La cantidad escalar T, igual a la suma de las energías cinéticas de todos los puntos del sistema, se llama energía cinética del sistema.
La energía cinética es una característica del movimiento de traslación y rotación de un sistema. Su cambio está influenciado por la acción de fuerzas externas y al ser escalar, no depende de la dirección del movimiento de las partes del sistema.
Encontremos la energía cinética para varios casos de movimiento:
1.Movimiento hacia adelante
Las velocidades de todos los puntos del sistema son iguales a la velocidad del centro de masa. Entonces
La energía cinética del sistema durante el movimiento de traslación es igual a la mitad del producto de la masa del sistema por el cuadrado de la velocidad del centro de masa.
2. movimiento rotacional (Figura 77)
Velocidad de cualquier punto del cuerpo: . Entonces
o usando la fórmula (15.3.1):
La energía cinética de un cuerpo durante la rotación es igual a la mitad del producto del momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y el cuadrado de su velocidad angular.
3. Movimiento plano paralelo
Para un movimiento dado, la energía cinética consiste en la energía de los movimientos de traslación y rotación.
El caso general del movimiento da una fórmula para calcular la energía cinética similar a la anterior.
Hicimos la definición de trabajo y potencia en el párrafo 3 del Capítulo 14. Aquí veremos ejemplos de cálculo del trabajo y la potencia de las fuerzas que actúan sobre un sistema mecánico.
1.Trabajo de las fuerzas de gravedad.. Sean , coordenadas de las posiciones inicial y final del punto k del cuerpo. El trabajo realizado por la fuerza de gravedad que actúa sobre esta partícula de peso será 
. Entonces trabajo de tiempo completo:
donde P es el peso del sistema de puntos materiales, es el desplazamiento vertical del centro de gravedad C.
2. Trabajo de fuerzas aplicadas a un cuerpo en rotación..
Según la relación (14.3.1), podemos escribir , pero ds según la Figura 74, debido a su infinita pequeñez, se puede representar en la forma 
- un ángulo de rotación infinitesimal del cuerpo. Entonces
Magnitud 
llamado par.
Reescribimos la fórmula (19.1.6) como
El trabajo elemental es igual al producto del par por la rotación elemental.
Al rotar el ángulo final tenemos:
Si esfuerzo de torsión es constante entonces
y determinamos la potencia a partir de la relación (14.3.5)
como el producto de los tiempos de torque velocidad angular cuerpos.
El teorema sobre el cambio de energía cinética demostrado para un punto (§ 14.4) será válido para cualquier punto del sistema.
Al componer tales ecuaciones para todos los puntos del sistema y sumarlas término por término, obtenemos:
o, según (19.1.1):
que es la expresión del teorema sobre la energía cinética de un sistema en forma diferencial.
Integrando (19.2.2) obtenemos:
El teorema sobre el cambio de energía cinética en su forma final: el cambio en la energía cinética de un sistema durante algún desplazamiento final es igual a la suma del trabajo realizado en este desplazamiento de todas las fuerzas externas e internas aplicadas al sistema.
Hagamos hincapié en que fuerzas internas no están excluidos. Para un sistema inmutable, la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas internas es cero y
Si las restricciones impuestas al sistema no cambian con el tiempo, entonces las fuerzas, tanto externas como internas, se pueden dividir en restricciones activas y de reacción, y ahora se puede escribir la ecuación (19.2.2):
En dinámica se introduce el concepto de sistema mecánico “ideal”. Este es un sistema en el que la presencia de conexiones no afecta el cambio de energía cinética, es decir
Tales conexiones, que no cambian con el tiempo y cuya suma de trabajo sobre un desplazamiento elemental es cero, se denominan ideales y la ecuación (19.2.5) se escribirá:
La energía potencial de un punto material en una posición dada M es la cantidad escalar P, igual al trabajo que producirán las fuerzas del campo al mover el punto de la posición M a cero.
P = A (mes) (19.3.1)
La energía potencial depende de la posición del punto M, es decir, de sus coordenadas.
P = P(x,y,z) (19.3.2)
Expliquemos aquí que un campo de fuerza es parte de un volumen espacial, en cada punto del cual una fuerza de cierta magnitud y dirección actúa sobre una partícula, dependiendo de la posición de la partícula, es decir, de las coordenadas x, y, z. Por ejemplo, el campo gravitacional de la Tierra.
