Saya pikir kita harus mulai dengan sejarah alat matematika yang hebat seperti persamaan diferensial. Seperti semua kalkulus diferensial dan integral, persamaan ini ditemukan oleh Newton pada akhir abad ke-17. Dia menganggap penemuannya ini sangat penting sehingga dia bahkan mengenkripsi pesannya, yang saat ini dapat diterjemahkan seperti ini: “Semua hukum alam dijelaskan dengan persamaan diferensial.” Ini mungkin tampak berlebihan, tetapi ini benar. Hukum fisika, kimia, biologi apa pun dapat dijelaskan dengan persamaan ini.

Matematikawan Euler dan Lagrange memberikan kontribusi besar terhadap pengembangan dan penciptaan teori persamaan diferensial. Sudah pada abad ke-18 mereka menemukan dan mengembangkan apa yang sekarang mereka pelajari di program universitas senior.

Tonggak baru dalam studi persamaan diferensial dimulai berkat Henri Poincaré. Dia menciptakan "teori persamaan diferensial kualitatif", yang dikombinasikan dengan teori fungsi variabel kompleks, memberikan kontribusi signifikan terhadap dasar topologi - ilmu ruang dan sifat-sifatnya.

Apa itu persamaan diferensial?

Banyak orang yang takut dengan satu ungkapan. Namun, dalam artikel ini kami akan menguraikan secara rinci seluruh esensi dari peralatan matematika yang sangat berguna ini, yang sebenarnya tidak serumit yang terlihat dari namanya. Untuk mulai membahas persamaan diferensial orde pertama, Anda harus terlebih dahulu memahami konsep dasar yang secara inheren terkait dengan definisi ini. Dan kita akan mulai dengan perbedaannya.

Diferensial

Banyak orang sudah mengetahui konsep ini sejak bangku sekolah. Namun, mari kita lihat lebih dekat. Bayangkan grafik suatu fungsi. Kita dapat meningkatkannya sedemikian rupa sehingga setiap ruasnya akan berbentuk garis lurus. Mari kita ambil dua titik yang jaraknya sangat dekat satu sama lain. Perbedaan antara koordinatnya (x atau y) akan sangat kecil. Disebut diferensial dan dilambangkan dengan tanda dy (diferensial y) dan dx (diferensial x). Sangat penting untuk dipahami bahwa diferensial bukanlah besaran yang terbatas, dan inilah arti dan fungsi utamanya.

Sekarang kita perlu membahas elemen berikutnya, yang akan berguna bagi kita dalam menjelaskan konsep persamaan diferensial. Ini adalah turunan.

Turunan

Kita semua mungkin mendengar konsep ini di sekolah. Turunannya dikatakan sebagai laju kenaikan atau penurunan suatu fungsi. Namun, banyak hal yang menjadi tidak jelas dari definisi ini. Mari kita coba menjelaskan turunan melalui diferensial. Mari kita kembali ke segmen fungsi yang sangat kecil dengan dua titik yang aktif jarak minimum dari satu orang ke orang lainnya. Namun bahkan pada jarak ini, fungsinya dapat berubah dalam jumlah tertentu. Dan untuk menggambarkan perubahan ini mereka menghasilkan turunan, yang dapat ditulis sebagai rasio diferensial: f(x)"=df/dx.

Sekarang ada baiknya mempertimbangkan sifat dasar turunannya. Hanya ada tiga di antaranya:

1. Turunan dari suatu jumlah atau selisih dapat direpresentasikan sebagai jumlah atau selisih dari turunan: (a+b)"=a"+b" dan (a-b)"=a"-b".
2. Sifat kedua berkaitan dengan perkalian. Turunan suatu fungsi adalah jumlah hasil kali suatu fungsi dan turunan fungsi lainnya: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Turunan selisihnya dapat dituliskan sebagai persamaan berikut: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Semua sifat ini akan berguna bagi kita untuk mencari solusi persamaan diferensial orde pertama.

Ada juga turunan parsial. Misalkan kita mempunyai fungsi z yang bergantung pada variabel x dan y. Untuk menghitung turunan parsial dari fungsi ini, katakanlah, terhadap x, kita perlu mengambil variabel y sebagai konstanta dan cukup membedakannya.

Integral

Konsep penting lainnya adalah integral. Faktanya, ini adalah kebalikan dari turunan. Ada beberapa jenis integral, tetapi untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang paling sederhana kita memerlukan persamaan yang paling sepele

Jadi, katakanlah kita mempunyai ketergantungan f pada x. Kita ambil integralnya dan dapatkan fungsi F(x) (sering disebut antiturunan), yang turunannya sama dengan fungsi aslinya. Jadi F(x)"=f(x). Hal ini juga berarti bahwa integral turunannya sama dengan fungsi aslinya.

Saat menyelesaikan persamaan diferensial, sangat penting untuk memahami arti dan fungsi integral, karena Anda harus sering menggunakannya untuk menemukan solusinya.

Persamaan bervariasi tergantung pada sifatnya. Pada bagian selanjutnya, kita akan melihat jenis-jenis persamaan diferensial orde pertama, dan kemudian mempelajari cara menyelesaikannya.

Kelas persamaan diferensial

"Diffurs" dibagi menurut urutan turunan yang terlibat di dalamnya. Jadi ada urutan pertama, kedua, ketiga dan seterusnya. Mereka juga dapat dibagi menjadi beberapa kelas: turunan biasa dan turunan parsial.

Pada artikel ini kita akan melihat persamaan diferensial biasa orde pertama. Kami juga akan membahas contoh dan cara menyelesaikannya pada bagian berikut. Kami hanya akan mempertimbangkan ODE, karena ini adalah jenis persamaan yang paling umum. Yang biasa dibagi menjadi subspesies: dengan variabel yang dapat dipisahkan, homogen dan heterogen. Selanjutnya, Anda akan mempelajari perbedaannya satu sama lain dan mempelajari cara menyelesaikannya.

Selain itu, persamaan-persamaan tersebut dapat digabungkan sehingga diperoleh sistem persamaan diferensial orde pertama. Kami juga akan mempertimbangkan sistem tersebut dan mempelajari cara mengatasinya.

Mengapa kami hanya mempertimbangkan pesanan pertama? Karena Anda harus memulai dengan sesuatu yang sederhana, dan tidak mungkin menjelaskan segala sesuatu yang berhubungan dengan persamaan diferensial dalam satu artikel.

Persamaan yang dapat dipisahkan

Ini mungkin persamaan diferensial orde pertama yang paling sederhana. Ini termasuk contoh yang dapat ditulis sebagai berikut: y"=f(x)*f(y). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita memerlukan rumus untuk menyatakan turunan sebagai rasio diferensial: y"=dy/dx. Dengan menggunakannya kita mendapatkan persamaan berikut: dy/dx=f(x)*f(y). Sekarang kita bisa beralih ke metode solusi contoh standar: mari kita bagi variabel menjadi beberapa bagian, yaitu memindahkan semua yang memiliki variabel y ke bagian di mana dy berada, dan melakukan hal yang sama dengan variabel x. Kita memperoleh persamaan berbentuk: dy/f(y)=f(x)dx, yang diselesaikan dengan mengambil integral dari kedua ruas. Jangan lupa tentang konstanta yang perlu ditetapkan setelah mengambil integral.

