Konu 13. Teoremler ve ispatlar
Bu başlıkta aşina olacaksınız ayırt edici özellik Matematik, fizik ve diğer bilimlerle karşılaştırıldığında yalnızca kanıtlanmış gerçekleri veya yasaları tanır. Bu bağlamda teorem kavramı incelenecek ve bazı teorem türleri ve bunların kanıtlanma yöntemleri ele alınacaktır.
09-13-03. Matematiğin ayırt edici özelliği
Teori
1.1. Matematik ile fiziği karşılaştırırsak, bu bilimlerin her ikisi de hem gözlemleri hem de kanıtları kullanır. Deneysel fiziğin yanı sıra, matematikteki teoremler gibi bazı ifadelerin, bazı önermeleri diğerlerinden sırayla çıkararak fiziksel yasalara dayanarak kanıtlandığı teorik fizik vardır. Fakat fiziksel yasalar yalnızca onaylandıklarında doğru olarak kabul edilirler Büyük bir sayı deneyler. Bu yasalar zamanla geliştirilebilir.
Matematik aynı zamanda gözlemlerden de yararlanır.
Örnek 1: Bunu gözlemlemek
ilk bin tek doğal sayının toplamının 1.000.000 olduğunu varsayabiliriz.
Bu ifade doğrudan hesaplamalar, harcamalar ile doğrulanabilir. büyük miktar zaman.
Ayrıca herhangi bir genel varsayımı da yapabiliriz. doğal sayı başlangıçtaki tek sayıların toplamıdır. Bu ifade doğrudan hesaplamalarla doğrulanamaz çünkü tüm doğal sayılar kümesi sonsuzdur. Ancak yapılan varsayım doğrudur çünkü kanıtlanabilir.
Örnek 2. Birçok üçgenin açılarını ölçebiliriz..gif" height="20">, eğer Öklid'in beşinci postülatını aksiyom olarak alırsak doğrudur. kanıtlanmış 7. sınıfta.
Örnek 3. Bir polinomun yerine koyma
1'den 10'a kadar olan doğal sayılar yerine 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151 asal sayılarını elde ederiz. Herhangi bir doğal değer için öyle varsayılabilir ikinci dereceden üç terimli bir asal sayıdır. Kontrol, bunun 1'den 39'a kadar herhangi bir doğal sayı için gerçekten doğru olduğunu gösterdi. Ancak sonuç bileşik bir sayı olduğu için varsayım yanlıştır:
Teoremlerin doğruluğunu belirlemek için gözlem yerine kanıtın kullanılması matematiğin ayırt edici özelliğidir.
Çok sayıda gözleme dayanarak varılan bir sonuç, ancak şu durumlarda matematik yasası olarak kabul edilir: kanıtlanmış.
1.2. Çıkarım veya çıkarım kavramının doğru bir analizini yapmadan, bazı yargıların diğerlerinden sıralı olarak türetilmesi olarak kendimizi sezgisel kanıt kavramıyla sınırlayalım. Teorem kavramını daha ayrıntılı olarak analiz edelim.
Bir teoreme genellikle doğruluğu kanıtla belirlenen bir ifade denir. Teorem kavramı kanıt kavramıyla birlikte gelişti ve geliştirildi.
Klasik anlamda bir teorem, bazı önermelerin diğerlerinden türetilmesiyle kanıtlanmış bir ifade olarak anlaşılmaktadır. Bu durumda bazılarının seçilmesi gerekir başlangıç yasaları veya aksiyomlar, kanıt olmadan kabul edilirler.
Geometrideki aksiyomlar sistemi ilk olarak antik Yunan matematikçi Öklid tarafından ünlü eseri Elementler'de oluşturulmuştur. Öklid'in Elemanlarındaki aksiyomları takip ederek, altında inşa etmeye yönelik teoremler ve problemler yaygın isim teklifler. Teoremler kesin bir sıraya göre düzenlenmiştir.
Her teorem önce ifade edilir, daha sonra neyin verildiği ve neyin kanıtlanması gerektiği belirtilir. Daha sonra kanıt, daha önce kanıtlanmış önermelere ve aksiyomlara yapılan tüm referanslarla birlikte sunulur. Bazen ispat, ispat edilmesi gereken kelimelerle biter. Her şeye çevrildi Avrupa dilleri 13 kitaptan oluşan Öklid'in Elementleri, 18. yüzyıla kadar okullarda ve üniversitelerde geometri eğitimi için kullanılan tek ders kitabı olarak kaldı.
1.3. Neyin verildiğini ve neyin kanıtlanması gerektiğini tanımlamayı kolaylaştırmak için, teoremler if...,then... şeklinde formüle edilir. Teoremin formülasyonunun if ve ardından arasındaki ilk kısmına denir. durum teoremi ve bundan sonra yazılan ikinci kısma denir çözüm teoremler.
Teoremin koşulları verilenlerin açıklamasını, sonuç ise kanıtlanması gerekenleri içerir.
