N eksperimenata se izvode prema Bernoullijevoj shemi sa vjerovatnoćom uspjeha p. Neka je X broj uspjeha. Slučajna varijabla X ima raspon vrijednosti (0,1,2,...,n). Vjerojatnosti ovih vrijednosti mogu se pronaći pomoću formule: , gdje je C m n broj kombinacija od n do m. 
Serija distribucije izgleda ovako:
| x | 0 | 1 | ... | m | n |
| str | (1-p)n | np(1-p) n-1 | ... | C m n p m (1-p) n-m | p n |
Svrha usluge. Za crtanje se koristi online kalkulator binomna redovna distribucija i izračunavanje svih karakteristika serije: matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija. Izvještaj sa odlukom sastavlja se u Word formatu (primjer).
Video uputstvo
Bernoulli testni krug
Numeričke karakteristike slučajne varijable raspoređene prema binomskom zakonu
Matematičko očekivanje slučajne varijable X distribuirane prema binomskom zakonu.M[X]=np
Varijanca slučajne varijable X distribuirana prema binomskom zakonu.
D[X]=npq
Primjer br. 1. Proizvod može biti neispravan sa vjerovatnoćom p = 0,3 svaki. Iz serije se biraju tri proizvoda. X je broj neispravnih dijelova među odabranim. Pronađite (unesite sve odgovore u obrazac decimale): a) distributivna serija X; b) funkcija raspodjele F(x) .
Rješenje. Slučajna varijabla X ima raspon vrijednosti (0,1,2,3).
Nađimo distribucijsku seriju X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44
P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027
| x i | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p i | 0.34 | 0.44 | 0.19 | 0.027 |
Matematičko očekivanje nalazimo koristeći formulu M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
pregled: m = ∑x i p i .
Očekivanje M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Pronalazimo varijansu koristeći formulu D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
pregled: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varijanca D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Standardna devijacija σ(x).
Funkcija distribucije F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1
- Vjerovatnoća da se događaj dogodi u jednom ispitivanju je 0,6. Obavljeno je 5 testova. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja.
- Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X broj pogodaka sa četiri hica, ako je vjerovatnoća da se pogodi meta jednim hicem 0,8.
- Novčić se baca 7 puta. Nađi očekivanu vrijednost i varijacija u broju pojavljivanja grba. Napomena: ovdje je vjerovatnoća pojave grba p = 1/2 (pošto novčić ima dvije strane).
Primjer br. 2. Vjerovatnoća da će se događaj desiti u jednom ispitivanju je 0,6. Primjenjujući Bernoullijevu teoremu odredite broj nezavisnih pokušaja, počevši od kojih vjerovatnoća odstupanja učestalosti događaja od njegove vjerovatnoće prema apsolutna vrijednost manje od 0,1, više od 0,97. (Odgovor: 801)
Primjer br. 3. Učenici polažu test na času informatike. Rad se sastoji od tri zadatka. Da biste dobili dobru ocjenu, morate pronaći tačne odgovore na najmanje dva zadatka. Za svaki zadatak se daje 5 odgovora, od kojih je samo jedan tačan. Učenik nasumično bira odgovor. Kolika je vjerovatnoća da će dobiti dobru ocjenu?
Rješenje. Verovatnoća tačnog odgovora na pitanje: p=1/5=0,2; n=3.
Ovi podaci se moraju unijeti u kalkulator. Kao odgovor, pogledajte za P(2)+P(3).
Primjer br. 4. Vjerovatnoća da strijelac jednim udarcem pogodi metu je (m+n)/(m+n+2) . Puca se n+4 hica. Pronađite vjerovatnoću da ne promaši više od dva puta.
Bilješka. Vjerovatnoća da neće propustiti više od dva puta uključuje sljedeće događaje: nikada ne promaši P(4), promaši jednom P(3), promaši dva puta P(2).
Primjer br. 5. Odrediti distribuciju vjerovatnoće broja neuspjelih aviona ako polete 4 aviona. Verovatnoća neometanog rada aviona P = 0,99. Broj letjelica koje su otkazale na svakom letu raspoređuje se prema binomskom zakonu.
