Хүлээлт ба хэлбэлзэл нь хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тоон шинж чанарууд юм санамсаргүй хувьсагч. Эдгээр нь тархалтын хамгийн чухал шинж чанаруудыг тодорхойлдог: түүний байрлал, тархалтын зэрэг. Олон практик асуудалд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн, бүрэн гүйцэд шинж чанар буюу тархалтын хуулийг олж авах боломжгүй эсвэл огт хэрэггүй болно. Эдгээр тохиолдолд тоон шинж чанарыг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний ойролцоо тодорхойлолтоор хязгаарлагдана.

Хүлээгдэж буй утгыг ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь тархалтын шинж чанар, санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тойрон тархах явдал юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын механик тайлбар дээр үндэслэн математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг авч үзье. Нэгж массыг x тэнхлэгийн цэгүүдийн хооронд тараацгаая x1 , x 2 , ..., x n, мөн материаллаг цэг бүр нь харгалзах масстай х1 , х 2 , ..., х n. Материалын цэгүүдийн бүхэл системийн байрлалыг тэдгээрийн массыг харгалзан абсцисса тэнхлэг дээр нэг цэгийг сонгох шаардлагатай. Материаллаг цэгүүдийн системийн массын төвийг ийм цэг болгон авах нь зүйн хэрэг юм. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний жигнэсэн дундаж юм X, аль нь цэг бүрийн абсцисс xбихаргалзах магадлалтай тэнцэх "жин"-ээр ордог. Ийм аргаар олж авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга Xтүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба эдгээр утгуудын магадлал юм.

Жишээ 1.Хож-хож сугалаа зохион байгууллаа. 1000 хожил байгаа бөгөөд үүнээс 400 нь 10 рубль юм. Тус бүр нь 300-20 рубль. Тус бүр нь 200-100 рубль. тус бүр 100 - 200 рубль байна. Юу дундаж хэмжээнэг тасалбар худалдаж авсан хүмүүсийн ялалт?

Шийдэл. Дундаж ялалтбол бид олох болно нийт дүн 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 рубльтэй тэнцэх ялалтыг 1000-д хуваана (хожлын нийт дүн). Дараа нь бид 50000/1000 = 50 рубль авна. Гэхдээ дундаж ялалтыг тооцоолох илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Нөгөөтэйгүүр, эдгээр нөхцөлд ялалтын дүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд 10, 20, 100, 200 рублийн утгыг авч болно. магадлал нь 0.4-тэй тэнцүү; 0.3; 0.2; 0.1. Тиймээс хүлээгдэж буй дундаж өгөөж нийлбэртэй тэнцүү байнахожлын хэмжээтэй бүтээгдэхүүн, түүнийг авах магадлал.

Жишээ 2.Хэвлэлийн газар шинэ ном гаргахаар шийджээ. Тэрээр уг номоо 280 рублиэр зарахаар төлөвлөж байгаа бөгөөд үүнээс 200-г нь өөрөө, 50-г нь номын дэлгүүр, 30-ыг нь зохиолч авах юм байна. Хүснэгтэд ном хэвлэх зардал, номыг тодорхой тооны хувь борлуулах магадлалын талаархи мэдээллийг өгсөн болно.

Нийтлэгчийн хүлээгдэж буй ашгийг олоорой.

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн "ашиг" нь борлуулалтаас олсон орлого ба зардлын зардлын зөрүүтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 500 хувь ном зарагдсан бол борлуулалтын орлого нь 200 * 500 = 100,000, хэвлэх зардал нь 225,000 рубль болно. Тиймээс нийтлэгч 125,000 рублийн алдагдал хүлээж байна. Дараахь хүснэгтэд санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утгуудыг нэгтгэн харуулав - ашиг.

Тоо	Ашиг xби	Магадлал хби	xби хби
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Нийт:		1,00	25000

Тиймээс бид авдаг хүлээгдэж буй үнэ цэнэнийтлэгчийн ашиг:

.

Жишээ 3.Нэг цохилтоор цохих магадлал х= 0.2. 5-тай тэнцэх цохилтын тоог математикийн таамаглалаар хангадаг сумны хэрэглээг тодорхойл.

Шийдэл. Бидний өнөөг хүртэл хэрэглэж байсан математикийн хүлээлтийн томъёоноос бид илэрхийлж байна x- бүрхүүлийн хэрэглээ:

.

Жишээ 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тодорхойл xГурван цохилттой цохилтын тоо, хэрэв шидэлт болгонд онох магадлал х = 0,4 .

Зөвлөмж: санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн магадлалыг олох Бернуллигийн томъёо .

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг авч үзье.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь энэ тогтмолтой тэнцүү байна:

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг математик хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж болно.

Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн (ялгаа) математикийн хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Эд хөрөнгө 5.Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд Xижил тоогоор буурах (өсөх). ХАМТ, дараа нь түүний математик хүлээлт ижил тоогоор буурах (өсөх) болно:

Зөвхөн математикийн хүлээлтээр өөрийгөө хязгаарлаж чадахгүй байх үед

Ихэнх тохиолдолд зөвхөн математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хангалттай тодорхойлж чадахгүй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг үзье XТэгээд ЮДараахь хуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн:

Утга X	Магадлал
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Утга Ю	Магадлал
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Эдгээр хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ижил байна - тэгтэй тэнцүү:

Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн тархалтын хэв маяг өөр өөр байдаг. Санамсаргүй утга Xзөвхөн математикийн хүлээлтээс бага зэрэг ялгаатай утгууд болон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч болно Юматематикийн хүлээлтээс ихээхэн зөрүүтэй утгыг авч болно. Үүнтэй төстэй жишээ: дундаж цалин нь шүүх боломжгүй юм тодорхой татах хүчөндөр, бага цалинтай ажилчид. Өөрөөр хэлбэл, математикийн хүлээлтээс дор хаяж дунджаар ямар хазайлт гарах боломжтойг дүгнэж болохгүй. Үүнийг хийхийн тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олох хэрэгтэй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс

Зөрчилдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн XМатематикийн хүлээлтээс хазайх квадратын математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт Xтүүний дисперсийн квадрат язгуурын арифметик утгыг:

.

Жишээ 5.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолох XТэгээд Ю, тархалтын хуулиудыг дээрх хүснэгтэд өгсөн болно.

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт XТэгээд Ю, дээр дурдсанчлан, тэгтэй тэнцүү байна. Цагийн тархалтын томъёоны дагуу Э(X)=Э(y)=0 бид дараахыг авна:

Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт XТэгээд Юбүрдүүлэх

.

Тиймээс ижил математикийн хүлээлттэй, санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс Xмаш жижиг боловч санамсаргүй хэмжигдэхүүн Ю- чухал ач холбогдолтой. Энэ нь тэдний тархалтын ялгааны үр дагавар юм.

Жишээ 6.Хөрөнгө оруулагч нь өөр хөрөнгө оруулалтын 4 төсөлтэй. Хүснэгтэд эдгээр төслүүдийн хүлээгдэж буй ашгийг холбогдох магадлалаар нэгтгэн харуулав.

Төсөл 1	Төсөл 2	Төсөл 3	Төсөл 4
500, П=1	1000, П=0,5	500, П=0,5	500, П=0,5
	0, П=0,5	1000, П=0,25	10500, П=0,25
		0, П=0,25	9500, П=0,25

Альтернатив тус бүрийн математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг ол.

Шийдэл. Гурав дахь хувилбарт эдгээр утгыг хэрхэн тооцдог болохыг харуулъя.

Хүснэгтэд бүх хувилбаруудын олсон утгыг нэгтгэн харуулав.

Бүх хувилбарууд нь ижил математикийн хүлээлттэй байдаг. Энэ нь урт хугацаанд бүгд ижил орлоготой байна гэсэн үг. Стандарт хазайлтыг эрсдэлийн хэмжүүр гэж тайлбарлаж болно - энэ нь өндөр байх тусам хөрөнгө оруулалтын эрсдэл нэмэгддэг. Хамгийн бага стандарт хазайлттай (0) учир нэг их эрсдэл хүсэхгүй хөрөнгө оруулагч 1-р төслийг сонгоно. Хэрэв хөрөнгө оруулагч эрсдэлтэй, богино хугацаанд өндөр өгөөжтэй байхыг илүүд үздэг бол тэр хамгийн том төслийг сонгох болно стандарт хэлбэлзэл- төсөл 4.

Тархалтын шинж чанарууд

Дисперсийн шинж чанарыг танилцуулъя.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмол утгын дисперс нь тэг байна:

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг квадрат болгож дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно.

.

Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь энэ утгын квадратын математик хүлээлттэй тэнцүү бөгөөд үүнээс тухайн утгын математик хүлээлтийн квадратыг хасна.

,

Хаана .

Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр (ялгаа) нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна:

Жишээ 7.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдгийг мэддэг Xзөвхөн хоёр утгыг авна: −3 ба 7. Үүнээс гадна математикийн хүлээлт мэдэгдэж байна: Э(X) = 4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Шийдэл. -ээр тэмдэглэе хсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авах магадлал x1 = −3 . Дараа нь үнэ цэнийн магадлал x2 = 7 1 - байх болно х. Математикийн хүлээлтийн тэгшитгэлийг гаргая:

Э(X) = x 1 х + x 2 (1 − х) = −3х + 7(1 − х) = 4 ,

Бид магадлалыг хаанаас авах вэ: х= 0.3 ба 1 − х = 0,7 .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:

X	−3	7
х	0,3	0,7

Бид энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн дисперсийн 3-р шинж чанарын томъёог ашиглан тооцоолно.

Д(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг өөрөө олж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 8.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xзөвхөн хоёр утгыг авдаг. Энэ нь 0.4 магадлалтайгаар 3-ын их утгыг хүлээн авдаг. Үүнээс гадна санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг мэддэг Д(X) = 6. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Жишээ 9.Нэг саванд 6 цагаан, 4 хар бөмбөг байна. Урдаас 3 бөмбөг сугалж авдаг. Сугалсан бөмбөгнүүдийн дундах цагаан бөмбөгний тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийг ол.

