Mula sa artikulo sa itaas maaari mong malaman kung ano ang limitasyon at kung ano ang kinakain nito - ito ay napakahalaga. Bakit? Maaaring hindi mo maintindihan kung ano ang mga determinant at matagumpay na nalutas ang mga ito, maaaring hindi mo maintindihan kung ano ang derivative at hanapin ang mga ito na may "A". Ngunit kung hindi mo naiintindihan kung ano ang limitasyon, kung gayon ang paglutas ng mga praktikal na gawain ay magiging mahirap. Magandang ideya din na gawing pamilyar ang iyong sarili sa mga sample na solusyon at sa aking mga rekomendasyon sa disenyo. Ang lahat ng impormasyon ay ipinakita sa isang simple at naa-access na form.
At para sa mga layunin ng araling ito kakailanganin natin ang mga sumusunod na materyales sa pagtuturo: Kahanga-hangang mga Limitasyon At Mga formula ng trigonometric. Matatagpuan ang mga ito sa pahina. Pinakamainam na i-print ang mga manual - ito ay mas maginhawa, at bukod pa, madalas mong kailangang sumangguni sa mga ito offline.
Ano ang espesyal tungkol sa mga kapansin-pansin na limitasyon? Ang kahanga-hangang bagay tungkol sa mga limitasyong ito ay napatunayan ang mga ito ng pinakadakilang kaisipan ng mga sikat na matematiko, at ang nagpapasalamat na mga inapo ay hindi kailangang magdusa mula sa mga kahila-hilakbot na limitasyon na may pagtatambak. trigonometriko function, logarithms, kapangyarihan. Iyon ay, kapag hinahanap ang mga limitasyon, gagamitin namin ang mga handa na resulta na napatunayan nang theoretically.
Mayroong ilang magagandang limitasyon, ngunit sa pagsasagawa, ang mga part-time na estudyante sa 95% ng mga kaso ay may dalawang magagandang limitasyon: Una kahanga-hangang limitasyon , Pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Dapat pansinin na ang mga ito ay itinatag na mga pangalan sa kasaysayan, at kapag, halimbawa, pinag-uusapan nila ang tungkol sa "unang kapansin-pansin na limitasyon," ang ibig nilang sabihin ay isang napaka-tiyak na bagay, at hindi ilang random na limitasyon na kinuha mula sa kisame.
Ang unang kahanga-hangang limitasyon
Isaalang-alang ang sumusunod na limitasyon: (sa halip na ang katutubong titik na "siya" gagamitin ko ang letrang Griyego na "alpha", ito ay mas maginhawa mula sa punto ng view ng paglalahad ng materyal).
Ayon sa aming panuntunan para sa paghahanap ng mga limitasyon (tingnan ang artikulo Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon) sinusubukan naming palitan ang zero sa function: sa numerator nakakakuha kami ng zero (ang sine ng zero ay zero), at sa denominator, malinaw naman, mayroon ding zero. Kaya, tayo ay nahaharap sa isang kawalan ng katiyakan ng anyo, na, sa kabutihang palad, ay hindi kailangang ibunyag. alam ko pagsusuri sa matematika, napatunayan na:
Ang mathematical fact na ito ay tinatawag Ang unang kahanga-hangang limitasyon. Hindi ako magbibigay ng analytical na patunay ng limitasyon, ngunit narito ito: geometriko na kahulugan titingnan natin ito sa klase tungkol sa infinitesimal function.
Madalas sa mga praktikal na gawain Ang mga pag-andar ay maaaring ayusin nang iba, hindi ito nagbabago ng anuman:
- ang parehong unang kahanga-hangang limitasyon.
Ngunit hindi mo maaaring muling ayusin ang numerator at denominator sa iyong sarili! Kung ang isang limitasyon ay ibinigay sa form , pagkatapos ay dapat itong malutas sa parehong anyo, nang walang muling pagsasaayos ng anuman.
Sa pagsasagawa, hindi lamang isang variable, kundi pati na rin ang isang elementarya na function ay maaaring kumilos bilang isang parameter, kumplikadong pag-andar. Ang tanging mahalagang bagay ay ito ay may posibilidad na maging zero.
