Изследователска работа на тема: „Признаци за делимост на естествените числа. Делимост на естествените числа

Както вече беше отбелязано, естествено число a се дели на естествено число b, ако има естествено число c, което, умножено по b, дава a:

Думата „изцяло“ обикновено се пропуска с цел краткост.

Ако a се дели на b, тогава те също казват, че a е кратно на b. Например числото 48 е кратно на 24.

Теорема 1. Ако един от множителите се дели на определено число, то произведението също се дели на това число.

Например 15 се дели на 3, което означава, че 15∙11 се дели на 3, защото 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Тези аргументи важат и за общия случай. Нека числото a се дели на c, тогава съществува естествено число n, такова че a = n∙c. Да разгледаме произведението на числото a и произволно естествено число b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. От тук по дефиниция следва, че произведението a∙b също се дели на c. Q.E.D.

Теорема 2. Ако първото число се дели на второто, а второто се дели на третото, то първото число се дели на третото.

Например 777 се дели на 111, защото 777 = 7∙111, а 111 се дели на 3, защото 111 = 3∙37. От това следва, че 777 се дели на 3, тъй като 777 = 3∙(37∙7).

IN общ случайТези аргументи могат да бъдат повторени почти дословно. Нека числото a е разделено на числото b, а числото b е разделено на числото c. Това означава, че има естествени числа n и m, така че a = n∙b и b = m∙c. Тогава числото a може да бъде представено като: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Равенството a = (n∙m)∙c означава, че числото a също се дели на c.

Теорема 3. Ако всяко от две числа се дели на определено число, то сборът и разликата им се делят на това число.

Например 100 се дели на 4, защото 100=25∙4; 36 също се дели на 4, защото 36 = 9∙4. От това следва, че 136 се дели на 4, защото

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Можем също да заключим, че числото 64 се дели на 4, защото

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Нека докажем теоремата в общия случай. Нека всяко от числата a и b се дели на числото c. Тогава, по дефиниция, има естествени числа n и m такива, че
a = n∙c и b = m∙c. Да разгледаме сбора на числата a и b.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

От това следва, че a + b се дели на c.

По същия начин, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Следователно a – b се дели на c.

Теорема 4. Ако едното от две числа се дели на определено число, а другото не се дели на него, то сборът и разликата им не се делят на това число.

Например 148 се дели на 37, защото 148 = 4∙37, а 11 не се дели на 37. Очевидно сборът от 148 + 11 и разликата от 148 – 11 не се делят на 37, в противен случай това би противоречило на свойство 3 .

Признаци на делимост

Ако едно число завършва на 0, значи то се дели на 10.

Например числото 4560 завършва с числото 0, то може да бъде представено като произведение от 456∙10, което е разделено на 10 (съгласно теорема 1).

Числото 4561 не се дели на 10, тъй като 4561 = 4560+1 е сумата от числото 4560, което се дели на 10, и числото 1, което не се дели на 10 (по теорема 4).

Ако едно число завършва на една от цифрите 0 или 5, тогава то се дели на 5.

Например числото 2300 се дели на 5, защото това число се дели на 10, а 10 се дели на 5 (по Теорема 2).

Числото 2305 завършва с числото 5, то се дели на 5, тъй като може да се запише като сбор от числа, делими на 5: 2300 + 5 (според теорема 3).

Числото 52 не се дели на 5, тъй като 52 = 50 + 2 е сумата от числото 50, което се дели на 5, и числото 2, което не се дели на 5 (по теорема 4).

Ако едно число завършва на една от цифрите 0, 2, 4, 6, 8, то се дели на 2.

Например числото 130 завършва на 0, то се дели на 10, а 10 се дели на 2, следователно 130 се дели на 2.

Числото 136 завършва с числото 6, то се дели на 2, тъй като може да се запише като сбор от числа, делими на 2: 130 + 6 (съгласно теорема 3).

Числото 137 не се дели на 2, тъй като 137 = 130 + 7 е сумата от числото 130, което се дели на 2, и числото 7, което не се дели на 2 (по теорема 4).

Число, делимо на 2, се нарича четно.

Число, което не се дели на 2, се нарича нечетно.

Например числата 152 и 790 са четни, а числата 111 и 293 са нечетни.

Ако сумата от цифрите на едно число се дели на 9, то самото число се дели на 9..

Например сборът от цифрите 7 + 2 + 4 + 5 = 18 на числото 7245 се дели на 9. Числото 7245 се дели на 9, защото може да бъде представено като сбор от 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), където сумата в първите скоби се дели на 9, а във вторите скоби - сумата от цифрите на дадено число - също се дели на 9 ( съгласно теорема 3).

Числото 375 не се дели на 9, тъй като сумата от неговите цифри 3 + 7 + 5=15 не се дели на 9. Това може да се докаже по следния начин: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+ 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), където сумата в първите скоби се дели на 9, а във вторите скоби - сумата от цифрите на числото 375 - не се дели с 9 (съгласно теорема 4).

Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 3, то самото число се дели на 3..

Например числото 375 има сбор от цифри 3 + 7 + 5 = 15, който се дели на 3, а самото то се дели на 3, защото 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), където сумата в първите скоби се дели на 3, а във вторите скоби - сумата от цифрите на числото 375 - също се дели на 3.

Сумата от цифрите на числото 679, равна на 6 + 7 + 9 = 22, не се дели на 3, а самото число не се дели на 3, тъй като 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9), където сумата в първите скоби се дели на 3, а във вторите скоби - сумата от цифрите на числото 679 - не се дели на 3.

Забележка. Когато казват „число завършва с цифра...“, те имат предвид „десетичният запис на число завършва с цифра...“

Прости и съставни числа

Всяко естествено число p се дели на 1 и себе си:

p:1=p, p:p=1.

Простото число е естествено число, което е по-голямо от едно и се дели само на 1 и на себе си..

Ето първите десет прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Непростите естествени числа, големите единици, се наричат ​​съставни. Всяко съставно число се дели на 1, себе си и поне още едно естествено число.

Ето всички съставни числа под 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

По този начин наборът от всички естествени числасе състои от прости числа, съставни числа и единица.

Има безкраен брой прости числа, има първо число - 2, но няма последно просто число.

Делители на естествени числа

Ако естествено число a се дели на естествено число b, то числото b наречен делителчисла а.

Например делителите на числото 13 са числата 1 и 13, делителите на числото 4 са числата 1, 2, 4, а делителите на числото 12 са числата 1, 2, 3, 4, 6. , 12.

Всяко просто число има само два делителя - единица и себе си, а всяко съставно число, освен единица и себе си, има и други делители.

Ако делителят е просто число, тогава той се нарича прост делител. Например числото 13 има прост множител 13, числото 4 има прост множител 2, а числото 12 има прости множители 2 и 3.

Всяко съставно число може да бъде представено като произведение на своите прости делители. Например,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Дясните части на получените равенства се наричат ​​разлагане на прости множители на числата 28, 22, 81 и 100.

Да разложим дадено съставно число на прости множители означава да го представим като произведение на неговите различни прости множители или техните мощности.

Нека покажем как можете да разложите числото 90 на прости множители.

1) 90 се дели на 2, 90:2 = 45;

2) 45 не се дели на 2, а се дели на 3, 45:3= 15;

3) 15 се дели на 3, 15:3 = 5;

4) 5 се дели на 5, 5:5 = 1.

Така 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Най-голям общ делител

Числото 12 има множители 1, 2, 3, 4, 12. Числото 54 има множители 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Виждаме, че числата 12 и 54 имат общи множители 1, 2 , 3 , 6.

Най-големият общ делител на числата 12 и 54 е числото 6.

Най-големият общ делител на числата a и b се означава с: gcd (a, b).

Например НОД (12, 54) = 6.

Най-малко общо кратно

Число, делимо на 12, се нарича кратно на 12. Числото 12 е кратно на 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 и т.н. Числото 18 е кратно на 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т.н.

Виждаме, че има числа, кратни както на 12, така и на 18. Например 36, 72, 108, .... Тези числа се наричат ​​общи кратни на 12 и 18.

Най-малкото общо кратно на естествените числа a и b е най-малкото естествено число, делящо се на a и b. Това число се обозначава с: LOC (a, b).

Най-малкото общо кратно на две числа обикновено се намира по един от двата начина. Нека да ги разгледаме.

Нека намерим LCM(18, 24).

Метод I Ще запишем числа, кратни на 24 (по-голямото от тези числа), като проверим дали всяко от тях се дели на 18: 24∙1=24 – не се дели на 18, 24∙2 = 48 – не се дели на 18, 24∙3 = 72 – се дели на 18, така че LCM (24, 18) =
= 72.

II метод. Нека разложим числата 24 и 18 на прости множители: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

LCM(24, 18) трябва да се дели както на 24, така и на 18. Следователно търсеното число съдържа всички прости множители на по-голямото число 24 (т.е. числата 2, 2, 2, 3) и липсващите множители от разширението на по-малкото число 18 (още едно число 3). Следователно LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Тъй като взаимно простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например 24 и 25 са относително прости числа. Следователно LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

Ако едно от две числа се дели на другото, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е равно на по-голямото от тях. Например 120 се дели на 24, следователно LCM (120, 24) = 120.

