Las fórmulas de reducción de trigonometría son fáciles de recordar. Fórmulas de reducción, regla mnemotécnica, demostración, ejemplos.

Y una cosa más: hay bastantes fórmulas de reducción y le advertimos inmediatamente que no se las aprenda todas de memoria. No hay absolutamente ninguna necesidad de esto: hay uno que le permite aplicar fácilmente fórmulas reductoras.

Entonces, anotamos todas las fórmulas de reducción en forma de tabla.

Estas fórmulas se pueden reescribir usando grados y radianes. Para hacer esto, simplemente recuerde la relación entre grados y radianes y reemplace π con 180 grados en todas partes.

Ejemplos de uso de fórmulas de reducción.

El propósito de este párrafo es mostrar cómo se utilizan las fórmulas de reducción en la práctica para resolver ejemplos.

Para empezar, vale la pena decir que existe número infinito formas de representar un ángulo bajo el signo de funciones trigonométricas en la forma y . Esto se debe al hecho de que el ángulo puede tomar cualquier valor. Demostremos esto con un ejemplo.

Por ejemplo, tomemos el ángulo debajo del signo. Funcion trigonometrica igual Este ángulo se puede representar como , o como , o como , o de muchas otras maneras.

Ahora veamos qué fórmulas de reducción tendremos que utilizar dependiendo de la representación del ángulo. Echemos .

Si representamos el ángulo como , entonces esta representación corresponde a una fórmula de reducción de la forma , de la cual obtenemos . Aquí podemos indicar el valor de la función trigonométrica: .

Para presentación ya usaremos una fórmula de la forma , lo que nos lleva al siguiente resultado: .

Finalmente, dado que la fórmula de reducción correspondiente tiene la forma .

Para concluir esta discusión, vale la pena señalar especialmente que existen ciertas ventajas al utilizar representaciones de ángulos en las que el ángulo tiene un valor de 0 a 90 grados (de 0 a pi en medio radianes).

Veamos otro ejemplo del uso de fórmulas de reducción.

Ejemplo.

Usando fórmulas de reducción, representa a través del seno y también a través del coseno de un ángulo agudo.

Solución.

Para aplicar las fórmulas de reducción, necesitamos representar un ángulo de 197 grados en la forma o , y según las condiciones del problema, el ángulo debe ser agudo. Esto se puede hacer de dos formas: o . De este modo, o .

Pasando a las fórmulas correspondientes para reducir y , obtenemos y .

Respuesta:

Y .

regla mnemotécnica

Como mencionamos anteriormente, no es necesario memorizar fórmulas de reducción. Si los observas detenidamente podrás identificar patrones a partir de los cuales podrás obtener una regla que te permita obtener cualquiera de las fórmulas de reducción. El es llamado regla mnemotécnica(La mnemónica es el arte de la memorización).

La regla mnemotécnica contiene tres etapas:

Vale la pena decir de inmediato que para aplicar la regla mnemotécnica es necesario ser muy bueno identificando los signos del seno, coseno, tangente y cotangente por cuartos, ya que esto tendrá que hacerse constantemente.

Veamos la aplicación de la regla mnemotécnica usando ejemplos.

Ejemplo.

Usando regla mnemotécnica, escribe las fórmulas de reducción para Y , considerando el ángulo como el ángulo del primer cuarto.

Solución.

No tenemos que hacer el primer paso de la regla, ya que los ángulos bajo los signos de las funciones trigonométricas ya están escritos en la forma requerida.

Determinemos el signo de las funciones. Y . Siempre que - el ángulo del primer cuarto, el ángulo es también el ángulo del primer cuarto, y el ángulo - ángulo del segundo cuarto. El coseno en el primer cuarto tiene un signo más y la tangente en el segundo cuarto tiene un signo menos. En esta etapa, las fórmulas requeridas tendrán la forma y . Ahora que hemos descubierto los signos, podemos pasar al paso final de la regla mnemotécnica.

Dado que el argumento de la función coseno tiene la forma , entonces se debe cambiar el nombre de la función a cofunción, es decir, a seno. Y el argumento tangente tiene la forma , por lo tanto, el nombre de la función debe dejarse igual.

