որտեղ λ-ն QS-ի կողմից ստացված հարցումների ինտենսիվությունն է:

Օրինակ.

Հաշվարկել սպասարկման ցուցիչները մեկ ալիքով QS-ի համար, որտեղ հարցումները ստացվում են ժամում λ = 1,2 հարցումների ինտենսիվությամբ, սպասարկման ժամանակը t obs = 2,5 ժամ: Մենք հաշվարկում ենք սպասարկման ցուցանիշները մեկ ալիքով QS-ի համար.

Բեռի ինտենսիվությունը.

ρ = λ t obs = 1,2 2,5 = 3

Բեռի ինտենսիվությունը ρ=3 ցույց է տալիս սպասարկման ալիքի հարցումների մուտքային և ելքային հոսքերի հետևողականության աստիճանը և որոշում համակարգի կայունությունը հերթագրում.

t pr = 15 րոպե:

Մերժված հայտերի համամասնությունը. p 1 = 1 - p 0 = 1 - 0.25 = 0.75

Սա նշանակում է, որ ստացված դիմումների 75%-ը չի ընդունվում սպասարկման։

Ստացված սպասարկվող հարցումների մասնաբաժինը մեկ միավորի համար.

Բացարձակ թողունակություն.

A = Q λ = 0.25 1.2 = 0.3 դիմում / րոպե:

QS-ի միջին պարապուրդը.

t pr = p բաց t obs = 0.75 2.5 = 1.88 min.

Սպասարկված հարցումների միջին թիվը.

L obs = ρ Q = 3 0,25 = 0,75 միավոր

Մի քանի րոպեների ընթացքում մերժված հայտերի քանակը՝ λ p 1 = րոպեում 0,9 դիմում: Համակարգի անվանական արտադրողականությունը՝ 1 / 2,5 = 0,4 դիմում րոպեում: SMO-ի փաստացի կատարումը՝ 0.3 / 0.4 = անվանական հզորության 75%-ը:

Բացարձակ թողունակությունը սմ. Օրինակ լուծում

Դեպի կայարան Տեխնիկական սպասարկումհարցումների պարզ հոսք է ստացվում 2 ժամվա ընթացքում 1 մեքենա ինտենսիվությամբ, բակում հերթում 3 մեքենայից ավելի չի կարող լինել։ Վերանորոգման միջին ժամանակը 2 ժամ է։ Գնահատել CMO-ի կատարողականը և մշակել առաջարկություններ ծառայության բարելավման համար:

Լուծում:Որոշեք QS-ի տեսակը: «Դեպի կայարան» արտահայտությունը խոսում է մեկ սպասարկման սարքի մասին, այսինքն. լուծելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևեր մեկ ալիք QS.Մենք որոշում ենք մեկ ալիք QS-ի տեսակը: Քանի որ կա հերթի մասին հիշատակում, ուստի մենք ընտրում ենք «Միալիք QS՝ սահմանափակ հերթի երկարությամբ»: λ պարամետրը պետք է արտահայտվի ժամերով։ Դիմումների ինտենսիվությունը 1 մեքենա 2 ժամում կամ 0,5 1 ժամում:

Ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը μ հստակորեն նշված չէ: Այստեղ տրված ծառայության ժամանակը t obs = 2 ժամ է:

Մենք հաշվարկում ենք սպասարկման ցուցանիշները մեկ ալիքով QS-ի համար.

Ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը.

Բեռի ինտենսիվությունը.

ρ = λ t obs = 0,5 2 = 1

Բեռի ինտենսիվությունը ρ=1 ցույց է տալիս սպասարկման ալիքի հարցումների մուտքային և ելքային հոսքերի հետևողականության աստիճանը և որոշում հերթագրման համակարգի կայունությունը։

Հայտերը չեն մերժվում։ Բոլոր ստացված հարցումները սպասարկվում են, p բաց = 0:

Հարաբերական թողունակություն.

Ստացված սպասարկվող հարցումների մասնաբաժինը ժամանակի միավորի համար՝ Q = 1 - p բաց = 1 - 0 = 1

Հետեւաբար ստացված դիմումների 100%-ը կսպասարկվի։ Ծառայության ընդունելի մակարդակը պետք է լինի 90%-ից բարձր:

Մեկ ժամվա ընթացքում մերժված հայտերի քանակը՝ λ p 1 = 0 հայտ ժամում։ QS-ի անվանական արտադրողականությունը՝ 1/2 = 0,5 դիմում ժամում: SMO-ի փաստացի կատարումը՝ 0.5 / 0.5 = անվանական կատարողականի 100%-ը:

Եզրակացություն՝ կայանը 100% բեռնված է։ Այս դեպքում խափանումներ չեն նկատվում։

QS խափանումներով (մեկ և բազմալիք)

Հավանական մուտքային հոսքով և սպասարկման ընթացակարգով ամենապարզ մի ալիք մոդելը մոդել է, որը «կարող է բնութագրվել հարցումների ժամանման և ծառայության տևողության բաշխման միջակայքերի տևողության էքսպոնենցիալ բաշխմամբ»: Այս դեպքում հարցումների ստացման միջև ընդմիջումների տևողության բաշխման խտությունը ունի հետևյալ ձևը.

f 1 (t) = l*e (-l*t) , (1)

որտեղ l-ը համակարգ մուտք գործող հավելվածների ինտենսիվությունն է (համակարգ մուտքագրվող հավելվածների միջին թիվը ժամանակի միավորի համար): Ծառայության տևողության բաշխման խտությունը.

f 2 (t)=µ*e -µ*t, µ=1/t շրջադարձ, (2)

որտեղ μ-ը ծառայության ինտենսիվությունն է, t about-ը մեկ հաճախորդի սպասարկման միջին ժամանակն է: Սպասարկվող հարցումների հարաբերական թողունակությունը բոլոր մուտքային հարցումների համեմատ հաշվարկվում է բանաձևով.

