Od posebnog značaja za karakterizaciju distribucije slučajne varijable su numeričke karakteristike koje se nazivaju početni i centralni momenti.
Početni trenutak k-th red α k(X) slučajna varijabla X k-ta snaga ove veličine, tj.
α k(X) = M(X k) (6.8)
Formula (6.8) zbog definicije matematičkog očekivanja za razne slučajne varijable ima svoj oblik, naime, za diskretnu slučajnu varijablu sa konačnim skupom vrijednosti
za kontinuiranu slučajnu varijablu
, (6.10)
Gdje f(x) - gustina distribucije slučajne varijable X.
Nepravilan integral u formuli (6.10) pretvara se u definitivni integral preko konačnog intervala, ako vrijednosti kontinuirane slučajne varijable postoje samo u ovom intervalu.
Jedna od prethodno uvedenih numeričkih karakteristika je očekivanu vrijednost- nije ništa drugo do početni trenutak prvog reda, ili, kako kažu, prvi početni trenutak:
M(X) = α 1 (X).
U prethodnom pasusu uveden je koncept centrirane slučajne varijable HM(X). Ako se ova veličina smatra glavnom, onda se za nju mogu pronaći i početni momenti. Za samu veličinu X ovi trenuci će se zvati centralnim.
Centralni trenutak k-th red μk(X) slučajna varijabla X nazvano matematičko očekivanje k-ta snaga centrirane slučajne varijable, tj.
μk(X) = M[(HM(X))k] (6.11)
Drugim riječima, centralna tačka k-ti red je matematičko očekivanje k stepen devijacije.
Centralni trenutak k th red za diskretnu slučajnu varijablu sa konačnim skupom vrijednosti nalazi se po formuli:
, (6.12)
za kontinuiranu slučajnu varijablu koristeći formulu:
(6.13)
Ubuduće, kada bude jasno o kakvoj je slučajnoj promenljivoj reč, nećemo je pisati u zapisu početnog i centralnog momenta, tj. umjesto α k(X) I μk(X) jednostavno ćemo napisati α k I μk .
Očigledno je da je centralni momenat prvog reda jednak nuli, jer to nije ništa drugo do matematičko očekivanje devijacije, koje je jednako nuli prema onome što je prethodno dokazano, tj. .
Nije teško shvatiti da je centralni moment drugog reda slučajne varijable X poklapa se sa varijansom iste slučajne varijable, tj.
Osim toga, postoje sljedeće formule koje povezuju početni i središnji moment:
Dakle, momenti prvog i drugog reda (matematičko očekivanje i disperzija) karakterišu najvažnije karakteristike distribucije: njen položaj i stepen rasipanja vrednosti. Za više Detaljan opis distribucije su momenti višeg reda. Hajde da to pokažemo.
Pretpostavimo da je distribucija slučajne varijable simetrična u odnosu na njeno matematičko očekivanje. Tada su svi centralni momenti neparnog reda, ako postoje, jednaki nuli. Ovo se objašnjava činjenicom da, zbog simetrije distribucije, za svaku pozitivnu vrijednost veličine X − M(X) postoji negativna vrijednost jednaka po veličini i vjerovatnoće ovih vrijednosti su jednake. Prema tome, zbir u formuli (6.12) se sastoji od nekoliko parova članova jednakih po veličini, ali različitog predznaka, koji se međusobno poništavaju pri sabiranju. Dakle, cijeli iznos, tj. centralni moment bilo koje diskretne slučajne varijable neparnog reda je nula. Slično, centralni moment bilo kog neparnog reda neprekidne slučajne varijable jednak je nuli, kao i integral u simetričnim granicama neparne funkcije.
Prirodno je pretpostaviti da ako je centralni momenat neparnog reda različit od nule, tada sama distribucija neće biti simetrična u odnosu na svoje matematičko očekivanje. Štaviše, što se centralni moment više razlikuje od nule, to je veća asimetrija u distribuciji. Uzmimo centralni moment najmanjeg neparnog reda kao karakteristiku asimetrije. Budući da je centralni moment prvog reda jednak nuli za slučajne varijable koje imaju bilo koju distribuciju, bolje je koristiti centralni moment trećeg reda za ovu svrhu. Međutim, ovaj trenutak ima dimenziju kocke slučajne varijable. Da biste se riješili ovog nedostatka i prešli na bezdimenzionalnu slučajnu varijablu, podijelite vrijednost centralnog momenta sa kockom standardne devijacije.
Koeficijent asimetrije A s ili jednostavno asimetrija naziva se odnos centralnog momenta trećeg reda prema kocki standardne devijacije, tj.
Ponekad se asimetrija naziva "iskrivljenost" i označava S kšta dolazi iz engleska riječ skew - "koso".