Шийдэл. Санамсаргүй утга X 0, 1, 2, 3 гэсэн утгыг авч болно. Харгалзах магадлалыг дараахаас тооцоолж болно магадлалыг үржүүлэх дүрэм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:

X	0	1	2	3
х	1/30	3/10	1/2	1/6

Иймээс энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт:

М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь:

Д(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт ба дисперс

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлтийн механик тайлбар нь ижил утгыг хадгалах болно: нягтралтай x тэнхлэгт тасралтгүй тархсан нэгж массын массын төв. е(x). Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс ялгаатай нь функц нь аргумент юм xбигэнэт өөрчлөгддөг; тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд аргумент тасралтгүй өөрчлөгддөг. Гэхдээ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь түүний дундаж утгатай бас холбоотой.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг олохын тулд тодорхой интегралуудыг олох хэрэгтэй. . Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын функц өгөгдсөн бол энэ нь интегралд шууд орно. Хэрэв магадлалын тархалтын функц өгөгдсөн бол түүнийг ялгах замаар нягтын функцийг олох хэрэгтэй.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын арифметик дундажийг түүний гэж нэрлэдэг математикийн хүлээлт, эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Шийдэл.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хэмжүүр болгон бид ашигладаг тархалт

Тархалт (тархалт гэдэг үг нь "тархах" гэсэн утгатай) юм санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хэмжүүртүүний математикийн хүлээлттэй харьцуулахад. Тархалт гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайх математик хүлээлт юм.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хязгааргүй боловч тоолж болох олон тооны утгуудтай дискрет бол

тэгш байдлын баруун талд байгаа цуваа нийлбэл.

Тархалтын шинж чанарууд.

• 1. Тогтмол утгын дисперс нь тэг байна
• 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
• 3. Тогтмол коэффициентийг квадрат дисперсийн тэмдгээс гаргаж авч болно

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний ялгаварын дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна

Энэ өмч нь хоёр, гурав дахь шинж чанаруудын үр дагавар юм. Зөрүүлэл нь зөвхөн нэмэгдэх боломжтой.

Тархалтын шинж чанарыг ашиглан хялбархан олж авах томъёог ашиглан дисперсийг тооцоолоход тохиромжтой

Ялгаа нь үргэлж эерэг байдаг.

Зөрчилтэй хэмжээссанамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат хэмжээс нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Тиймээс тоо хэмжээ

Стандарт хэлбэлзэлСанамсаргүй хэмжигдэхүүний (стандарт хазайлт эсвэл стандарт) нь түүний дисперсийн квадрат язгуурын арифметик утга юм.

2 ба 5 рублийн мөнгөн тэмдэгтээр хоёр зоос хая. Хэрэв зоос сүлд болон унасан бол 0 оноо, хэрэв тоогоор унасан бол зоосны дэвсгэрттэй тэнцэх оноо олгоно. Онооны тооны математик хүлээлт ба дисперсийг ол.

Шийдэл.Эхлээд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X - онооны тоог олъё. Бүх хослолууд - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - ижил магадлалтай бөгөөд тархалтын хууль нь:

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ:

Бид томъёог ашиглан дисперсийг олдог

яагаад бид тооцоолж байгаа юм

Жишээ 2.

Үл мэдэгдэх магадлалыг ол Р, дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс, өгсөн хүснэгтмагадлалын хуваарилалт

Бид математикийн хүлээлт ба дисперсийг олдог:

М(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

Тархалтыг тооцоолохын тулд бид (19.4) томъёог ашиглана.

Д(X) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

Жишээ 3.Тэнцүү хүчтэй хоёр тамирчин нэг нь эхний ялалт хүртэл эсвэл таван тоглолт дуустал үргэлжилдэг тэмцээн зохион байгуулдаг. Тамирчин тус бүр нэг хожих магадлал 0.3, тэнцэх магадлал 0.4 байна. Тоглосон тоглоомын тооны тархалтын хууль, математикийн хүлээлт, тархалтыг ол.

Шийдэл.Санамсаргүй утга X- тоглосон тоглоомын тоо 1-ээс 5 хүртэлх утгыг авна, өөрөөр хэлбэл.

Тоглолт дуусах магадлалыг тодорхойлъё. Тэдний аль нэг тамирчин хожсон тохиолдолд эхний сет дээр тоглолт өндөрлөнө. Ялах магадлал нь

Р(1) = 0,3+0,3 =0,6.

Хэрэв тэнцсэн бол (сугалах магадлал 1 - 0.6 = 0.4) дараа нь тоглолт үргэлжилнэ. Эхнийх нь тэнцэж, хоёр дахь нь хэн нэгэн хожсон тохиолдолд тоглолт хоёр дахь тоглолтонд дуусна. Магадлал

Р(2) = 0,4 0,6=0,24.

Үүний нэгэн адил, хоёр дараалан тэнцэж, хэн нэгэн хожсон тохиолдолд гурав дахь тоглолтонд тоглолт өндөрлөнө

Р(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. Р(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

Тав дахь тоглоом нь ямар ч хувилбарын сүүлчийнх юм.

Р(5)= 1 - (Р(1)+Р(2)+Р(3)+Р(4)) = 0,0256.