Bazen teoremin bu formuna denir mantıksal biçim teoremleri olup if-then formu olarak kısaltılır.
Örnek 4. Aşağıdaki teoremi düşünün.
Çift doğal sayı ise tek sayıdır.
Bu teoremde koşul, herhangi bir çift sayının ..gif" width=32 height=19" height=19"> tek alınmasıdır.
Çoğunlukla durum ve sonuç farklı kelimeler kullanılarak yazılır.
Örnek 5. Örnek 1'deki teorem aşağıdaki biçimde yazılabilir:
Çift bir doğal sayı olsun. O zaman tek sayıdır.
Bu durumda kelime yerine let kelimesini kullanırlarsa, kelime yerine o zaman kelimeyi yazarlar.
Örnek 6. Örnek 1'deki teorem aşağıdaki biçimde de yazılabilir:
Doğal sayının çift olması gerçeğinden, .gif" width="13" height="15"> sayısının sayının tek olduğunu ima ettiği sonucu çıkar.
Bu durumda, if sözcüğü atlanır ve o zaman sözcüğü yerine, gerektirir sözcüğü kullanılır.
Bazen teoremlerin başka tür gösterimleri kullanılır.
1.4. Bazı durumlarda teoremin koşulları formülasyonunda yazılmaz. Bu durum, bu koşulun nasıl bir biçim alabileceğinin metinden açıkça anlaşılması durumunda gerçekleşir.
Örnek 8. Teoremi biliyorsunuz: bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir.
Mantıksal formda bu teorem şu şekilde yazılabilir:
Herhangi bir üçgendeki tüm kenarortayları çizerseniz, bu kenarortaylar bir noktada kesişecektir.
Örnek 9. Asal sayılar kümesinin sonsuzluğuna ilişkin teorem şu şekilde yazılabilir:
Tüm asal sayıların kümesi ise sonsuzdur.
Matematikte teoremler arasında bağlantı kurmak için bu bölümün sonraki paragraflarında kısmen tartışılacak olan özel bir dil kullanılır.
Kontrol soruları
1. Matematikte hangi gözlem örneklerini biliyorsunuz?
2. Hangi geometri aksiyomlarını biliyorsunuz?
3. Teoremin hangi gösterimine teoremin mantıksal formu denir?
4. Teoremin koşulu nedir?
5. Teoremin sonucuna ne denir?
6. Hangi tür yazma teoremlerini biliyorsunuz?
Görevler ve alıştırmalar
1. Aşağıdakileri gözlemleyerek hangi varsayımlarda bulunabilirsiniz:
a) iki bitişik doğal sayının çarpımı;
b) iki bitişik doğal sayının toplamı;
c) ardışık üç doğal sayının toplamı;
d) üç tek sayının toplamı;
D) son rakamlar V ondalık gösterim sayılar .gif" genişlik = "13 yükseklik = 15" yükseklik = "15">;
f) düzlemin bir noktadan geçen çeşitli düz çizgilerle bölündüğü parçaların sayısı;
g) düzlemin çeşitli düz çizgilerle bölündüğü, düz çizgilerin çiftler halinde paralel olduğu ve kesiştiği parçaların sayısı. > doğal sayı olan formdaki sayılar;
d) iki irrasyonel sayının toplamı?
3. Geniş açılı üçgenlerin etrafındaki çevrel çemberlerin merkezlerini gözlemleyerek ne gibi bir varsayımda bulunabilirsiniz?
4. Teoremi mantıksal biçimde yazın:
a) dışbükeyin iç açılarının toplamı https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
b) herhangi iki dik ikizkenar üçgen benzerdir;
c) eşitlik tüm tamsayılar için geçerlidir ve;
d) tabanına çizilen bir ikizkenar üçgenin yüksekliği, bu üçgenin tepe noktasındaki açıyı ikiye böler;
e) Negatif olmayan sayılar için ve eşitsizlik sağlandığında;
f) bir daire içine yazılan bir dörtgenin iki zıt açısının toplamı 180'dir;
g) sayının rasyonel bir sayı olmaması;
h) 10'dan büyük tüm asal sayılar tektir;
i) bir karenin köşegenleri kesişme noktasında eşit, dik ve ikiye bölünür;
j) belirli bir daireye yazılan tüm dörtgenler arasında kare en büyük alana sahiptir;
k) çift bir asal sayı var;
l) hiçbir asal sayı iki farklı tek doğal sayının toplamı olarak gösterilemez;
m) Birinci doğal sayıların küplerinin toplamı bir doğal sayının karesidir.
5.* Önceki problemde verilen teoremlerin her birini birkaç farklı biçimde yazın.
