Ev Diş əti sin cos funksiyalarının qrafikləri. Triqonometrik funksiyalar

Diş əti

sin cos funksiyalarının qrafikləri. Triqonometrik funksiyalar

Bu dərsdə baxacağıq əsas triqonometrik funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri, həmçinin siyahı triqonometrik tənliklərin və sistemlərin əsas növləri. Əlavə olaraq qeyd edirik ən sadə triqonometrik tənliklərin ümumi həlləri və onların xüsusi halları.

Bu dərs sizə tapşırıq növlərindən birinə hazırlaşmağa kömək edəcək B5 və C1.

Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq

Təcrübə

Dərs 10. Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər və onların sistemləri.

Nəzəriyyə

Dərsin xülasəsi

Biz artıq “triqonometrik funksiya” terminindən dəfələrlə istifadə etmişik. Bu mövzunun birinci dərsində biz onları düzbucaqlı üçbucaq və vahid triqonometrik çevrədən istifadə edərək müəyyən etdik. Bu üsullardan istifadə etməklə triqonometrik funksiyalar, biz artıq belə nəticəyə gələ bilərik ki, onlar üçün arqumentin (və ya bucağın) bir dəyəri funksiyanın tam olaraq bir dəyərinə uyğundur, yəni. sinus, kosinus, tangens və kotangens funksiyaları adlandırmaq hüququmuz var.

Bu dərsdə triqonometrik funksiyaların dəyərlərinin hesablanmasının əvvəllər müzakirə edilmiş üsullarından mücərrədləşdirməyə çalışmağın vaxtı gəldi. Bu gün biz funksiyalarla işləmək üçün adi cəbri yanaşmaya keçəcəyik, onların xassələrinə baxacağıq və qrafikləri təsvir edəcəyik.

O ki qaldı triqonometrik funksiyaların xassələrinə, onda xüsusi diqqət qeyd edilməlidir:

Tərif sahəsi və dəyərlər diapazonu, çünki sinus və kosinus üçün qiymətlər diapazonuna, tangens və kotangens üçün isə təyinetmə diapazonuna məhdudiyyətlər qoyulur;

Bütün triqonometrik funksiyaların dövriliyi, çünki Sıfırdan fərqli ən kiçik arqumentin mövcudluğunu artıq qeyd etdik, onun əlavə edilməsi funksiyanın qiymətini dəyişmir. Bu arqument funksiyanın dövrü adlanır və hərflə işarələnir. Sinus/kosinus və tangens/kotangent üçün bu dövrlər fərqlidir.

Funksiyanı nəzərdən keçirin:

1) Tərifin əhatə dairəsi;

2) Dəyər diapazonu ;

3) Funksiya təkdir ;

Funksiyanın qrafikini quraq. Bu vəziyyətdə, qrafiki yuxarıdan 1 rəqəmi ilə və aşağıdan isə funksiyanın dəyərlərinin diapazonu ilə əlaqəli rəqəmlə məhdudlaşdıran sahənin təsviri ilə tikintiyə başlamaq rahatdır. Bundan əlavə, tikinti üçün bir neçə əsas masa bucaqlarının sinuslarının dəyərlərini xatırlamaq faydalıdır, məsələn, bu, qrafikin ilk tam "dalğasını" qurmağa və sonra onu sağa və yenidən çəkməyə imkan verəcəkdir. sol, şəklin bir dövrə sürüşməsi ilə təkrarlanacağından istifadə edərək, yəni. haqqında .

İndi funksiyaya baxaq:

Bu funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

1) Tərifin əhatə dairəsi;

2) Dəyər diapazonu ;

3) Cüt funksiya Bu o deməkdir ki, funksiyanın qrafiki ordinata görə simmetrikdir;

4) Funksiya bütün təyinetmə sahəsində monoton deyil;

Funksiyanın qrafikini quraq. Sinus qurarkən olduğu kimi, qrafiki yuxarıdan 1 rəqəmi ilə məhdudlaşdıran sahənin təsviri ilə başlamaq rahatdır və aşağıda funksiyanın dəyər diapazonu ilə əlaqəli rəqəmdir. Qrafikdə bir neçə nöqtənin koordinatlarını da çəkəcəyik, bunun üçün bir neçə əsas masa bucaqlarının kosinuslarının dəyərlərini yadda saxlamalıyıq, məsələn, bu nöqtələrin köməyi ilə ilk tam "dalğa" qura bilərik. ” qrafikinin və sonra şəklin dövr dəyişikliyi ilə təkrarlanacağından istifadə edərək onu sağa və sola yenidən çəkin, yəni. haqqında .