Como resultado tenemos Y . Puedes consultar la tabla de fórmulas de reducción para asegurarte de que los resultados obtenidos son correctos.

Respuesta:

Y .

Para consolidar el material, considere resolver un ejemplo con ángulos específicos.

Ejemplo.

Usando una regla mnemotécnica, reduzca a funciones trigonométricas de un ángulo agudo.

Solución.

Primero, imaginemos el ángulo de 777 grados en la forma necesaria para aplicar la regla mnemotécnica. Esto se puede hacer de dos maneras: o.

El ángulo original es el primer cuarto de ángulo, el seno de este ángulo tiene un signo más.

Para la presentación se debe dejar el nombre del seno igual, pero para presentar el tipo se debe cambiar el seno a coseno.

Como resultado, tenemos y .

Respuesta:

Y .

Para concluir este punto, consideremos un ejemplo que ilustra la importancia de representar correctamente un ángulo bajo el signo de las funciones trigonométricas para aplicar la regla mnemotécnica: ¡¡¡El ángulo debe ser agudo!!!

Calculemos la tangente del ángulo. En principio, consultando el material del artículo sobre los valores de seno, coseno, tangente y cotangente, podemos responder inmediatamente a la pregunta del problema: .

Si representamos el ángulo como o como , entonces podemos usar la regla mnemotécnica: Y , lo que nos lleva al mismo resultado.

Pero esto es lo que puede suceder si tomamos la representación de un ángulo, por ejemplo, de la forma. En este caso, la regla mnemotécnica nos llevará a este resultado. Este resultado es incorrecto, y se explica por el hecho de que para la representación no teníamos derecho a aplicar la regla mnemotécnica, ya que el ángulo no es agudo.

Prueba de fórmulas de reducción.

Las fórmulas de reducción reflejan propiedades de periodicidad, simetría y desplazamiento por ángulos y . Observemos de inmediato que todas las fórmulas de reducción se pueden probar descartando el término en los argumentos, ya que esto significa cambiar el ángulo en un número entero de revoluciones completas, y esto no cambia los valores de las funciones trigonométricas. Este término sirve como reflejo de la periodicidad.

El primer bloque de 16 fórmulas de reducción se deriva directamente de las propiedades del seno, el coseno, la tangente y la cotangente. Ni siquiera vale la pena insistir en ellos.

Pasemos al siguiente bloque de fórmulas. Primero probamos los dos primeros. El resto se deriva de ellos. Entonces, probemos las fórmulas de reducción de la forma Y .

Consideremos el círculo unitario. Deje que el punto inicial A, después de girar en un ángulo, vaya al punto A 1 (x, y), y después de girar en un ángulo, al punto A 2. Dibujemos A 1 H 1 y A 2 H 2 – perpendiculares a la recta Ox.

Es fácil ver que los triángulos rectángulos OA 1 H 1 y OA 2 H 2 son iguales en hipotenusa y dos ángulos adyacentes. De la igualdad de los triángulos y la ubicación de los puntos A 1 y A 2 en el círculo unitario, queda claro que si el punto A 1 tiene coordenadas xey, entonces el punto A 2 tiene coordenadas −y y x. Entonces las definiciones de seno y coseno nos permiten escribir las igualdades y , de lo que se deduce que Y . Esto demuestra las fórmulas de reducción consideradas para cualquier ángulo.

Teniendo en cuenta que Y (si es necesario, consulte el artículo identidades trigonométricas básicas), así como las fórmulas recién probadas, obtenemos y . Entonces probamos las siguientes dos fórmulas de reducción.

Para probar fórmulas de reducción con un argumento, basta con representarlas como y luego usar las fórmulas y propiedades probadas de funciones trigonométricas con argumentos opuestos. Por ejemplo, .

Todas las demás fórmulas reductoras se prueban de manera similar basándose en las ya probadas mediante doble aplicación. Por ejemplo, aparece como , pero como . Y y - como y respectivamente.

Bibliografía.

• Álgebra: Libro de texto para noveno grado. promedio escuela/yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Educación, 1990. - 272 págs.: enfermo - ISBN 5-09-002727-7.
• Bashmakov M. I.Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto. para 10-11 grados. promedio escuela - 3ª edición. - M.: Educación, 1993. - 351 p.: enfermo. - ISBN 5-09-004617-4.
• Álgebra y el inicio del análisis: Proc. para 10-11 grados. educación general instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn y otros; Ed. A. N. Kolmogorov - 14ª ed. - M.: Educación, 2004. - 384 págs.: Ill.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas): Proc. asignación.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., enfermo.