Այս արժեքը հավասար է սպասարկման ալիքի անվճար լինելու հավանականությանը: Բացարձակ թողունակությունը (A) հարցումների միջին քանակն է, որը հերթագրող համակարգը կարող է սպասարկել ժամանակի միավորի համար.

Այս P արժեքը կարող է մեկնաբանվել որպես չսպասարկված հավելվածների միջին մասնաբաժին:

Օրինակ. Թող խափանումներով մեկ ալիքով QS-ը լինի մեքենայի լվացման մեկ օրական սպասարկման կետ: Դիմումը՝ մեքենա, որը ժամանում է այն ժամանակ, երբ պաշտոնը զբաղեցված է, մերժվում է սպասարկումը: Ավտոմեքենայի հոսքի ինտենսիվությունը l = 1.0 (մեքենան մեկ ժամում): Ծառայության միջին տևողությունը t մոտ =1,8 ժամ: Պահանջվում է որոշել սահմանափակող արժեքները կայուն վիճակում՝ հարաբերական թողունակություն q;

• - բացարձակ հզորություն A;
• - ձախողման հավանականությունը Պ.

Եկեք որոշենք ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը՝ օգտագործելով բանաձև 2-ը. Եկեք հաշվարկենք հարաբերական թողունակությունը. q = q-ի արժեքը նշանակում է, որ կայուն վիճակում համակարգը կսպասարկի փոստ ժամանող մեքենաների մոտավորապես 35%-ին: Մենք որոշում ենք բացարձակ թողունակությունը՝ օգտագործելով բանաձևը՝ A = lHq = 1H0.356 = 0.356: Սա թույլ է տալիս ենթադրել, որ համակարգը ունակ է ժամում միջինը 0,356 տրանսպորտային սպասարկում կատարել: Անհաջողության հավանականությունը՝ P մերժում =1-q=1-0,356=0,644: Սա նշանակում է, որ EO փոստ ժամանող տրանսպորտային միջոցների մոտ 65%-ին կմերժվի սպասարկումը: Եկեք որոշենք այս համակարգի անվանական հզորությունը A nom. A nom = (մեքենաներ ժամում):

Սակայն դեպքերի ճնշող մեծամասնության դեպքում հերթերի համակարգը բազմաալիք է, այսինքն՝ մի քանի հարցումներ կարող են մատուցվել զուգահեռ։ Այս մոդելով նկարագրված QS գործընթացը բնութագրվում է մուտքային հոսքի l ինտենսիվությամբ, մինչդեռ զուգահեռաբար կարող են սպասարկվել ոչ ավելի, քան n հաճախորդ: Մեկ հարցման սպասարկման միջին տեւողությունը 1/մ է։ «Սպասարկման ալիքի գործառնական ռեժիմը չի ազդում համակարգի այլ սպասարկման ալիքների գործառնական ռեժիմի վրա, և յուրաքանչյուր ալիքի համար սպասարկման ընթացակարգի տևողությունը պատահական փոփոխական է, որը ենթակա է էքսպոնենցիալ բաշխման օրենքին: Զուգահեռ միացված սպասարկման ալիքների օգտագործման վերջնական նպատակը սպասարկման հարցումների արագությունը մեծացնելն է՝ միաժամանակ սպասարկելով n հաճախորդ»: Նման համակարգի լուծումը հետևյալն է.

Հավանականությունների հաշվարկման բանաձևերը կոչվում են Էրլանգի բանաձևեր։ Եկեք որոշենք անշարժ ռեժիմում խափանումներով բազմալիք QS-ի գործելու հավանականական բնութագրերը: P ձախողման հավանականությունը հավասար է.

P բաց =P n =*P 0: (7)

Հայտը մերժվում է, եթե այն հասնում է այն ժամանակ, երբ բոլոր ալիքները զբաղված են: P բաց արժեքը բնութագրում է մուտքային հոսքի սպասարկման ամբողջականությունը. հավանականությունը, որ հարցումը կընդունվի սպասարկման համար (դա նաև համակարգի հարաբերական թողունակությունն է) լրացնում է P մերժումը մեկին.

Բացարձակ թողունակություն

Ծառայության () զբաղեցրած ալիքների միջին թիվը հետևյալն է.

Արժեքը բնութագրում է հերթագրման համակարգի ծանրաբեռնվածության աստիճանը: Օրինակ. Թող n-ալիք QS-ը լինի համակարգչային կենտրոն երեք (n=3) փոխարինելի համակարգիչներով՝ մուտքային խնդիրները լուծելու համար։ Համակարգչային կենտրոն ժամանող առաջադրանքների հոսքը ժամում l = 1 առաջադրանքի ինտենսիվություն ունի: Ծառայության միջին տևողությունը t մոտ =1,8 ժամ:

Դուք պետք է հաշվարկեք արժեքները.

• - զբաղեցված CC ալիքների քանակի հավանականությունը.
• - դիմումի սպասարկումից հրաժարվելու հավանականությունը.
• - համակարգչային կենտրոնի հարաբերական հզորությունը.
• - համակարգչային կենտրոնի բացարձակ հզորություն.
• - համակարգչային կենտրոնում զբաղեցրած ԱՀ-ների միջին թիվը:

Եկեք սահմանենք ծառայության հոսքի պարամետրը.

Դիմումների հոսքի կրճատված ինտենսիվությունը.

Մենք գտնում ենք վիճակների սահմանափակող հավանականությունները՝ օգտագործելով Erlang բանաձևերը.

Դիմումի սպասարկումից հրաժարվելու հավանականությունը.

ՍԴ-ի հարաբերական հզորությունը.

ՍԴ-ի բացարձակ հզորությունը.

