Студента-психолога (соціолога, менеджера, управлінця та інших.) нерідко цікавить, як пов'язані між собою дві чи більше змінних у однієї чи кількох досліджуваних групах.
У математиці для опису зв'язків між змінними величинами використовують поняття функції F, яка ставить у відповідність кожному певному значенню незалежної змінної X певне значення залежної змінної Y. Отримана залежність позначається як Y=F(X).
При цьому види кореляційних зв'язків між виміряними ознаками можуть бути різні: так, кореляція буває лінійною та нелінійною, позитивною та негативною. Вона лінійна - якщо зі збільшенням або зменшенням однієї змінної X, друга змінна Y в середньому або також зростає, або зменшується. Вона нелінійна, якщо зі збільшенням однієї величини характер зміни другий не лінійний, а описується іншими законами.
Кореляція буде позитивною, якщо зі збільшенням змінної X змінна Y в середньому також збільшується, а якщо зі збільшенням X змінна Y має середньому тенденцію до зменшення, то говорять про наявність негативної кореляції. Можлива ситуація, коли між змінними неможливо встановити будь-яку залежність. І тут говорять про відсутність кореляційного зв'язку.
Завдання кореляційного аналізузводиться до встановлення напрямку (позитивне або негативне) і форми (лінійний, нелінійний) зв'язок між варіюючими ознаками, вимірювання її тісноти, і, нарешті, до перевірки рівня значущості отриманих коефіцієнтів кореляції.
Коефіцієнт кореляції рангів, запропонований К. Спірменом, відноситься до непараметричних показників зв'язку між змінними, виміряними в ранговій шкалі. При розрахунку цього коефіцієнта не потрібно ніяких припущень про характер розподілу ознак у генеральної сукупності. Цей коефіцієнт визначає ступінь тісноти зв'язку порядкових ознак, які у разі є ранги порівнюваних величин.
Ранговий коефіцієнт лінійної кореляціїСпірмена підраховується за такою формулою:
де n - кількість ранжованих ознак (показників, випробуваних);
D - різниця між рангами по двох змінних для кожного випробуваного;
D2 – сума квадратів різниць рангів.
Критичні значення коефіцієнта кореляції рангів Спірмена представлені нижче:
Величина коефіцієнта лінійної кореляції Спірмена лежить в інтервалі +1 та -1. Коефіцієнт лінійної кореляції Спірмена може бути позитивним та негативним, характеризуючи спрямованість зв'язку між двома ознаками, виміряними в ранговій шкалі.
Якщо коефіцієнт кореляції за модулем виявляється близьким до 1, це відповідає високого рівнязв'язки між змінними. Так, зокрема, при кореляції змінної величини із самою собою величина коефіцієнта кореляції дорівнюватиме +1. Такий зв'язок характеризує прямо пропорційну залежність. Якщо значення змінної X будуть розташовані в порядку зростання, а ті ж значення (позначені тепер вже як змінна Y) будуть розташовуватися в порядку спадання, то в цьому випадку кореляція між змінними Х і Y дорівнюватиме точно -1. Така величина коефіцієнта кореляції характеризує обернено пропорційну залежність.
Знак коефіцієнта кореляції дуже важливий для інтерпретації отриманого зв'язку. Якщо знак коефіцієнта лінійної кореляції - плюс, то зв'язок між корелюючими ознаками така, що більшій величині однієї ознаки (змінної) відповідає велика величина іншої ознаки (іншої змінної). Іншими словами, якщо один показник (змінна) збільшується, то відповідно збільшується й інший показник (змінна). Така залежність зветься прямо пропорційної залежності.
Якщо отримано знак мінус, то більшій величині однієї ознаки відповідає менша величина іншого. Інакше висловлюючись, за наявності знака мінус, збільшення однієї змінної (ознака, значення) відповідає зменшення інший змінної. Така залежність носить назву обернено пропорційної залежності. У цьому вибір змінної, якій приписується характер (тенденція) зростання - довільний. Це може бути як змінна X, так і змінна Y. Однак якщо вважається, що збільшується змінна X, то змінна Y відповідно зменшуватиметься, і навпаки.
