Očekivanje i varijansa su najčešće korištene numeričke karakteristike slučajna varijabla. Oni karakterišu najvažnije karakteristike distribucije: njen položaj i stepen raspršenosti. U mnogim praktičnim problemima, potpuna, iscrpna karakteristika slučajne varijable - zakon raspodjele - ili se uopće ne može dobiti, ili uopće nije potrebna. U ovim slučajevima se ograničava na približan opis slučajne varijable koristeći numeričke karakteristike.

Očekivana vrijednost se često naziva jednostavno prosječnom vrijednošću slučajne varijable. Disperzija slučajne varijable je karakteristika disperzije, širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja.

Očekivanje diskretne slučajne varijable

Pristupimo konceptu matematičkog očekivanja, prvo na osnovu mehaničke interpretacije distribucije diskretne slučajne varijable. Neka je jedinična masa raspoređena između tačaka x-ose x1 , x 2 , ..., x n, a svaka materijalna tačka ima odgovarajuću masu od str1 , str 2 , ..., str n. Potrebno je odabrati jednu tačku na osi apscise, koja karakterizira položaj cijelog sistema materijalnih tačaka, uzimajući u obzir njihove mase. Prirodno je kao takvu tačku uzeti centar mase sistema materijalnih tačaka. Ovo je ponderisani prosjek slučajne varijable X, do koje apscisa svake tačke xi ulazi sa “težinom” jednakom odgovarajućoj vjerovatnoći. Prosječna vrijednost slučajne varijable dobijena na ovaj način X naziva se njeno matematičko očekivanje.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i vjerovatnoća ovih vrijednosti:

Primjer 1. Organizirana je dobitna lutrija. Ima 1000 dobitaka, od kojih je 400 10 rubalja. 300 - 20 rubalja svaki. 200 - 100 rubalja svaki. i po 100 - 200 rubalja. Šta prosječne veličine dobitak za one koji su kupili jednu kartu?

Rješenje. Prosječni dobici naći ćemo da li ukupan iznos dobitke, što je jednako 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubalja, podijelite sa 1000 (ukupan iznos dobitka). Tada dobijamo 50000/1000 = 50 rubalja. Ali izraz za izračunavanje prosječnog dobitka može se predstaviti u sljedećem obliku:

S druge strane, u ovim uslovima, dobitni iznos je slučajna varijabla, koja može imati vrijednosti od 10, 20, 100 i 200 rubalja. sa vjerovatnoćama jednakim 0,4, respektivno; 0,3; 0,2; 0.1. Dakle, očekivana prosječna isplata jednak zbiru proizvode veličine dobitaka i vjerovatnoće njihovog primanja.

Primjer 2. Izdavač je odlučio da objavi novu knjigu. Knjigu planira prodati za 280 rubalja, od čega će on sam dobiti 200, 50 - knjižara i 30 - autor. Tabela daje informacije o troškovima izdavanja knjige i vjerovatnoći prodaje određenog broja primjeraka knjige.

Pronađite očekivani profit izdavača.

Rješenje. Slučajna varijabla “profit” jednaka je razlici između prihoda od prodaje i troška troškova. Na primjer, ako se proda 500 primjeraka knjige, tada je prihod od prodaje 200 * 500 = 100 000, a trošak izdavanja 225 000 rubalja. Tako se izdavač suočava sa gubitkom od 125.000 rubalja. Sljedeća tabela sumira očekivane vrijednosti slučajne varijable - profit:

Broj	Profit xi	Vjerovatnoća stri	xi str i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Ukupno:		1,00	25000

Dakle, dobijamo očekivanu vrijednost profit izdavača:

.

Primjer 3. Verovatnoća pogađanja jednim udarcem str= 0,2. Odredite potrošnju projektila koji daju matematičko očekivanje broja pogodaka jednakog 5.

Rješenje. Iz iste formule matematičkog očekivanja koju smo do sada koristili, izražavamo x- potrošnja ljuske:

.

Primjer 4. Odredite matematičko očekivanje slučajne varijable x broj pogodaka sa tri hica, ako je vjerovatnoća pogotka sa svakim udarcem str = 0,4 .

Savjet: pronađite vjerovatnoću vrijednosti slučajne varijable po Bernulijeva formula .

Osobine matematičkog očekivanja

Razmotrimo svojstva matematičkog očekivanja.

