Проблемът за избор на решение при условия на несигурност се решава най-лесно, когато въпреки че не знаем условията за извършване на операцията (естественото състояние), знаем техните вероятности:
В този случай, като показател за ефективност, който се стремим да максимизираме, естествено е да вземем средната стойност, или очаквана стойностпечалби, като се вземат предвид вероятностите от всички възможни условия.
Нека означим тази средна стойност за стратегията на играча с
или накратко,
Очевидно няма нищо повече от претеглена средна стойност на печалбите от линията, взети с kes. Като оптимална стратегия е естествено да се избере стратегията, за която стойността достига максимум.
Използвайки тази техника, проблемът за избор на решение при условия на несигурност се превръща в проблем за избор на решение при условия на сигурност, само решениее оптимално не във всеки отделен случай, а средно.
Пример 1. Планирана е операция при неизвестни досега метеорологични условия; опции за тези условия: Според метеорологичните доклади за много години, честотите (вероятностите) на тези опции са равни, съответно:
Възможните варианти за организиране на операции при различни метеорологични условия носят различни ползи. Стойности на „доход“ за всяко решение в различни условияса дадени в табл. 13.1
Таблица 13.1
Последният ред дава вероятностите на условията. Средните печалби са показани в последната колона. Това показва, че оптималната стратегия на играча е неговата стратегия, която дава средни печалби(отбелязано със звездичка).
Когато избирате оптимална стратегия в неизвестни условия с известни вероятности, можете да използвате не само средната печалба
но и среден риск
което, разбира се, трябва да се превърне не в максимум, а в минимум.
Нека покажем, че стратегията, която максимизира средната печалба, съвпада със стратегията, която минимизира средния риск. Нека изчислим и двата показателя и ги сумираме:
(13.2)
Тази сума (претеглената средна стойност на максимумите на колоните) за дадена матрица е постоянна стойност; Нека го обозначим с C:
откъдето средният риск е равен на
Очевидно тази стойност се превръща в минимум, когато a, - към максимум, следователно избраната стратегия от условията на минимален среден риск съвпада със стратегията, избрана от условията на максимална средна печалба.
Обърнете внимание, че в случай, че вероятностите на природните състояния са известни при решаване на игра с природата, винаги можете да преминете само с чисти стратегии, без да използвате смесени. Наистина, ако приложим някаква смесена стратегия
т.е. стратегия с вероятност, стратегия с вероятност и т.н., тогава нашата средна печалба, осреднена за двете условия (естествени състояния) и нашите стратегии, ще бъде:
Това е средно претеглена стойност на печалбите, съответстващи на нашите чисти стратегии.
Но е ясно, че всяка средна стойност не може да надвишава максимума от осреднените стойности:
Следователно използването на смесена стратегия с всякакви вероятности не може да бъде по-изгодно за играча от използването на чиста стратегия.
Вероятностите за условия (естествени състояния) могат да бъдат определени от статистически данни, свързани с многократно извършване на подобни операции или просто с наблюдения на природни състояния. Например ако железопътна линияЗа даден период от време трябва да се извърши не съвсем известен обем транспорт, след което данните за разпределението на условията могат да бъдат взети от опита от минали години. Ако, както в предишния пример, успехът на операцията зависи от метеорологичните условия, данните за тях могат да бъдат взети от статистиката на метеорологичните доклади.
Често обаче има случаи, когато, започвайки операция, нямаме представа за вероятностите на природните състояния; Цялата ни информация е сведена до списък с вариантни състояния, но не можем да оценим техните вероятности. Например, малко вероятно е да можем разумно да оценим вероятността важно техническо изобретение да бъде предложено и внедрено през следващите k години.
Разбира се, в такива случаи вероятностите от условия (естествени състояния) могат да бъдат оценени субективно: някои от тях ни изглеждат по-правдоподобни, докато други изглеждат по-малко правдоподобни. За да превърнем нашите субективни представи за по-голямата или по-малка „правдоподобност” на една или друга хипотеза в числени оценки, могат да се използват различни технически техники. Така че, ако не можем да предпочетем нито една хипотеза, ако всички те са еднакви за нас, тогава е естествено да присвоим техните вероятности еднакви една на друга:
Това е така нареченият „принцип на недостатъчната причина” на Лаплас. Друг често срещан случай е, когато имаме представа кои условия са по-вероятни и кои са по-малко вероятни, т.е. можем да подредим съществуващите хипотези в низходящ ред на тяхната правдоподобност: най-правдоподобната първа хипотеза (PO, след това втората) най-малко правдоподобната хипотеза (). Въпреки това, ние не знаем колко по-вероятно е едно от тях от другото. В този случай можете, например, да зададете вероятностите на хипотезите да бъдат пропорционални на членовете на намаляваща аритметична прогресия:
или предвид това
Понякога е възможно въз основа на опит и здрав разум да се прецени повече фини разликимежду степените на вероятност на хипотезите.