Ako je koeficijent asimetrije negativan, tada na njegovu vrijednost snažno utiču negativni članovi (odstupanja) i distribucija će imati leva asimetrija, a grafik distribucije (kriva) je ravniji lijevo od matematičkog očekivanja. Ako je koeficijent pozitivan, onda asimetrija desno, a kriva je ravnija desno od matematičkog očekivanja (slika 6.1).
 |
Kao što je pokazano, za karakterizaciju širenja vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja koristi se drugi centralni moment, tj. disperzija. Ako je ovaj trenutak od velike važnosti numerička vrijednost, tada ova slučajna varijabla ima veliki raspršivanje vrijednosti i odgovarajuća krivulja raspodjele ima ravniji oblik od krive za koju drugi centralni moment ima manju vrijednost. Prema tome, drugi centralni momenat karakteriše, u izvesnoj meri, krivulju raspodele sa „ravnim vrhom“ ili „oštrim vrhom“. Međutim, ova karakteristika nije baš zgodna. Centralni moment drugog reda ima dimenziju jednak kvadratu dimenzije slučajne varijable. Ako pokušamo dobiti bezdimenzionalnu količinu dijeljenjem trenutne vrijednosti s kvadratom standardne devijacije, tada za bilo koju slučajnu varijablu dobijamo: 
. Dakle, ovaj koeficijent ne može biti nikakva karakteristika distribucije slučajne varijable. To je isto za sve distribucije. U ovom slučaju se može koristiti centralni moment četvrtog reda.
Višak E k je količina određena formulom
(6.15)
Kurtosis se uglavnom koristi za kontinuirane slučajne varijable i služi za karakterizaciju takozvane “strmosti” krivulje distribucije, ili na drugi način, kao što je već spomenuto, za karakterizaciju krive distribucije “ravnog vrha” ili “oštre” krive. Kriva referentne distribucije se smatra krivom normalna distribucija(o tome će se detaljno raspravljati u sljedećem poglavlju). Za slučajnu varijablu distribuiranu prema normalnom zakonu vrijedi jednakost. Stoga, eksces dat formulom (6.15) služi za poređenje ove distribucije sa normalnom, za koju je eksces jednak nuli.
Ako se dobije pozitivan eksces za neku slučajnu varijablu, onda je krivulja distribucije ove vrijednosti vršnija od krive normalne distribucije. Ako je eksces negativan, onda je kriva više ravnih vrha u odnosu na krivu normalne distribucije (slika 6.2).
 |
Pređimo sada na specifične vrste zakona distribucije za diskretne i kontinuirane slučajne varijable.
Uz karakteristike položaja - prosječne, tipične vrijednosti slučajne varijable - koriste se brojne karakteristike, od kojih svaka opisuje jedno ili drugo svojstvo distribucije. Kao takve karakteristike najčešće se koriste tzv. momenti.
Koncept momenta se široko koristi u mehanici za opisivanje raspodjele masa (statički momenti, momenti inercije, itd.). Potpuno iste tehnike se koriste u teoriji vjerovatnoće za opisivanje osnovnih svojstava distribucije slučajne varijable. U praksi se najčešće koriste dvije vrste momenata: početni i centralni.
Početni trenutak s-tog reda diskontinuirane slučajne varijable je zbir oblika:
. (5.7.1)
Očigledno, ova definicija se poklapa sa definicijom početnog momenta reda s u mehanici, ako su mase koncentrisane na osi apscise u tačkama.
Za kontinuiranu slučajnu varijablu X, početni trenutak s-tog reda naziva se integral
. (5.7.2)
Lako je vidjeti da glavna karakteristika pozicije koja je uvedena u prethodnom n° - matematičko očekivanje - nije ništa drugo do prvi početni trenutak slučajne varijable.
Koristeći znak matematičkog očekivanja, možete kombinirati dvije formule (5.7.1) i (5.7.2) u jednu. Zaista, formule (5.7.1) i (5.7.2) su po strukturi potpuno slične formulama (5.6.1) i (5.6.2), s tom razlikom što umjesto i postoje, respektivno, i . Stoga možemo napisati opštu definiciju početnog momenta th reda, koja vrijedi i za diskontinuirane i za diskontinuirane kontinuirane količine:
, (5.7.3)
one. Početni trenutak th reda slučajne varijable je matematičko očekivanje th stepena ove slučajne varijable.
Prije definiranja centralnog trenutka, uvodimo novi koncept “centrirane slučajne varijable”.
Neka postoji slučajna varijabla sa matematičkim očekivanjem. Centrirana slučajna varijabla koja odgovara vrijednosti je odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:
U budućnosti ćemo se složiti da centriranu slučajnu varijablu koja odgovara datoj slučajnoj varijabli svuda označavamo istim slovom sa simbolom na vrhu.
Lako je provjeriti da je matematičko očekivanje centrirane slučajne varijable jednako nuli. Zaista, za diskontinuiranu količinu
slično za kontinuiranu količinu.
Centriranje slučajne varijable je očigledno ekvivalentno pomeranju početka koordinata u srednju, „centralnu“ tačku, čija je apscisa jednaka matematičkom očekivanju.
Momenti centrirane slučajne varijable nazivaju se centralni momenti. Oni su analogni trenucima o centru gravitacije u mehanici.
Dakle, centralni moment reda s slučajne varijable je matematičko očekivanje th stepena odgovarajuće centrirane slučajne varijable:
, (5.7.6)
a za kontinuirano – po integralu
. (5.7.8)
U daljem tekstu, u slučajevima kada nema sumnje o tome kojoj slučajnoj varijabli pripada dati trenutak, radi kratkoće ćemo pisati jednostavno i umjesto i .