Cevaplar ve yol tarifleri
Görev 1. Aşağıdakileri gözlemleyerek hangi varsayımlarda bulunabilirsiniz:
a) iki bitişik doğal sayının çarpımı;
b) iki bitişik doğal sayının toplamı;
c) ardışık üç doğal sayının toplamı;
d) üç tek sayının toplamı;
D)ondalık gösterimde son rakamlardoğal;
e) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> düzlemin bölündüğü parça sayısı https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" genişlik = "17" yükseklik = "15"> Düz çizgiler ikili olarak paraleldir ve kesişir.gif" genişlik = "13 yükseklik = 20" yükseklik = "20"> düzlemin bölündüğü parça sayısı https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> yalnızca dört rakam elde edilebilir:
0, 1, 5, 6; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height = "20 src = ">.gif" width = "13" height = "20 src = ">.gif" genişlik ="13" yükseklik="15"> -gon eşittir;
b) herhangi iki dik ikizkenar üçgen benzerdir;
c) eşitlikherhangi bir tamsayı için çalışırVe;
Matematiksel bir ifadenin kanıtı, kural olarak, geçerliliği daha önce belirlenmiş aksiyomlar ve teoremler kullanılarak yapılan doğru akıl yürütme zinciridir. Tüm öncüllerin doğruluğu, sonucun doğruluğunu ima ediyorsa, akıl yürütmenin doğru olduğu düşünülür. \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) ifadeleri öncül, \(A\) ifadesi ise sonuç olsun. Muhakeme şemaya göre gerçekleştirilir \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), yani \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) varsayımlarından \(B\) sonucu çıkar. Bu mantık doğrudur eğer formül \((A_1\Ve A_2\Ve \ldots\And A_n)\Rightarrow B\) aynı şekilde doğrudur, yani içinde yer alan ifadelerin herhangi bir doğruluk değeri için true \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .
Örneğin, aşağıdaki diyagramlar doğru mantığa karşılık gelir:
\(\frac(A\Rightarrow B,A)(B)\)- çıkarım kuralı ( modus ponens);
\(\frac(A\Rightarrow B,B\Rightarrow C)(A \Rightarrow C)\)- kıyas kuralı;
\(\frac(A\Rightarrow B,\lnot B)(\lnot A)\)- zıtlık kuralı.
Birinci ve üçüncü şemalara dayanarak aşağıdaki mantık oluşturulmuştur:
– eğer \(n\) doğal sayısı 4'e bölünüyorsa çift sayıdır. \(n\) sayısı 4'e bölünebilir. Bu nedenle n sayısı çifttir;
– eğer \(n\) doğal sayısı 4'e bölünüyorsa çift sayıdır. \(n\) sayısı tektir. Bu nedenle \(n\) sayısı 4'e bölünemez.
Her iki argüman da herhangi bir doğal sayı \(n\) için doğrudur. Aslında \(n=1\) ile bile, görünürdeki tutarsızlığa rağmen, doğru akıl yürütmeye sahibiz: “Eğer 1 sayısı 4'e bölünüyorsa, o zaman 1 sayısı 4'e bölünebilir. Bu nedenle, 1 sayısı çifttir”, çünkü Yanlış öncüllerden herhangi bir sonuca varmak için kullanılabilir.
Şemaya göre bir akıl yürütme örneğini ele alalım \(\frac(A\Sağ Ok B,B)(A):\)
– eğer \(n\) doğal sayısı 4'e bölünüyorsa çift sayıdır. \(\) sayısı çifttir. Bu nedenle \(n\) sayısı 4'e bölünebilir.
Sırasıyla \(n=6\) ve \(n=8\) için şunu elde ederiz:
- 6 doğal sayısı 4'e bölünüyorsa çift sayıdır. 6 sayısı çifttir. Bu nedenle 6 sayısı 4'e bölünür;
- 8 doğal sayısı 4'e bölünüyorsa çift sayıdır. 8 sayısı çifttir. Bu nedenle 8 sayısı 4'e bölünür.
İkinci argümanın sonucu doğru olmasına rağmen her iki argüman da yanlıştır (8 sayısı aslında 4'e bölünebilir), yani. şema \(\frac(A\Rightarrow B,B)(A)\) doğru mantığa uymuyor.
Çoğu zaman, \(A\Rightarrow B\) formundaki bir teoremi kanıtlamak yerine, orijinal ifadeye eşdeğer başka bir ifadenin doğruluğunu kanıtlarlar. Bu tür kanıt türlerine dolaylı denir. Bunlardan biri çelişki yoluyla ispat yöntemidir. \(A\Rightarrow B\) ifadesinin doğruluğunu kanıtlamak için bu ifadenin yanlış olduğunu varsayıyoruz. Bu varsayıma dayanarak bir çelişkiye varırız, yani bazı ifadelerin aynı anda hem doğru hem de doğru olmadığını kanıtlarız. Buradan varsayımın yanlış olduğu ve orijinal ifadenin doğru olduğu sonucuna varıyoruz.
Açıklanan yöntemi kullanarak ifadeyi kanıtlıyoruz:
eğer \(n\) tek bir sayıysa, o zaman \(n^2\) sayısı da tektir.