Такива методи за субективна оценка на „вероятността-правдоподобност“ на различни хипотези за състоянието на природата понякога могат да помогнат при избора на решение. Но не трябва да забравяме, че „оптималното решение, избрано на базата на субективни вероятности, неизбежно ще се окаже и субективно. Степента на субективност на решението може да бъде намалена, ако вместо вероятности, определени произволно от едно лице, въведем средната стойност на такива вероятности, определени, независимо един от друг, от група квалифицирани лица („експерти“). Методът на интервюиране на експерти обикновено се използва широко в съвременна наука, когато става въпрос за оценка на несигурна ситуация (например във футурологията). Опитът от използването на подобни методи учи, че често оценките на експертите (приети независимо една от друга) далеч не се оказват толкова противоречиви, колкото би могло да се предположи предварително, и е напълно възможно от тях да се извлекат някои предпоставки за изготвяне на разумно решение.
По-горе подчертахме въпроса за избора на решение въз основа на обективно изчислени или субективно зададени вероятности за природни състояния. Този подход в теорията на решенията не е единственият. В допълнение към него има още няколко „критерия“ или подхода за избор на оптимално решение в условия на несигурност. Нека разгледаме някои от тях.
1. Критерий на Максимин Валд
Съгласно този критерий се избира оптималната стратегия на играч А, за която минималната печалба е максимална, т.е. стратегия, която гарантира, при всякакви условия, печалба не по-малка от максимума:
(13.4)
Ако се ръководите от този критерий, винаги трябва да се фокусирате върху най-лошите условия и да изберете стратегията, за която печалбите са максимални при най-лошите условия. Използвайки този критерий в игрите с природата, ние сякаш заменяме този безличен и незаинтересован авторитет с активен и злонамерен враг. Очевидно такъв подход може да бъде продиктуван само от краен песимизъм при оценката на ситуацията - „винаги трябва да разчитате на най-лошото!“ - но като един възможен подход си струва да се разгледа.
2. Минимаксният рисков критерий на Савидж
Същността на този критерий е да се избегне по всякакъв начин голям риск при вземане на решение.
Критерият на Savage, подобно на критерия Wald, е критерий за краен песимизъм, но тук песимизмът се разбира по различен начин: не минималната печалба се обявява за най-лоша, а максималната загуба на печалба в сравнение с това, което може да бъде постигнато при дадени условия ( максимален риск).
3. Критерий на Хурвиц песимизъм-оптимизъм
Този критерий препоръчва в условия на несигурност, когато избирате решение, да не се ръководите нито от краен песимизъм (винаги разчитайте на най-лошото!), нито от краен, лекомислен оптимизъм (всичко ще се получи по най-добрия начин!) Критерият на Хурвиц има формата:
където е коефициент, избран между нула и едно.
Нека анализираме структурата на израз (13.6). Когато критерият на Хурвиц се превърне в песимистичния критерий на Валд и когато се превърне в критерия за „краен оптимизъм“, който препоръчва избор на стратегия, за която най-добри условияпечалбите са максимални. Резултатът е нещо средно между краен песимизъм и краен оптимизъм (коефициентът изразява, така да се каже, „мярката за песимизъм” на изследователя). Този коефициент е избран от субективни съображения - какви по-опасна ситуация, колкото повече искаме да се „застраховаме“ в него, толкова по-близо до единството избираме и.
Ако желаете, можете да конструирате критерий, подобен на критерия на Хурвиц за оптимизъм-песимизъм, основан не на печалба, а на риск, както в критерия на Савидж, но ние няма да се спираме на това.
Въпреки че изборът на критерий, подобно на избора на параметър в критерия на Хурвиц, е субективен, все пак може да е полезно да се разгледа ситуацията от гледна точка на тези критерии. Ако препоръките, произтичащи от различни критерии, съвпадат, толкова по-добре можете спокойно да изберете препоръчаното от тях решение. Ако, както често се случва, препоръките си противоречат, винаги има смисъл да се замислим и да приемем окончателно решениепредвид силните си страни и Слабости. Анализът на матрицата на игра с природата от гледна точка на различни критерии често дава по-добра представа за ситуацията, предимствата и недостатъците на всяко решение, отколкото директното разглеждане на матрицата, особено когато нейните размери са големи.
Пример 2. Разглежда се игра 4X3 с природа с четири стратегии на играча: и три варианта на условия (естествени състояния): Матрицата на изплащане е дадена в таблица. 13.2.
Таблица 13.2
Намерете оптималното решение (стратегия), като използвате критериите на Wald и Savage и критерия на Hurwitz при
Решение. 1. Критерий на Валд.
Във всеки ред на матрицата вземаме най-малкото усилване (Таблица 13.3).
От стойностите максималната (отбелязана със звездичка) е 0,25, следователно според критерия на Wald стратегията е оптимална
2. Критерий Савидж.
Изграждаме матрица на риска и поставяме максималния риск във всеки ред в дясната допълнителна колона (Таблица 13.4).
Минималната стойност е 0,60 (маркирана със звездичка); следователно, според критерия на Savage, всяка от стратегиите е оптимална
Таблица 13.3
3. Критерий на Хурвиц
Записваме в десните три колони на матрицата (Таблица 13 5) „песимистична“ оценка на печалбата a); и тяхната средна претеглена стойност по формула (13.6):
за които се постига
(минимумът се взема над всички. Можете да намерите този минимакс (или максимин в критерия на Валд), като използвате обичайните методи линейно програмиране. Възможно е да има случаи, когато използването на смесени стратегии, използващи критериите на Wald, Savage и Hurwitz, ще осигури предимство пред решение, при което се използват само чисти стратегии, но ние ще разгледаме тези критерии само за чисти стратегии.
