Загуба на корени на уравнение може да възникне, когато. Урок „Еквивалентност на уравнения Проверка на корени

Темата за тригонометричните уравнения започва с училищна лекция, която е структурирана под формата на евристичен разговор. Лекцията обсъжда теоретичен материал и примери за решаване на всички типични задачи според плана:

• Най-простите тригонометрични уравнения.
• Основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.
• Хомогенни уравнения.

В следващите уроци започва самостоятелно развитие на умения, основано на прилагането на принципа на съвместната дейност между учител и ученик. Първо се поставят цели за учениците, т.е. определя се кой иска да знае не повече от това, което се изисква от държавния стандарт, и кой е готов да направи повече.

Окончателната диагноза се създава, като се вземе предвид диференциацията на нивата, което позволява на учениците съзнателно да определят минималните знания, необходими за получаване на оценка „3“. Въз основа на това се избират многостепенни материали за диагностика на знанията на учениците. Такава работа позволява индивидуален подход към учениците, включвайки всеки в съзнателни учебни дейности, развивайки умения за самоорганизация и самообучение и осигурявайки преход към активно, самостоятелно мислене.

Семинарът се провежда след упражняване на основните умения за решаване на тригонометрични уравнения. Няколко урока преди семинара на студентите се задават въпроси, които ще бъдат обсъдени по време на семинара.

Семинарът се състои от три части.

1. Уводната част обхваща целия теоретичен материал, включително запознаване с проблемите, които ще възникнат при решаването на сложни уравнения.

2. Във втората част се разглежда решаването на уравнения от вида:

• и cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• уравнения, разрешими чрез намаляване на степента.

Тези уравнения използват универсално заместване, формули за намаляване на степента и метода на спомагателния аргумент.

3. Третата част разглежда проблемите на загубата и придобиването на корен външни корени. Показва как да изберете корени.

Учениците работят по групи. За решаването на примерите се викат добре обучени момчета, които могат да покажат и обяснят материала.

Семинарът е предназначен за добре подготвен студент, тъй като... разглежда въпроси, които донякъде надхвърлят обхвата на програмния материал. Той включва уравнения от по-сложна форма и по-специално разглежда проблемите, срещани при решаването на сложни тригонометрични уравнения.

Семинарът се проведе за ученици от 10-11 клас. Всеки ученик имаше възможност да разшири и задълбочи знанията си по тази тема, да сравни нивото на знанията си не само с изискванията за завършил училище, но и с изискванията за тези, които влизат във В.У.З.

СЕМИНАР

Предмет:„Решаване на тригонометрични уравнения“

Цели:

• Обобщете знанията за решаване на тригонометрични уравнения от всички видове.
• Съсредоточете се върху проблемите: загуба на корени; външни корени; избор на корен.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА.

I. Уводна част

1. Основни методи за решаване на тригонометрични уравнения

• Факторизация.
• Въвеждане на нова променлива.
• Функционален графичен метод.

2. Някои видове тригонометрични уравнения.

• Уравнения, които се свеждат до квадратни уравнения по отношение на cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Те се решават чрез въвеждане на нова променлива.

• Хомогенни уравнения от първа и втора степен

Уравнение от първа степен: Asinx + Bcosx = 0 разделяме на cos x, получаваме Atg x + B = 0

Уравнение от втора степен: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 разделяме на cos 2 x, получаваме Atg 2 x + Btgx + C = 0

Те се решават чрез факторизиране и чрез въвеждане на нова променлива.

Прилагат се всички методи.

• Понижаване:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Решено чрез факторизация.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• Уравнение от формата: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Приведено до квадрат по отношение на t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Формули.

х + 2n; Проверката е задължителна!

• Намаляваща мощност: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Метод на спомагателния аргумент.

Нека заменим Acosx + Bsinx с Csin (x +), където sin = a/C; cos=v/c;

– спомагателен аргумент.

4. Правила.

• Ако видите квадрат, намалете градуса.
• Ако видите парче, направете сума.
• Ако видите сумата, свършете работата.

5. Загуба на корени, допълнителни корени.

• Загуба на корени: разделете на g(x); опасни формули (универсално заместване). С тези операции стесняваме обхвата на дефиницията.

• Допълнителни корени: повдигнати на четна степен; умножете по g(x) (отървете се от знаменателя). С тези операции разширяваме обхвата на дефиницията.

II. Примери за тригонометрични уравнения

1. Уравнения от формата Asinx + Bcosx = C

1) Универсално заместване.O.D.Z. x – всякакви.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Преглед: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Е коренът на уравнението.

Отговор: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Функционален графичен метод. О.Д.З. x – всякакви.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Нека начертаем функциите: y = sinx, y = cosx + 1.

Отговор: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Въвеждане на спомагателен аргумент. O.D.Z.: x – произволен.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, защото (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, тогава съществува такова, че sin = 8/17,

cos = 15/17, което означава sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Отговор: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Намаляване на реда: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – произволен.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Отговор: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

При

k = 1 и m = 0 k = 4 и m = 1.

сериалите са същите.

3. Свеждане до хомогенност. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – произволен.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) не може да бъде разделено на cos 2 x, тъй като губим корени.
cos 2 x = 0 удовлетворява уравнението.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Отговор: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Уравнение от формата: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – произволен.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Отговор: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Разлагане на множители.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, няма корени.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Отговор: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Проблеми, възникващи при решаване на тригонометрични уравнения

1. Загуба на корени: разделете на g(x); Ние използваме опасни формули.

1) Намерете грешката.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 формула.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 делено на 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Загубени корени sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Правилно решение: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

sin 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Външни корени: отърваваме се от знаменателя; повдигнете на четна степен.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 грях 2/3 = 3/2 не задоволяват. О.Д.З. 2. n = 1 грях 2= 0 удовлетворяват О.Д.З. 3. n = 2 грях 2/3 = –3/2 удовлетворяват О.Д.З.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 грях 2/6 = 3/2 не удовлетворяват О.Д.З. 2. k = 1 sin 2*5/6 = –3 / 2 удовлетворяват О.Д.З.

Отговор: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

В последния урок използвахме три стъпки за решаване на уравнения.

Първият етап е технически. Използвайки верига от трансформации от първоначалното уравнение, стигаме до едно доста просто, което решаваме и намираме корените.

Вторият етап е анализ на решението. Анализираме трансформациите, които извършихме, и установяваме дали са еквивалентни.

Третият етап е проверката. Проверката на всички намерени корени чрез заместването им в оригиналното уравнение е задължителна при извършване на трансформации, които могат да доведат до следствие от уравнение

Винаги ли е необходимо да се разграничават три етапа при решаване на уравнение?

Разбира се, че не. Както например при решаването на това уравнение. IN Ежедневиетоте обикновено не са изолирани. Но всички тези етапи трябва да се „държат в ума“ и да се изпълняват под една или друга форма. Наложително е да се анализира еквивалентността на трансформациите. И ако анализът покаже, че трябва да се направи проверка, значи тя е задължителна. В противен случай уравнението не може да се счита за решено правилно.

Винаги ли е възможно да се проверят корените на уравнение само чрез заместване?

Ако при решаването на уравнението са използвани еквивалентни трансформации, тогава не се изисква проверка. Когато се проверяват корените на уравнението, много често се използва ODZ (допустим диапазон на стойности). Ако е трудно да се провери с помощта на ODZ, тогава се извършва чрез заместването му в оригиналното уравнение.

Упражнение 1

Решете уравнението Корен квадратенот две х плюс три е равно на едно плюс х.