Розглянемо приклад кореляції Спірмена.
Психолог з'ясовує, як пов'язані між собою індивідуальні показникиготовності до школи, отримані до початку навчання у школі у 11 першокласників та їхня середня успішність наприкінці навчального року.
Для вирішення цього завдання було проранжовано, по-перше, значення показників шкільної готовності, отримані під час вступу до школи, і, по-друге, підсумкові показники успішності наприкінці року в тих учнів у середньому. Результати подаємо у таблиці:
Підставляємо отримані дані у наведену вище формулу, і проводимо розрахунок. Отримуємо:
Для знаходження рівня значущості звертаємося до таблиці "Критичні значення коефіцієнта кореляції рангів Спірмена", в якій наведено критичні значення для коефіцієнтів рангової кореляції.
Будуємо відповідну «вісь значущості»:
Отриманий коефіцієнт кореляції збігся з критичним значенням рівня значимості в 1%. Отже, можна стверджувати, що показники шкільної готовності та підсумкові оцінки першокласників пов'язані позитивною кореляційною залежністю - інакше кажучи, чим вищий показник шкільної готовності, тим краще навчається першокласник. В термінах статистичних гіпотезпсихолог повинен відхилити нульову (Н0) гіпотезу про схожість і прийняти альтернативну (Н1) про наявність відмінностей, яка говорить про те, що зв'язок між показниками шкільної готовності та середньою успішністю відрізняється від нуля.
Кореляція спірмена. Кореляційний аналіз методом спірмена. Ранги спірмена. Коефіцієнт кореляції Спірмена. Рангова кореляція Спірмена
У випадках, якщо вимірювання досліджуваних ознак проводяться в шкалі порядку, або форма взаємозв'язку відрізняється від лінійної, дослідження взаємозв'язку між двома випадковими величинамиздійснюється за допомогою рангових коефіцієнтів кореляції. Розглянемо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена. За його обчисленні необхідно ранжувати (упорядкувати) варіанти вибірки. Ранжуванням називається угруповання експериментальних даних у певному порядку, або за зростанням, або за зменшенням.
Проведення операції ранжирування здійснюється за таким алгоритмом:
1. Найменшому значенню нараховується менший ранг. Найбільшому значенню нараховується ранг, відповідний кількості значень, що ранжуються. Найменшому значенню нараховується ранг 1. Наприклад, якщо n=7, то найбільше значенняотримає ранг під номером 7, крім випадків, передбачених другим правилом.
2. Якщо кілька значень рівні, то їм нараховується ранг, що є середнім значенням з тих рангів, які вони отримали б, якби не були рівні. Як приклад розглянемо впорядковану за зростанням вибірку, що складається з 7 елементів: 22, 23, 25, 25, 25, 28, 30. Значення 22 і 23 зустрічаються по одному разу, тому їх ранги відповідно дорівнюють R22=1, а R23=2 . Значення 25 трапляється 3 рази. Якби ці значення не повторювалися, їх ранги були б рівними 3, 4, 5. Тому їх ранг R25 дорівнює середньому арифметичному 3, 4 і 5: . Значення 28 та 30 не повторюються, тому їх ранги відповідно дорівнюють R28=6, а R30=7. Остаточно маємо таку відповідність:
3. Загальна сумарангів має збігатися з розрахунковою, яка визначається за формулою:
де n - Загальна кількістьранжованих значень.
Розбіжність реальної та розрахункової сумрангів свідчить про помилку, допущену при нарахуванні рангів або їх підсумовування. У цьому випадку необхідно знайти та виправити помилку.
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена є методом, що дозволяє визначити силу та спрямованість взаємозв'язку між двома ознаками або двома ієрархіями ознак. Застосування коефіцієнта рангової кореляції має низку обмежень:
- а) Передбачувана кореляційна залежність повинна мати монотонний характер.
- б) Обсяг кожної з вибірок має бути більшим або дорівнює 5. Для визначення верхнього кордонувибірки користуються таблицями критичних значень(Таблиця 3 Програми). Максимальне значення n таблиці - 40.