Цели числа

Напомняне. Извикват се числата, използвани за преброяване на броя на обектите естествени числа. Нулата не се счита за естествено число. Естествените числа и нулата, записани във възходящ ред и без пропуски, образуват поредица от неотрицателни цели числа:

В този раздел ще бъдат въведени нови номера - отрицателни цели числа.

Отрицателни цели числа

Основен пример от реалния живот е термометър. Да кажем, че показва температура от 7°C. Ако температурата падне с 4°, термометърът ще покаже 3° топлина. Намаляването на температурата съответства на действието на изваждане: 7 – 4 = 3. Ако температурата спадне със 7°, термометърът ще покаже 0°: 7 – 7 = 0.

Ако температурата падне с 8°, термометърът ще показва –1° (1° под нулата). Но резултатът от изваждането на 7 – 8 не може да се запише с естествени числа и нула, въпреки че има истинско значение.

Невъзможно е да се преброят 8 числа от числото 7 вляво в поредица от неотрицателни цели числа. За да направим действие 7 – 8 осъществимо, нека разширим диапазона от неотрицателни цели числа. За да направите това, вляво от нулата, ние пишем (отдясно наляво) по ред всички естествени числа, добавяйки към всяко от тях знак „–“, което показва, че това число е вляво от нулата.

Записите –1, –2, –3, ... се четат „минус 1“, „минус 2“, „минус 3“ и т.н.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Получената поредица от числа се нарича поредица от цели числа. Точките отляво и отдясно в този запис означават, че серията може да бъде продължена безкрайно надясно и наляво.

Вдясно от числото 0 в този ред има числа, които се наричат ​​естествени числа или цели положителни числа.

Регионална изследователска конференция за ученици от общинския район Лахденпох

„Стъпка в бъдещето“

Проект по математика на тема:

Изпълнител: Галкина Наталия

ученик от 7 клас

MKOU "Средно училище Елисенваара"

Ръководител: Василиева

Лариса Владимировна

учител по математика

MKOU "Средно училище Елисенваара"

Въведение 3 стр

Из историята на математиката 4 стр.

Основни понятия 4стр.

Класификация на признаците за делимост: 5стр.

1. Делимостта на числата се определя от последната(ите) цифра(и) 5 – 6 страници.

   Делимостта на числата се определя от сбора на цифрите на числото: 6стр.

   Делимостта на числата се определя след извършване на някои действия върху цифрите на числото 6 - 9 страници.

   За определяне на делимостта на числото се използват други знаци 9 – 10 стр.

Приложение на критериите за делимост в практиката 10 – 11 стр.

Заключение 11 страници

Библиография 12стр.

Въведение

Уместността на изследването: Знаците за делимост винаги са интересували учени от различни времена и народи. Когато изучавах темата „Признаци за делимост на числата на 2, 3, 5, 9, 10“ в уроците по математика, започнах да се интересувам от изучаването на числата за делимост. Предполага се, че ако е възможно да се определи делимостта на числата от тези числа, тогава трябва да има знаци, чрез които може да се определи делимостта на естествените числа от други числа. В някои случаи, за да разберете дали някое естествено число се дели адо естествено число bбез остатък, не е необходимо тези числа да се делят. Достатъчно е да знаете някои признаци на делимост.

Хипотеза– щом има признаци за делимост на естествените числа на 2, 3, 5, 9 и 10, то има и други признаци, по които може да се определи делимостта на естествените числа.

Цел на изследването – допълват вече познатите признаци за делимост на естествените числа като цяло, изучавани в училище и систематизират тези признаци за делимост.

За постигането на тази цел е необходимо да се реши следното задачи:

Самостоятелно изследване на делимостта на числата.

Проучете допълнителна литература, за да се запознаете с други признаци на делимост.

Комбинирайте и обобщете функции от различни източници.

Направи заключение.

Обект на изследване– изследване на всички възможни признаци на делимост.

Предмет на изследване– признаци на делимост.

Изследователски методи– събиране на материал, обработка на данни, сравнение, анализ, синтез.

Новост:В хода на проекта разширих знанията си за признаците за делимост на естествените числа.

Из историята на математиката

Блез Паскал(роден през 1623 г.) - един от най известни хорав историята на човечеството. Паскалумер, когато беше на 39 години, но въпреки това кратък живот, влезе в историята като изключителен математик, физик, философ и писател. На негово име са кръстени единицата за налягане (паскал) и един много популярен език за програмиране днес. Блез Паскал намери общо

Тестът на Паскал е метод, който ви позволява да получите тестове за делимост на произволно число. Един вид „универсален знак за делимост“.

Тест за делимост на Паскал: Естествено число Аще бъде разделено на друго естествено число bсамо ако сумата от произведенията на цифрите на числото Ав съответните остатъци, получени чрез разделяне на цифровите единици на числото b, се разделя на това число.

Например : числото 2814 се дели на 7, тъй като 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 се дели на 7. (Тук 6 е остатъкът от деленето на 1000 на 7, 2 е остатъкът от деленето на 100 на 7 и 3 е остатъкът от деленето на 10 на 7).

Основни понятия

Нека си припомним някои математически понятия, които ще ни трябват при изучаването на тази тема.

Тест за делимосте правило, чрез което, без да извършвате деление, можете да определите дали едно число се дели на друго.

Разделителестествено число А назовете естественото число, към което А разделено без остатък.

простосе наричат ​​естествени числа, които нямат други естествени отделни делители освен единица и себе си.

Композитенса числа, които имат естествени делители, различни от 1 и себе си.

Признаци на делимост

Всички признаци за делимост на естествените числа, които разгледах в тази работа, могат да бъдат разделени на 4 групи:

Нека разгледаме по-подробно всяка от тези групи.

Делимостта на числата се определя от последната(ите) цифра(и)

Първата група признаци за делимост на естествените числа, които разгледах, включва признаци за делимост на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 и разрядни единици 10, 100 и т.н.

Тест за делимост на 2: Едно число се дели на 2, когато последната цифра от това число се дели на 2 (т.е. последната цифра е четно число).

Например: 32217864 : 2

Тест за делимост на 4 : едно число се дели на 4, когато последните му две цифри са нули или когато двуцифрено число, образувано от неговите две последните цифри, се дели на 4.

Например, 35324 : 4; 6600 : 4

Тест за делимост на 5 : Числото се дели на 5, когато последната му цифра е 5 или 0.

Например: 36780 : 5 или 12326 5 : 5

Тест за делимост на 8:числото се дели на 8, когато се дели на 8 трицифрено число, образувано от последните три цифри на това число.

Например: 432240 : 8

Тест за делимост на 20:едно число се дели на 20, когато числото, образувано от последните две цифри, се дели на 20. (Друга формулировка: едно число се дели на 20, когато последната цифра на числото е 0, а предпоследната цифра е четна).

Например: 59640 : 20

Тест за делимост на 25:Числата, чиито последни две цифри са нули или образуват число, което се дели на 25, се делят на 25.

Например: 667975 : 25 или 77689 00 : 25

Тест за делимост на 50:Едно число се дели на 50, когато числото, образувано от двете му най-малки десетични цифри, се дели на 50.

Например: 564350 :50 или 5543 00 :50

Тест за делимост на 125:Едно число се дели на 125, ако последните му три цифри са нули или образуват число, което се дели на 125.

Например: 32157000 :125 или 3216 250 :125

Тези естествени числа, чийто брой нули е по-голям или равен на броя на нулите на разрядната единица, се разделят на разрядна единица.

Например, 12 000 се дели на 10, 100 и 1000.

Делимостта на числата се определя от сбора на цифрите на числото

Тази група признаци за делимост на естествените числа включва признаците за делимост на 3, 9, 11, които разгледах.

Тест за делимост на 3:Едно число се дели на 3, ако сборът от цифрите му се дели на 3.

Например: 5421: 3 тк. 5+4+2+1=12, (12:3)

Тест за делимост на 9:Едно число се дели на 9, ако сборът от цифрите му се дели на 9.

Например: 653022: 9 т.к. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Тест за делимост на 11:Тези числа се делят на 11, ако сумата от цифрите на нечетните места е равна на сумата от цифрите на четните места или се различава от нея с кратно на 11.

Например: 865948732:11 защото 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 защото 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Делимостта на числата се определя след извършване на някои действия върху цифрите на това число

Към тази група признаци за делимост на естествените числа спадат признаците за делимост на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Тест за делимост на 6:

Знак 1: Числото се дели на 6, когато резултатът от двойното изваждане на числото на стотиците от числото след стотиците се дели на 6.

Например, 138: 6 защото 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 защото 44 – 7·2=30, (30:6)

Знак 2: Едно число се дели на 6 тогава и само тогава, когато броят на десетиците, добавени към броя на единиците, се дели на 6.

Например, 768:6 защото 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Делимост на 7:

Знак 1: числото се дели на 7 когато се утрои, броят на десетиците, добавени към броя на единиците, се дели на 7.