Mga halimbawa:
, , 
, 
Dito,,, 
, at lahat ay mabuti - ang unang kahanga-hangang limitasyon ay naaangkop.
Ngunit ang sumusunod na entry ay maling pananampalataya:
Bakit? Dahil ang polynomial ay hindi may posibilidad na zero, ito ay may posibilidad na lima.
Sa pamamagitan ng paraan, isang mabilis na tanong: ano ang limitasyon? 
? Ang sagot ay makikita sa katapusan ng aralin.
Sa pagsasagawa, hindi lahat ay napakakinis na halos hindi inaalok ang isang mag-aaral upang malutas ang isang libreng limitasyon at makakuha ng madaling pass. Hmmm... Sinusulat ko ang mga linyang ito, at isang napakahalagang pag-iisip ang pumasok sa isip ko - kung tutuusin, mas mabuting tandaan ang "libre" na mga depinisyon at pormula sa matematika sa pamamagitan ng puso, makakapagbigay ito ng napakahalagang tulong sa pagsusulit, kapag ang tanong ay magpasya sa pagitan ng "dalawa" at "tatlo", at nagpasya ang guro na tanungin ang mag-aaral ng ilang simpleng tanong o alok upang malutas pinakasimpleng halimbawa("baka alam niya pa kung ano?!").
Magpatuloy tayo upang isaalang-alang praktikal na mga halimbawa:
Halimbawa 1
Hanapin ang limitasyon
Kung mapapansin natin ang isang sine sa limitasyon, ito ay dapat na agad na humantong sa amin upang isipin ang posibilidad ng paglalapat ng unang kapansin-pansin na limitasyon.
Una, sinusubukan naming palitan ang 0 sa expression sa ilalim ng limit sign (ginagawa namin ito sa isip o sa isang draft):
Kaya mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form siguraduhing ipahiwatig sa paggawa ng desisyon. Ang expression sa ilalim ng limit sign ay katulad ng unang kahanga-hangang limitasyon, ngunit hindi ito eksakto, ito ay nasa ilalim ng sine, ngunit sa denominator.
Sa ganitong mga kaso, kailangan nating ayusin ang unang kapansin-pansing limitasyon sa ating sarili, gamit ang isang artipisyal na pamamaraan. Ang linya ng pangangatwiran ay maaaring ang mga sumusunod: "sa ilalim ng sine na mayroon tayo, na nangangahulugan na kailangan din nating makapasok sa denominator."
At ito ay ginagawa nang napakasimple:
Iyon ay, ang denominator ay artipisyal na pinarami ng sa kasong ito ng 7 at nahahati sa parehong pito. Ngayon ang aming pag-record ay nakuha sa isang pamilyar na hugis.
Kapag ang gawain ay iginuhit sa pamamagitan ng kamay, ipinapayong markahan ang unang kapansin-pansing limitasyon gamit ang isang simpleng lapis:
Anong nangyari? Sa katunayan, ang aming bilog na ekspresyon ay naging isang yunit at nawala sa trabaho: 
Ngayon ang natitira na lang ay alisin ang tatlong palapag na bahagi: 
Sino ang nakalimutan ang pagpapasimple ng mga multi-level na fraction, paki-refresh ang materyal sa reference book Mainit na mga formula para sa kursong matematika sa paaralan .
handa na. Panghuling sagot:
Kung hindi mo nais na gumamit ng mga marka ng lapis, ang solusyon ay maaaring isulat tulad nito:
“
Gamitin natin ang unang kahanga-hangang limitasyon 
“
Halimbawa 2
Hanapin ang limitasyon
Muli nating nakikita ang isang fraction at isang sine sa limitasyon. Subukan nating palitan ang zero sa numerator at denominator:
Sa katunayan, mayroon tayong kawalan ng katiyakan at, samakatuwid, kailangan nating subukang ayusin ang unang kamangha-manghang limitasyon. Sa aralin Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon isinaalang-alang namin ang panuntunan na kapag mayroon kaming kawalan ng katiyakan, kailangan naming i-factor ang numerator at denominator. Ito ay pareho, kakatawanin namin ang mga degree bilang isang produkto (mga multiplier):
Katulad ng nakaraang halimbawa, gumuhit kami ng lapis sa paligid ng mga kahanga-hangang limitasyon (narito mayroong dalawa sa kanila), at ipinapahiwatig na sila ay may posibilidad na magkaisa:
Sa totoo lang, handa na ang sagot:
Sa mga sumusunod na halimbawa, hindi ako gagawa ng sining sa Paint, sa palagay ko kung paano gumawa ng tamang solusyon sa isang kuwaderno - naiintindihan mo na.
