Mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng linear inhomogeneous differential equation pangalawang order (LNDU-2) na may pare-pareho ang mga koepisyent(PC)
Ang 2nd order na LDDE na may pare-parehong coefficient na $p$ at $q$ ay may anyong $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kung saan $f\left(x \right)$ ay isang tuluy-tuloy na function.
Tungkol sa LNDU 2 sa PC, ang sumusunod na dalawang pahayag ay totoo.
Ipagpalagay natin na ang ilang function na $U$ ay isang di-makatwirang partial na solusyon ng isang inhomogeneous differential equation. Ipagpalagay din natin na ang ilang function na $Y$ ay ang pangkalahatang solusyon (GS) ng kaukulang linear homogeneous differential equation (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Pagkatapos ay ang GR ng Ang LHDE-2 ay katumbas ng kabuuan ng ipinahiwatig na pribado at pangkalahatang mga solusyon, iyon ay, $y=U+Y$.
Kung kanang bahagi Ang 2nd order na LPDE ay ang kabuuan ng mga function, ibig sabihin, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, pagkatapos ay mahahanap muna natin ang mga PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ na tumutugma sa bawat isa sa mga function $f_ (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, at pagkatapos ay isulat ang CR LNDU-2 sa ang form na $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Solusyon ng 2nd order LPDE sa PC
Malinaw na ang uri ng isa o isa pang PD $U$ ng isang ibinigay na LNDU-2 ay nakasalalay sa partikular na anyo ng kanang bahagi nito $f\left(x\right)$. Ang pinakasimpleng mga kaso ng paghahanap para sa PD LNDU-2 ay binuo sa anyo ng sumusunod na apat na panuntunan.
Panuntunan #1.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ibig sabihin, ito ay tinatawag na a polynomial ng degree $n$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa form na $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(n) \left(x\right)$ ay isa pa polynomial na kapareho ng antas ng $P_(n) \left(x\right)$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat katangian equation katumbas ng LOD-2, katumbas ng zero. Ang mga coefficient ng polynomial na $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng indefinite coefficients (UK).
Panuntunan Blg. 2.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) Ang \left( x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $n$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa anyong $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kung saan ang $Q_(n ) \ left(x\right)$ ay isa pang polynomial na kapareho ng antas ng $P_(n) \left(x\right)$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2 katumbas ng $\alpha $. Ang mga coefficient ng polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NC method.
Panuntunan Blg. 3.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \kanan) $, kung nasaan sina $a$, $b$ at $\beta$ mga kilalang numero. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinahanap sa form na $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, kung saan ang $A$ at $B$ ay mga hindi kilalang coefficient, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng $i\cdot \beta $. Ang mga coefficient na $A$ at $B$ ay matatagpuan gamit ang non-destructive method.
Panuntunan Blg. 4.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kung saan ang $P_(n) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $ n$, at ang $P_(m) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $m$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinahanap sa anyong $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(s) \left(x\right)$ at ang $ R_(s) \left(x\right)$ ay mga polynomial ng degree na $s$, ang bilang na $s$ ay ang maximum ng dalawang numero na $n$ at $m$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng $\alpha +i\cdot \beta $. Ang mga coefficient ng mga polynomial na $Q_(s) \left(x\right)$ at $R_(s) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NC method.
Ang paraan ng NK ay binubuo ng paglalapat ng sumusunod na tuntunin. Upang mahanap ang hindi kilalang mga coefficient ng polynomial na bahagi ng bahagyang solusyon ng inhomogeneous differential equation LNDU-2, kinakailangan:
- palitan ang PD $U$ na nakasulat pangkalahatang pananaw, V kaliwang bahagi LNDU-2;
- sa kaliwang bahagi ng LNDU-2, magsagawa ng mga pagpapasimple at mga termino ng pangkat na may parehong kapangyarihan $x$;
- sa nagresultang pagkakakilanlan, ipantay ang mga coefficient ng mga termino na may parehong kapangyarihan $x$ ng kaliwa at kanang panig;
- lutasin ang nagresultang sistema ng mga linear equation para sa hindi kilalang coefficient.
Halimbawa 1
Gawain: hanapin O LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Hanapin din ang PD , na nagbibigay-kasiyahan sa mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$.