Например,число 154:7, защото 15 3 + 4 = 49 (49:7) се дели на 7

Знак 2: числото се дели на 7, когато модулът на алгебричната сума на числата, образуващи нечетни групи от три цифри (започващи с единици), взети със знака "+", и четните числа със знака "-" се дели на 7.

Например, 138689257:7, защото ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Делимост на 11:

Знак 1: Числото се дели на 11, когато модулът на разликата между сумата от цифрите, заемащи нечетни позиции, и сумата от цифрите, заемащи четни позиции, се дели на 11.

Например, 9163627:11, защото ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Знак 2: числото се дели на 11, когато сборът от числа, образуващи групи от две цифри (започващи с единици), се дели на 11.

Например, 103785:11, защото 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Делимост на 13:

Знак 1: Едно число се дели на 13, когато сумата от числото десетици плюс четири пъти единиците се дели на 13.

Например, 845:13, защото 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Знак 2: Едно число се дели на 13, когато разликата между броя на десетиците и девет пъти броя на единиците се дели на 13.

Например, 845:13, защото 84-5 9=39 (39:13)

Тест за делимост на 17:едно число се дели на 17, когато модулът на разликата между броя на десетиците и пет пъти броя на единиците се дели на 17.

Например, 221:17, защото ǀ22-5·1ǀ=17

Признаци за делимост на 19:Едно число се дели на 19, когато броят на десетиците, добавен към два пъти броя на единиците, се дели на 19.

Например, 646:19, защото 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Тестове за делимост на 23:

Знак 1: Числото се дели на 23, когато числото на стотиците, добавено за утрояване на числото, образувано от последните две цифри, се дели на 23.

Например, 28842:23, защото 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Знак 2: числото се дели на 23 когато броят на десетиците се добави към седем, умножен по броя на единиците, се дели на 23.

Например, 391:23, защото 3 9+7 1=46 (46:23)

Знак 3: числото се дели на 23 когато броят на стотиците се добави към седем пъти по броя на десетиците и утрои броя на единиците, се дели на 23.

Например, 391:23, защото 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Тест за делимост на 27:числото се дели на 27, когато сборът от числа, образуващи групи от три цифри (започващи с единици), се дели на 27.

Например, 2705427:27 защото 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Тест за делимост на 29:Едно число се дели на 29, когато броят на десетиците, добавен към три пъти броя на единиците, се дели на 29.

Например, 261:29, защото 26+3·1=29 (29:29)

Тест за делимост на 31:Едно число се дели на 31, когато модулът на разликата между броя на десетиците и три пъти по броя на единиците се дели на 31.

Например, 217:31, защото ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Тестове за делимост на 33:Ако сумата, получена чрез разделяне на число отдясно наляво на групи от две цифри, се дели на 33, тогава числото се дели на 33.

Например, 396:33, защото 96+3=99 (99:33)

Тестове за делимост на 37:

Знак 1: числото се дели на 37, когато при разделяне на числото на групи от три цифри (започващи с единици) сумата от тези групи е кратна на 37.

Например, число 100048:37, защото 100+048=148, (148:37)

Знак 2: дадено число се дели на 37, когато модулът от утрояване на броя на стотиците, добавен към учетворяването на броя на десетиците минус броя на единиците, умножен по седем, се раздели на 37.

Например, числото е 481:37, тъй като се дели на 37ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Критерии за делимост на 41:

Знак 1: Едно число се дели на 41, когато модулът на разликата между броя на десетиците и четири пъти броя на единиците се дели на 41.

Например, 369:41, защото ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Знак 2: За да проверите дали едно число се дели на 41, то трябва да бъде разделено от дясно на ляво на групи от по 5 цифри всяка. След това във всяка група умножете първата цифра отдясно по 1, умножете втората цифра по 10, третата по 18, четвъртата по 16, петата по 37 и съберете всички получени продукти. Ако резултатътще се дели на 41, то самото число ще се дели на 41.

Тест за делимост на 59:Едно число се дели на 59, когато броят на десетиците, добавен към броя на единиците, умножени по 6, се дели на 59.

Например, 767:59, защото 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Тест за делимост на 79:Едно число се дели на 79, когато броят на десетиците, добавени към броя на единиците, умножени по 8, се дели на 79.

Например, 711:79, защото 71+8·1=79, (79:79)

Тест за делимост на 99:Едно число се дели на 99, когато сборът от числа, които образуват групи от две цифри (започващи с единици), се дели на 99.

Например, 12573:99, защото 1+25+73=99, (99:99)

Тест за делимост на 101:числото се дели на 101, когато модулът на алгебричната сума на числата, образуващи нечетни групи от две цифри (започващи с единици), взети със знака "+", и четните числа със знака "–" се дели на 101.

Например

За определяне на делимостта на число се използват други критерии за делимост

Към тази група признаци за делимост на естествените числа спадат признаците за делимост на: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 и др. Това са всички съставни числа. Критериите за делимост на съставните числа се основават на критериите за делимост на простите числа, на които може да се разложи всяко съставно число.

Тест за делимост на 6:

Знак 1: Едно число се дели на 6, когато се дели и на 2, и на 3, т.е. ако е четно и сборът от цифрите му се дели на 3.

Например, 768:6, защото 7+6+8=21 (21:3) и последната цифра в числото 768 е четна.

Тест за делимост на 12: Едно число се дели на 12, когато се дели на 3 и 4 едновременно.

Например, 408:12, защото 4+0+8=12 (12:3) и последните две цифри се делят на 4 (08:4)

Тест за делимост на 14:Едно число се дели на 14, когато се дели на 2 и 7.

Например,числото 45612:14, защото се дели и на 2, и на 7, което означава, че се дели на 14.

Тест за делимост на 15:Едно число се дели на 15, когато се дели на 3 и 5.

Например, 1146795:15 защото Това число се дели както на 3, така и на 5.

Тестове за делимост на 27:Едно число се дели на 27, когато се дели на 3 и 9.

Например, 511704:27 защото 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаци за делимост на 30:Едно число се дели на 30, когато завършва на 0 и сборът от всички цифри се дели на 3.

Например, 510:30 защото 5+1+0=6 (6:3) и в числото 510 (последната цифра 0)

Признаци за делимост на 60:За да се дели едно число на 60 е необходимо и достатъчно то да се дели на 4, 3 или 5.

Например, 1620:60 защото 1+6+2+0=9 (9:3), числото 1620 завършва с 0, т.е. се дели на 5 и 1620: 4, защото последните две цифри 20:4

Работата има практическо приложение. Може да се използва от ученици и възрастни при решаване на реални ситуации; учители, както при провеждане на уроци по математика, така и в избираеми дисциплини и допълнителни часовеза повторение.

Това учениеще бъде полезно за учениците, когато самообучениеза финални и приемни изпити. Ще бъде полезно и за ученици, чиято цел са високи места на градски олимпиади.

Задача No1 . Възможно ли е само с числата 3 и 4 да напишем:

число, което се дели на 10;

четен брой;

число, което е кратно на 5;

нечетно число

Проблем No2

Напишете някакво деветцифрено число, което няма повтарящи се цифри (всички цифри са различни) и се дели на 1 без остатък.

Напишете най-голямото от тези числа.

Напишете най-малкото от тези числа.

Отговор: 987652413; 102347586

Проблем No3

Намерете най-голямото четирицифрено число, чиито всички цифри са различни и което се дели на 2, 5, 9, 11.

Отговор: 8910

Проблем No4

Оля излезе с просто трицифрено число, чиито всички цифри са различни. На каква цифра може да завършва, ако последната му цифра е равна на сбора от първите две. Дайте примери за такива числа.

Отговор: само със 7. Има 4 числа, които отговарят на условията на задачата: 167, 257, 347, 527

Проблем No5

Общо в двата класа има 70 ученици. В един клас 7/17 ученици не са се явили на занятия, а в друг 2/9 са получили отлична оценка по математика. Колко ученици има във всеки клас?

Решение:В първия от тези класове може да има: 17, 34, 51... - числа, които са кратни на 17. Във втория клас: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - числа, които са кратни от 9. Трябва да изберем 1 число от първата последователност, а 2 е число от втората, така че сумата им да е 70. Освен това в тези последователности само малък брой членове могат да изразят възможния брой деца в клас. Това съображение значително ограничава избора на опции. Единствената възможна опция беше двойката (34, 36).

Проблем No6

В 9 клас за тест 1/7 ученици получиха A, 1/3 - B, ½ - C. Останалата част от работата се оказа незадоволителна. Колко такива работни места имаше?

Решение:Решението на задачата трябва да е число, кратно на числата: 7, 3, 2. Нека първо намерим най-малкото от тези числа. LCM (7, 3, 2) = 42. Можете да създадете израз според условията на задачата: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспешно. Задачите с математически връзки предполагат, че броят на учениците в класа е 84, 126 и т.н. Човек. Но здравият разум подсказва, че най-приемливият отговор е числото 42.

Отговор: 1 работа.