Funksiyaya keçək:

Bu funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

1) Domen istisna olmaqla, burada . Artıq əvvəlki dərslərimizdə onun olmadığını bildirmişdik. Bu ifadəni tangens dövrü nəzərə alaraq ümumiləşdirmək olar;

2) Dəyərlər diapazonu, yəni. tangens dəyərləri məhdud deyil;

3) Funksiya təkdir ;

4) Funksiya indi şəkildə görəcəyimiz tangens budaqları daxilində monoton şəkildə artır;

5) Funksiya dövri olan dövridir

Funksiyanın qrafikini quraq. Bu halda, qrafikin şaquli asimptotlarını tərif dairəsinə daxil olmayan nöqtələrdə təsvir etməklə tikintiyə başlamaq rahatdır, yəni. və s. Sonra, asimptotların yaratdığı zolaqların hər birinin içərisində toxunan budaqları təsvir edirik, onları sol asimptota və sağa sıxırıq. Eyni zamanda, hər bir filialın monoton şəkildə artdığını unutmayın. Biz bütün budaqları eyni şəkildə təsvir edirik, çünki funksiyaya bərabər dövr var. Bu, hər bir budağın qonşunun absis oxu boyunca yerdəyişməsi ilə əldə edilməsindən görünür.

Və funksiyaya nəzər salmaqla bitiririk:

Bu funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

1) Domen istisna olmaqla, burada . Triqonometrik funksiyaların qiymətləri cədvəlindən onun mövcud olmadığını artıq bilirik. Bu ifadəni kotangent dövrü nəzərə alaraq ümumiləşdirmək olar;

2) Dəyərlər diapazonu, yəni. kotangent dəyərləri məhdud deyil;

3) Funksiya təkdir ;

4) Funksiya tangens budaqlarına bənzəyən budaqları daxilində monoton şəkildə azalır;

5) Funksiya dövri olan dövridir

Funksiyanın qrafikini quraq. Bu halda, tangensə gəldikdə, təyin sahəsinə daxil olmayan nöqtələrdə qrafikin şaquli asimptotlarını təsvir etməklə tikintiyə başlamaq rahatdır, yəni. və s. Sonra, biz asimptotların yaratdığı zolaqların hər birinin içərisində kotangentin budaqlarını təsvir edirik, onları sol asimptota və sağa sıxırıq. Bu zaman nəzərə alırıq ki, hər bir budaq monoton şəkildə azalır. Bütün budaqları eyni şəkildə tangensə bənzər şəkildə təsvir edirik, çünki funksiyaya bərabər dövr var.

Ayrı-ayrılıqda qeyd etmək lazımdır ki, mürəkkəb arqumentləri olan triqonometrik funksiyaların qeyri-standart dövrü ola bilər. Formanın funksiyaları haqqında danışırıq:

Onların müddəti bərabərdir. Və funksiyalar haqqında:

Onların müddəti bərabərdir.

Gördüyünüz kimi, yeni dövrü hesablamaq üçün standart müddət sadəcə arqumentdəki faktora bölünür. Bu, funksiyanın digər modifikasiyalarından asılı deyil.

Funksiyaların qrafiklərinin qurulması və dəyişdirilməsi dərsində daha ətraflı başa düşə və bu düsturların haradan gəldiyini başa düşə bilərsiniz.