Definición. Las fórmulas de reducción son fórmulas que permiten pasar de funciones trigonométricas de forma a funciones de argumento. Con su ayuda, el seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo arbitrario se pueden reducir al seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo del intervalo de 0 a 90 grados (de 0 a radianes). Así, las fórmulas de reducción nos permiten pasar a trabajar con ángulos dentro de los 90 grados, lo que sin duda resulta muy conveniente.

Fórmulas de reducción:

Hay dos reglas para utilizar fórmulas de reducción.

1. Si el ángulo se puede representar como (π/2 ±a) o (3*π/2 ±a), entonces cambios de nombre de función pecado a cos, cos a pecado, tg a ctg, ctg a tg. Si el ángulo se puede representar en la forma (π ±a) o (2*π ±a), entonces El nombre de la función permanece sin cambios.

Mire la imagen a continuación, muestra esquemáticamente cuándo cambiar el letrero y cuándo no.

2. Signo de la función reducida sigue siendo el mismo. Si la función original tenía un signo más, entonces la función reducida también tiene un signo más. Si la función original tenía un signo menos, entonces la función reducida también tiene un signo menos.

La siguiente figura muestra los signos de las funciones trigonométricas básicas según el trimestre.

Ejemplo:

Calcular

Usemos las fórmulas de reducción:

Sin(150˚) está en el segundo cuarto; en la figura vemos que el signo de pecado en este cuarto es igual a "+". Esto significa que la función dada también tendrá un signo "+". Aplicamos la segunda regla.

Ahora 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ es π/2. Es decir, estamos ante el caso π/2+60, por lo tanto, según la primera regla, cambiamos la función de sin a cos. Como resultado, obtenemos Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Y otro problema B11 sobre el mismo tema: del examen estatal unificado real de matemáticas.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

En este breve vídeo tutorial aprenderemos cómo aplicar fórmulas de reducción para la resolución de problemas reales B11 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Como puedes ver, tenemos dos expresiones trigonométricas, cada una de las cuales contiene senos y cosenos, así como algunos argumentos numéricos bastante brutales.

Antes de solucionar estos problemas, recordemos qué son las fórmulas de reducción. Entonces, si tenemos expresiones como:

Entonces podemos deshacernos del primer término (de la forma k · π/2) según reglas especiales. Dibujemos un círculo trigonométrico y marquemos en él los puntos principales: 0, π/2; π; 3π/2 y 2π. Luego miramos el primer término bajo el signo de la función trigonométrica. Tenemos:

1. Si el término que nos interesa se encuentra en el eje vertical del círculo trigonométrico (por ejemplo: 3π/2; π/2, etc.), entonces la función original se reemplaza por una cofunción: el seno se reemplaza por el coseno, y coseno, por el contrario, por seno.
2. Si nuestro término se encuentra en el eje horizontal, entonces la función original no cambia. Simplemente eliminamos el primer término de la expresión y listo.

Así, obtenemos una función trigonométrica que no contiene términos de la forma k · π/2. Sin embargo, el trabajo con fórmulas de reducción no termina ahí. El hecho es que nuestra nueva función, obtenida después de "descartar" el primer término, puede tener un signo más o menos delante. ¿Cómo identificar este signo? Ahora lo descubriremos.

Imaginemos que el ángulo α que queda dentro de la función trigonométrica después de las transformaciones tiene una medida en grados muy pequeña. Pero ¿qué significa “pequeña medida”? Digamos que α ∈ (0; 30°) es suficiente. Tomemos un ejemplo de la función:

Luego, siguiendo nuestras suposiciones de que α ∈ (0; 30°), concluimos que el ángulo 3π/2 − α se encuentra en el tercer cuarto de coordenadas, es decir 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Recordemos el signo de la función original, es decir y = sen x en este intervalo. Obviamente, el seno en el tercer cuarto de coordenadas es negativo, ya que, por definición, el seno es la ordenada del final del radio en movimiento (en resumen, el seno es la coordenada y). Bueno, la coordenada y en el semiplano inferior siempre toma valores negativos. Esto significa que en el tercer trimestre y también es negativo.