Заключение:

В резултат на тази работа научих, че освен признаците за делимост на 2, 3, 5, 9 и 10, които знам, има и други признаци за делимост на естествените числа. Получените знания значително ускоряват решаването на много проблеми. И мога да използвам това знание в моите образователни дейности, както в часовете по математика, така и в извънкласни дейности. Трябва също да се отбележи, че формулировките на някои критерии за делимост са сложни. Може би затова не се изучават в училище. Очаквам и в бъдеще да продължа да се занимавам с изучаването на признаците за делимост на естествените числа.

енциклопедичен речникмлад математик. Савин А.П. Москва "Педагогика" 1989г.

Математика. Допълнителни материали за уроците по математика 5-11 клас. Рязановски А.Р., Зайцев Е.А. Москва "Дропла" 2002 г.

Зад страниците на учебник по математика. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Образование, 1989.

Извънкласни дейностипо математика в 6-8 клас. Москва. “Просвещение” 1984 В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розентал.

„1001 въпроса и отговора. Голяма книга на знанието" Москва. "Светът на книгите" 2004г.

Факултативна дисциплина по математика. Николская И.Л. - Москва. Просвета 1991г.

Олимпиадни задачи по математика и методи за решаването им. Фърков А.В. - Москва. 2003 г

Интернет ресурси.

Вижте съдържанието на презентацията
„Признаци за делимост на естествените числа“

Регионална научна конференция за ученици

Общински район Лахденпох „Стъпка в бъдещето“

„Признаци за делимост на естествените числа“

Изпълнител: Галкина Наталия

ученик от 7 клас

MKOU "Средно училище Елисенваара"

Ръководител: Василиева Лариса Владимировна

учител по математика в MKOU "Elisenvaarskaya" средно училище"

2014 г

Уместността на изследването : Знаците за делимост винаги са интересували учени от различни времена и народи. Когато изучавах темата „Признаци за делимост на числата на 2, 3, 5, 9, 10“ в уроците по математика, започнах да се интересувам от изучаването на числата за делимост. Предполага се, че ако е възможно да се определи делимостта на числата от тези числа, тогава трябва да има знаци, чрез които може да се определи делимостта на естествените числа от други числа. В някои случаи, за да разберете дали някое естествено число се дели а до естествено число b без остатък, не е необходимо тези числа да се делят. Достатъчно е да знаете някои признаци на делимост. Хипотеза – щом има признаци за делимост на естествените числа на 2, 3, 5, 9 и 10, то има и други признаци, по които може да се определи делимостта на естествените числа. Цел на изследването – допълват вече познатите признаци за делимост на естествените числа като цяло, изучавани в училище и систематизират тези признаци за делимост. За постигането на тази цел е необходимо да се реши следното задачи:

• Самостоятелно изследване на делимостта на числата.
• Проучете допълнителна литература, за да се запознаете с други признаци на делимост.
• Комбинирайте и обобщете функции от различни източници.
• Направи заключение. Обект на изследване – делимост на естествените числа. Предмет на изследване – признаци на делимост. Изследователски методи – събиране на материали, обработка на данни, сравнение, анализ, обобщение. Новост : По време на проекта разширих знанията си относно критериите за делимост на естествените числа.

Из историята на математиката

Блез Паскал (роден през 1623 г.) - един от най-известните хора в човешката история. Паскал почина, когато беше на 39 години, но въпреки толкова кратък живот, той влезе в историята като изключителен математик, физик, философ и писател. На негово име са кръстени единицата за налягане (паскал) и един много популярен език за програмиране днес. Блез Паскал намери общо алгоритъм за намиране на признаци за делимост на всяко цяло число на всяко друго цяло число.

Тестът на Паскал е метод, който ви позволява да получите тестове за делимост на произволно число. Един вид „универсален знак за делимост“.

Тест за делимост на Паскал: Едно естествено число a ще бъде разделено на друго естествено число b само ако сборът от произведенията на цифрите на числото a на съответните остатъци, получени при деленето на цифровите единици на числото b, се дели на това число.

Например : числото 2814 се дели на 7, тъй като 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 се дели на 7. (Тук 6 е остатъкът от деленето на 1000 на 7, 2 е остатъкът от деленето на 100 на 7 и 3 е остатъкът от деленето на 10 на 7).

Основни понятия

Нека си припомним някои математически понятия, които ще ни трябват, когато изучаваме тази тема:

• Тест за делимост е правило, чрез което, без да извършвате деление, можете да определите дали едно число се дели на друго.

• Разделител естествено число А наричам естествено число b , към който А разделено без остатък.

• просто се наричат ​​естествени числа, които нямат други естествени отделни делители освен единица и себе си.

• Композитен са числа, които имат естествени делители, различни от 1 и себе си.

Признаци на делимост

Всички признаци за делимост на естествените числа, които разгледах в тази работа, могат да бъдат разделени на 4 групи:

аз

• аз . Делимостта на числата се определя от последната(ите) цифра(и)

Първата група признаци за делимост на естествените числа, които разгледах, включва признаци за делимост на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 и разрядни единици 10, 100 и т.н.

• Тест за делимост на 2 : Едно число се дели на 2, когато последната цифра от това число се дели на 2 (т.е. последната цифра е четно число).

Например : 3221786 4 : 2

• Тест за делимост на 4 : Едно число се дели на 4, когато последните му две цифри са нули или когато двуцифреното число, образувано от последните му две цифри, се дели на 4.

Например: 353 24 : 4; 66 00 : 4

• Тест за делимост на 5 : Числото се дели на 5, когато последната му цифра е 5 или 0.

Например: 3678 0 : 5 или 12326 5 : 5

• Тест за делимост на 8: Едно число се дели на 8, когато трицифрено число, образувано от последните три цифри на това число, се дели на 8.

Например: 432 240 : 8

• Тест за делимост на 20: числото се дели на 20, когато числото е образувано от две последно числа, делими на 20. (Друга формулировка: числото се дели до 20, когато последната цифра на числото е 0, а предпоследната цифра е четна).

Например: 596 40 : 20

• Тест за делимост на 25: Числата, чиито последни две цифри са нули или образуват число, което се дели на 25, се делят на 25.

Например: 6679 75 : 25 или 77689 00 : 25

• Тест за делимост на 50: Едно число се дели на 50, когато числото, образувано от двете му най-малки десетични цифри, се дели на 50.

Например : 5643 50 : 50 или 5543 00 : 50

• Тест за делимост на 125: Едно число се дели на 125, ако последните му три цифри са нули или образуват число, което се дели на 125.

Например: 32157 000 : 125 или 3216 250 : 125

• Признаци за делимост на разрядна единица 10, 100, 1000 и др.: Тези естествени числа, чийто брой нули е по-голям или равен на броя на нулите на разрядната единица, се разделят на разрядна единица.

Например 12 000 се дели на 10, 100 и 1000

II

• II . Делимостта на числата се определя от сбора на цифрите на числото

Тази група признаци за делимост на естествените числа включва признаците за делимост на 3, 9, 11, които разгледах.

• Тест за делимост на 3: Едно число се дели на 3, ако сборът от цифрите му се дели на 3.

Например: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

• Тест за делимост на 9: Едно число се дели на 9, ако сборът от цифрите му се дели на 9.

Например: 653022: 9 защото 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• Тест за делимост на 11: Тези числа се делят на 11, ако сумата от цифрите на нечетните места е равна на сумата от цифрите на четните места или се различава от нея с кратно на 11.

Например: 865948732:11 защото 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 защото 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Делимостта на числата се определя след извършване на някои действия

над цифрите на това число

Към тази група признаци за делимост на естествените числа спадат признаците за делимост на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Тест за делимост на 6:

• Знак 1: числото се дели на 6, когато резултатът от двойното изваждане на числото на стотиците от числото след стотиците се дели на 6.

Например: 138: 6 защото 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 защото 44 – 7·2=30, (30:6)

• Знак 2: едно число се дели на 6 тогава и само тогава, когато четворният брой десетици, добавен към броя на единиците, се дели на 6.

Например: 768:6 защото 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Делимост на 7:

• Знак 1: числото се дели на 7, когато утроеният брой десетици, добавен към броя на единиците, се дели на 7.

Например: числото 154:7, т.к 15 3 + 4 = 49 (49:7) се дели на 7

• Знак 2: числото се дели на 7, когато модулът на алгебричната сума на числата, образуващи нечетни групи от три цифри (започващи с единици), взети със знака "+", и четните числа със знака "-" се дели на 7.

Например 138689257:7, защото ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Делимост на 11:

• Знак 1: едно число се дели на 11, когато модулът на разликата между сбора от цифрите, заемащи нечетни позиции, и сбора от цифрите, заемащи четни позиции, се дели на 11.

Например 9163627:11, защото ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• Знак 2: числото се дели на 11, когато сборът от числа, образуващи групи от две цифри (започващи с единици), се дели на 11.

