Základní logaritmické vzorce. Uveďme několik příkladů číselných závislostí

Logaritmus čísla b (b > 0) na základ a (a > 0, a ≠ 1)– exponent, na který musí být číslo a zvýšeno, aby získalo b.

Základ 10 logaritmu b lze zapsat jako log(b) a logaritmus k základu e (přirozený logaritmus) je ln(b).

Často se používá při řešení problémů s logaritmy:

Vlastnosti logaritmů

Existují čtyři hlavní vlastnosti logaritmů.

Nechť a > 0, a ≠ 1, x > 0 a y > 0.

Vlastnost 1. Logaritmus součinu

Logaritmus produktu rovnající se součtu logaritmy:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Vlastnost 2. Logaritmus podílu

Logaritmus kvocientu rovná se rozdílu logaritmů:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnost 3. Logaritmus síly

Logaritmus stupně rovná se součinu mocniny a logaritmu:

Pokud je základ logaritmu v moci, pak platí jiný vzorec:

Vlastnost 4. Logaritmus kořene

Tuto vlastnost lze získat z vlastnosti logaritmu mocniny, protože n-tá odmocnina se rovná mocnině 1/n:

Vzorec pro převod z logaritmu v jednom základu na logaritmus v jiném základu

Tento vzorec se také často používá při řešení různých úloh na logaritmech:

Speciální případ:

Porovnání logaritmů (nerovnice)

Mějme 2 funkce f(x) a g(x) pod logaritmy se stejnými základy a mezi nimi je znaménko nerovnosti:

Chcete-li je porovnat, musíte se nejprve podívat na základnu logaritmů a:

• Pokud a > 0, pak f(x) > g(x) > 0
• Pokud 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak řešit problémy s logaritmy: příklady

Problémy s logaritmy zařazené do Jednotné státní zkoušky z matematiky pro 11. ročník v úloze 5 a úloze 7 naleznete úlohy s řešením na našem webu v příslušných sekcích. V bance matematických úloh se také nacházejí úlohy s logaritmy. Všechny příklady najdete při hledání na webu.

Co je to logaritmus

Logaritmy byly vždy považovány za obtížné téma ve školních kurzech matematiky. Existuje mnoho různých definic logaritmu, ale z nějakého důvodu většina učebnic používá nejsložitější a neúspěšnější z nich.

Logaritmus definujeme jednoduše a jasně. Chcete-li to provést, vytvořte tabulku:

Takže máme mocniny dvou.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, jak řešit

Pokud vezmete číslo ze spodního řádku, můžete snadno najít moc, na kterou budete muset zvýšit dvojku, abyste toto číslo získali. Chcete-li například získat 16, musíte zvýšit dvě na čtvrtou mocninu. A abyste získali 64, musíte zvýšit dvě na šestou mocninu. To je vidět z tabulky.

A teď - vlastně definice logaritmu:

základ a argumentu x je mocnina, na kterou musí být číslo a zvýšeno, aby bylo získáno číslo x.

Označení: log a x = b, kde a je základ, x je argument, b je to, čemu se ve skutečnosti rovná logaritmus.

Například 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (základ 2 logaritmu 8 je tři, protože 2 3 = 8). Se stejným úspěchem log 2 64 = 6, protože 2 6 = 64.

Zavolá se operace nalezení logaritmu čísla k danému základu. Přidejme tedy do naší tabulky nový řádek:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohužel ne všechny logaritmy se počítají tak snadno. Zkuste například najít log 2 5. Číslo 5 není v tabulce, ale logika velí, že logaritmus bude ležet někde na intervalu. Protože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Taková čísla se nazývají iracionální: čísla za desetinnou čárkou lze psát do nekonečna a nikdy se neopakují. Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, je lepší jej nechat tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je důležité pochopit, že logaritmus je výraz se dvěma proměnnými (základ a argument). Spousta lidí si zpočátku plete, kde je základ a kde argument. Abyste předešli nepříjemným nedorozuměním, podívejte se na obrázek:

Před námi není nic jiného než definice logaritmu. Pamatovat si: logaritmus je síla, do kterého je nutné zabudovat základnu pro získání argumentu. Je to základna, která je zvednutá na mocninu - na obrázku je zvýrazněna červeně. Ukazuje se, že základna je vždy na dně! Hned na první hodině říkám svým studentům toto úžasné pravidlo – a nevznikají žádné zmatky.