- в) Під час проведення аналізу можлива можливість появи великої кількості однакових рангов. У цьому випадку необхідно вносити поправку. Найбільш сприятливим є випадок коли обидві досліджувані вибірки являють собою дві послідовності несупадних значень.
Для проведення кореляційного аналізу дослідник повинен мати дві вибірки, які можуть бути ранжовані, наприклад:
- - Дві ознаки, виміряні в одній і тій же групі піддослідних;
- - дві індивідуальні ієрархії ознак, виявлені у двох піддослідних по одному й тому набору ознак;
- - Дві групові ієрархії ознак;
- - індивідуальна та групова ієрархії ознак.
Розрахунок починаємо з ранжирування показників, що вивчаються окремо за кожною з ознак.
Проведемо аналіз випадку з двома ознаками, виміряними в одній і тій же групі випробуваних. Спочатку ранжують індивідуальні значення за першою ознакою, отримані різними випробуваними, а потім індивідуальні значення за другою ознакою. Якщо меншим рангам одного показника відповідають менші ранги іншого показника, а більшим рангам одного показника відповідають більші ранги іншого показника, дві ознаки пов'язані позитивно. Якщо ж більшим рангам одного показника відповідають менші ранги іншого показника, дві ознаки пов'язані негативно. Для знаходження rs визначаємо різниці між рангами (d) по кожному випробуваному. Що менше різниці між рангами, то ближче коефіцієнт рангової кореляції rs буде до «+1». Якщо взаємозв'язок відсутня, то між ними не буде жодної відповідності, отже, rs виявиться близьким до нуля. Чим більше різниці між рангами випробуваних за двома змінними, тим ближче до «-1» буде значення коефіцієнта rs. Таким чином, коефіцієнт рангової кореляції Спірмена є мірою будь-якої монотонної залежності між двома ознаками, що досліджуються.
Розглянемо випадок з двома індивідуальними ієрархіями ознак, виявленими у двох піддослідних по одному й тому набору ознак. У цій ситуації ранжують індивідуальні значення, отримані кожним із двох випробуваних за певною сукупністю ознак. Ознаку із самим низьким значеннямнеобхідно присвоїти перший ранг; ознакою з більш високим значенням – другий ранг і т.д. Слід звернути особливу увагуна те, щоб усі ознаки були виміряні в одних і тих самих одиницях. Наприклад, неможливо ранжувати показники, якщо вони виражені в різних за «ціною» балах, оскільки неможливо визначити, який із факторів займатиме перше місце за виразністю, доки всі значення не будуть приведені до єдиної шкали. Якщо ознаки, мають низькі ранги в однієї з піддослідних як і мають низькі ранги в іншого, і навпаки, то індивідуальні ієрархії пов'язані позитивно.
У випадку з двома груповими ієрархіями ознак ранжують середньо-групові значення, отримані в двох групах випробуваних за однаковим для досліджуваних груп, набору ознак. Далі слід дотримуватись алгоритму, наведеного у попередніх випадках.
Проведемо аналіз випадку з індивідуальною та груповою ієрархією ознак. Починають з того, що ранжують окремо індивідуальні значення випробуваного та середньо-групові значення за тим же набором ознак, які отримані, за винятком того випробуваного, який не бере участі в середньо-груповій ієрархії, оскільки з нею буде зіставлятися його індивідуальна ієрархія. Рангова кореляція дозволяє оцінити ступінь узгодженості індивідуальної та групової ієрархії ознак.
Розглянемо, як визначається значимість коефіцієнта кореляції у випадках. У разі двох ознак вона визначатиметься обсягом вибірки. Що стосується двома індивідуальними ієрархіями ознак значимість залежить кількості ознак, які входять у ієрархію. У двох останніх випадках значимість обумовлюється числом ознак, що вивчаються, а не чисельністю груп. Таким чином, значимість rs у всіх випадках визначається числом ранжованих значень n.
При перевірці статистичної значущості rs користуються таблицями критичних значень коефіцієнта рангової кореляції, складених для різних кількостей ранжованих значень різних рівнівзначимості. Якщо абсолютна величина rs досягає критичного значення або перевищує його, то кореляція достовірна.