Una función U de coordenadas cuyo diferencial es igual al trabajo se llama función de potencia. El campo de fuerza para el cual existe función de fuerza, llamado campo de fuerza potencial, y las fuerzas que actúan en este campo son fuerzas potenciales.
Dejar cero puntos para dos funciones de fuerza P(x,y,z) y U(x,y,z) coinciden.
Usando la fórmula (14.3.5) obtenemos, es decir dA = dU(x,y,z) y
donde U es el valor de la función de fuerza en el punto M. Por tanto
П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)
La energía potencial en cualquier punto del campo de fuerza es igual al valor de la función de fuerza en ese punto, tomado con el signo opuesto.
Es decir, al considerar las propiedades del campo de fuerza, en lugar de la función de fuerza, podemos considerar la energía potencial y, en particular, la ecuación (19.3.3) se reescribirá como
El trabajo realizado por una fuerza potencial es igual a la diferencia entre los valores de energía potencial de un punto en movimiento en las posiciones inicial y final.
En particular, el trabajo de la gravedad:
Sean potenciales todas las fuerzas que actúan sobre el sistema. Entonces para cada punto k del sistema el trabajo es igual a
Entonces, para todas las fuerzas, tanto externas como internas, habrá
¿Dónde está la energía potencial de todo el sistema?
Sustituimos estas sumas en la expresión de energía cinética (19.2.3):
o finalmente:
Cuando se mueve bajo la influencia de fuerzas potenciales, la suma de las energías cinética y potencial del sistema en cada una de sus posiciones permanece constante. Esta es la ley de conservación de la energía mecánica.
Una carga que pesa 1 kg oscila libremente según la ley x = 0,1sinl0t. Coeficiente de rigidez elástica c = 100 N/m. Determine la energía mecánica total de la carga en x = 0,05 m, si en x = 0 la energía potencial es cero 
. (0,5)
Una carga de masa m = 4 kg, al caer, hace girar con ayuda de una rosca un cilindro de radio R = 0,4 m. El momento de inercia del cilindro con respecto al eje de rotación es I = 0,2. Determine la energía cinética del sistema de cuerpos en el momento en que la velocidad de la carga v = 2m/s 
. (10,5)
Establezca los valores de peso corporal usando los controles deslizantesmetro, ángulo de inclinación del planoa, Fuerza externa texto F , coeficiente de fricciónmetroy aceleración A indicado en la Tabla 1 para su equipo.
Al mismo tiempo, encienda el cronómetro y presione el botón "Inicio". Apaga el cronómetro cuando tu cuerpo se detenga al final plano inclinado.
Haga este experimento 10 veces y registre los resultados de medir el tiempo que el cuerpo se desliza desde el plano inclinado en la mesa. 2.
TABLA 1. Parámetros iniciales del experimento
|
Brigada No. |
||||||
|
metros, kilos |
||||||
|
metro |
0,10 |
|||||
|
a, grados |
||||||
|
F en, norte |
||||||
|
a,m/s2 |
TABLA 2. Resultados de mediciones y cálculos
|
Ningún cambio |
Promedio significado |
Pogro. |
||||||||||
|
t, s |
||||||||||||
|
v , m/s |
||||||||||||
|
S, metro |
||||||||||||
|
W k, J |
||||||||||||
|
W p, J |
||||||||||||
|
A tr, J |
||||||||||||
|
A en, J |
||||||||||||
|
W completo, J |
W p = - energía potencial del cuerpo en el punto superior del plano inclinado; |
- trabajo de fuerza externa en el tramo de descensoTeorema sobre la energía cinética de un punto en forma diferencial
Multiplicando escalarmente ambos lados de la ecuación de movimiento de un punto material por el desplazamiento elemental del punto obtenemos
o, desde entonces
Una cantidad escalar o la mitad del producto de la masa de un punto por el cuadrado de su velocidad se llama energía cinética de un punto o fuerza viva de un punto.
La última igualdad constituye el contenido del teorema sobre la energía cinética de un punto en forma diferencial, que establece: el diferencial de la energía cinética de un punto es igual al trabajo elemental que actúa sobre el punto de fuerza.
El significado físico del teorema sobre la energía cinética es que el trabajo realizado por una fuerza que actúa sobre un punto se acumula en él como energía cinética de movimiento.