Solusi untuk setiap “perbedaan” adalah fungsi ketergantungan x pada y (dalam kasus kita) atau, jika ada kondisi numerik, maka jawabannya dalam bentuk angka. Mari kita lihat keseluruhan proses solusi menggunakan contoh spesifik:

Mari kita pindahkan variabel ke arah yang berbeda:

Sekarang mari kita ambil integralnya. Semuanya dapat ditemukan dalam tabel integral khusus. Dan kami mendapatkan:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Jika diperlukan, kita dapat menyatakan "y" sebagai fungsi dari "x". Sekarang kita dapat mengatakan bahwa persamaan diferensial kita terpecahkan jika kondisinya tidak ditentukan. Suatu kondisi dapat ditentukan, misalnya y(n/2)=e. Kemudian kita cukup mensubstitusikan nilai-nilai variabel tersebut ke dalam solusi dan mencari nilai konstanta. Dalam contoh kita, nilainya adalah 1.

Persamaan diferensial homogen orde pertama

Sekarang mari kita beralih ke bagian yang lebih sulit. Persamaan diferensial orde satu homogen dapat dituliskan pandangan umum seperti ini: y"=z(x,y). Perlu diperhatikan bahwa fungsi yang tepat pada dua variabel adalah homogen, dan tidak dapat dibagi menjadi dua ketergantungan: z pada x dan z pada y. Memeriksa apakah suatu persamaan homogen atau tidak cukup sederhana: kita melakukan penggantian x=k*x dan y=k*y. Sekarang kita kurangi semua k. Jika semua huruf ini direduksi, maka persamaannya homogen dan Anda dapat mulai menyelesaikannya dengan aman. Ke depan, katakanlah: prinsip penyelesaian contoh-contoh ini juga sangat sederhana.

Kita perlu melakukan penggantian: y=t(x)*x, di mana t adalah fungsi tertentu yang juga bergantung pada x. Kemudian kita dapat menyatakan turunannya: y"=t"(x)*x+t. Mengganti semua ini ke dalam milik kita persamaan asli dan menyederhanakannya, kita mendapatkan contoh dengan variabel yang dapat dipisahkan t dan x. Kami menyelesaikannya dan mendapatkan ketergantungan t(x). Saat kita menerimanya, kita cukup mengganti y=t(x)*x ke pengganti sebelumnya. Maka kita mendapatkan ketergantungan y pada x.

Agar lebih jelas mari kita lihat contohnya: x*y"=y-x*e y/x .

Saat dicek dengan penggantian, semuanya berkurang. Artinya persamaan tersebut benar-benar homogen. Sekarang kita membuat pengganti lain yang kita bicarakan: y=t(x)*x dan y"=t"(x)*x+t(x). Setelah disederhanakan, kita memperoleh persamaan berikut: t"(x)*x=-et. Kita selesaikan contoh yang dihasilkan dengan variabel terpisah dan dapatkan: e -t =ln(C*x). Yang harus kita lakukan hanyalah mengganti t dengan y/x (jika y =t*x, maka t=y/x), dan kita mendapatkan jawabannya: e -y/x =ln(x*C).

Persamaan diferensial linier orde pertama

Saatnya untuk melihat topik luas lainnya. Kami akan menganalisis persamaan diferensial tak homogen orde pertama. Apa bedanya dengan dua sebelumnya? Mari kita cari tahu. Persamaan diferensial linier orde pertama dalam bentuk umum dapat ditulis sebagai berikut: y" + g(x)*y=z(x). Perlu dijelaskan bahwa z(x) dan g(x) dapat berupa besaran konstan.

Dan sekarang contohnya: y" - y*x=x 2 .

Ada dua solusi, dan kita akan melihat keduanya secara berurutan. Yang pertama adalah metode memvariasikan konstanta sembarang.

Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, Anda harus menyamakan terlebih dahulu sisi kanan ke nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan, yang setelah mentransfer bagian-bagiannya akan berbentuk:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Sekarang kita perlu mengganti konstanta C 1 dengan fungsi v(x), yang harus kita cari.

Mari kita ganti turunannya:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Dan substitusikan ekspresi ini ke persamaan aslinya:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri ada dua syarat yang dibatalkan. Jika dalam beberapa contoh hal ini tidak terjadi, berarti Anda melakukan kesalahan. Ayo lanjutkan:

v"*e x2/2 = x 2 .

Sekarang kita selesaikan persamaan biasa di mana kita perlu memisahkan variabel:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Untuk mengekstrak integral, kita harus menerapkan integrasi per bagian di sini. Namun, ini bukan topik artikel kami. Jika Anda tertarik, Anda dapat mempelajari sendiri cara melakukan tindakan tersebut. Ini tidak sulit, dan dengan keterampilan serta kehati-hatian yang memadai, tidak memakan banyak waktu.

Mari kita beralih ke metode kedua untuk menyelesaikan persamaan tak homogen: metode Bernoulli. Pendekatan mana yang lebih cepat dan mudah terserah Anda.

Jadi, saat menyelesaikan persamaan menggunakan metode ini, kita perlu melakukan substitusi: y=k*n. Di sini k dan n adalah beberapa fungsi yang bergantung pada x. Maka turunannya akan terlihat seperti ini: y"=k"*n+k*n". Kita substitusikan kedua pengganti tersebut ke dalam persamaan:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Pengelompokan:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Sekarang kita perlu menyamakan dengan nol apa yang ada di dalam tanda kurung. Sekarang, jika kita menggabungkan dua persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan sistem persamaan diferensial orde pertama yang perlu diselesaikan:

Kami menyelesaikan persamaan pertama sebagai persamaan biasa. Untuk melakukan ini, Anda perlu memisahkan variabel:

Kita ambil integralnya dan mendapatkan: ln(n)=x 2 /2. Lalu, jika kita nyatakan n:

Sekarang kita substitusikan persamaan yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua sistem:

k"*e x2/2 =x 2 .

Dan dengan mentransformasikannya, kita mendapatkan persamaan yang sama seperti pada metode pertama:

dk=x 2 /e x2/2 .

Kami juga tidak akan membongkarnya tindakan lebih lanjut. Patut dikatakan bahwa penyelesaian persamaan diferensial orde pertama pada awalnya menyebabkan kesulitan yang signifikan. Namun, saat Anda mempelajari topik ini lebih dalam, hasilnya akan semakin baik.

Di mana persamaan diferensial digunakan?

Persamaan diferensial digunakan dengan sangat aktif dalam fisika, karena hampir semua hukum dasar telah dituliskan bentuk diferensial, dan rumus yang kita lihat adalah solusi dari persamaan tersebut. Dalam kimia, mereka digunakan untuk alasan yang sama: hukum-hukum dasar diturunkan dengan bantuan mereka. Dalam biologi, persamaan diferensial digunakan untuk memodelkan perilaku sistem, seperti predator dan mangsa. Mereka juga dapat digunakan untuk membuat model reproduksi, katakanlah, koloni mikroorganisme.

Bagaimana persamaan diferensial dapat membantu Anda dalam hidup?