Nekretnina 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj konstanti:

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:

Nekretnina 3. Matematičko očekivanje sume (razlike) slučajnih varijabli jednako je zbiru (razlici) njihovih matematičkih očekivanja:

Nekretnina 4. Matematičko očekivanje proizvoda slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:

Svojstvo 5. Ako su sve vrijednosti slučajne varijable X smanjiti (povećati) za isti broj WITH, tada će se njegovo matematičko očekivanje smanjiti (povećati) za isti broj:

Kada se ne možete ograničiti samo na matematička očekivanja

U većini slučajeva, samo matematičko očekivanje ne može dovoljno okarakterizirati slučajnu varijablu.

Neka slučajne varijable X I Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:

Značenje X	Vjerovatnoća
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Značenje Y	Vjerovatnoća
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Matematička očekivanja ovih veličina su ista - jednaka nuli:

Međutim, obrasci njihove distribucije su različiti. Slučajna vrijednost X može uzeti samo vrijednosti koje se malo razlikuju od matematičkog očekivanja i slučajne varijable Y može uzeti vrijednosti koje značajno odstupaju od matematičkog očekivanja. Sličan primjer: prosječna plata ne omogućava suđenje specifična gravitacija visoko i nisko plaćeni radnici. Drugim riječima, iz matematičkog očekivanja ne može se suditi kakva su odstupanja od njega, barem u prosjeku, moguća. Da biste to učinili, morate pronaći varijansu slučajne varijable.

Varijanca diskretne slučajne varijable

Varijanca diskretna slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadrata njegovog odstupanja od matematičkog očekivanja:

Standardna devijacija slučajne varijable X aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njegove varijanse naziva se:

.

Primjer 5. Izračunajte varijanse i standardne devijacije slučajnih varijabli X I Y, čiji su zakoni distribucije dati u gornjim tabelama.

Rješenje. Matematička očekivanja slučajnih varijabli X I Y, kao što je gore utvrđeno, jednake su nuli. Prema formuli disperzije at E(X)=E(y)=0 dobijamo:

Zatim standardne devijacije slučajnih varijabli X I Yšminka

.

Dakle, sa istim matematičkim očekivanjima, varijansa slučajne varijable X vrlo mala, ali slučajna varijabla Y- značajno. To je posljedica razlika u njihovoj distribuciji.

Primjer 6. Investitor ima 4 alternativna investiciona projekta. Tabela sumira očekivanu dobit u ovim projektima sa odgovarajućom vjerovatnoćom.

Projekat 1	Projekat 2	Projekat 3	Projekat 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju za svaku alternativu.

Rješenje. Hajde da pokažemo kako se ove vrijednosti izračunavaju za 3. alternativu:

Tabela sažima pronađene vrijednosti za sve alternative.

Sve alternative imaju ista matematička očekivanja. To znači da na duge staze svi imaju ista primanja. Standardna devijacija se može tumačiti kao mjera rizika – što je veća, veći je rizik ulaganja. Investitor koji ne želi mnogo rizika će izabrati projekat 1 jer ima najmanju standardnu ​​devijaciju (0). Ako investitor preferira rizik i visoke prinose u kratkom periodu, onda će izabrati projekat sa najvećim standardna devijacija- projekat 4.

Svojstva disperzije

Hajde da predstavimo svojstva disperzije.

Nekretnina 1. Varijanca konstantne vrijednosti je nula:

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem:

.

Nekretnina 3. Varijanca slučajne varijable jednaka je matematičkom očekivanju kvadrata ove vrijednosti, od čega se oduzima kvadrat matematičkog očekivanja same vrijednosti:

,

Gdje .

Nekretnina 4. Varijanca sume (razlike) slučajnih varijabli jednaka je zbroju (razlici) njihovih varijansi:

Primjer 7. Poznato je da je diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti: −3 i 7. Osim toga, poznato je matematičko očekivanje: E(X) = 4 . Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable.

Rješenje. Označimo sa str vjerovatnoća sa kojom slučajna varijabla uzima vrijednost x1 = −3 . Zatim vjerovatnoća vrijednosti x2 = 7 bit će 1 − str. Izvedemo jednačinu za matematičko očekivanje:

E(X) = x 1 str + x 2 (1 − str) = −3str + 7(1 − str) = 4 ,

odakle dobijamo verovatnoce: str= 0,3 i 1 − str = 0,7 .