Teorema sobre la energía cinética de un punto en forma integral
Deje que el punto se mueva de la posición A a la posición B, pasando a lo largo de su trayectoria el arco final AB (Fig. 113). Integrando la igualdad de A a B:
¿Dónde están las velocidades del punto en las posiciones A y B, respectivamente?
La última igualdad constituye el contenido del teorema sobre la energía cinética de un punto en forma integral, que establece: el cambio en la energía cinética de un punto durante un cierto período de tiempo es igual al trabajo realizado durante el mismo tiempo por el fuerza que actúa sobre él.
El teorema resultante es válido cuando un punto se mueve bajo la influencia de cualquier fuerza. Sin embargo, como se indicó, para calcular el trabajo total realizado por una fuerza, es necesario caso general Conoce las ecuaciones de movimiento de un punto.
Por tanto, el teorema de la energía cinética, en términos generales, no proporciona la primera integral de las ecuaciones de movimiento.
Integral de energía
El teorema de la energía cinética da la primera integral de las ecuaciones de movimiento de un punto si el trabajo total realizado por una fuerza se puede determinar sin recurrir a las ecuaciones de movimiento. Esto último es posible, como se indicó anteriormente, si la fuerza que actúa sobre el punto pertenece al campo de fuerzas. En este caso, basta con conocer únicamente la trayectoria del punto. Sea la trayectoria de un punto una especie de curva, entonces las coordenadas de sus puntos se pueden expresar a través del arco de la trayectoria y, por lo tanto, la fuerza que depende de las coordenadas del punto se puede expresar a través de
y el teorema de la energía cinética da la primera integral de la forma
donde están los arcos de la trayectoria correspondientes a los puntos A y es la proyección de la fuerza sobre la tangente a la trayectoria (Fig. 113).
Energía potencial y ley de conservación de la energía mecánica de un punto.
De particular interés es el movimiento de un punto en un campo potencial, ya que el teorema de la energía cinética proporciona una integral muy importante de las ecuaciones de movimiento.
En un campo potencial, el trabajo total realizado por una fuerza es igual a la diferencia entre los valores de la función fuerza al final y al inicio del recorrido:
Por tanto, el teorema de la energía cinética en este caso se escribe como:
La función de fuerza tomada con el signo opuesto se llama energía potencial de un punto y se denota con la letra P:
La energía potencial, así como la función de fuerza, se especifican hasta una constante arbitraria, cuyo valor está determinado por la elección de la superficie del nivel cero. La suma de la energía cinética y potencial de un punto se llama energía mecánica total del punto.
El teorema sobre la energía cinética de un punto, si la fuerza pertenece al campo potencial, se escribe como:
donde están los valores de energía potencial correspondientes a los puntos A y B. La ecuación resultante constituye el contenido de la ley de conservación de la energía mecánica para un punto, que establece: al moverse en un campo potencial, la suma de las fuerzas cinética y La energía potencial del punto permanece constante.
Dado que la ley de conservación de la energía mecánica es válida sólo para fuerzas que pertenecen a campos potenciales, las fuerzas de dicho campo se denominan conservadoras (del verbo latino conservare - preservar), lo que enfatiza el cumplimiento de la ley formulada en este caso. Tenga en cuenta que si el concepto de energía cinética tiene fundamentos físicos conocidos en su definición, entonces el concepto de energía potencial no los tiene. El concepto de energía potencial en en cierto sentido es una cantidad ficticia que se define de modo que los cambios en su valor corresponden exactamente a los cambios en la energía cinética. La introducción de esta cantidad asociada al movimiento ayuda a la descripción del movimiento y por ello juega un papel importante en el llamado descripción energética movimiento, desarrollado por la mecánica analítica. Este último es el significado de introducir este valor.
El trabajo resultante de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo.
Este teorema es válido no sólo para el movimiento de traslación de un cuerpo rígido, sino también para su movimiento arbitrario.
Sólo los cuerpos en movimiento tienen energía cinética, por eso se le llama energía de movimiento.
§ 8. Fuerzas conservadoras (potenciales).
Campo de fuerzas conservadoras.
Def.
Las fuerzas cuyo trabajo no depende de la trayectoria por la que se movió el cuerpo, sino que está determinado únicamente por las posiciones inicial y final del cuerpo, se denominan fuerzas conservativas (potenciales).
Def.