При розгляді першого варіанта (випадок із двома ознаками, виміряними в одній і тій же групі піддослідних) можливі наступні гіпотези.
Н0: Кореляція між змінними x та y не відрізняється від нуля.
Н1: Кореляція між змінними x та y достовірно відрізняється від нуля.
Якщо ми працюємо з будь-яким із трьох випадків, то необхідно висунути іншу пару гіпотез:
Н0: Кореляція між ієрархіями x та y не відрізняється від нуля.
Н1: Кореляція між ієрархіями x та y достовірно відрізняється від нуля.
Послідовність дій під час обчислення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена rs така.
- - Визначити, які дві ознаки або дві ієрархії ознак братимуть участь у зіставленні як змінні x та y.
- - Ранжувати значення змінної x, нараховуючи ранг 1 найменшому значенню, відповідно до правил ранжування. Помістити ранги у першу колонку таблиці по порядку номерів випробуваних чи ознак.
- - Ранжувати значення змінної y. Помістити ранги у другу колонку таблиці за порядком номерів випробуваних чи ознак.
- - Обчислити різниці d між рангами x та y по кожному рядку таблиці. Результати помістити до наступної колонки таблиці.
- - Обчислити квадрати різниць (d2). Отримані значення помістити до четвертої колонки таблиці.
- – Обчислити суму квадратів різниць? d2.
- - при виникненні однакових рангів обчислити поправки:
де tx – обсяг кожної групи однакових рангів у вибірці x;
ty - обсяг кожної групи однакових рангів у вибірці y.
Обчислити коефіцієнт рангової кореляції залежно від наявності чи відсутності однакових рангів. За відсутності однакових рангів коефіцієнт рангової кореляції rs розрахувати за такою формулою:
За наявності однакових рангів коефіцієнт рангової кореляції rs розрахувати за такою формулою:
де? d2 – сума квадратів різниць між рангами;
Tx і Ty – поправки на однакові ранги;
n - кількість випробуваних чи ознак, що брали участь у ранжируванні.
Визначити за таблицею 3 Додатки критичні значення rs для даної кількості піддослідних n. Достовірна відмінність від нуля коефіцієнта кореляції спостерігатиметься за умови, якщо rs не менше критичного значення.
- це кількісна оцінка статистичного вивченнязв'язок між явищами, що використовується в непараметричних методах.
Показник показує, як відрізняється отримана під час спостереження сума квадратів різниць між рангами від відсутності зв'язку.
Призначення сервісу. За допомогою цього онлайн-калькулятора проводиться:
- розрахунок коефіцієнта рангової кореляції Спірмена;
- обчислення довірчого інтервалудля коефіцієнта та оцінка його значущості;
Коефіцієнт рангової кореляції Спірменавідноситься до показників оцінки тісноти зв'язку. Якісну характеристику тісноти зв'язку коефіцієнта рангової кореляції, як та інших коефіцієнтів кореляції, можна оцінити за шкалою Чеддока.
Розрахунок коефіцієнтаскладається з наступних етапів:
Властивості коефіцієнта рангової кореляції Спірмена
Галузь застосування. Коефіцієнт кореляції рангіввикористовується з метою оцінки якості зв'язку між двома сукупностями. Крім цього, його статистична значимістьзастосовується при аналізі даних на гетероскедастичність.
Приклад. За вибіркою даних змінних X і Y, що спостерігаються:
- скласти рангову таблицю;
- знайти коефіцієнт рангової кореляції Спірмена та перевірити його значущість на рівні 2a
- оцінити характер залежності
| X | Y | ранг X, d x | ранг Y, d y |
| 28 | 21 | 1 | 1 |
| 30 | 25 | 2 | 2 |
| 36 | 29 | 4 | 3 |
| 40 | 31 | 5 | 4 |
| 30 | 32 | 3 | 5 |
| 46 | 34 | 6 | 6 |
| 56 | 35 | 8 | 7 |
| 54 | 38 | 7 | 8 |
| 60 | 39 | 10 | 9 |
| 56 | 41 | 9 | 10 |
| 60 | 42 | 11 | 11 |
| 68 | 44 | 12 | 12 |
| 70 | 46 | 13 | 13 |
| 76 | 50 | 14 | 14 |
Матриця рангів.