Tam tersini varsayalım, yani. \(n^2\) sayısı çift olacak şekilde tek bir \(n\) sayısı olsun. O zaman, bir yandan \(n^2-n\) farkı tek bir sayı olacak, diğer yandan \(n^2-n=n(n-1)\) sayısı açıkça olacak ardışık iki tam sayının çarpımı gibi. Bir çelişki elde edilir, yani: \(n^2-n\) sayısı aynı anda hem çift hem de tektir. Bu, yapılan varsayımın yanlış olduğunu ve dolayısıyla orijinal ifadenin doğru olduğunu kanıtlar.
Çelişki yoluyla ispatın dikkate alınan şeması tek şema değildir. Çelişki yoluyla ispat için diğer şemalar da kullanılır:
\(\frac(A,\lB değil)(\lA değil)\) veya \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .
Dolaylı kanıtın başka bir şeması (zıtlık yasasına göre), \(A\Rightarrow B\) ve \(B\Rightarrow \lnot A\) iki ifadenin eşdeğerliğine dayanır. Aslında bu ifadelerin ya ikisi de doğrudur ya da her ikisi de yanlıştır. Örneğin “yağmur yağıyorsa gökyüzünde bulutlar var demektir” ve “gökte bulut yoksa yağmur yağmıyor demektir” ifadelerinin her ikisi de doğrudur ancak “eğer gökyüzünde bulutlar varsa” ifadeleri "Gökyüzünde yağmur yağıyor" ve "Eğer yağmur yağmıyorsa, o zaman gökyüzünde bulut yok" ifadelerinin ikisi de yanlıştır.
Pek çok problemde, herhangi bir doğal sayı \(n\) için bazı ifadelerin (formüllerin) geçerliliğini kanıtlamanız gerekir. Doğrudan kontrol Doğal sayılar kümesi sonsuz olduğundan, n'nin her değeri için bu tür ifadeler imkansızdır. Bu tür ifadeleri (formülleri) kanıtlamak için kullanıyoruz matematiksel tümevarım yöntemiözü aşağıdaki gibidir. Tüm \(n\in \mathbb(N)\) için \(A(n)\) ifadesinin doğruluğunu kanıtlamak gerekli olsun. Bunu yapmak için iki ifadeyi kanıtlamak yeterlidir:
1) \(A(n)\) ifadesi \(n=1\) için doğrudur. İspatın bu kısmına tümevarım temeli denir;
2) herhangi bir doğal sayı \(k\) için, ifadenin \(n=k\) için doğru olması gerçeğinden (tümevarımsal varsayım), bunun bir sonraki \(n=k+1\) sayısı için doğru olduğu sonucu çıkar yani . \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . İspatın bu kısmına tümevarım adımı denir.
Eğer 1, 2 noktaları kanıtlanırsa, \(A(n)\) ifadesinin herhangi bir \(n\) doğal sayısı için doğru olduğu sonucuna varabiliriz.
Aslında, eğer \(A(1)\) ifadesi doğruysa (bkz. madde 1), o zaman \(A(2)\) ifadesi de doğrudur (bkz. madde 2 için \(n=1\)). \(A(2)\) doğru olduğundan, \(A(3)\) da doğrudur (\(n=2\) için 2. noktaya bakın), vb. Bu şekilde, \(A(n)\)'nin doğru olduğundan emin olurken herhangi bir \(n\) doğal sayısına ulaşabilirsiniz.
Not B.6. Bazı durumlarda, belirli bir \(A(n)\) ifadesinin geçerliliğinin tüm doğal \(n\) için değil, yalnızca \(n\geqslant p\) için kanıtlanması gerekli olabilir; bazı sabit sayıdan başlayarak \(p\) . Daha sonra matematiksel tümevarım yöntemi şu şekilde değiştirilir:
1) tümevarım temeli: \(A(p)\)'nin doğruluğunu kanıtlayın;
2) tümevarım adımı: herhangi bir sabit \(k\geqslant p\) için \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\)'yi kanıtlayın.
1, 2 numaralı noktalardan \(A(n)\) ifadesinin tüm doğal sayılar \(n\geqslant p\) için doğru olduğu sonucu çıkar.
Örnek B.16. Herhangi bir doğal sayı \(n\) için \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) eşitliğinin geçerliliğini kanıtlayın.
Çözüm.İlk \(n\) tek sayıların toplamını \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) ile gösterelim. \(A(n):\) "\(S_n=n^2\) eşitliği herhangi bir \(n\in \mathbb(N)\) için doğrudur" ifadesinin kanıtlanması gerekir. İspatı tümevarımla gerçekleştireceğiz.
1) \(S_1=1=1^2\) olduğundan, \(n=1\) için \(S_n=n^2\) eşitliği doğrudur, yani. \(A(1)\) ifadesi doğrudur. İndüksiyonun temeli kanıtlanmıştır.