Isinulat namin ang kaukulang LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Katangiang equation: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Ang mga ugat ng katangiang equation ay: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Ang mga ugat na ito ay wasto at naiiba. Kaya, ang OR ng kaukulang LODE-2 ay may anyo: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 na ito ay may anyong $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Kinakailangang isaalang-alang ang koepisyent ng exponent na $\alpha =3$. Ang koepisyent na ito ay hindi tumutugma sa alinman sa mga ugat ng katangian na equation. Samakatuwid, ang PD ng LNDU-2 na ito ay may anyong $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Hahanapin namin ang mga coefficient na $A$, $B$ gamit ang NC method.
Nakita namin ang unang derivative ng Czech Republic:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Nakita namin ang pangalawang derivative ng Czech Republic:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Pinapalitan namin ang mga function na $U""$, $U"$ at $U$ sa halip na $y""$, $y"$ at $y$ sa ibinigay na NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ Bukod dito, dahil ang exponent na $e^(3\cdot x) $ ay kasama bilang salik sa lahat ng mga bahagi, maaari itong alisin.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Ginagawa namin ang mga aksyon sa kaliwang bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Ginagamit namin ang paraan ng NDT. Kumuha kami ng isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Ang solusyon sa sistemang ito ay: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
Ang OR $y=Y+U$ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kaliwa(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.
Upang maghanap ng PD na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kundisyon, nakita namin ang derivative na $y"$ ng OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Pinapalitan namin sa $y$ at $y"$ ang mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Nakatanggap kami ng isang sistema ng mga equation:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Solusyonan natin ito. Nahanap namin ang $C_(1) $ gamit ang formula ng Cramer, at $C_(2) $ ang tinutukoy namin mula sa unang equation:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Kaya, ang PD ng differential equation na ito ay may anyo: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kanan )\cdot e^(3\cdot x) $.
Dito namin ilalapat ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constant ng Lagrange upang malutas ang mga linear na hindi magkakatulad na second-order na differential equation. Detalyadong Paglalarawan ang pamamaraang ito para sa paglutas ng mga equation ng di-makatwirang pagkakasunud-sunod ay inilarawan sa pahina
Solusyon ng linear inhomogeneous differential equation ng mas mataas na mga order sa pamamagitan ng Lagrange method >>>.
Halimbawa 1
Lutasin ang isang second-order na differential equation na may constant coefficients gamit ang paraan ng variation ng Lagrange constants:
(1)
Solusyon
Una naming lutasin ang homogenous differential equation:
(2)
Ito ay isang pangalawang order equation.
Paglutas ng quadratic equation:
.
Maramihang mga ugat: . Ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa equation (2) ay may anyo:
(3)
.
Mula dito nakukuha natin ang pangkalahatang solusyon homogenous na equation (2):
(4)
.
Pag-iiba-iba ng mga pare-pareho C 1
at C 2
. Iyon ay, pinapalitan namin ang mga constant sa (4) ng mga function:
.
Naghahanap ng solusyon orihinal na equation(1) bilang:
(5)
.
Paghahanap ng derivative:
.
Ikonekta natin ang mga function at ang equation:
(6)
.
Pagkatapos
.
Natagpuan namin ang pangalawang derivative:
.
Palitan sa orihinal na equation (1):
(1)
;
.
Dahil at natugunan ang homogenous equation (2), ang kabuuan ng mga termino sa bawat column ng huling tatlong row ay nagbibigay ng zero at ang nakaraang equation ay nasa anyo:
(7)
.
Dito .
Kasama ng equation (6) nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga function at:
(6)
:
(7)
.
Paglutas ng isang sistema ng mga equation
Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (6-7). Isulat natin ang mga expression para sa mga function at:
.
Nakikita namin ang kanilang mga derivatives:
;
.
Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (6-7) gamit ang paraan ng Cramer. Kinakalkula namin ang determinant ng system matrix:
.
Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:
;
.
Kaya, natagpuan namin ang mga derivatives ng mga function:
;
.
Pagsamahin natin (tingnan ang Mga Paraan para sa pagsasama ng mga ugat). Paggawa ng pagpapalit
;
;
;
.
.
.
;
.
Sagot
Halimbawa 2
Lutasin ang differential equation sa pamamagitan ng paraan ng variation ng Lagrange constants:
(8)
Solusyon
Hakbang 1. Paglutas ng homogenous equation
Nalulutas namin ang homogenous differential equation:
(9)
Naghahanap kami ng solusyon sa form. Binubuo namin ang katangian na equation:
Ang equation na ito ay may mga kumplikadong ugat:
.