| ранг X, d x | ранг Y, d y | (d x - d y) 2 |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 4 | 3 | 1 |
| 5 | 4 | 1 |
| 3 | 5 | 4 |
| 6 | 6 | 0 |
| 8 | 7 | 1 |
| 7 | 8 | 1 |
| 10 | 9 | 1 |
| 9 | 10 | 1 |
| 11 | 11 | 0 |
| 12 | 12 | 0 |
| 13 | 13 | 0 |
| 14 | 14 | 0 |
| 105 | 105 | 10 |
Перевірка правильності складання матриці на основі обчислення контрольної суми:
Сума по стовпчиках матриці рівні між собою та контрольної суми, отже, матриця складена правильно.
За формулою обчислимо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена.
Зв'язок між ознакою Y та фактором X сильний і прямий
Значення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена
Для того щоб при рівні значимості α перевірити нульову гіпотезу про рівність нулю генерального коефіцієнта рангової кореляції Спірмена при гіпотезі конкуруючої H i . p ≠ 0, треба обчислити критичну точку:
де n – обсяг вибірки; ρ - вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена: t(α, к) - критична точка двосторонньої критичної області, яку знаходять за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента, за рівнем значущості α та числом ступенів свободи k = n-2.
Якщо |p|< Т kp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая кореляційний зв'язокміж якісними ознаками не є значущою. Якщо |p| > T kp - нульову гіпотезу відкидають. Між якісними ознаками існує значний ранговий кореляційний зв'язок.
За таблицею Стьюдента знаходимо t(α/2, k) = (0.1/2; 12) = 1.782
Оскільки T kp< ρ , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам значимая.
Коефіцієнт кореляції рангів, запропонований К. Спірменом, відноситься до непараметричних показників зв'язку між змінними, виміряними в ранговій шкалі. При розрахунку цього коефіцієнта не потрібно ніяких припущень про характер розподілу ознак у генеральній сукупності. Цей коефіцієнт визначає ступінь тісноти зв'язку порядкових ознак, які у разі є ранги порівнюваних величин.
Величина коефіцієнта кореляції Спірмена лежить в інтервалі +1 і -1. Він, як і коефіцієнт Пірсона, може бути позитивним та негативним, характеризуючи спрямованість зв'язку між двома ознаками, виміряними у ранговій шкалі.
У принципі число ранжируемых ознак (якостей, чорт тощо.) може бути будь-яким, але процес ранжирування більшого, ніж 20 числа ознак - скрутний. Можливо, що саме тому таблиця критичних значень рангового коефіцієнта кореляції розрахована лише сорока ранжируемых ознак (n< 40, табл. 20 приложения 6).
Ранговий коефіцієнт кореляції Спірмена підраховується за такою формулою:
де n - кількість ранжованих ознак (показників, випробуваних);
D - різниця між рангами за двома змінними для кожного випробуваного;
Сума квадратів різниць рангів.
Використовуючи ранговий коефіцієнт кореляції, розглянемо такий приклад.
приклад: Психолог з'ясовує, як пов'язані між собою індивідуальні показники готовності до школи, отримані до початку навчання у школі у 11 першокласників та їхня середня успішність наприкінці навчального року.
Для вирішення цього завдання було проранжовано, по-перше, значення показників шкільної готовності, отримані під час вступу до школи, і, по-друге, підсумкові показники успішності наприкінці року в тих учнів у середньому. Результати представимо в табл. 13.
Таблиця 13
|
№ учнів | |||||||||||
|
Ранги показників шкільної готовності | |||||||||||
|
Ранги середньорічної успішності | |||||||||||
Підставляємо отримані дані у формулу та проводимо розрахунок. Отримуємо:
Для знаходження рівня значущості звертаємось до табл. 20 додатка 6, в якій наведено критичні значення коефіцієнтів рангової кореляції.