Un campo de fuerza es una región del espacio, en cada punto del cual se aplica una fuerza a un cuerpo colocado allí, que cambia naturalmente de un punto a otro en el espacio.
Def.
Un campo que no cambia con el tiempo se llama estacionario.
Se pueden probar las siguientes 3 afirmaciones.
1) El trabajo realizado por fuerzas conservativas a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es igual a 0.
Prueba:
2) Un campo de fuerzas homogéneo es conservador.
Def.
Un campo se llama homogéneo si en todos los puntos del campo las fuerzas que actúan sobre un cuerpo colocado allí son idénticas en magnitud y dirección.
Prueba:
3) El campo de fuerzas centrales, en el que la magnitud de la fuerza depende únicamente de la distancia al centro, es conservador.
Def.
El campo de fuerzas centrales es un campo de fuerza, en cada punto del cual una fuerza dirigida a lo largo de una línea que pasa por el mismo punto fijo, el centro del campo, actúa sobre un cuerpo puntual que se mueve en él.
En el caso general, tal campo de fuerzas centrales no es conservador. Si, en el campo de fuerzas centrales, la magnitud de la fuerza depende únicamente de la distancia al centro del campo de fuerza (O), es decir , entonces dicho campo es conservador (potencial).
Prueba:
¿Dónde está la antiderivada?
§ 9. Energía potencial.
Relación entre fuerza y energía potencial.
en el campo de las fuerzas conservadoras
Elijamos el origen de coordenadas como el campo de fuerzas conservativas, es decir
Energía potencial de un cuerpo en un campo de fuerzas conservativas. Esta función se determina de forma única (depende sólo de las coordenadas), porque el trabajo de las fuerzas conservadoras no depende del tipo de camino.
Encontremos una conexión en el campo de fuerzas conservativas al mover un cuerpo del punto 1 al punto 2.
El trabajo de las fuerzas conservativas es igual al cambio de energía potencial con signo opuesto.
La energía potencial de un cuerpo de un campo de fuerzas conservativas es la energía debida a la presencia de un campo de fuerzas resultante de una determinada interacción. cuerpo dado con un cuerpo externo (cuerpos), que se dice que crea un campo de fuerza.
La energía potencial del campo de fuerzas conservadoras caracteriza la capacidad de un cuerpo para realizar un trabajo y es numéricamente igual al trabajo de las fuerzas conservadoras para mover el cuerpo al origen de coordenadas (o a un punto con energía cero). Depende de la elección del nivel cero y puede ser negativo. En cualquier caso, y por lo tanto también es válido para el trabajo elemental, es decir, o , donde está la proyección de la fuerza sobre la dirección del movimiento o desplazamiento elemental. Por eso, . Porque podemos mover el cuerpo en cualquier dirección, entonces para cualquier dirección es cierto. La proyección de una fuerza conservativa en una dirección arbitraria es igual a la derivada de la energía potencial en esa dirección con signo opuesto.
Teniendo en cuenta la expansión de los vectores y en términos de la base , obtenemos que
Por otra parte desde Análisis matemático Se sabe que diferencial completo funciones de varias variables igual a la suma productos de derivadas parciales con respecto a argumentos y diferenciales de argumentos, es decir , lo que significa que de la relación obtenemos
Para escribir estas relaciones de forma más compacta, puede utilizar el concepto de gradiente de función.
Def.
El gradiente de alguna función de coordenadas escalares es un vector con coordenadas iguales a las correspondientes derivadas parciales de esta función.
En nuestro caso
Def.
Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos en un campo de fuerzas conservativas cuyos valores de energía potencial son los mismos, es decir .
Porque De la definición de superficie equipotencial se deduce que para puntos en esta superficie, entonces , como derivada de una constante, por lo tanto .
Por tanto, la fuerza conservativa es siempre perpendicular a la superficie equipotencial y está dirigida en la dirección de disminución de la energía potencial. (P1 > P2 > P3).
§ 10. Energía potencial de interacción.
Sistemas mecánicos conservadores.
Consideremos un sistema de dos partículas que interactúan. Dejemos que las fuerzas de su interacción sean centrales y la magnitud de la fuerza dependa de la distancia entre las partículas (tales fuerzas son las fuerzas gravitacionales y eléctricas de Coulomb). Está claro que las fuerzas de interacción entre dos partículas son internas.