2) \(k\) herhangi bir doğal sayı olsun. Tümevarım adımını \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) gerçekleştirelim. \(A(n)\) ifadesinin \(n=k\) için doğru olduğunu varsayarsak, yani. \(S_k=k^2\) , \(A(n)\) ifadesinin bir sonraki \(n=k+1\) doğal sayısı için, yani \(S_(k+) için doğru olduğunu kanıtlayalım. 1)=(k +1)^2\) . Gerçekten mi,
\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)
Bu nedenle, \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) ve matematiksel tümevarım yöntemine dayanarak, \(A(n)\) ifadesinin herhangi bir doğal sayı \(n\) için doğru olduğu sonucuna varırız. ), yani \( S_n=n^2\) formülü herhangi bir \(n\in \mathbb(N)\) için doğrudur.
Örnek B.17.\(n\) sayıların permütasyonu, belirli bir sıraya göre alınan ilk \(n\) doğal sayıların kümesidir. Farklı permütasyon sayısının \(n!\)'a eşit olduğunu kanıtlayın. \(n!\) ifadesi ("\(n\) faktöriyel" olarak okunur) şuna eşittir: \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). \(n\) sayısının iki permütasyonu \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) ve \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) eğer eşit kabul edilirse \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\) ve eğer eşitliklerden en az biri ihlal edilirse permütasyonlar farklı kabul edilir.
Çözüm.İspatı matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak gerçekleştirelim.
1) \(n=1\) için yalnızca bir permütasyon \((1)\) vardır, yani. \(1!=1\) ve ifade doğrudur.
2) Herhangi bir \(k\) için permütasyon sayısının \(k!\)'ye eşit olduğunu varsayalım. \((k+1)\) sayısının permütasyon sayısının \((k+1)!\)'ye eşit olduğunu kanıtlayalım. Aslında, \((k+1)\) sayısını \((k+1)\) sayıların permütasyonunda herhangi bir yere sabitleyelim ve ilk \(k\) doğal sayılarını kalan \'a yerleştirelim. (k\) yer . Bu tür permütasyonların sayısı \(k\) sayıların permütasyon sayısına eşittir, yani. \(k!\) tümevarım hipoteziyle. \((k+1)\) sayısı permütasyondaki (k+1) basamaklardan herhangi birine yerleştirilebildiğinden, \((k+1)\) sayısının farklı permütasyonlarının sayısının eşit olduğu sonucuna varırız \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\)'a. Böylece, ifadenin \(n=k\) için doğru olduğunu varsayarak, bunun \(n=k+1\) için doğru olduğunu kanıtlamak mümkün oldu.
1. ve 2. noktalardan, ifadenin herhangi bir \(n\) doğal sayısı için doğru olduğu sonucu çıkar.
Not B.7.Çoklu doğru akıl yürütme modellerini kullanarak teoremleri türetmeye yönelik resmi yöntemler, matematiksel mantıkta incelenir. Kural olarak, bu yöntemler yalnızca eski içeriği yansıtan yeni teorem formülasyonları üretir. Bu nedenle kalkınma için matematiksel teori etkisizdirler. Ancak herhangi bir matematik problemini incelerken matematiksel mantığın yasalarına ve doğru akıl yürütme şemalarına uyulmalıdır.
Tarayıcınızda Javascript devre dışı.Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!
Teoremler nasıl kanıtlanır?
Teoremi kanıtlama prosedürü sadece karmaşık görünüyor. Mantıklı düşünebilmeniz, bu bilim dalında gerekli bilgiye sahip olmanız yeterli, teoremi ispatlamak sizin için zor olmayacak. Tüm eylemleri net bir şekilde doğru sırayla gerçekleştirmek önemlidir.
Cebir ve geometri gibi bazı bilimlerde en önemli becerilerden biri teoremleri kanıtlama yeteneğidir. Bunun nedeni kanıtlanmış teoremlerin daha sonra problemlerin çözümünde faydalı olacağıdır. Sadece ispat algoritmasını öğrenmeniz değil, aynı zamanda onun özünü de anlayabilmeniz gerekir. Teoremlerin nasıl kanıtlanacağını bulalım.
Teoremlerin kanıtı
Öncelikle bir çizim yapmanız gerekir; net ve düzgün olmalıdır. Bundan sonra belirtilen koşulları üzerinde işaretlemeniz gerekir. "Verilenler" sütununa başlangıçta bildiğiniz tüm miktarları ve neyi kanıtlamanız gerektiğini yazmanız gerekir. Bundan sonra kanıta devam edebilirsiniz. Temel olarak, bir ifadenin doğru olduğunu göstermenize olanak tanıyan, mantıksal olarak oluşturulmuş bir düşünceler zinciridir. Bir teoremin kanıtlanması, diğer teoremlerin, aksiyomların, çelişkilerin vb. kullanılmasını içerir.
Dolayısıyla bir teoremin kanıtı, doğruluğu tartışılamayacak bir ifadenin elde edilmesini sağlayan belirli bir eylemler dizisidir. Kural olarak, ispat sırasındaki en zor şey tam olarak bir dizi mantıksal akıl yürütme arayışıdır. Eğer bu başarılı olursa, sizden neyin istendiğini kanıtlayabileceksiniz.