Ang pangunahing sistema ng mga solusyon na naaayon sa mga ugat na ito ay may anyo:
(10)
.
Pangkalahatang solusyon ng homogenous equation (9):
(11)
.
Hakbang 2. Pagkakaiba-iba ng mga constant - pinapalitan ang mga constant ng mga function
Ngayon ay pinag-iiba namin ang mga constants C 1
at C 2
. Iyon ay, pinapalitan namin ang mga constant sa (11) ng mga function:
.
Naghahanap kami ng solusyon sa orihinal na equation (8) sa anyo:
(12)
.
Dagdag pa, ang pag-unlad ng solusyon ay kapareho ng sa halimbawa 1. Nakarating kami sa susunod na sistema equation para sa pagtukoy ng mga function at:
(13)
:
(14)
.
Dito .
Paglutas ng isang sistema ng mga equation
Solusyonan natin ang sistemang ito. Isulat natin ang mga expression para sa mga function at :
.
Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
;
.
Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (13-14) gamit ang paraan ng Cramer. Determinant ng system matrix:
.
Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:
;
.
.
Dahil , ang modulus sign sa ilalim ng logarithm sign ay maaaring tanggalin. I-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng:
.
Pagkatapos
.
Pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation:
.
Linear differential equation ng pangalawang order tinatawag na equation ng form
y"" + p(x)y" + q(x)y = f(x) ,
saan y ay ang function na makikita, at p(x) , q(x) At f(x) - tuloy-tuloy na paggana sa isang tiyak na pagitan ( a, b) .
Kung ang kanang bahagi ng equation ay zero ( f(x) = 0), pagkatapos ay tinawag ang equation linear homogenous equation . Ang praktikal na bahagi ng araling ito ay pangunahing ilalaan sa mga naturang equation. Kung ang kanang bahagi ng equation ay hindi katumbas ng zero ( f(x) ≠ 0), kung gayon ang equation ay tinatawag na .
Sa mga problema kailangan nating lutasin ang equation para sa y"" :
y"" = −p(x)y" − q(x)y + f(x) .
Ang pangalawang order na linear differential equation ay may natatanging solusyon Cauchy problema .
Linear homogenous differential equation ng pangalawang order at ang solusyon nito
Isaalang-alang ang isang linear homogeneous differential equation ng pangalawang order:
y"" + p(x)y" + q(x)y = 0 .
Kung y1 (x) At y2 (x) ay mga partikular na solusyon ng equation na ito, kung gayon ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:
1) y1 (x) + y 2 (x) - ay isa ring solusyon sa equation na ito;
2) Cy1 (x) , Saan C- isang arbitrary na pare-pareho (constant), ay isa ring solusyon sa equation na ito.
Mula sa dalawang pahayag na ito ay sumusunod na ang function
C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)
ay isa ring solusyon sa equation na ito.
Isang makatarungang tanong ang lumitaw: ito ba ang solusyon pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous differential equation ng pangalawang order , iyon ay, tulad ng isang solusyon kung saan, para sa iba't ibang mga halaga C1 At C2 Posible bang makuha ang lahat ng posibleng solusyon sa equation?
Ang sagot sa tanong na ito ay: marahil, ngunit sa ilalim ng ilang mga kundisyon. Ito kundisyon sa kung anong mga katangian ang dapat magkaroon ng mga partikular na solusyon y1 (x) At y2 (x) .
At ang kondisyong ito ay tinatawag na kondisyon linear na kalayaan pribadong solusyon.
Teorama. Function C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) ay isang pangkalahatang solusyon sa isang linear homogenous second order differential equation kung ang mga function y1 (x) At y2 (x) linearly independent.
Kahulugan. Mga pag-andar y1 (x) At y2 (x) ay tinatawag na linearly independent kung ang kanilang ratio ay isang pare-parehong di-zero:
y1 (x)/y 2 (x) = k ; k = const ; k ≠ 0 .
Gayunpaman, ang pagtukoy sa pamamagitan ng kahulugan kung ang mga function na ito ay linearly independent ay kadalasang napakahirap. Mayroong isang paraan upang magtatag ng linear na kalayaan gamit ang Wronski determinant W(x) :
Kung ang determinant ng Wronski ay hindi katumbas ng zero, ang mga solusyon ay linearly independent . Kung ang determinant ng Wronski ay zero, ang mga solusyon ay linearly dependent.