Бүгдийг хүснэгтэд оруулъя. "Хожсон тоглоомын тоо" санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь хэлбэртэй байна

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ

Бид (19.4) томъёог ашиглан дисперсийг тооцоолно.

Стандарт дискрет тархалт.

Бином тархалт.Бернуллигийн туршилтын схемийг хэрэгжүүлье. nижил бие даасан туршилтууд, тус бүр нь үйл явдал Атогтмол магадлалтайгаар гарч ирж болно хмөн магадлалаар гарч ирэхгүй

(18-р лекцийг үзнэ үү).

Үйл явдлын тохиолдлын тоо Аэдгээр дотор nтуршилтууд нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн байдаг X, боломжит утгууд нь:

0; 1; 2; ... ;м; ... ; n.

Гарах магадлал мүйл явдал А тодорхой цуврал nИйм санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй хийсэн туршилт ба тархалтын хуулийг Бернулли томъёогоор өгсөн болно (лекц 18-ыг үзнэ үү)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар Xбином хуулийн дагуу хуваарилагдсан:

Хэрэв nагуу (), тэгвэл, хэзээ, томъёо (19.6) томъёонд орно

ба хүснэгтийн Гауссын функц (18-р лекцийн төгсгөлд Гауссын функцийн утгуудын хүснэгтийг өгсөн болно).

Практикт ихэвчлэн чухал зүйл бол өөрөө тохиолдох магадлал биш юм. мүйл явдал А-аас тодорхой цувралд nтуршилт, үйл явдал болох магадлал Абагагүй харагдах болно

удаа ба түүнээс ихгүй, өөрөөр хэлбэл X утгуудыг авах магадлал

Үүнийг хийхийн тулд бид магадлалыг нэгтгэх хэрэгтэй

Хэрэв nагуу (), тэгвэл (19.9) томъёо нь ойролцоо томьёо болж хувирна

хүснэгтийн функц. 18-р лекцийн төгсгөлд хүснэгтүүдийг өгөв.

Хүснэгтийг ашиглахдаа үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй

Жишээ 1. Уулзвар руу ойртож буй машин A, B, C гэсэн гурван замын аль нэгийг нь ижил магадлалтайгаар үргэлжлүүлж болно. Таван машин уулзвар руу ойртож байна. А замаар явах машины дундаж тоо, В замаар гурван машин явах магадлалыг ол.

Шийдэл.Зам тус бүрээр өнгөрөх машины тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Хэрэв бид уулзварт ойртож буй бүх машинууд бие биенээсээ хамааралгүй явдаг гэж үзвэл энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хоёр гишүүний хуулийн дагуу тархсан болно.

n= 5 ба х = .

Тиймээс А замыг дагах машины дундаж тоог (19.7) томъёоны дагуу авна.

болон хүссэн магадлал нь

Жишээ 2.Туршилт бүрийн үед төхөөрөмжийн эвдрэл гарах магадлал 0.1 байна. Төхөөрөмжийн 60 туршилтыг хийж байна. Төхөөрөмжийн эвдрэл гарах магадлал хэд вэ: a) 15 удаа; б) 15-аас илүүгүй удаа?

А.Туршилтын тоо 60 тул (19.8) томъёог ашигладаг.

18-р лекцийн хавсралтын 1-р хүснэгтээс бид олж мэдэв

б. Бид томъёог (19.10) ашигладаг.

18-р лекцийн хавсралтын 2-р хүснэгтийн дагуу

• - 0,495
• 0,49995

Пуассоны тархалт) ховор тохиолдлын хууль).Хэрэв nтом ба Рбага зэрэг (), бүтээгдэхүүн гэх мэттогтмол утгыг хадгалж, бид үүнийг l гэж тэмдэглэнэ,

Дараа нь (19.6) томъёо нь Пуассоны томъёо болно

Пуассоны тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

Мэдээжийн хэрэг, Пуассоны хуулийн тодорхойлолт зөв, учир нь түгээлтийн цувралын үндсэн өмч

Болсон, учир нь цувралын нийлбэр

Функцийн цуврал өргөтгөл

Теорем. Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперс нь давхцаж, энэ хуулийн параметртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

Баталгаа.

Жишээ.Бүтээгдэхүүнээ зах зээлд сурталчлахын тулд компани нь шуудангийн хайрцагт сурталчилгааны хуудас байрлуулдаг. Өмнөх туршлагаас харахад ойролцоогоор 2000 тохиолдол тутмын нэгд нь захиалга ирдэг. 10,000 сурталчилгаа байрлуулахад хамгийн багадаа нэг захиалга ирэх магадлал, ирсэн дундаж захиалгын тоо, ирсэн захиалгын зөрүүг ол.

Шийдэл. Энд

Наад зах нь нэг захиалга ирэх магадлалыг магадлалаар олох болно эсрэг үйл явдал, өөрөөр хэлбэл

Үйл явдлын санамсаргүй урсгал.Үйл явдлын урсгал нь санамсаргүй цагт тохиолддог үйл явдлын дараалал юм. Ердийн жишээнүүдУрсгал гэдэг нь компьютерийн сүлжээн дэх доголдол, утасны станцын дуудлага, тоног төхөөрөмжийг засварлах хүсэлтийн урсгал гэх мэт.

