Kao i kod problema pronalaženja područja, potrebne su vam samopouzdane vještine crtanja - to je gotovo najvažnija stvar (budući da će sami integrali često biti laki). Možete savladati kompetentne i brze tehnike crtanja nastavni materijali i Geometrijske transformacije grafova. Ali, zapravo, o važnosti crteža sam već govorio nekoliko puta na času.
Općenito, postoji mnogo zanimljivih aplikacija u integralnom računu, koristeći definitivni integral možete izračunati površinu figure, volumen tijela okretanja, dužinu luka, površinu okretanja i još mnogo toga. Tako da će biti zabavno, budite optimistični!
Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravni. Uvedeni? ... Pitam se ko je šta predstavio... =))) Već smo našli njegovu oblast. Ali, osim toga, ova figura se također može rotirati i rotirati na dva načina:
– oko ose apscise;
– oko ose ordinata.
Ovaj članak će ispitati oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najviše poteškoća, ali je u stvari rješenje gotovo isto kao i kod češćih rotacija oko x-ose. Kao bonus na koji ću se vratiti problem nalaženja površine figure, a ja ću vam reći kako pronaći područje na drugi način - duž ose. To nije toliko bonus koliko se materijal dobro uklapa u temu.
Počnimo s najpopularnijim tipom rotacije.
ravna figura oko ose
Primjer 1
Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom figure, ograničena linijama, oko ose.
Rješenje: Kao iu problemu pronalaženja površine, rješenje počinje crtežom ravna figura . Odnosno, na ravnini je potrebno konstruirati lik ograničen linijama, i ne zaboravite da jednadžba određuje os. Kako efikasnije i brže dovršiti crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija I Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Ovo je kineski podsjetnik, i dalje u ovom momentu Ne stajem više.
Crtež ovdje je prilično jednostavan:
Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, to je ona koja se rotira oko ose, a rezultat rotacije je blago jajolik leteći tanjir koji je simetričan oko ose. U stvari, tijelo ima matematičko ime, ali ja sam previše lijen da razjasnim bilo šta u priručniku, pa idemo dalje.
Kako izračunati zapreminu tijela okretanja?
Zapremina tijela okretanja može se izračunati pomoću formule:
U formuli, broj mora biti prisutan prije integrala. Tako se i dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je sa ovom konstantom.
Mislim da je lako pogoditi kako postaviti granice integracije “a” i “be” iz završenog crteža.
Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena grafikom parabole na vrhu. Ovo je funkcija koja se podrazumijeva u formuli.
U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod ose. Ovo ništa ne mijenja - integrand u formuli je na kvadrat: , dakle integral je uvek nenegativan, što je vrlo logično.
Izračunajmo zapreminu tijela okretanja koristeći ovu formulu:
Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokaže jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.
Odgovori: 
U svom odgovoru morate navesti dimenziju - kubične jedinice. To jest, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 „kockica“. Zašto kubni jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Moglo bi biti kubnih centimetara, moglo bi biti kubnih metara, moglo bi biti kubnih kilometara itd., toliko zelenih ljudi vaša mašta može staviti u leteći tanjir.
Primjer 2
Pronađite zapreminu tela, formirana rotacijom oko ose figure, ograničena linijama , ,
Ovo je primjer za nezavisna odluka. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.
Primjer 3
Izračunajte volumen tijela dobivenog rotacijom oko ose apscise figure ograničene linijama , , i
Rješenje: Hajde da na crtežu prikažemo ravnu figuru ograničenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednačina definira os:
Željena figura je osenčena plavom bojom. Kada se rotira oko svoje ose, ispada nadrealna krofna sa četiri ugla.
Izračunajmo zapreminu tijela okretanja kao razlika u zapremini tela.
Prvo, pogledajmo lik zaokružen crvenom bojom. Kada se rotira oko ose, dobija se skraćeni konus. Označimo volumen ovog skraćenog konusa sa .
Razmotrite figuru koja je zaokružena zeleno. Ako zarotirate ovu figuru oko ose, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manji. Označimo njen volumen sa .
I, očigledno, razlika u zapremini je upravo zapremina naše „krofne“.
Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja: 
1) Lik zaokružen crvenom bojom je odozgo omeđen pravom linijom, dakle:
2) Figura zaokružena zelenom bojom je odozgo omeđena pravom linijom, dakle:
3) Volumen željenog tijela okretanja: 
Odgovori: 
Zanimljivo je da u u ovom slučaju rješenje se može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg konusa.
Sama odluka je često napisana kraće, otprilike ovako: 
Sada se malo odmorimo i pričamo o geometrijskim iluzijama.
Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je primijetio Perelman (drugi) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je mala po površini, a zapremina tijela okretanja je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječan čovjek u svom životu popije ekvivalent prostoriji od 18 kvadratnih metara tečnosti, što se, naprotiv, čini premalim volumenom.
Generalno, obrazovni sistem u SSSR-u je bio zaista najbolji. Ista Perelmanova knjiga, objavljena davne 1950. godine, veoma dobro razvija, kako reče humorista, razumevanje i uči vas da tražite original nestandardna rješenja probleme. Nedavno sam sa velikim zanimanjem ponovo pročitala neka poglavlja, preporučujem, dostupna je čak i humanistima. Ne, ne treba da se smiješ što sam ponudio slobodno vrijeme, erudicija i široki horizonti u komunikaciji su odlična stvar.
Nakon lirske digresije, prikladno je riješiti kreativni zadatak:
Primjer 4
Izračunajte volumen tijela formiranog rotacijom oko ose ravne figure ograničene linijama , , gdje je .