Halimbawa 1. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous differential equation.
Solusyon. Dalawang beses kaming nagsasama at, gaya ng madaling makita, upang ang pagkakaiba sa pagitan ng pangalawang derivative ng isang function at ang function mismo ay maging katumbas ng zero, ang mga solusyon ay dapat na nauugnay sa isang exponential na ang derivative ay katumbas ng sarili nito. Ibig sabihin, ang mga bahagyang solusyon ay at .
Dahil ang Wronski determinant
ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang mga solusyong ito ay linearly independent. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay maaaring isulat bilang
.
Linear homogenous second order differential equation na may pare-parehong coefficient: teorya at kasanayan
Linear homogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient tinatawag na equation ng form
y"" + py" + qy = 0 ,
saan p At q- pare-pareho ang mga halaga.
Ang katotohanan na ito ay isang pangalawang-order na equation ay ipinahiwatig ng pagkakaroon ng pangalawang derivative ng nais na pag-andar, at ang homogeneity nito ay ipinahiwatig ng zero sa kanang bahagi. Ang mga halagang nabanggit na sa itaas ay tinatawag na pare-parehong koepisyent.
Upang lutasin ang isang linear homogenous na second order differential equation na may pare-parehong coefficient , kailangan mo munang lutasin ang tinatawag na characteristic equation ng form
k² + pq + q = 0 ,
na, tulad ng makikita, ay isang ordinaryong quadratic equation.
Depende sa solusyon ng katangian na equation, tatlong magkakaibang mga opsyon ang posible mga solusyon sa isang linear homogenous na second order differential equation na may pare-parehong coefficient , na susuriin natin ngayon. Para sa kumpletong katiyakan, ipagpalagay namin na ang lahat ng partikular na solusyon ay nasubok ng determinant ng Wronski at hindi ito katumbas ng zero sa lahat ng kaso. Ang mga nagdududa dito, gayunpaman, ay maaaring suriin ito sa kanilang sarili.
Ang mga ugat ng katangiang equation ay totoo at naiiba
Sa ibang salita, . Sa kasong ito, ang solusyon sa isang linear homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient ay may anyo
.
Halimbawa 2. Lutasin ang isang linear homogenous differential equation
.
Halimbawa 3. Lutasin ang isang linear homogenous differential equation
.
Solusyon. Ang katangiang equation ay may anyo, mga ugat nito at totoo at naiiba. Ang kaukulang mga bahagyang solusyon ng equation ay: at . Ang pangkalahatang solusyon ng differential equation na ito ay may anyo
.
Ang mga ugat ng katangian na equation ay totoo at pantay
Yan ay, . Sa kasong ito, ang solusyon sa isang linear homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient ay may anyo
.
Halimbawa 4. Lutasin ang isang linear homogenous differential equation
.
Solusyon. Katangiang equation 
may pantay na ugat. Ang kaukulang mga bahagyang solusyon ng equation ay: at . Ang pangkalahatang solusyon ng differential equation na ito ay may anyo
Halimbawa 5. Lutasin ang isang linear homogenous differential equation
.
Solusyon. Ang katangiang equation ay may pantay na ugat. Ang kaukulang mga bahagyang solusyon ng equation ay: at . Ang pangkalahatang solusyon ng differential equation na ito ay may anyo
Institusyon ng edukasyon "Estado ng Belarus
akademya ng agrikultura"
Kagawaran ng Mas Mataas na Matematika
Mga Alituntunin
upang pag-aralan ang paksang "Linear differential equation ng pangalawang pagkakasunud-sunod" ng mga mag-aaral ng accounting faculty of correspondence education (NISPO)
Gorki, 2013
Linear differential equation
pangalawang order na may mga constantscoefficients
Linear homogenous differential equation
Linear differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient tinatawag na equation ng form
mga. isang equation na naglalaman ng nais na function at mga derivatives nito hanggang sa unang antas lamang at hindi naglalaman ng kanilang mga produkto. Sa equation na ito 
At 
- ilang mga numero, at isang function 
ibinigay sa isang tiyak na pagitan 
.
Kung 
sa pagitan 
, pagkatapos ay ang equation (1) ay kukuha ng anyo
,
(2)
at tinatawag linear homogenous . Kung hindi, ang equation (1) ay tinatawag linear inhomogeneous .