Očigledno, za bilo koju slučajnu varijablu središnji moment prvog reda jednak je nuli:
, (5.7.9)
budući da je matematičko očekivanje centrirane slučajne varijable uvijek jednako nuli.
Izvedemo relacije koje povezuju centralne i početne momente različitih poredaka. Zaključak ćemo izvršiti samo za diskontinuirane količine; lako je provjeriti da potpuno iste relacije vrijede za kontinuirane veličine ako konačne sume zamijenimo integralima, a vjerovatnoće elementima vjerovatnoće.
Razmotrimo drugu centralnu tačku:
Slično za treći centralni momenat dobijamo:
Izrazi za itd. može se dobiti na sličan način.
Dakle, za centralne momente bilo koje slučajne varijable vrijede formule:
(5.7.10)
Uopšteno govoreći, momenti se mogu posmatrati ne samo u odnosu na ishodište (početni momenti) ili matematičko očekivanje (centralni momenti), već i u odnosu na proizvoljnu tačku:
. (5.7.11)
Međutim, centralni momenti imaju prednost u odnosu na sve ostale: prvi centralni moment, kao što smo videli, uvek je jednak nuli, a sledeći, drugi centralni moment, kod ovog referentnog sistema ima minimalnu vrednost. Dokažimo to. Za diskontinuiranu slučajnu varijablu na, formula (5.7.11) ima oblik:
. (5.7.12)
Hajde da transformišemo ovaj izraz:
Očigledno, ova vrijednost dostiže svoj minimum kada , tj. kada se trenutak uzme u odnosu na tačku.
Od svih momenata, kao karakteristike slučajne varijable najčešće se koriste prvi početni moment (matematičko očekivanje) i drugi centralni moment.
Drugi centralni moment naziva se varijansa slučajne varijable. S obzirom na izuzetnu važnost ove karakteristike, između ostalog, za nju uvodimo posebnu oznaku:
Prema definiciji centralnog momenta
one. varijansa slučajne varijable X je matematičko očekivanje kvadrata odgovarajuće centrirane varijable.
Zamijenivši količinu u izrazu (5.7.13) njenim izrazom, također imamo:
. (5.7.14)
Da biste direktno izračunali varijansu, koristite sljedeće formule:
, (5.7.15)
(5.7.16)
U skladu s tim za diskontinuirane i kontinuirane količine.
Disperzija slučajne varijable je karakteristika disperzije, raspršivanja vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Sama riječ “disperzija” znači “disperzija”.
Ako se okrenemo mehaničkom tumačenju raspodjele, onda disperzija nije ništa drugo do moment inercije date raspodjele mase u odnosu na centar gravitacije (matematičko očekivanje).
Varijanca slučajne varijable ima dimenziju kvadrata slučajne varijable; Za vizualno karakteriziranje disperzije, prikladnije je koristiti veličinu čija se dimenzija poklapa s dimenzijom slučajne varijable. Da biste to učinili, uzmite kvadratni korijen varijanse. Rezultirajuća vrijednost naziva se standardna devijacija (inače “standardna”) slučajne varijable. Standardnu devijaciju ćemo označiti:
, (5.7.17)
Da bismo pojednostavili notacije, često ćemo koristiti skraćenice za standardnu devijaciju i disperziju: i . U slučaju kada nema sumnje na koju se slučajnu varijablu ove karakteristike odnose, ponekad ćemo izostaviti simbol x y i i pisati jednostavno i . Riječi “standardna devijacija” ponekad će biti skraćene kako bi bile zamijenjene slovima r.s.o.
U praksi se često koristi formula koja izražava disperziju slučajne varijable kroz njen drugi početni trenutak (drugi od formula (5.7.10)). U novoj notaciji to će izgledati ovako:
Očekivanje i varijansa (ili standardna devijacija) su najčešće korištene karakteristike slučajne varijable. Oni karakterišu najvažnije karakteristike distribucije: njen položaj i stepen raspršenosti. Za detaljniji opis distribucije koriste se momenti višeg reda.
Treća centralna tačka služi za karakterizaciju asimetrije (ili “iskrivljenosti”) distribucije. Ako je raspodjela simetrična u odnosu na matematičko očekivanje (ili, u mehaničkoj interpretaciji, masa je raspoređena simetrično u odnosu na centar gravitacije), tada su svi momenti neparnog reda (ako postoje) jednaki nuli. Zaista, ukupno
kada je zakon raspodjele simetričan u odnosu na zakon i neparan, svakom pozitivnom članu odgovara negativan član jednakog apsolutne vrijednosti, tako da je cijeli zbir jednak nuli. Isto je očigledno i za integral
,
koji je jednak nuli kao integral u simetričnim granicama neparne funkcije.
Stoga je prirodno odabrati jedan od neparnih momenata kao karakteristiku asimetrije distribucije. Najjednostavniji od njih je treći centralni momenat. Ima dimenziju kocke slučajne varijable: da bi se dobila bezdimenzionalna karakteristika, treći momenat se dijeli sa kockom standardne devijacije. Rezultirajuća vrijednost se naziva “koeficijent asimetrije” ili jednostavno “asimetrija”; označit ćemo ga:
Na sl. 5.7.1 prikazuje dvije asimetrične distribucije; jedna od njih (kriva I) ima pozitivnu asimetriju (); druga (kriva II) je negativna ().