Една от причините за това е, че искаме да избегнем сложни изчисления, при които резултатът може да бъде отхвърлен поради липса на знания за ситуацията (непознаване на вероятностите на условията). Още един, повече важна причина- това е основното съдържание на теорията статистически решения(ще засегнем това в следващия параграф) планира да получи и използва Допълнителна информацияза състоянието на природата, което може да се получи чрез експеримент. Изследванията показват, че в типичните случаи, когато става дума за получаване на значително количество допълнителна информация, критериите, които не използват вероятности на състоянието (Wald et al.), стават почти еквивалентни на критерий, базиран на вероятности на състояние. Но ние знаем, че използвайки такъв критерий, използването на смесени стратегии няма смисъл; следователно, ако можем да получим някакво количество допълнителна информация, използването на смесени стратегии губи смисъл (без значение кой от критериите за избор на решение използваме). Ако не можем да получим нова информация чрез експерименти, тогава различни критерии могат да дадат противоречиви препоръки, както видяхме в пример 3.
Този критерий се основава на „принципа на недостатъчната причина“ на Лаплас, според който всички състояния на „природата“ Si, i = 1,n се приемат за еднакво вероятни. В съответствие с този принцип на всяко състояние Si се дава вероятност q i, определена по формулата
В този случай първоначалният проблем може да се счита за проблем за вземане на решение при рискови условия, когато е избрано действието R j, което дава най-голямата очаквана печалба. За да се вземе решение, за всяко действие R j се изчислява средноаритметичната стойност на печалбата:
(26)
Сред Mj(R) се избира максималната стойност, която ще съответства на оптималната стратегия R j.
С други думи, действието Rj, съответстващо на
(27)
Ако в първоначалната задача матрицата възможни резултатие представен от матрицата на риска ||r ji ||, тогава критерият на Лаплас приема следната форма:
(28)
Пример 4. Едно от транспортните предприятия трябва да определи нивото на своите транспортни възможности по такъв начин, че да задоволи търсенето на клиенти за транспортни услуги за планирания период. Търсенето на транспортни услуги е неизвестно, но се очаква (предвидено), че то може да приеме една от четирите стойности: 10, 15, 20 или 25 хиляди тона. За всяко ниво на търсене има най-доброто ниво на транспортен капацитет транспортно предприятие (по отношение на възможните разходи). Отклоненията от тези нива водят до допълнителни разходи или поради превишаване на транспортния капацитет над търсенето (поради престой на подвижния състав), или поради непълно задоволяване на търсенето на транспортни услуги. По-долу е дадена таблица, идентифицираща възможните прогнозни разходи за развитие на транспортни възможности:
Необходимо е да се избере оптималната стратегия.
Съгласно условията на задачата има четири варианта за търсене на транспортни услуги, което е еквивалентно на наличието на четири състояния на „естеството”: S 1, S 2, S 3, S 4. Също така са известни четири стратегии за развитие на капацитета за транспортиране на транспортно предприятие: R 1, R 2, R 3, R 4. Разходите за развитие на капацитета за транспорт за всяка двойка S i и R j са дадени от следната матрица (табл. ):
Принципът на Лаплас предполага, че S1, S2, S3, S4 са еднакво вероятни. Следователно P(S = S i )= 1/n= 1/4 = 0,25, i = 1, 2, 3, 4 и очакваните разходи при различни действия R1, R2, R3, R4 са:
По този начин, най-добрата стратегияразвитието на транспортните способности в съответствие с критерия на Лаплас ще бъде R 2.
2. Критерий на Валд(минимаксен или максиминен критерий). Прилагането на този критерий не изисква познаване на вероятностите за Si състояния. Този критерий се основава на принципа на по-голяма предпазливост, тъй като се основава на избора на най-добрата от най-лошите стратегии Rj.
Ако в оригиналната матрица (според условията на задачата) резултатът V ij представлява загубите на вземащия решение, тогава при избора на оптимална стратегия се използва минимаксният критерий. За да се определи оптималната стратегия R j, е необходимо да се намери най-големият елемент max(V ij ) във всеки ред от матрицата на резултатите и след това да се избере действието R j (ред j), което ще съответства на най-малкия елемент от тези най-големите елементи, т.е. действието, което определя резултата, равни
(29)
Ако в оригиналната матрица, според условията на задачата, резултатът V ij представлява печалбата (полезността) на вземащия решение, тогава при избора на оптимална стратегия се използва максимният критерий.
За да се определи оптималната стратегия R j, във всеки ред на матрицата на резултата се намира най-малкият елемент min (Vij) и след това се избира действието R j (ред j), което ще съответства на най-големите елементи от тези най-малки елементи , т.е. действието, което определя резултата, равен на
(30)
Пример 5. Разгледайте пример 4. Тъй като V ij в този пример представлява загуби (разходи), ние прилагаме критерия за минимакс. Необходимите резултати от изчисленията са показани в следната таблица:
По този начин най-добрата стратегия за развитие на носещата способност в съответствие с минимаксния критерий „най-доброто от най-лошото“ ще бъде третата, т.е. R 3 .