Решение

ODZ на уравнението се определя от система от две неравенства: две x плюс три е по-голямо или равно на нула и едно плюс x е по-голямо или равно на нула. Решението е x по-голямо или равно на минус едно.

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението, преместим членовете от едната страна на уравнението в другата, донесем подобни членове, получаваме квадратно уравнениех на квадрат е равно на две. Корените му са

х първо, второ е равно на плюс или минус корен квадратен от две.

Преглед

Стойността x първо е равна на корен квадратен от две е коренът на уравнението, тъй като е включена в ODZ.
Стойността на x секунда е равна на минус корен квадратен от две не е коренът на уравнението, защото не се включва в ДЗ.
Нека проверим, че коренът x е равен на корен квадратен от две, замествайки го в първоначалното равенство, получаваме

равенството е вярно, което означава, че х е равно на корен квадратен от две е коренът на уравнението.

Отговор: корен квадратен от две.

Задача 2

Решете уравнението корен квадратен от x минус осем е равно на пет минус x.

Решение

ODZ на ирационално уравнение се определя от система от две неравенства: x минус осем е по-голямо или равно на нула и пет минус x е по-голямо или равно на нула. Решавайки го, откриваме, че тази система няма решения. Коренът на уравнението не може да бъде нито една от стойностите на променливата x.

Отговор: няма корени.

Задача 3

Решете уравнението корен квадратен от x на куб плюс четири x минус едно минус осем квадратни корених на четвърта степен минус х е равно на корен квадратен от х на куб минус едно плюс два корен квадратен от х.

Решение

Намирането на ODZ в това уравнение е доста трудно.

Нека извършим трансформацията: повдигнете на квадрат двете страни на това уравнение,

преместете всички термини в лява странауравнения и приведете подобни членове, напишете два корена под един, вземете подобни радикали, донесете подобни, разделете на коефициента минус 12 и факторизирайте радикалния израз, получаваме уравнение под формата на произведение на два фактора, равно на нула. След като го решим, намираме корените:

х първо е равно на едно, х второ е равно на нула.

Тъй като повдигнахме двете страни на уравнението на четна степен, проверката на корените е задължителна.

Преглед

Ако х е равно на едно, тогава

получаваме правилното равенство, което означава, че х е равно на едно е коренът на уравнението.

Ако х е нула, тогава корен квадратен от минус едно е недефиниран.

Това означава, че x равно на нула е външен корен.

Отговор: един.

Задача 4

Решете уравнението логаритъм на израза x на квадрат плюс пет x плюс две по основа две е равно на три.

Решение

Нека намерим уравнението на ODZ. За да направим това, решаваме неравенството х на квадрат плюс пет х плюс две върху нула.

Решаваме неравенството с помощта на интервалния метод. За да направим това, разлагаме лявата му страна на фактори, като преди това сме решили квадратното уравнение и като вземем предвид знака за неравенство, определяме ODZ. ODZ е равно на обединението на отворените лъчи от минус безкрайност до минус дроб пет плюс корен квадратен от седемнадесет, делено на две, и от минус дроб пет минус корен квадратен от седемнадесет делено на две до плюс безкрайност.

Сега нека започнем да намираме корените на уравнението. Като се има предвид, че три е равно на логаритъм от осем по основа две, ние записваме уравнението по следния начин: логаритъмът на израза х квадрат плюс пет х плюс две по основа две е равен на логаритъм от осем по основа две. Нека потенцираме уравнението, получим и решим квадратно уравнение.

Дискриминантът е четиридесет и девет.

Изчислете корените:

х първо е равно на минус шест; х секунда е равно на едно.

Преглед

Минус шест принадлежи на ODZ, едно принадлежи на ODZ, което означава, че и двете числа са корени на уравнението.

Отговор: минус шест; един.

В последния урок разгледахме въпроса за появата на външни корени. Можем да ги открием чрез проверка. Възможно ли е да се загубят корени при решаване на уравнение и как да се предотврати това?

При извършване на такива действия върху уравнение, като например, първо, разделяне на двете страни на уравнението с един и същ израз ax от x (с изключение на случаите, когато е известно със сигурност, че ax от x не е равно на нула за всяко x от областта на дефиниране на уравнението);

второ, стесняването на OD на уравнението по време на процеса на решаване може да доведе до загуба на корените на уравнението.

Помня!

Уравнението, записано като

ef от x, умножено по ash от x, е равно на zhe от x, умножено по ash от x, се решава по този начин:

трябва да факторизирате, като извадите общия множител извън скоби;

след това приравнете всеки фактор към нула, като по този начин получавате две уравнения.

Изчисляваме техните корени.

Упражнение 1

Решете уравнението x куб е равно на x.

Първи начин

Разделяме двете страни на това уравнение на x, получаваме x на квадрат е равно на едно, като корените x първи са равни на едно,

х секунда е равно на минус едно.

Втори начин

X куб е равен на X. Нека преместим x в лявата страна на уравнението, извадим x от скобите, получаваме: x умножено по x на квадрат минус едно е равно на нула.

Нека изчислим неговите корени:

Х първо е равно на нула, х второ е равно на едно, х трето е равно на минус едно.

Уравнението има три корена.

При решаването на първия метод загубихме един корен - x е равно на нула.

Отговор: минус едно; нула; един.

Помня! Намаляването на двете страни на уравнението с фактор, съдържащ неизвестното, може да доведе до загуба на корени.

Задача 2

Решете уравнението: десетичният логаритъм от x на квадрат е равен на две.

Решение

Първи начин

По дефиницията на логаритъм получаваме квадратното уравнение х квадрат е равно на сто.

Неговите корени: x първо е равно на десет; Х секунда е равно на минус десет.

Втори начин

По свойството на логаритмите имаме два десетични логаритъма x е равно на две.

Неговият корен - х е равен на десет

При втория метод коренът x е равен на минус десет беше загубен. И причината е, че са приложили грешна формула, стеснявайки обхвата на уравнението. Изразът за десетичния логаритъм от x на квадрат е дефиниран за всички x с изключение на x равно на нула. Изразът за десетичния логаритъм от x е за x, по-голямо от нула. Правилната формула за десетичен логаритъм x на квадрат е равна на две десетични логаритмимодул x.

Помня! Когато решавате уравнение, използвайте наличните формули разумно.

§ 1. ЗАГУБЕНИ И ИЗВЪРШЕНИ КОРЕНИ ПРИ РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ (ЧРЕЗ ПРИМЕРИ)

МАТЕРИАЛ ЗА СПРАВКА

1. Две теореми в § 3 от глава VII говориха за това какви действия върху уравненията не нарушават тяхната еквивалентност.

2. Нека сега разгледаме такива операции върху уравнения, които могат да доведат до ново уравнение, което не е равно на първоначалното уравнение. Вместо общи съображения ще се ограничим до разглеждане само на конкретни примери.

3. Пример 1. Дадено е уравнение. Нека отворим скобите в това уравнение, преместим всички членове в лявата страна и решим квадратното уравнение. Корените му са

Ако намалите двете страни на уравнението с общ множител, получавате уравнение, което не е равно на оригиналното, тъй като има само един корен

По този начин намаляването на двете страни на уравнението с фактор, съдържащ неизвестното, може да доведе до загуба на корените на уравнението.

4. Пример 2. Дадено е уравнение с един корен. Нека повдигнем на квадрат двете страни на това уравнение и получаваме два корена.

Виждаме, че новото уравнение не е еквивалентно на първоначалното уравнение, което, след повдигане на квадрат, води до уравнението

5. Външни корени могат да се появят и когато двете страни на уравнението се умножат по фактор, съдържащ неизвестно, ако този фактор изчезне за реални стойности на x.