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Imajte na umu da se svi slučajevi javljaju u opsegu, drugim riječima, gotova ograničenja integracije su zapravo data. Ispravno nacrtajte grafikone trigonometrijske funkcije, da vas podsjetim na materijal za lekciju o geometrijske transformacije grafova: ako je argument podijeljen sa dva: , tada se grafovi dvaput razvlače duž ose. Preporučljivo je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama da tačnije završite crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Inače, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.
Proračun volumena tijela nastalog rotacijom
ravna figura oko ose
Drugi pasus će biti još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja volumena tijela okretanja oko ordinatne ose također je prilično čest gost u testovi. Usput će se razmotriti problem nalaženja površine figure druga metoda je integracija duž ose, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas naučiti da pronađete put do najisplativijeg rješenja. U tome ima i praktičnog životnog smisla! Kako se sa osmehom prisećala moja profesorica metodike matematike, mnogi maturanti su joj se zahvalili rečima: „Vaš predmet nam je mnogo pomogao, sada smo efikasni menadžeri i optimalno upravljamo kadrovima“. I ovom prilikom izražavam joj veliku zahvalnost, pogotovo što stečeno znanje koristim za koju nam je namjeru =).
Preporučujem ga svima, čak i potpunim lutkama. Štaviše, materijal naučen u drugom paragrafu pružiće neprocenjivu pomoć u izračunavanju dvostrukih integrala.
Primjer 5
S obzirom na stan lik omeđen linijama , , .
1) Pronađite površinu ravne figure ograničenu ovim linijama.
2) Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.
Pažnja!Čak i ako želite da pročitate samo drugu tačku, prvu Neophodno procitaj prvu!
Rješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.
1) Napravimo crtež:
Lako je vidjeti da funkcija specificira gornju granu parabole, a funkcija donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na svojoj strani".
Željena figura, čija se površina može pronaći, zasjenjena je plavom bojom.
Kako pronaći površinu figure? Može se naći na „uobičajeni“ način, o čemu se razgovaralo na času Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Štaviše, površina figure se nalazi kao zbir površina:
- na segmentu 
;
- na segmentu.
Zbog toga:
Zašto je uobičajeno rješenje loše u ovom slučaju? Prvo, dobili smo dva integrala. Drugo, integrali su korijeni, a korijeni u integralima nisu dar, a osim toga, možete se zbuniti u zamjeni granica integracije. U stvari, integrali, naravno, nisu ubojiti, ali u praksi sve može biti mnogo tužnije, samo sam odabrao “bolje” funkcije za problem.
Postoji racionalnije rješenje: sastoji se od prebacivanja na inverzne funkcije i integracije duž ose.
Kako doći do inverznih funkcija? Grubo govoreći, trebate izraziti “x” kroz “y”. Prvo, pogledajmo parabolu:
Ovo je dovoljno, ali budimo sigurni da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:
Lakše je sa ravnom linijom:
Sada pogledajte osu: povremeno nagnite glavu udesno za 90 stepeni dok objašnjavate (ovo nije šala!). Figura koja nam je potrebna leži na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. U ovom slučaju, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da se područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: 
. Šta se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.
! Bilješka: Treba postaviti granice integracije duž ose striktno odozdo prema gore!
Pronalaženje područja:
U segmentu, dakle: 
Obratite pažnju na to kako sam izvršio integraciju, ovo je najracionalniji način, a u sljedećem pasusu zadatka bit će jasno zašto.
Za čitaoce koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate: 
Dobijena je originalna integrand funkcija, što znači da je integracija izvršena ispravno.
Odgovori:
2) Izračunajmo volumen tijela nastalog rotacijom ove figure oko ose.
Ponovo ću nacrtati crtež u malo drugačijem dizajnu:
Dakle, lik osjenčan plavom bojom rotira oko ose. Rezultat je "lebdeći leptir" koji rotira oko svoje ose.
Da bismo pronašli zapreminu tela rotacije, integrisaćemo duž ose. Prvo trebamo prijeći na inverzne funkcije. Ovo je već urađeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.
Sada ponovo naginjemo glavu udesno i proučavamo našu figuru. Očigledno, zapreminu tela rotacije treba naći kao razliku u zapreminama.
Rotiramo lik zaokružen crvenom bojom oko ose, što rezultira skraćenim konusom. Označimo ovaj volumen sa .
Rotiramo lik zaokružen zelenom bojom oko ose i označavamo ga volumenom rezultirajućeg tijela rotacije.
Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.
Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja: 
Koja je razlika u odnosu na formulu iz prethodnog paragrafa? Samo u pismu.
Ali prednost integracije, o kojoj sam nedavno govorio, mnogo je lakše pronaći 
, umjesto da prvo podignemo integrand na 4. stepen.
Odgovori: 
Međutim, ne bolesni leptir.
Imajte na umu da ako se ista ravna figura rotira oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije, s drugačijim volumenom, prirodno.
Primjer 6
Zadana je ravna figura omeđena linijama i osom.
1) Idite na inverzne funkcije i pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama integracijom preko varijable.
2) Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Zainteresovani mogu pronaći i površinu figure na „uobičajeni“ način, provjeravajući pritom tačku 1). Ali ako, ponavljam, rotirate ravnu figuru oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije s drugačijim volumenom, usput, tačan odgovor (također za one koji vole rješavati probleme).
Kompletno rješenje za dvije predložene tačke zadatka nalazi se na kraju lekcije.
Da, i ne zaboravite nagnuti glavu udesno da biste razumjeli tijela rotacije i granice integracije!
Vrsta lekcije: kombinovana.
Svrha lekcije: naučiti izračunavati zapremine tijela okretanja koristeći integrale.