Geometride teoremlerin zorlanmadan kanıtlanması
Görevinizi basitleştirmek için teoremi parçalara ayırabilir ve her birini ayrı ayrı kanıtlayabilirsiniz, bu da sonuçta sizi sonuca götürecektir. Bazı durumlarda “çelişkiyle ispat” yöntemini kullanmak etkili olur. O zaman “tam tersini varsayalım” sözleriyle başlamalısınız. Nedeni açıklanmalı bu durumdaşu ya da bu sonuç imkansızdır. “Öyleyse orijinal ifade doğrudur” sözleriyle bitirmeniz gerekir. Teorem kanıtlandı."
Hatta daha fazla kullanışlı bilgi Geometri ile ilgili bölümde bulunabilir.
Cebir periyodik olarak teoremleri kanıtlamak zorundadır. Kanıtlanmış teorem çözmede size yardımcı olacaktır. Bu nedenle, ispatı mekanik olarak ezberlemek değil, teoremin özünü anlamak son derece önemlidir, böylece pratikte ona göre yönlendirilebilirsiniz.
İlk önce teoremin açık ve düzgün bir diyagramını çizin. İşaretle Latin harfleriyle zaten bildiğin şey. Bilinen tüm miktarları “Verilenler” sütununa yazın. Daha sonra, "Kanıtla" sütununda neyin kanıtlanacağını formüle edin. Artık ispata başlayabiliriz. Bir ifadenin doğruluğunun gösterildiği bir mantıksal düşünceler zinciridir. Bir teoremi ispatlarken şunları kullanabilirsiniz (ve hatta bazen kullanmanız gerekir). çeşitli hükümler aksiyomlar, çelişkiler ve hatta daha önce kanıtlanmış diğer teoremler.
Dolayısıyla kanıt, inkar edilemez bir sonuç elde ettiğiniz bir dizi eylemdir. Bir teoremi kanıtlamadaki en büyük zorluk, kanıtlanması gereken şeyin araştırılmasına yol açacak mantıksal akıl yürütme sırasını tam olarak bulmaktır.
Teoremi parçalara ayırın ve ayrı ayrı kanıtlayarak sonunda istediğiniz sonuca ulaşacaksınız. "Çelişki yoluyla kanıtlama" becerisinde ustalaşmak faydalıdır; bazı durumlarda bu, bir teoremi kanıtlamanın en kolay yoludur. Onlar. Kanıtınıza “aksini varsayalım” sözüyle başlayın ve yavaş yavaş bunun olamayacağını kanıtlayın. İspatı şu ifadeyle tamamlayın: “Bu nedenle orijinal ifade doğrudur. Teorem kanıtlandı."
Francois Viète ünlü bir Fransız matematikçidir. Vieta teoremi, ikinci dereceden denklemleri basitleştirilmiş bir şema kullanarak çözmenize olanak tanır ve sonuç olarak hesaplamalara harcanan zamandan tasarruf sağlar. Ancak teoremin özünü daha iyi anlamak için formülasyonun özüne inilip kanıtlanması gerekir.
Vieta teoremi
Bu tekniğin özü, bir ayrımcının yardımı olmadan kökleri bulmaktır. İki farklı gerçek kökün olduğu x2 + bx + c = 0 formundaki bir denklem için iki ifade doğrudur.İlk ifade, bu denklemin köklerinin toplamının x değişkeninin katsayısının değerine eşit olduğunu belirtir (bu durumda b'dir), ancak zıt işaret. Görsel olarak şuna benzer: x1 + x2 = −b.
İkinci ifade artık toplamla değil, aynı iki kökün çarpımıyla ilgilidir. Bu ürün serbest katsayıya eşittir, yani. C. Veya x1 * x2 = c. Bu örneklerin her ikisi de sistemde çözülmüştür.
Vieta teoremi çözümü büyük ölçüde basitleştirir ancak bir sınırlaması vardır. Bu teknik kullanılarak kökleri bulunabilen ikinci dereceden bir denklemin indirgenmesi gerekir. Yukarıdaki denklemde x2'nin önündeki a katsayısı bire eşittir. Herhangi bir denklem, ifadenin birinci katsayıya bölünmesiyle benzer bir forma getirilebilir, ancak her zaman bu geçerli değildir. bu operasyon akılcı.
Teoremin kanıtı
Başlangıç olarak, geleneğe göre kökleri aramanın nasıl geleneksel olduğunu hatırlamalıyız. ikinci dereceden denklem. Birinci ve ikinci kökler bulunur: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Genel olarak 2a'ya bölünebilir, ancak daha önce de belirtildiği gibi teorem yalnızca a=1 olduğunda uygulanabilir.Vieta teoreminden köklerin toplamının eksi işaretli ikinci katsayıya eşit olduğu bilinmektedir. Bu, x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b anlamına gelir.