Halimbawa 3
Hanapin ang limitasyon
Pinapalitan namin ang zero sa expression sa ilalim ng limit sign:
Isang kawalan ng katiyakan ang nakuha na kailangang ibunyag. Kung mayroong isang tangent sa limitasyon, kung gayon ito ay halos palaging na-convert sa sine at cosine gamit ang kilalang trigonometric formula (sa pamamagitan ng paraan, ginagawa nila ang halos parehong bagay sa cotangent, tingnan ang Fig. metodolohikal na materyal Mainit na mga formula ng trigonometriko Sa pahina Mga pormula sa matematika, talahanayan at sangguniang materyales).
Sa kasong ito:
Ang cosine ng zero ay katumbas ng isa, at madaling alisin ito (huwag kalimutang markahan na ito ay may posibilidad na isa):
Kaya, kung sa limitasyon ang cosine ay isang MULTIPLIER, kung gayon, sa halos pagsasalita, kailangan itong gawing isang yunit, na nawawala sa produkto.
Narito ang lahat ay naging mas simple, nang walang anumang pagpaparami at paghahati. Ang unang kahanga-hangang limitasyon ay nagiging isa at nawawala sa produkto:
Bilang isang resulta, ang infinity ay nakuha, at ito ay nangyayari.
Halimbawa 4
Hanapin ang limitasyon
Subukan nating palitan ang zero sa numerator at denominator:
Ang kawalan ng katiyakan ay nakuha (ang cosine ng zero, tulad ng naaalala natin, ay katumbas ng isa)
Ginagamit namin trigonometriko formula. Tandaan! Para sa ilang kadahilanan, ang mga limitasyon sa paggamit ng formula na ito ay napakakaraniwan.
Ilipat natin ang patuloy na mga salik na lampas sa icon ng limitasyon:
Ayusin natin ang unang kahanga-hangang limitasyon:
Narito mayroon lamang kaming isang kapansin-pansin na limitasyon, na nagiging isa at nawawala sa produkto:
Alisin natin ang tatlong palapag na istraktura:
Ang limitasyon ay aktwal na nalutas, ipinapahiwatig namin na ang natitirang sine ay may posibilidad na zero:
Halimbawa 5
Hanapin ang limitasyon 
Ang halimbawang ito ay mas kumplikado, subukang malaman ito sa iyong sarili:
Ang ilang mga limitasyon ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansing limitasyon sa pamamagitan ng pagbabago ng isang variable, maaari mong basahin ang tungkol dito sa ibang pagkakataon sa artikulo Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga limitasyon.
Pangalawang kahanga-hangang limitasyon
Sa teorya ng mathematical analysis, napatunayan na:
Ang katotohanang ito ay tinatawag na pangalawang kahanga-hangang limitasyon.
Sanggunian: 
ay isang hindi makatwirang numero.
Ang parameter ay maaaring hindi lamang isang variable, kundi pati na rin isang kumplikadong function. Ang tanging mahalagang bagay ay nagsusumikap ito para sa kawalang-hanggan.
Halimbawa 6
Hanapin ang limitasyon
Kapag ang expression sa ilalim ng limit sign ay nasa isang degree, ito ang unang sign na kailangan mong subukang ilapat ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.
Ngunit una, gaya ng dati, sinusubukan naming palitan ang isang walang katapusang malaking bilang sa expression, ang prinsipyo kung saan ito ginagawa ay tinalakay sa aralin Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon.