Զբաղված ալիքների միջին քանակը - PC:

Այսպիսով, QS-ի կայուն ռեժիմի պայմաններում, միջինում երեք համակարգիչներից 1,5-ը կզբաղեցնեն, մնացած մեկուկեսը պարապ կմնա: Համակարգչային կենտրոնի թողունակությունը տվյալ l-ի և m-ի համար կարող է ավելացվել միայն անհատական ​​համակարգիչների քանակի ավելացմամբ:

Ամենապարզ մեկ ալիք մոդելը:Հավանական մուտքային հոսքի և սպասարկման ընթացակարգով նման մոդելը մոդել է, որը բնութագրվում է ինչպես պահանջների ժամանումների միջև ընկած միջակայքերի, այնպես էլ սպասարկման տևողության էքսպոնենցիալ բաշխմամբ: Այս դեպքում հարցումների ստացման միջև ընդմիջումների բաշխման խտությունը ունի ձև.

(1)

որտեղ է համակարգ մուտք գործող հավելվածների ինտենսիվությունը:

Ծառայությունների տևողության բաշխման խտությունը.

, (2)

որտեղ է ծառայության ինտենսիվությունը.

Հարցումների և ծառայությունների հոսքերը պարզ են:

Թող համակարգը աշխատի մերժումները.Անհրաժեշտ է որոշել համակարգի բացարձակ և հարաբերական թողունակությունը:

Պատկերացնենք այս հերթագրման համակարգը գրաֆիկի տեսքով (նկ. 1), որն ունի երկու վիճակ.

S 0 -ալիքը անվճար (սպասում է);

Ս 1- ալիքը զբաղված է (հարցը սպասարկվում է):

Բրինձ. 1.Խափանումներով մեկ ալիք QS-ի վիճակի գրաֆիկ

Նշենք վիճակների հավանականությունները.

P 0 (t) -«Առանց ալիքի» վիճակի հավանականությունը.

P 1 (t)- «ալիքը զբաղված» վիճակի հավանականությունը:

Օգտագործելով նշված վիճակի գրաֆիկը (նկ. 1) ստեղծում ենք համակարգ դիֆերենցիալ հավասարումներԿոլմոգորովը պետական ​​հավանականությունների համար.

(3)

Գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը (3) ունի լուծում՝ հաշվի առնելով նորմալացման պայմանը = 1: Այս համակարգի լուծումը կոչվում է անկայուն, քանի որ այն ուղղակիորեն կախված է t-ից և ունի հետևյալ տեսքը.

(4)

(5)

Հեշտ է ստուգել, ​​որ ձախողումներով մեկ ալիք QS-ի համար հավանականությունը P 0 (t)ոչ այլ ինչ է, քան համակարգի հարաբերական հզորությունը ք.

Իսկապես, P 0- հավանականությունը, որ t պահին ալիքն անվճար է, և t ժամին ժամանած հարցումը , կմատուցվի, և, հետևաբար, համար այս պահինժամանակ t, մատուցված հայտերի քանակի և ստացվածների թվի միջին հարաբերակցությունը նույնպես հավասար է , այսինքն.

q = . (6)

Մեծ ժամանակային ընդմիջումից հետո () ձեռք է բերվում ստացիոնար (կայուն) ռեժիմ.

Իմանալով հարաբերական թողունակությունը՝ հեշտ է գտնել բացարձակը։ Բացարձակ թողունակություն (Ա)- միջին թիվը, որը կարող է սպասարկել հերթագրման համակարգը ժամանակի միավորի համար.

Հարցումը սպասարկելուց հրաժարվելու հավանականությունը հավասար կլինի «ալիքը զբաղված» վիճակի հավանականությանը.

Այս արժեքը կարող է մեկնաբանվել որպես չներկայացված հայտերի միջին մասնաբաժինը ներկայացվածների մեջ:

Օրինակ 1.Թող խափանումներով մեկ ալիքով QS-ը ներկայացնի մեկ օրական սպասարկման կետ (DS) մեքենայի լվացման համար: Դիմումը՝ մեքենա, որը ժամանում է այն ժամանակ, երբ պաշտոնը զբաղեցված է, մերժվում է սպասարկումը: Տրանսպորտային միջոցների հոսքի արագություն = 1.0 (մեքենաներ մեկ ժամում): Ծառայության միջին տևողությունը 1,8 ժամ է։ Ավտոմեքենաների հոսքը և սպասարկման հոսքը ամենապարզն են:

Պահանջվում է սահմանային արժեքները կայուն վիճակում որոշել.

հարաբերական հզորություն q;

բացարձակ թողունակություն Ա;

ձախողման հավանականությունը.

Համեմատեք սպասարկման կենտրոնի իրական թողունակությունը անվանականի հետ, որը կլիներ, եթե յուրաքանչյուր մեքենա սպասարկվեր ուղիղ 1,8 ժամ, իսկ մեքենաներն անխափան հետևեին միմյանց:

Լուծում

1. Եկեք որոշենք ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը.

2. Եկեք հաշվարկենք հարաբերական թողունակությունը.

Մեծություն քնշանակում է, որ կայուն վիճակում համակարգը կսպասարկի EO տեղամաս ժամանող տրանսպորտային միջոցների մոտավորապես 35%-ին:

3. Բացարձակ թողունակությունը որոշվում է բանաձևով.

1 0,356 = 0,356.

Սա նշանակում է, որ համակարգը (EO post) ի վիճակի է ժամում միջինը 0,356 տրանսպորտային սպասարկում կատարել:

3. Անհաջողության հավանականությունը.

Սա նշանակում է, որ EO փոստ ժամանող տրանսպորտային միջոցների մոտ 65%-ին կմերժվի սպասարկումը:

4. Եկեք որոշենք համակարգի անվանական թողունակությունը.