Jawaban atas pertanyaan ini sederhana: tidak sama sekali. Jika Anda bukan seorang ilmuwan atau insinyur, kemungkinan besar mereka tidak akan berguna bagi Anda. Namun untuk perkembangan umum Tidak ada salahnya mengetahui apa itu persamaan diferensial dan cara penyelesaiannya. Lalu pertanyaan anak laki-laki atau perempuan adalah “apa itu persamaan diferensial?” tidak akan membingungkanmu. Nah, jika Anda seorang ilmuwan atau insinyur, maka Anda sendiri memahami pentingnya topik ini dalam sains apa pun. Namun yang terpenting sekarang adalah pertanyaan “bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama?” Anda selalu bisa memberikan jawaban. Setuju, selalu menyenangkan ketika Anda memahami sesuatu yang orang bahkan takut untuk memahaminya.

Masalah utama dalam belajar

Masalah utama dalam memahami topik ini adalah buruknya keterampilan dalam mengintegrasikan dan membedakan fungsi. Jika Anda buruk dalam mengambil turunan dan integral, mungkin ada baiknya mempelajari dan menguasainya metode yang berbeda integrasi dan diferensiasi, dan baru kemudian mulai mempelajari materi yang dijelaskan dalam artikel.

Ada yang kaget ketika mengetahui dx dapat dibawa-bawa, karena sebelumnya (di sekolah) disebutkan pecahan dy/dx tidak dapat dibagi. Di sini Anda perlu membaca literatur tentang turunan dan memahami bahwa turunan adalah rasio besaran yang sangat kecil yang dapat dimanipulasi saat menyelesaikan persamaan.

Banyak orang tidak segera menyadari bahwa menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama seringkali merupakan fungsi atau integral yang tidak dapat diambil, dan kesalahpahaman ini menimbulkan banyak masalah bagi mereka.

Apa lagi yang bisa Anda pelajari untuk pemahaman yang lebih baik?

Yang terbaik adalah memulai pendalaman lebih lanjut ke dunia kalkulus diferensial dengan buku teks khusus, misalnya analisis matematis untuk siswa spesialisasi non-matematika. Kemudian Anda dapat beralih ke literatur yang lebih terspesialisasi.

Patut dikatakan bahwa, selain persamaan diferensial, ada juga persamaan integral, sehingga Anda akan selalu memiliki sesuatu untuk diperjuangkan dan dipelajari.

Kesimpulan

Kami berharap setelah membaca artikel ini Anda memiliki gambaran tentang apa itu persamaan diferensial dan cara menyelesaikannya dengan benar.

Bagaimanapun, matematika akan berguna bagi kita dalam kehidupan dalam beberapa hal. Ini mengembangkan logika dan perhatian, yang tanpanya setiap orang tidak memiliki tangan.

Catatan kuliah di

persamaan diferensial

Persamaan diferensial

Perkenalan

Ketika mempelajari fenomena tertentu, sering kali muncul situasi ketika prosesnya tidak dapat dijelaskan dengan persamaan y=f(x) atau F(x;y)=0. Selain variabel x dan fungsi yang tidak diketahui, turunan dari fungsi ini juga dimasukkan dalam persamaan.

Definisi: Persamaan yang menghubungkan variabel x, fungsi yang tidak diketahui y(x) dan turunannya disebut persamaan diferensial. Secara umum persamaan diferensialnya seperti ini:

F(x;kamu(x); ;;...;y(n))=0

Definisi: Orde persamaan diferensial adalah orde turunan tertinggi yang termasuk di dalamnya.

–persamaan diferensial orde 1

–persamaan diferensial orde ke-3

Definisi: Penyelesaian persamaan diferensial adalah suatu fungsi yang jika disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut, akan mengubahnya menjadi suatu identitas.

Persamaan diferensial pesanan pertama

Definisi: Persamaan bentuk =f(x;y) atau F(x;y; )=0disebut persamaan diferensial orde 1.

Definisi: Penyelesaian umum persamaan diferensial orde 1 adalah fungsi y=γ(x;c), di mana (c –const), yang jika disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut, akan mengubahnya menjadi suatu identitas. Secara geometris, pada bidang, solusi umum berhubungan dengan keluarga kurva integral bergantung pada parameter c.

Definisi: Kurva integral yang melalui suatu titik pada bidang dengan koordinat (x 0 ;y 0) berhubungan dengan solusi tertentu dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal:

Teorema adanya keunikan penyelesaian persamaan diferensial orde 1

Diberikan persamaan diferensial orde 1
dan fungsi f(x;y) kontinu beserta turunan parsial pada suatu daerah D pada bidang XOY, kemudian melalui titik M 0 (x 0 ;y 0) D melewati satu-satunya kurva yang bersesuaian dengan solusi tertentu dari persamaan diferensial yang sesuai dengan kondisi awal y(x 0)=y 0

Satu kurva integral melewati suatu titik pada bidang dengan koordinat tertentu.

Jika Anda tidak bisa mendapatkannya keputusan bersama persamaan diferensial orde 1 dalam bentuk eksplisit, yaitu
, maka dapat diperoleh secara implisit:

F(x; y; c) =0 – bentuk implisit

Solusi umum dalam bentuk ini disebut integral umum persamaan diferensial.

Sehubungan dengan persamaan diferensial orde 1, diajukan 2 soal:

1) Temukan solusi umum (integral umum)

2) Temukan solusi tertentu (integral parsial) yang memenuhi kondisi awal yang diberikan. Masalah ini disebut masalah Cauchy untuk persamaan diferensial.

Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Persamaan bentuk:
disebut persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Mari kita gantikan

kalikan dengan dx

mari kita pisahkan variabelnya

dibagi dengan

Catatan: perlu mempertimbangkan kasus khusus kapan

variabel dipisahkan

mari kita integrasikan kedua sisi persamaan

- keputusan bersama

Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan dapat dituliskan sebagai:

Kasus yang terisolasi
!

Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan:

1)

2)
awal kondisi:

Persamaan diferensial homogen orde 1

Definisi: Fungsi
disebut homogen orde n jika

Contoh: - fungsi homogen orden=2

Definisi: Fungsi homogen berorde 0 disebut homogen.

Definisi: Persamaan diferensial
disebut homogen jika
- fungsi homogen, mis.

Dengan demikian, persamaan diferensial homogen dapat dituliskan sebagai:

Menggunakan pengganti , dimana t adalah fungsi dari variabel x, persamaan diferensial homogen direduksi menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

- substitusikan ke dalam persamaan

Variabel dipisahkan, mari kita integrasikan kedua sisi persamaan

Mari kita lakukan substitusi terbalik dengan melakukan substitusi , kita memperoleh solusi umum dalam bentuk implisit.

Persamaan diferensial homogen dapat ditulis dalam bentuk diferensial.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, dengan M(x;y) dan N(x;y) adalah fungsi homogen berorde sama.

Bagi dengan dx dan ekspresikan

1)

Persamaan orde pertama yang berbentuk a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) disebut persamaan diferensial linier. Jika b(x) ≡ 0 maka persamaan tersebut disebut homogen, sebaliknya - heterogen. Untuk persamaan diferensial linier, teorema eksistensi dan keunikan mempunyai bentuk yang lebih spesifik.