Урсгалүйл явдал гэж нэрлэдэг суурин, хэрэв тодорхой тооны үйл явдлын урт хугацааны интервалд орох магадлал нь зөвхөн интервалын уртаас хамаарах ба хугацааны тэнхлэг дээрх хугацааны интервалын байршлаас хамаарахгүй бол.

Тогтвортой байдлын нөхцөл нь хүсэлтийн урсгалаар хангагдсан бөгөөд магадлалын шинж чанар нь цаг хугацаанаас хамаардаггүй. Ялангуяа хөдөлгөөнгүй урсгал нь тогтмол нягтралаар тодорхойлогддог (нэгж цаг тутамд хүсэлтийн дундаж тоо). Практикт ихэвчлэн (ядаж хязгаарлагдмал хугацаанд) хөдөлгөөнгүй гэж үзэж болох хүсэлтийн урсгал байдаг. Жишээлбэл, 12-13 цагийн хооронд хотын утасны станц дахь дуудлагын урсгалыг суурин утас гэж үзэж болно. Бүтэн өдрийн турш ижил урсгалыг хөдөлгөөнгүй гэж үзэх боломжгүй (шөнийн цагаар дуудлагын нягт нь өдрийнхөөс хамаагүй бага байдаг).

Урсгалүйл явдлуудыг урсгал гэж нэрлэдэг ямар ч үр дагаваргүй, хэрэв ямар нэгэн давхцаагүй хугацааны хувьд тэдгээрийн аль нэгэнд нь тохиолдох үйл явдлын тоо бусад дээр унасан үйл явдлын тооноос хамаарахгүй бол.

Үр нөлөө байхгүй байх нөхцөл - хамгийн энгийн урсгалын хувьд хамгийн чухал нь програмууд бие биенээсээ хамааралгүйгээр системд ордог гэсэн үг юм. Жишээлбэл, метроны буудал руу орж буй зорчигчдын урсгалыг ямар ч үр дагаваргүй урсгал гэж үзэж болно, учир нь тухайн зорчигчийн ирэхийг тодорхой нэг мөчид бус, өөр нэг мөчид тодорхойлсон шалтгаан нь дүрмээр бол бусад зорчигчдын ижил төстэй шалтгаантай холбоогүй байдаг. . Гэсэн хэдий ч ийм хараат байдал үүссэн тул үр дагаваргүй байх нөхцөлийг амархан зөрчиж болно. Жишээлбэл, нэг галт тэргээр ирж буй зорчигчдын гарах мөч нь бие биенээсээ хамааралтай байдаг тул метроны буудлаас гарч буй зорчигчдын урсгалыг үр дагаваргүй урсгал гэж үзэх боломжгүй болсон.

Урсгалүйл явдал гэж нэрлэдэг жирийн, хэрэв богино хугацааны интервалд t тохиох хоёр ба түүнээс дээш үйл явдлын магадлал нь нэг үйл явдлын магадлалтай харьцуулахад өчүүхэн бага байвал (үүнтэй холбогдуулан Пуассоны хуулийг ховор тохиолдлын хууль гэж нэрлэдэг).

Энгийн нөхцөл гэдэг нь захиалга хос, гурвалсан гэх мэтээр биш дангаараа ирдэг гэсэн үг. дисперсийн хазайлт Бернулли тархалт

Жишээлбэл, үсчин гоо сайханд орох үйлчлүүлэгчдийн урсгалыг бараг энгийн гэж үзэж болно. Хэрэв ер бусын урсгалын үед програмууд зөвхөн хосоор, зөвхөн гурав дахин, гэх мэт ирдэг бол ер бусын урсгалыг энгийн нэг болгон хялбархан бууруулж болно; Үүнийг хийхийн тулд бие даасан хүсэлтийн урсгалын оронд хос, гурвалсан гэх мэт урсгалыг авч үзэхэд хангалттай. Хэрэв хүсэлт бүр санамсаргүй байдлаар давхар, гурав дахин гэх мэт болж хувирвал илүү хэцүү байх болно. Дараа нь та хийх хэрэгтэй. нэгэн төрлийн биш, харин нэг төрлийн бус үйл явдлын урсгалыг шийдвэрлэх.

Хэрэв үйл явдлын урсгал нь бүх гурван шинж чанартай (жишээ нь: хөдөлгөөнгүй, энгийн, сөрөг нөлөөгүй) байвал түүнийг энгийн (эсвэл хөдөлгөөнгүй Пуассон) урсгал гэж нэрлэдэг. "Пуассон" гэсэн нэр нь хэрэв жагсаасан нөхцөл хангагдсан бол аливаа тогтмол хугацааны интервалд тохиолдох үйл явдлын тоог хуваарилахтай холбоотой юм. Пуассоны хууль

Энд үйл явдлын дундаж тоо байна А, нэгж цаг тутамд гарч ирдэг.

Энэ хууль нь нэг параметртэй, өөрөөр хэлбэл. Үүнийг тохируулахын тулд та зөвхөн нэг параметрийг мэдэх хэрэгтэй. Пуассоны хуулийн хүлээлт ба дисперс нь тоон хувьд тэнцүү болохыг харуулж болно.