Zakon distribucije slučajne varijable:

X	−3	7
str	0,3	0,7

Izračunavamo varijansu ove slučajne varijable koristeći formulu iz svojstva 3 disperzije:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Pronađite sami matematičko očekivanje slučajne varijable, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 8. Diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti. Prihvata veću od vrijednosti 3 sa vjerovatnoćom 0,4. Osim toga, poznata je varijansa slučajne varijable D(X) = 6 . Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable.

Primjer 9. U urni se nalazi 6 bijelih i 4 crne kugle. Iz urne se izvlače 3 lopte. Broj bijelih loptica među izvučenim kuglicama je diskretna slučajna varijabla X. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.

Rješenje. Slučajna vrijednost X može uzeti vrijednosti 0, 1, 2, 3. Odgovarajuće vjerovatnoće se mogu izračunati iz pravilo množenja vjerovatnoće. Zakon distribucije slučajne varijable:

X	0	1	2	3
str	1/30	3/10	1/2	1/6

Otuda matematičko očekivanje ove slučajne varijable:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varijanca date slučajne varijable je:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Očekivanje i varijansa kontinuirane slučajne varijable

Za kontinuiranu slučajnu varijablu, mehanička interpretacija matematičkog očekivanja zadržat će isto značenje: centar mase za jediničnu masu raspoređenu kontinuirano na x-osi s gustinom f(x). Za razliku od diskretne slučajne varijable, čiji argument funkcije xi naglo se mijenja; za kontinuiranu slučajnu varijablu, argument se kontinuirano mijenja. Ali matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable je takođe povezano sa njenom prosečnom vrednošću.

Da biste pronašli matematičko očekivanje i varijansu kontinuirane slučajne varijable, morate pronaći određene integrale . Ako je data funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable, ona direktno ulazi u integrand. Ako je data funkcija distribucije vjerovatnoće, onda je diferenciranjem potrebno pronaći funkciju gustoće.

Aritmetički prosjek svih mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable naziva se njegova matematičko očekivanje, označeno sa ili .

Rješenje.

Kao mjeru disperzije vrijednosti slučajnih varijabli koristimo disperzija

Disperzija (reč disperzija znači „raspršivanje“) jeste mjera disperzije vrijednosti slučajnih varijabli u odnosu na njegovo matematičko očekivanje. Disperzija je matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja

Ako je slučajna varijabla diskretna s beskonačnim, ali prebrojivim skupom vrijednosti, onda

ako se red na desnoj strani jednakosti konvergira.

Osobine disperzije.

• 1. Varijanca konstantne vrijednosti je nula
• 2. Varijanca zbira slučajnih varijabli jednaka je zbroju varijansi
• 3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka kvadratne disperzije

Varijanca razlike slučajnih varijabli jednaka je zbiru varijansi

Ovo svojstvo je posljedica drugog i trećeg svojstva. Odstupanja se mogu samo sabirati.

Pogodno je izračunati disperziju pomoću formule koja se lako može dobiti korištenjem svojstava disperzije

Varijanca je uvijek pozitivna.

Varijanca ima dimenzija kvadratna dimenzija same slučajne varijable, što nije uvijek zgodno. Dakle, količina

Standardna devijacija(standardna devijacija ili standard) slučajne varijable je aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njene varijanse

Bacite dva novčića u apoenima od 2 i 5 rubalja. Ako novčić sleti kao grb, tada se dodjeljuje nula bodova, a ako sleti kao broj, tada je broj bodova jednak apoenu novčića. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu broja bodova.

Rješenje. Nađimo prvo distribuciju slučajne varijable X - broj bodova. Sve kombinacije - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - su jednako vjerovatne i zakon raspodjele je:

Očekivana vrijednost:

Pronalazimo varijansu koristeći formulu

zašto računamo

Primjer 2.

Pronađite nepoznatu vjerovatnoću R, matematičko očekivanje i varijansa diskretne slučajne varijable, data tabela distribucije vjerovatnoće

Pronalazimo matematičko očekivanje i varijansu:

M(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

Za izračunavanje disperzije koristimo formulu (19.4)

D(X) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

Primjer 3. Dva podjednako jaka sportista održavaju turnir koji traje ili do prve pobjede jednog od njih, ili do odigranih pet utakmica. Verovatnoća pobede u jednoj utakmici za svakog od sportista je 0,3, a verovatnoća nerešenog rezultata je 0,4. Naći zakon raspodjele, matematičko očekivanje i disperziju broja odigranih utakmica.

Rješenje. Slučajna vrijednost X- broj odigranih utakmica, uzima vrijednosti od 1 do 5, tj.