A partir de estas reflexiones podemos escribir la expresión final:

Problema B11 - Opción 1

Estas mismas técnicas son bastante adecuadas para resolver el problema B11 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas. La única diferencia es que en muchos problemas reales de B11, en lugar de una medida en radianes (es decir, números π, π/2, 2π, etc.) se utiliza una medida en grados (es decir, 90°, 180°, 270°, etc.). Veamos la primera tarea:

Veamos primero el numerador. porque 41° no es valor de la tabla, por lo que no podemos hacer nada con él. Dejémoslo así por ahora.

Ahora veamos el denominador:

sen 131° = sen (90° + 41°) = cos 41°

Obviamente, esta es una fórmula de reducción, por lo que el seno se reemplaza por un coseno. Además, el ángulo 41° se encuentra en el segmento (0°; 90°), es decir en el primer cuadrante de coordenadas, exactamente como se requiere para aplicar las fórmulas de reducción. Pero entonces 90° + 41° es el segundo cuarto de coordenadas. La función original y = sen x es positiva allí, por lo que colocamos un signo más delante del coseno en el último paso (en otras palabras, no pusimos nada).

Queda por abordar el último elemento:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Aquí vemos que 180° es eje horizontal. En consecuencia, la función en sí no cambiará: había un coseno, y el coseno también permanecerá. Pero surge nuevamente la pregunta: ¿aparecerá más o menos antes de la expresión resultante cos 60°? Tenga en cuenta que 180° es el tercer cuarto de coordenadas. El coseno allí es negativo, por lo tanto, eventualmente tendrá un signo menos delante. En total, obtenemos la construcción −cos 60° = −0,5; este es un valor tabular, por lo que todo es fácil de calcular.

Ahora sustituimos los números resultantes en la fórmula original y obtenemos:

Como puedes ver, el número cos 41° en el numerador y denominador de la fracción se reduce fácilmente y queda la expresión habitual, que es igual a −10. En este caso, el menos se puede quitar y colocar delante del signo de fracción, o “mantenerse” junto al segundo factor hasta el último paso de los cálculos. En cualquier caso, la respuesta será −10. Eso es todo, ¡el problema B11 está resuelto!

Problema B14 - opción 2

Pasemos a la segunda tarea. Tenemos una fracción nuevamente:

Bueno, 27° se encuentra en el primer cuarto de coordenadas, por lo que no cambiaremos nada aquí. Pero es necesario escribir el sen 117° (sin ningún cuadrado por ahora):

sen 117° = sen (90° + 27°) = cos 27°

Obviamente, ante nosotros otra vez. fórmula de reducción: 90° es el eje vertical, por lo tanto el seno cambiará a coseno. Además, el ángulo α = 117° = 90° + 27° se encuentra en el segundo cuadrante de coordenadas. La función original y = sen x es positiva allí, por lo tanto, después de todas las transformaciones, todavía queda un signo más delante del coseno. En otras palabras, allí no se añade nada, lo dejamos así: cos 27°.

Volvemos a la expresión original que hay que calcular:

Como vemos, después de las transformaciones, la principal identidad trigonométrica surgió en el denominador: sen 2 27° + cos 2 27° = 1. Total −4: 1 = −4 - entonces encontramos la respuesta al segundo problema B11.

Como puede ver, con la ayuda de fórmulas de reducción, estos problemas del Examen Estatal Unificado de Matemáticas se resuelven literalmente en un par de líneas. Sin senos de la suma y cosenos de la diferencia. Todo lo que necesitamos recordar es simplemente el círculo trigonométrico.

Este artículo está dedicado a un estudio detallado. fórmulas trigonométricas fantasmas Dan Lista llena Se muestran fórmulas de reducción, se muestran ejemplos de su uso y se proporciona prueba de la exactitud de las fórmulas. El artículo también proporciona una regla mnemotécnica que le permite derivar fórmulas de reducción sin memorizar cada fórmula.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fórmulas de reducción. Lista

Las fórmulas de reducción le permiten reducir funciones trigonométricas básicas de ángulos de magnitud arbitraria a funciones de ángulos que se encuentran en el rango de 0 a 90 grados (de 0 a π 2 radianes). Operar con ángulos de 0 a 90 grados es mucho más conveniente que trabajar con valores arbitrariamente grandes, razón por la cual las fórmulas de reducción se usan ampliamente para resolver problemas de trigonometría.