Jak počítat logaritmy

Definici jsme vymysleli – zbývá jen naučit se počítat logaritmy, tzn. zbavit se znaku "log". Pro začátek si všimneme, že z definice plynou dvě důležité skutečnosti:

1. Argument a základ musí být vždy větší než nula. Vyplývá to z definice stupně racionálním exponentem, na který je redukována definice logaritmu.
2. Základ musí být odlišný od jednoho, protože jeden do jakéhokoli stupně stále zůstává jedním. Z tohoto důvodu je otázka „k jaké síle musí být člověk povýšen, aby získal dva“ smysl. Takový stupeň neexistuje!

Taková omezení se nazývají rozsah přijatelných hodnot(ODZ). Ukazuje se, že ODZ logaritmu vypadá takto: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Všimněte si, že pro číslo b (hodnota logaritmu) neexistují žádná omezení. Logaritmus může být například záporný: log 2 0,5 = −1, protože 0,5 = 2 −1.

Nyní však uvažujeme pouze číselné výrazy, kde není vyžadováno znát VA logaritmu. Všechna omezení již autoři úkolů zohlednili. Když však do hry vstoupí logaritmické rovnice a nerovnosti, stanou se požadavky DL povinnými. Ostatně základ a argument může obsahovat velmi silné konstrukce, které nemusí nutně odpovídat výše uvedeným omezením.

Nyní se podívejme na obecné schéma pro výpočet logaritmů. Skládá se ze tří kroků:

1. Vyjádřete základ a a argument x jako mocninu s minimálním možným základem větším než jedna. Po cestě je lepší se zbavit desetinných míst;
2. Řešte rovnici pro proměnnou b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpovědí.

To je vše! Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, bude to vidět již v prvním kroku. Požadavek, aby byl základ větší než jedna, je velmi důležitý: snižuje se tím pravděpodobnost chyby a výrazně se zjednodušují výpočty. Stejné s desetinná místa: pokud je okamžitě převedete na běžné, bude mnohem méně chyb.

Podívejme se, jak toto schéma funguje na konkrétních příkladech:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 5 25

1. Představme si základ a argument jako mocninu pěti: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Dostali jsme odpověď: 2.

Úkol. Vypočítejte logaritmus:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 4 64

1. Představme si základ a argument jako mocninu dvou: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dostali jsme odpověď: 3.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 16 1

1. Představme si základ a argument jako mocninu dvou: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dostali jsme odpověď: 0.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 7 14

1. Představme si základ a argument jako mocninu sedmi: 7 = 7 1 ; 14 nelze reprezentovat jako mocninu sedmi, protože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z předchozího odstavce vyplývá, že logaritmus se nepočítá;
3. Odpověď je žádná změna: log 7 14.

Malá poznámka k poslednímu příkladu. Jak si můžete být jisti, že číslo není přesnou mocninou jiného čísla? Je to velmi jednoduché – stačí to započítat do hlavních faktorů. Pokud má expanze alespoň dva různé faktory, číslo není přesnou mocninou.

Úkol. Zjistěte, zda jsou čísla přesné mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - přesný stupeň, protože existuje pouze jeden násobitel;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - není přesná mocnina, protože existují dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - přesný stupeň;
35 = 7 · 5 - opět není přesná mocnina;
14 = 7 · 2 - opět není přesný stupeň;

Všimněte si také, že prvočísla sama o sobě jsou vždy přesné mocniny samých sebe.

Desetinný logaritmus

Některé logaritmy jsou tak běžné, že mají speciální název a symbol.

argumentu x je logaritmus se základem 10, tj. Mocnina, na kterou musí být číslo 10 zvýšeno, aby získalo číslo x. Označení: lg x.

Například log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atd.

Až se od této chvíle v učebnici objeví fráze jako „Najít lg 0,01“, vězte, že se nejedná o překlep. Toto je dekadický logaritmus. Pokud však tento zápis neznáte, můžete jej vždy přepsat:
log x = log 10 x

Vše, co platí pro běžné logaritmy, platí také pro dekadické logaritmy.