Isaalang-alang ang kumplikadong pag-andar
,
(3)
saan 
At 
- tunay na pag-andar. Kung ang function (3) ay isang kumplikadong solusyon sa equation (2), kung gayon ang tunay na bahagi 
, at ang haka-haka na bahagi 
mga solusyon 
magkahiwalay ang mga solusyon ng parehong homogenous equation. Kaya, lahat komprehensibong solusyon Ang equation (2) ay bumubuo ng dalawang tunay na solusyon sa equation na ito.
Mga solusyon ng homogenous linear equation may mga katangian:
Kung 
ay isang solusyon sa equation (2), pagkatapos ay ang function 
, Saan SA– ang isang arbitrary constant ay magiging solusyon din sa equation (2);
Kung 
At 
may mga solusyon sa equation (2), pagkatapos ay ang function 
magiging solusyon din sa equation (2);
Kung 
At 
may mga solusyon sa equation (2), pagkatapos ang kanilang linear na kumbinasyon 
magiging solusyon din sa equation (2), kung saan 
At 
– di-makatwirang mga pare-pareho.
Mga pag-andar 
At 
ay tinatawag nakadepende sa linear
sa pagitan 
, kung may mga ganitong numero 
At 
, hindi katumbas ng zero sa parehong oras, na sa pagitan na ito ang pagkakapantay-pantay
Kung ang pagkakapantay-pantay (4) ay nangyayari lamang kapag 
At 
, pagkatapos ay ang mga pag-andar 
At 
ay tinatawag linearly independent
sa pagitan 
.
Halimbawa 1
. Mga pag-andar 
At 
ay linearly dependent, dahil 
sa buong linya ng numero. Sa halimbawang ito 
.
Halimbawa 2
. Mga pag-andar 
At 
ay linearly na independyente sa anumang agwat, dahil ang pagkakapantay-pantay 
ay posible lamang sa kaso kung kailan 
, At 
.
Konstruksyon pangkalahatang solusyon linear homogenous
mga equation
Upang makahanap ng pangkalahatang solusyon sa equation (2), kailangan mong hanapin ang dalawa sa mga linearly independent na solusyon nito 
At 
. Linear na kumbinasyon ng mga solusyong ito 
, Saan 
At 
ay mga arbitrary constants, at magbibigay ng pangkalahatang solusyon sa isang linear homogenous equation.
Maghahanap tayo ng mga linearly independent na solusyon sa equation (2) sa form
,
(5)
saan 
– isang tiyak na numero. Pagkatapos 
,
. I-substitute natin ang mga expression na ito sa equation (2):
o 
.
kasi 
, Iyon 
. Kaya ang function 
magiging solusyon sa equation (2) kung 
ay masiyahan ang equation
.
(6)
Ang equation (6) ay tinatawag katangian equation para sa equation (2). Ang equation na ito ay isang algebraic quadratic equation.
Hayaan 
At 
may mga ugat ng equation na ito. Maaari silang maging totoo at naiiba, o kumplikado, o totoo at pantay. Isaalang-alang natin ang mga kasong ito.
Hayaan ang mga ugat 
At 
Ang mga katangiang equation ay totoo at naiiba. Pagkatapos ang mga solusyon sa equation (2) ay ang mga function 
At 
. Ang mga solusyong ito ay linearly independent, dahil ang pagkakapantay-pantay 
maisasagawa lamang kapag 
, At 
. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon sa equation (2) ay may anyo
,
saan 
At 
- di-makatwirang mga pare-pareho.
Halimbawa 3
.
Solusyon
. Ang katangian na equation para sa kaugalian na ito ay magiging 
. Nang malutas ang quadratic equation na ito, nakita natin ang mga ugat nito 
At 
. Mga pag-andar 
At 
ay mga solusyon sa differential equation. Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay 
.
Kumplikadong numero 
tinatawag na pagpapahayag ng anyo 
, Saan 
At 
ay tunay na mga numero, at 
tinatawag na imaginary unit. Kung 
, pagkatapos ay ang numero 
ay tinatawag na puro haka-haka. Kung 
, pagkatapos ay ang numero 
ay kinilala sa isang tunay na numero 
.
Numero 
ay tinatawag na tunay na bahagi ng isang kumplikadong numero, at 
- haka-haka na bahagi. Kung ang dalawang kumplikadong numero ay naiiba sa bawat isa lamang sa pamamagitan ng pag-sign ng haka-haka na bahagi, kung gayon sila ay tinatawag na conjugate: 
,
.