Tujuan layanan. Kalkulator online dapat digunakan untuk memeriksa solusinya persamaan diferensial linier homogen dan tidak homogen dari bentuk y"+y=b(x) .

=

Gunakan substitusi variabel y=u*v
Gunakan metode variasi konstanta sembarang
Temukan solusi khusus untuk y( ) = .

Untuk mendapatkan solusi, persamaan awal harus direduksi menjadi bentuk: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). Misalnya, untuk y"-exp(x)=2*y itu akan menjadi y"-2 *y=exp(x) .

Dalil. Misalkan a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) kontinu pada interval [α,β], a 1 ≠0 untuk ∀x∈[α,β]. Maka untuk setiap titik (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], terdapat solusi unik persamaan yang memenuhi kondisi y(x 0) = y 0 dan terdefinisi pada seluruh interval [α ,β].
Perhatikan persamaan diferensial linier homogen a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0.
Dengan memisahkan variabel-variabelnya, kita peroleh, atau, dengan mengintegrasikan kedua sisi, Relasi terakhir, dengan memperhatikan notasi exp(x) = e x , ditulis dalam bentuk

Sekarang mari kita coba mencari solusi persamaan dalam bentuk yang ditunjukkan, di mana alih-alih konstanta C, fungsi C(x) disubstitusikan, yaitu dalam bentuk

Mengganti solusi ini ke solusi asli, setelah transformasi yang diperlukan kita peroleh Mengintegrasikan yang terakhir, kita punya

di mana C 1 adalah konstanta baru. Mengganti C(x) dengan ekspresi yang dihasilkan, kita akhirnya mendapatkan solusi persamaan linier asli
.

Contoh. Selesaikan persamaan y" + 2y = 4x. Perhatikan persamaan homogen y" + 2y = 0. Menyelesaikannya, kita mendapatkan y = Ce -2 x. Sekarang kita mencari penyelesaian persamaan awal dalam bentuk y = C(x)e -2 x. Substitusikan y dan y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x ke persamaan awal, kita peroleh C"(x) = 4xe 2 x, sehingga C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 dan y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x adalah penyelesaian umum persamaan awal In penyelesaian ini, y 1 (.x) = 2x-1 - gerak benda di bawah pengaruh gaya b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - gerak diri benda.

Contoh No.2. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Ini bukanlah persamaan yang homogen. Mari kita ubah variabelnya: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x atau u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Solusinya terdiri dari dua tahap:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Samakan u=0, carilah solusi untuk 3v tan(3x)+v" = 0
Mari kita sajikan dalam bentuk: v" = -3v tg(3x)

Mengintegrasikan, kita mendapatkan:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Mengetahui v, Carilah u dari kondisi: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
kamu" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
kamu" = 2/dosa 2 2x
Mengintegrasikan, kita mendapatkan:
Dari kondisi y=u v, kita peroleh:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) atau y = C cos(3x)-cos(2x) cot(3x)

Institusi pendidikan "Negara Bagian Belarusia

akademi pertanian"

Departemen Matematika Tinggi

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER PERTAMA

Catatan kuliah untuk mahasiswa akuntansi

bentuk pendidikan korespondensi (NISPO)

Gorki, 2013

Persamaan diferensial orde pertama

Konsep persamaan diferensial. Solusi umum dan khusus

Ketika mempelajari berbagai fenomena, seringkali tidak mungkin menemukan hukum yang secara langsung menghubungkan variabel bebas dan fungsi yang diinginkan, tetapi hubungan antara fungsi yang diinginkan dan turunannya dapat dibuat.

Hubungan yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang diinginkan dan turunannya disebut persamaan diferensial :

Di Sini X- variabel bebas, kamu– fungsi yang diperlukan,
- turunan dari fungsi yang diinginkan. Dalam hal ini, relasi (1) harus mempunyai paling sedikit satu turunan.

Urutan persamaan diferensial disebut orde turunan tertinggi yang termasuk dalam persamaan.

Pertimbangkan persamaan diferensial

. (2)

Karena persamaan ini hanya mencakup turunan orde pertama, maka persamaan ini disebut adalah persamaan diferensial orde pertama.

Jika persamaan (2) dapat diselesaikan terhadap turunannya dan dituliskan dalam bentuk

, (3)

maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial orde pertama dalam bentuk normal.

Dalam banyak kasus, disarankan untuk mempertimbangkan persamaan bentuk

yang disebut persamaan diferensial orde pertama yang ditulis dalam bentuk diferensial.

Karena
, maka persamaan (3) dapat dituliskan dalam bentuk
atau
, di mana kita bisa menghitung
Dan
. Artinya persamaan (3) diubah menjadi persamaan (4).

Mari kita tulis persamaan (4) dalam bentuk
. Kemudian
,
,
, di mana kita bisa menghitung
, yaitu persamaan bentuk (3) diperoleh. Jadi, persamaan (3) dan (4) ekuivalen.

Memecahkan persamaan diferensial (2) atau (3) disebut fungsi apa pun
, yang jika disubstitusikan ke persamaan (2) atau (3), mengubahnya menjadi identitas:

atau
.

Proses menemukan semua solusi persamaan diferensial disebut nya integrasi , dan grafik solusinya
persamaan diferensial disebut kurva integral persamaan ini.

Jika penyelesaian persamaan diferensial diperoleh dalam bentuk implisit
, lalu disebut integral persamaan diferensial ini.

Solusi umum persamaan diferensial orde pertama adalah keluarga fungsi dalam bentuk
, bergantung pada konstanta sembarang DENGAN, yang masing-masing merupakan solusi terhadap persamaan diferensial tertentu untuk setiap nilai konstanta sembarang yang dapat diterima DENGAN. Jadi, persamaan diferensial mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga.

Keputusan pribadi persamaan diferensial adalah solusi yang diperoleh dari rumus solusi umum untuk nilai tertentu dari konstanta sembarang DENGAN, termasuk
.

Masalah Cauchy dan interpretasi geometrisnya

Persamaan (2) memiliki jumlah solusi yang tak terhingga. Untuk memilih satu solusi dari himpunan ini, yang disebut solusi privat, Anda perlu menetapkan beberapa kondisi tambahan.

Masalah menemukan solusi tertentu persamaan (2) pada kondisi tertentu disebut Masalah Cauchy . Masalah ini adalah salah satu masalah terpenting dalam teori persamaan diferensial.

Masalah Cauchy dirumuskan sebagai berikut: di antara semua solusi persamaan (2) temukan solusi seperti itu
, di mana fungsinya
mengambil nilai numerik yang diberikan , jika variabel independen X mengambil nilai numerik yang diberikan , yaitu

,
, (5)

Di mana D– domain definisi fungsi
.

Arti ditelepon nilai awal fungsi tersebut , A – nilai awal variabel independen . Kondisi (5) disebut kondisi awal atau Kondisi Cauchy .

Dari segi geometri, permasalahan Cauchy untuk persamaan diferensial (2) dapat dirumuskan sebagai berikut: dari himpunan kurva integral persamaan (2), pilih salah satu yang melalui suatu titik tertentu
.

Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Salah satu jenis persamaan diferensial yang paling sederhana adalah persamaan diferensial orde pertama yang tidak mengandung fungsi yang diinginkan:

. (6)

Mengingat bahwa
, kita tulis persamaannya dalam bentuk
atau
. Mengintegrasikan kedua ruas persamaan terakhir, kita memperoleh:
atau

. (7)

Jadi, (7) merupakan solusi umum persamaan (6).

Contoh 1 . Temukan solusi umum persamaan diferensial
.

Larutan . Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk
atau
. Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan yang dihasilkan:
,
. Kami akhirnya akan menuliskannya
.

Contoh 2 . Temukan solusi persamaan tersebut
mengingat bahwa
.

Larutan . Mari kita cari solusi umum persamaan tersebut:
,
,
,
. Dengan syarat
,
. Mari kita substitusikan ke dalam solusi umum:
atau
. Kami mengganti nilai yang ditemukan dari konstanta sembarang ke dalam rumus solusi umum:
. Ini adalah solusi khusus dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi tertentu.

Persamaannya

(8)

Ditelepon persamaan diferensial orde pertama yang tidak mengandung variabel bebas . Mari kita tuliskan dalam formulir
atau
. Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan terakhir:
atau
- solusi umum persamaan (8).

Contoh . Temukan solusi umum persamaan tersebut
.

Larutan . Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk:
atau
. Kemudian
,
,
,
. Dengan demikian,
adalah solusi umum persamaan ini.

Persamaan bentuk

(9)

terintegrasi menggunakan pemisahan variabel. Untuk melakukan ini, kita menulis persamaan dalam bentuk
, lalu dengan menggunakan operasi perkalian dan pembagian kita bawa ke bentuk sedemikian rupa sehingga satu bagian hanya memuat fungsi saja X dan diferensial dx, dan di bagian kedua – fungsi dari pada dan diferensial mati. Untuk melakukan ini, kedua ruas persamaan perlu dikalikan dengan dx dan membaginya
. Hasilnya, kita mendapatkan persamaannya

, (10)

di mana variabelnya X Dan pada terpisah. Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan (10):
. Relasi yang dihasilkan merupakan integral umum persamaan (9).

Contoh 3 . Integrasikan Persamaan
.

Larutan . Mari kita ubah persamaan dan pisahkan variabelnya:
,
. Mari berintegrasi:
,
atau merupakan integral umum persamaan ini.
.

Biarkan persamaan diberikan dalam bentuk

Persamaan ini disebut persamaan diferensial orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan dalam bentuk yang simetris.

Untuk memisahkan variabel, Anda perlu membagi kedua ruas persamaan dengan
:

. (12)

Persamaan yang dihasilkan disebut persamaan diferensial terpisah . Mari kita integrasikan persamaan (12):

.(13)

Relasi (13) merupakan integral umum persamaan diferensial (11).

Contoh 4 . Integrasikan persamaan diferensial.

Larutan . Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk

dan bagi kedua bagiannya
,
. Persamaan yang dihasilkan:
adalah persamaan variabel terpisah. Mari kita integrasikan:

,
,

,
. Persamaan terakhir merupakan integral umum persamaan diferensial ini.

Contoh 5 . Temukan solusi khusus untuk persamaan diferensial
, memenuhi kondisi
.

Larutan . Mengingat bahwa
, kita tulis persamaannya dalam bentuk
atau
. Mari kita pisahkan variabelnya:
. Mari kita integrasikan persamaan ini:
,
,
. Relasi yang dihasilkan merupakan integral umum persamaan ini. Dengan syarat
. Mari kita substitusikan ke integral umum dan temukan DENGAN:
,DENGAN=1. Lalu ekspresinya
adalah solusi parsial dari persamaan diferensial tertentu, ditulis sebagai integral parsial.

Persamaan diferensial linier orde pertama

Persamaannya

(14)

ditelepon persamaan diferensial linier orde pertama . Fungsi tidak diketahui
dan turunannya masuk ke persamaan ini secara linier, dan fungsinya
Dan
kontinu.

Jika
, lalu persamaannya

(15)

ditelepon homogen linier . Jika
, maka persamaan (14) disebut linier tidak homogen .

Untuk mencari solusi persamaan (14) biasanya digunakan metode substitusi (Bernoulli) , yang intinya adalah sebagai berikut.

Kita akan mencari solusi persamaan (14) berupa hasil kali dua fungsi

, (16)

Di mana
Dan
- beberapa fungsi berkelanjutan. Mari kita gantikan
dan turunan
menjadi persamaan (14):

Fungsi ay kami akan memilih sedemikian rupa sehingga kondisinya terpenuhi
. Kemudian
. Oleh karena itu, untuk mencari penyelesaian persamaan (14), perlu diselesaikan sistem persamaan diferensial

Persamaan pertama sistem merupakan persamaan linier homogen dan dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel:
,
,
,
,
. Sebagai sebuah fungsi
Anda dapat mengambil salah satu solusi parsial dari persamaan homogen, yaitu. pada DENGAN=1:
. Mari kita substitusikan ke persamaan kedua sistem:
atau
.Kemudian
. Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial linier orde pertama memiliki bentuk
.

Contoh 6 . Selesaikan persamaannya
.

Larutan . Kami akan mencari solusi persamaan dalam bentuk
. Kemudian
. Mari kita substitusikan ke dalam persamaan:

atau
. Fungsi ay memilih sedemikian rupa sehingga kesetaraan tetap terjaga
. Kemudian
. Mari kita selesaikan persamaan pertama menggunakan metode pemisahan variabel:
,
,
,
,. Fungsi ay Mari kita substitusikan ke persamaan kedua:
,
,
,
. Solusi umum persamaan ini adalah
.

Pertanyaan untuk pengendalian diri atas pengetahuan

Apa itu persamaan diferensial?

Berapakah orde persamaan diferensial?

Persamaan diferensial manakah yang disebut persamaan diferensial orde pertama?

Bagaimana persamaan diferensial orde satu ditulis dalam bentuk diferensial?

Apa solusi persamaan diferensial?

Apa itu kurva integral?

Apa solusi umum persamaan diferensial orde pertama?

Apa yang disebut solusi parsial persamaan diferensial?

Bagaimana rumusan masalah Cauchy untuk persamaan diferensial orde pertama?

Apa interpretasi geometris dari masalah Cauchy?

Bagaimana cara menulis persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan dalam bentuk simetris?

Persamaan manakah yang disebut persamaan diferensial linier orde satu?

Metode apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde pertama dan apa inti dari metode tersebut?

Tugas untuk pekerjaan mandiri

Selesaikan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan:

A)
; B)
;

V)
; G)
.

2. Selesaikan persamaan diferensial linier orde satu:

A)
; B)
; V)
;

G)
; D)
.

Persamaan diferensial orde pertama. Contoh solusi.
Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Persamaan diferensial (DE). Kedua kata ini biasanya membuat takut kebanyakan orang. Persamaan diferensial nampaknya menjadi sesuatu yang mahal dan sulit dikuasai bagi banyak siswa. Uuuuuu... persamaan diferensial, bagaimana aku bisa bertahan dari semua ini?!