Zadaci:
- konsolidirati sposobnost prepoznavanja krivolinijskih trapeza iz niza geometrijskih figura i razviti vještinu izračunavanja površina krivolinijskih trapeza;
- upoznati koncept trodimenzionalne figure;
- naučiti izračunati zapremine tijela rotacije;
- promicati razvoj logičkog mišljenja, kompetentnog matematičkog govora, tačnosti pri konstruiranju crteža;
- gajiti interesovanje za predmet, u radu sa matematičkim pojmovima i slikama, negovati volju, samostalnost i istrajnost u postizanju konačnog rezultata.
Tokom nastave
I. Organizacioni momenat.
Pozdrav iz grupe. Saopštiti učenicima ciljeve časa.
Refleksija. Mirna melodija.
– Želio bih da počnem današnji čas prispodobom. “Živeo jednom davno jedan mudar čovek koji je sve znao. Jedan čovek je hteo da dokaže da mudrac ne zna sve. Držeći leptira u dlanovima, upitao je: "Reci mi, mudrače, koji je leptir u mojim rukama: mrtav ili živ?" I sam misli: "Ako živi kaže, ubiću je, mrtvi će reći, pustiću je." Mudrac je, nakon što je razmislio, odgovorio: "Sve u tvojim rukama". (Prezentacija.Slajd)
– Zato, hajde da danas plodonosno radimo, steknemo nove zalihe znanja, a stečene veštine i sposobnosti primenićemo u budućem životu i praktičnim aktivnostima. "Sve u tvojim rukama".
II. Ponavljanje prethodno proučenog materijala.
– Prisjetimo se glavnih tačaka prethodno proučenog materijala. Da bismo to učinili, izvršimo zadatak “Isključi suvišna reč”. (Slajd.)
(Učenik ide u ID koristi gumicu da ukloni suvišnu riječ.)
- Dobro "Diferencijal". Pokušajte imenovati preostale riječi kao jednu uopšteno govoreći. (Integralni račun.)
– Prisjetimo se glavnih faza i koncepata povezanih s integralnim računom..
“Matematička grupa”.
Vježbajte. Popravite praznine. (Učenik izlazi i olovkom upisuje tražene riječi.)
– Kasnije ćemo čuti sažetak o primjeni integrala.
Rad u sveskama.
– Njutn-Lajbnicovu formulu su izveli engleski fizičar Isak Njutn (1643–1727) i nemački filozof Gotfrid Lajbnic (1646–1716). I to nije iznenađujuće, jer matematika je jezik kojim govori sama priroda.
– Razmotrimo kako prilikom rješavanja praktični zadaci koristi se ova formula.
Primjer 1: Izračunajte površinu figure ograničene linijama
Rješenje: Napravimo grafove funkcija na koordinatnoj ravni . Odaberimo područje figure koje treba pronaći.
III. Učenje novog gradiva.
– Obratite pažnju na ekran. Šta je prikazano na prvoj slici? (Slajd) (Slika prikazuje ravnu figuru.)
– Šta je prikazano na drugoj slici? Je li ova figura ravna? (Slajd) (Slika prikazuje trodimenzionalnu figuru.)
– U svemiru, na zemlji i unutra Svakodnevni život Ne susrećemo se samo s ravnim figurama, već i sa trodimenzionalnim, ali kako možemo izračunati zapreminu takvih tijela? Na primjer, zapremina planete, komete, meteorita itd.
– Ljudi razmišljaju o zapremini i pri gradnji kuća i pri prelivanju vode iz jedne posude u drugu. Morala su se pojaviti pravila i tehnike za izračunavanje zapremine, a koliko su tačne i razumne, to je druga stvar.
Poruka od studenta. (Tjurina Vera.)
Godina 1612. bila je vrlo plodna za stanovnike austrijskog grada Linca, gdje je živio poznati astronom Johannes Kepler, posebno za grožđe. Ljudi su pripremali vinske bačve i željeli su znati kako praktično odrediti njihovu količinu. (Slajd 2)
– Tako su razmatrani Keplerovi radovi postavili temelj za čitav niz istraživanja koji je kulminirao u poslednjoj četvrtini 17. veka. dizajn u djelima I. Newtona i G.V. Leibniz diferencijalnog i integralnog računa. Od tog vremena matematika varijabli zauzima vodeće mjesto u sistemu matematičkog znanja.
– Danas ćemo se ti i ja baviti takvim praktičnim aktivnostima, dakle,
Tema naše lekcije: "Izračunavanje volumena tijela rotacije pomoću određenog integrala." (Slajd)
– Naučićete definiciju tela revolucije popunjavanjem sljedeći zadatak.
“Labirint”.
labirint ( grčka riječ) znači odlazak u tamnicu. Labirint je složena mreža staza, prolaza i međusobno povezanih prostorija.
Ali definicija je bila "polomljena", ostavljajući naznake u obliku strelica.
Vježbajte. Pronađite izlaz iz zbunjujuće situacije i zapišite definiciju.
Slajd. “Uputa za mapu” Izračun volumena.
Koristeći određeni integral, možete izračunati volumen određenog tijela, posebno tijela rotacije.
Revoluciono telo je telo dobijeno rotacijom zakrivljenog trapeza oko svoje osnove (sl. 1, 2)
Volumen tijela rotacije izračunava se pomoću jedne od formula:
1.
oko ose OX.
2. 
, ako je rotacija zakrivljenog trapeza oko ose op-amp.
Svaki učenik dobija instrukciju. Nastavnik naglašava glavne tačke.
– Nastavnik objašnjava rješenja primjera na tabli.