Пример 3. Ако умножим двете страни на уравнението по тогава, получаваме ново уравнение, което след прехвърляне на члена от дясната страна в лявата и разлагането му на множители дава уравнение от

Коренът не удовлетворява уравнение, което има само един корен

Оттук стигаме до заключението: при повдигане на квадрат на двете страни на уравнението (като цяло до равна степен), както и при умножаване по фактор, съдържащ неизвестно и изчезване при реални стойности на неизвестното, могат да се появят външни корени.

Всички съображения, изразени тук по въпроса за загубата и появата на външни корени на уравнение, се отнасят еднакво за всякакви уравнения (алгебрични, тригонометрични и т.н.).

6. Уравнението се нарича алгебрично, ако върху неизвестното се извършват само алгебрични операции - събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване и извличане на корен с естествен показател (и броят на тези операции е краен).

Така например уравненията

са алгебрични, а уравненията

ЗЪБИ. Зъбите на гръбначните животни са напълно сходни по структура и развитие с плакоидните люспи, които покриват цялата кожа на акулите. Защото всички устната кухина, и отчасти фарингеалната кухина, е облицована с ектодермален епител, типичен плакоид... ...

БЕЛОДРОБНА ТУБЕРКУЛОЗА- БЕЛОДРОБНА ТУБЕРКУЛОЗА. Съдържание: I. Патологична анатомия...........110 II. Класификация на белодробната туберкулоза.... 124 III. Клиника.........................128 IV. Диагностика.........................160 V. Прогноза.................. .......... 190 VI. Лечение... Голяма медицинска енциклопедия

ОТРАВЯНЕ- ОТРАВЯНЕ. Отравяне означава "нарушения на животинските функции". организъм, причинени от екзогенни или ендогенни, химически или физически химически активни съставки, които са чужди като качество, количество или концентрация... ... Голяма медицинска енциклопедия

Нодулни бактерии от бобови растения- Палеонтологичните данни показват, че най-древните бобови растения, които са имали нодули, са някои растения, принадлежащи към групата Eucaesalpinioideae. U съвременни видовебяха открити възли от бобови растения... Биологична енциклопедия

Списък с епизоди на анимационния сериал "Luntik"- В тази статия липсват връзки към източници на информация. Информацията трябва да може да се провери, в противен случай може да бъде поставена под съмнение и изтрита. Можете да... Уикипедия

РАСТЕНИЕ И ОКОЛНА СРЕДА- Животът на растението, както на всеки друг жив организъм, е сложен набор от взаимосвързани процеси; най-значимият от тях, както е известно, е метаболизмът с заобикаляща среда. Околната среда е източникът, от който... ... Биологична енциклопедия

Списък на епизодите от поредицата "Luntik"- Основна статия: Приключенията на Лунтик и неговите приятели Съдържание 1 Брой епизоди 2 Списък с епизоди на анимационния сериал Лунтик и неговите приятели ... Уикипедия

Болести по овощните дървета- Овощните дървета, благодарение на постоянните човешки грижи за тях, трябва да достигнат много по-стара възраст от техните некултивирани роднини, ако не за противодействащите влияния на много условия на самата култура, а именно изискванията, поставени от нас... ...

Изсичане на гори- Добивът на гори или извличането на приходи от горите под формата на дървесина и кора може да се извърши по два начина: чрез изкопаване или изкореняване на цели дървета, т.е. стволове заедно с корените, или отделно, на части, първо отсечени или отстранени от...... енциклопедичен речникЕ. Брокхаус и И.А. Ефрон

Грош- (полски grosz, от немски Groschen, от латински grossus (dēnārius) „дебел денарий“) монета от различни страни и времена. Съдържание 1 Появата на стотинка ... Wikipedia

американски монети- 20 долара Saint Gaudens е най-красивият и скъпа монетаМонети на САЩ Монети на САЩ, изсечени от монетния двор на Съединените щати. Произвежда се от 1792... Wikipedia

Книги

• Основните причини за косопад при жените, Алексей Мичман, Шест от десет жени страдат от косопад в даден момент от живота си. Косопадът може да възникне поради редица причини, като наследственост, хормонални промени в... Категория:

При решаване на уравнения най-често се използват следните трансформации:

Други трансформации

В списъка, представен в предишния параграф, съзнателно не включихме такива трансформации като повдигане на двете страни на уравнението на една и съща естествена степен, логаритъм, потенциране на двете страни на уравнението, извличане на корен на една и съща степен от двете страни на уравнение, освобождаване външна функцияи други. Факт е, че тези трансформации не са толкова общи: трансформациите от горния списък се използват за решаване на уравнения от всички типове, а току-що споменатите трансформации се използват за решаване на определени видове уравнения (ирационални, експоненциални, логаритмични и т.н.). Те са разгледани подробно в рамките на съответните методи за решаване на съответните видове уравнения. Ето връзки към техните подробни описания:

• Повдигане на двете страни на уравнение на една и съща естествена степен.
• Логаритмиране на двете страни на уравнението.
• Потенциране на двете страни на уравнението.
• Извличане на корен на една и съща степен от двете страни на уравнение.
• Замяна на израз, съответстващ на една от частите на оригиналното уравнение, с израз от друга част на оригиналното уравнение.

Предоставените връзки съдържат изчерпателна информация за изброените трансформации. Затова повече няма да се спираме на тях в тази статия. Цялата следваща информация се отнася за трансформации от списъка с основни трансформации.

Какъв е резултатът от трансформирането на уравнението?

Извършването на всички горни трансформации може да даде или уравнение, което има същите корени като оригиналното уравнение, или уравнение, чиито корени съдържат всички корени на оригиналното уравнение, но което може да има и други корени, или уравнение, чиито корени няма включват всички корени на трансформираното уравнение. В следващите параграфи ще анализираме кои от тези трансформации, при какви условия водят до какви уравнения. Това е изключително важно да се знае за успешното решаване на уравнения.

Еквивалентни преобразувания на уравнения

От особен интерес са трансформациите на уравнения, които водят до еквивалентни уравнения, тоест уравнения, които имат същия набор от корени като оригиналното уравнение. Такива трансформации се наричат еквивалентни трансформации. В училищните учебници съответното определение не е дадено изрично, но е лесно да се прочете от контекста:

Определение

Еквивалентни преобразувания на уравненияса трансформации, които дават еквивалентни уравнения.

Така че защо еквивалентните трансформации са интересни? Факт е, че ако с тяхна помощ е възможно да се стигне от решаваното уравнение до сравнително просто еквивалентно уравнение, тогава решаването на това уравнение ще даде желаното решение на първоначалното уравнение.

От трансформациите, изброени в предишния параграф, не всички са винаги еквивалентни. Някои трансформации са еквивалентни само при определени условия. Нека направим списък с твърдения, които определят кои трансформации и при какви условия са еквивалентни трансформации на уравнението. За да направим това, ще вземем горния списък като основа и към трансформациите, които не винаги са еквивалентни, ще добавим условия, които им дават еквивалентност. Ето списъка:

• Замяната на израз от лявата или дясната страна на уравнението с израз, който не променя променливите за уравнението, е еквивалентна трансформация на уравнението.

Нека обясним защо това е така. За да направим това, вземаме уравнение с една променлива (подобно разсъждение може да се извърши за уравнения с няколко променливи) във формата A(x)=B(x), обозначихме изразите от лявата и дясната му страна като A( x) и B(x), съответно. Нека изразът C(x) е идентично равен на израза A(x) и ODZ на променливата x на уравнението C(x)=B(x) съвпада с ODZ на променливата x за оригиналното уравнение. Нека докажем, че преобразуването на уравнението A(x)=B(x) в уравнението C(x)=B(x) е еквивалентно преобразуване, т.е. ще докажем, че уравненията A(x)=B (x) и C(x) =B(x) са еквивалентни.