Triqonometrik tənliklərin həllinə həsr edəcəyimiz “Triqonometriya” mövzusunun ən vacib hissələrindən birinə gəldik. Belə tənlikləri həll etmək bacarığı, məsələn, fizikada salınan prosesləri təsvir edərkən vacibdir. Təsəvvür edək ki, siz bir idman avtomobilində kartda bir neçə dövrə vurmusunuz, triqonometrik tənliyin həlli avtomobilin trasdakı mövqeyindən asılı olaraq nə qədər yarışdığınızı müəyyən etməyə kömək edəcək;

Ən sadə triqonometrik tənliyi yazaq:

Belə bir tənliyin həlli sinusu bərabər olan arqumentlərdir. Amma biz artıq bilirik ki, sinusun dövriliyinə görə sonsuz sayda belə arqumentlər mövcuddur. Beləliklə, bu tənliyin həlli və s. Eyni şey hər hansı digər sadə triqonometrik tənliyin həllinə də aiddir;

Triqonometrik tənliklər bir neçə əsas növə bölünür. Ayrı-ayrılıqda ən sadələri üzərində dayanmalıyıq, çünki qalan hər şey onların başına gəlir. Dörd belə tənlik var (əsas triqonometrik funksiyaların sayına görə). Onlar üçün ümumi həllər xatırlanmalıdır;

Ən sadə triqonometrik tənliklər və onların ümumi həlli belə görün:

Nəzərə alın ki, sinus və kosinus dəyərləri bizə məlum olan məhdudiyyətləri nəzərə almalıdır. Məsələn, tənliyin həlli yoxdursa və göstərilən düstur tətbiq edilməməlidir.

Bundan əlavə, göstərilən kök düsturlarında ixtiyari tam ədəd şəklində bir parametr var. IN məktəb kurikulumu Bu, parametrsiz tənliyin həllində parametr ehtiva edən yeganə haldır. Bu ixtiyari tam ədəd göstərir ki, sadəcə olaraq bütün tam ədədləri növbə ilə əvəz etməklə yuxarıdakı tənliklərdən hər hansı birinin sonsuz sayda kökünü yazmaq olar.

Bu düsturların təfərrüatlı çıxarılması ilə 10-cu sinif cəbr proqramında “Triqonometrik tənliklər” fəslini təkrar etməklə tanış ola bilərsiniz.

Ayrı-ayrılıqda sinus və kosinus ilə ən sadə tənliklərin xüsusi hallarının həllinə diqqət yetirmək lazımdır. Bu tənliklər belə görünür:

Düsturların tapılması onlara tətbiq edilməməlidir ümumi həllər. Belə tənliklər ən rahat şəkildə ümumi həll düsturlarından daha sadə nəticə verən triqonometrik dairədən istifadə etməklə həll edilir.

Məsələn, tənliyin həlli belədir . Bu cavabı özünüz almağa çalışın və göstərilən qalan tənlikləri həll edin.

Göstərilən triqonometrik tənliklərin ən çox yayılmış növünə əlavə olaraq daha bir neçə standart tənlik var. Artıq qeyd etdiklərimizi nəzərə alaraq onları sadalayırıq:

1) Protozoa, Məsələn, ;

2) Ən sadə tənliklərin xüsusi halları, Məsələn, ;

3) Mürəkkəb arqumentli tənliklər, Məsələn, ;

4) Ortaq amili çıxarmaqla tənliklər ən sadə vəziyyətə gətirilir, Məsələn, ;

5) Tənliklər triqonometrik funksiyaları çevirərək ən sadə vəziyyətə gətirilir, Məsələn, ;

6) Əvəzetmə yolu ilə ən sadəinə endirilən tənliklər, Məsələn, ;

7) Homojen tənliklər , Məsələn, ;

8) Funksiyaların xassələrindən istifadə etməklə həll edilə bilən tənliklər, Məsələn, . Bu tənlikdə özünü həll edən iki dəyişən olduğundan narahat olmayın;

Həm də istifadə edərək həll edilə bilən tənliklər müxtəlif üsullar.

Triqonometrik tənlikləri həll etməklə yanaşı, onların sistemlərini həll etməyi bacarmalısınız.

Ən çox yayılmış sistem növləri bunlardır:

1) Hansı tənliklərdən biri gücdür, Məsələn, ;

2) Sadə triqonometrik tənliklər sistemləri, Məsələn, .