(մեքենաներ մեկ ժամում):

Ստացվում է, որ այն 1,5 անգամ ավելի է իրական թողունակությունից՝ հաշվարկված՝ հաշվի առնելով հարցումների հոսքի պատահական բնույթը և սպասարկման ժամանակը։

Մեկալիք QS սպասմամբ:Հերթագրման համակարգն ունի մեկ ալիք։ Սպասարկման հարցումների մուտքային հոսքը ինտենսիվությամբ ամենապարզ հոսքն է: Ծառայությունների հոսքի ինտենսիվությունը հավասար է (այսինքն, միջինում անընդհատ զբաղված ալիքը կհրապարակի սպասարկվող հարցումներ): Ծառայության տևողությունը - պատահական արժեք, ենթակա է էքսպոնենցիալ բաշխման օրենքին։ Ծառայությունների հոսքը իրադարձությունների ամենապարզ Պուասոնի հոսքն է: Հարցումը, որը ստացվել է, երբ ալիքը զբաղված է, հերթագրված է և սպասում է ծառայությանը:

Ենթադրենք, որ անկախ նրանից, թե որքան պահանջներ են ներկայացվում սպասարկման համակարգի մուտքագրմանը, այս համակարգը(հերթ + սպասարկվող հաճախորդներ) չեն կարող տեղավորել ավելի քան N- պահանջներ (հավելվածներ), այսինքն՝ հաճախորդները, ովքեր չեն սպասում, ստիպված են սպասարկվել այլ տեղ: Վերջապես, ծառայության հարցումներ ստեղծող աղբյուրն ունի անսահմանափակ (անսահման մեծ) հզորություն:

QS-ի վիճակի գրաֆիկն այս դեպքում ունի Նկ. 2.

Բրինձ. 2.Սպասմամբ մեկ ալիք QS-ի վիճակի գրաֆիկ

(մահվան և վերարտադրության սխեման)

QS պետություններն ունեն հետևյալ մեկնաբանությունը.

S 0 - ալիքն անվճար է;

S 1 - ալիքը զբաղված է (հերթ չկա);

S 2 - ալիքը զբաղված է (մեկ հարցումը հերթում է);

……………………

S n -ալիքը զբաղված է (n - 1 հարցում հերթում է);

…………………...

S N -ալիքը զբաղված է (Ն- 1 դիմում հերթագրված է):

Նկարագրվելու է այս համակարգում կայուն գործընթաց հետևյալ համակարգը հանրահաշվական հավասարումներ:

Պ- կարգավիճակի համարը.

Մեր QS մոդելի համար վերը նշված հավասարումների համակարգի լուծումը (10) ունի ձև

(11)

Հարկ է նշել, որ տվյալ QS-ի համար ստացիոնարության պայմանի կատարումն անհրաժեշտ չէ, քանի որ սպասարկման համակարգ ընդունվող հայտերի քանակը վերահսկվում է հերթի երկարության սահմանափակում մտցնելով (որը չի կարող գերազանցել): Ն- 1), և ոչ թե մուտքային հոսքի ինտենսիվությունների հարաբերակցությունը, այսինքն՝ ոչ հարաբերակցությունը

Եկեք սահմանենք մեկ ալիք QS-ի բնութագրերըսպասման և սահմանափակ հերթի երկարությամբ, որը հավասար է (N- 1):

դիմումի սպասարկումից հրաժարվելու հավանականությունը.

(13)

Համակարգի հարաբերական հզորությունը.

(14)

բացարձակ թողունակություն.

A = q 𝝀; (15)

Համակարգում դիմումների միջին քանակը.

(16)

Հավելվածի համակարգում մնալու միջին ժամանակը.

միջին տևողությունըհաճախորդի (հայտի) մնալը հերթում.

հայտերի (հաճախորդների) միջին թիվը հերթում (հերթի երկարությունը).

Լք= (1 - P N)W q.(19)

Դիտարկենք սպասման հետ մեկ ալիքով QS-ի օրինակ:

Օրինակ 2.Մասնագիտացված ախտորոշիչ պոստը մեկ ալիք QS է: Ախտորոշման սպասող մեքենաների կայանատեղերի թիվը սահմանափակ է և հավասար է 3 [ (Ն- 1) = 3]: Եթե ​​բոլոր ավտոկայանատեղերը զբաղեցված են, այսինքն՝ հերթում արդեն երեք մեքենա կա, ապա դիագնոստիկայի համար ժամանած հաջորդ մեքենան չի տեղադրվի սպասարկման հերթում։ Ախտորոշման համար ժամանող մեքենաների հոսքը բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն և ունի 𝝀 = 0,85 ինտենսիվություն (մեքենաներ ժամում): Մեքենայի ախտորոշման ժամանակը բաշխվում է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի և միջինը 1,05 ժամ է:

Պետք է որոշելՍտացիոնար ռեժիմում գործող ախտորոշիչ կայանի հավանականական բնութագրերը.

Լուծում

1. Ավտոմեքենայի սպասարկման հոսքի պարամետր.

.

2. Երթևեկության հոսքի նվազեցված ինտենսիվությունը սահմանվում է որպես 𝝀 և μ ինտենսիվությունների հարաբերակցություն, այսինքն.

3. Հաշվարկենք համակարգի վերջնական հավանականությունները.

4. Մեքենայի սպասարկման ձախողման հավանականությունը.

5. Ախտորոշիչ կայանի հարաբերական թողունակությունը.

6. Ախտորոշիչ կայանի բացարձակ թողունակությունը

Ա= 𝝀 ք= 0,85 0,842 = 0,716 (տրանսպորտային միջոցներ ժամում):

7. Սպասարկվող և հերթագրված մեքենաների միջին թիվը (այսինքն՝ հերթագրման համակարգում).

8. Մեքենայի համակարգում մնալու միջին ժամանակը.

9. Միջին ժամկետը, երբ հարցումը մնում է սպասարկման հերթում.

10. Հերթում հայտերի միջին քանակը (հերթի երկարությունը).