Madaling mapansin na kapag ang base ng degree ay , at ang exponent ay , ibig sabihin, may kawalan ng katiyakan sa anyo:
Ang kawalan ng katiyakan na ito ay tiyak na inihayag sa tulong ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ngunit, tulad ng madalas na nangyayari, ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay hindi namamalagi sa isang pilak na pinggan, at kailangan itong artipisyal na organisado. Maaari kang mangatuwiran tulad ng sumusunod: sa halimbawang ito ang parameter ay , na nangangahulugan na kailangan din nating ayusin sa indicator. Upang gawin ito, itinataas namin ang base sa kapangyarihan, at upang ang expression ay hindi magbago, itinaas namin ito sa kapangyarihan:
Kapag nakumpleto ang gawain sa pamamagitan ng kamay, minarkahan namin ng lapis:
Halos lahat ay handa na, ang kakila-kilabot na antas ay naging isang magandang sulat:
Sa kasong ito, inililipat namin ang icon ng limitasyon mismo sa indicator:
Halimbawa 7
Hanapin ang limitasyon
Pansin! Ang ganitong uri ng limitasyon ay madalas na nangyayari, mangyaring pag-aralan nang mabuti ang halimbawang ito.
Subukan nating palitan ang isang walang katapusang malaking numero sa expression sa ilalim ng limit sign:
Ang resulta ay kawalan ng katiyakan. Ngunit ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nalalapat sa kawalan ng katiyakan ng form. Anong gagawin? Kailangan nating i-convert ang base ng degree. Nangangatuwiran tayo nang ganito: sa denominator na mayroon tayo , na nangangahulugan na sa numerator ay kailangan din nating ayusin .
Patunay:
Patunayan muna natin ang theorem para sa kaso ng sequence 
Ayon sa binomial formula ni Newton:
Ipagpalagay na makuha namin
Mula sa pagkakapantay-pantay na ito (1) sumusunod na habang tumataas ang n, tumataas ang bilang ng mga positibong termino sa kanang bahagi. Bilang karagdagan, habang tumataas ang n, bumababa ang bilang, kaya ang mga halaga 
ay dumarami. Samakatuwid ang pagkakasunod-sunod 
dumarami, at (2)*Ipinakikita namin na ito ay may hangganan. Palitan ang bawat panaklong sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ng isa, kanang bahagi tumataas, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay
Palakasin natin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay, palitan ang 3,4,5, ..., nakatayo sa mga denominador ng mga fraction, na may numero 2: Nahanap natin ang kabuuan sa mga bracket gamit ang sum of terms formula geometric na pag-unlad: Kaya pala 
(3)*
Kaya, ang pagkakasunud-sunod ay nakatali mula sa itaas, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay (2) at (3) ay nasiyahan: 
Samakatuwid, batay sa Weierstrass theorem (criterion para sa convergence ng isang sequence), ang sequence 
monotonically ay tumataas at limitado, na nangangahulugang ito ay may limitasyon, na tinutukoy ng titik e. Yung. 
Alam na ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay totoo para sa mga natural na halaga ng x, pinatutunayan namin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon para sa tunay na x, iyon ay, pinatutunayan namin na 
. Isaalang-alang natin ang dalawang kaso:
1. Hayaang ang bawat halaga ng x ay nasa pagitan ng dalawang positive integer: ,where is buong bahagi x. => =>
Kung , pagkatapos Samakatuwid, ayon sa limitasyon 
Meron kami
Batay sa criterion (tungkol sa limitasyon ng isang intermediate function) ng pagkakaroon ng mga limitasyon 
2. Hayaan . Gawin natin ang pagpapalit − x = t, pagkatapos
Mula sa dalawang kasong ito ay sinusundan iyon 
para sa totoong x.
Mga kahihinatnan:
9 .) Paghahambing ng mga infinitesimal. Ang theorem sa pagpapalit ng infinitesimal na may katumbas na mga nasa limitasyon at ang theorem sa pangunahing bahagi ng infinitesimals.
Hayaan ang mga function a( x) at b( x) – b.m. sa x ® x 0 .
MGA DEPINISYON.
1)a( x) tinawag infinitesimal pa mataas na pagkakasunud-sunod paano b (x) Kung
Isulat: a( x) = o(b( x)) .