Přirozený logaritmus

Existuje další logaritmus, který má své vlastní označení. V některých ohledech je dokonce důležitější než desítkové. Mluvíme o přirozeném logaritmu.

argumentu x je logaritmus se základem e, tj. mocnina, na kterou je třeba zvýšit číslo e, aby se získalo číslo x. Označení: ln x.

Mnozí se budou ptát: jaké je číslo e? To je iracionální číslo přesná hodnota nemožné najít a zaznamenat. Uvedu pouze první čísla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme se podrobně zabývat tím, co toto číslo je a proč je potřeba. Pamatujte, že e je základem přirozeného logaritmu:
ln x = log e x

Tedy ln e = 1; lne2 = 2; ln e 16 = 16 - atd. Na druhou stranu, ln 2 je iracionální číslo. Obecně platí, že přirozený logaritmus jakéhokoli racionální číslo iracionální. Samozřejmě kromě jednoty: ln 1 = 0.

Pro přirozené logaritmy všechna pravidla, která platí pro běžné logaritmy, jsou platná.

Viz také:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnost logaritmu).

Jak znázornit číslo jako logaritmus?

Používáme definici logaritmu.

Logaritmus je exponent, na který musí být základ zvýšen, aby se získalo číslo pod logaritmickým znaménkem.

Chcete-li tedy reprezentovat určité číslo c jako logaritmus k základu a, musíte pod znaménko logaritmu umístit mocninu se stejným základem, jako je základ logaritmu, a zapsat toto číslo c jako exponent:

Absolutně jakékoli číslo může být reprezentováno jako logaritmus - kladné, záporné, celé číslo, zlomkové, racionální, iracionální:

Aby nedošlo k záměně a a c ve stresových podmínkách testu nebo zkoušky, můžete použít následující pravidlo zapamatování:

co je dole, jde dolů, co je nahoře, jde nahoru.

Například potřebujete reprezentovat číslo 2 jako logaritmus se základem 3.

Máme dvě čísla - 2 a 3. Tato čísla jsou základ a exponent, které zapíšeme pod znaménko logaritmu. Zbývá určit, které z těchto čísel se má zapsat k mocnině a které nahoru k exponentu.

Základ 3 v zápisu logaritmu je dole, což znamená, že když reprezentujeme dvojku jako logaritmus k základu 3, zapíšeme i 3 k základu.

2 je vyšší než tři. A v zápisu stupně dva píšeme nad tři, tedy jako exponent:

Logaritmy. První úroveň.

Logaritmy

Logaritmus kladné číslo b na základě A, Kde a > 0, a ≠ 1, se nazývá exponent, na který musí být číslo zvýšeno A, Získat b.

Definice logaritmu lze stručně napsat takto:

Tato rovnost platí pro b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obvykle se to nazývá logaritmická identita.
Zavolá se akce nalezení logaritmu čísla logaritmicky.

Vlastnosti logaritmů:

Logaritmus produktu:

Logaritmus podílu:

Výměna logaritmického základu:

Logaritmus stupně:

Logaritmus kořene:

Logaritmus s výkonovou základnou:

Desetinné a přirozené logaritmy.

Desetinný logaritmusčísla volají logaritmus tohoto čísla na základ 10 a zapisují   lg b
Přirozený logaritmusčísla se nazývají logaritmus tohoto čísla k základu E, Kde E- iracionální číslo přibližně rovné 2,7. Zároveň píší ln b.

Další poznámky k algebře a geometrii

Základní vlastnosti logaritmů

Základní vlastnosti logaritmů

Logaritmy, stejně jako všechna čísla, lze sčítat, odečítat a transformovat všemi způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají hlavní vlastnosti.

Tato pravidla rozhodně musíte znát – bez nich nelze vyřešit jediný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejnými základy: log a x a log a y. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Součet logaritmů se tedy rovná logaritmu součinu a rozdíl se rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: zde je klíčový bod identické důvody. Pokud jsou důvody jiné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce vám pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce „Co je to logaritmus“). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Log 6 4 + log 6 9.

Protože logaritmy mají stejné základy, použijeme součtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy jsou tvořeny „špatnými“ logaritmy, které nejsou počítány samostatně. Ale po transformacích se získají zcela normální čísla. Mnohé jsou na této skutečnosti postaveny zkušební papíry. Ano, na Jednotné státní zkoušce jsou se vší vážností (někdy prakticky beze změn) nabízeny výrazy podobné testu.