Bugünkü dərsimizdə əsas triqonometrik funksiyalara, onların xassələrinə və qrafiklərinə baxdıq. Biz də görüşdük ümumi düsturlarən sadə triqonometrik tənliklərin həlli, belə tənliklərin əsas növləri və onların sistemləri göstərilmişdir.

Dərsin praktiki hissəsində triqonometrik tənliklərin və onların sistemlərinin həlli üsullarını araşdıracağıq.

Qutu 1.Ən sadə triqonometrik tənliklərin xüsusi hallarının həlli.

Artıq dərsin əsas hissəsində dediyimiz kimi, formanın sinus və kosinusu olan triqonometrik tənliklərin xüsusi halları:

daha çox var sadə həllər, ümumi həllər üçün düsturlar nə verir.

Bunun üçün triqonometrik dairədən istifadə olunur. Tənlik nümunəsindən istifadə edərək onların həlli üsulunu təhlil edək.

Triqonometrik dairədə kosinus dəyərinin sıfır olduğu nöqtəni təsvir edək ki, bu da absis oxu boyunca koordinatdır. Gördüyünüz kimi, iki belə məqam var. Bizim vəzifəmiz dairənin bu nöqtələrinə uyğun gələn bucağın nəyə bərabər olduğunu göstərməkdir.

Biz absis oxunun müsbət istiqamətindən (kosinus oxu) saymağa başlayırıq və bucağı təyin edərkən ilk təsvir olunan nöqtəyə çatırıq, yəni. bir həll bu bucaq dəyəri olardı. Amma yenə də ikinci nöqtəyə uyğun olan bucaq bizi qane edir. Buna necə girmək olar?

Bu dərs sizə tapşırıq növlərindən birinə hazırlaşmağa kömək edəcək B5 və C1.

Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq

Təcrübə

Dərs 10. Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər və onların sistemləri.

Nəzəriyyə

Dərsin xülasəsi

Biz artıq “triqonometrik funksiya” terminindən dəfələrlə istifadə etmişik. Bu mövzunun ilk dərsində biz onları düzbucaqlı üçbucaq və vahid triqonometrik çevrədən istifadə edərək müəyyən etdik. Triqonometrik funksiyaları təyin etməyin bu üsullarından istifadə edərək, onlar üçün arqumentin (və ya bucağın) bir dəyərinin funksiyanın tam olaraq bir dəyərinə uyğun gəldiyi qənaətinə gələ bilərik, yəni. sinus, kosinus, tangens və kotangens funksiyaları adlandırmaq hüququmuz var.

Triqonometrik funksiyaların xüsusiyyətlərinə gəldikdə, aşağıdakılara xüsusi diqqət yetirilməlidir:

Tərif sahəsi və dəyərlər diapazonu, çünki sinus və kosinus üçün qiymətlər diapazonuna, tangens və kotangens üçün isə təyinetmə diapazonuna məhdudiyyətlər qoyulur;

Funksiyanı nəzərdən keçirin:

1) Tərifin əhatə dairəsi;

2) Dəyər diapazonu ;

3) Funksiya təkdir ;

İndi funksiyaya baxaq:

Bu funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

1) Tərifin əhatə dairəsi;

2) Dəyər diapazonu ;

3) Cüt funksiya Bu o deməkdir ki, funksiyanın qrafiki ordinata görə simmetrikdir;

4) Funksiya bütün təyinetmə sahəsində monoton deyil;

Funksiyaya keçək:

Bu funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

1) Domen istisna olmaqla, burada . Artıq əvvəlki dərslərimizdə onun olmadığını bildirmişdik. Bu ifadəni tangens dövrü nəzərə alaraq ümumiləşdirmək olar;

2) Dəyərlər diapazonu, yəni. tangens dəyərləri məhdud deyil;

3) Funksiya təkdir ;

4) Funksiya indi şəkildə görəcəyimiz tangens budaqları daxilində monoton şəkildə artır;

5) Funksiya dövri olan dövridir

Və funksiyaya nəzər salmaqla bitiririk:

Bu funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

2) Dəyərlər diapazonu, yəni. kotangent dəyərləri məhdud deyil;

3) Funksiya təkdir ;

4) Funksiya tangens budaqlarına bənzəyən budaqları daxilində monoton şəkildə azalır;

5) Funksiya dövri olan dövridir

Ayrı-ayrılıqda qeyd etmək lazımdır ki, mürəkkəb arqumentləri olan triqonometrik funksiyaların qeyri-standart dövrü ola bilər. Formanın funksiyaları haqqında danışırıq:

Onların müddəti bərabərdir. Və funksiyalar haqqında:

Onların müddəti bərabərdir.