Например 103785:11, защото 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Делимост на 13:

• Знак 1: числото се дели на 13, когато сборът от броя на десетиците и учетворения брой на единиците се дели на 13

Например 845:13, защото 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• Знак 2: едно число се дели на 13, когато разликата между броя на десетиците и девет пъти броя на единиците се дели на 13.

Например 845:13, защото 84-5 9=39 (39:13)

Тест за делимост на 17: едно число се дели на 17, когато модулът на разликата между броя на десетиците и пет пъти броя на единиците се дели на 17.

Например 221:17, защото ǀ22-5·1ǀ=17

Признаци за делимост на 19: числото се дели на 19, когато числото е десетици, с невярно с удвоете броя на единиците, делими на 19.

Например 646:19, защото 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Тестове за делимост на 23:

• Знак 1: числото се дели на 23, когато броят на стотиците, добавени за утрояване на числото, образувано от последните две цифри, се дели на 23.

Например 28842:23, защото 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• Знак 2: числото се дели на 23, когато броят на десетиците, добавен към седем пъти броя на единиците, се дели на 23.

Например 391:23, защото 39+7·1=46 (46:23)

• Знак 3: числото се дели на 23, когато числото на стотиците, добавено към седемкратното число на десетиците и утроеното число на единиците, делимо на 23.

Например 391:23, защото 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Тест за делимост на 27: числото се дели на 27, когато сборът от числа, образуващи групи от три цифри (започващи с единици), се дели на 27.

Например 2705427:27 защото 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Тест за делимост на 29: числото се дели на 29, когато броят на десетиците, добавен към три пъти броя на единиците, се дели на 29

Например 261:29, защото 26+3·1=29 (29:29)

Тест за делимост на 31: едно число се дели на 31, когато модулът на разликата на броя на десетиците и три пъти броят на единиците се разделя на 31.

Например 217:31, защото ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Тестове за делимост на 33: Ако сумата, получена чрез разделяне на число отдясно наляво на групи от две цифри, се дели на 33, тогава числото се дели на 33.

Например 396:33, защото 96+3=99 (99:33)

Тестове за делимост на 37:

• Знак 1 : числото се дели на 37, когато при разделяне на числото на групи от три цифри (започващи с единици) сумата от тези групи е кратна на 37.

Например , число 100048:37, защото 100+048=148, (148:37)

• Знак 2: числото се дели на 37, когато модулът на утроеното число на стотиците, добавено към учетвореното число на десетиците, минус броя на единиците, умножено по седем, се дели на 37.

Например числото 481:37, тъй като ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 се дели на 37

Критерии за делимост на 41:

• Знак 1: числото се дели на 41, когато модулът на разликата между броя на десетиците и четири пъти броя на единиците се дели на 41.

Например 369:41, защото ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• Знак 2: за да проверите дали дадено число се дели на 41, то трябва да бъде разделено от дясно на ляво на групи от по 5 цифри. След това във всяка група умножете първата цифра отдясно по 1, умножете втората цифра по 10, третата по 18, четвъртата по 16, петата по 37 и съберете всички получени продукти. Ако резултатът се дели на 41, тогава самото число ще се дели на 41.

Тест за делимост на 59: Едно число се дели на 59, когато броят на десетиците, добавен към броя на единиците, умножени по 6, се дели на 59.

Например 767:59, защото 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Тест за делимост на 79: Едно число се дели на 79, когато броят на десетиците, добавени към броя на единиците, умножени по 8, се дели на 79.

Например 711:79, защото 71+8·1=79, (79:79)

Тест за делимост на 99: Едно число се дели на 99, когато сборът от числа, които образуват групи от две цифри (започващи с единици), се дели на 99.

Например 12573:99, защото 1+25+73=99, (99:99)

Тест за делимост на 101: числото се дели на 101, когато модулът на алгебричната сума на числата, образуващи нечетни групи от две цифри (започващи с единици), взети със знака "+", и четните числа със знака "–" се дели на 101.

Например, 590547:101, защото ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . За определяне на делимостта на число се използват други критерии за делимост

Към тази група признаци за делимост на естествените числа спадат признаците за делимост на: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 и др. Това са всички съставни числа. Критериите за делимост на съставните числа се основават на критериите за делимост на простите числа, на които може да се разложи всяко съставно число.

Тест за делимост на 6: Едно число се дели на 6, когато се дели и на 2, и на 3, т.е. ако е четно и сборът от цифрите му се дели на 3.

Например 768:6, защото 7+6+8=21 (21:3) и последната цифра в числото 768 е четна.

Тест за делимост на 12 : Едно число се дели на 12, когато се дели на 3 и 4 едновременно.

Например 408:12, защото 4+0+8=12 (12:3) и последните две цифри се делят на 4 (08:4)

Тест за делимост на 14: Едно число се дели на 14, когато се дели на 2 и 7.

Например числото 45612:14, защото се дели и на 2, и на 7, което означава, че се дели на 14

Тест за делимост на 15: Едно число се дели на 15, когато се дели на 3 и 5.

Например 1146795:15 защото това число се дели както на 3, така и на 5

Тестове за делимост на 27: Едно число се дели на 27, когато се дели на 3 и 9. Например 511704:27 защото 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаци за делимост на 30: Едно число се дели на 30, когато завършва на 0 и сборът от всички цифри се дели на 3.

Например 510:30 защото 5+1+0=6 (6:3) и в числото 510 (последната цифра 0)

Признаци за делимост на 60: За да се дели едно число на 60 е необходимо и достатъчно то да се дели на 4, 3 или 5.

Например 1620:60, защото 1+6+2+0=9 (9:3), числото 1620 завършва с 0, т.е. се дели на 5 и 1620: 4, защото последните две цифри 20:4

Приложение на критериите за делимост в практиката

Работата има практическо приложение. Може да се използва от ученици и възрастни при решаване на реални ситуации; учители, както по време на часовете по математика, така и в избираемите дисциплини и допълнителните преговорни часове.

Учебата ще бъде полезна на учениците при самостоятелната им подготовка за зрелостни и приемни изпити. Ще бъде полезно и за ученици, чиято цел са високи места на градски олимпиади.

Задача No1 . Възможно ли е само с числата 3 и 4 да напишем:

• число, което се дели на 10;
• четен брой;
• число, което е кратно на 5;
• нечетно число

Проблем No3 : Намерете най-голямото четирицифрено число, чиито всички цифри са различни и което се дели на 2, 5, 9, 11.

Отговор: 8910

Задача #4: Оля излезе с просто трицифрено число, чиито всички цифри са различни. На каква цифра може да завършва, ако последната му цифра е равна на сбора от първите две. Дайте примери за такива числа.

Отговор: само със 7. Има 4 числа, които отговарят на условията на задачата: 167, 257, 347, 527

Проблем No5 : Има 70 ученици в два класа заедно. В един клас 7/17 ученици не са се явили на занятия, а в друг 2/9 са получили отлична оценка по математика. Колко ученици има във всеки клас?

Решение: В първия от тези класове може да има: 17, 34, 51... - числа, които са кратни на 17. Във втория клас: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - числа, които са кратни от 9. Трябва да изберем 1 число от първата последователност, а 2 е число от втората, така че сумата им да е 70. Освен това в тези последователности само малък брой членове могат да изразят възможния брой деца в клас. Това съображение значително ограничава избора на опции. Единствената възможна опция беше двойката (34, 36).

Проблем No6 : В 9-ти клас 1/7 ученици са получили 5 за теста, 1/3 са получили четворки, ½ - тройки. Останалата част от работата се оказа незадоволителна. Колко такива произведения имаше?

Решение: Решението на задачата трябва да е число, кратно на числата: 7, 3, 2. Нека първо намерим най-малкото от тези числа. LCM (7, 3, 2) = 42. Можете да съставите израз според условията на задачата: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспешни. Проблемите с математическите връзки предполагат, че числото ученици в клас 84, 126 и др. Човек. Но от съображения за здрав разум От това следва, че най-приемливият отговор е числото 42.

Отговор: 1 работа.

Заключение:

В резултат на тази работа научих, че освен признаците за делимост на 2, 3, 5, 9 и 10, които знам, има и други признаци за делимост на естествените числа. Получените знания значително ускоряват решаването на много проблеми. И ще мога да използвам тези знания в учебната си дейност, както в часовете по математика, така и в извънкласните дейности. Трябва също да се отбележи, че формулировките на някои критерии за делимост са сложни. Може би затова не се изучават в училище. Очаквам и в бъдеще да продължа да се занимавам с изучаването на признаците за делимост на естествените числа.

• Енциклопедичен речник на млад математик. Савин А.П. Москва "Педагогика" 1989г.
• Математика. Допълнителни материали за уроците по математика 5-11 клас. Рязановски А.Р., Зайцев Е.А. Москва "Дропла" 2002 г.
• Зад страниците на учебник по математика. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Образование, 1989.
• Извънкласна работа по математика в 6-8 клас. Москва. “Просвещение” 1984 В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розентал.
• „1001 въпроса и отговора. Голяма книга на знанието" Москва. "Светът на книгите" 2004г.
• Факултативна дисциплина по математика. Николская И.Л. - Москва. Просвета 1991г.
• Олимпиадни задачи по математика и методи за решаването им. Фърков А.В. - Москва. 2003 г
• Интернет ресурси.