Kratka teorija
Teorija vjerojatnosti bavi se eksperimentima koji se mogu ponoviti (barem teoretski) neograničen broj puta. Neka se neki eksperiment ponovi jednom, a rezultati svakog ponavljanja ne zavise od rezultata prethodnih ponavljanja. Takve serije ponavljanja nazivaju se nezavisnim ogledima. Poseban slučaj ovakvih testova su nezavisni Bernoullijevi testovi, koje karakterišu dva uslova:
1) rezultat svakog testa je jedan od dva moguća ishoda, koji se nazivaju “uspjeh” odnosno “neuspjeh”.
2) verovatnoća „uspeha“ u svakom sledećem testu ne zavisi od rezultata prethodnih testova i ostaje konstantna.
Bernulijeva teorema
Ako se izvede niz nezavisnih Bernoullijevih pokusa, u svakom od kojih se "uspjeh" pojavljuje s vjerovatnoćom, tada se vjerovatnoća da se "uspjeh" pojavi tačno jednom u ogledima izražava formulom:
gdje je vjerovatnoća “neuspjeha”.
– broj kombinacija elemenata po (vidi osnovne kombinatoričke formule)
Ova formula se zove Bernulijeva formula.
Bernoullijeva formula omogućava vam da se riješite velikog broja izračuna - zbrajanja i množenja vjerovatnoća - uz dovoljno veliki broj testova.
Bernulijeva testna šema se naziva i binomna šema, a odgovarajuće verovatnoće se nazivaju binomne, što je povezano sa upotrebom binomnih koeficijenata.
Distribucija prema Bernoullijevoj shemi dozvoljava, posebno, .
Ako je broj testova n je velika, onda koristite:
Primjer rješenja problema
Zadatak
Klijavost nekih sjemenki biljaka je 70%. Kolika je verovatnoća da od 10 posejanih semena: 8, najmanje 8; najmanje 8?
Rješenje problema
Koristimo Bernoullijevu formulu:
U našem slučaju
Neka događaj bude da od 10 sjemenki nikne 8:
Neka događaj bude najmanje 8 (to znači 8, 9 ili 10)
Neka događaj poraste najmanje 8 (to znači 8,9 ili 10)
Odgovori
Prosjek trošak rješenja testni rad 700 - 1200 rubalja (ali ne manje od 300 rubalja za cijelu narudžbu). Na cijenu u velikoj mjeri utiče hitnost odluke (od jednog dana do nekoliko sati). Cijena online pomoći za ispit/test je od 1000 rubalja. za rješavanje tiketa.
Zahtjev možete ostaviti direktno u chatu, nakon što ste prethodno poslali uslove zadataka i obavijestili vas o rokovima za rješenje koje vam je potrebno. Vrijeme odgovora je nekoliko minuta.
Definicija ponovljenih nezavisnih testova. Bernoullijeve formule za izračunavanje vjerovatnoće i najvjerovatnijeg broja. Asimptotske formule za Bernoullijevu formulu (lokalne i integralne, Laplaceove teoreme). Koristeći integralnu teoremu. Poissonova formula za malo vjerovatne slučajne događaje.
Ponovljeni nezavisni testovi
U praksi imamo posla sa zadacima koji se mogu predstaviti u obliku testova koji se više puta ponavljaju, kao rezultat svakog od kojih se događaj A može pojaviti ili ne mora. U ovom slučaju, ishod od interesa nije rezultat svakog pojedinačnog testa, već ukupno pojave događaja A kao rezultat određenog broja ispitivanja. U takvim problemima morate biti u stanju odrediti vjerovatnoću bilo kojeg broja m pojave događaja A kao rezultat n pokušaja. Razmotrimo slučaj kada su pokušaji nezavisni i vjerovatnoća pojave događaja A u svakom pokušaju je konstantna. Takvi testovi se nazivaju ponovljeno nezavisno.
Primjer nezavisnog testiranja je provjera prikladnosti proizvoda uzetih iz više serija. Ako je postotak nedostataka u ovim partijama isti, tada je vjerovatnoća da će odabrani proizvod biti neispravan u svakom slučaju konstantan broj.