Pendapat dan sikap ini pada dasarnya salah, karena pada kenyataannya PERSAMAAN DIFERENSIAL - SEDERHANA DAN BAHKAN MENYENANGKAN. Apa yang perlu Anda ketahui dan dapat lakukan untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan diferensial? Agar berhasil mempelajari difusi, Anda harus pandai mengintegrasikan dan membedakan. Semakin baik topik yang dipelajari Turunan dari suatu fungsi dari satu variabel Dan Integral tak tentu, semakin mudah untuk memahami persamaan diferensial. Saya akan mengatakan lebih banyak, jika Anda memiliki keterampilan integrasi yang kurang lebih baik, maka topiknya hampir dikuasai! Semakin banyak integralnya berbagai jenis Anda tahu bagaimana mengambil keputusan - itu lebih baik. Mengapa? Anda harus banyak berintegrasi. Dan bedakan. Juga Sangat disarankan belajar untuk menemukan.

Dalam 95% kasus di tes Ada 3 jenis persamaan diferensial orde pertama: persamaan yang dapat dipisahkan yang akan kita bahas dalam pelajaran ini; persamaan homogen Dan persamaan linier tidak homogen. Bagi mereka yang mulai mempelajari diffuser, saya menyarankan Anda untuk membaca pelajaran dengan urutan seperti ini, dan setelah mempelajari dua artikel pertama, tidak ada salahnya untuk mengkonsolidasikan keterampilan Anda dalam lokakarya tambahan - persamaan direduksi menjadi homogen.

Ada jenis persamaan diferensial yang lebih jarang lagi: persamaan diferensial total, persamaan Bernoulli dan beberapa lainnya. Yang paling penting dari dua jenis terakhir adalah persamaan di perbedaan penuh, karena selain remote control ini saya sedang mempertimbangkan materi baru – integrasi parsial.

Jika Anda hanya punya satu atau dua hari tersisa, Itu untuk persiapan ultra-cepat Ada kursus kilat dalam format pdf.

Jadi, landmarknya sudah ditetapkan - ayo:

Pertama, mari kita ingat persamaan aljabar biasa. Mereka berisi variabel dan angka. Contoh paling sederhana: . Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan biasa? Ini berarti menemukan kumpulan angka, yang memenuhi persamaan ini. Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan anak-anak memiliki akar tunggal: . Sekadar iseng, mari kita periksa dan gantikan akar yang ditemukan ke dalam persamaan kita:

– diperoleh persamaan yang benar, artinya penyelesaian ditemukan dengan benar.

Diffusernya dirancang dengan cara yang hampir sama!

Persamaan diferensial pesanan pertama V kasus umum mengandung:
1) variabel bebas;
2) variabel terikat (fungsi);
3) turunan pertama fungsi: .

Pada beberapa persamaan orde 1 mungkin tidak ada “x” dan/atau “y”, namun hal ini tidak signifikan - penting untuk pergi ke ruang kontrol dulu turunan pertama, dan tidak memiliki turunan dari orde yang lebih tinggi – , dll.

Apa artinya? Memecahkan persamaan diferensial berarti menemukan kumpulan semua fungsi, yang memenuhi persamaan ini. Himpunan fungsi seperti itu sering kali berbentuk (– konstanta sembarang), yang disebut solusi umum persamaan diferensial.

Contoh 1

Selesaikan persamaan diferensial

Amunisi penuh. Di mana untuk memulai larutan?

Pertama-tama, Anda perlu menulis ulang turunannya dalam bentuk yang sedikit berbeda. Kami ingat sebutan rumit yang mungkin tampak konyol dan tidak perlu bagi banyak dari Anda. Inilah yang menjadi aturan dalam diffuser!

Pada langkah kedua, mari kita lihat apakah itu mungkin variabel terpisah? Apa yang dimaksud dengan memisahkan variabel? Secara kasar, di sisi kiri kita harus pergi hanya "Yunani", A di sisi kanan mengatur hanya "X". Pembagian variabel dilakukan dengan menggunakan manipulasi “sekolah”: mengeluarkannya dari tanda kurung, memindahkan suku dari bagian ke bagian dengan perubahan tanda, memindahkan faktor dari bagian ke bagian sesuai dengan aturan proporsi, dll.

Diferensial dan merupakan pengganda penuh dan peserta aktif dalam permusuhan. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, variabel-variabel mudah dipisahkan dengan membuang faktor-faktornya menurut aturan proporsi:

Variabel dipisahkan. Di sisi kiri hanya ada “Y”, di sisi kanan – hanya “X”.

Tahap selanjutnya - integrasi persamaan diferensial. Sederhana saja, kita letakkan integral di kedua ruas:

Tentu saja kita perlu mengambil integral. DI DALAM pada kasus ini mereka berbentuk tabel:

Seperti yang kita ingat, sebuah konstanta diberikan pada antiturunan apa pun. Ada dua integral di sini, tetapi konstanta cukup ditulis satu kali (karena konstanta + konstanta masih sama dengan konstanta lainnya). Dalam kebanyakan kasus, itu ditempatkan di sisi kanan.

Sebenarnya, setelah integral diambil, persamaan diferensial dianggap terselesaikan. Satu-satunya hal adalah bahwa "y" kita tidak diungkapkan melalui "x", yaitu solusi yang disajikan secara implisit membentuk. Penyelesaian persamaan diferensial dalam bentuk implisit disebut integral umum persamaan diferensial. Artinya, ini merupakan integral umum.

Jawaban dalam bentuk ini cukup bisa diterima, tapi adakah pilihan yang lebih baik? Mari kita coba untuk mendapatkannya keputusan bersama.

Silakan, ingat teknik pertama, ini sangat umum dan sering digunakan tugas-tugas praktis: jika logaritma muncul di sisi kanan setelah integrasi, maka dalam banyak kasus (tetapi tidak selalu!) disarankan juga untuk menulis konstanta di bawah logaritma.

Itu adalah, ALIH-ALIH entri biasanya ditulis .

Mengapa hal ini perlu? Dan agar lebih mudah dalam mengekspresikan “permainan”. Menggunakan properti logaritma . Pada kasus ini:

Sekarang logaritma dan modul dapat dihapus:

Fungsi tersebut disajikan secara eksplisit. Ini adalah solusi umum.

Menjawab: keputusan bersama: .

Jawaban atas banyak persamaan diferensial cukup mudah untuk diperiksa. Dalam kasus kami, ini dilakukan dengan cukup sederhana, kami mengambil solusi yang ditemukan dan membedakannya:

Kemudian kita substitusikan turunannya ke persamaan awal:

– diperoleh persamaan yang benar, yang berarti bahwa solusi umum memenuhi persamaan tersebut, yang perlu diperiksa.

Dengan memberikan nilai konstanta yang berbeda, Anda bisa mendapatkan bilangan tak terhingga solusi pribadi persamaan diferensial. Jelas bahwa salah satu fungsi , , dll. memenuhi persamaan diferensial.

Terkadang solusi umum disebut keluarga fungsi. Dalam contoh ini, solusi umum - ini adalah keluarga fungsi linier, atau lebih tepatnya, keluarga berbanding lurus.