Цели числа

Набор от естествени числа, използвани за броене или прехвърляне.

Формално, наборът от естествени числа може да бъде дефиниран с помощта на аксиомната система на Пеано.

СЪССистема от аксиоми на Пеано

1. Единица - естествено число, което не следва никое число.

2. За всяко естествено число съществува единствено число
което веднага следва.

3. Всяко естествено число
непосредствено следва само едно число.

4. Ако някои набор
съдържа и заедно с всяко естествено число съдържа числото непосредствено след него
(аксиома на индукцията).

Операции върху множество

Умножение

Изваждане :

Свойства на изваждане: Ако
Че

Ако
Че

Делимост на естествените числа

дивизия : разделена на
такова, че

Имотиоперации:

1. Ако
се разделят на Че
разделена на

2. Ако
И
се разделят на Че
разделена на

3. Ако
И се делят на това се дели на

4. Ако се дели до тогава
разделена на

5. Ако
се делят на a не се делят на това и онова
не се дели на

6. Ако или разделено на това
разделена на

7. Ако се дели на
след това се разделя на и се разделя на

Теоремаотносно делението с остатъкЗа всякакви естествени числа
има само положителни числа
такова, че
и

Доказателство. Позволявам
Помислете за следния алгоритъм:

	Ако Ако тогава нека направим друго изваждане Продължаваме процеса на изваждане, докато остатъкът стане по-малък от числото Има номер такова, че
	Нека да съберем всички редове на този алгоритъм и да получим необходимия израз, където

Ще докажем уникалността на представянето от противно.

Да предположим, че има две представяния

И
Извадете единия израз от другия и
Последното равенство в цели числа е възможно само в случая, тъй като
при
□

Следствие 1. Всяко естествено число може да бъде представено като:
или или

Следствие 2. Ако
последователни естествени числа, то едно от тях се дели на

Следствие 3. Ако
две последователни четни числа, то едно от тях се дели на

Определение. Естествено число се нарича просто, ако няма делители, различни от единица и себе си.

Последица4. Всяко просто число има формата
или

Наистина всяко число може да бъде представено във формуляра, но всички числа в тази серия, с изключение на
определено са съставни. □

Последица5 . Ако
просто число тогава
разделена на

Наистина ли,
три последователни естествени числа и
дори и
странно просто число. Следователно едно от четните числа
И
се дели на 4 и едно също се дели на □

Пример 2 . Следните твърдения са верни:

1. Квадратът на нечетно число, когато се раздели на 8, дава остатък

2. За нито едно естествено число n числото n 2 +1 не се дели на 3.

3. Използвайки само числата 2, 3, 7, 8 (евентуално няколко пъти), е невъзможно да се повдигне на квадрат естествено число.

Доказателство1. Всяко нечетно число може да бъде представено като
или
Нека повдигнем на квадрат всяко от тези числа и ще получим исканото твърдение.

Доказателство 2.Всяко естествено число може да бъде представено като
Тогава изразът
ще бъде равно на един от изразите
които не се делят на

Доказателство3. Наистина, последната цифра от квадрата на естествено число не може да завършва с нито една от тези цифри.

Признаци на делимост

Определение. Десетичното представяне на естествено число е представянето на число във формата

Стенописна нотация

Признаци за делимост на

Одобрен 6Позволявам
десетично представяне на числото число Тогава:

1. Числото се дели на
когато числото - дори;

2. Числото се дели на когато числото е двуцифрено
разделена на

3. Числото се дели на Кога
или

4. Числото се дели на
Кога

5. Числото се дели на
когато числото е двуцифрено
- разделена на

6. Числото се дели на

7. Числото се дели на когато сумата от цифрите на едно число се раздели на

8. Числото се дели на
когато сборът от цифрите на число с редуващи се знаци се раздели на

Доказателство.Доказателството за знаци 1)-5) се получава лесно от десетичния запис на числото.Нека докажем 6) и 7). Наистина ли,

От това следва, че ако се дели (или
тогава сумата от цифрите на числото също се дели на

Нека докажем 11). Нека се дели на Нека представим числото във формата

Тъй като всички добавени суми се делят на
тогава сумата също се дели на □

Пример 3 . Намерете всички петцифрени числа от формуляра
, които се делят на 45.

Доказателство.
Следователно числото се дели на 5, а последната му цифра е 0 или 5, т.е.
или
Оригиналното число също се дели на 9, така че се дели на 9, т.е.
или делимо на 9, т.е.

Отговор:

Тест за делимостНа И

Одобрен 7Нека десетичното представяне на числото Number Number се дели на
когато разликата между число без последните три цифри и число, съставено от последните три цифри, се раздели на

Доказателство.Нека го представим във формата Тъй като числото
разделено на и
Че
делимо на и □

Пример 4 . Позволявам
Тогава
се дели на и следователно числото
разделена на

Позволявам
Тогава

делимо на Тогава числото
разделена на

прости числа

Ситото на Ератостен

(Прост алгоритъм за получаване на всички прости числа)

Алгоритъм.Записваме всички числа от 1 до 100 и първо задраскваме всички четни. След това от останалите задраскваме делимите на 3, 5, 7 и т.н. В резултат на това ще останат само прости числа.

Теорема на Евклид. Броят на простите числа е безкраен.

Доказателство"от противоречие". Нека броят на простите числа е краен -
Помислете за броя
Въпрос: номер - прости или сложни?

Ако е съставно число, то се дели на някакво просто число и следователно едно се дели на това просто число. Противоречие.

Ако е просто число, то е по-голямо от всяко просто число
и изписахме и номерирахме всички прости числа. Отново противоречие. □

Одобрен 8Ако числото е съставно, то има прост делител, така че

Доказателство. If е най-малкият прост делител на съставно число
Че

Последица.За да определите дали едно число е просто, трябва да определите дали то има прости множители

Пример 5 . Позволявам
За да проверите дали номер е
просто, трябва да проверите дали се дели на прости числа Отговор: число
просто.

Генератори на прости числа

Хипотеза:Всички номера на формуляра
просто.

При
- това са прости числа
За
Ръчно и с помощта на компютър е доказано, че всички числа са съставни.

Например (Ойлер)

Хипотеза:Всички номера на формуляра
просто.

При
това е вярно, бе
делимо на 17.

Хипотеза: Всички номера на формуляра
просто.

При
това е вярно, бе

Хипотеза:Всички числа от формуляра са прости. При
това е вярно, бе

Теорема.(Метод на Ферма за факторизиране) Нечетното цяло число не е просто
има такива естествени числа, че
Доказателство.

□

Пример 6 . Разложете числата на прости множители

Пример 7 . Разложете число на множители
Това число се дели на 3
Освен това, според метода на избор на фактори,

Пример 8 . При какви цели числа

просто?

Имайте предвид, че оттогава
просто, тогава или
или
Отговор:

Одобрено 10Има ли естествено число нечетен брой делители, когато е точен квадрат?

Доказателство.Ако
делител
тогава има две различни двойки делители
И
и когато
и двете двойки ще бъдат равни.

Пример 9 . Числата имат точно 99 делителя. Може ли едно число да има точно 100 делителя?

Отговор: не. Валиден от предишното свойство и - идеални квадрати, но тяхната работа не е.

Пример 10 . Числа
просто. намирам

Решение.Всяко число може да бъде представено като
Ако
тогава получавате три прости числа
удовлетворяващи условията на проблема. Ако
Че
композитен. Ако
това число
разделена на и ако
това число
се дели на По този начин във всички разгледани варианти не могат да се получат три прости числа. Отговор:

Определение. Номер се нарича най-големият общ делител на числа и ако дели и и е най-голямото от тези числа.

Обозначаване:

Определение . Числата и се наричат ​​относително прости ако

Пример 1 2 . Решете уравнението в естествени числа

Решение.Позволявам

Следователно уравнението изглежда така Отговор: Няма решения.

ОТНОСНОосновна теорема на аритметиката

Теорема.Всяко естествено число, по-голямо от, е или просто число, или може да бъде записано като произведение на прости числа и това произведение е уникално до реда на факторите.

Следствие 1.Позволявам

Тогава
е равно на произведението на всички общи прости множители с най-малки степени.

Следствие 2.Позволявам
Тогава
е равно на произведението на всички различни прости множители с най-големи мощности. разделена на

10. Намерете последната цифра на числото 7 2011 + 9 2011.

11. Намерете всички естествени числа, които се увеличават 9 пъти, ако между цифрата на единиците и цифрата на десетиците се постави нула.

12. Към някакво двуцифрено число е добавена единица отляво и отдясно. Резултатът беше число 23 пъти по-голямо от първоначалното. Намерете този номер.

Въпроси за теория или упражнения можете да задавате на Валери Петрович Чуваков

чв @ uriit . ru

допълнителна литература

1. Виленкин Н.Я. и др.. Зад страниците на учебник по математика. Аритметика. Алгебра. – М .: Образование, 2008.