Минимаксният критерий на Wald понякога води до нелогични изводи поради прекомерния си „песимизъм“. „Песимизмът“ на този критерий коригира критерия на Савидж.
3. Критерий Савиджизползва матрица на риска || r ij ||. Елементите на тази матрица могат да бъдат определени с формули (23), (24), които пренаписваме в следната форма:
(31)
Това означава, че r ij е разликата между най-добрата стойност в колона i и стойностите на V ji за същото i. Независимо дали V ji е приход (печалба) или загуба (разходи), r ji и в двата случая определя размера на загубата на вземащия решение. Следователно само минимаксният критерий може да се приложи към r ji. Критерият на Савидж препоръчва при условия на несигурност да се избере стратегията Rj, при която стойността на риска поема най-малка стойноств най-неблагоприятната ситуация (когато рискът е най-голям).
Пример 6. Разгледайте пример 4. Дадената матрица определя загубите (разходите). Използвайки формула (31), изчисляваме елементите на матрицата на риска || r ij ||:
Представяме получените резултати от изчислението, използвайки критерия за минимален риск на Savage в следната таблица:
Въвеждането на рисковата стойност r ji доведе до избора на първата стратегия R 1, осигуряваща най-малко загуби (разходи) в най-неблагоприятната ситуация (когато рискът е максимален).
Прилагането на критерия Savage ви позволява да избегнете по всякакъв начин голям риск при избора на стратегия и следователно да избегнете по-голяма загуба (загуби).
4. Критерий на Хурвицсе основава на следните две допускания: „природата” може да бъде в най-неблагоприятно състояние с вероятност (1 - α) и в най-благоприятно състояние с вероятност α, където α е коефициентът на доверие. Ако резултатът V j i е печалба, полезност, доход и т.н., тогава критерият на Хурвиц се записва, както следва:
Когато V ji представлява разходи (загуби), тогава изберете действието, което дава
Ако α = 0, получаваме песимистичния критерий на Wald.
Ако α = 1, тогава стигаме до решаващо правилоот вида max max V ji, или към така наречената стратегия „здрав оптимист“, т.е. критерият е твърде оптимистичен.
Критерият на Хурвиц установява баланс между случаите на краен песимизъм и екстремен оптимизъм чрез претегляне на двете поведения с подходящи тегла (1 - α) и α, където 0≤α≤1. Стойността на α от 0 до 1 може да се определи в зависимост от склонността на вземащия решение към песимизъм или оптимизъм. При липса на изразена склонност α = 0,5 изглежда най-разумно.
Пример 7. Използваме критерия на Хурвиц в пример 4. Нека зададем α = 0,5. Резултатите от необходимите изчисления са дадени по-долу:
Оптималното решение е да изберете W.
Така в примера трябва да направим избор кой възможни решенияза предпочитане:
по критерия на Лаплас - избор на стратегия R 2,
по критерия Wald - избор на стратегия R 3;
по критерия на Савидж - избор на стратегия R 1;
според критерия на Хурвиц при α = 0,5 - изборът на стратегия R 1, а ако вземащият решение е песимист (α = 0), тогава изборът на стратегия R 3.
Това се определя от избора на подходящия критерий (Лаплас, Валд, Савидж или Хурвиц).
Изборът на критерий за вземане на решение в условия на несигурност е най-трудният и критичен етап в изследването на операциите. Въпреки това, няма общи съвети или препоръки. Изборът на критерий трябва да бъде направен от лицето, вземащо решение (ЛВ), като се вземат предвид спецификите на решавания проблем и в съответствие с неговите цели, както и разчитайки на минал опит и собствена интуиция.
По-специално, ако дори минималният риск е неприемлив, тогава трябва да се приложи критерият на Wald. Ако, напротив, определен риск е напълно приемлив и лицето, което взема решение, възнамерява да инвестира толкова много пари в определено предприятие, така че по-късно да не съжалява, че е инвестирало твърде малко, тогава се избира критерият на Savage.
3. Критерий на Лаплас, Валд, Савидж, Хурвиц
Има няколко критерия за избор на оптимална стратегия при вземане на решения в условия на риск и несигурност.
Критерий на Лаплас:се използва, ако може да се приеме, че всички варианти на външни условия са еднакво вероятни. За всяко решение има среден рейтингза всички опции външни условия(средни печалби):
където N е броят на състоянията на външната среда.
където Z – оптимална стратегия.
Критерий на Wald:(критерий за краен песимизъм, максиминен критерий): решението се избира въз основа на най-лошите външни условия. Вероятностите на природните състояния са неизвестни и няма начин да се получи статистическа информация за тях. Всяко решение се оценява, като се използва минималната печалба, която може да бъде получена чрез избора на това решение:
Най-доброто решение е това с максимален резултат.
Най-доброто решение е това с максимален резултат.
Съгласно критерия на Wald се избира стратегия, която осигурява гарантирана печалба при най-лошия случай на природно състояние.