Odredimo vjerovatnoće završetka utakmice. Meč će se završiti u prvom setu ako jedan od njihovih sportista pobijedi. Verovatnoća pobede je

R(1) = 0,3+0,3 =0,6.

Ako je bilo neriješeno (vjerovatnoća izjednačenja je 1 - 0,6 = 0,4), utakmica se nastavlja. Utakmica će se završiti u drugom gemu ako je prva bila neriješena, a neko je dobio drugu. Vjerovatnoća

R(2) = 0,4 0,6=0,24.

Isto tako, meč će završiti u trećoj utakmici ako su bila dva remija zaredom i opet neko pobijedio

R(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. R(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

Peta utakmica je posljednja u bilo kojoj varijanti.

R(5)= 1 - (R(1)+R(2)+R(3)+R(4)) = 0,0256.

Stavimo sve u tabelu. Zakon raspodjele slučajne varijable „broj osvojenih igara“ ima oblik

Očekivana vrijednost

Izračunavamo varijansu koristeći formulu (19.4)

Standardne diskretne distribucije.

Binomna distribucija. Neka se implementira Bernoullijeva eksperimentalna shema: n identični nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih je događaj A može se pojaviti sa konstantnom vjerovatnoćom str i neće se pojaviti sa vjerovatnoćom

(vidjeti predavanje 18).

Broj pojavljivanja događaja A u ovim n eksperimentima postoji diskretna slučajna varijabla X, čije su moguće vrijednosti:

0; 1; 2; ... ;m; ... ; n.

Vjerovatnoća pojavljivanja m događaji A u određenoj seriji n eksperimenti sa i zakon raspodjele takve slučajne varijable dat je Bernoullijevom formulom (vidi predavanje 18)

Numeričke karakteristike slučajne varijable X distribuira se prema binomskom zakonu:

Ako n je velika (), tada, kada, formula (19.6) ulazi u formulu

i tabelarne Gaussove funkcije (tabela vrijednosti Gaussove funkcije data je na kraju predavanja 18).

U praksi, ono što je često važno nije sama vjerovatnoća pojave. m događaji A u određenoj seriji od n eksperimente i vjerovatnoću da će događaj A neće se pojaviti ništa manje

puta i ne više od puta, tj. vjerovatnoća da X preuzme vrijednosti

Da bismo to uradili, potrebno je da zbrojimo verovatnoće

Ako n je velika (), tada, kada se formula (19.9) pretvara u približnu formulu

tabelarna funkcija. Tabele su date na kraju 18. predavanja.

Prilikom korištenja tabela potrebno je to uzeti u obzir

Primjer 1. Automobil koji se približava raskrsnici može nastaviti kretanje bilo kojim od tri puta: A, B ili C sa jednakom vjerovatnoćom. Pet automobila prilazi raskrsnici. Pronađite prosječan broj automobila koji će putovati putem A i vjerovatnoću da će tri automobila putovati putem B.

Rješenje. Broj automobila koji prolaze na svakom putu je slučajna varijabla. Ako pretpostavimo da svi automobili koji se približavaju raskrsnici putuju nezavisno jedan od drugog, onda se ova slučajna varijabla raspoređuje prema binomskom zakonu sa

n= 5 i str = .

Dakle, prosječan broj automobila koji će pratiti put A je prema formuli (19.7)

i željenu vjerovatnoću pri

Primjer 2. Verovatnoća kvara uređaja tokom svakog testa je 0,1. Izvršeno je 60 testova uređaja. Kolika je vjerovatnoća da će se kvar uređaja dogoditi: a) 15 puta; b) ne više od 15 puta?

A. Pošto je broj testova 60, koristimo formulu (19.8)

Prema tabeli 1 dodatka predavanju 18 nalazimo

b. Koristimo formulu (19.10).

Prema tabeli 2 priloga predavanja 18

• - 0,495
• 0,49995

Poissonova raspodjela) zakon rijetkih događaja). Ako n veliki i R malo (), i proizvod itd zadržava konstantnu vrijednost, koju označavamo sa l,

tada formula (19.6) postaje Poissonova formula

Poissonov zakon distribucije ima oblik:

Očigledno, definicija Poissonovog zakona je tačna, jer glavno svojstvo distribucijske serije

Gotovo, jer zbir serija

Proširenje u nizu funkcije na

Teorema. Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable raspoređene prema Poissonovom zakonu poklapaju se i jednaki su parametru ovog zakona, tj.