Razmotrite odlomak iz poznata bajka A. S. Puškin „Priča o caru Saltanu, o njegovom slavnom i moćnom heroju princu Gvidonu Saltanoviču i o prelepoj princezi Labud” (Slajd 4):
…..
I pijani glasnik je doveo
Istog dana redosled je sledeći:
„Kralj naređuje svojim bojarima,
bez gubljenja vremena,
I kraljica i potomstvo
Tajno baciti u ponor vode.”
Nema šta da se radi: bojari,
Brine se za suverena
I mladoj kraljici,
Gomila je došla u njenu spavaću sobu.
Izjavili su kraljevu volju -
Ona i njen sin imaju zao udio,
Pročitali smo dekret naglas,
I kraljica u isti čas
Stavili su me u bure sa sinom,
Namazali su katranom i odvezli se
I pustili su me u okiyan -
Tako je naredio car Saltan.
Kolika bi trebala biti zapremina bureta da kraljica i njen sin mogu stati u njega?
– Razmotrite sljedeće zadatke
1. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ordinatne ose krivolinijskog trapeza omeđenog linijama: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Odgovor: 1163 cm 3 .
Odredite zapreminu tela dobijenu rotacijom paraboličnog trapeza oko ose apscise y = , x = 4, y = 0.
IV. Konsolidacija novog materijala
Primjer 2. Izračunajte volumen tijela nastalog rotacijom latice oko x-ose y = x 2 , y 2 = x.
Napravimo grafove funkcije. y = x 2 , y 2 = x. Raspored y2 = x pretvoriti u formu y= .
Imamo V = V 1 – V 2 Izračunajmo volumen svake funkcije
– Pogledajmo sada toranj za radio stanicu u Moskvi na Šabolovki, izgrađen po projektu izuzetnog ruskog inženjera, počasnog akademika V. G. Šuhova. Sastoji se od dijelova - hiperboloida rotacije. Štaviše, svaki od njih je napravljen od ravnih metalnih šipki koje povezuju susjedne krugove (sl. 8, 9).
- Hajde da razmotrimo problem.
Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom luka hiperbole 
oko svoje imaginarne ose, kao što je prikazano na sl. 8, gde
kocka jedinice
Grupni zadaci. Učenici žrebaju sa zadacima, crtaju crteže na whatman papiru, a jedan od predstavnika grupe brani rad.
1. grupa.
Hit! Hit! Još jedan udarac!
Lopta leti u gol - LOPTA!
A ovo je kuglica od lubenice
Zeleno, okruglo, ukusno.
Pogledajte bolje - kakva lopta!
Napravljena je samo od krugova.
Narežite lubenicu na krugove
I probajte ih.
Odrediti volumen tijela dobiven rotacijom oko ose OX ograničene funkcije
Greška! Oznaka nije definirana.
– Recite mi, molim vas, gde se srećemo sa ovom figurom?
Kuća. zadatak za 1 grupu. CILINDAR (slajd) .
"Cilindar - šta je to?" – pitala sam tatu.
Otac se nasmijao: Cilindar je šešir.
Da imate ispravnu ideju,
Cilindar je, recimo, konzerva.
Cijev za parobrod - cilindar,
I cijev na našem krovu,
Sve cijevi su slične cilindru.
I dao sam jedan ovakav primjer -
Kaleidoskop Moja ljubav,
Ne možeš skinuti pogled sa njega,
I takođe izgleda kao cilindar.
- Vežbaj. Zadaća grafički prikazati funkciju i izračunati volumen.
2. grupa. KORNET (slajd).
Mama je rekla: A sada
Moja priča će biti o konusu.
Stargazer u visokom šeširu
Broji zvijezde tokom cijele godine.
CONE - šešir zvijezda.
Takav je on. Razumijete? To je to.
Mama je stajala za stolom,
Sipao sam ulje u flaše.
-Gdje je lijevak? Nema lijevaka.
Potraži ga. Nemojte stajati po strani.
- Mama, neću popustiti.
Recite nam više o konusu.
– Lijevak je u obliku konusa kante za zalijevanje.
Hajde, nađi mi je brzo.
Nisam mogao naći lijevak
Ali mama je napravila torbu,
Obmotao sam karton oko prsta
I vješto ga pričvrstila spajalicom.
Ulje teče, mama je srećna,
Konus je izašao baš kako treba.
Vježbajte. Izračunajte zapreminu tela dobijenog rotacijom oko ose apscise
Kuća. zadatak za 2. grupu. PIRAMIDA(slajd).
Video sam sliku. Na ovoj slici
U pješčanoj pustinji nalazi se PIRAMIDA.
Sve u piramidi je izvanredno,
U tome postoji neka vrsta misterije i misterije.
I Spaska kula na Crvenom trgu
Vrlo je poznat i djeci i odraslima.
Ako pogledate kulu, izgleda obično,
Šta je na tome? Piramida!
Vježbajte. Domaća zadaća: grafički prikazati funkciju i izračunati volumen piramide
– Zapremine različitih tijela izračunali smo na osnovu osnovne formule za zapremine tijela pomoću integrala.
Ovo je još jedna potvrda da je definitivni integral neka osnova za proučavanje matematike.
- Pa, hajde da se odmorimo malo.
Nađi par.
Matematička domino melodija svira.
"Put koji sam i sam tražio nikada neće biti zaboravljen..."
Istraživački rad. Primjena integrala u ekonomiji i tehnologiji.
Testovi za jake učenike i matematički fudbal.
Matematički simulator.
2. Poziva se skup svih antiderivata date funkcije
B) funkcija,
B) diferencijacija.
7. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ose apscise krivolinijskog trapeza omeđenog linijama:
D/Z. Izračunajte zapremine tijela okretanja.
Refleksija.
Prijem refleksije u obliku syncwine(pet redova).
1. red – naziv teme (jedna imenica).
2. red – opis teme u dvije riječi, dva pridjeva.
3. red – opis radnje u okviru ove teme u tri riječi.
Četvrti red je fraza od četiri riječi, koja pokazuje stav prema temi (cijela rečenica).
5. red je sinonim koji ponavlja suštinu teme.
- Volume.
- Definitivni integral, integrabilna funkcija.
- Gradimo, rotiramo, računamo.
- Tijelo dobiveno rotacijom zakrivljenog trapeza (oko njegove baze).
- Tijelo rotacije (volumetrijsko geometrijsko tijelo).
Zaključak (slajd).
- Određeni integral je određena osnova za proučavanje matematike, koja daje nezamjenjiv doprinos rješavanju praktičnih problema.
- Tema „Integral“ jasno pokazuje vezu između matematike i fizike, biologije, ekonomije i tehnologije.
- Razvoj moderna nauka je nezamislivo bez korištenja integrala. S tim u vezi, potrebno je započeti njegovo proučavanje u okviru srednjeg stručnog obrazovanja!
Ocjenjivanje. (Sa komentarom.)
Great Lobster Khayyam je matematičar, pjesnik, filozof. On nas ohrabruje da budemo gospodari svoje sudbine. Poslušajmo odlomak iz njegovog rada:
Reći ćete, ovaj život je jedan trenutak.
Cijenite to, crpite inspiraciju iz toga.
Kako ga potrošiš, tako će i proći.
Ne zaboravite: ona je vaša kreacija.
Tema: “Izračunavanje zapremine obrtnih tijela pomoću određenog integrala”
Vrsta lekcije: kombinovano.
Svrha lekcije: naučiti izračunavati zapremine tijela okretanja koristeći integrale.
Zadaci:
konsolidirati sposobnost identifikacije zakrivljenih trapeza iz serije geometrijski oblici i uvježbati vještinu izračunavanja površina krivolinijskih trapeza;
upoznati koncept trodimenzionalne figure;
naučiti izračunati zapremine tijela rotacije;
promicati razvoj logičkog mišljenja, kompetentnog matematičkog govora, tačnosti pri konstruiranju crteža;
gajiti interesovanje za predmet, u radu sa matematičkim pojmovima i slikama, negovati volju, samostalnost i istrajnost u postizanju konačnog rezultata.
Tokom nastave
I. Organizacioni momenat.
Pozdrav iz grupe. Saopštiti učenicima ciljeve časa.
Želio bih da počnem današnju lekciju prispodobom. “Živeo jednom davno jedan mudar čovek koji je sve znao. Jedan čovek je hteo da dokaže da mudrac ne zna sve. Držeći leptira u dlanovima, upitao je: "Reci mi, mudrače, koji je leptir u mojim rukama: mrtav ili živ?" I misli: "Ako živi kaže, ubiću je, ako mrtvi kaže, pustiću je." Mudrac je, nakon što je razmislio, odgovorio: "Sve je u tvojim rukama."
Zato, hajde da danas plodonosno radimo, steknemo novu zalihu znanja, a stečene veštine i sposobnosti primenićemo u budućem životu i praktičnim aktivnostima.“Sve je u vašim rukama.”
II. Ponavljanje prethodno proučenog materijala.
Prisjetimo se glavnih tačaka prethodno proučavanog materijala. Da bismo to učinili, izvršimo zadatak "Uklonimo suvišnu riječ".
(Učenici kažu dodatnu riječ.)
U redu "Diferencijal". Pokušajte imenovati preostale riječi jednom zajedničkom riječju. (Integralni račun.)
Prisjetimo se glavnih faza i koncepata povezanih s integralnim računom.
Vježbajte. Popravite praznine. (Učenik izlazi i markerom upisuje tražene riječi.)
Rad u sveskama.
Newton-Leibnizovu formulu su izveli engleski fizičar Isaac Newton (1643-1727) i njemački filozof Gottfried Leibniz (1646-1716). I to nije iznenađujuće, jer matematika je jezik kojim govori sama priroda.
Razmotrimo kako se ova formula koristi za rješavanje praktičnih problema.
Primjer 1: Izračunajte površinu figure ograničene linijama 
Rješenje: Napravimo grafove funkcija na koordinatnoj ravni . Odaberimo područje figure koje treba pronaći.
III. Učenje novog gradiva.
Obratite pažnju na ekran. Šta je prikazano na prvoj slici? (Slika prikazuje ravnu figuru.)
Šta je prikazano na drugoj slici? Je li ova figura ravna? (Slika prikazuje trodimenzionalnu figuru.)
U svemiru, na zemlji iu svakodnevnom životu susrećemo se ne samo s ravnim figurama, već i sa trodimenzionalnim, ali kako izračunati zapreminu takvih tijela? Na primjer: zapremina planete, komete, meteorita itd.
Ljudi razmišljaju o zapremini i kada grade kuće i kada prelivaju vodu iz jedne posude u drugu. Morala su se pojaviti pravila i tehnike za izračunavanje zapremine, a koliko su tačne i opravdane je druga stvar.
Godina 1612. bila je vrlo plodna za stanovnike austrijskog grada Linca, gdje je živio poznati astronom Johannes Kepler, posebno za grožđe. Ljudi su pripremali vinske bačve i željeli su znati kako praktično odrediti njihovu količinu.