Дивашки критерийподобно на критерия на Wald, той е критерий за краен песимизъм, но само песимизмът тук се проявява във факта, че максималната загуба на печалба е сведена до минимум. За оценка на решенията се използва матрица на риска. Максималният риск (максимално загубена печалба), съответстващ на това решение, се използва като оценка:
Най-доброто решение е това с минимален резултат.
Това е най-предпазливият подход за вземане на решения и най-съзнаващият риск.
Критерий на Хурвиц:решението се взема, като се вземе предвид фактът, че са възможни както благоприятни, така и неблагоприятни външни условия. При използване на този критерий е необходимо да се посочи „коефициент на песимизъм“ - число в диапазона от 0 до 1, което представлява субективна (т.е. не изчислена, но посочена от човек) оценка на възможността за неблагоприятни външни условия . Ако има основание да се предполага, че външните условия ще бъдат неблагоприятни, тогава коефициентът на песимизъм се приписва близък до единица. Ако неблагоприятните външни условия са малко вероятни, тогава се използва коефициент на песимизъм, близък до нула. Решенията се оценяват по следната формула:
където a е коефициентът на песимизъм.
Най-доброто решение е това с максимален резултат:
В допълнение към критериите за оптималност, които могат да се използват при вземане на решения в условия на риск и несигурност, има много добре познат и широко разпространен метод на теория на игрите, използван в управленските дейности в условия на несигурност.
4. Метод на теория на игрите за вземане на решения при несигурност
При вземане на решения в условия на несигурност методът на теорията на игрите е много широко използван. Теорията на игрите е математическа теория на конфликтните ситуации. Целта на тази теория е да разработи препоръки за рационален начин на действие на участниците в конфликта. В този случай се изгражда опростен модел на конфликтна ситуация, наречена игра. „Игра“ е събитие, състоящо се от поредица от действия или „ходове“. Играта се различава от реалната конфликтна ситуация по това, че се играе по много специфични правила. Страните, участващи в конфликта, се наричат играчи, изходът от конфликта се нарича победа и т.н.
Ако в една игра се сблъскат интересите на две страни, тогава играта се нарича двойка; ако има повече страни, тя се нарича множествена. Множествена игра с две постоянни коалиции превръща играта в игра на двойки. Най-голямо практическо значение имат игрите по двойки. Да разгледаме ограничена игра, в която играч А има m стратегии, а играч B има n стратегии. Тази игра се нарича m x n. Стратегиите, съответно, ще бъдат обозначени с: A 1, A 2, ..., A m - за играч A; B 1, B 2, ..., B n - за играч B. Ако играта се състои само от лични ходове, тогава изборът на стратегии A i и B j от играчите еднозначно определя резултата от играта - нашите печалби a ij Ако a ij е известно за всички комбинационни стратегии, тогава те образуват матрица за плащане с размер m x n, където: m е броят на редовете на матрицата, а n е броят на нейните колони.
Принципът на предпазливостта, който диктува играчите да избират подходящи стратегии (maximin и minimax), е основен принцип в теорията на игрите и се нарича принцип на minimax. В матрицата на печалбите на такава игра има елемент, който е едновременно минимален в своя ред и максимален в нейната колона. Такъв елемент се нарича тънко седло. В този случай стойността v=ą=þ се нарича нетна цена на играта. В този случай решението на играта (съвкупността от оптимални стратегии на играчите) има следното свойство: ако един от играчите се придържа към оптималната си стратегия, тогава за другия не може да бъде изгодно да се отклони от оптималната си стратегия. Ако горната цена на играта не съвпада с долната цена, тогава в този случай си струва да говорим за игра на смесени стратегии. Смесена S A е използването на чисти стратегии A 1 , A 2 ,…, A n с вероятност p 1 , p 2 ,…, p n , а смесена стратегия S B е използването на чисти стратегии B 1 , B 2 ,…, B n с вероятност p 1 ,p 2 ,…,p m . Нека играта има размерност 2 на 2 и е дадена от матрицата на изплащане:
За играч А оптималната стратегия ще има следните вероятности:
;
; цена на играта 
Критерият на Савидж е един от критериите за вземане на решения в условия на несигурност. Условията на несигурност се считат за ситуация, когато последствията от взетите решения са неизвестни и те могат да бъдат приблизително оценени. За да вземете решение... ... Wikipedia
Тест за съответствие на Колмогоров- или тест за съответствие на Колмогоров-Смирнов статистически тест, използван за определяне дали две емпирични разпределения се подчиняват на един и същ закон или дали полученото разпределение се подчинява на предполагаемия модел.... ... Wikipedia
Критерий на Валд-, за друго изписване на критерия на Валд, вижте Максимин... Икономически и математически речник
Тест за съответствие на Pearson- Критерият на Пиърсън или критерият χ² (хи квадрат) е най-често използваният критерий за проверка на хипотезата за закона за разпределение. В много практически проблеми точният закон за разпределение е неизвестен, тоест това е хипотеза, че ... ... Уикипедия
Критерий на Крускал- Wallis е предназначен да тества равенството на медианите на няколко проби. Този критерий е многомерно обобщение на теста на Wilcoxon-Mann-Whitney. Критерият на Крускал Уолис е критерий за ранг, така че е инвариантен по отношение на всеки... ... Wikipedia
Критерий на Кокран- Тестът на Cochran се използва при сравняване на три или повече проби от същия размер. Несъответствието между дисперсиите се счита за случайно при избраното ниво на значимост, ако: къде е квантилът на случайната променлива с броя на сумираните... ... Wikipedia