Setelah meninjau contoh pertama secara menyeluruh, adalah tepat untuk menjawab beberapa pertanyaan naif tentang persamaan diferensial:

1)Dalam contoh ini, kami dapat memisahkan variabel. Bisakah ini selalu dilakukan? Tidak, tidak selalu. Dan yang lebih sering lagi, variabel tidak dapat dipisahkan. Misalnya, di persamaan orde satu yang homogen, Anda harus menggantinya terlebih dahulu. Dalam jenis persamaan lain, misalnya, pada persamaan linier tak homogen orde pertama, Anda perlu menggunakan berbagai teknik dan metode untuk menemukan solusi umum. Persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan, yang kita bahas pada pelajaran pertama - tipe paling sederhana persamaan diferensial.

2) Apakah selalu mungkin untuk mengintegrasikan persamaan diferensial? Tidak, tidak selalu. Sangat mudah untuk menghasilkan persamaan “mewah” yang tidak dapat diintegrasikan; selain itu, ada integral yang tidak dapat diambil. Tetapi DE serupa dapat diselesaikan dengan menggunakan metode khusus. D'Alembert dan Cauchy jamin... ...ugh, lurkmore. Aku baru saja banyak membaca, aku hampir menambahkan "dari dunia lain".

3) Dalam contoh ini, kami memperoleh solusi dalam bentuk integral umum . Apakah selalu mungkin untuk menemukan solusi umum dari integral umum, yaitu menyatakan “y” secara eksplisit? Tidak, tidak selalu. Misalnya: . Nah, bagaimana Anda bisa mengekspresikan “Yunani” di sini?! Dalam kasus seperti ini, jawabannya harus ditulis sebagai integral umum. Selain itu, kadang-kadang solusi umum dapat ditemukan, tetapi ditulis dengan sangat rumit dan kikuk sehingga lebih baik membiarkan jawabannya dalam bentuk integral umum.

4) ...mungkin itu cukup untuk saat ini. Pada contoh pertama yang kita temui Yang lainnya poin penting , tapi agar tidak menutupi "boneka" itu dengan longsoran salju informasi baru, saya akan membiarkannya sampai pelajaran berikutnya.

Jangan terburu-buru. Remote control sederhana lainnya dan solusi khas lainnya:

Contoh 2

Temukan solusi khusus persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal

Larutan: sesuai dengan kondisi yang perlu dicari solusi pribadi DE yang memenuhi kondisi awal tertentu. Rumusan pertanyaan seperti ini disebut juga Masalah Cauchy.

Pertama kita menemukan solusi umum. Tidak ada variabel “x” dalam persamaan tersebut, tetapi hal ini tidak membingungkan, yang utama adalah ia memiliki turunan pertama.

Kami menulis ulang turunannya dalam bentuk yang diperlukan:

Tentunya variabelnya bisa dipisahkan, laki-laki ke kiri, perempuan ke kanan:

Mari kita integrasikan persamaannya:

Integral umum diperoleh. Di sini saya menggambar sebuah konstanta dengan tanda bintang, faktanya akan segera berubah menjadi konstanta lain.

Sekarang kita mencoba mengubah integral umum menjadi solusi umum (nyatakan “y” secara eksplisit). Mari kita mengingat hal-hal baik dari sekolah: . Pada kasus ini:

Konstanta dalam indikator terlihat tidak halal, sehingga biasanya diturunkan ke bumi. Secara detail, beginilah kejadiannya. Dengan menggunakan properti derajat, kita menulis ulang fungsinya sebagai berikut:

Jika suatu konstanta, maka juga suatu konstanta, mari kita desain ulang dengan huruf :

Ingatlah untuk "menghancurkan" sebuah konstanta teknik kedua, yang sering digunakan saat menyelesaikan persamaan diferensial.

Jadi, solusi umumnya adalah: . Ini adalah rangkaian fungsi eksponensial yang bagus.

Pada tahap akhir, Anda perlu mencari solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal yang diberikan. Ini juga sederhana.

Apa tugasnya? Perlu mengambil seperti nilai konstanta sehingga kondisinya terpenuhi.

Ini dapat diformat dengan cara yang berbeda, tetapi ini mungkin cara yang paling jelas. Dalam solusi umum, alih-alih “X” kita substitusikan angka nol, dan alih-alih “Y” kita substitusikan dua:



Itu adalah,

Versi desain standar:

Sekarang kita substitusikan nilai konstanta yang ditemukan ke dalam solusi umum:
– ini adalah solusi khusus yang kami butuhkan.

Menjawab: solusi pribadi:

Mari kita periksa. Memeriksa solusi pribadi mencakup dua tahap:

Pertama, Anda perlu memeriksa apakah solusi tertentu yang ditemukan benar-benar memenuhi kondisi awal? Alih-alih “X” kita gantikan angka nol dan lihat apa yang terjadi:
- ya memang diterima dua, artinya syarat awal terpenuhi.

Tahap kedua sudah tidak asing lagi. Kami mengambil solusi khusus yang dihasilkan dan menemukan turunannya:

Kami substitusikan ke persamaan asli:

– kesetaraan yang benar diperoleh.

Kesimpulan: solusi tertentu ditemukan dengan benar.

Mari beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 3

Selesaikan persamaan diferensial

Larutan: Kami menulis ulang turunannya dalam bentuk yang kami butuhkan:

Kami mengevaluasi apakah mungkin untuk memisahkan variabel? Bisa. Suku kedua kita pindahkan ke ruas kanan dengan perubahan tanda:

Dan kami mentransfer penggandanya sesuai dengan aturan proporsi:

Variabelnya dipisahkan, mari kita integrasikan kedua bagiannya:

Saya harus memperingatkan Anda, hari penghakiman sudah dekat. Jika Anda belum belajar dengan baik integral tak tentu, telah memecahkan beberapa contoh, maka tidak ada tujuan lagi - Anda harus menguasainya sekarang.

Integral ruas kiri mudah ditemukan; kita menangani integral kotangen menggunakan teknik standar yang kita bahas dalam pelajaran Mengintegrasikan fungsi trigonometri tahun lalu:

Di sisi kanan kita memiliki logaritma, dan menurut rekomendasi teknis pertama saya, konstanta juga harus ditulis di bawah logaritma.

Sekarang kita coba menyederhanakan integral umum. Karena kita hanya memiliki logaritma, sangat mungkin (dan perlu) untuk menghilangkannya. Dengan menggunakan properti yang diketahui Kami “mengemas” logaritma sebanyak mungkin. Saya akan menuliskannya dengan sangat rinci:

Kemasannya sudah jadi compang-camping secara biadab:

Apakah mungkin untuk mengekspresikan “permainan”? Bisa. Kedua bagian harus dikuadratkan.

Tapi Anda tidak perlu melakukan ini.

Tip teknis ketiga: jika untuk mendapatkan solusi umum perlu dipangkatkan atau berakar, maka Umumnya Anda sebaiknya menahan diri dari tindakan ini dan membiarkan jawabannya dalam bentuk integral umum. Faktanya adalah bahwa solusi umum akan terlihat sangat buruk - dengan akar besar, tanda-tanda dan sampah lainnya.