Četvrta centralna tačka služi za karakterizaciju takozvane „hladnoće“, tj. vršna ili ravna distribucija. Ova svojstva distribucije su opisana korišćenjem takozvanog kurtosisa. Kurtozis slučajne varijable je količina
Od omjera se oduzima broj 3 jer je za vrlo važan i u prirodi rasprostranjen zakon normalne raspodjele (koji ćemo kasnije detaljnije upoznati) . Dakle, za normalnu distribuciju eksces je nula; krive koje imaju više vrhova u odnosu na normalnu krivu imaju pozitivan kurtozis; Krive sa ravnijim vrhom imaju negativan eksces.
Na sl. 5.7.2 prikazuje: normalnu distribuciju (kriva I), distribuciju sa pozitivnim kurtozom (kriva II) i distribuciju sa negativnom kurtozom (kriva III).
Pored početnih i centralnih momenata o kojima je bilo reči, u praksi se ponekad koriste i takozvani apsolutni momenti (početni i centralni), određeni formulama
Očigledno, apsolutni momenti parnih redova poklapaju se sa običnim trenucima.
Od apsolutnih momenata, najčešće se koristi prvi apsolutni centralni moment.
, (5.7.21)
zove se aritmetička srednja devijacija. Uz disperziju i standardnu devijaciju, aritmetička srednja devijacija se ponekad koristi kao karakteristika disperzije.
Očekivanje, mod, medijan, početni i centralni momenti i, posebno, disperzija, standardna devijacija, skewness i kurtosis su najčešće korištene numeričke karakteristike slučajnih varijabli. U mnogim problemima u praksi pune karakteristike slučajna varijabla - zakon raspodjele - ili nije potrebna ili se ne može dobiti. U ovim slučajevima, ograničeno je na približan opis slučajne varijable pomoću pomoći. Numeričke karakteristike, od kojih svaka izražava neko karakteristično svojstvo distribucije.
Vrlo često se numeričke karakteristike koriste za približno zamjenu jedne distribucije drugom, a obično pokušavaju izvršiti tu zamjenu na način da nekoliko važnih tačaka ostane nepromijenjeno.
Primjer 1. Izvodi se jedan eksperiment, kao rezultat kojeg se može pojaviti ili ne mora pojaviti događaj čija je vjerovatnoća jednaka . Razmatra se slučajna varijabla - broj pojavljivanja događaja (karakteristična slučajna varijabla događaja). Odrediti njegove karakteristike: matematičko očekivanje, disperzija, standardna devijacija.
Rješenje. Serija distribucije vrijednosti ima oblik:
gdje je vjerovatnoća da se događaj ne dogodi.
Koristeći formulu (5.6.1) nalazimo matematičko očekivanje vrijednosti:
Disperzija vrijednosti određena je formulom (5.7.15):
(Predlažemo da čitalac dobije isti rezultat izražavajući disperziju u terminima drugog početnog momenta).
Primjer 2. Tri nezavisna hica se ispaljuju u metu; Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki metak je 0,4. slučajna varijabla – broj pogodaka. Odrediti karakteristike veličine - matematičko očekivanje, disperzija, r.s.d., asimetrija.
Rješenje. Serija distribucije vrijednosti ima oblik:
Izračunavamo numeričke karakteristike veličine.
Početni trenutak k th red slučajna varijablaX X k :
posebno,
Centralni trenutak k th red slučajna varijablaXnaziva se matematičko očekivanje količine k :
.
(5.11)
posebno,
Koristeći definicije i svojstva matematičkog očekivanja i disperzije, možemo to dobiti
,
,
Trenuci višeg reda se rijetko koriste.
Pretpostavimo da je distribucija slučajne varijable simetrična u odnosu na matematičko očekivanje. Tada su sve centrale neparnog reda jednake nuli. Ovo se može objasniti činjenicom da za svaku pozitivnu vrijednost devijacije X–M[X] postoji (zbog simetrije distribucije) negativna vrijednost jednaka apsolutnoj vrijednosti, a njihove vjerovatnoće će biti iste. Ako je centralni moment neparnog reda i nije jednak nuli, onda to ukazuje na asimetriju distribucije i što je moment veći, to je veća asimetrija. Stoga je najrazumnije uzeti neki neparni centralni moment kao karakteristiku asimetrije distribucije. Budući da je centralni moment 1. reda uvijek jednak nuli, preporučljivo je u tu svrhu koristiti centralni moment 3. reda. Međutim, nezgodno je prihvatiti ovu tačku za procjenu asimetrije jer njena vrijednost ovisi o jedinicama u kojima se mjeri slučajna varijabla. Da bi se otklonio ovaj nedostatak, 3 se podijeli sa 3 i tako se dobije karakteristika.
Koeficijent asimetrije A naziva se količina
.