Критерий на Лилифорс- статистически тест, кръстен на Хуберт Лилифорс, професор по статистика в университета Джордж Вашингтон, който е модификация на теста Колмогоров-Смирнов. Използва се за тестване на нулевата хипотеза, че извадката... ... Wikipedia
Тест на Wilcoxon- За подобряване на тази статия е желателно?: Намерете и подредете под формата на бележки под линия връзки към авторитетни източници, потвърждаващи написаното. Добавете илюстрации. Т Крит ... Уикипедия
Последователен статистически тест- Последователният статистически тест е последователна статистическа процедура, използвана за тестване статистически хипотези V последователен анализ. Нека бъде на разположение за наблюдение в статистически експеримент произволна стойностс... ... Уикипедия
Тест на Валд- (англ. Wald test) статистически тест, използван за тестване на ограничения върху параметрите на статистически модели, оценени въз основа на извадкови данни. Това е един от трите основни теста за проверка на ограничения, заедно с теста... ... Wikipedia
Книги
- Теория на вероятностите и математическа статистика в задачи: Повече от 360 задачи и упражнения, Borzykh D.. Предлаганото ръководство съдържа задачи с различни нива на сложност. Основният акцент обаче е върху задачите със средна сложност. Това беше направено умишлено, за да се насърчат учениците да... Купете за 443 RUR
- Теория на вероятностите и математическа статистика в задачите. Повече от 360 задачи и упражнения, Borzykh D.A.. Предлаганото ръководство съдържа задачи с различни нива на сложност. Основният акцент обаче е върху задачите със средна сложност. Това се прави умишлено, за да се насърчат учениците да...
Кратка теория
Всяка човешка икономическа дейност може да се разглежда като игра с природата. В широк смисъл разбираме природата като набор от несигурни фактори, които влияят върху ефективността на взетите решения.
Всеки обект се контролира чрез приемане на последователност управленски решения. За вземане на решение е необходима информация (набор от информация за състоянието на обекта на управление и условията на неговата работа). В случаите, когато няма достатъчно пълна информация, възниква несигурност при вземането на решения. Причините за това могат да бъдат различни: информацията, необходима за пълно обосноваване на решението, не може да бъде получена по принцип (неотстранима несигурност); информацията не може да бъде получена своевременно до момента на вземане на решението; разходите, свързани с получаването на информация, са твърде високи. Тъй като средствата за събиране, предаване и обработка на информация се подобряват, несигурността на управленските решения ще намалее. Към това трябва да се стремим. Съществуването на нередуцируема несигурност е свързано със случайния характер на много явления. Например в търговията случайният характер на промените в търсенето прави невъзможно точното му прогнозиране и следователно формирането на идеално точна поръчка за доставка на стоки. Вземането на решение в този случай е свързано с риск. Приемането на партида стоки въз основа на вземане на проби също е свързано с риск от вземане на решение в условия на несигурност. Несигурността може да бъде отстранена чрез пълна проверка на цялата партида, но това може да е твърде скъпо. В селското стопанство, например, за да получи реколта, човек предприема редица действия (оре земята, прилага торове, бори се с плевели и др.). Крайният резултат (реколта) зависи от действията не само на хората, но и на природата (дъжд, суша, вечер и т.н.). От горните примери става ясно, че е невъзможно напълно да се премахне несигурността в управлението на икономическата система, въпреки че, повтаряме, трябва да се стремим към това. Във всеки конкретен случай при вземането на управленски решения трябва да се вземе предвид степента на риск и, ако е възможно, да се вземе предвид наличната информация, доколкото е възможно, за да се намалят неблагоприятните последици, които могат да възникнат поради погрешни решения.
Двете страни, участващи в играта, ще се наричат играч I и играч II. Всеки играч има краен набор от действия (чисти стратегии), които може да използва по време на играта. Играта има повтарящ се, цикличен характер. На всеки цикъл играчите избират една от своите стратегии, която уникално определя плащането. Интересите на играчите са противоположни. Играч I се опитва да играе играта така, че плащанията да са възможно най-големи. За играч II е желателно плащанията да са възможно най-малки (като се има предвид знака). Освен това във всеки цикъл печалбата на един от играчите точно съвпада със загубата на другия. Тези видове игри се наричат игри с нулева сума.
Решаването на една игра означава определяне на оптималното поведение на играчите. Решаването на игри е предмет на теорията на игрите. Оптималното поведение на играча е инвариантно по отношение на промените във всички елементи на матрицата на изплащане с определена сума.
IN общ случайОпределянето на оптималното поведение на играчите включва решаване на двойна двойка проблеми с линейно програмиране. В някои случаи могат да се използват по-прости методи. Често матрицата на плащанията може да бъде опростена чрез премахване на редовете и колоните, съответстващи на доминираните стратегии на играчите, се нарича такава, ако всички плащания не са по-добри от съответните плащания на друга стратегия и поне една от плащанията са по-лоши от съответните плащания на тази друга стратегия, наречена доминираща.