Bernulijeva formula
Koristimo koncept složen događaj, što znači kombinaciju nekoliko elementarnih događaja koja se sastoji od pojave ili nepostojanja događaja A u i-tom ispitivanju. Neka se izvede n nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih se događaj A može pojaviti sa vjerovatnoćom p ili se ne pojaviti s vjerovatnoćom q=1-p. Uzmite u obzir događaj B_m, a to je da će se događaj A dogoditi tačno m puta u ovih n pokušaja i stoga se neće dogoditi tačno (n-m) puta. Označimo A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) pojava događaja A, a \overline(A)_i - nepostojanje događaja A u i-tom ogledu. Zbog konstantnosti uslova testiranja, imamo
Događaj A može se pojaviti m puta u različitim sekvencama ili kombinacijama, naizmjenično sa suprotan događaj\overline(A) . Broj mogućih kombinacija ove vrste jednak je broju kombinacija od n elemenata po m, tj. C_n^m. Prema tome, događaj B_m se može predstaviti kao zbir složenih događaja koji nisu u skladu jedni s drugima, a broj pojmova je jednak C_n^m:
B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),
gdje svaki proizvod sadrži događaj A m puta, i \overline(A) - (n-m) puta.
Vjerovatnoća svakog složenog događaja uključenog u formulu (3.1), prema teoremi množenja vjerovatnoća za nezavisne događaje, jednaka je p^(m)q^(n-m) . Pošto je ukupan broj takvih događaja jednak C_n^m, onda, koristeći teoremu o sabiranju vjerovatnoća za nekompatibilne događaje, dobijamo vjerovatnoću događaja B_m (označavamo ga P_(m,n))
P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(or)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}
Formula (3.2) se zove Bernulijeva formula, a ponovljeni ogledi koji zadovoljavaju uslov nezavisnosti i postojanosti verovatnoće pojave događaja A u svakom od njih nazivaju se Bernulijevi testovi, ili Bernoullijeva šema.
Primjer 1. Vjerovatnoća izlaska izvan zone tolerancije pri obradi dijelova na strugu je 0,07. Odredite vjerovatnoću da od pet nasumično odabranih dijelova tijekom smjene, jedan ima dimenzije prečnika koje ne odgovaraju navedenoj toleranciji.
Rješenje. Uslov problema zadovoljava zahtjeve Bernoullijeve šeme. Stoga, pod pretpostavkom n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, koristeći formulu (3.2) dobijamo
P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\pribl.0,\!262.
Primjer 2. Zapažanjima je utvrđeno da na određenom području u septembru ima 12 kišnih dana. Kolika je vjerovatnoća da će od 8 nasumično odabranih dana ovog mjeseca 3 dana biti kišna?
Rješenje.
P_(3;8)=C_8^3(\lijevo(\frac(12)(30)\desno)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}
Najvjerovatniji broj pojavljivanja događaja
Najvjerovatniji datum nastanka Događaj A u n nezavisnih pokušaja naziva se takav broj m_0 za koji je vjerovatnoća koja odgovara ovom broju veća ili barem nije manja od vjerovatnoće svakog od ostalih mogućih brojeva pojavljivanja događaja A. Za određivanje najvjerovatnijeg broja nije potrebno izračunati vjerovatnoće mogućeg broja pojavljivanja događaja, dovoljno je znati broj pokušaja n i vjerovatnoću pojave događaja A u posebnom pokušaju. Označimo P_(m_0,n) vjerovatnoću koja odgovara najvjerovatnijem broju m_0. Koristeći formulu (3.2), pišemo
P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}
Prema definiciji najvjerovatnijeg broja, vjerovatnoće pojave događaja A, odnosno m_0+1 i m_0-1 puta, ne smiju barem premašiti vjerovatnoću P_(m_0,n), tj.
P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))
Zamjenom vrijednosti P_(m_0,n) i izraza vjerovatnoće P_(m_0+1,n) i P_(m_0-1,n) u nejednačine, dobijamo
Rješavajući ove nejednačine za m_0, dobijamo
M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)
Kombinacijom zadnjih nejednakosti dobijamo dvostruku nejednakost koja se koristi za određivanje najvjerovatnijeg broja:
Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).
Pošto je dužina intervala definisanog nejednakošću (3.4) jednaka jedan, tj.