(5.12)
Rice. 5.1
Ako je koeficijent asimetrije negativan, onda to ukazuje na veliki uticaj na vrijednost 3 negativna odstupanja. U ovom slučaju, krive raspodjele su ravnije lijevo od M[X]. Ako je koeficijent A pozitivan, onda je kriva s desne strane ravnija.Kao što je poznato, disperzija (2. centralni moment) služi za karakterizaciju disperzije vrijednosti slučajne varijable oko matematičkog očekivanja. Što je veća disperzija, to je ravna kriva distribucije. Međutim, normalizovani moment 2. reda 2 / 2 ne može poslužiti kao karakteristika distribucije “ravnog vrha” ili “oštre” jer za bilo koju distribuciju D[ x]/ 2 =1. U ovom slučaju se koristi centralni moment 4. reda.
Višak E naziva se količina
.
(5.13)
H
Rice. 5.2
Primjer 5.6. DSV X je dat sljedećim zakonom distribucije:
Pronađite koeficijent nagiba i kurtozis.
Rice. 5.4
Sada izračunajmo centralne momente:
Nađimo matematičko očekivanje X 2 :
M(X 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.
Vidimo to M(X 2) mnogo više M(X). To je zato što nakon kvadriranja moguće značenje količine X 2 odgovara vrijednosti x=100 magnituda X, postala jednaka 10.000, odnosno značajno porasla; vjerovatnoća ove vrijednosti je mala (0,01).
Dakle, tranzicija iz M(X)To M(X 2) omogućilo je da se bolje uzme u obzir uticaj na matematičko očekivanje te moguće vrednosti, koja je velika i ima malu verovatnoću. Naravno, ako je vrijednost X imao nekoliko velikih i malo vjerojatnih vrijednosti, zatim prijelaz na vrijednost X 2, a još više na količine X 3 , X 4, itd., omogućilo bi nam da dodatno „ojačamo ulogu“ ovih velikih, ali malo vjerojatnih mogućih vrijednosti. Zato se ispostavlja da je preporučljivo razmotriti matematičko očekivanje cjelobrojne pozitivne moći slučajne varijable (ne samo diskretne, već i kontinuirane).
Početni trenutak narudžbe k slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje veličine Xk:
v k = M(X).
posebno,
v 1 = M(X),v 2 = M(X 2).
Koristeći ove tačke, formula za izračunavanje varijanse D(X)= M(X 2)- [M(X)] 2 se može napisati ovako:
D(X)=v 2 – . (*)
Pored momenata slučajne varijable X preporučljivo je uzeti u obzir trenutke odstupanja X-M(X).
Centralni moment reda k slučajne varijable X je matematičko očekivanje količine(HM(X))k:
posebno,
Lako se izvode odnosi koji povezuju početni i centralni moment. Na primjer, upoređujući (*) i (***), dobijamo
m 2= v 2 – .
Nije teško, na osnovu definicije centralnog momenta i koristeći svojstva matematičkog očekivanja, dobiti formule:
m 3= v 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,
m 4= v 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .
Trenuci višeg reda se rijetko koriste.
Komentar. Tačke o kojima se ovdje raspravlja nazivaju se teorijski. Za razliku od teorijskih momenata, momenti koji se računaju iz podataka posmatranja nazivaju se empirijski. Definicije empirijskih momenata su date u nastavku (vidi Poglavlje XVII, § 2).
Zadaci
1. Poznate su varijanse dvije nezavisne slučajne varijable: D(X) = 4, D(Y)=3. Naći varijansu zbira ovih veličina.
Rep. 7.
2. Varijanca slučajne varijable X je jednako 5. Nađite varijansu sljedećih veličina: a) X-1; b) -2 X; V) ZH + 6.
Rep. a) 5; b) 20; c) 45.
3. Slučajna vrijednost X uzima samo dvije vrijednosti: +C i -C, svaka sa vjerovatnoćom od 0,5. Pronađite varijansu ove količine.
Rep. WITH 2 .
4. , poznavajući zakon njegove distribucije
| X | 0, 1 | |||
| P | 0, 4 | 0, 2 | 0, 15 | 0, 25 |
Rep. 67,6404.
5. Slučajna vrijednost X može uzeti dvije moguće vrijednosti: X 1 sa vjerovatnoćom 0,3 i x 2 sa vjerovatnoćom 0,7, i X 2 > x 1 . Nađi x 1 i x 2, znajući to M(X) = 2, 7i D(X) =0,21.
Rep. x 1 = 2, x 2 = 3.
6. Pronađite varijansu slučajne varijable X-broj pojavljivanja događaja A u dva nezavisni testovi, Ako M(X) = 0, 8.
Bilješka. Napišite binomni zakon distribucije vjerovatnoće broja pojavljivanja događaja A u dva nezavisna ispitivanja.
Rep. 0, 48.
7. Testira se uređaj koji se sastoji od četiri uređaja koji nezavisno rade. Vjerojatnosti kvara uređaja su sljedeće: R 1 = 0,3; R 2 = 0,4; str 3 = 0,5; R 4 = 0,6. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu broja neispravnih uređaja.
Rep. 1,8; 0,94.
8. Pronađite varijansu slučajne varijable X- broj pojavljivanja događaja u 100 nezavisnih ispitivanja, u svakom od kojih je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi 0,7.
Rep. 21.
9. Varijanca slučajne varijable D(X) = 6,25. Pronađite standardnu devijaciju s( X).
Rep. 2, 5.