Жишээ. Ажлын өдрийн дундуур дунджаар секундэд 2 хүсэлт ирдэг гэж бодъё. 1) секундэд ямар ч өргөдөл ирэхгүй, 2) хоёр секундын дотор 10 өргөдөл ирэх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.Пуассоны хуулийг хэрэглэх хүчинтэй эсэх нь эргэлзээгүй бөгөөд түүний параметрийг (= 2) өгсөн тул асуудлын шийдлийг Пуассоны томьёо (19.11) хэрэглэх болгон бууруулсан болно.

1) т = 1, м = 0:

2) т = 2, м = 10:

Хууль их тоо. Зарим тогтмол утгуудын эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний кластерын утгууд байдаг гэсэн математик үндэслэл нь их тооны хууль юм.

Түүхийн хувьд их тооны хуулийн анхны томъёолол нь Бернуллигийн теорем байв.

"Ижил ба бие даасан туршилтуудын n тоо хязгааргүй нэмэгдэхийн хэрээр А үйл явдлын давтамж нь түүний магадлалд нийлдэг." i.e.

n туршилтанд А үйл явдлын давтамж хаана байна,

Үндсэндээ илэрхийлэл (19.10) нь олон тооны туршилтуудаар үйл явдлын давтамжийг илэрхийлдэг гэсэн үг юм. Аэнэ үйл явдлын үл мэдэгдэх магадлалыг орлуулж болох ба гүйцэтгэсэн туршилтын тоо их байх тусам p*-д ойртох болно. Сонирхолтой түүхэн баримт. К.Пирсон зоос 12000 удаа шидсэн бол түүний сүлд 6019 удаа дээш гарч ирсэн (давтамж 0.5016). Нэг зоосыг 24,000 удаа шидэхдээ тэрээр 12,012 төрийн сүлд авсан. давтамж 0.5005.

Том тооны хуулийн хамгийн чухал хэлбэр бол Чебышевын теорем юм. Ижил нөхцөлд хийгдсэн, хязгаарлагдмал дисперстэй бие даасан туршилтуудын тоо хязгааргүй нэмэгдэхийн хэрээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь түүний математик хүлээлтэд нийлдэг.. Аналитик хэлбэрээр энэ теоремыг дараах байдлаар бичиж болно.

Чебышевын теорем нь үндсэн онолын ач холбогдлоос гадна хэмжилтийн онолд чухал практик хэрэглээтэй байдаг. Тодорхой хэмжээний n хэмжилт хийсний дараа X, өөр өөр тохирохгүй утгыг авах X 1, X 2, ..., xn. Хэмжсэн хэмжигдэхүүний ойролцоо утгын хувьд Xажиглагдсан утгуудын арифметик дундажийг авна

Үүнд, Илүү олон туршилт хийх тусам үр дүн нь илүү нарийвчлалтай байх болно.Гүйцэтгэсэн туршилтын тоо нэмэгдэх тусам хэмжигдэхүүний тархалт буурч байгаа нь баримт юм

Д(x 1) = Д(x 2)=…= Д(xn) Д(x), Тэр

Харилцаа (19.13) нь хэмжих хэрэгслийн өндөр нарийвчлалтай (их утга) байсан ч хэмжилтийн тоог нэмэгдүүлснээр дур зоргоороо өндөр нарийвчлалтай үр дүнг авах боломжтой болохыг харуулж байна.

(19.10) томъёог ашиглан статистик давтамж нь магадлалаас илүүгүй хазайх магадлалыг олох боломжтой.

Жишээ.Туршилт бүрт үйл явдлын магадлал 0.4 байна. Үйл явдлын харьцангуй давтамж нь үнэмлэхүй утгын магадлалаас 0.01-ээс бага зөрүүтэй байх магадлал 0.8-аас багагүй байхын тулд та хэдэн туршилт хийх шаардлагатай вэ?

Шийдэл.Томъёоны дагуу (19.14)

Тиймээс хүснэгтийн дагуу хоёр програм байна

тиймээс, n 3932.

Өмнөх нэгэнд бид аргументуудын тархалтын хуулиуд мэдэгдэж байгаа үед функцүүдийн тоон шинж чанарыг олох боломжийг олгодог хэд хэдэн томъёог танилцуулсан. Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд функцүүдийн тоон шинж чанарыг олохын тулд аргументуудын тархалтын хуулиудыг мэдэх шаардлагагүй, гэхдээ тэдгээрийн зөвхөн зарим тоон шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай; Үүний зэрэгцээ бид ерөнхийдөө хуваарилалтын хууль тогтоомжгүйгээр хийдэг. Аргументуудын өгөгдсөн тоон шинж чанараас функцүүдийн тоон шинж чанарыг тодорхойлох нь магадлалын онолд өргөн хэрэглэгддэг бөгөөд олон тооны асуудлын шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг. Эдгээр хялбаршуулсан аргуудын ихэнх нь шугаман функцтэй холбоотой; Гэсэн хэдий ч зарим энгийн шугаман бус функцууд нь ижил төстэй хандлагыг зөвшөөрдөг.