(np+p)-(np-q)=p+q=1,
a događaj se može dogoditi u n pokušaja samo cijeli broj puta, onda treba imati na umu da:
1) ako je np-q cijeli broj, tada postoje dvije vrijednosti najvjerovatnijeg broja, i to: m_0=np-q i m"_0=np-q+1=np+p ;
2) ako je np-q razlomak broj, onda postoji jedan najvjerovatniji broj, naime: jedini cijeli broj koji se nalazi između razlomci brojeva, dobijeno iz nejednakosti (3.4);
3) ako je np cijeli broj, onda postoji jedan najvjerovatniji broj, naime: m_0=np.
Za velike vrijednosti n, nezgodno je koristiti formulu (3.3) za izračunavanje vjerovatnoće koja odgovara najvjerojatnijem broju. Ako Stirlingovu formulu zamijenimo jednakošću (3.3)
N!\približno(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),
vrijedi za dovoljno veliko n, i uzmimo najvjerovatniji broj m_0=np, tada dobijamo formulu za približno izračunavanje vjerovatnoće koja odgovara najvjerovatnijem broju:
P_(m_0,n)\približno\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).
Primjer 2. Poznato je da \frac(1)(15) dio proizvoda koje fabrika isporučuje u trgovačku bazu ne ispunjava sve zahtjeve standarda. U bazu je dopremljena serija od 250 artikala. Pronađite najvjerovatniji broj proizvoda koji ispunjavaju zahtjeve standarda i izračunajte vjerovatnoću da će ova serija sadržavati najvjerovatniji broj proizvoda.
Rješenje. Po stanju n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Prema nejednakosti (3.4) imamo
250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)
gdje 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Shodno tome, najvjerovatniji broj proizvoda koji ispunjavaju zahtjeve standarda u seriji od 250 kom. jednako 234. Zamjenom podataka u formulu (3.5), izračunavamo vjerovatnoću da imamo najvjerovatniji broj proizvoda u seriji:
P_(234,250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101
Lokalna Laplaceova teorema
Vrlo je teško koristiti Bernoullijevu formulu za velike vrijednosti n. Na primjer, ako n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, tada je za pronalaženje vjerovatnoće P_(30.50) potrebno izračunati vrijednost izraza
P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}
Naravno, postavlja se pitanje: da li je moguće izračunati vjerovatnoću kamate bez korištenja Bernoullijeve formule? Ispostavilo se da je to moguće. Laplaceova lokalna teorema daje asimptotičku formulu koja nam omogućava da približno pronađemo vjerovatnoću da će se događaji dogoditi tačno m puta u n pokušaja, ako je broj pokušaja dovoljno velik.
Teorema 3.1. Ako je vjerovatnoća p pojave događaja A u svakom pokušaju konstantna i različita od nule i jedan, tada je vjerovatnoća P_(m,n) da će se događaj A pojaviti tačno m puta u n pokušaja približno jednaka (što je tačnije, veći je n) na vrijednost funkcije
Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) u .
Postoje tabele koje sadrže vrijednosti funkcija \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), što odgovara pozitivnim vrijednostima argumenta x. Za negativne vrijednosti argumenta koriste se iste tabele, jer je funkcija \varphi(x) parna, tj. \varphi(-x)=\varphi(x).
Dakle, približno je vjerovatnoća da će se događaj A pojaviti tačno m puta u n pokušaja
P_(m,n)\približno\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Gdje x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).
Primjer 3. Odrediti vjerovatnoću da će se događaj A dogoditi tačno 80 puta u 400 pokušaja ako je vjerovatnoća da će se događaj A dogoditi u svakom pokušaju 0,2.
Rješenje. Po stanju n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Koristimo asimptotičku Laplaceovu formulu:
P_(80,400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).
Izračunajmo vrijednost x koju određuju podaci zadatka:
X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.
Prema tabličnom prilagu 1 nalazimo \varphi(0)=0,\!3989. Potrebna vjerovatnoća
P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.
Bernoullijeva formula dovodi do približno istog rezultata (proračuni su izostavljeni zbog njihove glomaznosti):
P_(80,100)=0,\!0498.
Laplaceov integralni teorem
Pretpostavimo da je izvršeno n nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih je vjerovatnoća pojave događaja A konstantna i jednaka p. Potrebno je izračunati vjerovatnoću P_((m_1,m_2),n) da će se događaj A pojaviti u n pokušaja najmanje m_1 i najviše m_2 puta (radi kratkoće reći ćemo “od m_1 do m_2 puta”). To se može učiniti korištenjem Laplaceove integralne teoreme.
Teorema 3.2. Ako je vjerovatnoća p pojave događaja A u svakom pokušaju konstantna i različita od nule i jedan, tada je približno vjerovatnoća P_((m_1,m_2),n) da će se događaj A pojaviti u pokušajima od m_1 do m_2 puta,
P_((m_1,m_2),n)\približno\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, Gdje .
Prilikom rješavanja zadataka koji zahtijevaju primjenu Laplaceove integralne teoreme koriste se posebne tabele, jer neodređeni integral \int(e^(-x^2/2)\,dx) nije izraženo kroz elementarne funkcije. Integralna tablica \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz dato u dodatku. 2, gdje su vrijednosti funkcije \Phi(x) date za pozitivne vrijednosti x, za x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 možemo uzeti \Phi(x)=0,\!5 .
Dakle, približna vjerovatnoća da će se događaj A pojaviti u n nezavisnih pokušaja od m_1 do m_2 puta je
P_((m_1,m_2),n)\približno\Phi(x"")-\Phi(x"), Gdje x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).
Primjer 4. Vjerovatnoća da je dio proizveden u suprotnosti sa standardima je p=0,\!2. Pronađite vjerovatnoću da će između 400 nasumično odabranih dijelova biti od 70 do 100 nestandardnih dijelova.
Rješenje. Po stanju p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Koristimo Laplaceovu integralnu teoremu:
P_((70,100),400)\približno\Phi(x"")-\Phi(x").
Izračunajmo granice integracije:
niže
X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,
gornji
X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,
Dakle
P_((70,100),400)\približno\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .
Prema tabeli adj. 2 nalazimo
\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.
Potrebna vjerovatnoća
P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.
Primjena Laplaceove integralne teoreme
Ako se broj m (broj pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja) promijeni iz m_1 u m_2, tada je razlomak \frac(m-np)(\sqrt(npq))će varirati od \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" prije \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Stoga se Laplaceova integralna teorema može napisati i na sljedeći način:
P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.
Postavimo zadatak da pronađemo vjerovatnoću da odstupanje relativne frekvencije \frac(m)(n) od konstantne vjerovatnoće p u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi dati broj \varepsilon>0. Drugim riječima, nalazimo vjerovatnoću nejednakosti \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, što je isto -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Ovu vjerovatnoću ćemo označiti na sljedeći način: P\levo\(\left|\frac(m)(n)-p\desno|\leqslant\varepsilon\desno\). Uzimajući u obzir formulu (3.6) za ovu vjerovatnoću dobijamo
P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\desno).
Primjer 5. Vjerovatnoća da je dio nestandardan je p=0,\!1. Naći vjerovatnoću da će među nasumično odabranih 400 dijelova relativna učestalost pojavljivanja nestandardnih dijelova odstupiti od vjerovatnoće p=0,\!1 u apsolutnoj vrijednosti za najviše 0,03.
Rješenje. Po stanju n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Moramo pronaći vjerovatnoću P\levo\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\desno|\leqslant0,\!03\desno\). Koristeći formulu (3.7), dobijamo
P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)
Prema tabeli adj. 2 nalazimo \Phi(2)=0,\!4772 , dakle, 2\Phi(2)=0,\!9544 . Dakle, željena vjerovatnoća je približno 0,9544. Značenje rezultata je sljedeće: ako uzmete dovoljno veliki broj uzoraka od po 400 dijelova, tada je u približno 95,44% ovih uzoraka odstupanje relativne frekvencije od konstantne vjerovatnoće p=0.\!1 u apsolutnom vrijednost neće prelaziti 0,03.
Poissonova formula za malo vjerovatne događaje
Ako je vjerovatnoća p pojave događaja u posebnom ispitivanju blizu nule, onda čak i sa velikim brojem pokušaja n, ali sa mala vrijednost proizvoda np, vrijednosti vjerovatnoće P_(m,n) dobijene Laplaceovom formulom pokazuju se nedovoljno tačnim i postoji potreba za drugom približnom formulom.
Teorema 3.3. Ako je vjerovatnoća p pojave događaja A u svakom pokušaju konstantna, ali mala, broj nezavisnih pokušaja n je dovoljno velik, ali vrijednost proizvoda np=\lambda ostaje mala (ne više od deset), tada je vjerovatnoća da će se događaj A dogoditi m puta u ovim ispitivanjima je
P_(m,n)\približno\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}
Da bi se pojednostavili proračuni pomoću Poissonove formule, sastavljena je tabela vrijednosti Poissonove funkcije \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(vidi dodatak 3).
Primjer 6. Neka je vjerovatnoća proizvodnje nestandardnog dijela 0,004. Pronađite vjerovatnoću da će među 1000 dijelova biti 5 nestandardnih.
Rješenje. Evo n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Sva tri broja zadovoljavaju zahtjeve teoreme 3.3, stoga, da bismo pronašli vjerovatnoću željenog događaja P_(5,1000), koristimo Poissonovu formulu. Iz tabele vrednosti Poissonove funkcije (Dodatak 3) sa \lambda=4;m=5 dobijamo P_(5,1000)\približno0,\!1563.
Nađimo vjerovatnoću istog događaja koristeći Laplaceovu formulu. Da bismo to učinili, prvo izračunamo vrijednost x koja odgovara m=5:
X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.
Dakle, prema Laplaceovoj formuli, željena vjerovatnoća
P_(5,1000)\approx\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763
a prema Bernoullijevoj formuli njegova tačna vrijednost je
P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\cdot0,\!1552.
dakle, relativna greška izračunavanje vjerovatnoće P_(5,1000) korištenjem približne Laplaceove formule je
\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\pribl.0,\!196, ili 13.\!6\%
a prema Poissonovoj formuli -
\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\pribl.0,\!007, ili 0.\!7\%
Odnosno višestruko manje.
Idite na sljedeći odjeljak
Jednodimenzionalni slučajne varijable
Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!
FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE
Državna obrazovna ustanova
visoko stručno obrazovanje
"MATI" - RUSKI DRŽAVNI TEHNOLOŠKI UNIVERZITET IME. K.E. TSIOLKOVSKY
Katedra za “Modeliranje sistema i informacione tehnologije”
Ponavljanje testova. Bernoullijevo kolo
Smjernice za praktične vježbe
u disciplini "Viša matematika"
Sastavio: Egorova Yu.B.
Mamonov I.M.
Moskva 2006 uvod
Smjernice su namijenjene redovnim i večernjim studentima Fakulteta br. 14, specijalnosti 150601, 160301, 230102. Smjernice ističu osnovne pojmove teme i određuju redoslijed izučavanja gradiva. Veliki broj razmatranih primjera pomaže u praktičnom razvoju teme. Smjernice služe kao metodološka osnova za praktična nastava i izvršavanje pojedinačnih zadataka.
BERNOULLI SCHEME. BERNOULLI FORMULA
Bernoullijeva šema- shema ponovljenih nezavisnih testova u kojima je neki događaj A može se ponoviti mnogo puta sa konstantnom vjerovatnoćom R (A)= R .
Primjeri testova provedenih korištenjem Bernoullijeve sheme: ponovljeno bacanje novčića ili kockice, izrada serije dijelova, pucanje u metu, itd.
Teorema. Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi A u svakom testu je konstantan i jednak R, zatim vjerovatnoća da je događaj Aće doći m jednom svaki n testovi (bez obzira kojim redoslijedom), mogu se odrediti Bernoullijevom formulom:
Gdje q = 1 – str.
PRIMJER 1. Jednaka je vjerovatnoća da potrošnja električne energije u toku jednog dana neće premašiti utvrđenu normu p= 0,75. Pronađite vjerovatnoću da u narednih 6 dana potrošnja električne energije za 4 dana neće premašiti normu.
RJEŠENJE. Vjerovatnoća normalne potrošnje električne energije za svaki od 6 dana je konstantna i jednaka R= 0,75. Shodno tome, vjerovatnoća prekomjerne potrošnje energije svakog dana je također konstantna i jednaka q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Tražena vjerovatnoća prema Bernoullijevoj formuli jednaka je:
PRIMJER 2. Strijelac ispaljuje tri hica u metu. Vjerovatnoća pogađanja mete pri svakom udarcu jednaka je p= 0,3. Odrediti vjerovatnoću da: a) jedna meta bude pogođena; b) sve tri mete; c) ni jednu metu; d) najmanje jednu metu; e) manje od dvije mete.
RJEŠENJE. Vjerovatnoća pogađanja mete pri svakom udarcu je konstantna i jednaka R=0,75. Stoga je vjerovatnoća promašaja jednaka q = 1 R= 1 0,3= 0,7. Ukupan broj izvedenih eksperimenata n=3.
a) Vjerovatnoća pogađanja jedne mete sa tri hica jednaka je:
b) Vjerovatnoća pogađanja sve tri mete sa tri hica jednaka je:
c) Verovatnoća tri promašaja sa tri udarca jednaka je:
d) Vjerovatnoća pogađanja najmanje jedne mete sa tri hica jednaka je:
e) Vjerovatnoća pogađanja manje od dvije mete, odnosno, ili jednu metu ili nijednu:
Lokalne i integralne teoreme Moivre-Laplacea
Ako se izvrši veliki broj testova, tada izračunavanje vjerovatnoća korištenjem Bernoullijeve formule postaje tehnički teško, jer formula zahtijeva operacije s ogromnim brojevima. Stoga postoje jednostavnije približne formule za izračunavanje vjerovatnoće u cjelini n. Ove formule se nazivaju asimptotičke i određene su Poissonovom teoremom, lokalnom i integralnom Laplaceovom teoremom.
Lokalna Moivre-Laplaceova teorema. A A desiće se m jednom svaki n n (n →∞ ), približno je jednako:
gdje je funkcija 
i argument 
Više n, to je tačnije izračunavanje vjerovatnoće. Stoga je preporučljivo primijeniti Moivre-Laplaceovu teoremu kada npq 20.
f ( x ) sastavljene su posebne tabele (vidi Dodatak 1). Kada koristite tabelu, morate imati na umu svojstva funkcije f(x) :
Funkcija f(x) je čak f( x)=f(x) .
At X ∞ funkcija f(x) 0. U praksi možemo pretpostaviti da je već na X>4 funkcija f(x) ≈0.
PRIMJER 3. Nađi vjerovatnoću da će događaj A dogodit će se 80 puta u 400 pokušaja ako je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi A u svakom suđenju jednaka p= 0,2.
RJEŠENJE. Po stanju n=400, m=80, str=0,2, q=0,8. dakle:
Pomoću tablice određujemo vrijednost funkcije f (0)=0,3989.
Integralna Moivre-Laplaceova teorema. Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi A u svakom pokušaju je konstantna i različita od 0 i 1, tada je vjerovatnoća da će događaj A dolazi od m 1 prije m 2 jednom svaki n testovi sa dovoljno velikim brojem n (n →∞ ), približno je jednako:
Gdje 
integralna ili Laplaceova funkcija, 
Da biste pronašli vrijednosti funkcije F( x ) Sastavljene su posebne tabele (na primjer, vidi Dodatak 2). Kada koristite tabelu, morate imati na umu svojstva Laplaceove funkcije F(x) :
Funkcija F(x) je čudno F( x)= F(x) .
At X ∞ funkcija F(x) 0,5. U praksi možemo pretpostaviti da već na X>5 funkcija F(x) ≈0,5.
F (0)=0.
PRIMJER 4. Vjerovatnoća da dio nije prošao kontrolu kvaliteta je 0,2. Nađite vjerovatnoću da će između 400 dijelova biti od 70 do 100 neispitanih dijelova.
RJEŠENJE. Po stanju n=400, m 1 =70, m 2 =100, str=0,2, q=0,8. dakle:
Koristeći tablicu koja prikazuje vrijednosti Laplaceove funkcije, određujemo:
F(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; F(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