Teniendo en cuenta la tercera ley de Newton (), obtenemos, es decir, el trabajo de las fuerzas internas de interacción entre dos partículas está determinado por el cambio en la distancia entre ellas.
El mismo trabajo se realizaría si la primera partícula estuviera en reposo en el origen y la segunda recibiera un desplazamiento igual al incremento de su radio vector, es decir, el trabajo realizado por las fuerzas internas se puede calcular considerando una partícula estacionaria y la segundo que se mueve en un campo de fuerzas centrales, cuya magnitud está determinada únicamente por la distancia entre las partículas. En §8 demostramos que el campo de tales fuerzas (es decir, el campo de fuerzas centrales, en el que la magnitud de la fuerza depende únicamente de la distancia al centro) es conservador, lo que significa que su trabajo puede considerarse como una disminución de energía potencial (definida, según §9, para un campo de fuerzas conservativas).
En el caso que nos ocupa, esta energía se debe a la interacción de dos partículas que forman un sistema cerrado. Se llama energía potencial de interacción (o energía potencial mutua). También depende de la elección del nivel cero y puede ser negativo.
Def.
Un sistema mecánico de cuerpos rígidos, cuyas fuerzas internas son conservativas, se denomina sistema mecánico conservativo.
Se puede demostrar que la energía potencial de interacción de un sistema conservativo de N partículas se compone de las energías potenciales de interacción de partículas tomadas en pares, lo que se puede imaginar.
¿Dónde está la energía potencial de interacción entre dos partículas i-ésima y j-ésima? Los índices i y j en suma toman valores independientes de 1,2,3, ..., N. Considerando que la misma energía potencial de interacción de las partículas i-ésima y j-ésima entre sí, entonces cuando se suman , la energía se multiplicará por 2, como resultado de lo cual aparece un coeficiente delante de la cantidad. En general, la energía potencial de interacción de un sistema de N partículas dependerá de la posición o coordenadas de todas las partículas. Es fácil ver que la energía potencial de una partícula en un campo de fuerzas conservativas es un tipo de energía potencial de interacción de un sistema de partículas, porque un campo de fuerza es el resultado de alguna interacción de los cuerpos entre sí.
§ 11. La ley de conservación de la energía en mecánica.
Dejar sólido avanza bajo la influencia de fuerzas conservadoras y no conservadoras, es decir caso general. Entonces la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es . El trabajo de la resultante de todas las fuerzas en este caso.
Por el teorema de la energía cinética, y teniendo en cuenta también que, obtenemos
Energía mecánica total del cuerpo.
Si entonces. Eso es lo que es notación matemática la ley de conservación de la energía en mecánica para un cuerpo individual.
Formulación de la ley de conservación de la energía:
La energía mecánica total de un cuerpo no cambia en ausencia del trabajo de fuerzas no conservativas.
Para un sistema mecánico de N partículas es fácil demostrar que (*) tiene lugar.
Donde
La primera suma aquí es la energía cinética total del sistema de partículas.
El segundo es la energía potencial total de las partículas en el campo externo de fuerzas conservadoras.
La tercera es la energía potencial de interacción de las partículas del sistema entre sí.
La segunda y tercera sumas representan la energía potencial total del sistema.
El trabajo de las fuerzas no conservadoras consta de dos términos, que representan el trabajo de las fuerzas no conservadoras internas y externas.
Al igual que en el caso del movimiento de un cuerpo individual, para un sistema mecánico de N cuerpos, si , entonces , y la ley de conservación de la energía en el caso general de un sistema mecánico dice:
La energía mecánica total de un sistema de partículas que se encuentran únicamente bajo la influencia de fuerzas conservativas se conserva.
Por tanto, en presencia de fuerzas no conservativas, la energía mecánica total no se conserva.
Las fuerzas no conservativas son, por ejemplo, la fuerza de fricción, la fuerza de resistencia y otras fuerzas cuyas acciones provocan la desinización de la energía (transformación de energía mecánica en calor).
Las fuerzas que conducen a la desinización se denominan desinativas. Algunas fuerzas no son necesariamente destinarias.
La ley de conservación de la energía es universal y se aplica no sólo a los fenómenos mecánicos, sino también a todos los procesos de la naturaleza. La cantidad total de energía en un sistema aislado de cuerpos y campos siempre permanece constante. La energía sólo puede pasar de una forma a otra.
Teniendo en cuenta esta igualdad
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el trabajo de las fuerzas resultantes aplicadas al cuerpo es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo.