Dokaz.

Primjer. Za promociju svojih proizvoda na tržištu, kompanija stavlja flajere u poštanske sandučiće. Dosadašnja iskustva pokazuju da otprilike u jednom slučaju od 2.000 slijedi red. Nađite vjerovatnoću da će pri postavljanju 10.000 oglasa doći barem jedna narudžba, prosječan broj primljenih narudžbi i varijansu broja primljenih porudžbina.

Rješenje. Evo

Vjerovatnoća da će barem jedna narudžba stići naći će se kroz vjerovatnoću suprotan događaj, tj.

Slučajni tok događaja. Tok događaja je niz događaja koji se dešavaju u nasumično vrijeme. Tipični primjeri tokovi su kvarovi u kompjuterskim mrežama, pozivi na telefonskim centralama, tok zahtjeva za popravkom opreme itd.

Protok događaji se nazivaju stacionarno, ako vjerovatnoća da određeni broj događaja padne u vremenski interval dužine zavisi samo od dužine intervala i ne zavisi od lokacije vremenskog intervala na vremenskoj osi.

Uslov stacionarnosti je zadovoljen protokom zahteva čije verovatnoće ne zavise od vremena. Konkretno, stacionarni tok karakterizira konstantna gustina (prosječan broj zahtjeva po jedinici vremena). U praksi, često postoje tokovi zahtjeva koji se (barem u ograničenom vremenskom periodu) mogu smatrati stacionarnim. Na primjer, tok poziva na gradskoj telefonskoj centrali u vremenskom periodu od 12 do 13 sati može se smatrati fiksnim. Isti protok tokom celog dana više se ne može smatrati stacionarnim (noću je gustina poziva znatno manja nego tokom dana).

Protok događaji se nazivaju stream bez naknadnih efekata, ako za bilo koje vremenske periode koji se ne preklapaju broj događaja koji pada na jedan od njih ne zavisi od broja događaja koji pada na druge.

Uslov odsustva naknadnog efekta - najbitniji za najjednostavniji tok - znači da aplikacije ulaze u sistem nezavisno jedna od druge. Na primjer, protok putnika koji ulaze u stanicu metroa može se smatrati protokom bez posljedica jer razlozi koji su odredili dolazak pojedinog putnika u jednom trenutku, a ne u drugom, po pravilu nisu povezani sa sličnim razlozima drugih putnika. . Međutim, zbog pojave takve ovisnosti lako se može narušiti uvjet bez naknadnog djelovanja. Na primjer, tok putnika koji napuštaju metro stanicu se više ne može smatrati protokom bez posljedica, budući da su momenti izlaska putnika koji dolaze istim vozom ovisni jedan o drugom.

Protok događaji se nazivaju običan, ako je vjerovatnoća da će se dva ili više događaja dogoditi u kratkom vremenskom intervalu t zanemarljiva u odnosu na vjerovatnoću da se dogodi jedan događaj (u tom smislu, Poissonov zakon se naziva zakonom rijetkih događaja).

Uslov običnosti znači da narudžbe stižu pojedinačno, a ne u parovima, trojkama, itd. devijacija varijanse Bernulijeva distribucija

Na primjer, protok kupaca koji ulaze u frizerski salon može se smatrati gotovo običnim. Ako u izvanrednom toku aplikacije stižu samo u parovima, samo u trojkama itd., onda se izvanredni tok lako može svesti na običan; Da biste to učinili, dovoljno je umjesto niza pojedinačnih zahtjeva uzeti u obzir tok parova, trojki itd. Biće teže ako svaki zahtjev može nasumično ispasti dvostruki, trostruki itd. Tada morate bave se nizom ne homogenih, već heterogenih događaja.

Ako tok događaja ima sva tri svojstva (tj. stacionaran, običan i nema naknadni efekat), onda se naziva jednostavnim (ili stacionarnim Poissonovim) tokom. Naziv "Poisson" je zbog činjenice da ako su ispunjeni navedeni uslovi, broj događaja koji spadaju u bilo koji fiksni vremenski interval će biti raspoređen na Poissonov zakon

Evo prosječnog broja događaja A, koji se pojavljuje u jedinici vremena.

Ovaj zakon je jednoparametarski, tj. da biste ga postavili, trebate znati samo jedan parametar. Može se pokazati da su očekivanje i varijansa u Poissonovom zakonu numerički jednake:

Primjer. Recimo da je usred radnog dana prosječan broj zahtjeva 2 u sekundi. Kolika je vjerovatnoća da 1) nijedna aplikacija neće biti primljena u sekundi, 2) da će 10 prijava stići za dvije sekunde?