Одоогийн байдлаар бид функцүүдийн тоон шинж чанарын талаархи хэд хэдэн теоремуудыг танилцуулах болно, эдгээр нь өргөн хүрээний нөхцөлд хэрэглэгдэх эдгээр шинж чанаруудыг тооцоолох маш энгийн аппарат юм.

1. Санамсаргүй бус утгын математикийн хүлээлт

Томъёолсон өмч нь маш тодорхой юм; санамсаргүй бус хувьсагчийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тусгай төрөл гэж үзэх замаар үүнийг баталж болно боломжит утганэг магадлалтай; Дараа нь математикийн хүлээлтийн ерөнхий томъёоны дагуу:

.

2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл

Хэрэв санамсаргүй бус утга байвал

3. Математикийн хүлээлтийн тэмдгээр санамсаргүй бус утгыг орлуулах

, (10.2.1)

өөрөөр хэлбэл, санамсаргүй бус утгыг математикийн хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно.

Баталгаа.

a) Тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

b) Тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

.

4. Тархалтын тэмдэг ба стандарт хазайлтыг санамсаргүй бус утгыг орлуулах

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд санамсаргүй бол

, (10.2.2)

өөрөөр хэлбэл тархалтын тэмдгээс санамсаргүй бус утгыг квадрат болгож авч болно.

Баталгаа. Вариацын тодорхойлолтоор

Үр дагавар

,

өөрөөр хэлбэл стандарт хазайлтын тэмдгээс санамсаргүй бус утгыг үнэмлэхүй утгаараа авч болно. Бид (10.2.2) томъёоноос квадрат язгуурыг авч, r.s.o. - мэдэгдэхүйц эерэг утга.

5. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт

Үүнийг дурын хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр баталъя

өөрөөр хэлбэл хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Энэ шинж чанарыг математикийн хүлээлтийг нэмэх теорем гэж нэрлэдэг.

Баталгаа.

a) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн систем байг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрт хэрэглэнэ ерөнхий томъёо(10.1.6) хоёр аргументын функцийн математик хүлээлтийн хувьд:

.

Хо нь хэмжигдэхүүн нь дараах утгыг авах нийт магадлалаас өөр юу ч биш юм.

;

тиймээс,

.

Үүнийг бид ч мөн адил нотлох болно

,

ба теорем нь батлагдсан.

b) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн систем байг. Томъёоны дагуу (10.1.7)

. (10.2.4)

Эхний интегралыг (10.2.4) хувиргая:

;

адилхан

,

ба теорем нь батлагдсан.

Математикийн хүлээлтийг нэмэх теорем нь аливаа санамсаргүй хэмжигдэхүүн - хамааралтай ба бие даасан хэмжигдэхүүнүүдэд хүчинтэй гэдгийг онцгойлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

Математикийн хүлээлтийг нэмэх теоремыг дурын тооны нэр томъёонд ерөнхийлсөн болно.

, (10.2.5)

өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үүнийг батлахын тулд бүрэн индукцийн аргыг ашиглахад хангалттай.

6. Математикийн хүлээлт шугаман функц

Хэд хэдэн санамсаргүй аргументуудын шугаман функцийг авч үзье.

санамсаргүй бус коэффициентүүд хаана байна. Үүнийг баталцгаая

, (10.2.6)

өөрөөр хэлбэл шугаман функцийн математик хүлээлт нь аргументуудын математик хүлээлтийн ижил шугаман функцтэй тэнцүү байна.

Баталгаа. m.o-ийн нэмэх теоремыг ашиглах. ба санамсаргүй бус хэмжигдэхүүнийг m.o. тэмдгийн гадна байрлуулах дүрмийг бид олж авна:

.

7. Dispepэнэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэр дээр корреляцийн моментийг хоёр дахин нэмсэнтэй тэнцүү байна.

Баталгаа. гэж тэмдэглэе

Математикийн хүлээлтийг нэмэх теоремын дагуу

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс харгалзах төвтэй хувьсагч руу шилжье. Тэгш байдлыг (10.2.8) гишүүнчлэлээс (10.2.8) нэр томъёогоор хасвал бид:

Вариацын тодорхойлолтоор

Q.E.D.

(10.2.7) нийлбэрийн дисперсийн томьёог дурын тооны нөхцөлөөр ерөнхийлж болно.

, (10.2.10)

Хэмжигдэхүүний корреляцийн момент хаана байна, нийлбэрийн доорх тэмдэг нь нийлбэр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит хос хослолыг хамарна гэсэн үг юм. .

Баталгаа нь өмнөхтэй төстэй бөгөөд олон гишүүнтийн квадратын томъёоноос дагана.

Томъёо (10.2.10)-ийг өөр хэлбэрээр бичиж болно.

, (10.2.11)

Энд давхар нийлбэр нь хэмжигдэхүүний системийн корреляцийн матрицын бүх элементүүдэд хамаарна , корреляцийн момент болон дисперсийг хоёуланг нь агуулсан.

Хэрэв бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүн , системд орсон, хамааралгүй (өөрөөр хэлбэл, үед) томъёо (10.2.10) дараах хэлбэртэй байна.

, (10.2.12)

өөрөөр хэлбэл хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь гишүүн орнуудын дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Энэ байрлалыг дисперсийн нэмэх теорем гэж нэрлэдэг.