Halimbawa 4
. Lutasin ang quadratic equation 
.
Solusyon
. Discriminant equation 
. Pagkatapos. Gayundin, 
. Kaya, ang quadratic equation na ito ay may conjugate complex roots.
Hayaang maging kumplikado ang mga ugat ng katangiang equation, i.e. 
,
, Saan 
. Ang mga solusyon ng equation (2) ay maaaring isulat sa anyo 
,
o 
,
. Ayon sa mga formula ni Euler
,
.
Tapos ,. Tulad ng nalalaman, kung ang isang kumplikadong function ay isang solusyon sa isang linear homogenous equation, kung gayon ang mga solusyon sa equation na ito ay parehong tunay at haka-haka na mga bahagi ng function na ito. Kaya, ang mga solusyon sa equation (2) ay magiging mga function 
At 
. Dahil pagkakapantay-pantay
maaari lamang isagawa kung 
At 
, pagkatapos ang mga solusyong ito ay linearly independent. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon sa equation (2) ay may anyo
saan 
At 
- di-makatwirang mga pare-pareho.
Halimbawa 5
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation 
.
Solusyon
. Ang equation 
ay katangian ng isang naibigay na kaugalian. Ating lutasin ito at makakuha ng mga kumplikadong ugat 
,
. Mga pag-andar 
At 
ay mga linearly independent na solusyon ng differential equation. Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay:
Hayaang maging totoo at pantay ang mga ugat ng katangiang equation, i.e. 
. Pagkatapos ang mga solusyon sa equation (2) ay ang mga function 
At 
. Ang mga solusyong ito ay linearly independent, dahil ang expression ay maaaring magkaparehong katumbas ng zero kapag 
At 
. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon sa equation (2) ay may anyo 
.
Halimbawa 6
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation 
.
Solusyon
. Katangiang equation 
may pantay na ugat 
. Sa kasong ito, ang mga linearly independent na solusyon sa differential equation ay ang mga function 
At 
. Ang pangkalahatang solusyon ay may anyo 
.
Inhomogeneous linear differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient
at ang espesyal na kanang bahagi
Ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous equation (1) ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon 
ang katumbas na homogenous equation at anumang partikular na solusyon 
hindi magkakatulad na equation:
.
Sa ilang mga kaso, ang isang partikular na solusyon sa isang hindi magkakatulad na equation ay matatagpuan sa simpleng anyo ng kanang bahagi. 
equation (1). Tingnan natin ang mga kaso kung saan posible ito.
mga. ang kanang bahagi ng inhomogeneous equation ay isang polynomial of degree m. Kung 
ay hindi isang ugat ng katangian na equation, kung gayon ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo ng isang polynomial ng degree m, ibig sabihin.
Logro 
ay tinutukoy sa proseso ng paghahanap ng isang partikular na solusyon.
Kung 
ay ang ugat ng katangiang equation, kung gayon ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo
Halimbawa 7
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation 
.
Solusyon
. Ang katumbas na homogenous equation para sa equation na ito ay 
. Ang katangiang equation nito 
may mga ugat 
At 
. Ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay may anyo 
.
kasi 
ay hindi isang ugat ng katangian na equation, pagkatapos ay hahanapin natin ang isang partikular na solusyon ng hindi magkakatulad na equation sa anyo ng isang function. 
. Hanapin natin ang mga derivatives ng function na ito 
,
at palitan ang mga ito sa equation na ito:
o . Itumbas natin ang mga coefficient para sa 
at mga libreng miyembro: 
Nang makapagdesisyon ang sistemang ito, nakukuha namin 
,
. Pagkatapos ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation ay may anyo 
, at ang pangkalahatang solusyon ng isang ibinigay na inhomogeneous equation ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous na equation at ang partikular na solusyon ng inhomogeneous: 
.
Hayaang magkaroon ng anyo ang inhomogeneous equation
Kung 
ay hindi isang ugat ng katangian na equation, kung gayon ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo. Kung 
ay ang ugat ng katangian ng multiplicity equation k
(k=1 o k=2), kung gayon sa kasong ito ang isang partikular na solusyon ng hindi magkakatulad na equation ay magkakaroon ng anyo .
Halimbawa 8
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation 
.
Solusyon
. Ang katangiang equation para sa katumbas na homogenous na equation ay may anyo 
. Ang mga ugat nito 
,
. Sa kasong ito, ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous equation ay nakasulat sa form 
.