Rješenje. Budući da je valjanost primjene Poissonovog zakona nesumnjiva i da je njegov parametar zadan (= 2), rješenje problema se svodi na primjenu Poissonove formule (19.11)

1) t = 1, m = 0:

2) t = 2, m = 10:

Zakon veliki brojevi. Matematička osnova za činjenicu da se vrijednosti slučajne varijable grupiraju oko nekih konstantnih vrijednosti je zakon velikih brojeva.

Istorijski gledano, prva formulacija zakona velikih brojeva bila je Bernoullijeva teorema:

“Sa neograničenim povećanjem broja identičnih i nezavisnih eksperimenata n, učestalost pojave događaja A konvergira u vjerovatnoći njegovoj vjerovatnoći”, tj.

gdje je učestalost pojavljivanja događaja A u n eksperimenata,

U suštini, izraz (19.10) znači da je kod velikog broja eksperimenata učestalost pojavljivanja događaja A može zamijeniti nepoznatu vjerovatnoću ovog događaja, a što je veći broj izvedenih eksperimenata, to je p* bliže p. Zanimljivo istorijska činjenica. K. Pearson je bacio novčić 12.000 puta, a njegov grb se pojavio 6.019 puta (učestalost 0,5016). Kada je isti novčić bacio 24.000 puta, dobio je 12.012 grbova, tj. frekvencija 0,5005.

Najvažniji oblik zakona velikih brojeva je Čebiševljev teorem: s neograničenim povećanjem broja nezavisnih eksperimenata koji imaju konačnu varijansu i koji se provode pod identičnim uvjetima, aritmetička sredina promatranih vrijednosti slučajne varijable konvergira po vjerovatnoći njenom matematičkom očekivanju. U analitičkom obliku, ova teorema se može napisati na sljedeći način:

Pored svog temeljnog teorijskog značaja, Čebiševljeva teorema ima i važne praktične primjene, na primjer, u teoriji mjerenja. Nakon uzimanja n mjerenja određene količine X, dobiti različite nepodudarne vrijednosti X 1, X 2, ..., xn. Za približnu vrijednost mjerene veličine X uzeti aritmetičku sredinu posmatranih vrednosti

pri čemu, Što se više eksperimenata provede, to će rezultat biti precizniji.Činjenica je da se disperzija količine smanjuje sa povećanjem broja izvedenih eksperimenata, jer

D(x 1) = D(x 2)=…= D(xn) D(x) , To

Relacija (19.13) pokazuje da je i uz veliku nepreciznost mjernih instrumenata (velika vrijednost), povećanjem broja mjerenja moguće dobiti rezultat proizvoljno visoke preciznosti.

Koristeći formulu (19.10) možete pronaći vjerovatnoću da statistička frekvencija odstupa od vjerovatnoće za najviše

Primjer. Vjerovatnoća događaja u svakom ispitivanju je 0,4. Koliko testova treba da izvršite da biste očekivali, sa verovatnoćom ne manjom od 0,8, da će relativna učestalost događaja odstupiti od verovatnoće u apsolutnoj vrednosti za manje od 0,01?

Rješenje. Prema formuli (19.14)

dakle, prema tabeli postoje dvije aplikacije

dakle, n 3932.

U prethodnom smo predstavili niz formula koje nam omogućavaju da pronađemo numeričke karakteristike funkcija kada su poznati zakoni distribucije argumenata. Međutim, u mnogim slučajevima za pronalaženje numeričkih karakteristika funkcija nije potrebno čak ni poznavati zakone raspodjele argumenata, već je dovoljno poznavati samo neke njihove numeričke karakteristike; u isto vrijeme generalno radimo bez ikakvih zakona distribucije. Određivanje numeričkih karakteristika funkcija iz datih numeričkih karakteristika argumenata se široko koristi u teoriji vjerovatnoće i može značajno pojednostaviti rješavanje niza problema. Većina ovih pojednostavljenih metoda odnosi se na linearne funkcije; međutim, neke elementarne nelinearne funkcije također dozvoljavaju sličan pristup.

U ovom tekstu ćemo predstaviti niz teorema o numeričkim karakteristikama funkcija, koje zajedno predstavljaju vrlo jednostavan aparat za izračunavanje ovih karakteristika, primenljiv u širokom spektru uslova.