Antes de escribir las fórmulas en sí, aclaremos varios puntos importantes para su comprensión.

• Los argumentos de las funciones trigonométricas en fórmulas de reducción son ángulos de la forma ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Aquí z es cualquier número entero y α es un ángulo de rotación arbitrario.
• No es necesario aprender todas las fórmulas de reducción, cuyo número es bastante impresionante. Existe una regla mnemotécnica que facilita derivar la fórmula deseada. Hablaremos de la regla mnemotécnica más adelante.

Ahora pasemos directamente a las fórmulas de reducción.

Las fórmulas de reducción le permiten pasar de trabajar con ángulos arbitrarios y arbitrariamente grandes a trabajar con ángulos que oscilan entre 0 y 90 grados. Escribamos todas las fórmulas en forma de tabla.

Fórmulas de reducción

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

EN en este caso las fórmulas se escriben en radianes. Sin embargo, también puedes escribirlos usando grados. Basta con convertir radianes a grados, reemplazando π por 180 grados.

Ejemplos de uso de fórmulas de reducción.

Mostraremos cómo utilizar fórmulas de reducción y cómo se utilizan estas fórmulas para resolver ejemplos prácticos.

El ángulo bajo el signo de una función trigonométrica se puede representar no de una, sino de muchas formas. Por ejemplo, el argumento de una función trigonométrica se puede representar en la forma ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Demostremos esto.

Tomemos el ángulo α = 16 π 3. Este ángulo se puede escribir así:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

Dependiendo de la representación del ángulo se utiliza la fórmula de reducción adecuada.

Tomemos el mismo ángulo α = 16 π 3 y calculemos su tangente

Ejemplo 1: uso de fórmulas de reducción

α = 16 π 3 , t gramo α = ?

Representemos el ángulo α = 16 π 3 como α = π + π 3 + 2 π 2

Esta representación del ángulo corresponderá a la fórmula de reducción.

t gramo (π + α + 2 π z) = t gramo α

t gramo 16 π 3 = t gramo π + π 3 + 2 π 2 = t gramo π 3

Usando la tabla, indicamos el valor de la tangente.

Ahora usamos otra representación del ángulo α = 16 π 3.

Ejemplo 2: uso de fórmulas de reducción

α = 16 π 3 , t gramo α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Finalmente, para la tercera representación del ángulo escribimos

Ejemplo 3. Usar fórmulas de reducción

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

Ahora demos un ejemplo del uso de fórmulas de reducción más complejas.

Ejemplo 4: uso de fórmulas de reducción

Imaginemos sen 197° a través del seno y el coseno de un ángulo agudo.

Para poder aplicar fórmulas de reducción, es necesario representar el ángulo α = 197 ° en una de las formas

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Según las condiciones del problema, el ángulo debe ser agudo. En consecuencia, tenemos dos formas de representarlo:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Obtenemos

sen 197° = sen (180° + 17°) sen 197° = sen (270° - 73°)

Ahora veamos las fórmulas de reducción de senos y elijamos las adecuadas.

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = pecado (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °

regla mnemotécnica

Existen muchas fórmulas de reducción y, afortunadamente, no es necesario memorizarlas. Existen regularidades mediante las cuales se pueden derivar fórmulas de reducción para diferentes ángulos y funciones trigonométricas. Estos patrones se denominan reglas mnemotécnicas. La mnemónica es el arte de la memorización. La regla mnemotécnica consta de tres partes o contiene tres etapas.

regla mnemotécnica

1. El argumento de la función original se representa en una de las siguientes formas:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

El ángulo α debe estar entre 0 y 90 grados.

2. Se determina el signo de la función trigonométrica original. La función escrita en el lado derecho de la fórmula tendrá el mismo signo.