Լք= (1 - P N)W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.

Դիտարկվող դիագնոստիկ կետի աշխատանքը կարելի է բավարար համարել, քանի որ դիագնոստիկ կետը դեպքերի 15,8%-ի դեպքում միջինը չի սպասարկում ավտոմեքենա. (Ռ otk = 0,158):

Մեկ ալիք QS սպասելով առանց սպասողական բլոկի հզորության սահմանափակման(այսինքն): QS-ի շահագործման մնացած պայմանները մնում են անփոփոխ։

Այս QS-ի աշխատանքի անշարժ ռեժիմը գոյություն ունի ցանկացած n = 0, 1, 2,... և երբ 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого Պ=0,1,2,…, ունի ձևը

Այս հավասարումների համակարգի լուծումն ունի ձև

Սպասող մեկ ալիքով QS-ի բնութագրերը, առանց հերթի երկարության սահմանափակումների, հետևյալն են.

Համակարգում սպասարկման համար հաճախորդների միջին թիվը (խնդրանքները).

(22)

Հաճախորդի համակարգում գտնվելու միջին տևողությունը.

(23)

սպասարկման համար հերթագրված հաճախորդների միջին թիվը.

Հաճախորդի հերթում անցկացրած միջին տևողությունը.

Օրինակ 3.Հիշենք օրինակ 2-ում դիտարկված իրավիճակը, որտեղ մենք խոսում ենք ախտորոշիչ փոստի աշխատանքի մասին։ Թող խնդրո առարկա դիագնոստիկ կետը ունենա անսահմանափակ թվով կայանատեղեր սպասարկման ժամանող մեքենաների համար, այսինքն՝ հերթի երկարությունը սահմանափակված չէ։

Պահանջվում է որոշել հետևյալ հավանականական բնութագրերի վերջնական արժեքները.

Համակարգի վիճակների հավանականությունները (ախտորոշիչ կայան);

Համակարգում մեքենաների միջին քանակը (սպասարկման և հերթում);

Համակարգում մեքենայի գտնվելու միջին տևողությունը (սպասարկման և հերթում).

Սպասարկման համար հերթագրված մեքենաների միջին թիվը;

4. Համակարգում հաճախորդի գտնվելու միջին տևողությունը.

5. Սպասարկման համար հերթագրված մեքենաների միջին քանակը.

6. Մեքենայի հերթում անցկացրած միջին ժամանակը.

7. Համակարգի հարաբերական թողունակությունը.

այսինքն՝ յուրաքանչյուր հավելված, որը մտնում է համակարգ, կսպասարկվի:

8 . Բացարձակ թողունակություն.

A= q = 0,85 1 = 0,85.

Նշենք, որ մեքենաների ախտորոշմամբ զբաղվող ընկերությանն առաջին հերթին հետաքրքրում է այն հաճախորդների թիվը, ովքեր կայցելեն դիագնոստիկ կետ, երբ հանվի հերթի երկարության սահմանափակումը։

Ասենք, որ սկզբնական տարբերակում ժամանող մեքենաների համար նախատեսված կայանատեղերի թիվը հավասար էր երեքի (տե՛ս օրինակ 2): Հաճախականություն Տիրավիճակներ են առաջանում, երբ դիագնոստիկ կետ ժամանող մեքենան չի կարողանում միանալ հերթին.

Տ= λP N.

Մեր օրինակում N=3 + 1= 4 և ρ = 0,893 դեպքում,

t = λ P 0ρ 4 = 0,85 0,248 0,8934 = 0,134 մեքենա ժամում:

Ախտորոշիչ կայանի 12-ժամյա աշխատանքային ռեժիմով դա համարժեք է այն փաստին, որ ախտորոշիչ կայանը կկորցնի միջինը 12 0,134 = 1,6 մեքենա մեկ հերթափոխի (օրվա) համար:

Հերթի երկարության սահմանափակումը վերացնելը մեզ թույլ է տալիս ավելացնել մեր օրինակում սպասարկվող հաճախորդների թիվը միջինը 1,6 մեքենայով մեկ հերթափոխի համար (12 ժամ աշխատանք) դիագնոստիկ կայանում: Հասկանալի է, որ ախտորոշիչ կայան ժամանող տրանսպորտային միջոցների կայանման տարածքը ընդլայնելու որոշումը պետք է հիմնված լինի հաճախորդների կորստի հետևանքով պատճառված տնտեսական վնասի գնահատման վրա, երբ այդ մեքենաների համար կա ընդամենը երեք կայանատեղ:

Առնչվող տեղեկություններ.

Բացարձակ թողունակությունբնութագրում է սպասարկվող հավելվածների ելքային հոսքի ինտենսիվությունը:

Օրինակ. Սպասարկման կայանը ստանում է հարցումների պարզ հոսք՝ 1 մեքենա ինտենսիվությամբ 2 ժամում, բակում հերթում չի կարող լինել 3-ից ավելի մեքենա։ Վերանորոգման միջին ժամանակը 2 ժամ է։ Գնահատել CMO-ի կատարողականը և մշակել առաջարկություններ ծառայության բարելավման համար:

Լուծում:
Որոշեք QS-ի տեսակը: «Դեպի կայարան» արտահայտությունը խոսում է մեկ սպասարկման սարքի մասին, այսինքն. Լուծումը ստուգելու համար մենք օգտագործում ենք Single-Channel Query Service ծառայությունը:
Մենք որոշում ենք մեկ ալիք QS-ի տեսակը: Քանի որ կա հերթի մասին հիշատակում, ուստի մենք ընտրում ենք «Միալիք QS՝ սահմանափակ հերթի երկարությամբ»:
λ պարամետրը պետք է արտահայտվի ժամերով։ Դիմումների ինտենսիվությունը 1 մեքենա 2 ժամում կամ 0,5 1 ժամում:
Ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը μ հստակորեն նշված չէ: Այստեղ տրված ծառայության ժամանակը t obs = 2 ժամ է:

Մենք հաշվարկում ենք սպասարկման ցուցանիշները մեկ ալիքով QS-ի համար.
Ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը.