2)a( x) At b( x)ay tinatawag infinitesimal ng parehong pagkakasunud-sunod, Kung
kung saan CÎℝ at C¹ 0 .
Isulat: a( x) = O(b( x)) .
3)a( x) At b( x) ay tinatawag katumbas , Kung
Isulat: a( x) ~ b( x).
4)a( x) ay tinatawag na infinitesimal ng order k relative
ganap na infinitesimal b( x),
kung infinitesimal a( x)At(b( x))k magkaroon ng parehong pagkakasunud-sunod, i.e. Kung
kung saan CÎℝ at C¹ 0 .
TEOREM 6 (sa pagpapalit ng mga infinitesimal ng mga katumbas).
Hayaan a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. sa x ® x 0 . Kung a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),
yun 
Patunay: Hayaan mo ( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Pagkatapos
TEOREM 7 (tungkol sa pangunahing bahagi ng infinitesimal).
Hayaan a( x)At b( x)– b.m. sa x ® x 0 , at b( x)– b.m. mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa a( x).
= , a simula b( x) – mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa a( x), pagkatapos, i.e. 
mula sa malinaw na a( x) + b( x) ~ a( x)
10) Continuity ng isang function sa isang punto (sa wika ng epsilon-delta, geometric na limitasyon) One-sided continuity. Continuity sa isang interval, sa isang segment. Mga katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar.
1. Mga pangunahing kahulugan
Hayaan f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto x 0 .
KAHULUGAN 1. Tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung totoo ang pagkakapantay-pantay
Mga Tala.
1) Sa bisa ng Theorem 5 §3, ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaaring isulat sa anyo
Kundisyon (2) – kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function sa isang punto sa wika ng isang panig na mga limitasyon.
2) Ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaari ding isulat bilang:
Sabi nila: "kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto x 0, pagkatapos ay ang sign ng limitasyon at ang function ay maaaring palitan."
KAHULUGAN 2 (sa wikang e-d).
Tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 Kung"e>0 $d>0 ganyan, Ano
kung xОU( x 0 , d) (ibig sabihin | x – x 0 | < d),
pagkatapos f(x)ÎU( f(x 0), e) (ibig sabihin | f(x) – f(x 0) | < e).
Hayaan x, x 0 Î D(f) (x 0 - naayos, x – arbitrary)
Tukuyin natin: D x= x – x 0 – pagtaas ng argumento
D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – pagtaas ng function sa pointx 0
KAHULUGAN 3 (geometric).
Tungkulin f(x) sa tinawag tuloy-tuloy sa isang punto
x 0
kung sa puntong ito ang isang infinitesimal increment sa argument ay tumutugma sa isang infinitesimal na increment sa function, ibig sabihin.
Hayaan ang function f(x) ay tinukoy sa pagitan [ x 0 ; x 0 + d) (sa pagitan ( x 0 – d; x 0 ]).
DEPINISYON. Tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto
x 0 sa kanan
(umalis
), kung totoo ang pagkakapantay-pantay
Obvious naman yun f(x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0 Û f(x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0 kanan at kaliwa.
DEPINISYON. Tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy para sa isang pagitan e ( a; b) kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito.
Tungkulin f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa segment [a; b] kung ito ay tuloy-tuloy sa pagitan (a; b) at may one-way na pagpapatuloy sa mga boundary point(ibig sabihin, tuloy-tuloy sa punto a sa kanan, sa punto b- kaliwa).
11) Mga break point, ang kanilang klasipikasyon
DEPINISYON. Kung function f(x) tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto x 0 , ngunit hindi tuloy-tuloy sa puntong ito, kung gayon f(x) tinatawag na discontinuous sa punto x 0 , at ang punto mismo x 0 tinatawag na break point mga tungkulin f(x) .
Mga Tala.
1) f(x) ay maaaring tukuyin sa isang hindi kumpletong kapitbahayan ng punto x 0 .
Pagkatapos ay isaalang-alang ang kaukulang one-way na pagpapatuloy ng function.