За да направите това, достатъчно е да покажете, че всеки корен на първоначалното уравнение е корен на уравнението C(x)=B(x), а всеки корен на уравнението C(x)=B(x) е корен на първоначалното уравнение.

Да започнем с първата част. Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x), тогава, когато го заместим с x, ще получим правилното числово равенство A(q)=B(q). Тъй като изразите A(x) и C(x) са идентично равни и изразът C(q) има смисъл (това следва от условието, че OD за уравнението C(x)=B(x) съвпада с OD за първоначалното уравнение), то численото равенство A(q)=C(q) е вярно. След това използваме свойствата на числовите равенства. Поради свойството на симетрия, равенството A(q)=C(q) може да бъде пренаписано като C(q)=A(q) . Тогава, поради свойството на транзитивност, равенствата C(q)=A(q) и A(q)=B(q) предполагат равенството C(q)=B(q). Това доказва, че q е коренът на уравнението C(x)=B(x) .

Втората част, а с нея и цялото твърдение като цяло, се доказва по абсолютно аналогичен начин.

Същността на анализираната еквивалентна трансформация е следната: тя ви позволява да работите отделно с изрази от лявата и дясната страна на уравненията, като ги замествате с идентично равни изрази на оригиналния ODZ на променливи.

Най-често срещаният пример: можем да заменим сбора от числата от дясната страна на уравнението x=2+1 с неговата стойност, което ще доведе до еквивалентно уравнение от вида x=3. Наистина, ние заменихме израза 2+1 с идентично равен израз 3 и ODZ на уравнението не се промени. Друг пример: от лявата страна на уравнението 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 можем, а от дясната – , което ще ни доведе до еквивалентното уравнение 3·x+ 6=5·x+ 3. Полученото уравнение наистина е еквивалентно, тъй като заменихме изразите с идентично равни изрази и в същото време получихме уравнение, което има OD, която съвпада с OD за оригиналното уравнение.

• Добавянето на едно и също число към двете страни на уравнението или изваждането на едно и също число от двете страни на уравнението е еквивалентно преобразуване на уравнението.

Нека докажем, че добавянето на едно и също число c към двете страни на уравнението A(x)=B(x) дава еквивалентното уравнение A(x)+c=B(x)+c и това изваждане от двете страни на уравнението A(x) =B(x) на същото число c дава еквивалентното уравнение A(x)−c=B(x)−c.

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x), тогава равенството A(q)=B(q) е вярно. Свойствата на числовите равенства ни позволяват да добавим към двете страни на истинско числово равенство или да извадим същото число от неговите части. Нека означим това число като c, тогава са валидни равенствата A(q)+c=B(q)+c и A(q)−c=B(q)−c. От тези равенства следва, че q е коренът на уравнението A(x)+c=B(x)+c и уравнението A(x)−c=B(x)−c.

Сега обратно. Нека q е коренът на уравнението A(x)+c=B(x)+c и уравнението A(x)−c=B(x)−c, тогава A(q)+c=B(q) +c и A (q)−c=B(q)−c . Знаем, че изваждането на едно и също число от двете страни на истинско числово равенство води до истинско числово равенство. Знаем също, че добавянето на правилното числено равенство към двете страни дава правилното числово равенство. Нека извадим числото c от двете страни на правилното числено равенство A(q)+c=B(q)+c и добавим числото c към двете страни на равенството A(x)−c=B(x) −c. Това ще ни даде правилните числени равенства A(q)+c−c=B(q)+c−c и A(q)−c+c=B(q)+c−c, от които заключаваме, че A (q) =B(q) . От последното равенство следва, че q е коренът на уравнението A(x)=B(x) .

Това доказва първоначалното твърдение като цяло.

Нека дадем пример за такова преобразуване на уравнения. Нека вземем уравнението x−3=1 и го трансформираме, като добавим числото 3 към двете страни, след което получаваме уравнението x−3+3=1+3, което е еквивалентно на първоначалното. Ясно е, че в полученото уравнение можете да извършвате операции с числа, както обсъдихме в предишния елемент от списъка, като резултат имаме уравнението x=4. И така, извършвайки еквивалентни трансформации, ние случайно решихме уравнението x−3=1, коренът му е числото 4. Разглежданата еквивалентна трансформация много често се използва, за да се отървете от идентични числови термини, разположени в различни частиуравнения Например, както вляво, така и в десни частиуравнение x 2 +1=x+1 има същия член 1, изваждането на числото 1 от двете страни на уравнението ви позволява да отидете до еквивалентното уравнение x 2 +1−1=x+1−1 и след това към еквивалентно уравнение x 2 =x и така се отървете от тези идентични членове.

• Добавянето към двете страни на уравнението или изваждането от двете страни на уравнението на израз, за ​​който ODZ не е по-тесен от ODZ за първоначалното уравнение, е еквивалентно преобразуване.

Нека докажем това твърдение. Тоест доказваме, че уравненията A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x) са еквивалентни, при условие че ODZ за израза C(x ) вече не е , отколкото ODZ за уравнението A(x)=B(x) .

Първо доказваме една спомагателна точка. Нека докажем, че при посочените условия OD уравненията преди и след трансформацията са еднакви. Наистина, ODZ за уравнението A(x)+C(x)=B(x)+C(x) може да се разглежда като пресечната точка на ODZ за уравнението A(x)=B(x) и ODZ за израза C(x) . От това и от факта, че ODZ за израза C(x) не е по-тесен по условие от ODZ за уравнението A(x)=B(x), следва, че ODZ за уравненията A(x)= B(x) и A (x)+C(x)=B(x)+C(x) са еднакви.

Сега ще докажем еквивалентността на уравненията A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x), при условие че обхватите на приемливите стойности за тези уравненията са еднакви. Няма да даваме доказателство за еквивалентността на уравненията A(x)=B(x) и A(x)−C(x)=B(x)−C(x) при определеното условие, тъй като е подобно .

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x), тогава численото равенство A(q)=B(q) е вярно. Тъй като ODZ на уравненията A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x) са еднакви, тогава изразът C(x) има смисъл при x =q, което означава, че C(q) е някакво число. Ако добавим C(q) към двете страни на правилното числено равенство A(q)=B(q) , това ще даде правилното числено неравенство A(q)+C(q)=B(q)+C(q ), от което следва, че q е коренът на уравнението A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Обратно. Нека q е коренът на уравнението A(x)+C(x)=B(x)+C(x), тогава A(q)+C(q)=B(q)+C(q) е истинско числово равенство. Знаем, че изваждането на едно и също число от двете страни на истинско числово равенство води до истинско числово равенство. Извадете C(q) от двете страни на равенството A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , това дава A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)и освен това A(q)=B(q) . Следователно q е коренът на уравнението A(x)=B(x) .

Така въпросното твърдение е напълно доказано.

Нека дадем пример за тази трансформация. Нека вземем уравнението 2 x+1=5 x+2. Можем да добавим към двете страни, например, израза −x−1. Добавянето на този израз няма да промени ODZ, което означава, че такава трансформация е еквивалентна. В резултат на това получаваме еквивалентното уравнение 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Това уравнение може да бъде трансформирано допълнително: отворете скобите и намалете подобни членове от лявата и дясната му страна (вижте първия елемент в списъка). След като извършим тези действия, получаваме еквивалентното уравнение x=4·x+1. Трансформацията на разглежданите уравнения често се използва, за да се отървете от идентични членове, които са едновременно от лявата и дясната страна на уравнението.

• Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака на този член на противоположния, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото.

Това твърдение е следствие от предишните.

Нека покажем как се извършва тази еквивалентна трансформация на уравнението. Нека вземем уравнението 3·x−1=2·x+3. Нека преместим члена, например, 2 x от дясната страна наляво, променяйки знака му. В този случай получаваме еквивалентното уравнение 3·x−1−2·x=3. Можете също така да преместите минус едно от лявата страна на уравнението вдясно, като промените знака на плюс: 3 x−2 x=3+1. И накрая, привеждането на подобни членове ни води до еквивалентното уравнение x=4.

• Умножаването или разделянето на двете страни на уравнението с едно и също ненулево число е еквивалентна трансформация.

Нека дадем доказателството.

Нека A(x)=B(x) е някакво уравнение и c е някакво число, различно от нула. Нека докажем, че умножаването или разделянето на двете страни на уравнението A(x)=B(x) по числото c е еквивалентно преобразуване на уравнението. За да направим това, доказваме, че уравненията A(x)=B(x) и A(x) c=B(x) c, както и уравненията A(x)=B(x) и A(x) :c= B(x):c - еквивалент. Това може да стане по следния начин: докажете, че всеки корен на уравнението A(x)=B(x) е корен на уравнението A(x) c=B(x) c и корен на уравнението A(x) :c=B(x) :c и след това докажете, че всеки корен на уравнението A(x) c=B(x) c, като всеки корен на уравнението A(x):c=B(x):c , е корен на уравнението A(x) =B(x) . Хайде да го направим.

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Тогава численото равенство A(q)=B(q) е вярно. След като изучихме свойствата на числовите равенства, научихме, че умножаването или разделянето на двете страни на истинско числово равенство с едно и също число, различно от нула, води до истинско числово равенство. Умножавайки двете страни на равенството A(q)=B(q) по c, получаваме правилното числово равенство A(q) c=B(q) c, от което следва, че q е коренът на уравнението A( x) c= B(x)·c . И като разделим двете страни на равенството A(q)=B(q) на c, получаваме правилното числово равенство A(q):c=B(q):c, от което следва, че q е коренът на уравнение A(x):c =B(x):c.

Сега в другата посока. Нека q е коренът на уравнението A(x) c=B(x) c. Тогава A(q)·c=B(q)·c е истинско числено равенство. Разделяйки двете му части на ненулево число c, получаваме правилното числено равенство A(q)·c:c=B(q)·c:c и още A(q)=B(q) . От това следва, че q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Ако q е коренът на уравнението A(x):c=B(x):c . Тогава A(q):c=B(q):c е истинско числово равенство. Умножавайки двете му части по ненулево число c, получаваме правилното числено равенство A(q):c·c=B(q):c·c и допълнително A(q)=B(q) . От това следва, че q е коренът на уравнението A(x)=B(x) .

Твърдението е доказано.

Нека дадем пример за тази трансформация. С негова помощ можете например да се отървете от дроби в уравнението. За да направите това, можете да умножите двете страни на уравнението по 12. Резултатът е еквивалентно уравнение на формата , което след това може да се трансформира в еквивалентното уравнение 7 x−3=10, което не съдържа дроби в нотацията си.

• Умножаването или разделянето на двете страни на уравнение с един и същи израз, чиято OD не е по-тясна от OD за оригиналното уравнение и не се нулира от OD за оригиналното уравнение, е еквивалентна трансформация.

Нека докажем това твърдение. За да направим това, доказваме, че ако ODZ за израза C(x) не е по-тесен от ODZ за уравнението A(x)=B(x) и C(x) не се равнява на ODZ за уравнението A(x)=B( x) , след това уравненията A(x)=B(x) и A(x) C(x)=B(x) C(x), както и уравненията A(x) =B(x) и A( x):C(x)=B(x):C(x) - еквивалент.

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Тогава A(q)=B(q) е истинско числово равенство. От факта, че ODZ за израза C(x) не е същият ODZ за уравнението A(x)=B(x), следва, че изразът C(x) има смисъл, когато x=q. Това означава, че C(q) е някакво число. Освен това C(q) е различно от нула, което следва от условието, че изразът C(x) не се занулява. Ако умножим двете страни на равенството A(q)=B(q) по ненулево число C(q), това ще даде правилното числово равенство A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , от което следва, че q е коренът на уравнението A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Ако разделим двете страни на равенството A(q)=B(q) на различно от нула число C(q), това ще даде правилното числово равенство A(q):C(q)=B(q): C(q) , от което следва, че q е коренът на уравнението A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Обратно. Нека q е коренът на уравнението A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Тогава A(q)·C(q)=B(q)·C(q) е истинско числено равенство. Обърнете внимание, че ODZ за уравнението A(x) C(x)=B(x) C(x) е същото като ODZ за уравнението A(x)=B(x) (обосновахме това в един от предишни параграфи текущ списък). Тъй като C(x) по условие не изчезва в ODZ за уравнението A(x)=B(x), тогава C(q) е ненулево число. Разделяйки двете страни на равенството A(q)·C(q)=B(q)·C(q) на ненулево число C(q) , получаваме правилното числово равенство A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)и освен това A(q)=B(q) . От това следва, че q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Ако q е коренът на уравнението A(x):C(x)=B(x):C(x) . Тогава A(q):C(q)=B(q):C(q) е истинско числово равенство. Умножавайки двете страни на равенството A(q):C(q)=B(q):C(q) с различно от нула число C(q), получаваме правилното числено равенство A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)и освен това A(q)=B(q) . От това следва, че q е коренът на уравнението A(x)=B(x) .

Твърдението е доказано.

За по-голяма яснота даваме пример за извършване на разглобена трансформация. Нека разделим двете страни на уравнението x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) на израза x 2 +1. Тази трансформация е еквивалентна, тъй като изразът x 2 +1 не изчезва върху OD за оригиналното уравнение и OD на този израз не е по-тясна от OD за оригиналното уравнение. В резултат на тази трансформация получаваме еквивалентното уравнение x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), което може допълнително да се трансформира в еквивалентното уравнение x 3 =8.

Трансформации, водещи до следствия

В предишния параграф разгледахме кои трансформации от списъка с основни трансформации и при какви условия са еквивалентни. Сега да видим кои от тези трансформации и при какви условия водят до следствени уравнения, тоест до уравнения, които съдържат всички корени на трансформираното уравнение, но освен тях могат да имат и други корени - външни корени за първоначалното уравнение.

Трансформациите, водещи до следствени уравнения, са търсени не по-малко от еквивалентните трансформации. Ако с тяхна помощ е възможно да се получи уравнение, което е доста просто по отношение на решението, тогава неговото решение и последващото елиминиране на външни корени ще дадат решение на първоначалното уравнение.

Обърнете внимание, че всички еквивалентни трансформации могат да се считат за специални случаи на трансформации, които водят до следствени уравнения. Това е разбираемо, защото има еквивалентно уравнение специален случайследствени уравнения. Но от практическа гледна точка е по-полезно да се знае, че разглежданата трансформация е точно еквивалентна и не води до следствие от уравнение. Нека обясним защо това е така. Ако знаем, че трансформацията е еквивалентна, тогава полученото уравнение определено няма да има корени, външни за оригиналното уравнение. И трансформацията, водеща до следствието, може да бъде причина за появата на външни корени, което ни задължава в бъдеще да извършим допълнително действие - отсяване на външни корени. Ето защо в този раздел на статията ще се съсредоточим върху трансформациите, в резултат на които могат да се появят външни корени за оригиналното уравнение. И наистина е важно да можете да разграничите такива трансформации от еквивалентни трансформации, за да разберете ясно кога е необходимо да се филтрират външни корени и кога това не е необходимо.