2. Севрюков П.Ф. Подготовка за решаване на олимпиадни задачи по математика. – М.: Илекса, 2009.

3. Канел-Белов А.Я., Ковалджи А.К. Как решават нестандартни задачи. –М. MCNMO, 2009 г.

4. Агаханов Н.А., Подлипски О.К. Математически олимпиади на Московска област. – М.: Физматкнига, 2006

5. Горбачов Н.В. Сборник от олимпиадни задачи, – М.: МЦНМО, 2004

Лекция

Лекционни бележки по курса "теория на числата"

Лекция

Следващите раздели на теорията числа: теория делимост, прости и съставни... Теорема. Нека x>0, xR, dN. Количество естественочисла, кратно на d и непревишаващо x, е равно на... Лекция 12 13 Лекция 13 15 Литература. 17 Резюмелекциив курса "Теории" числа" ...

Бележки за лекции по ултурология

Резюме

Павлюченков Резюмелекциив културологията... неравномерно и съществуваше в рамките естественоферми. В полиса е... изследване на безкрайно малките числадо голяма степен са завършили създаването... докато материалът делимадо безкрайност. духовен...

D A Shadrin Logic бележки от лекции

Резюме

Представлява абстрактнолекциипо дисциплината "Логика". Резюмелекциикомпилиран в... това е определението естественочисла. Така че, ако 1 - естественочисло и n - естественономер, след това 1 ... изчерпване на целия обем делимаконцепции, така че...

Образователно направление: природни науки.

Раздел: "Математика"

Изследователска работа по темата:

"Признаци за делимост на естествените числа"

Ръководител: Lapko I.V.

учител по математика

Въведение:

1. Факти от историята на математиката.

2. Признаци за делимост на 2, 3, 4, 5,6,8, 9, 10.

3. Признаци за делимост на естествените числа на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25.50.

4. Решаване на задачи по критерии за делимост.

6. Списък на използваната литература (източници).

Уместност:Всички ние в училище научихме знаците за делимост, които и до днес ни помагат, без да губим ненужно време, бързо и точно да разделим това или онова число. Неотдавна, като си спомних тази тема, започнах да се чудя дали има други признаци за делимост на естествени числа. И точно тази мисъл ме тласна да напиша научна статия.
Хипотеза:Ако можете да определите делимостта на естествените числа на 2, 3, 5, 9, 10, тогава най-вероятно има признаци, по които можете да определите делимостта на естествените числа на други числа.
Обект на изследване:делимост на естествените числа.

Предмет на изследване:признаци за делимост на естествените числа.

Мишена:допълват вече познатите признаци за делимост на естествените числа, изучавани в училище.

Задачи:
1. Определете и повторете вече изучените признаци за делимост на 2, 3. 5, 9, 10.
2. Проучете допълнителна литература, потвърждаваща правилността на повдигнатия въпрос за съществуването на други признаци за делимост на естествените числа.
3. Самостоятелна проверка и получаване на знаци за делимост на естествените числа на 4, 6, 8, 15, 25.
4. Намерете от допълнителната литература признаци за делимост на естествените числа на 7, 11,12,13,14.
5. Направете заключение.
Новост:В хода на проекта разширих знанията си за признаците за делимост на естествените числа.

Изследователски методи:събиране на материал, обработка на данни, наблюдение, сравнение, анализ, синтез.

1. Факти от историята на математиката

1. Признак за делимост- алгоритъм, който ви позволява относително бързо да определите дали дадено число е кратно на предварително определено
Тестът за делимост е правило, чрез което, без да се извършва деление, може да се определи дали едно естествено число се дели на друго. Знаците за делимост винаги са интересували учените различни странии времена.Признаците за делимост на 2,3,5,9,10 са известни от древността. Знакът за делимост на 2 е бил известен на древните египтяни 2 хиляди години пр. н. е., а признаците за делимост на 2, 3, 5 са ​​описани подробно от италианския математик Леонардо Пизан (лат. Leonardus Pisanus, италиан. Leonardo Pisano, около 1170 г., Пиза - около 1250 г., пак там) - първият голям математик на средновековна Европа. Той е най-известен с прякора си Фибоначи. Александрийският учен Ератостен, живял през III в. пр. н. е., някога е мислил по същия въпрос. Неговият метод за съставяне на списък от прости числа е наречен "ситото на Ератостен". Да кажем, че трябва да намерим всички прости числа до 100. Нека напишем всички числа до 100 подред.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Оставяйки числото 2, задраскайте всички останали четни числа. Първото оцеляло число след 2 ще бъде 3. Сега, оставяйки числото 3, нека задраскаме числата, които се делят на 3. След това зачеркнете числата, които се делят на 5. В резултат на това всички съставни числа ще бъдат задраскани и само простите числа ще останат: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. Използвайки този метод, можете да правите списъци с прости числа, по-големи от 100.

Въпросите за делимостта на числата са разглеждани от питагорейците. В теорията на числата те свършиха много работа върху типологията на естествените числа. Питагорейците ги разделят на класове. Бяха разграничени класове: перфектни числа (число равно на сумататехните собствени делители, например: 6=1+2+3), приятелски числа (всяко от които е равно на сумата от делителите на другия, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+ 20+11+22+44 +55+110;220=1+2+4+71+142), фигурни числа (триъгълно число, квадратно число), прости числа и т.н. принос към изучаването на признаците за делимост на числата. ). Младият Блез се появи много рано математически умения, научаване на броене преди четене. Като цяло неговият пример е класически случай на детски математически гений. Той написва първия си математически трактат „Опит в теорията на коничните сечения“ на 24-годишна възраст. Приблизително по същото време той проектира механична сумираща машина, прототипът на сумиращата машина. IN ранен периодВ своето творчество (1640-1650 г.) многостранният учен намира алгоритъм за намиране на признаци за делимост на всяко цяло число на всяко друго цяло число, от който следват всички частни знаци. Неговият знак е следният: Естествено число a ще бъде разделено на друго естествено число b само ако сумата от произведенията на цифрите на числото a на съответните остатъци, получени при разделянето на цифровите единици на числото b, се дели на това номер.
Когато изучавате тази тема, трябва да знаете понятията делител, кратни, прости и съставни числа. Делителят на естествено число a е естествено число b, на което a се дели без остатък. Често твърдение за делимостта на число с число b се изразява с други еквивалентни думи: a е кратно на b, b е делител на a, b дели а.Простите числа са естествени числа, които имат два делителя: 1 и самото число. Например числата 5,7,19 са прости числа, защото се делят на 1 и себе си. Числата, които имат повече от два делителя, се наричат ​​съставни числа. Например числото 14 има 4 делителя: 1, 2, 7, 14, което означава, че е съставно.

2. Признаци на делимост

За да се опрости разделянето на естествените числа, бяха получени правила за разделяне на числа от първите десет и числа 11, 25, които бяха обединени в раздел за признаци на делимост на естествените числа. По-долу са дадени правилата, по които анализът на число без разделянето му на друго естествено число ще отговори на въпроса дали естественото число е кратно на числата 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и цифровата единица?

Естествените числа, които имат цифри (завършващи на) 2,4,6,8,0 в първата цифра, се наричат ​​четни.

Тест за делимост на числата на 2

Всички четни естествени числа се делят на 2, например: 172, 94,67, 838, 1670.

Например числото 52 738 се дели на 2, защото последната цифра 8 е четна; 7691 не се дели на 2, тъй като 1 е нечетно число; 1250 се дели на 2, защото последната цифра е нула.

Тест за делимост на числата на 3

Всички естествени числа, чиято сума от цифри се дели на 3, се делят на 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Примери.

Числото 52632 се дели на 9, защото сборът от неговите цифри (18) се дели на 9.

Тест за делимост на числата на 4

Всички естествени числа, чиито последни две цифри са нули или кратни на 4, се делят на 4.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Примери.
31 700 се дели на 4, защото завършва с две нули;
215 634 не се дели на 4, тъй като последните две цифри дават числото 34, което не се дели на 4;
16608 се дели на 4, защото последните две цифри на 08 дават числото 8, което се дели на 4.

Тест за делимост на числата на 5

Тест за делимост на числата на 6

Онези естествени числа, които се делят едновременно на 2 и 3, се делят на 6 (всички четни числа, които се делят на 3). Например: 126 (b - четно, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Тест за делимост на числата на 8

На 8 се делят само тези числа, които завършват с три нули или чиито последни три цифри изразяват число, делящо се на 8. Пример

Числото 853 000 завършва с три нули, което означава, че се дели на 8

Числото 381 864 се дели на 8, защото числото, образувано от последните три цифри на 864, се дели на 8.

и т.нЗнак за делимост на числата на 9

Тези естествени числа, чийто сбор от цифрите е кратен на 9, се делят на 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Примери.
Числото 17835 се дели на 3 и не се дели на 9, тъй като сборът от неговите цифри 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 се дели на 3 и не се дели на 9.
Числото 105 499 не се дели нито на 3, нито на 9, тъй като сумата от неговите цифри (29) не се дели нито на 3, нито на 9.
Числото 52632 се дели на 9, защото сборът от неговите цифри (18) се дели на 9

Тест за делимост на числата на 10

Примери.
8200 се дели на 10 и 100;
542000 се дели на 10, 100, 1000.