Підкреслимо, що у табл. 20 додатка 6, як і таблиці для лінійної кореляції Пірсона, всі величини коефіцієнтів кореляції дані по абсолютної величини. Тому, знак коефіцієнта кореляції враховується лише за його інтерпретації.
Знаходження рівнів значимості у цій таблиці здійснюється за кількістю n, т. е. за кількістю піддослідних. У нашому випадку n = 11. Для цього числа знаходимо:
0,61 для P 0,05
0,76 для P 0,01
Будуємо відповідну "вісь значущості"":
Отриманий коефіцієнт кореляції збігся з критичним значенням рівня значимості в 1%. Отже, можна стверджувати, що показники шкільної готовності та підсумкові оцінки першокласників пов'язані позитивною кореляційною залежністю - інакше кажучи, чим вищий показник шкільної готовності, тим краще навчається першокласник. У термінах статистичних гіпотез психолог повинен відхилити нульову (Нгіпотезу про подібність і прийняти альтернативну (Але наявності відмінностей, яка говорить про те, що зв'язок між показниками шкільної готовності та середньою успішністю відрізняється від нуля).
Випадок однакових (рівних) рангів
За наявності однакових рангів формула розрахунку коефіцієнта лінійної кореляції Спірмена буде дещо іншою. У цьому випадку до формули обчислення коефіцієнтів кореляції додаються два нових члени, що враховують однакові ранги. Вони називаються поправками на однакові ранги і додаються до чисельника розрахункової формули.
де n - число однакових рангів у першому стовпці,
k – число однакових рангів у другому стовпці.
Якщо є дві групи однакових рангів, в якомусь стовпці формула поправки дещо ускладнюється:
де n - число однакових рангів у першій групі стовпця, що ранжується,
k - число однакових рангів у другій групі стовпця, що ранжується. Модифікація формули загальному випадкутака:
приклад: Психолог, використовуючи тест розумового розвитку (ШТУР) проводить дослідження інтелекту у 12 учнів 9 класу. Одночасно з цим, але просить вчителів літератури та математики провести ранжування цих самих учнів за показниками розумового розвитку. Завдання полягає в тому, щоб визначити, як пов'язані між собою об'єктивні показники розумового розвитку (дані ШТУРу) та експертні оцінки вчителів.
Експериментальні дані цієї задачі та додаткові стовпці, необхідні для розрахунку коефіцієнта кореляції Спірмена, представимо у вигляді табл. 14.
Таблиця 14
|
№ учнів |
Ранги тестування за допомогою ШТУРу |
Експертні оцінки вчителів з математики |
Експертні оцінки вчителів з літератури |
D (другого та третього стовпців) |
D (другого та четвертого стовпців) |
(другого та третього стовпців) |
(другого та четвертого стовпців) |
Оскільки при ранжируванні використовувалися однакові ранги, необхідно перевірити правильність ранжирування у другому, третьому і четвертому стовпцях таблиці. Підсумовування у кожному з цих стовпців дає однакову суму - 78.
Перевіряємо по розрахунковій формулі. Перевірка дає:
У п'ятому та шостому стовпцях таблиці наведено величини різниці рангів між експертними оцінками психолога за тестом ШТУР для кожного учня та величинами експертних оцінок вчителів, відповідно до математики та літератури. Сума величин різниць рангів повинна дорівнювати нулю. Підсумовування величин D в п'ятому і шостому стовпцях дало результат. Отже, віднімання рангів проведено правильно. Подібну перевірку необхідно робити щоразу під час проведення складних видів ранжування.
Перш ніж розпочати розрахунок за формулою, необхідно розрахувати поправки на однакові ранги для другого, третього і четвертого стовпців таблиці.
У нашому випадку у другому стовпці таблиці два однакові ранги, отже, за формулою величина поправки D1 буде: 
У третьому стовпці три однакові ранги, отже, за формулою величина поправки D2 буде: 
У четвертому стовпці таблиці дві групи по три однакові ранги, отже, за формулою величина поправки D3 буде: 
Перш, ніж почати вирішення завдання, нагадаємо, що психолог з'ясовує два питання - як пов'язані величини рангів за тестом ШТУР з експертними оцінкамиз математики та літератури. Саме тому розрахунок проводиться двічі.