Типичната стратегическа игра включва „разумни и антагонистични“ противници (противопоставящи се страни). В такива игри всяка страна предприема точно онези действия, които са най-изгодни за нея и по-малко изгодни за врага. Въпреки това, много често несигурността, която съпътства определена операция, не е свързана със съзнателното противопоставяне на врага, а зависи от някаква обективна реалност (природа), непозната на играч I. Този вид ситуации обикновено се наричат игри с природата. Играч II - природата - в теорията на статистическите игри не е разумен играч, тъй като се счита за вид незаинтересована власт, която не избира оптимални стратегии за себе си. Възможните състояния на природата (нейните стратегии) се реализират произволно. В изследването на операциите оперативната страна (играч I) често се нарича статистик, а самите операции често се наричат игри на статистиката с природата или статистически игри.
Нека разгледаме игрова формулировка на проблема за вземане на решение в условия на несигурност. Нека операторът трябва да извърши операция в недостатъчно известна среда, по отношение на условията, за които могат да се направят предположения. Ние ще разглеждаме тези предположения като стратегии на природата. Оперативната страна има на разположение възможни стратегии - . Печалбите на играч I за всяка двойка стратегии и - се приемат за известни и се определят от матрицата на печалбите.
Задачата е да се определи стратегия (чиста или смесена), която, ако бъде приложена, ще осигури на оперативната страна най-голяма печалба.
Вече беше казано по-горе, че стопанската дейност на човека може да се разглежда като игра с природата. Основната характеристика на природата като играч е нейната незаинтересованост от победата.
Анализът на матрицата на изплащането на игра с природата започва с идентифициране и отхвърляне на дублиращи се и очевидно нерентабилни стратегии на човека, който играе с природата. Що се отнася до стратегиите на природата, никоя от тях не може да бъде отхвърлена, тъй като всяко от природните състояния може да се появи произволно, независимо от действията на играч I. Тъй като природата не се противопоставя на играч I, може да изглежда, че играта с природата е по-проста от стратегическа игра. Всъщност това не е вярно. Противоположните интереси на играчите в стратегическа игра в известен смисъл изглежда премахват несигурността, което не може да се каже за статистическа игра. За действащата страна е по-лесно в игра с природата в смисъл, че най-вероятно ще спечели повече, отколкото в игра срещу съзнателен противник. За нея обаче е по-трудно да вземе информирано решение, тъй като в играта с природата несигурността на ситуацията я засяга в много по-голяма степен.
След опростяване на платежната матрица на игра с природа, препоръчително е не само да се изчислят печалбите за дадена игрова ситуация, но и да се определи разликата между максималните възможни печалби за това състояниехарактер и печалбата, която ще се получи при прилагане на стратегията при същите условия. Тази разлика в теорията на игрите се нарича риск.
Природата променя състоянието си спонтанно, без изобщо да се интересува от изхода на играта. В антагонистична игра ние предположихме, че играчите използват оптимални (в смисъла, дефиниран по-горе) смесени стратегии. Може да се предположи, че природата вероятно използва не толкова оптимална стратегия. Тогава кой? Ако имаше отговор на този въпрос, тогава вземането на решение от вземащия решение (DM) щеше да бъде сведено до детерминистичен проблем.
Ако са известни вероятностите на природните състояния, тогава се използва критерият на Бейс, според който чистата стратегия се счита за оптимална, при която средната печалба е максимална:
Критерият на Bayes предполага, че въпреки че не знаем условията за извършване на операции (естествени състояния), ние знаем техните вероятности.
С помощта на тази техника проблемът за избор на решение в условия на несигурност се превръща в проблем за избор на решение в условия на сигурност; само взетото решение е оптимално не във всеки отделен случай, а средно.
Ако всички природни състояния изглеждат еднакво правдоподобни за играча, тогава понякога се смята и, като се вземе предвид „принципът на недостатъчната причина“ на Лаплас, че чистата стратегия се счита за оптимална, осигуряваща:
Ако смесената стратегия на природата е неизвестна, тогава, в зависимост от хипотезата за поведението на природата, могат да бъдат предложени редица подходи, за да се оправдае изборът на решение от вземащия решение. Ще характеризираме нашата оценка за характера на поведението на природата с числото, което може да се свърже със степента на активно „противодействие“ на природата като играч. Стойността съответства на най-песимистичната нагласа на вземащия решение в смисъл на „. помощ” на природата за постигане на най-добри икономически резултати. Стойността съответства на най-големия оптимизъм на вземащия решение. Както е известно, в икономическата дейност тези крайности са опасни. Най-вероятно е препоръчително да се изхожда от някаква междинна стойност. В този случай се използва критерият на Хурвиц, според който най-доброто решение за вземане на решения е чиста стратегия, която отговаря на условието:
Критерият на Hurwitz (критерият „оптимизъм-песимизъм“) ви позволява да се ръководите при избора на рисково решение в условия на несигурност от някакъв среден резултат за ефективност, разположен в полето между стойностите според „maximax“ и „ maximin” критерии (полето между тези стойности е свързано чрез изпъкнала линейна функция).