Gördüyünüz kimi, yeni dövrü hesablamaq üçün standart müddət sadəcə arqumentdəki faktora bölünür. Bu, funksiyanın digər modifikasiyalarından asılı deyil.

Funksiyaların qrafiklərinin qurulması və dəyişdirilməsi dərsində daha ətraflı başa düşə və bu düsturların haradan gəldiyini başa düşə bilərsiniz.

Ən sadə triqonometrik tənliyi yazaq:

Ən sadə triqonometrik tənliklər və onların ümumi həlli belə görün:

Nəzərə alın ki, sinus və kosinus dəyərləri bizə məlum olan məhdudiyyətləri nəzərə almalıdır. Məsələn, tənliyin həlli yoxdursa və göstərilən düstur tətbiq edilməməlidir.

Bundan əlavə, göstərilən kök düsturları ixtiyari tam ədəd şəklində bir parametr ehtiva edir. Məktəb kurikulumunda bu, parametrsiz tənliyin həllində parametr ehtiva edən yeganə haldır. Bu ixtiyari tam ədəd göstərir ki, sadəcə olaraq bütün tam ədədləri növbə ilə əvəz etməklə yuxarıdakı tənliklərdən hər hansı birinin sonsuz sayda kökünü yazmaq olar.

Bu düsturların təfərrüatlı çıxarılması ilə 10-cu sinif cəbr proqramında “Triqonometrik tənliklər” fəslini təkrar etməklə tanış ola bilərsiniz.

Ayrı-ayrılıqda sinus və kosinus ilə ən sadə tənliklərin xüsusi hallarının həllinə diqqət yetirmək lazımdır. Bu tənliklər belə görünür:

Ümumi həllər tapmaq üçün düsturlar onlara tətbiq edilməməlidir. Belə tənliklər ən rahat şəkildə ümumi həll düsturlarından daha sadə nəticə verən triqonometrik dairədən istifadə etməklə həll edilir.

Məsələn, tənliyin həlli belədir . Bu cavabı özünüz almağa çalışın və göstərilən qalan tənlikləri həll edin.

Göstərilən triqonometrik tənliklərin ən çox yayılmış növünə əlavə olaraq daha bir neçə standart tənlik var. Artıq qeyd etdiklərimizi nəzərə alaraq onları sadalayırıq:

1) Protozoa, Məsələn, ;

2) Ən sadə tənliklərin xüsusi halları, Məsələn, ;

3) Mürəkkəb arqumentli tənliklər, Məsələn, ;

4) Ortaq amili çıxarmaqla tənliklər ən sadə vəziyyətə gətirilir, Məsələn, ;

5) Tənliklər triqonometrik funksiyaları çevirərək ən sadə vəziyyətə gətirilir, Məsələn, ;

6) Əvəzetmə yolu ilə ən sadəinə endirilən tənliklər, Məsələn, ;

7) Homojen tənliklər, Məsələn, ;

8) Funksiyaların xassələrindən istifadə etməklə həll edilə bilən tənliklər, Məsələn, . Bu tənlikdə özünü həll edən iki dəyişən olduğundan narahat olmayın;

Həm də müxtəlif üsullarla həll olunan tənliklər.

Triqonometrik tənlikləri həll etməklə yanaşı, onların sistemlərini həll etməyi bacarmalısınız.

Ən çox yayılmış sistem növləri bunlardır:

1) Hansı tənliklərdən biri gücdür, Məsələn, ;

2) Sadə triqonometrik tənliklər sistemləri, Məsələn, .