Oleh karena itu, jawabannya kami tuliskan dalam bentuk integral umum. Merupakan praktik yang baik untuk menyajikannya dalam bentuk , yaitu, di sisi kanan, jika memungkinkan, sisakan hanya sebuah konstanta. Hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi menyenangkan profesor selalu bermanfaat ;-)

Menjawab: integral umum:

! Catatan: Integral umum persamaan apa pun dapat ditulis dengan lebih dari satu cara. Jadi, jika hasil Anda tidak sesuai dengan jawaban yang diketahui sebelumnya, bukan berarti Anda salah menyelesaikan persamaan.

Integral umum juga cukup mudah untuk diperiksa, yang penting bisa dicari turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit. Mari kita bedakan jawabannya:

Kami mengalikan kedua suku dengan:

Dan bagi dengan:

Persamaan diferensial awal telah diperoleh secara eksak, artinya integral umum telah ditemukan dengan benar.

Contoh 4

Temukan solusi khusus persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk keputusan independen.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa algoritma ini terdiri dari dua tahap:
1) mencari solusi umum;
2) menemukan solusi khusus yang diperlukan.

Pengecekan juga dilakukan dalam dua langkah (lihat contoh pada Contoh No. 2), Anda perlu:
1) memastikan bahwa solusi khusus yang ditemukan memenuhi kondisi awal;
2) periksa apakah solusi tertentu secara umum memenuhi persamaan diferensial.

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Contoh 5

Temukan solusi khusus untuk persamaan diferensial , memenuhi kondisi awal. Lakukan pemeriksaan.

Larutan: Pertama, mari kita cari solusi umum. Persamaan ini sudah berisi diferensial yang sudah jadi dan oleh karena itu, solusinya disederhanakan. Kami memisahkan variabel:

Mari kita integrasikan persamaannya:

Integral di sebelah kiri adalah tabel, integral di sebelah kanan diambil metode menjumlahkan suatu fungsi di bawah tanda diferensial:

Integral umum telah diperoleh; apakah solusi umum dapat dinyatakan dengan sukses? Bisa. Kami menggantung logaritma di kedua sisi. Karena positif, tanda modulus tidak diperlukan:

(Saya harap semua orang memahami transformasinya, hal-hal seperti itu seharusnya sudah diketahui)

Jadi, solusi umumnya adalah:

Mari kita cari solusi tertentu yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan.
Dalam solusi umum, alih-alih “X” kita substitusikan nol, dan alih-alih “Y” kita substitusikan logaritma dua:

Desain yang lebih familiar:

Kami mengganti nilai konstanta yang ditemukan ke dalam solusi umum.

Menjawab: solusi pribadi:

Periksa: Pertama, mari kita periksa apakah kondisi awal terpenuhi:
- semuanya baik.

Sekarang mari kita periksa apakah solusi tertentu yang ditemukan memenuhi persamaan diferensial. Menemukan turunannya:

Mari kita lihat persamaan aslinya: – itu direpresentasikan dalam diferensial. Ada dua cara untuk memeriksanya. Perbedaan dari turunan yang ditemukan dapat dinyatakan:

Mari kita substitusikan solusi partikular yang ditemukan dan diferensial yang dihasilkan ke dalam persamaan aslinya :

Kami menggunakan identitas logaritma dasar:

Persamaan yang benar diperoleh, artinya solusi partikular ditemukan dengan benar.

Metode pemeriksaan kedua dicerminkan dan lebih familiar: dari persamaan Mari kita nyatakan turunannya, untuk melakukan ini kita membagi semua bagiannya dengan:

Dan ke dalam DE yang ditransformasikan kita substitusikan solusi parsial yang diperoleh dan turunan yang ditemukan. Sebagai hasil penyederhanaan, persamaan yang benar juga harus diperoleh.

Contoh 6

Selesaikan persamaan diferensial. Sajikan jawabannya dalam bentuk integral umum.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Kesulitan apa yang menanti ketika menyelesaikan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan?

1) Tidak selalu jelas (terutama bagi “teko”) bahwa variabel dapat dipisahkan. Mari kita pertimbangkan contoh bersyarat: . Di sini Anda perlu mengeluarkan faktor-faktor dari tanda kurung: dan memisahkan akar-akarnya: . Sudah jelas apa yang harus dilakukan selanjutnya.

2) Kesulitan dalam integrasi itu sendiri. Integral seringkali bukan yang paling sederhana, dan jika ada kekurangan dalam keterampilan mencarinya integral tak tentu, maka akan sulit dengan banyak diffuser. Selain itu, logika “karena persamaan diferensialnya sederhana, setidaknya biarkan integralnya menjadi lebih rumit” sangat populer di kalangan penyusun koleksi dan manual pelatihan.

3) Transformasi dengan konstanta. Seperti yang diketahui semua orang, konstanta dalam persamaan diferensial dapat ditangani dengan cukup bebas, dan beberapa transformasi tidak selalu jelas bagi pemula. Mari kita lihat contoh kondisional lainnya: . Dianjurkan untuk mengalikan semua suku dengan 2: . Konstanta yang dihasilkan juga merupakan suatu konstanta, yang dapat dilambangkan dengan: . Ya, dan karena ada logaritma di ruas kanan, maka disarankan untuk menulis ulang konstanta tersebut dalam bentuk konstanta lain: .

Masalahnya adalah mereka sering tidak peduli dengan indeks dan menggunakan huruf yang sama. Hasilnya, catatan keputusan mengambil bentuk berikut:

Ajaran sesat yang seperti apa? Ada kesalahan di sana! Sebenarnya, ya. Namun secara substantif tidak ada kesalahan, karena dari transformasi konstanta variabel tetap diperoleh konstanta variabel.

Atau contoh lain, misalkan dalam penyelesaian persamaan diperoleh integral umum. Jawaban ini terlihat jelek, jadi disarankan untuk mengubah tanda setiap suku: . Secara formal, ada kesalahan lain di sini - ini harus ditulis di sebelah kanan. Namun secara informal tersirat bahwa “minus ce” masih konstan ( yang bisa dengan mudah mempunyai arti apa pun!), jadi memberi tanda “minus” tidak masuk akal dan Anda bisa menggunakan huruf yang sama.

Saya akan mencoba menghindari pendekatan yang ceroboh, dan tetap menetapkan indeks yang berbeda ke konstanta saat mengonversinya.

Contoh 7

Selesaikan persamaan diferensial. Lakukan pemeriksaan.

Larutan: Persamaan ini memungkinkan pemisahan variabel. Kami memisahkan variabel:

Mari berintegrasi:

Konstanta di sini tidak perlu didefinisikan sebagai logaritma, karena tidak ada manfaatnya.

Menjawab: integral umum:

Periksa: Bedakan jawabannya (fungsi implisit):

Kita menghilangkan pecahan dengan mengalikan kedua suku dengan:

Persamaan diferensial awal telah diperoleh, artinya integral umum telah ditemukan dengan benar.

Contoh 8

Temukan solusi khusus dari DE.
,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Satu-satunya petunjuk adalah bahwa di sini Anda akan mendapatkan integral umum, dan, lebih tepatnya, Anda perlu berusaha untuk menemukan bukan solusi tertentu, tetapi integral parsial. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.