Aynı durum bilinmeyen köklerin çarpımı için de geçerlidir: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Buna karşılık, D = b2-4c (yine a=1 ile). Sonuç şu şekildedir: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Verilen basit kanıttan yalnızca tek bir sonuç çıkarılabilir: Vieta teoremi tamamen doğrulanmıştır.
İkinci formülasyon ve kanıt
Vieta teoreminin başka bir yorumu daha var. Daha doğrusu bu bir yorum değil, bir formülasyondur. Gerçek şu ki, ilk durumda olduğu gibi aynı koşullar yerine getirilirse: iki farklı gerçek kök varsa, o zaman teorem başka bir formülle yazılabilir.Bu eşitlik şuna benzer: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). P(x) fonksiyonu x1 ve x2 noktasında kesişiyorsa P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) şeklinde yazılabilir. P'nin ikinci bir dereceye sahip olması durumunda, ki bu orijinal ifadenin tam olarak neye benzediğidir, o zaman R bir asal sayıdır, yani 1'dir. Bu ifade, aksi takdirde eşitliğin sağlanamayacağı için doğrudur. Parantez açılırken x2 katsayısı birden büyük olmamalı ve ifade kare kalmalıdır.
Sadece her okul çocuğu değil, aynı zamanda kendine saygısı olan her çocuk Eğitimli kişi Teoremin ve teoremlerin ispatının ne olduğunu bilmelidir. Belki bu tür kavramlar bulunmayacak gerçek hayat, ancak kesinlikle pek çok bilgiyi yapılandırmaya ve sonuç çıkarmaya yardımcı olacaklar. Bu nedenle bu makalede teoremleri kanıtlama yöntemlerine bakacağız ve ayrıca ünlü Pisagor teoremini tanıyacağız.
Teorem nedir?
Bir okul matematik dersini düşünürsek, çoğunlukla teorem, aksiyom, tanım ve kanıt gibi bilimsel terimleri içerir. Programda gezinmek için bu tanımların her birine aşina olmanız gerekir. Şimdi teoremin ve teoremlerin ispatının ne olduğuna bakacağız.
Yani bir teorem kanıt gerektiren kesin bir ifadedir. Dikkate almak bu kavram aksiyoma paralel olarak gereklidir, çünkü ikincisi kanıt gerektirmez. Tanımı zaten doğrudur, dolayısıyla olduğu gibi kabul edilir.
Teoremlerin uygulama kapsamı
Teoremlerin sadece matematikte kullanıldığını düşünmek yanlıştır. Aslında bu durumdan çok uzak. Örneğin fizikte, belirli olguları ve kavramları ayrıntılı olarak ve her yönden incelememize olanak tanıyan inanılmaz sayıda teorem vardır. Buna Ampere, Steiner ve diğerlerinin teoremleri de dahildir. Bu tür teoremlerin kanıtları eylemsizlik momenti, statik, dinamik ve diğer birçok fizik kavramını iyi anlamanızı sağlar.
Matematikte teoremlerin kullanılması
Teoremler ve kanıtlar olmadan matematik gibi bir bilimi hayal etmek zordur. Örneğin, üçgen teoremlerinin kanıtları, şeklin tüm özelliklerini ayrıntılı olarak incelemenizi sağlar. Sonuçta ikizkenar üçgenin özelliklerini ve daha birçok şeyi anlamak çok önemlidir.
Alan teoreminin kanıtı, bir şeklin alanını bazı verilere dayanarak hesaplamanın en kolay yolunu anlamanızı sağlar. Sonuçta bildiğiniz gibi üçgenin alanının nasıl bulunacağını açıklayan çok sayıda formül var. Ancak bunları kullanmadan önce belirli bir durumda bunun mümkün ve rasyonel olduğunu kanıtlamak çok önemlidir.
Teoremler nasıl kanıtlanır
Her öğrenci teoremin ne olduğunu ve teoremlerin ispatını bilmelidir. Aslında herhangi bir ifadeyi kanıtlamak o kadar kolay değil. Bunu yapmak için çok fazla veriyle çalışmanız ve mantıksal sonuçlar çıkarabilmeniz gerekir. Elbette belirli bir bilimsel disiplin hakkında iyi bir bilgi birikiminiz varsa o zaman teoremi kanıtlamak sizin için zor olmayacaktır. Önemli olan ispat prosedürünü belirli bir mantıksal sırayla gerçekleştirmektir.
Geometri ve cebir gibi bilimsel disiplinlerde teoremlerin nasıl ispatlanacağını öğrenmek için ispat algoritmasının kendisini bilmenin yanı sıra iyi bir bilgiye de sahip olmanız gerekir. Bu prosedürde ustalaşırsanız, matematik problemlerini daha sonra çözmek sizin için zor olmayacaktır.