Tako su razmatrani Keplerovi radovi označili početak čitavog toka istraživanja koji je kulminirao u posljednjoj četvrtini 17. vijeka. dizajn u djelima I. Newtona i G.V. Leibniz diferencijalnog i integralnog računa. Od tog vremena matematika varijabli zauzima vodeće mjesto u sistemu matematičkog znanja.
Danas ćemo se ti i ja uključiti u takve praktične aktivnosti, stoga,
Tema naše lekcije: "Izračunavanje volumena tijela rotacije pomoću određenog integrala."
Naučit ćete definiciju tijela revolucije ispunjavanjem sljedećeg zadatka.
“Labirint”.
Vježbajte. Pronađite izlaz iz zbunjujuće situacije i zapišite definiciju.
IVProračun volumena.
Koristeći određeni integral, možete izračunati volumen određenog tijela, posebno tijela rotacije.
Revoluciono telo je telo dobijeno rotacijom zakrivljenog trapeza oko svoje osnove (sl. 1, 2)
Zapremina tijela okretanja izračunava se pomoću jedne od formula:
1.
oko ose OX.
2. 
, ako je rotacija zakrivljenog trapeza oko ose op-amp.
Učenici zapisuju osnovne formule u svesku.
Nastavnik objašnjava rješenja primjera na tabli.
1. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ordinatne ose krivolinijskog trapeza omeđenog linijama: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Rješenje.
Odgovor: 1163 cm3.
2. Pronađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom paraboličnog trapeza oko x-ose y = , x = 4, y = 0.
Rješenje.
V. Matematički simulator.
2. Poziva se skup svih antiderivata date funkcije
A) neodređeni integral,
B) funkcija,
B) diferencijacija.
7. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ose apscise krivolinijskog trapeza omeđenog linijama:
D/Z. Konsolidacija novog materijala
Izračunajte volumen tijela nastalog rotacijom latice oko x-ose y = x2, y2 = x.
Napravimo grafove funkcije. y = x2, y2 = x. Transformirajmo graf y2 = x u oblik y = .
Imamo V = V1 - V2 Izračunajmo volumen svake funkcije:
Zaključak:
Definitivni integral je određena osnova za proučavanje matematike, koja daje nezamjenjiv doprinos rješavanju praktičnih problema.
Tema „Integral“ jasno pokazuje vezu između matematike i fizike, biologije, ekonomije i tehnologije.
Razvoj moderne nauke nezamisliv je bez upotrebe integrala. S tim u vezi, potrebno je početi proučavati u okvirima prosjeka specijalno obrazovanje!
VI. Ocjenjivanje.(Sa komentarom.)
Veliki Omar Khayyam - matematičar, pjesnik, filozof. On nas ohrabruje da budemo gospodari svoje sudbine. Poslušajmo odlomak iz njegovog rada:
Kažete, ovaj život je jedan trenutak.
Cijenite to, crpite inspiraciju iz toga.
Kako ga potrošiš, tako će i proći.
Ne zaboravite: ona je vaša kreacija.
ravna figura oko ose
Primjer 3
S obzirom na stan lik omeđen linijama , , .
1) Pronađite površinu ravne figure ograničenu ovim linijama.
2) Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.
Pažnja!Čak i ako želite da pročitate samo drugu tačku, prvu Neophodno procitaj prvu!
Rješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.
1) Napravimo crtež:
Lako je vidjeti da funkcija specificira gornju granu parabole, a funkcija donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na svojoj strani".
Željena figura, čija se površina može pronaći, zasjenjena je plavom bojom.
Kako pronaći površinu figure? Može se naći na „normalan“ način. Štaviše, površina figure se nalazi kao zbir površina:
- na segmentu 
;
- na segmentu.
Zbog toga:
Postoji racionalnije rješenje: sastoji se od prebacivanja na inverzne funkcije i integracije duž ose.
Kako doći do inverznih funkcija? Grubo govoreći, trebate izraziti “x” kroz “y”. Prvo, pogledajmo parabolu:
Ovo je dovoljno, ali budimo sigurni da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:
Lakše je sa ravnom linijom:
Sada pogledajte osu: povremeno nagnite glavu udesno za 90 stepeni dok objašnjavate (ovo nije šala!). Figura koja nam je potrebna leži na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. U ovom slučaju, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da se područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: 
. Šta se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.
! Bilješka : Granice integracije osovine treba postavitistriktno odozdo prema gore !
Pronalaženje područja:
U segmentu, dakle:
Obratite pažnju na to kako sam izvršio integraciju, ovo je najracionalniji način, a u sljedećem pasusu zadatka bit će jasno zašto.
Za čitaoce koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:
Dobijena je originalna integrand funkcija, što znači da je integracija izvršena ispravno.
Odgovori:
2) Izračunajmo volumen tijela nastalog rotacijom ove figure oko ose.
Ponovo ću nacrtati crtež u malo drugačijem dizajnu:
Dakle, lik osjenčan plavom bojom rotira oko ose. Rezultat je "lebdeći leptir" koji rotira oko svoje ose.
Da bismo pronašli zapreminu tela rotacije, integrisaćemo duž ose. Prvo trebamo prijeći na inverzne funkcije. Ovo je već urađeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.
Sada ponovo naginjemo glavu udesno i proučavamo našu figuru. Očigledno, zapreminu tela rotacije treba naći kao razliku u zapreminama.
Rotiramo lik zaokružen crvenom bojom oko ose, što rezultira skraćenim konusom. Označimo ovaj volumen sa .
Rotiramo lik zaokružen zelenom bojom oko ose i označavamo ga volumenom rezultirajućeg tijela rotacije.
Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.
Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja: 
Koja je razlika u odnosu na formulu iz prethodnog paragrafa? Samo u pismu.
Ali prednost integracije, o kojoj sam nedavno govorio, mnogo je lakše pronaći 
, umjesto da prvo podignemo integrand na 4. stepen.
Odgovori: 
Imajte na umu da ako se ista ravna figura rotira oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije, s drugačijim volumenom, prirodno.
Primjer 7
Izračunajte volumen tijela formiranog rotacijom oko ose figure ograničene krivuljama i .
Rješenje: Napravimo crtež:
Usput se upoznajemo sa grafovima nekih drugih funkcija. Ovo je zanimljiv grafikon ravnomjerna funkcija ….
Za pronalaženje zapremine obrtnog tela dovoljno je koristiti desnu polovinu figure koju sam zasenčio plavom bojom. Obje funkcije su parne, njihovi grafovi su simetrični u odnosu na os, a naš lik je simetričan. Ovako zasjenjeno desni deo, rotirajući oko ose, sigurno će se poklopiti sa lijevim nešrafiranim dijelom.
Kako izračunati zapreminu tijela okretanja koristeći definitivni integral?
Osim toga pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala najvažnija primjena teme je izračunavanje zapremine tela obrtanja. Materijal je jednostavan, ali čitalac mora biti spreman: morate biti u stanju riješiti neodređeni integrali srednje složenosti i primijeniti Newton-Leibniz formulu u definitivni integral . Kao i kod problema pronalaženja područja, potrebne su vam samopouzdane vještine crtanja - to je gotovo najvažnija stvar (budući da će sami integrali često biti laki). Možete savladati kompetentne i brze tehnike crtanja uz pomoć metodičkog materijala . Ali, zapravo, o važnosti crteža sam već govorio nekoliko puta na času. .
Općenito, postoji mnogo zanimljivih aplikacija u integralnom računu; pomoću određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, dužinu luka, površinu tijelo i još mnogo toga. Tako da će biti zabavno, budite optimistični!
Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravni. Uvedeni? ... Pitam se ko je šta predstavio... =))) Već smo našli njegovu oblast. Ali, osim toga, ova figura se također može rotirati i rotirati na dva načina:
– oko x-ose; – oko ose ordinata.
Ovaj članak će ispitati oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najviše poteškoća, ali je u stvari rješenje gotovo isto kao i kod češćih rotacija oko x-ose. Kao bonus na koji ću se vratiti problem nalaženja površine figure , a ja ću vam reći kako pronaći područje na drugi način - duž ose. To nije toliko bonus koliko se materijal dobro uklapa u temu.
Počnimo s najpopularnijim tipom rotacije.
Primjer 1
Izračunajte volumen tijela koji se dobije rotacijom figure ograničene linijama oko ose.
Rješenje: Kao iu problemu pronalaženja područja, rješenje počinje crtanjem ravne figure. Odnosno, na ravni je potrebno konstruirati lik ograničen linijama, a ne zaboravite da jednačina definira os. Kako efikasnije i brže dovršiti crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija I Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure . Ovo je kineski podsjetnik i na ovom mjestu neću se dalje zadržavati.
Crtež ovdje je prilično jednostavan:
Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom; to je ona koja se rotira oko ose. Kao rezultat rotacije, rezultat je blago jajolik leteći tanjir koji je simetričan u odnosu na os. Zapravo, tijelo ima matematičko ime, ali ja sam previše lijen da pogledam u priručniku, pa idemo dalje.
Kako izračunati zapreminu tijela okretanja?
Volumen tijela okretanja može se izračunati pomoću formule:
U formuli, broj mora biti prisutan prije integrala. Tako se i dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je sa ovom konstantom.
Mislim da je lako pogoditi kako postaviti granice integracije “a” i “be” iz završenog crteža.
Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena grafom parabole na vrhu. Ovo je funkcija koja se podrazumijeva u formuli.
U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod ose. Ovo ništa ne mijenja - funkcija u formuli je na kvadrat: dakle zapremina tela obrtanja je uvek nenegativna, što je vrlo logično.
Izračunajmo volumen tijela rotacije koristeći ovu formulu: 
Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokaže jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.
odgovor: 
U svom odgovoru morate navesti dimenziju - kubične jedinice. To jest, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 „kockica“. Zašto kubni jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Moglo bi biti kubnih centimetara, moglo bi biti kubnih metara, moglo bi biti kubnih kilometara itd., toliko zelenih ljudi vaša mašta može staviti u leteći tanjir.
Primjer 2
Nađite zapreminu tijela nastalog rotacijom oko ose figure ograničene linijama,
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.
Primjer 3
Izračunajte volumen tijela dobivenog rotacijom oko ose apscise lika ograničenog linijama ,, i
Rješenje: Oslikajmo na crtežu ravnu figuru ograničenu linijama ,,,, ne zaboravljajući da jednačina definira os:
Željena figura je osenčena plavom bojom. Kada se rotira oko svoje ose, ispada nadrealna krofna sa četiri ugla.
Izračunajmo zapreminu tijela okretanja kao razlika u zapremini tela.
Prvo, pogledajmo lik zaokružen crvenom bojom. Kada se rotira oko ose, dobija se skraćeni konus. Označimo volumen ovog krnjeg konusa sa.
Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako zarotirate ovu figuru oko ose, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manji. Označimo njen volumen sa.
I, očigledno, razlika u zapremini je upravo zapremina naše „krofne“.
Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:
1) Lik zaokružen crvenom bojom je odozgo omeđen pravom linijom, dakle:
2) Figura zaokružena zelenom bojom je odozgo omeđena pravom linijom, dakle:
3) Volumen željenog tijela okretanja:
odgovor:
Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg konusa.