3. Para los ángulos ± α + 2 πz y π ± α + 2 πz, el nombre de la función original permanece sin cambios, y para los ángulos π 2 ± α + 2 πz y 3 π 2 ± α + 2 πz, respectivamente, cambia a “cofunción”. Seno - coseno. Tangente - cotangente.

Para utilizar la guía mnemotécnica para fórmulas de reducción, debe poder determinar los signos de funciones trigonométricas basándose en los cuartos del círculo unitario. Veamos ejemplos del uso de la regla mnemotécnica.

Ejemplo 1: uso de una regla mnemotécnica

Anotemos las fórmulas de reducción para cos π 2 - α + 2 πz y t g π - α + 2 πz. α es el log del primer trimestre.

1. Dado que por condición α es el log del primer trimestre, nos saltamos el primer punto de la regla.

2. Definir los signos funciones cosπ 2 - α + 2 πz y t g π - α + 2 πz. El ángulo π 2 - α + 2 πz es también el ángulo del primer cuarto, y el ángulo π - α + 2 πz está en el segundo cuarto. En el primer cuarto, la función coseno es positiva y la tangente en el segundo cuarto tiene signo menos. Anotemos cómo se verán las fórmulas requeridas en esta etapa.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Según el tercer punto, para el ángulo π 2 - α + 2 π el nombre de la función cambia a Confucio, y para el ángulo π - α + 2 πz sigue siendo el mismo. Anotemos:

cos π 2 - α + 2 πz = + pecado α t g π - α + 2 πz = - t g α

Ahora veamos las fórmulas dadas anteriormente y asegurémonos de que la regla mnemotécnica funcione.

Veamos un ejemplo con un ángulo específico α = 777°. Reduzcamos el seno alfa a la función trigonométrica de un ángulo agudo.

Ejemplo 2: uso de una regla mnemotécnica

1. Imagine el ángulo α = 777 ° en la forma requerida.

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. El ángulo original es el ángulo del primer cuarto. Esto significa que el seno del ángulo tiene signo positivo. Como resultado tenemos:

3. sen 777° = sen (57° + 360° 2) = sen 57° sen 777° = sen (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Ahora veamos un ejemplo que muestra lo importante que es determinar correctamente el signo de la función trigonométrica y representar correctamente el ángulo cuando se usa la regla mnemotécnica. Repitámoslo de nuevo.

¡Importante!

¡El ángulo α debe ser agudo!

Calculemos la tangente del ángulo 5 π 3. De la tabla de valores de las principales funciones trigonométricas, puedes tomar inmediatamente el valor t g 5 π 3 = - 3, pero aplicaremos la regla mnemotécnica.

Ejemplo 3: uso de una regla mnemotécnica

Imaginemos el ángulo α = 5 π 3 en la forma requerida y usemos la regla

t gramo 5 π 3 = t gramo 3 π 2 + π 6 = - c t gramo π 6 = - 3 t gramo 5 π 3 = t gramo 2 π - π 3 = - t gramo π 3 = - 3

Si imagina el ángulo alfa en la forma 5 π 3 = π + 2 π 3, entonces el resultado de aplicar la regla mnemotécnica será incorrecto.

t gramo 5 π 3 = t gramo π + 2 π 3 = - t gramo 2 π 3 = - (- 3) = 3

El resultado incorrecto se debe a que el ángulo 2 π 3 no es agudo.

La prueba de las fórmulas de reducción se basa en las propiedades de periodicidad y simetría de las funciones trigonométricas, así como en la propiedad de desplazamiento de los ángulos π 2 y 3 π 2. La prueba de la validez de todas las fórmulas de reducción se puede realizar sin tener en cuenta el término 2 πz, ya que denota un cambio de ángulo en un número entero de revoluciones completas y refleja con precisión la propiedad de periodicidad.

Las primeras 16 fórmulas se derivan directamente de las propiedades de las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente y cotangente.

Aquí hay una prueba de las fórmulas de reducción de senos y cosenos.

pecado π 2 + α = cos α y cos π 2 + α = - pecado α

Consideremos un círculo unitario, cuyo punto inicial, después de una rotación en un ángulo α, va al punto A 1 x, y, y después de una rotación en un ángulo π 2 + α, al punto A 2. Desde ambos puntos trazamos perpendiculares al eje de abscisas.