10. Slučajna varijabla je određena zakonom raspodjele
| X | |||
| P | 0, 1 | 0, 5 | 0, 4 |
Pronađite standardnu devijaciju ove vrijednosti.
Rep. 2, 2.
11. Varijanca svake od 9 identično raspoređenih međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je 36. Pronađite varijansu aritmetičke sredine ovih varijabli.
Rep. 4.
12. Standardna devijacija svake od 16 identično raspoređenih međusobno nezavisnih slučajnih varijabli je 10. Pronađite standardnu devijaciju aritmetičke sredine ovih varijabli.
Rep. 2,5.
Poglavlje devet
ZAKON VELIKIH BROJEVA
Preliminarne napomene
Kao što je već poznato, nemoguće je unaprijed pouzdano predvidjeti koju će od mogućih vrijednosti slučajna varijabla uzeti kao rezultat testa; zavisi od mnogih slučajni razlozi, što se ne može uzeti u obzir. Čini se da, budući da imamo vrlo skromne informacije o svakoj slučajnoj varijabli u tom smislu, teško je moguće ustanoviti obrasce ponašanja i zbir dovoljno velikog broja slučajnih varijabli. Zapravo to nije istina. Ispostavilo se da za neke relativno široki uslovi cjelokupno ponašanje dovoljno velikog broja slučajnih varijabli gotovo gubi svoj slučajni karakter i postaje prirodno.
Za praksu je veoma važno poznavati uslove pod kojima kombinovano dejstvo mnogih slučajnih uzroka dovodi do rezultata koji je gotovo nezavisan od slučajnosti, jer omogućava da se predvidi tok pojava. Ovi uslovi su naznačeni u ležajevima teorema uobičajeno ime zakon veliki brojevi. To uključuje teoreme Čebiševa i Bernulija (postoje i druge teoreme o kojima se ovdje ne raspravlja). Čebiševljeva teorema je najopštiji zakon velikih brojeva, Bernulijeva teorema je najjednostavnija. Da bismo dokazali ove teoreme, koristit ćemo Čebiševljevu nejednakost.
Čebiševljeva nejednakost
Čebiševljeva nejednakost vrijedi za diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Radi jednostavnosti, ograničavamo se na dokazivanje ove nejednakosti za diskretne veličine.
Razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu X, navedeno u tabeli distribucije:
| X | x 1 | X 2 | … | x n |
| str | str 1 | P 2 | … | p n |
Postavimo sebi zadatak da procenimo verovatnoću da odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja ne pređe apsolutnu vrednost pozitivnog broja e. Ako je e dovoljno malo, tada ćemo procijeniti vjerovatnoću da Xće uzeti vrijednosti prilično bliske svojim matematičkim očekivanjima. P. L. Chebyshev je dokazao nejednakost koja nam omogućava da damo procjenu koja nas zanima.
Čebiševljeva nejednakost. Vjerovatnoća da je odstupanje slučajne varijable X od njenog matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti manje od pozitivnog broja e nije manje od 1-D(X)/e 2 :
R(|X -M(X)|< e ) 1-D(X)/e 2 .
Dokaz. Budući da se događaji koji se sastoje u implementaciji nejednakosti |X-M(X)|
R(|X -M(X)|< e )+ R(|X -M(X)| e)= 1.
Otuda i vjerovatnoća koja nas zanima
R(|X -M(X)|< e )= 1- R(|X -M(X)| e). (*)
Dakle, problem se svodi na izračunavanje vjerovatnoće R(| HM(X)| e).
Napišimo izraz za varijansu slučajne varijable X:
D(X)= [x 1 -M(X)] 2 str 1 + [x 2 -M(X)] 2 str 2 +…+ [x n -M(X)]2pn.
Očigledno, svi članovi ove sume nisu negativni.
Odbacimo one pojmove za koje | x i-M(X)|<e(za preostale uslove | x j-M(X)| e), Kao rezultat toga, iznos se može samo smanjiti. Složimo se da pretpostavimo, radi određenosti, da je k prvi članovi (bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da su u tablici distribucije moguće vrijednosti numerirane upravo ovim redoslijedom). dakle,
D(X) [x k + 1 -M(X)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -M(X)] 2 p k + z + ... +[x n -M(X)] 2 pn.
Imajte na umu da obje strane nejednakosti | x j - M(X)| e (j = k+1, k+ 2, ..., P) pozitivni, pa ih kvadriranjem dobijamo ekvivalentnu nejednakost | x j - M(X)| 2 e 2 Koristimo ovu napomenu i, zamjenjujući svaki od faktora u preostalom zbroju | x j - M(X)| 2 na broju e 2(u ovom slučaju se nejednakost može samo povećati), dobijamo
D(X) e 2 (r k+ 1 + p k + 2 + … + r n). (**)
Prema teoremi sabiranja, zbir vjerovatnoća r k+ 1 + p k + 2 + … + r n postoji mogućnost da Xće uzeti jednu, bez obzira koju, vrijednost x k + 1 , x k+ 2 ,....x p, a za bilo koje od njih odstupanje zadovoljava nejednakost | x j - M(X)| e Iz toga slijedi da iznos r k+ 1 + p k + 2 + … + r n izražava verovatnoću
P(|X - M(X)| e).