Нека анализираме целия списък от основни трансформации на уравнения, дадени във втория параграф на тази статия, за да търсим трансформации, в резултат на които могат да се появят външни корени.

• Замяна на изрази от лявата и дясната страна на уравнението с идентично равни изрази.

Доказахме, че тази трансформация е еквивалентна, ако изпълнението й не променя OD. И ако DL се промени, какво ще стане? Стесняването на ODZ може да доведе до загуба на корени, повече за това Ще говоримв следващия параграф. И с разширяването на ODZ могат да се появят външни корени. Не е трудно да се оправдае това. Нека представим съответните разсъждения.

Нека изразът C(x) е такъв, че да е идентично равен на израза A(x) и OD за уравнението C(x)=B(x) е по-широко от OD за уравнението A(x)=B (х). Нека докажем, че уравнението C(x)=B(x) е следствие от уравнението A(x)=B(x) и че сред корените на уравнението C(x)=B(x) може да има са корени, които са чужди на уравнението A( x)=B(x) .

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Тогава A(q)=B(q) е истинско числово равенство. Тъй като ODZ за уравнението C(x)=B(x) е по-широко от ODZ за уравнението A(x)=B(x), тогава изразът C(x) е дефиниран при x=q. Тогава, като вземем предвид идентичното равенство на изразите C(x) и A(x) , заключаваме, че C(q)=A(q) . От равенствата C(q)=A(q) и A(q)=B(q) поради свойството транзитивност следва равенството C(q)=B(q). От това равенство следва, че q е коренът на уравнението C(x)=B(x) . Това доказва, че при посочените условия уравнението C(x)=B(x) е следствие от уравнението A(x)=B(x) .

Остава да докажем, че уравнението C(x)=B(x) може да има корени, различни от корените на уравнението A(x)=B(x). Нека докажем, че всеки корен на уравнението C(x)=B(x) от ODZ за уравнението A(x)=B(x) е корен на уравнението A(x)=B(x). Пътят p е коренът на уравнението C(x)=B(x), принадлежащ на ODZ за уравнението A(x)=B(x). Тогава C(p)=B(p) е истинско числово равенство. Тъй като p принадлежи към ODZ за уравнението A(x)=B(x), тогава изразът A(x) е дефиниран за x=p. От това и от идентичното равенство на изразите A(x) и C(x) следва, че A(p)=C(p) . От равенствата A(p)=C(p) и C(p)=B(p), поради свойството на транзитивност, следва, че A(p)=B(p), което означава, че p е коренът на уравнение A(x)= B(x) . Това доказва, че всеки корен на уравнението C(x)=B(x) от ODZ за уравнението A(x)=B(x) е корен на уравнението A(x)=B(x). С други думи, в ODZ за уравнението A(x)=B(x) не може да има корени на уравнението C(x)=B(x), които са външни корени за уравнението A(x)=B( х). Но според условието ODZ за уравнението C(x)=B(x) е по-широко от ODZ за уравнението A(x)=B(x). И това позволява съществуването на число r, което принадлежи на ODZ за уравнението C(x)=B(x) и не принадлежи на ODZ за уравнението A(x)=B(x), което е коренът на уравнението C(x)=B(x). Тоест, уравнението C(x)=B(x) може да има корени, които са чужди на уравнението A(x)=B(x), и всички те ще принадлежат към набора, към който ODZ за уравнението A (x)=B се разширява (x) при замяна на израза A(x) в него с идентично равен израз C(x).

И така, заместването на изразите от лявата и дясната страна на уравнението с изрази, еднакво равни на тях, в резултат на което ODZ се разширява в общ случайводи до следствие от уравнение (т.е. може да доведе до появата на външни корени) и само в конкретен случай води до еквивалентно уравнение (ако полученото уравнение няма корени, външни за първоначалното уравнение).

Нека дадем пример за извършване на анализирана трансформация. Замяна на израза от лявата страна на уравнението тъждествено равен на него по израза x·(x−1) води до уравнението x·(x−1)=0, в този случай се получава разширяване на ODZ - към него се добавя числото 0. Полученото уравнение има два корена 0 и 1 и заместването на тези корени в оригиналното уравнение показва, че 0 е външен корен за оригиналното уравнение, а 1 е коренът на оригиналното уравнение. Наистина, заместването на нула в първоначалното уравнение дава безсмисления израз , тъй като съдържа деление на нула и заместването на единица дава правилното числово равенство , което е същото като 0=0 .

Обърнете внимание, че подобно преобразуване на подобно уравнение в уравнението (x−1)·(x−2)=0, в резултат на което се разширява и ОДЗ, не води до появата на странични корени. Наистина и двата корена на полученото уравнение (x−1)·(x−2)=0 - числа 1 и 2, са корени на първоначалното уравнение, което е лесно да се провери чрез проверка чрез заместване. С тези примери още веднъж искахме да подчертаем, че замяната на израз от лявата или дясната страна на уравнението с идентично равен израз, който разширява ODZ, не води непременно до появата на външни корени. Но може да доведе и до появата им. Така че, ако такава трансформация се е случила в процеса на решаване на уравнението, тогава е необходимо да се извърши проверка, за да се идентифицират и филтрират външни корени.

Най-често уравнението на ODZ може да се разшири и да се появят външни корени поради замяната с нула на разликата на еднакви изрази или сумата от изрази с противоположни знаци, поради заместването с нула на продукти с един или повече нулеви множители, поради намаляването на дробите и поради използването на свойствата на корени, степени, логаритми и др.

• Добавяне на едно и също число към двете страни на уравнение или изваждане на едно и също число от двете страни на уравнение.

По-горе показахме, че тази трансформация винаги е еквивалентна, т.е. води до еквивалентно уравнение. Продължавай.

• Добавяне на един и същи израз към двете страни на уравнение или изваждане на същия израз от двете страни на уравнение.

В предишния параграф добавихме условие, че ODZ за израза, който се добавя или изважда, не трябва да бъде по-тесен от ODZ за уравнението, което се трансформира. Това условие направи въпросната трансформация еквивалентна. Тук има аргументи, подобни на тези, дадени в началото на този параграф на статията, относно факта, че еквивалентното уравнение е частен случай на следствие от уравнение и че знанието за еквивалентността на трансформация е практически по-полезно от знанието за същото трансформация, но от гледна точка на факта, че води до следствие от уравнение.

Възможно ли е, в резултат на добавяне на един и същи израз или изваждане на един и същ израз от двете страни на уравнението, да се получи уравнение, което освен всички корени на първоначалното уравнение, ще има някои други корени? Не той не може. Ако ODZ за израза, който се добавя или изважда, не е по-тесен от ODZ за първоначалното уравнение, тогава в резултат на събирането или изваждането ще се получи еквивалентно уравнение. Ако ODZ за израза, който се добавя или изважда, е по-тесен от ODZ за оригиналното уравнение, тогава това може да доведе до загуба на корени, а не до появата на външни корени. Ще говорим повече за това в следващия параграф.

• Прехвърляне на член от една част на уравнението в друга с обратен знак.

Тази трансформация на уравнението винаги е еквивалентна. Следователно няма смисъл да се разглежда като трансформация, водеща до уравнение-следствие, поради посочените по-горе причини.

• Умножение или деление на двете страни на уравнение с едно и също число.