Extrahování exponentu z logaritmu

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když je základem nebo argumentem logaritmu mocnina? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Je snadné si toho všimnout poslední pravidlo následuje po prvních dvou. Ale stejně je lepší si to pamatovat - v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl, pokud je dodržena ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak , tj. Čísla před logaritmickým znaménkem můžete zadat do samotného logaritmu.

Jak řešit logaritmy

To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme se stupně v argumentu pomocí prvního vzorce:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel obsahuje logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. My máme:

Myslím, že poslední příklad vyžaduje určité objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem. Předložili jsme základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě mocnin a vyjmuli exponenty - dostali jsme „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel i jmenovatel obsahují stejné číslo: log 2 7. Protože log 2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - ve jmenovateli zůstanou 2/4. Podle pravidel aritmetiky lze čtyři převést do čitatele, což se také stalo. Výsledkem byla odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou důvody jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na nový základ. Formulujme je ve formě věty:

Nechť je dán logaritmus log a x. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze prohodit, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus se objeví ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však problémy, které se nedají vyřešit vůbec jinak než přestěhováním do nové základny. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů obsahují přesné mocniny. Vyjmeme ukazatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nyní „obrátíme“ druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin při přeskupování faktorů nemění, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak jsme se zabývali logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Teď se toho zbavíme dekadický logaritmus, stěhování na novou základnu:

Základní logaritmická identita

Často je v procesu řešení nutné reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu.

V tomto případě nám pomohou následující vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Tak se tomu říká: .

Co se vlastně stane, když číslo b umocníme takovou mocninu, že číslo b této mocnině dá číslo a? Správně: výsledkem je stejné číslo a. Přečtěte si tento odstavec ještě jednou pozorně – mnoho lidí se na něm zasekne.

Stejně jako vzorce pro přesun na novou základnu je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoduše vzal druhou mocninu ze základu a argumentu logaritmu. Vezmeme-li v úvahu pravidla pro násobení mocnin se stejným základem, dostaneme:

Pokud někdo neví, tohle byl skutečný úkol z jednotné státní zkoušky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které lze jen stěží nazvat vlastnostmi – spíše jsou to důsledky definice logaritmu. Neustále se objevují v problémech a kupodivu dělají problémy i „pokročilým“ studentům.

1. log a a = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a této základny samotné je roven jedné.
2. log a 1 = 0 je. Báze a může být cokoliv, ale pokud argument obsahuje jedničku, logaritmus je roven nule! Protože a 0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Logaritmy, stejně jako všechna čísla, lze sčítat, odečítat a transformovat všemi způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají hlavní vlastnosti.

Tato pravidla rozhodně musíte znát – bez nich nelze vyřešit jediný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejnými základy: log A X a log A y. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. log A X+log A y=log A (X · y);
2. log A X− log A y=log A (X : y).

Součet logaritmů se tedy rovná logaritmu součinu a rozdíl se rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: zde je klíčový bod identické důvody. Pokud jsou důvody jiné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce vám pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce „Co je to logaritmus“). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Log 6 4 + log 6 9.

Protože logaritmy mají stejné základy, použijeme součtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy jsou tvořeny „špatnými“ logaritmy, které nejsou počítány samostatně. Ale po transformacích se získají zcela normální čísla. Mnoho testů je založeno na této skutečnosti. Ano, na Jednotné státní zkoušce jsou se vší vážností (někdy prakticky beze změn) nabízeny výrazy podobné testu.