Dos triángulo rectángulo O A 1 H 1 y O A 2 H 2 son iguales en hipotenusa y ángulos adyacentes. De la ubicación de los puntos en el círculo y la igualdad de los triángulos, podemos concluir que el punto A 2 tiene coordenadas A 2 - y, x. Usando las definiciones de seno y coseno, escribimos:

pecado α = y, cos α = x, pecado π 2 + α = x, cos π 2 + α = y

pecado π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - pecado α

Teniendo en cuenta las identidades básicas de la trigonometría y lo que se acaba de demostrar, podemos escribir

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α

Para probar fórmulas de reducción con argumento π 2 - α, se debe presentar en la forma π 2 + (- α). Por ejemplo:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - pecado (- α) = pecado α

La prueba utiliza las propiedades de funciones trigonométricas con argumentos de signos opuestos.

Todas las demás fórmulas de reducción se pueden probar basándose en las escritas anteriormente.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

Lección y presentación sobre el tema: "Aplicación de fórmulas de reducción en la resolución de problemas"

Materiales adicionales
Estimados usuarios, no olviden dejar sus comentarios, reseñas, deseos. Todos los materiales han sido revisados ​​por un programa antivirus.

Material didáctico y simuladores en la tienda online de Integral para 10º grado
1C: Escuela. Tareas de construcción interactivas para los grados 7-10.
1C: Escuela. Resolvemos problemas de geometría. Tareas interactivas sobre construcción en el espacio para los grados 10 y 11

Qué estudiaremos:
1. Repitamos un poco.
2. Reglas para fórmulas de reducción.
3. Tabla de conversión de fórmulas de reducción.
4. Ejemplos.

Repaso de funciones trigonométricas.

Chicos, ya se han topado con fórmulas fantasma, pero aún no las han llamado así. ¿Qué piensas: dónde?

Mira nuestros dibujos. Correctamente, cuando se introdujeron las definiciones de funciones trigonométricas.

Regla para fórmulas de reducción

Introduzcamos la regla básica: si bajo el signo de la función trigonométrica hay un número de la forma π×n/2 + t, donde n es cualquier número entero, entonces nuestra función trigonométrica se puede reducir a más vista sencilla, que sólo contendrá el argumento t. Estas fórmulas se denominan fórmulas fantasma.

Recordemos algunas fórmulas:

• pecado(t + 2π*k) = pecado(t)
• porque(t + 2π*k) = porque(t)
• pecado(t + π) = -sen(t)
• porque(t + π) = -cos(t)
• pecado(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sen(t)
• tan(t + π*k) = tan(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

hay muchas fórmulas fantasma, hagamos una regla mediante la cual determinaremos nuestras funciones trigonométricas cuando usemos fórmulas fantasma:

• Si el signo de una función trigonométrica contiene números de la forma: π + t, π - t, 2π + t y 2π - t, entonces la función no cambiará, es decir, por ejemplo, el seno seguirá siendo seno, el cotangente seguirá siendo cotangente.
• Si el signo de la función trigonométrica contiene números de la forma: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t y 3π/2 - t, entonces la función cambiará a una relacionada, es decir, el seno se convertirá en coseno, la cotangente se convertirá en tangente.
• Antes de la función resultante, es necesario poner el signo que tendría la función transformada bajo la condición 0

¡Estas reglas también se aplican cuando el argumento de la función se da en grados!

También podemos crear una tabla de transformaciones de funciones trigonométricas:

Ejemplos de uso de fórmulas de reducción.

1. Transformar cos(π + t). El nombre de la función permanece, es decir. obtenemos cos(t). Supongamos además que π/2

2. Transformar sen(π/2 + t). El nombre de la función cambia, es decir. obtenemos cos(t). A continuación, supongamos que 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Transforma tg(π + t). El nombre de la función permanece, es decir. obtenemos bronceado(t). Supongamos además que 0

4. Transforme ctg(270 0 + t). El nombre de la función cambia, es decir, obtenemos tg(t). Supongamos además que 0

Problemas con fórmulas de reducción para solución independiente.

Chicos, conviértanlo ustedes mismos usando nuestras reglas:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) cuna(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) pecado(2π + t),
7) pecado(π/2 + 5t),
8) pecado(π/2 - t),
9) pecado(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).