В предишния параграф доказахме, че ако умножението или делението на двете страни на уравнението се извършва с ненулево число, тогава това е еквивалентно преобразуване на уравнението. Следователно, отново, няма смисъл да говорим за него като за трансформация, водеща до следствие от уравнение.

Но тук си струва да обърнете внимание на уговорката за разликата от нула на числото, с което се умножават или разделят двете страни на уравнението. За делбата тази клауза е ясна - с начални класоверазбрахме това Не можеш да делиш на нула. Защо тази клауза за умножение? Нека помислим какво води умножаването на двете страни на уравнението по нула. За по-голяма яснота нека вземем конкретно уравнение, например 2 x+1=x+5. Това е линейно уравнение, което има един корен, който е числото 4. Нека запишем уравнението, което ще се получи чрез умножаване на двете страни на това уравнение по нула: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Очевидно коренът на това уравнение е произволно число, защото когато заместите произволно число в това уравнение вместо променливата x, получавате правилното числено равенство 0=0. Тоест в нашия пример умножаването на двете страни на уравнението по нула доведе до следствие от уравнение, което предизвика появата на безкраен брой външни корени за оригиналното уравнение. Освен това си струва да се отбележи, че в този случай обичайните методи за отсяване на външни корени не се справят със задачата си. Това означава, че извършената трансформация е безполезна за решаване на първоначалното уравнение. И това е типична ситуация за разглежданата трансформация. Ето защо трансформация като умножаване на двете страни на уравнението по нула не се използва за решаване на уравнения. Все още трябва да разгледаме тази трансформация и други трансформации, които не трябва да се използват за решаване на уравнения в последния параграф.

• Умножение или деление на двете страни на уравнение с един и същи израз.

В предишния параграф доказахме, че тази трансформация е еквивалентна, ако са изпълнени две условия. Да им припомним. Първото условие: OD за този израз не трябва да бъде по-тясна от OD за оригиналното уравнение. Второто условие: изразът, с който се извършва умножението или делението, не трябва да изчезва в ODZ за първоначалното уравнение.

Нека променим първото условие, тоест ще приемем, че OD за израза, по който планираме да умножим или разделим двете части на уравнението, е по-тясна от OD за оригиналното уравнение. В резултат на такава трансформация ще се получи уравнение, за което ODZ ще бъде по-тясна от ODZ за първоначалното уравнение. Такива трансформации могат да доведат до загуба на корени; ще говорим за тях в следващия параграф.

Какво се случва, ако премахнем второто условие за ненулевите стойности на израза, с който двете страни на уравнението се умножават или разделят на ODZ за оригиналното уравнение?

Разделянето на двете страни на уравнението на един и същ израз, който се равнява на нулево с OD за оригиналното уравнение, ще доведе до уравнение, чиято OD е по-тясна от OD за оригиналното уравнение. Наистина, от него ще изпаднат числа, превръщайки израза, чрез който е извършено разделянето, на нула. Това може да доведе до загуба на корен.

Какво ще кажете за умножаването на двете страни на уравнението по един и същи израз, който се изтрива в ODZ за оригиналното уравнение? Може да се покаже, че когато двете страни на уравнението A(x)=B(x) се умножат по израза C(x), за който ODZ не е по-тесен от ODZ за оригиналното уравнение и който изчезва от ODZ за първоначалното уравнение, полученото уравнение е следствие от това, че освен всички корени на уравнението A(x)=B(x), то може да има и други корени. Нека направим това, особено след като този параграф от статията е точно посветен на трансформации, водещи до следствени уравнения.

Нека изразът C(x) е такъв, че ODZ за него не е по-тесен от ODZ за уравнението A(x)=B(x) и той изчезва в ODZ за уравнението A(x)=B(x ) . Нека докажем, че в този случай уравнението A(x)·C(x)=B(x)·C(x) е следствие от уравнението A(x)=B(x) .

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Тогава A(q)=B(q) е истинско числово равенство. Тъй като ODZ за израза C(x) не е по-тесен от ODZ за уравнението A(x)=B(x), тогава изразът C(x) е дефиниран при x=q, което означава, че C(q) е определено число. Умножаването на двете страни на истинско числово равенство с произволно число дава истинско числово равенство, следователно A(q)·C(q)=B(q)·C(q) е истинско числово равенство. Това означава, че q е коренът на уравнението A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Това доказва, че всеки корен на уравнението A(x)=B(x) е корен на уравнението A(x) C(x)=B(x) C(x), което означава, че уравнението A(x) C (x)=B(x)·C(x) е следствие от уравнението A(x)=B(x) .

Обърнете внимание, че при посочените условия уравнението A(x)·C(x)=B(x)·C(x) може да има корени, които са чужди на оригиналното уравнение A(x)=B(x). Всички те са числа от ODZ за оригиналното уравнение, които превръщат израза C(x) в нула (всички числа, които превръщат израза C(x) в нула, са корените на уравнението A(x) C(x)=B (x) C(x) , тъй като заместването им в посоченото уравнение дава правилното числено равенство 0=0 ), но които не са корени на уравнението A(x)=B(x) . Уравненията A(x)=B(x) и A(x)·C(x)=B(x)·C(x) при посочените условия ще бъдат еквивалентни, когато всички числа от ODZ за уравнението A(x )=B (x) , които правят израза C(x) нулев, са корените на уравнението A(x)=B(x) .

И така, умножаването на двете страни на уравнението по един и същ израз, ODZ за който не е по-тесен от ODZ за оригиналното уравнение и който се изтрива от ODZ за оригиналното уравнение, в общия случай води до следствие от уравнението, че е, може да доведе до появата на чужди корени.

Нека дадем пример за илюстрация. Нека вземем уравнението x+3=4. Единственият му корен е числото 1. Нека умножим двете страни на това уравнение по един и същ израз, който се равнява на нулево с ODZ за оригиналното уравнение, например по x·(x−1) . Този израз изчезва при x=0 и x=1. Умножаването на двете страни на уравнението по този израз ни дава уравнението (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Полученото уравнение има два корена: 1 и 0. Числото 0 е външен корен за първоначалното уравнение, което се е появило в резултат на трансформацията.

Трансформации, които могат да доведат до загуба на корени

Някои преобразувания от при определени условия могат да доведат до загуба на корени. Например, когато разделим двете страни на уравнението x·(x−2)=x−2 на един и същи израз x−2, коренът се губи. Наистина, в резултат на такава трансформация се получава уравнението x=1 с един корен, което е числото 1, а първоначалното уравнение има два корена 1 и 2.

Необходимо е ясно да се разбере кога корените се губят в резултат на трансформации, за да не се губят корени при решаване на уравнения. Нека разберем това.

В резултат на тези трансформации може да възникне загуба на корени, ако и само ако ODZ за трансформираното уравнение се окаже по-тясно от ODZ за оригиналното уравнение.

За да се докаже това твърдение, трябва да се обосноват две точки. Първо, необходимо е да се докаже, че ако в резултат на посочените трансформации на уравнението ODZ се стеснява, тогава може да настъпи загуба на корени. И второ, необходимо е да се обоснове, че ако в резултат на тези трансформации корените се загубят, тогава ODZ за полученото уравнение е по-тясно от ODZ за първоначалното уравнение.

Ако ODZ за уравнението, получено в резултат на трансформацията, е по-тясно от ODZ за първоначалното уравнение, тогава, естествено, нито един корен на оригиналното уравнение, разположен извън ODZ за полученото уравнение, не може да бъде корен на уравнението получени в резултат на трансформацията. Това означава, че всички тези корени ще бъдат загубени при преминаване от първоначалното уравнение към уравнение, за което ODZ е по-тясно от ODZ за оригиналното уравнение.