Вважаємо перший ранговий коефіцієнт з урахуванням добавок за такою формулою. Отримуємо:
Підрахуємо без урахування добавки:
Як бачимо, різниця у величинах коефіцієнтів кореляції виявилася дуже незначною.
Вважаємо другий ранговий коефіцієнт з урахуванням добавок за формулою. Отримуємо:
Підрахуємо без урахування добавки:
І знову, відмінності виявилися дуже незначними. Оскільки кількість учнів у обох випадках однаково, по табл. 20 додатка 6 знаходимо критичні значення при n = 12 одночасно для обох коефіцієнтів кореляції.
0,58 для P 0,05
0,73 для P 0,01
Відкладаємо перше значення на "осі значущості"":
У першому випадку отриманий коефіцієнт рангової кореляції перебуває у зоні значимості. Тому психолог повинен відхилити нульову Нгіпотезу про схожість коефіцієнта кореляції з нулем і прийняти альтернативну Але значну відмінність коефіцієнта кореляції від нуля. Іншими словами, отриманий результат говорить про те, що чим вищі експертні оцінки учнів з тесту ШТУР, тим вищі їх експертні оцінки з математики.
Відкладаємо друге значення на "осі значущості"":
У другому випадку коефіцієнт рангової кореляції знаходиться у зоні невизначеності. Тому психолог може прийняти нульову Нгіпотезу про схожість коефіцієнта кореляції з нулем і відхилити альтернативну Але значну відмінність коефіцієнта кореляції від нуля. У цьому випадку отриманий результат свідчить, що експертні оцінки учнів з тесту ШТУР не пов'язані з експертними оцінками з літератури.
Для застосування коефіцієнта кореляції Спірмена, необхідно дотримуватись наступних умов:
1. Змінні змінні повинні бути отримані в порядковій (ранговій) шкалі, але можуть бути виміряні також у шкалі інтервалів та відносин.
2. Характер розподілу корелюваних величин не має значення.
3. Число змін, що варіюють, в порівнюваних змінних X і Y повинно бути однаковим.
Таблиці визначення критичних значень коефіцієнта кореляції Спірмена (табл. 20 додаток 6) розраховані від числа ознак рівних n = 5 до n = 40 і за більшому числі порівнюваних змінних слід використовувати таблицю для пірсоновского коефіцієнта кореляції (табл. 19 додаток 6). Знаходження критичних значень здійснюється за k = n.
Дисципліна " вища математика " в деяких викликає неприйняття, оскільки воістину не всім дано зрозуміти. Але ті, кому пощастило вивчати цей предмет і вирішувати завдання, використовуючи різні рівняння та коефіцієнти, можуть похвалитися практично повною у ній обізнаності. У психологічній науцііснує як гуманітарна спрямованість, а й певні формули і методи для математичної перевірки що висувається під час досліджень гіпотези. Для цього застосовуються різні коефіцієнти.
Коефіцієнт кореляції Спірмена
Це поширений вимір щодо визначення тісноти зв'язку між якими-небудь двома ознаками. Коефіцієнт ще називають непараметричним методом. Він показує статистику зв'язку. Тобто ми знаємо, наприклад, що у дитини агресія та дратівливість пов'язані між собою, а коефіцієнт кореляції рангів Спірмена показує статистичну математичну зв'язок цих двох ознак.
Як обчислюється ранговий коефіцієнт?
Природно, що всім математичних визначень чи величин існують свої формули, якими вони обчислюються. Нею має і коефіцієнт кореляції Спірмена. Формула у нього така:
З першого погляду формула не зовсім зрозуміла, але, якщо розібратися, все дуже легко обчислюється:
- n – це кількість ознак чи показників, які проранжовані.
- d - різницю певних двох рангів, відповідних конкретним двом змінним кожного випробуваного.
- ∑d 2 - сума всіх квадратів різниць рангів ознаки, квадрати яких обчислюються окремо кожному за рангу.