Dahil ang numero 3 ay hindi ugat ng katangiang equation, ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo. 
. Hanapin natin ang mga derivative ng una at pangalawang order:
Ipalit natin sa differential equation: 
+
+,
+,.
Itumbas natin ang mga coefficient para sa 
at mga libreng miyembro:
Mula rito 
,
. Pagkatapos ang isang partikular na solusyon sa equation na ito ay may anyo 
, at ang pangkalahatang solusyon
.
Lagrange na paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants
Ang paraan ng pag-iiba-iba ng mga arbitrary na constant ay maaaring ilapat sa anumang hindi magkakatulad na linear equation na may pare-parehong coefficient, anuman ang uri ng kanang bahagi. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo na laging makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang hindi magkakatulad na equation kung ang pangkalahatang solusyon sa katumbas na homogenous na equation ay kilala.
Hayaan 
At 
ay mga linearly independent na solusyon ng equation (2). Kung gayon ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay 
, Saan 
At 
- di-makatwirang mga pare-pareho. Ang kakanyahan ng paraan ng pag-iiba-iba ng mga di-makatwirang constant ay ang pangkalahatang solusyon sa equation (1) ay hinahanap sa anyo
saan 
At 
- mga bagong hindi kilalang function na kailangang matagpuan. Dahil mayroong dalawang hindi kilalang function, upang mahanap ang mga ito, dalawang equation na naglalaman ng mga function na ito ay kinakailangan. Ang dalawang equation na ito ang bumubuo sa system
na isang linear algebraic system ng mga equation na may kinalaman sa 
At 
. Ang paglutas ng sistemang ito, nahanap namin 
At 
. Ang pagsasama ng magkabilang panig ng mga nakuhang pagkakapantay-pantay, nakita namin
At 
.
Ang pagpapalit ng mga ekspresyong ito sa (9), nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa hindi magkakatulad na linear na equation (1).
Halimbawa 9
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation 
.
Solusyon.
Ang katangiang equation para sa homogenous na equation na tumutugma sa isang ibinigay na differential equation ay 
. Ang mga ugat nito ay kumplikado 
,
. kasi 
At 
, Iyon 
,
, at ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay may anyo. Pagkatapos ay hahanapin natin ang isang pangkalahatang solusyon sa hindi magkakatulad na equation na ito sa anyo kung saan 
At 
- hindi kilalang mga function.
Ang sistema ng mga equation para sa paghahanap ng mga hindi kilalang function na ito ay may anyo
Nang malutas ang sistemang ito, nakita namin 
,
. Pagkatapos
,
. Palitan natin ang mga resultang expression sa formula para sa pangkalahatang solusyon:
Ito ang pangkalahatang solusyon sa differential equation na ito, na nakuha gamit ang Lagrange method.
Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili ng kaalaman
Aling differential equation ang tinatawag na second order linear differential equation na may pare-parehong coefficient?
Aling linear differential equation ang tinatawag na homogenous at alin ang tinatawag na inhomogeneous?
Anong mga katangian ang mayroon ang isang linear homogenous equation?
Anong equation ang tinatawag na katangian para sa isang linear differential equation at paano ito nakuha?
Sa anong anyo ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient na nakasulat sa kaso ng iba't ibang mga ugat ng katangian na equation?
Sa anong anyo ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient na nakasulat sa kaso ng pantay na mga ugat ng katangian na equation?
Sa anong anyo ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient na nakasulat sa kaso ng mga kumplikadong ugat ng katangian na equation?
Paano isinusulat ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation?
Sa anong anyo ang isang partikular na solusyon sa isang linear inhomogeneous equation ay hinahangad kung ang mga ugat ng katangian na equation ay iba at hindi katumbas ng zero, at ang kanang bahagi ng equation ay isang polynomial ng degree m?
Sa anong anyo hinahangad ang isang partikular na solusyon sa isang linear inhomogeneous equation kung mayroong isang zero sa mga ugat ng katangiang equation at ang kanang bahagi ng equation ay isang polynomial of degree m?
Ano ang kakanyahan ng pamamaraan ni Lagrange?
Tatalakayin ng talatang ito espesyal na kaso linear equation ng pangalawang order, kapag ang mga coefficient ng equation ay pare-pareho, iyon ay, sila ay mga numero. Ang ganitong mga equation ay tinatawag na mga equation na may pare-parehong coefficient. Ang ganitong uri ng mga equation ay nakakahanap ng partikular na malawak na aplikasyon.