1. Բեռի ինտենսիվությունը.
ρ = λ t obs = 0,5 2 = 1
Բեռի ինտենսիվությունը ρ=1 ցույց է տալիս սպասարկման ալիքի հարցումների մուտքային և ելքային հոսքերի հետևողականության աստիճանը և որոշում հերթագրման համակարգի կայունությունը։

3. Հավանականություն, որ ալիքն անվճար է(ալիքի պարապուրդի համամասնությունը):


Հետևաբար, ալիքի 20%-ը մեկ ժամվա ընթացքում անգործության կմատնվի, անգործության ժամանակը հավասար է t pr = 12 րոպեի։

4. Մերժված հայտերի համամասնությունը.
Հայտերը չեն մերժվում։ Բոլոր ստացված հարցումները սպասարկվում են, p բաց = 0:

5. Հարաբերական թողունակություն.
Ստացված սպասարկվող հարցումների մասնաբաժինը մեկ միավորի համար.
Q = 1 - p բաց = 1 - 0 = 1
Հետեւաբար ստացված դիմումների 100%-ը կսպասարկվի։ Ծառայության ընդունելի մակարդակը պետք է լինի 90%-ից բարձր:

6. Բացարձակ թողունակություն.
A = Q λ = 1 0,5 = 0,5 հարցում/ժամ:

8. Հերթագրված դիմումների միջին թիվը(հերթի միջին երկարությունը):

միավորներ

9. QS-ի միջին խափանումը(հերթում հայտի սպասարկման միջին ժամանակը):
ժամ.

10. Սպասարկված դիմումների միջին թիվը.
L obs = ρ Q = 1 1 = 1 միավոր:

12. Համակարգում հայտերի միջին թիվը.
L CMO = L och + L obs = 1.2 + 1 = 2.2 միավոր:

13. Միջին ժամանակը, երբ դիմումը մնում է CMO-ում.
ժամ.

Մեկ ժամվա ընթացքում մերժված հայտերի քանակը՝ λ p 1 = 0 հայտ ժամում։
QS-ի անվանական արտադրողականությունը՝ 1/2 = 0,5 դիմում ժամում:
SMO-ի փաստացի կատարումը՝ 0.5 / 0.5 = անվանական կատարողականի 100%-ը:

Եզրակացություն՝ կայանը 100% բեռնված է։ Այս դեպքում խափանումներ չեն նկատվում։

Որպես խափանումներով QS-ի արդյունավետության ցուցիչներ՝ մենք կդիտարկենք.

1) Ա - QS-ի բացարձակ հզորությունը, այսինքն. Ժամանակի մեկ միավորի համար սպասարկված դիմումների միջին քանակը.

2) Q - հարաբերական թողունակությունը, այսինքն. համակարգի կողմից սպասարկվող մուտքային հավելվածների միջին մասնաբաժինը.

3) P_(\text(otk)) - ձախողման հավանականությունը, այսինքն. որ դիմումը կթողնի QS-ն չմատուցված.

4) \overline(k) - զբաղված ալիքների միջին թիվը(բազմալիքային համակարգի համար):

Մեկ ալիքային համակարգ (SMS) խափանումներով

Դիտարկենք խնդիրը. Կա մեկ ալիք, որը ստանում է հարցումների հոսք \lambda ինտենսիվությամբ: Ծառայությունների հոսքն ունի \mu ինտենսիվություն: Գտեք համակարգի վիճակների սահմանափակող հավանականությունները և դրա արդյունավետության ցուցիչները:

Նշում.Այստեղ և դրան հաջորդող, ենթադրվում է, որ իրադարձությունների բոլոր հոսքերը, որոնք փոխանցում են QS-ը վիճակից պետություն, կլինեն ամենապարզը: Դրանք ներառում են նաև սպասարկման հոսք՝ մեկ անընդհատ զբաղված ալիքով սպասարկվող հարցումների հոսք: Սպասարկման միջին ժամանակը հակադարձորեն հիմնված է \mu ինտենսիվության արժեքի վրա, այսինքն. \overline(t)_(\text(ob.))=1/\mu.

Համակարգը S (SMO) ունի երկու վիճակ՝ S_0 - ալիքն անվճար է, S_1 - ալիքը զբաղված է: Պիտակավորված վիճակի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 6.

Սահմանափակող, անշարժ ռեժիմում վիճակների հավանականությունների հանրահաշվական հավասարումների համակարգն ունի ձև (այդպիսի հավասարումներ կազմելու կանոնը տե՛ս վերևում)

\begin(cases)\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end (դեպքեր)

դրանք. համակարգը վերածվում է մեկ հավասարման: Հաշվի առնելով նորմալացման p_0+p_1=1 պայմանը, (18)-ից գտնում ենք վիճակների սահմանափակող հավանականությունները.

P_0=\frac(\mu)(\lambda+\mu),\quad p_1=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,

որոնք արտահայտում են համակարգի միջին հարաբերական ժամանակը S_0 (երբ ալիքն ազատ է) և S_1 (երբ ալիքը զբաղված է) վիճակում, այսինքն. որոշել, համապատասխանաբար, համակարգի հարաբերական հզորությունը Q և ձախողման հավանականությունը P_(\text(otk)):

Q=\frac(\mu)(\lambda+\mu)\,

P_(\text(otk))=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,.

Մենք գտնում ենք բացարձակ թողունակությունը՝ հարաբերական թողունակությունը Q բազմապատկելով ձախողման հոսքի արագությամբ

A=\frac(\lambda\mu)(\lambda+\mu)\,.