Область застосування математичного заходу зв'язку
Для застосування рангового коефіцієнта необхідно, щоб кількісні дані ознаки були проранжовані, тобто їм присвоєно певний номер залежно від місця, на якому розташована ознака, і від його значення. Доведено, що два ряди ознак, виражених у числовому вигляді, дещо паралельні між собою. Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена визначає рівень цієї паралельності, тісноти зв'язку ознак.
Для математичної операції з розрахунку та визначення зв'язку ознак за допомогою зазначеного коефіцієнта потрібно зробити деякі дії:
- Кожному значенню будь-якого випробуваного чи явища присвоюється номер у порядку - ранг. Він може відповідати значенню явища за зростанням та за спаданням.
- Далі зіставляються ранги значення ознак двох кількісних рядівдля того, щоб визначити різницю між ними.
- В окремому стовпці таблиці кожної отриманої різниці прописується її квадрат, а внизу результати сумуються.
- Після цих дій застосовується формула, якою розраховується коефіцієнт кореляції Спірмена.
Властивості коефіцієнта кореляції
До основних властивостей коефіцієнта Спірмена відносять такі:
- Вимірювання значень у межах від -1 до 1.
- Знак коефіцієнта інтерпретацій немає.
- Тіснота зв'язку визначається за принципом: що вище величина, то тісніше зв'язок.
Як перевірити отримане значення?
Для перевірки зв'язку ознак між собою необхідно виконати певні дії:
- Висувається нульова гіпотеза (H0), вона основна, потім формулюється інша, альтернативна першої (H 1). Перша гіпотеза полягатиме в тому, що коефіцієнт кореляції Спірмена дорівнює 0 - це означає, що зв'язку не буде. Друга, навпаки, свідчить, що коефіцієнт не дорівнює 0, тоді зв'язок є.
- Наступною дією буде знаходження критерію, що спостерігається. Воно знаходиться за основною формулою коефіцієнта Спірмена.
- Далі є критичні значення заданого критерію. Це можна зробити лише за допомогою спеціальної таблиці, де відображаються різні значення за заданими показниками: рівень значущості (l) та число, що визначає (n).
- Тепер потрібно порівняти два отримані значення: встановленого спостережуваного, а також критичного. Для цього необхідно збудувати критичну область. Потрібно накреслити пряму лінію, на ній відзначити точки критичного значення коефіцієнта зі знаком "-" та зі знаком "+". Ліворуч і праворуч від критичних значень півколами від точок відкладаються критичні області. Посередині, поєднуючи два значення, відзначається півколом ОЗУ.
- Після цього робиться висновок про тісність зв'язку між двома ознаками.
Де краще використати цю величину
Найпершою наукою, де активно використовувався цей коефіцієнт, була психологія. Адже це наука, яка не ґрунтується на цифрах, проте для доказу будь-яких важливих гіпотез щодо розвитку відносин, рис характеру людей, знань студентів потрібно статистичне підтвердження висновків. Також його використовують в економіці, зокрема при валютних оборотах. Тут оцінюються ознаки без статистики. Дуже зручний коефіцієнт рангової кореляції Спірмена в цій галузі застосування тим, що оцінка проводиться незалежно від розподілу змінних, оскільки замінюються ранговим числом. Активно застосовується коефіцієнт Спірмена у банківській справі. Соціологія, політологія, демографія та інші науки також використовують його у своїх дослідженнях. Результати виходять швидко та максимально точно.
Зручно та швидко використовується коефіцієнт кореляції Спірмена в Excel. Тут є спеціальні функції, які допомагають швидко отримати необхідні значення.
Які ще коефіцієнти кореляції є?
Крім того, що ми дізналися про коефіцієнт кореляції Спірмена, є ще різні кореляційні коефіцієнтищо дозволяють виміряти, оцінити якісні ознаки, зв'язок між кількісними ознаками, тісноту зв'язку між ними, представленими в ранговій шкалі. Це такі коефіцієнти, як бісеріальний, рангово-бісеріальний, контенгенції, асоціації тощо. Коефіцієнт Спірмена дуже точно показує тісноту зв'язку, на відміну від решти методів її математичного визначення.