1. Linear homogenous differential equation
pangalawang order na may pare-parehong coefficientIsaalang-alang ang equation
kung saan ang mga coefficient ay pare-pareho. Ipagpalagay na ang paghahati sa lahat ng mga termino ng equation sa pamamagitan ng at denoting
Isulat natin ang equation na ito sa form
Tulad ng nalalaman, upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang linear homogenous na pangalawang-order na equation, sapat na upang malaman ito pangunahing sistema pribadong solusyon. Ipakita natin kung paano maghanap ng isang pangunahing sistema ng mga bahagyang solusyon para sa isang homogenous na linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Maghahanap tayo ng partikular na solusyon sa equation na ito sa anyo
Ang pag-iiba ng function na ito ng dalawang beses at pagpapalit ng mga expression para sa equation (59), nakuha namin
Dahil , pagkatapos, pagbabawas sa pamamagitan ng makuha namin ang equation
Mula sa equation na ito, ang mga halaga ng k ay tinutukoy kung saan ang function ay magiging solusyon sa equation (59).
Ang algebraic equation (61) para sa pagtukoy ng coefficient k ay tinatawag na characteristic equation ng differential equation na ito (59).
Ang katangiang equation ay isang equation ng ikalawang antas at samakatuwid ay may dalawang ugat. Ang mga ugat na ito ay maaaring maging tunay na naiiba, totoo at pantay, o kumplikadong conjugate.
Isaalang-alang natin kung ano ang anyo ng pangunahing sistema ng mga partikular na solusyon sa bawat isa sa mga kasong ito.
1. Ang mga ugat ng katangiang equation ay totoo at naiiba: . Sa kasong ito, gamit ang formula (60) makakahanap tayo ng dalawang bahagyang solusyon:
Ang dalawang partikular na solusyon na ito ay bumubuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa buong numerical axis, dahil ang Wronski determinant ay hindi nawawala kahit saan:
Dahil dito, ang pangkalahatang solusyon ng equation ayon sa formula (48) ay may anyo
2. Ang mga ugat ng katangian equation ay pantay-pantay: . Sa kasong ito, ang parehong mga ugat ay magiging totoo. Gamit ang formula (60), nakakuha lamang tayo ng isang partikular na solusyon
Ipakita natin na ang pangalawang partikular na solusyon, na kasama ng una ay bumubuo ng isang pangunahing sistema, ay may anyo
Una sa lahat, suriin natin na ang function ay isang solusyon sa equation (59). Talaga,
Ngunit, dahil may ugat ng katangiang equation (61). Bilang karagdagan, ayon sa teorama ni Vieta, Samakatuwid . Dahil dito, , ibig sabihin, ang function ay talagang isang solusyon sa equation (59).
Ipakita natin ngayon na ang nahanap na mga bahagyang solusyon ay bumubuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon. Talaga,
Kaya, sa kasong ito ang pangkalahatang solusyon ng homogenous linear equation ay may anyo
3. Ang mga ugat ng katangiang equation ay kumplikado. Tulad ng nalalaman, kumplikadong mga ugat quadratic equation na may tunay na coefficients ay conjugate kumplikadong mga numero, ibig sabihin, kamukha nila: . Sa kasong ito, ang mga bahagyang solusyon ng equation (59), ayon sa formula (60), ay magkakaroon ng form:
Gamit ang mga formula ni Euler (tingnan ang Kabanata XI, § 5, talata 3), ang mga expression para sa ay maaaring isulat bilang:
Ang mga solusyong ito ay komprehensibo. Upang makakuha ng mga wastong solusyon, isaalang-alang ang mga bagong function
Ang mga ito ay mga linear na kumbinasyon ng mga solusyon at, samakatuwid, ay mga solusyon mismo sa equation (59) (tingnan ang § 3, aytem 2, Theorem 1).
Madaling ipakita na ang determinant ng Wronski para sa mga solusyong ito ay hindi zero at, samakatuwid, ang mga solusyon ay bumubuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon.
Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na linear differential equation sa kaso ng mga kumplikadong ugat ng katangian na equation ay may anyo.
Sa konklusyon, nagpapakita kami ng talahanayan ng mga formula para sa pangkalahatang solusyon ng equation (59) depende sa uri ng mga ugat ng katangian na equation.