Bugünkü dərsimizdə əsas triqonometrik funksiyalara, onların xassələrinə və qrafiklərinə baxdıq. Ən sadə triqonometrik tənliklərin həllinin ümumi düsturları ilə də tanış olduq və belə tənliklərin əsas növlərini və onların sistemlərini göstərdik.

Dərsin praktiki hissəsində triqonometrik tənliklərin və onların sistemlərinin həlli üsullarını araşdıracağıq.

Qutu 1.Ən sadə triqonometrik tənliklərin xüsusi hallarının həlli.

Artıq dərsin əsas hissəsində dediyimiz kimi, formanın sinus və kosinusu olan triqonometrik tənliklərin xüsusi halları:

ümumi həll düsturları ilə verilənlərdən daha sadə həllər var.

Bunun üçün triqonometrik dairədən istifadə olunur. Tənlik nümunəsindən istifadə edərək onların həlli üsulunu təhlil edək.

1. Triqonometrik funksiyalar təmsil edir elementar funksiyalar, kimin arqumentidir künc. Triqonometrik funksiyalar düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri ilə iti bucaqlar arasındakı əlaqəni təsvir edir. Triqonometrik funksiyaların tətbiq sahələri son dərəcə müxtəlifdir. Məsələn, istənilən dövri proseslər triqonometrik funksiyaların cəmi kimi təqdim oluna bilər (Furye seriyası). Bu funksiyalar çox vaxt diferensial və funksional tənliklərin həlli zamanı ortaya çıxır.

2. Triqonometrik funksiyalara aşağıdakı 6 funksiya daxildir: sinus, kosinus, tangens,kotangent, sekant Və kosekant. Hər biri üçün müəyyən edilmiş funksiyalar tərs triqonometrik funksiya var.

3. İstifadə edərək triqonometrik funksiyaların həndəsi tərifini təqdim etmək rahatdır vahid dairəsi. Aşağıdakı şəkildə radiusu r=1 olan çevrə göstərilir. Dairənin üzərində M(x,y) nöqtəsi qeyd olunub. OM radius vektoru ilə Ox oxunun müsbət istiqaməti arasındakı bucaq α-ya bərabərdir.

4. Sinusα bucağı M(x,y) nöqtəsinin y ordinatının r radiusuna nisbətidir:
sinα=y/r.
r=1 olduğundan sinus M(x,y) nöqtəsinin ordinatına bərabərdir.

5. Kosinusα bucağı M(x,y) nöqtəsinin x absissinin r radiusuna nisbətidir:
cosα=x/r

6. Tangensα bucağı M(x,y) nöqtəsinin y ordinatının onun x absissinə nisbətidir:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangentα bucağı M(x,y) nöqtəsinin x absissinin onun y ordinatına nisbətidir:
cota=x/y,y≠0

8. Sekantα bucağı r radiusunun M(x,y) nöqtəsinin x absissinə nisbətidir:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekantα bucağı r radiusunun M(x,y) nöqtəsinin y ordinatına nisbətidir:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Vahid çevrədə x, y proyeksiyaları, M(x,y) nöqtələri və r radiusu düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir, burada x,y ayaqları, r isə hipotenuzdur. Buna görə də, əlavədə triqonometrik funksiyaların yuxarıdakı tərifləri düz üçbucaq aşağıdakı kimi formalaşdırılır:
Sinus bucaq α qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətidir.
Kosinus bucaq α bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir.
Tangensα bucağı bitişik birinə əks ayaq adlanır.
Kotangentα bucağı qarşı tərəfə bitişik tərəf adlanır.
Sekant bucaq α hipotenuzanın bitişik ayağa nisbətidir.
Kosekantα bucağı hipotenuzanın əks ayağına nisbətidir.

11. Sinus funksiyasının qrafiki
y=sinx, tərif sahəsi: x∈R, qiymət diapazonu: −1≤sinx≤1

12. Kosinus funksiyasının qrafiki
y=cosx, domen: x∈R, diapazon: −1≤cosx≤1

13. Tangens funksiyasının qrafiki
y=tanx, domen: x∈R,x≠(2k+1)π/2, diapazon: −∞