2) Mula sa kahulugan ng Þ point x 0 ang break point ng function f(x) sa dalawang kaso:
a) U( x 0 , d)О D(f), ngunit para sa f(x) ang pagkakapantay-pantay ay hindi pinanghahawakan
b) U * ( x 0 , d)О D(f) .
Para sa mga pag-andar ng elementarya kaso lamang b) ay posible.
Hayaan x 0 – function break point f(x) .
DEPINISYON. Punto x 0 tinawag break point ako medyo kung function f(x)may hangganang limitasyon sa kaliwa at kanan sa puntong ito.
Kung ang mga limitasyong ito ay pantay, pagkatapos ay ituro ang x 0 tinawag naaalis na break point , kung hindi - jump point .
DEPINISYON. Punto x 0 tinawag break point II medyo kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ng function f(x)sa puntong ito ay pantay¥ o wala.
12) Mga katangian ng mga function na tuloy-tuloy sa isang pagitan (theorems ng Weierstrass (walang patunay) at Cauchy
Ang teorama ni Weierstrass
Hayaang maging tuluy-tuloy ang function na f(x) sa pagitan, pagkatapos
1)f(x) ay limitado sa
Kinukuha ng 2)f(x) ang pinakamaliit na halaga nito sa pagitan at pinakamataas na halaga
Kahulugan: Ang halaga ng function na m=f ay tinatawag na pinakamaliit kung m≤f(x) para sa anumang x€ D(f).
Ang halaga ng function na m=f ay sinasabing pinakamalaki kung m≥f(x) para sa anumang x € D(f).
Ang function ay maaaring tumagal sa pinakamaliit/pinakamalaking halaga sa ilang mga punto ng segment.
f(x 3)=f(x 4)=max
Ang teorama ni Cauchy.
Hayaang ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa segment at x ang bilang na nasa pagitan ng f(a) at f(b), pagkatapos ay mayroong kahit isang punto x 0 € na ang f(x 0)= g
Ang formula para sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Ang isa pang anyo ng pagsulat ay ganito: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Kapag pinag-uusapan natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon, kailangan nating harapin ang kawalan ng katiyakan ng form 1 ∞, i.e. yunit sa isang walang katapusang antas.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Isaalang-alang natin ang mga problema kung saan ang kakayahang kalkulahin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay magiging kapaki-pakinabang.
Halimbawa 1
Hanapin ang limitasyon lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Solusyon
Palitan natin ang kinakailangang formula at gawin ang mga kalkulasyon.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Ang sagot namin ay one to the power of infinity. Upang matukoy ang paraan ng solusyon, ginagamit namin ang talahanayan ng kawalan ng katiyakan. Piliin natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon at gumawa ng pagbabago ng mga variable.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Kung x → ∞, t → - ∞.
Tingnan natin kung ano ang nakuha namin pagkatapos ng kapalit:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Sagot: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Halimbawa 2
Kalkulahin ang limitasyon lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Solusyon
Palitan natin ang infinity at kunin ang sumusunod.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Sa sagot, muli naming nakuha ang parehong bagay tulad ng sa nakaraang problema, samakatuwid, maaari naming muli gamitin ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon. Susunod na kailangan nating pumili sa base function ng kapangyarihan buong bahagi:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Pagkatapos nito, ang limitasyon ay tumatagal sa sumusunod na anyo:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Palitan ang mga variable. Ipagpalagay natin na t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; kung x → ∞, t → ∞.
Pagkatapos nito, isusulat namin kung ano ang nakuha namin sa orihinal na limitasyon:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Upang maisagawa ang pagbabagong ito, ginamit namin ang mga pangunahing katangian ng mga limitasyon at kapangyarihan.
Sagot: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Halimbawa 3
Kalkulahin ang limitasyon lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Solusyon
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Pagkatapos nito, kailangan nating baguhin ang function upang mailapat ang pangalawang mahusay na limitasyon. Nakuha namin ang mga sumusunod:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Dahil mayroon na tayong parehong mga exponent sa numerator at denominator ng fraction (katumbas ng anim), ang limitasyon ng fraction sa infinity ay magiging katumbas ng ratio ng mga coefficient na ito sa mas mataas na kapangyarihan.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Sa pamamagitan ng pagpapalit ng t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 nakakakuha tayo ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ibig sabihin:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Sagot: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
mga konklusyon
Kawalang-katiyakan 1 ∞, ibig sabihin. Ang pagkakaisa sa isang walang katapusang kapangyarihan ay isang kawalan ng katiyakan sa batas ng kapangyarihan, samakatuwid, maaari itong ihayag gamit ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga limitasyon ng mga pagpapaandar ng exponential power.