В случай на краен песимизъм на вземащия решение, този критерий се нарича критерий на Валд. Според този критерий стратегията maximin се счита за най-добра. Това е критерий за краен песимизъм. Въз основа на този критерий вземащият решение избира стратегията, която гарантира максимална печалба при най-лошите условия:
Този избор съответства на най-плахото поведение на вземащия решение, когато той приема най-неблагоприятното поведение на природата и се страхува от големи загуби. Може да се предположи, че той няма да получи големи печалби. Според критерия на Savage трябва да се избере чиста стратегия, която отговаря на условието:
къде е рискът?
Критерият на Савидж (критерият за загуба "минимакс") предполага, че от всички възможни варианти на "матрицата на решение" се избира алтернативата, която минимизира размера на максималните загуби за всяко от възможните решения. При използването на този критерий „матрицата на решенията“ се трансформира в „матрица на риска“, в която вместо стойности на ефективността се въвежда размерът на загубите за различни сценарии.
Недостатъкът на критериите на Wald, Savage и Hurwitz е субективна оценкаповедение на природата. Въпреки че тези критерии осигуряват някаква логическа рамка за вземане на решения, все пак е разумно да зададем въпроса: „Защо не изберете веднага субективно решение, вместо да се занимавате с различни критерии?“ Несъмнено определянето на решението от различни критериипомага на вземащия решение да оцени взетото решение от различни позиции и да избегне сериозни грешки в бизнес дейностите.
Пример за решение на проблем
Задачата
След няколко години работа оборудването може да се окаже в едно от трите състояния:
- необходима е превантивна поддръжка;
- Необходима е подмяна на отделни части и възли;
- изисква основен ремонт.
В зависимост от ситуацията ръководството на предприятието може да вземе следните решения:
Необходимо е да се намери оптималното решение на този проблем според критерия за минимизиране на разходите, като се вземат предвид следните допускания:
| а | 4 | 6 | 9 | b | 5 | 3 | 7 | ° С | 20 | 15 | 6 | р | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Решението на проблема
Ако имате затруднения при решаването на проблеми, сайтът предоставя онлайн помощ на студентите относно методите за оптимални решения с тестове или изпити.
Игра по двойки, статистика. Играта включва 2 играчи: управлението на предприятието и природата.
Под природата в в такъв случайразберете съвкупността външни фактори, които определят състоянието на оборудването.
Стратегия за управление:
Ремонтирайте оборудването сами
Обадете се на екип от специалисти
Сменете оборудването с ново
Стратегия на природата - 3 възможни състояния на оборудването.
Необходима е превантивна поддръжка;
Следва да се подменят отделни части и възли;
Изисква основен ремонт.
Изчисляване на платежна матрица и матрица на риска
Тъй като елементите на матрицата са разходи, ще ги считаме за печеливши, но със знак минус. Платежна матрица:
| -4 | -6 | -9 | -9 | -5 | -3 | -7 | -7 | -20 | -15 | -6 | -20 | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Създаваме матрица на риска:
| -4-(-20)=16 | -6-(-15)=9 | -9-(-9)=0 | 16 | -5-(-20)=15 | -3-(-15)=12 | -7-(-9)=2 | 15 | -20-(-20)=0 | -15-(-15)=0 | -6-(-9)=3 | 3 |
Критерий на Бейс
Ние определяме средните печалби:
Според критерия на Байс оптималната стратегия е да се извика екип от специалисти
Критерий на Лаплас
Нека да определим средните печалби:
Според критерия на Лаплас оптималната стратегия е да се извика екип от специалисти
Критерий на Валд
Според критерия на Wald оптималната стратегия е да се извика екип от специалисти
Дивашки критерий
Според критерия на Savage оптималната стратегия е оборудването да се замени с ново
Критерий на Хурвиц
Според критерия на Хурвиц оптималната стратегия е да се извика екип от специалисти
Отговор
Според всички критерии, с изключение на критерия на Savage, оптималната стратегия е „Извикайте екип от специалисти“. Според критерия на Savage, който минимизира рисковете, оптималната стратегия е „Смяна на оборудването с ново“.
Съдържа теоретична информация за матрична играбез седлова точка и начин да се сведе такъв проблем до проблем с линейно програмиране, за да се намери решението му в смесени стратегии. Даден е пример за решаване на задачата.
Многоканален QS с неограничена опашка
Предоставени са необходимите теоретични сведения и примерно решение на задачата по темата „Многоканална система“. опашкас неограничена опашка“, детайлно са разгледани показателите многоканална системаобслужване на опашка (QS) с чакане на услуга - среден брой канали, заети от обслужване на заявка, дължина на опашка, вероятност за образуване на опашка, вероятност свободна държавасистеми, средно време на чакане на опашка.
Критичен път, критично време и други параметри на работния мрежов график
Използвайки примера за решаване на проблем, проблемите на конструирането мрежова графикаработи, намиране на критичния път и критичното време. Също така е показано изчисляването на параметрите и резервите на събития и работа - ранни и късни дати, общи (пълни) и частни резерви.