Sama odluka je često napisana kraće, otprilike ovako:
Sada se malo odmorimo i pričamo o geometrijskim iluzijama.
Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, koje je primijetio Perelman (ne taj) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je mala po površini, a zapremina tijela okretanja je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječan čovjek u svom životu popije ekvivalent prostoriji od 18 kvadratnih metara tečnosti, što se, naprotiv, čini premalim volumenom.
Generalno, obrazovni sistem u SSSR-u je bio zaista najbolji. Ista Perelmanova knjiga, koju je on napisao davne 1950. godine, vrlo dobro razvija, kako je humorista rekao, razmišljanje i uči da se traži originalna, nestandardna rješenja problema. Nedavno sam sa velikim zanimanjem ponovo pročitala neka poglavlja, preporučujem, dostupna je čak i humanistima. Ne, ne treba da se smiješ što sam ponudio slobodno vrijeme, erudicija i široki horizonti u komunikaciji su odlična stvar.
Nakon lirske digresije, prikladno je riješiti kreativni zadatak:
Primjer 4
Izračunajte zapreminu tijela formiranog rotacijom oko ose ravne figure ograničene linijama,, gdje.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Napominjemo da se sve stvari dešavaju u bendu, drugim riječima, date su praktično gotove granice integracije. Također pokušajte ispravno nacrtati grafove trigonometrijskih funkcija; ako je argument podijeljen sa dva: tada se grafovi dvaput razvlače duž ose. Pokušajte pronaći barem 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama i tačnije dovršite crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Inače, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.
Izračunavanje volumena tijela nastalog rotacijom ravne figure oko ose
Drugi pasus će biti još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja volumena tijela okretanja oko ordinatne ose također je prilično čest gost u testnom radu. Usput će se razmotriti problem nalaženja površine figure druga metoda je integracija duž ose, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas naučiti da pronađete put do najisplativijeg rješenja. U tome ima i praktičnog životnog smisla! Kako se sa osmehom prisećala moja profesorica metodike matematike, mnogi maturanti su joj se zahvalili rečima: „Vaš predmet nam je mnogo pomogao, sada smo efikasni menadžeri i optimalno upravljamo kadrovima“. I ovom prilikom izražavam joj veliku zahvalnost, pogotovo što stečeno znanje koristim za koju nam je namjeru =).
Primjer 5
S obzirom na ravnu figuru omeđenu linijama ,,.
1) Pronađite površinu ravne figure ograničenu ovim linijama. 2) Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.
Pažnja!Čak i ako želite da pročitate samo drugu tačku, prvu Neophodno procitaj prvu!
Rješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.
1) Napravimo crtež:
Lako je vidjeti da funkcija specificira gornju granu parabole, a funkcija donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na svojoj strani".
Željena figura, čija se površina može pronaći, zasjenjena je plavom bojom.
Kako pronaći površinu figure? Može se naći na „uobičajeni“ način, o čemu se razgovaralo na času Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure
. Štaviše, površina figure se nalazi kao zbir površina: – na segmentu 
; - na segmentu.
Zbog toga:
Zašto je uobičajeno rješenje loše u ovom slučaju? Prvo, dobili smo dva integrala. Drugo, integrali su korijeni, a korijeni u integralima nisu dar, a osim toga, možete se zbuniti u zamjeni granica integracije. U stvari, integrali, naravno, nisu ubojiti, ali u praksi sve može biti mnogo tužnije, samo sam odabrao “bolje” funkcije za problem.
Postoji racionalnije rješenje: sastoji se od prebacivanja na inverzne funkcije i integracije duž ose.
Kako doći do inverznih funkcija? Grubo govoreći, trebate izraziti “x” kroz “y”. Prvo, pogledajmo parabolu:
Ovo je dovoljno, ali budimo sigurni da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:
Lakše je sa ravnom linijom:
Sada pogledajte osu: povremeno nagnite glavu udesno za 90 stepeni dok objašnjavate (ovo nije šala!). Figura koja nam je potrebna leži na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. Štoviše, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da se područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: 
. Šta se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.
! Napomena: Granice integracije duž ose trebaju biti postavljenestriktno odozdo prema gore !
Pronalaženje područja:
U segmentu, dakle: 
Obratite pažnju na to kako sam izvršio integraciju, ovo je najracionalniji način, a u sljedećem pasusu zadatka bit će jasno zašto.
Za čitaoce koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:
Dobijena je originalna integrand funkcija, što znači da je integracija izvršena ispravno.
odgovor:
2) Izračunajmo volumen tijela nastalog rotacijom ove figure oko ose.
Ponovo ću nacrtati crtež u malo drugačijem dizajnu:
Dakle, lik osjenčan plavom bojom rotira oko ose. Rezultat je "lebdeći leptir" koji rotira oko svoje ose.
Da bismo pronašli zapreminu tela rotacije, integrisaćemo duž ose. Prvo trebamo prijeći na inverzne funkcije. Ovo je već urađeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.
Sada ponovo naginjemo glavu udesno i proučavamo našu figuru. Očigledno, zapreminu tela rotacije treba naći kao razliku u zapreminama.
Rotiramo lik zaokružen crvenom bojom oko ose, što rezultira skraćenim konusom. Označimo ovaj volumen sa.
Rotiramo lik zaokružen zelenom bojom oko ose i označavamo volumenom rezultirajućeg tijela rotacije.
Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.
Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja: 
Koja je razlika u odnosu na formulu iz prethodnog paragrafa? Samo u pismu.
Ali prednost integracije, o kojoj sam nedavno govorio, mnogo je lakše pronaći 
, umjesto da prvo podignemo integrand na 4. stepen.