Ovo razmatranje nam omogućava da prepišemo nejednakost (**) na sljedeći način:
D(X) e 2 str(|X - M(X)| e),
P(|X - M(X)| e)D(X) /e 2 (***)
Zamjenom (***) u (*) konačno dobivamo
P(|X - M(X)| <e) 1- D(X) /e 2 ,
Q.E.D.
Komentar. Čebiševljeva nejednakost ima ograničen praktični značaj jer često daje grubu i ponekad trivijalnu (bez interesa) procjenu. Na primjer, ako D(X)>e 2 i stoga D(X)/e 2 > 1 pa 1 - D(X)/e 2 < 0; Dakle, u ovom slučaju, Čebiševljeva nejednakost samo ukazuje na to da je vjerovatnoća odstupanja nenegativna, a to je već očigledno, budući da je svaka vjerovatnoća izražena nenegativnim brojem.
Teorijski značaj Čebiševljeve nejednakosti je veoma velik. U nastavku ćemo koristiti ovu nejednakost da izvedemo Čebiševljev teorem.
Čebiševljeva teorema
Čebiševljeva teorema. Ako je X 1 , X 2 ,…, X n, ...-parno nezavisne slučajne varijable, a njihove varijanse su uniformno ograničene(ne prelaze konstantan broj C), onda bez obzira koliko je mali pozitivan broj e, vjerovatnoća nejednakosti
Drugim riječima, pod uslovima teoreme
Dakle, Čebiševljev teorem kaže da ako se uzme u obzir dovoljno veliki broj nezavisnih slučajnih varijabli sa ograničenim varijacijama, onda se događaj može smatrati gotovo pouzdanim, a sastoji se u činjenici da je odstupanje aritmetičke sredine slučajnih varijabli od aritmetičke sredine njihovih matematička očekivanja će biti proizvoljno velika u apsolutnoj vrijednosti mala
Dokaz. Uvedemo u razmatranje novu slučajnu varijablu - aritmetičku sredinu slučajnih varijabli
=(X 1 +X 2 +…+X n)/n.
Nađimo matematičko očekivanje . Koristeći svojstva matematičkog očekivanja (konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja, matematičko očekivanje sume je jednako zbiru matematičkih očekivanja članova), dobijamo
M 
=
. (*)
Primjenjujući Čebiševljevu nejednakost na količinu, imamo
Zamjenom desne strane (***) u nejednakost (**) (zbog čega se ova potonja može samo pojačati) imamo
Odavde, prelazeći na granicu na , dobivamo
Konačno, uzimajući u obzir da vjerovatnoća ne može biti veća od jedan, konačno možemo pisati
Teorema je dokazana.
Iznad, kada smo formulirali Čebiševljev teorem, pretpostavili smo da slučajne varijable imaju različita matematička očekivanja. U praksi se često dešava da slučajne varijable imaju ista matematička očekivanja. Očigledno, ako opet pretpostavimo da su disperzije ovih veličina ograničene, onda će Čebiševljev teorem biti primjenjiv na njih.
Označimo matematičko očekivanje svake od slučajnih varijabli sa A; u slučaju koji se razmatra, aritmetička sredina matematičkih očekivanja, kao što je lako vidjeti, također je jednaka A. Možemo formulisati Čebiševljevu teoremu za konkretan slučaj koji se razmatra.
Ako je X 1 , X 2 , ..., hp...-parno nezavisne slučajne varijable koje imaju isto matematičko očekivanje a, i ako su varijanse ovih varijabli ujednačeno ograničene, onda bez obzira koliko je mali broj e>Oh, vjerovatnoća nejednakosti
će biti onoliko blizu jedinici koliko želite ako je broj slučajnih varijabli dovoljno velik.
Drugim riječima, pod uslovima teoreme postojaće jednakost
Suština Čebiševljeve teoreme
Suština dokazane teoreme je sljedeća: iako pojedinačne nezavisne slučajne varijable mogu uzeti vrijednosti daleko od svojih matematičkih očekivanja, aritmetička sredina dovoljno velikog broja slučajnih varijabli s velikom vjerovatnoćom uzima vrijednosti bliske određenoj konstanti broj, odnosno broj ( M(X 1)+ M(X 2)+...+M(X str))/P(ili na broj A u posebnom slučaju). Drugim riječima, pojedinačne slučajne varijable mogu imati značajno širenje, a njihova aritmetička sredina je raspršena mala.
Dakle, ne može se pouzdano predvidjeti koju će moguću vrijednost uzeti svaka od slučajnih varijabli, ali se može predvidjeti koju će vrijednost imati njihova aritmetička sredina.
dakle, aritmetička sredina dovoljno velikog broja nezavisnih slučajnih varijabli(čije su varijanse ravnomjerno ograničene) gubi karakter slučajne varijable. To se objašnjava činjenicom da odstupanja svake vrijednosti od njenih matematičkih očekivanja mogu biti i pozitivna i negativna, a u aritmetičkoj sredini se međusobno poništavaju.
Čebiševljeva teorema vrijedi ne samo za diskretne, već i za kontinuirane slučajne varijable; slučajno jeste sjajan primjer, potvrđujući valjanost doktrine dijalektičkog materijalizma o povezanosti slučajnosti i nužnosti.