Օրինակ 5.Հայտնի է, որ հեռուստատեսային ստուդիայում հեռախոսային խոսակցությունների հարցումները ստացվում են ժամում 90 հարցումների ինտենսիվությամբ \lambda, իսկ հեռախոսազրույցի միջին տևողությունը մին. Որոշեք QS-ի (հեռախոսային կապի) կատարողականի ցուցանիշները մեկ հեռախոսահամարով:

Լուծում.Մենք ունենք \lambda=90 (1/ժ), \overline(t)_(\text(ob.))=2ր. Ծառայության հոսքի արագությունը \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(2)=0,\!5(1/րոպե) =30 (1/ժ): Համաձայն (20), QS-ի հարաբերական հզորությունը Q=\frac(30)(90+30)=0,\!25, այսինքն. միջինում մուտքային հայտերի միայն 25%-ը կքննարկվի հեռախոսով։ Համապատասխանաբար, ծառայության մերժման հավանականությունը կլինի P_(\text(otk))=0,\!75(տես (21)): QS-ի բացարձակ թողունակությունը՝ համաձայն (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5, այսինքն. Ժամում միջինը սպասարկվելու է բանակցությունների 22,5 հարցում։ Ակնհայտ է, որ եթե կա միայն մեկ հեռախոսահամար, ՀԿԿ-ն լավ չի դիմանա դիմումների հոսքին:

Բազմալիքային համակարգ (MSS) խափանումներով

Դիտարկենք դասականը Erlang խնդիր. Կան n ալիքներ, որոնք ստանում են հարցումների հոսք \lambda ինտենսիվությամբ: Ծառայությունների հոսքն ունի \mu ինտենսիվություն: Գտեք համակարգի վիճակների սահմանափակող հավանականությունները և դրա արդյունավետության ցուցիչները:

Համակարգը S (SMO) ունի հետևյալ վիճակները (մենք դրանք համարակալում ենք՝ ըստ համակարգում առկա հավելվածների). S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n, որտեղ S_k-ը համակարգի վիճակն է, երբ դրանում կան k հավելվածներ, այսինքն. k ալիքները զբաղված են.

QS-ի վիճակի գրաֆիկը համապատասխանում է մահվան և վերարտադրության գործընթացին և ներկայացված է Նկ. 7.

Հարցումների հոսքը հաջորդաբար փոխանցում է համակարգը ցանկացած ձախ վիճակից հարակից աջին` նույն ինտենսիվությամբ \lambda: Ծառայությունների հոսքի ինտենսիվությունը, որը համակարգը փոխանցում է ցանկացած աջ վիճակից հարակից ձախ վիճակ, անընդհատ փոխվում է՝ կախված վիճակից: Իրոք, եթե QS-ը գտնվում է S_2 վիճակում (երկու ալիք զբաղված է), ապա այն կարող է անցնել S_1 վիճակի (մեկ ալիքը զբաղված է), երբ կամ առաջին կամ երկրորդ ալիքն ավարտի սպասարկումը, այսինքն. դրանց սպասարկման հոսքերի ընդհանուր ինտենսիվությունը կկազմի 2\մ։ Նմանապես, ընդհանուր սպասարկման հոսքը, որը փոխանցում է QS-ը S_3 վիճակից (երեք ալիքները զբաղված են) S_2, կունենա 3\mu ինտենսիվություն, այսինքն. երեք ալիքներից որևէ մեկը կարող է դառնալ անվճար և այլն:

Բանաձևում (16) մահվան և վերարտադրության սխեմայի համար մենք ստանում ենք վիճակի սահմանափակող հավանականությունը.

P_0=(\left(1+ \frac(\lambda)(\mu)+ \frac(\lambda^2)(2!\mu^2)+\ldots+\frac(\lambda^k)(k!\ mu^k)+\ldots+ \frac(\lambda^n)(n!\mu^n)\right)\^{-1}, !}

որտեղ են ընդլայնման պայմանները \frac(\lambda)(\mu),\,\frac(\lambda^2)(2!\mu^2),\,\ldots,\,\frac(\lambda^k)(k!\mu ^k),\,\ldots,\, \frac(\lambda^n)(n!\mu^n), կներկայացնի p_0-ի գործակիցները սահմանային հավանականությունների արտահայտություններում p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n. Մեծություն

\rho=\frac(\lambda)(\mu)

կանչեց հաշվի առնելով դիմումների հոսքի ինտենսիվությունըկամ ալիքի բեռի ինտենսիվությունը. Այն արտահայտում է մեկ հարցման սպասարկման միջին ժամանակահատվածում ստացված հարցումների միջին թիվը։ Հիմա

P_0=(\left(1+\rho+\frac(\rho^2)(2+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1}, !}

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac(\rho^2)(2\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0. !}

Կանչվում են սահմանափակող հավանականությունների բանաձևերը (25) և (26): Erlang բանաձեւերըհերթերի տեսության հիմնադիրի պատվին։

QS-ի ձախողման հավանականությունը առավելագույն հավանականությունն է, որ համակարգի բոլոր i ալիքները զբաղված կլինեն, այսինքն.

P_(\text(otk))= \frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Հարաբերական թողունակություն - հավանականություն, որ հարցումը կմատուցվի.

Q=1- P_(\text(otk))=1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Բացարձակ թողունակություն.

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Զբաղված ալիքների միջին թիվը \overline(k) է ակնկալվող արժեքըզբաղված ալիքների քանակը.