1. Matematičko očekivanje neslučajne vrijednosti

Formulisano svojstvo je sasvim očigledno; to se može dokazati razmatranjem neslučajne varijable kao posebne vrste slučajne, sa jednom moguće značenje sa vjerovatnoćom jedan; onda prema općoj formuli za matematičko očekivanje:

.

2. Varijanca neslučajne veličine

Ako je neslučajna vrijednost, onda

3. Zamjena neslučajne vrijednosti za znak matematičkog očekivanja

, (10.2.1)

to jest, neslučajna vrijednost se može uzeti kao znak matematičkog očekivanja.

Dokaz.

a) Za diskontinuirane količine

b) Za kontinuirane količine

.

4. Zamjena neslučajne vrijednosti za znak disperzije i standardne devijacije

Ako je neslučajna veličina, i slučajna je, onda

, (10.2.2)

to jest, neslučajna vrijednost se može izvući iz predznaka disperzije kvadraturom.

Dokaz. Po definiciji varijanse

Posljedica

,

to jest, neslučajna vrijednost se može izvući iz predznaka standardne devijacije svojom apsolutnom vrijednošću. Dokaz dobijamo uzimajući kvadratni korijen iz formule (10.2.2) i uzimajući u obzir da je r.s.o. - značajno pozitivnu vrijednost.

5. Matematičko očekivanje sume slučajnih varijabli

Dokažimo da za bilo koje dvije slučajne varijable i

to jest, matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja.

Ovo svojstvo je poznato kao teorema sabiranja matematičkih očekivanja.

Dokaz.

a) Neka je sistem diskontinuiranih slučajnih varijabli. Primijeniti na zbir slučajnih varijabli opšta formula(10.1.6) za matematičko očekivanje funkcije dva argumenta:

.

Ho ne predstavlja ništa više od ukupne vjerovatnoće da će količina poprimiti vrijednost:

;

dakle,

.

Slično ćemo to dokazati

,

i teorema je dokazana.

b) Neka je sistem kontinuiranih slučajnih varijabli. Prema formuli (10.1.7)

. (10.2.4)

Transformirajmo prvi od integrala (10.2.4):

;

slično

,

i teorema je dokazana.

Posebno treba napomenuti da teorema za sabiranje matematičkih očekivanja vrijedi za sve slučajne varijable - i zavisne i nezavisne.

Teorema za sabiranje matematičkih očekivanja generalizirana je na proizvoljan broj pojmova:

, (10.2.5)

odnosno matematičko očekivanje sume nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja.

Da bismo to dokazali, dovoljno je koristiti metodu potpune indukcije.

6. Matematičko očekivanje linearna funkcija

Razmotrimo linearnu funkciju nekoliko slučajnih argumenata:

gdje su neslučajni koeficijenti. Dokažimo to

, (10.2.6)

tj. matematičko očekivanje linearne funkcije jednako je istoj linearnoj funkciji matematičkih očekivanja argumenata.

Dokaz. Koristeći teoremu sabiranja m.o. i pravilo postavljanja neslučajne veličine izvan predznaka m.o., dobijamo:

.

7. Dispepovaj zbir slučajnih varijabli

Varijanca zbira dvije slučajne varijable jednaka je zbroju njihovih varijansi plus dvostruki korelacijski moment:

Dokaz. Označimo

Prema teoremi sabiranja matematičkih očekivanja

Pređimo sa slučajnih varijabli na odgovarajuće centrirane varijable. Oduzimajući jednakost (10.2.9) član po član od jednakosti (10.2.8), imamo:

Po definiciji varijanse

Q.E.D.

Formula (10.2.7) za varijansu sume može se generalizirati na bilo koji broj pojmova:

, (10.2.10)

gdje je korelacijski moment veličina, znak ispod zbroja znači da se zbrajanje proteže na sve moguće kombinacije slučajnih varijabli u paru .

Dokaz je sličan prethodnom i slijedi iz formule za kvadrat polinoma.

Formula (10.2.10) se može napisati u drugom obliku:

, (10.2.11)

gdje se dvostruki zbir proteže na sve elemente korelacijske matrice sistema veličina , koji sadrži i korelacijske momente i varijanse.

Ako su sve slučajne varijable , uključeni u sistem, nisu u korelaciji (tj., kada ), formula (10.2.10) ima oblik:

, (10.2.12)

to jest, varijansa zbira nekoreliranih slučajnih varijabli jednaka je zbiru varijansi termina.