Extrahování exponentu z logaritmu

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když je základem nebo argumentem logaritmu mocnina? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje první dvě. Ale stejně je lepší si to pamatovat - v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl, pokud je dodržena ODZ logaritmu: A > 0, A ≠ 1, X> 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. Čísla před logaritmickým znaménkem můžete zadat do samotného logaritmu. To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme se stupně v argumentu pomocí prvního vzorce:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte význam výrazu:

[Popis k obrázku]

Všimněte si, že jmenovatel obsahuje logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. My máme:

[Popis k obrázku]

Myslím, že poslední příklad vyžaduje určité objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem. Předložili jsme základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě mocnin a vyjmuli exponenty - dostali jsme „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel i jmenovatel obsahují stejné číslo: log 2 7. Protože log 2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - ve jmenovateli zůstanou 2/4. Podle pravidel aritmetiky lze čtyři převést do čitatele, což se také stalo. Výsledkem byla odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou důvody jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na nový základ. Formulujme je ve formě věty:

Nechť je dán logaritmus A X. Pak pro libovolné číslo C takové, že C> 0 a C≠ 1, rovnost platí:

[Popis k obrázku]

Zejména pokud dáme C = X, dostaneme:

[Popis k obrázku]

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze prohodit, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus se objeví ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však problémy, které se nedají vyřešit vůbec jinak než přestěhováním do nové základny. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů obsahují přesné mocniny. Vyjmeme ukazatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nyní „obrátíme“ druhý logaritmus:

[Popis k obrázku]

Vzhledem k tomu, že se součin při přeskupování faktorů nemění, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak jsme se zabývali logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

[Popis k obrázku]

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

[Popis k obrázku]

Základní logaritmická identita

Často je v procesu řešení nutné reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou následující vzorce:

V prvním případě číslo n se stává indikátorem stupně stojícího v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Tak se tomu říká: základní logaritmická identita.

Ve skutečnosti, co se stane, když číslo b zvýšit na takovou moc, že ​​číslo b této mocnině udává číslo A? To je pravda: dostanete stejné číslo A. Přečtěte si tento odstavec ještě jednou pozorně – mnoho lidí se na něm zasekne.

Stejně jako vzorce pro přesun na novou základnu je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte význam výrazu:

[Popis k obrázku]

Všimněte si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoduše vzal druhou mocninu ze základu a argumentu logaritmu. Vezmeme-li v úvahu pravidla pro násobení mocnin se stejným základem, dostaneme:

[Popis k obrázku]

Pokud někdo neví, tohle byl skutečný úkol z Jednotné státní zkoušky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které lze jen stěží nazvat vlastnostmi – spíše jsou to důsledky definice logaritmu. Neustále se objevují v problémech a kupodivu dělají problémy i „pokročilým“ studentům.

1. log A A= 1 je logaritmická jednotka. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k jakékoli základně A od tohoto základu se rovná jedné.
2. log A 1 = 0 je logaritmická nula. Základna A může být cokoliv, ale pokud argument obsahuje jedničku, logaritmus je roven nule! Protože A 0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Logaritmus kladného čísla b na základ a (a>0, a se nerovná 1) je číslo c takové, že a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Všimněte si, že logaritmus nezáporného čísla není definován. Kromě toho musí být základem logaritmu kladné číslo, které se nerovná 1. Pokud například odmocníme -2, dostaneme číslo 4, ale to neznamená, že se základ -2 logaritmus 4 rovná do 2.

Základní logaritmická identita

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Je důležité, aby rozsah definice pravé a levé strany tohoto vzorce byl odlišný. Levá strana definováno pouze pro b>0, a>0 a a ≠ 1. Pravá část je definován pro libovolné b, ale na a vůbec nezávisí. Použití základní logaritmické „identity“ při řešení rovnic a nerovnic tedy může vést ke změně OD.

Dva zřejmé důsledky definice logaritmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Když zvýšíme číslo a na první mocninu, dostaneme stejné číslo, a když ho zvýšíme na nulovou mocninu, dostaneme jedničku.

Logaritmus součinu a logaritmus kvocientu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chtěl bych školáky varovat před bezmyšlenkovitým používáním těchto vzorců při řešení logaritmických rovnic a nerovnic. Při jejich použití „zleva doprava“ se ODZ zužuje a při přechodu od součtu nebo rozdílu logaritmů k logaritmu součinu nebo kvocientu se ODZ rozšiřuje.

Výraz log a (f (x) g (x)) je skutečně definován ve dvou případech: když jsou obě funkce striktně kladné, nebo když jsou f(x) a g(x) obě menší než nula.

Převedeme-li tento výraz na součet log a f (x) + log a g (x), jsme nuceni se omezit pouze na případ, kdy f(x)>0 a g(x)>0. Dochází ke zúžení rozsahu přijatelných hodnot, a to je kategoricky nepřijatelné, protože to může vést ke ztrátě řešení. Podobný problém existuje pro vzorec (6).