3. Признаци за делимост на естествените числа на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25.50.

От допълнителна литература намерихме потвърждение за правилността на формулираните от нас критерии за делимост на естествените числа на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Открихме и няколко признака за делимост на 7:
1) Едно естествено число се дели на 7 тогава и само ако разликата между числото на хилядите и числото, изразено с последните три цифри, се дели на 7.
Примери:
478009 се дели на 7, защото 478-9=469, 469 се дели на 7.
479345 не се дели на 7, защото 479-345=134, 134 не се дели на 7.
2) Естественото число се дели на 7, ако сборът от удвоеното число до десетиците и останалото число се дели на 7.
Примери:
4592 се дели на 7, защото 45·2=90, 90+92=182, 182 се дели на 7.
57384 не се дели на 7, защото 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не се дели на 7.
3) Трицифрено естествено число от формата aba ще се дели на 7, ако a+b се дели на 7.
Примери:
252 се дели на 7, защото 2+5=7, 7/7.
636 не се дели на 7, защото 6+3=9, 9 не се дели на 7.
4) Трицифрено естествено число от формата baa ще се дели на 7, ако сборът от цифрите на числото се дели на 7.
Примери:
455 се дели на 7, защото 4+5+5=14, 14/7.
244 не се дели на 7, защото 2+4+4=12, 12 не се дели на 7.
5) Трицифрено естествено число от вида aab ще се дели на 7, ако 2a-b се дели на 7.
Примери:
882 се дели на 7, защото 8+8-2=14, 14/7.
996 не се дели на 7, защото 9+9-6=12, 12 не се дели на 7.
6) Четирицифрено естествено число от вида baa, където b е двуцифрено число, ще се дели на 7, ако b+2a се дели на 7.
Примери:
2744 се дели на 7, защото 27+4+4=35, 35/7.
1955 не се дели на 7, защото 19+5+5=29, 29 не се дели на 7.
7) Едно естествено число се дели на 7 тогава и само ако резултатът от изваждането на последната цифра два пъти от това число без последната цифра се дели на 7.
Примери:
483 се дели на 7, защото 48-3·2=42, 42/7.
564 не се дели на 7, защото 56-4 2=48, 48 не се дели на 7.
8) Едно естествено число се дели на 7 тогава и само тогава, когато сборът от произведенията на цифрите на числото и съответните остатъци, получени при деленето на цифровите единици на числото 7, се дели на 7.
Примери:
10׃7=1 (ost 3)
100׃7=14 (ost 2)
1000׃7=142 (ost 6)
10000׃7=1428 (ost 4)
100000׃7=14285 (ost 5)
1000000׃7=142857 (почивка 1) и остатъците се повтарят отново.
Числото 1316 се дели на 7, защото... 1 6 + 3 2 + 1 3 + 6 = 21, 21/7 (6 остатък от делене на 1000 на 7; 2 остатък от деление на 100 на 7; 3 остатък от деление на 10 на 7) .
Числото 354722 не се дели на 7, защото... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не се дели на 7 (5 е остатъкът от деленето на 100 000 на 7; 4 е остатъкът от деленето на 10 000 на 7 ; 6 остатъка от деление на 1000 на 7; 2 остатъка от деление на 100 на 7; 3 остатъка от деление на 10 на 7).
Делимост на 11.
1) Едно число се дели на 11, ако разликата между сбора на цифрите на нечетните места и сбора на цифрите на четните места е кратна на 11.
Разликата може да е отрицателно числоили 0, но трябва да е кратно на 11. Номерирането върви отляво надясно.
Пример:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не е кратно на 11, което означава, че това число не се дели на 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 е кратно на 11, което означава, че това число се дели на 11.
2) Едно естествено число се разделя от дясно на ляво на групи от по 2 цифри и тези групи се събират. Ако получената сума е кратна на 11, тогава тестваното число е кратна на 11.
Пример: Определете дали числото 12561714 се дели на 11.
Нека разделим числото на групи от по две цифри: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 се дели на 11, което означава, че това число се дели на 11.
3) Трицифреното естествено число се дели на 11, ако сборът от страничните цифри на числото е равен на цифрата в средата. Отговорът ще се състои от същите тези странични числа.
Примери:
594 се дели на 11, защото 5+4=9, 9 е в средата.
473 се дели на 11, защото 4+3=7, 7- в средата.
861 не се дели на 11, защото 8+1=9, а в средата има 6.
Тест за делимост на 12
Едно естествено число се дели на 12 тогава и само тогава, когато се дели на 3 и 4 едновременно.
Примери:
636 се дели на 3 и 4, което означава, че се дели на 12.
587 не се дели на 3 или 4, което означава, че не се дели на 12.
27126 се дели на 3, но не се дели на 4, което означава, че не се дели на 12.
Тестове за делимост на 13
1) Едно естествено число се дели на 13, ако разликата между числото на хилядите и числото, образувано от последните три цифри, се дели на 13.
Примери:
Числото 465400 се дели на 13, защото... 465 - 400 = 65, 65 делено на 13.
Числото 256184 не се дели на 13, защото... 256 - 184 = 72, 72 не се дели на 13.
2) Едно естествено число се дели на 13 тогава и само ако резултатът от изваждането на последната цифра, умножена по 9 от това число без последната цифра, се дели на 13.
Примери:
988 се дели на 13, защото 98 - 9 8 = 26, 26 е разделено на 13.
853 не се дели на 13, защото 85 - 3 9 = 58, 58 не се дели на 13.
Тест за делимост на 14
Едно естествено число се дели на 14 тогава и само ако се дели едновременно на 2 и 7.
Примери:
Числото 45826 се дели на 2, но не се дели на 7, което означава, че не се дели на 14.
Числото 1771 се дели на 7, но не се дели на 2, което означава, че не се дели на 14.
Числото 35882 се дели на 2 и 7, което означава, че се дели на 14.
Тест за делимост на 19
Едно естествено число се дели на 19 без остатък тогава и само ако броят на неговите десетици, добавен към удвоения брой единици, се дели на 19.
Трябва да се има предвид, че броят на десетките в едно число трябва да се брои не от цифрата на мястото на десетките, а от общия брой цели десетки в цялото число.
Примери:
1534 десетици е 153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 не се дели на 19, което означава, че 1534 не се дели на 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, което означава, че числото е 1824/19.
Тест за делимост на 25 и 50
Делим на 25 или 50 са онези и само онези числа, които завършват с две нули или чиито последни две цифри изразяват число, делящо се съответно на 25 или 50.

Числото 97300 завършва с две нули, което означава, че се дели както на 25, така и на 50.

Числото 79 450 се дели на 25 и 50, тъй като числото, образувано от последните две цифри 50, се дели и на 25, и на 50.

4. Решаване на задачи по критерии за делимост.

Продавач в магазина.

Купувачът взел от магазина пакет мляко на стойност 34,5 рубли, кутия извара на стойност 36 рубли, 6 торти и 3 килограма захар. Когато касиерът извади чек за 296 рубли, купувачът поиска да провери изчислението и да коригира грешката. Как купувачът определи, че фактурата е неправилна?

Решение:Цената на закупените стоки от всеки вид се изразява като число, кратно на 3 (за първите два вида стоки цената е кратна на 3, а за останалите - броят на закупените стоки е кратен на 3). всеки от членовете се дели на 3, тогава сумата трябва да се дели на 3. Числото 296 не се дели на 3, следователно изчислението е неправилно.

Ябълки в кутияке.

Броят на ябълките в кутията е по-малък от 200. Те могат да бъдат разделени по равно между 2,3,4,5 и 6 деца. Какъв е максималният брой ябълки, които могат да бъдат в кутия?

Решение.

LCM(2,3,4,5,6) = 60.

60-те години< 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Отговор: 180 ябълки.

5. Заключение:

Докато вършех работата, се запознах с историята на развитието на признаците за делимост, формулирах признаци за делимост на естествените числа на 4, 6, 8, 15, 25, 50 и намерих потвърждение за това от допълнителна литература. Убедих се също, че има и други признаци за делимост на естествените числа (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), което потвърди правилността на хипотезата за съществуването на други признаци за делимост на естествените числа.

Списък на използваната литература (източници):

1. Галкин В.А. Задачи по темата „Критерии за делимост” // Математика, 1999.-№5.-С.9.

2. Гусев В.А., Орлов А.И., Розентал А.Л. Извънкласна работа по математика в 6-8 клас - М.: Образование, 1984.

3. Каплун Л.М. GCD и LCM в проблеми. // Математика, 1999.- № 7. - С. 4-6.

4. Пелман Я.И. Математиката е интересна! - М.: ТЕРРА - Книжен клуб, 2006

5.​ Енциклопедичен речник на младия математик./ Съст. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1989. - С. 352.

6.​ Ресурси - Интернет.