Teorem ispatı hakkında bilmeniz gerekenler
Teorem ve teoremlerin ispatı nedir? Bu pek çok insanı endişelendiren bir soru modern toplum. Matematiksel teoremlerin nasıl kanıtlanacağını öğrenmek çok önemlidir; bu, matematik teoremlerini oluşturmanıza yardımcı olacaktır. mantıksal zincirler ve belli bir sonuca varıyoruz.
Dolayısıyla teoremi doğru bir şekilde kanıtlamak için doğru çizimin yapılması çok önemlidir. Koşulda belirtilen tüm verileri görüntüler. Görevde verilen tüm bilgilerin yazılması da çok önemlidir. Bu, görevi doğru bir şekilde analiz etmenize ve içinde tam olarak hangi miktarların verildiğini anlamanıza yardımcı olacaktır. Ve ancak bu tür prosedürlerden sonra ispatın kendisine başlayabiliriz. Bunu yapmak için diğer teoremleri, aksiyomları veya tanımları kullanarak mantıksal olarak bir düşünce zinciri oluşturmanız gerekir. İspatın sonucu, doğruluğu şüphe götürmeyen bir sonuç olmalıdır.
Teoremleri kanıtlamanın temel yolları
Okul matematik dersinde bir teoremi kanıtlamanın iki yolu vardır. Çoğu zaman, problemler doğrudan yöntemin yanı sıra çelişkili ispat yöntemini de kullanır. İlk durumda, mevcut verileri basitçe analiz ederler ve bunlara dayanarak uygun sonuçları çıkarırlar. Bunun tersi yöntem de sıklıkla kullanılmaktadır. Bu durumda tersini varsayıp bunun yanlış olduğunu ispatlıyoruz. Buna dayanarak tam tersi bir sonuç elde ediyoruz ve kararımızın yanlış olduğunu söylüyoruz, bu da koşulda belirtilen bilgilerin doğru olduğu anlamına geliyor.
Aslında birçok matematik probleminin birden fazla çözümü olabilir. Örneğin Fermat teoreminin çeşitli kanıtları vardır. Elbette bazıları yalnızca tek bir şekilde ele alınır, ancak örneğin Pisagor teoreminde birkaçı aynı anda düşünülebilir.
Pisagor teoremi nedir
Elbette her okul çocuğu Pisagor teoreminin özellikle dik üçgen için geçerli olduğunu bilir. Ve kulağa şöyle geliyor: "Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Bu teorem ismine rağmen Pisagor'un kendisi tarafından değil, ondan çok önce keşfedilmiştir. Bu ifadeyi kanıtlamanın birkaç yolu var ve bunlardan bazılarına bakacağız.
Bilimsel verilere göre başlangıçta eşkenar dik üçgen düşünülüyordu. Daha sonra her tarafına kareler yapıldı. Hipotenüs üzerine kurulan bir kare birbirine eşit dört üçgenden oluşacaktır. Yanlara inşa edilen figürler ise aynı üçgenlerden sadece ikisinden oluşacaktır. Pisagor teoreminin bu kanıtı en basitidir.
Bu teoremin başka bir kanıtını ele alalım. Sadece geometriden değil cebirden de bilgi kullanmayı gerektirir. Bu teoremi bu şekilde kanıtlamak için dört benzer dik üçgen oluşturmamız ve kenarlarını a, b ve c olarak etiketlememiz gerekiyor.
Bu üçgenleri iki kare elde edecek şekilde inşa etmemiz gerekiyor. Dıştakinin kenarları (a+b), içtekinin ise c olacak. İç karenin alanını bulmak için c*c çarpımını bulmamız gerekiyor. Ancak büyük bir karenin alanını bulmak için küçük karelerin alanlarını toplayıp elde edilen sonuçların alanlarını toplamanız gerekir. dik üçgenler. Şimdi bazı cebirsel işlemler yaptıktan sonra aşağıdaki formülü elde edebiliriz:
a 2 + b 2 = c 2
Aslında teoremleri kanıtlamak için çok sayıda yöntem vardır. Dik, üçgen, kare veya diğer şekiller ve bunların özellikleri çeşitli teoremler ve ispatlar kullanılarak incelenebilir. Pisagor teoremi yalnızca bunu doğrulamaktadır.
Bir sonuç yerine
Teoremleri formüle edebilmek ve bunları doğru bir şekilde kanıtlayabilmek çok önemlidir. Elbette böyle bir prosedür oldukça karmaşıktır, çünkü bunu uygulamak için yalnızca büyük miktarda bilgiyle çalışabilmek değil, aynı zamanda mantıksal zincirler oluşturmak da gereklidir. Matematik çok ilginç bilim, ne sonu ne de kenarı olan.
Çalışmaya başladığınızda sadece zeka seviyenizi artırmakla kalmayacak, aynı zamanda büyük miktarda kazanç elde edeceksiniz. ilginç bilgi. Bugün eğitiminize başlayın. Teorem ispatlarının temel prensiplerini anlayarak zamanınızı büyük fayda ile geçirebileceksiniz.