8. Шугаман функцийн дисперс

Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний шугаман функцийг авч үзье.

санамсаргүй бус хэмжигдэхүүнүүд хаана байна.

Энэхүү шугаман функцийн дисперсийг томъёогоор илэрхийлдэг болохыг баталъя

, (10.2.13)

хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн момент хаана байна, .

Баталгаа. Тэмдэглэгээг танилцуулъя:

. (10.2.14)

Илэрхийллийн баруун талд (10.2.14) нийлбэрийг тараах томъёог (10.2.10) хэрэглэж, үүнийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн момент хаана байна:

.

Энэ мөчийг тооцоод үзье. Бидэнд байгаа:

;

адилхан

Энэ илэрхийллийг (10.2.15)-д орлуулснаар бид (10.2.13) томъёонд хүрнэ.

Онцгой тохиолдолд бүх тоо хэмжээ хамааралгүй, томъёо (10.2.13) дараах хэлбэртэй байна.

, (10.2.16)

өөрөөр хэлбэл хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн шугаман функцийн дисперс нь коэффициентүүдийн квадратуудын үржвэрийн нийлбэр ба харгалзах аргументуудын дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

9. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэр, корреляцийн моменттэй тэнцүү байна.

Баталгаа. Корреляцийн моментийн тодорхойлолтоос бид дараахь зүйлийг хийх болно.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан энэ илэрхийллийг хувиргацгаая.

Энэ нь (10.2.17) томъёотой тэнцэх нь ойлгомжтой.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд харилцан хамааралгүй бол томъёо (10.2.17) дараах хэлбэрийг авна.

өөрөөр хэлбэл харилцан хамааралгүй хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Энэ байрлалыг математикийн хүлээлтийг үржүүлэх теорем гэж нэрлэдэг.

Формула (10.2.17) нь системийн хоёр дахь холимог төв моментийг хоёр дахь холимогоор дамжуулан илэрхийлснээс өөр зүйл биш юм. эхлэх мөчболон математикийн хүлээлт:

. (10.2.19)

Энэ илэрхийллийг практикт корреляцийн моментийг тооцоолохдоо ихэвчлэн нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперсийг ихэвчлэн хоёр дахь анхны момент болон математикийн хүлээлтээр тооцдогтой адил ашигладаг.

Математикийн хүлээлтийг үржүүлэх теоремыг дурын тооны хүчин зүйлээр ерөнхийлсөн бөгөөд зөвхөн энэ тохиолдолд түүнийг хэрэглэхийн тулд хэмжигдэхүүнүүд нь харилцан хамааралгүй байх нь хангалттай биш боловч тэдгээрийн тооноос хамаардаг зарим өндөр холимог моментууд шаардлагатай болно. бүтээгдэхүүн дэх нэр томьёоны тоо дээр, алга болно. Бүтээгдэхүүнд багтсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал эдгээр нөхцөлүүд хангагдсан байх нь гарцаагүй. Энэ тохиолдолд

, (10.2.20)

өөрөөр хэлбэл бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Энэ саналыг бүрэн индукцээр хялбархан баталж болно.

10. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн дисперс

Үүнийг бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд баталцгаая

Баталгаа. гэж тэмдэглэе. Вариацын тодорхойлолтоор

Хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг тул

Бие даасан үед хэмжигдэхүүнүүд нь мөн бие даасан байдаг; тиймээс,

,

Гэхдээ хоёр дахь анхны моментоос өөр зүйл байхгүй тул тархалтаар илэрхийлэгддэг.

;

адилхан

.

Эдгээр илэрхийллийг (10.2.22) томъёонд орлуулж, ижил төстэй нэр томъёог авчрахад бид (10.2.21) томъёонд хүрнэ.

Төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг (математикийн хүлээлт тэгтэй тэнцүү хувьсагч) үржүүлэх тохиолдолд (10.2.21) томъёо дараах хэлбэртэй байна.

, (10.2.23)

өөрөөр хэлбэл бие даасан төвтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн үржвэртэй тэнцүү байна.

11. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн өндөр моментууд

Зарим тохиолдолд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн хамгийн өндөр моментуудыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Энд холбоотой зарим харилцааг нотолж үзье.

1) Хэрэв хэмжигдэхүүн нь бие даасан байвал

Баталгаа.

эндээс математикийн хүлээлтийг үржүүлэх теоремын дагуу

Гэхдээ аливаа хэмжигдэхүүний эхний төв мөч нь тэг; дундын хоёр гишүүн алга болж, томъёо (10.2.24) батлагдсан.

(10.2.24) хамаарлыг дурын тооны бие даасан нэр томьёоны индукцээр хялбархан ерөнхийлнө.

. (10.2.25)

2) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дөрөв дэх төв моментийг томъёогоор илэрхийлнэ

хэмжигдэхүүнүүдийн дисперсүүд хаана байна ба .

Нотлох баримт нь өмнөхтэй бүрэн төстэй юм.

Бүрэн индукцийн аргыг ашиглан (10.2.26) томъёоны ерөнхийлөлтийг дурын тооны бие даасан нэр томъёогоор батлахад хялбар байдаг.