Stupeň lze vyjmout ze znaménka logaritmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

A znovu bych rád vyzval k přesnosti. Zvažte následující příklad:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Levá strana rovnosti je samozřejmě definována pro všechny hodnoty f(x) kromě nuly. Pravá strana je pouze pro f(x)>0! Vyjmutím stupně z logaritmu opět zúžíme ODZ. Opačný postup vede k rozšíření rozsahu přijatelných hodnot. Všechny tyto poznámky platí nejen pro mocninu 2, ale také pro jakoukoli sudou mocninu.

Vzorec pro přechod na nový základ

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ten vzácný případ, kdy se ODZ během transformace nemění. Pokud jste moudře zvolili základ c (kladný a nerovná se 1), vzorec pro přechod na nový základ je zcela bezpečný.

Zvolíme-li číslo b jako nový základ c, dostaneme důležité speciální případ vzorce (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Několik jednoduchých příkladů s logaritmy

Příklad 1. Vypočítejte: log2 + log50.
Řešení. log2 + log50 = log100 = 2. Použili jsme vzorec pro součet logaritmů (5) a definici dekadického logaritmu.

Příklad 2. Vypočítejte: lg125/lg5.
Řešení. log125/log5 = log 5 125 = 3. Použili jsme vzorec pro přechod na nový základ (8).

Tabulka vzorců souvisejících s logaritmy

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

1. Zkontrolujte, zda jsou pod logaritmickým znaménkem záporná čísla nebo jedna. Tato metoda platí pro výrazy formuláře log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Není však vhodný pro některé speciální případy:

   • Logaritmus záporné číslo není na žádném základě stanovena (např. log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) nebo log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). V tomto případě napište "žádné řešení".
   • Logaritmus nuly k libovolnému základu také není definován. Pokud vás chytí ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), napište "žádné řešení".
   • Logaritmus jedné k libovolné základně ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) je vždy nula, protože x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) pro všechny hodnoty X. Místo tohoto logaritmu napište 1 a nepoužívejte níže uvedenou metodu.
   • Pokud mají logaritmy například různé základy l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))) a nejsou redukovány na celá čísla, hodnotu výrazu nelze ručně najít.

2. Převeďte výraz na jeden logaritmus. Pokud výraz není jedním z výše uvedených zvláštní příležitosti, může být reprezentován jako jeden logaritmus. Použijte k tomu následující vzorec: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Příklad 1: Zvažte výraz log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Nejprve si představme výraz jako jeden logaritmus pomocí výše uvedeného vzorce: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Tento vzorec pro „náhradu základny“ logaritmu je odvozen ze základních vlastností logaritmů.

3. Pokud je to možné, vyhodnoťte hodnotu výrazu ručně. Najít log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)) představte si výraz " A? = x (\displaystyle a^(?)=x)“, to znamená, položte si následující otázku: „Na jakou moc byste měli pozvednout A, Získat X Odpověď na tuto otázku může vyžadovat kalkulačku, ale pokud budete mít štěstí, můžete ji najít ručně.

   • Příklad 1 (pokračování): Přepište jako 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Musíte najít, jaké číslo by mělo stát místo znaku "?" To lze provést metodou pokus-omyl:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Takže číslo, které hledáme, je 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Nechte svou odpověď v logaritmické podobě, pokud ji nemůžete zjednodušit. Mnoho logaritmů je velmi obtížné vypočítat ručně. V tomto případě, abyste získali přesnou odpověď, budete potřebovat kalkulačku. Pokud však v hodině řešíte problém, učitel se nejspíš spokojí s odpovědí v logaritmické podobě. Níže uvedená metoda se používá k řešení složitějšího příkladu:

   • příklad 2: co se rovná log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Převedeme tento výraz na jeden logaritmus: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Všimněte si, že základ 3 společný oběma logaritmům zmizí; to je pravda z jakéhokoli důvodu.
   • Přepišme výraz ve tvaru 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) a zkusíme najít hodnotu?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     Protože 58 je mezi těmito dvěma čísly, není vyjádřeno jako celé číslo.
   • Odpověď ponecháme v logaritmickém tvaru: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).