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Ang artikulong ito: "Ang Ikalawang Kahanga-hangang Limitasyon" ay nakatuon sa pagsisiwalat sa loob ng mga limitasyon ng mga kawalan ng katiyakan ng form:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ at $ ^\infty $.
Gayundin, ang gayong mga kawalan ng katiyakan ay maaaring ibunyag gamit ang logarithm ng exponential function, ngunit ito ay isa pang paraan ng solusyon, na tatalakayin sa ibang artikulo.
Formula at kahihinatnan
Formula ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nakasulat tulad ng sumusunod: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $$
Ito ay sumusunod mula sa formula kahihinatnan, na napakaginhawang gamitin para sa paglutas ng mga halimbawa na may mga limitasyon: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( kung saan ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Ito ay nagkakahalaga ng noting na ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon ay hindi maaaring palaging ilapat sa isang exponential function, ngunit lamang sa mga kaso kung saan ang base ay may gawi sa pagkakaisa. Upang gawin ito, kalkulahin muna ang limitasyon ng base, at pagkatapos ay gumuhit ng mga konklusyon. Ang lahat ng ito ay tatalakayin sa mga halimbawang solusyon.
Mga halimbawa ng solusyon
Tingnan natin ang mga halimbawa ng mga solusyon gamit ang direktang formula at ang mga kahihinatnan nito. Susuriin din namin ang mga kaso kung saan hindi kailangan ang formula. Ito ay sapat na upang isulat lamang ang isang handa na sagot.
| Halimbawa 1 |
| Hanapin ang limitasyon $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Solusyon |
|
Palitan natin ang infinity sa limitasyon at tingnan ang kawalan ng katiyakan: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Hanapin natin ang limitasyon ng base: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Nakakuha kami ng base na katumbas ng isa, na nangangahulugang maaari na naming ilapat ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Upang gawin ito, ayusin natin ang base ng function sa formula sa pamamagitan ng pagbabawas at pagdaragdag ng isa: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Tingnan natin ang pangalawang resulta at isulat ang sagot: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Kung hindi mo malutas ang iyong problema, kung gayon ipadala siya sa amin. Magbibigay kami ng detalyadong solusyon. Magagawa mong tingnan ang pag-usad ng pagkalkula at makakuha ng impormasyon. Makakatulong ito sa iyo na makuha ang iyong marka mula sa iyong guro sa napapanahong paraan! |
| Sagot |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Halimbawa 4 |
| Lutasin ang limitasyon $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Solusyon |
|
Nahanap namin ang limitasyon ng base at nakita namin na $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, na nangangahulugan na maaari naming ilapat ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ayon sa karaniwang plano, nagdaragdag at nagbawas kami ng isa mula sa base ng antas: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Inaayos namin ang fraction sa formula ng 2nd note. limitasyon: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Ngayon ayusin natin ang antas. Ang kapangyarihan ay dapat maglaman ng fraction na katumbas ng denominator ng base $ \frac(3x^2-2)(6) $. Upang gawin ito, i-multiply at hatiin ang antas nito, at magpatuloy sa paglutas: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Ang limitasyon na matatagpuan sa kapangyarihan sa $ e $ ay katumbas ng: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Samakatuwid, ang pagpapatuloy ng solusyon na mayroon kami: |
| Sagot |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Tingnan natin ang mga kaso kung saan ang problema ay katulad ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon, ngunit maaaring malutas nang wala ito.
Sa artikulong: "Ang Ikalawang Kapansin-pansing Limitasyon: Mga Halimbawa ng Mga Solusyon" ang pormula, ang mga kahihinatnan nito ay nasuri at ang mga karaniwang uri ng problema sa paksang ito ay ibinigay.