Očekivana vrijednost. Matematičko očekivanje diskretna slučajna varijabla X, uzimajući konačan broj vrijednosti Xi sa vjerovatnoćama Ri, iznos se zove:
Matematičko očekivanje kontinuirana slučajna varijabla X naziva se integral proizvoda njegovih vrijednosti X na gustinu raspodjele vjerovatnoće f(x):
(6b)
Nepravilan integral (6 b) pretpostavlja se da je apsolutno konvergentno (inače kažu da je matematičko očekivanje M(X) ne postoji). Matematičko očekivanje karakteriše prosječna vrijednost slučajna varijabla X. Njegova dimenzija se poklapa sa dimenzijom slučajne varijable.
Svojstva matematičkog očekivanja:
Disperzija. Varijanca slučajna varijabla X broj se zove:
Varijanca je karakteristika raspršivanja vrijednosti slučajne varijable X u odnosu na njegovu prosječnu vrijednost M(X). Dimenzija varijanse jednaka je kvadratu dimenzije slučajne varijable. Na osnovu definicija varijanse (8) i matematičkog očekivanja (5) za diskretnu slučajnu varijablu i (6) za kontinuiranu slučajnu varijablu, dobijamo slične izraze za varijansu:
(9)
Evo m = M(X).
Svojstva disperzije:
Standardna devijacija:
(11)
Pošto je dimenzija prosjeka kvadratna devijacija isto kao i slučajna varijabla, češće se koristi kao mjera disperzije nego varijanse.
Trenuci distribucije. Koncepti matematičkog očekivanja i disperzije su posebni slučajevi više opšti koncept za numeričke karakteristike slučajnih varijabli – momenti distribucije. Trenuci distribucije slučajne varijable su predstavljeni kao matematička očekivanja nekih jednostavnih funkcija slučajne varijable. Dakle, trenutak reda k u odnosu na tačku X 0 se naziva matematičko očekivanje M(X–X 0 )k. Trenuci o poreklu X= 0 se pozivaju početnih trenutaka i označeni su:
(12)
Početni trenutak prvog reda je centar distribucije slučajne varijable koja se razmatra:
(13)
Trenuci o centru distribucije X= m su pozvani centralne tačke i označeni su:
(14)
Iz (7) slijedi da je centralni moment prvog reda uvijek jednak nuli:
Centralni momenti ne ovise o porijeklu vrijednosti slučajne varijable, jer kada se pomaknu za konstantnu vrijednost WITH njegov distributivni centar se pomjera za istu vrijednost WITH, a odstupanje od centra se ne mijenja: X – m = (X – WITH) – (m – WITH).
Sada je to očigledno disperzija- Ovo centralni moment drugog reda:
Asimetrija. Centralni trenutak trećeg reda:
(17)
služi za evaluaciju asimetrije distribucije. Ako je raspodjela simetrična u odnosu na tačku X= m, tada će centralni moment trećeg reda biti jednak nuli (kao i svi centralni momenti neparnih redova). Stoga, ako je centralni moment trećeg reda različit od nule, tada raspodjela ne može biti simetrična. Veličina asimetrije se procjenjuje pomoću bezdimenzionalnog koeficijent asimetrije:
(18)
Znak koeficijenta asimetrije (18) ukazuje na desnu ili lijevu asimetriju (slika 2).
Rice. 2. Vrste asimetrije distribucije.
Višak. Centralni trenutak četvrtog reda:
(19)
služi za evaluaciju tzv višak, koji određuje stepen strmine (vršnosti) krivulje distribucije blizu centra distribucije u odnosu na krivu normalne distribucije. Budući da je za normalnu distribuciju vrijednost uzeta kao eksces je:
(20)
Na sl. Slika 3 prikazuje primjere krivulja distribucije s različitim vrijednostima ekscesa. Za normalnu distribuciju E= 0. Krive koje su šiljatije nego normalne imaju pozitivnu ekscesiju, one sa ravnijim vrhom imaju negativnu ekscesiju.
Rice. 3. Krive distribucije sa različitim stepenima hladnoća (višak).
Momenti višeg reda u inženjerskim aplikacijama matematičke statistike obično se ne koristi.
Moda
diskretno slučajna varijabla je njena najvjerovatnija vrijednost. Moda kontinuirano slučajna varijabla je njena vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna (slika 2). Ako kriva distribucije ima jedan maksimum, onda se distribucija zove unimodalni. Ako kriva distribucije ima više od jednog maksimuma, tada se distribucija poziva multimodalni. Ponekad postoje distribucije čije krive imaju minimum, a ne maksimum. Takve distribucije se nazivaju antimodal. IN opšti slučaj mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U posebnom slučaju, za modalni, tj. imaju mod, simetričnu distribuciju i pod uslovom da postoji matematičko očekivanje, potonje se poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.
Medijan slučajna varijabla X- ovo je njegovo značenje Meh, za koje vrijedi jednakost: tj. jednako je vjerovatno da je slučajna varijabla X biće manje ili više Meh. Geometrijski medijana je apscisa tačke u kojoj je površina ispod krivulje raspodjele podijeljena na pola (slika 2). U slučaju simetrične modalne distribucije, medijan, mod i matematičko očekivanje su isti.