Сега обратно. Нека докажем, че ако в резултат на тези трансформации корените се загубят, тогава ODZ за полученото уравнение е по-тясно от ODZ за оригиналното уравнение. Това може да стане по обратния метод. Предположението, че в резултат на тези трансформации корените се губят, но ODZ не се стеснява, противоречи на твърденията, доказани в предходните параграфи. Всъщност от тези твърдения следва, че ако при извършване на посочените трансформации ODZ не се стеснява, тогава се получават или еквивалентни уравнения, или следствени уравнения, което означава, че не може да настъпи загуба на корени.

И така, причината за възможната загуба на корени при извършване на основни трансформации на уравнения е стесняването на ODZ. Ясно е, че когато решаваме уравнения, не трябва да губим корени. Тук естествено възниква въпросът: „Какво да направите, за да не загубите корени при трансформиране на уравнения“? Ще отговорим в следващия параграф. Сега нека прегледаме списъка с основни трансформации на уравнения, за да видим по-подробно кои трансформации могат да доведат до загуба на корени.

• Замяна на изрази от лявата и дясната страна на уравнението с идентично равни изрази.

Ако замените израза от лявата или дясната страна на уравнението с идентично равен израз, чиято OD е по-тясна от OD за оригиналното уравнение, това ще доведе до стесняване на OD и поради това корените може да се загуби. Най-често заместването на изрази от лявата или дясната страна на уравненията с идентично равни изрази, извършено въз основа на някои свойства на корени, степени, логаритми и някои тригонометрични формули. Например, заместването на израза от лявата страна на уравнението с идентично равен израз стеснява ODZ и води до загуба на корена -16. По подобен начин, заместването на израза от лявата страна на уравнението с идентично равен израз води до уравнение, за което ODZ е по-тясно от ODZ за оригиналното уравнение, което води до загуба на корена -3.

• Добавяне на едно и също число към двете страни на уравнение или изваждане на едно и също число от двете страни на уравнение.

Тази трансформация е еквивалентна, следователно корените не могат да бъдат загубени по време на нейното изпълнение.

• Добавяне на един и същи израз към двете страни на уравнение или изваждане на същия израз от двете страни на уравнение.

Ако добавите или извадите израз, чиято OD е по-тясна от OD за оригиналното уравнение, това ще доведе до стесняване на OD и, като следствие, до възможна загуба на корени. Струва си да имате това предвид. Но тук си струва да се отбележи, че на практика обикновено е необходимо да се прибягва до добавяне или изваждане на изрази, които присъстват в записа на оригиналното уравнение, което не води до промяна в ODZ и не води до загуба на корени.

• Прехвърляне на член от една част на уравнението в друга с обратен знак.

Тази трансформация на уравнението е еквивалентна, следователно в резултат на нейното прилагане корените не се губят.

• Умножение или деление на двете страни на уравнение с едно и също число, различно от нула.

Тази трансформация също е еквивалентна и поради нея не настъпва загуба на корени.

• Умножение или деление на двете страни на уравнение с един и същи израз.

Тази трансформация може да доведе до стесняване на OD в два случая: когато OD за израза, чрез който се извършва умножението или делението, е по-тясна от OD за първоначалното уравнение и когато делението се извършва от израз, който става нула на OD за оригиналното уравнение. Имайте предвид, че на практика обикновено не е необходимо да се прибягва до умножаване и деление на двете страни на уравнението с израз с по-тесен VA. Но трябва да се справите с деление на израз, който се превръща в нула за първоначалното уравнение. Има метод, който ви позволява да се справите със загубата на корени по време на такова разделяне, ще говорим за него в следващия параграф на тази статия.

Как да избегнем загубата на корен?

Ако използвате само трансформации от към трансформиращи уравнения и в същото време не позволявате стесняване на ODZ, тогава загубата на корени няма да настъпи.

Това означава ли, че не могат да бъдат направени други трансформации на уравненията? Не, не означава това. Ако измислите някаква друга трансформация на уравнението и я опишете напълно, т.е. посочите кога води до еквивалентни уравнения, кога до следствия и кога може да доведе до загуба на корени, тогава тя може да бъде приета.

Трябва ли напълно да изоставим реформите, които биха стеснили DPD? Не трябва да правя това. Няма да навреди да запазите в арсенала си трансформации, при които краен брой числа изпадат от ODZ за първоначалното уравнение. Защо не трябва да се изоставят подобни трансформации? Защото има метод да се избегне загубата на корен в такива случаи. Състои се от отделна проверка на числата, изпадащи от ODZ, за да се види дали сред тях има корени на оригиналното уравнение. Можете да проверите това, като замените тези числа в оригиналното уравнение. Тези от тях, които при заместване дават правилно числово равенство, са корените на първоначалното уравнение. Те трябва да бъдат включени в отговора. След такава проверка можете безопасно да извършите планираната трансформация, без да се страхувате да загубите корените си.

Типична трансформация, при която ODZ за дадено уравнение се стеснява до няколко числа, е да се разделят двете страни на уравнението на един и същ израз, който става нула в няколко точки от ODZ за оригиналното уравнение. Тази трансформация е в основата на метода на решение реципрочни уравнения. Но се използва и за решаване на други видове уравнения. Да дадем пример.

Уравнението може да бъде решено чрез въвеждане на нова променлива. За да въведете нова променлива, трябва да разделите двете страни на уравнението на 1+x. Но при такова разделяне може да възникне загуба на корен, тъй като въпреки че ODZ за израза 1+x не е по-тесен от ODZ за оригиналното уравнение, изразът 1+x става нула при x=−1 и това число принадлежи към ODZ за първоначалното уравнение. Това означава, че коренът -1 може да бъде загубен. За да елиминирате загубата на корен, трябва отделно да проверите дали −1 е корен на оригиналното уравнение. За да направите това, можете да заместите −1 в оригиналното уравнение и да видите какво равенство ще получите. В нашия случай заместването дава равенството, което е същото като 4=0. Това равенство е невярно, което означава, че −1 не е коренът на първоначалното уравнение. След такава проверка можете да извършите предвиденото разделяне на двете страни на уравнението с 1 + x, без да се страхувате, че може да възникне загуба на корени.

В края на този параграф нека отново се обърнем към уравненията от предишния параграф и. Трансформация на тези уравнения въз основа на идентичности и води до стесняване на ODZ и това води до загуба на корени. На този етап казахме, че за да не загубим корените си, трябва да се откажем от реформи, които стесняват ДЗ. Това означава, че тези трансформации трябва да бъдат изоставени. Но какво да правим? Възможно е да се извършват трансформации, които не се основават на идентичности и , поради което е стеснено ОДЗ, а на базата на идентичности и . В резултат на прехода от оригинални уравненияи към уравненията и няма стесняване на ODZ, което означава, че корените няма да бъдат загубени.

Тук специално отбелязваме, че когато замествате изрази с идентично равни изрази, трябва внимателно да се уверите, че изразите са точно идентично равни. Например в ур. невъзможно е да се замени изразът x+3 с израз, за ​​да се опрости външния вид на лявата страна на , тъй като изразите x+3 и не са идентично равни, тъй като техните стойности не съвпадат при x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Трансформации на уравнения, които не трябва да се използват

Трансформациите, споменати в тази статия, обикновено са достатъчни за практически нужди. Тоест, не трябва да се притеснявате да измисляте други трансформации; по-добре е да се съсредоточите върху правилното използване на вече доказаните.

Литература

1. Мордкович А. Г.Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М.: Образование, 2010.- 368 с.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.