Ova pozicija je poznata kao teorema sabiranja varijansi.

8. Varijanca linearne funkcije

Razmotrimo linearnu funkciju nekoliko slučajnih varijabli.

gdje su neslučajne veličine.

Dokažimo da je disperzija ove linearne funkcije izražena formulom

, (10.2.13)

gdje je korelacijski moment veličina , .

Dokaz. Hajde da uvedemo notaciju:

. (10.2.14)

Primjenjujući formulu (10.2.10) za disperziju sume na desnu stranu izraza (10.2.14) i uzimajući u obzir to, dobijamo:

gdje je korelacijski moment veličina:

.

Izračunajmo ovaj trenutak. Imamo:

;

slično

Zamjenom ovog izraza u (10.2.15) dolazimo do formule (10.2.13).

U posebnom slučaju kada su sve količine nisu u korelaciji, formula (10.2.13) ima oblik:

, (10.2.16)

to jest, varijansa linearne funkcije nekoreliranih slučajnih varijabli jednaka je zbiru proizvoda kvadrata koeficijenata i varijansi odgovarajućih argumenata.

9. Matematičko očekivanje proizvoda slučajnih varijabli

Matematičko očekivanje proizvoda dvije slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja plus korelacijski moment:

Dokaz. Poći ćemo od definicije korelacionog momenta:

Transformirajmo ovaj izraz koristeći svojstva matematičkog očekivanja:

što je očigledno ekvivalentno formuli (10.2.17).

Ako slučajne varijable nisu u korelaciji, onda formula (10.2.17) poprima oblik:

to jest, matematičko očekivanje proizvoda dvije nekorelirane slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.

Ova pozicija je poznata kao teorema množenja matematičkih očekivanja.

Formula (10.2.17) nije ništa drugo do izraz drugog mešovitog centralnog momenta sistema kroz drugi mešoviti početni trenutak i matematička očekivanja:

. (10.2.19)

Ovaj izraz se često koristi u praksi kada se izračunava korelacioni moment na isti način na koji se za jednu slučajnu varijablu varijansa često izračunava kroz drugi početni trenutak i matematičko očekivanje.

Teorema množenja matematičkih očekivanja generalizirana je na proizvoljan broj faktora, samo u ovom slučaju za njenu primjenu nije dovoljno da su veličine nekorelirane, već je potrebno da se pojave neki viši mješoviti momenti čiji broj zavisi na broj pojmova u proizvodu, nestaju. Ovi uslovi su svakako zadovoljeni ako su slučajne varijable uključene u proizvod nezavisne. U ovom slučaju

, (10.2.20)

to jest, matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.

Ovaj prijedlog se može lako dokazati potpunom indukcijom.

10. Varijanca proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli

Dokažimo to za nezavisne veličine

Dokaz. Označimo . Po definiciji varijanse

Pošto su količine nezavisne, i

Kada su nezavisne, količine su takođe nezavisne; dakle,

,

Ali ne postoji ništa više od drugog početnog momenta veličine, i stoga se izražava kroz disperziju:

;

slično

.

Zamjenom ovih izraza u formulu (10.2.22) i dovođenjem sličnih pojmova dolazimo do formule (10.2.21).

U slučaju kada se centrirane slučajne varijable (varijable sa matematičkim očekivanjima jednakim nuli) pomnože, formula (10.2.21) ima oblik:

, (10.2.23)

odnosno varijansa proizvoda nezavisnih centriranih slučajnih varijabli jednaka je proizvodu njihovih varijansi.

11. Viši momenti zbira slučajnih varijabli

U nekim slučajevima potrebno je izračunati najveće momente zbira nezavisnih slučajnih varijabli. Dokažimo neke relacije povezane ovdje.

1) Ako su veličine nezavisne, onda

Dokaz.

odakle, prema teoremi množenja matematičkih očekivanja

Ali prvi centralni moment za bilo koju količinu je nula; dva srednja člana nestaju i formula (10.2.24) je dokazana.

Relacija (10.2.24) se lako generalizuje indukcijom na proizvoljan broj nezavisnih članova:

. (10.2.25)

2) Četvrti centralni moment zbira dvije nezavisne slučajne varijable izražava se formulom

gdje su varijanse veličina i .

Dokaz je potpuno sličan prethodnom.

Koristeći metodu potpune indukcije, lako je dokazati generalizaciju formule (10.2.26) na proizvoljan broj nezavisnih članova.