\overline(k)=\sum_(k=0)^(n)(k\cdot p_k),

որտեղ p_k-ը վիճակների սահմանափակող հավանականություններն են, որոնք որոշվում են (25), (26) բանաձևերով:

Այնուամենայնիվ, զբաղված կապուղիների միջին թիվը կարելի է ավելի հեշտ գտնել, եթե հաշվի առնենք, որ A համակարգի բացարձակ հզորությունը ոչ այլ ինչ է, քան ինտենսիվությունը. մատուցվողների հոսքըկիրառական համակարգ (ժամանակի միավորի համար): Քանի որ յուրաքանչյուր զբաղված ալիք սպասարկում է միջինը \mu հարցումներ (մեկ միավոր ժամանակի համար), ապա զբաղված ալիքների միջին թիվը

\overline(k)=\frac(A)(\mu)

Կամ, տրված (29), (24):

\overline(k)=\rho\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Օրինակ 6.Օրինակ 5-ի պայմաններում որոշեք հեռուստատեսային ստուդիայում հեռախոսահամարների օպտիմալ քանակը, եթե օպտիմալության պայմանը համարվում է բանակցությունների համար միջինում առնվազն 90 խնդրանքների բավարարումը յուրաքանչյուր 100 հարցումից:

Լուծում.Ալիքի բեռի ինտենսիվությունը ըստ բանաձևի (25) \rho=\frac(90)(30)=3, այսինքն. միջին ժամանակի ընթացքում (տեւողությամբ) հեռախոսազրույց \overline(t)_(\text(ob.))=2ր. Ստացվում է միջինը 3 բանակցությունների հայտ։

Մենք աստիճանաբար կավելացնենք ալիքների (հեռախոսահամարների) թիվը n=2,3,4,\ldots և կորոշենք ստացված n-ալիք QS-ի սպասարկման բնութագրերը՝ օգտագործելով (25), (28), (29) բանաձևերը: Օրինակ, n=2-ով ունենք

З_0=(\ձախ(1+3+ \frac(3^2)(2\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 !}և այլն:

Մենք ամփոփում ենք QS-ի բնութագրերի արժեքները աղյուսակում: 1.

Ըստ Q\geqslant0,\!9 օպտիմալության պայմանի, հետևաբար հեռուստաստուդիայում անհրաժեշտ է տեղադրել 5 հեռախոսահամար (այս դեպքում Q = 0,\!9 - տե՛ս Աղյուսակ 1): Այս դեպքում ժամում սպասարկվելու է միջինը 80 հարցում (A=80,\!1), իսկ զբաղեցրած հեռախոսահամարների (ալիքների) միջին թիվը՝ ըստ (30) բանաձևի: \overline(k)=\frac(80,\!1)(30)=2,\!67.

Օրինակ 7.Համատեղ հաշվողական կենտրոնը երեք համակարգիչներով ընդունում է ձեռնարկություններից հաշվողական աշխատանքի պատվերներ: Եթե ​​երեք համակարգիչներն էլ աշխատում են, ապա նոր ստացված պատվերը չի ընդունվում, և ձեռնարկությունը ստիպված է կապ հաստատել այլ համակարգչային կենտրոնի հետ։ Մեկ պատվերով աշխատանքի միջին ժամանակը 3 ժամ է, հայտերի հոսքի ինտենսիվությունը՝ 0,25 (1/ժամ): Գտեք համակարգչային կենտրոնի վիճակների սահմանափակող հավանականությունները և կատարողականի ցուցանիշները:

Լուծում.Ըստ պայմանի n=3,~\lambda=0,\!25(1/ժ), \overline(t)_(\text(ob.))=3 (ժ): Ծառայության հոսքի արագությունը \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(3)=0,\!33. Համակարգչային բեռնվածության ինտենսիվությունը ըստ բանաձևի (24) \rho=\frac(0,\!25)(0,\!33)=0,\!75. Եկեք գտնենք վիճակների սահմանափակող հավանականությունները.

- ըստ բանաձևի (25) p_0=(\ձախ(1+0,\!75+ \frac(0,\!75^2)(2+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 !};

- ըստ բանաձևի (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac(0,\!75^2)(2\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 !};

դրանք. համակարգչային կենտրոնի աշխատանքի անշարժ ռեժիմում միջինում 47,6%-ը հարցում չի լինում, 35,7%-ը՝ մեկ հարցում (մեկ համակարգիչը զբաղված է), 13,4%-ը՝ երկու հարցում (երկու համակարգիչ), 3,3%-ը. ժամանակը - երեք հարցում (երեք համակարգիչ զբաղված է):

Այսպիսով, ձախողման հավանականությունը (երբ բոլոր երեք համակարգիչները զբաղված են): P_(\text(otk))=p_3=0,\!033.

Ըստ բանաձևի (28) կենտրոնի հարաբերական հզորությունը Q=1-0,\!033=0,\!967, այսինքն. Միջին հաշվով, յուրաքանչյուր 100 հարցումից համակարգչային կենտրոնը սպասարկում է 96,7 հարցում։

Բանաձևի համաձայն (29) կենտրոնի բացարձակ հզորությունը A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242, այսինքն. միջինը մատուցվում է մեկ ժամում։ 0.242 դիմում:

Ըստ բանաձևի (30)՝ զբաղեցրած համակարգիչների միջին թիվը \overline(k)=\frac(0,\!242)(0,\!33)=0,\!725, այսինքն. Երեք համակարգիչներից յուրաքանչյուրը միջին հաշվով զբաղված կլինի միայն պահանջների սպասարկումով \frac(72,\!5)(3)= 24,\!2%..

Համակարգչային կենտրոնի արդյունավետությունը գնահատելիս անհրաժեշտ է հարցումների կատարումից ստացված եկամուտը համեմատել թանկարժեք համակարգիչների անգործությունից առաջացած կորուստների հետ (մի կողմից մենք ունենք QS-ի բարձր թողունակություն, իսկ մյուս կողմից. , սպասարկման ալիքների զգալի պարապուրդ կա) և ընտրեք փոխզիջումային լուծում:

Javascript-ն անջատված է ձեր դիտարկիչում:
Հաշվարկներ կատարելու համար դուք պետք է ակտիվացնեք ActiveX կառավարները: