagkakapantay-pantay \(g(x) \leq f(x) \) ay nasiyahan, na kinakalkula ng formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