Dado que el cambio de energía cinética es igual al trabajo de la fuerza (3), la energía cinética de un cuerpo se expresa en las mismas unidades que el trabajo, es decir, en julios.
Si la velocidad inicial de movimiento de un cuerpo de masa metro es cero y el cuerpo aumenta su velocidad hasta el valor υ , entonces el trabajo realizado por la fuerza es igual al valor final de la energía cinética del cuerpo:
A=Ek 2−Ek 1=metro⋅υ 22−0=metro⋅υ 22 .
42) Campos potenciales
Campo potencial
campo conservador, un campo vectorial cuya circulación a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es cero. Si un campo de fuerza es un campo de fuerza, esto significa que el trabajo de las fuerzas del campo a lo largo de una trayectoria cerrada es igual a cero. Para P. p. A(METRO) existe una función tan única tu(METRO)(potencial de campo) que A= graduado tu(ver Degradado). Si un campo se da en un dominio simplemente conectado Ω, entonces el potencial de este campo se puede encontrar usando la fórmula
donde SOY- cualquier curva suave que conecta un punto fijo A desde Ω con un punto M, t - vector unitario de curva tangente SOY. y / - longitud del arco SOY. basado en puntos A. Si A(METRO) - P. p., luego pudrirse a= 0 (ver Vórtice de campo vectorial). Por el contrario, si se pudre A= 0 y el campo está definido en un dominio simplemente conexo y es diferenciable, entonces A(METRO) - P.p. El potencial son, por ejemplo, un campo electrostático, un campo gravitacional y un campo de velocidad durante el movimiento irrotacional.
43) Energía potencial
Energía potencial- escalar cantidad física, que caracteriza la capacidad de un determinado cuerpo (o punto material) para realizar un trabajo debido a su ubicación en el campo de acción de las fuerzas. Otra definición: la energía potencial es una función de coordenadas, que es un término en el sistema lagrangiano y describe la interacción de los elementos del sistema. El término "energía potencial" fue acuñado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William Rankine.
La unidad de energía del SI es el julio.
Se supone que la energía potencial es cero para una determinada configuración de cuerpos en el espacio, cuya elección está determinada por la conveniencia de realizar cálculos adicionales. El proceso de elección de esta configuración se llama normalización de la energía potencial.
Sólo se puede dar una definición correcta de energía potencial en un campo de fuerzas, cuyo trabajo depende únicamente de la posición inicial y final del cuerpo, pero no de la trayectoria de su movimiento. Estas fuerzas se denominan conservadoras.
Además, la energía potencial es una característica de la interacción de varios cuerpos o de un cuerpo y un campo.
Cualquier sistema fisico tiende al estado con menor energía potencial.
Energía potencial deformación elástica Caracteriza la interacción entre partes del cuerpo.
La energía potencial en el campo gravitacional de la Tierra cerca de la superficie se expresa aproximadamente mediante la fórmula:
Dónde mi p- energía potencial del cuerpo, metro- masa corporal, gramo- aceleración de la gravedad, h- la altura del centro de masa del cuerpo por encima de un nivel cero seleccionado arbitrariamente.
44) Relación entre fuerza y energía potencial.
Cada punto del campo potencial corresponde, por un lado, a un determinado valor del vector de fuerza que actúa sobre el cuerpo y, por otro lado, a un determinado valor de energía potencial. Por tanto, debe existir una cierta relación entre fuerza y energía potencial.
Para establecer esta conexión, calculemos el trabajo elemental realizado por las fuerzas del campo durante un pequeño desplazamiento del cuerpo que ocurre a lo largo de una dirección arbitrariamente elegida en el espacio, que denotamos con la letra . Este trabajo es igual a
¿Dónde está la proyección de la fuerza sobre la dirección?
Desde en en este caso el trabajo se realiza debido a la reserva de energía potencial, es igual a la pérdida de energía potencial en el segmento del eje:
De las dos últimas expresiones obtenemos
La última expresión da el valor promedio en el intervalo. A
para obtener el valor en el punto necesitas ir al límite:
en vectores de matemáticas,
donde a es una función escalar de x, y, z, llamada gradiente de este escalar y denotada por el símbolo . Por lo tanto, la fuerza es igual al gradiente de energía potencial tomado con el signo opuesto
45) Ley de conservación de la energía mecánica.
