Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал. MS EXCEL-д дундаж утгыг (варианц нь мэдэгдэж байна) тооцох итгэлийн интервал

Ихэнхдээ үнэлгээчин нь тухайн үл хөдлөх хөрөнгийн зах зээлд дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай болдог. Хэрэв зах зээл хөгжсөн бол танилцуулсан объектуудыг бүхэлд нь шинжлэхэд хүндрэлтэй байж болох тул дүн шинжилгээ хийхэд объектын дээжийг ашигладаг. Энэ дээж нь үргэлж нэг төрлийн байдаггүй; Энэ зорилгоор үүнийг ашигладаг итгэлийн интервал. Зорилтот энэ судалгаа- estimatica.pro систем дэх өөр өөр дээжтэй ажиллахдаа итгэлцлийн интервалыг тооцоолох хоёр аргын харьцуулсан дүн шинжилгээ хийж, оновчтой тооцооны хувилбарыг сонгох.

Итгэлийн интервал- түүврийн үндсэн дээр тооцоолсон шинж чанарын утгын интервал нь мэдэгдэж буй магадлал бүхий тооцоолсон параметрийг агуулдаг. хүн ам.

Итгэмжлэлийн интервалыг тооцоолох гол зорилго нь түүврийн өгөгдөл дээр үндэслэн ийм интервалыг байгуулах бөгөөд ингэснээр тооцоолсон параметрийн утга энэ интервалд байгаа эсэхийг өгөгдсөн магадлалаар хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл, итгэлийн интервал нь тодорхой магадлалыг агуулдаг үл мэдэгдэх утгатооцоолсон үнэ цэнэ. Интервал илүү өргөн байх тусам алдаа их байх болно.

Итгэлийн интервалыг тодорхойлох өөр өөр аргууд байдаг. Энэ нийтлэлд бид 2 аргыг авч үзэх болно.

• дундаж ба стандарт хазайлтаар;
• дамжуулан чухал үнэ цэнэ t-статистик (Оюутны коэффициент).

Үе шатууд харьцуулсан шинжилгээ янз бүрийн арга замууд CI тооцоо:

1. өгөгдлийн дээжийг бүрдүүлэх;

2. бид үүнийг статистикийн аргуудыг ашиглан боловсруулдаг: дундаж утга, медиан, дисперс гэх мэтийг тооцдог;

3. итгэлийн интервалыг хоёр аргаар тооцоолох;

4. цэвэрлэсэн дээж болон үр дүнд нь итгэх интервалд дүн шинжилгээ хийнэ.

Үе шат 1. Өгөгдлийн түүвэрлэлт

Түүврийг estimatica.pro системийг ашиглан үүсгэсэн. Түүвэрт “Хрущев” маягийн зохион байгуулалттай 3-р үнийн бүсэд 1 өрөө орон сууц худалдах 91 саналыг оруулсан.

Хүснэгт 1. Анхны дээж

	Үнэ 1 м.кв, нэгж

Зураг 1. Анхны дээж

Үе шат 2. Анхны дээжийг боловсруулах

Статистикийн аргыг ашиглан дээжийг боловсруулахын тулд дараахь утгыг тооцоолох шаардлагатай.

1. Арифметик дундаж

2. Медиан - түүврийг тодорхойлох тоо: түүврийн элементүүдийн яг тал хувь нь голчоос их, нөгөө тал нь голчоос бага байна.

(сондгой тооны утга бүхий дээжийн хувьд)

3. Хүрээ - дээж дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгын зөрүү

4. Variance - өгөгдлийн өөрчлөлтийг илүү нарийвчлалтай тооцоолоход ашигладаг

5. Түүврийн стандарт хазайлт (цаашид - SD) нь арифметик дундажийн эргэн тойронд тохируулгын утгуудын тархалтын хамгийн түгээмэл үзүүлэлт юм.

6. Вариацын коэффициент - тохируулгын утгуудын тархалтын зэргийг илэрхийлнэ

7. хэлбэлзлийн коэффициент - түүвэр дэх үнийн хэт утгын дундаж хэлбэлзлийн харьцангуй хэлбэлзлийг тусгадаг.

Хүснэгт 2. Анхны түүврийн статистик үзүүлэлт

Өгөгдлийн нэгэн төрлийн байдлыг тодорхойлдог хэлбэлзлийн коэффициент нь 12.29%, харин хэлбэлзлийн коэффициент нь хэт өндөр байна. Тиймээс бид анхны дээж нь нэгэн төрлийн биш гэж хэлж болох тул итгэлийн интервалыг тооцоолоход шилжье.

Үе шат 3. Итгэлийн интервалын тооцоо

Арга 1. Дундаж ба стандарт хазайлтыг ашиглан тооцоолох.

Итгэлийн интервалыг дараах байдлаар тодорхойлно: хамгийн бага утга - стандарт хазайлтыг дундажаас хасна; хамгийн их утга - стандарт хазайлтыг медиан дээр нэмнэ.

Тиймээс итгэлийн интервал (47179 CU; 60689 CU)

Цагаан будаа. 2. Итгэлийн интервалд багтах утгууд 1.

Арга 2. t-статистикийн критик утгыг ашиглан итгэлцлийн интервал байгуулах (Оюутны коэффициент)

С.В. Грибовский " номонд Математикийн аргуудЭд хөрөнгийн үнэ цэнийг тооцох" нь Оюутны коэффициентийг ашиглан итгэлцлийн интервалыг тооцоолох аргыг тайлбарладаг. Энэ аргыг ашиглан тооцоолохдоо үнэлэгч нь итгэлийн интервалыг бий болгох магадлалыг тодорхойлдог ач холбогдлын түвшинг ∝ өөрөө тохируулах ёстой. Ихэвчлэн 0.1-ийн ач холбогдлын түвшинг ашигладаг; 0.05 ба 0.01. Тэд 0.9-ийн итгэлийн магадлалд тохирч байна; 0.95 ба 0.99. Энэ аргын тусламжтайгаар жинхэнэ утгыг авна математикийн хүлээлтба хэлбэлзэл нь бараг мэдэгддэггүй (энэ нь практик тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэхэд бараг үргэлж үнэн байдаг).

Итгэлийн интервалын томъёо:

n - дээжийн хэмжээ;

t-статистикийн эгзэгтэй утга (Оюутны тархалт) ач холбогдлын түвшин ∝, эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо n-1, тусгай статистикийн хүснэгтүүд эсвэл MS Excel (→"Статистик"→ STUDIST) ашиглан тодорхойлсон;

∝ - ач холбогдлын түвшин, ∝=0.01 гэж авна.

Цагаан будаа. 2. Итгэлийн интервалд багтах утгууд 2.

Үе шат 4. Итгэлийн интервалыг тооцоолох янз бүрийн аргуудын шинжилгээ

Итгэлийн интервалыг дундаж болон Оюутны коэффициентээр тооцоолох хоёр арга нь өөр өөр утгатайинтервалууд. Үүний дагуу бид хоёр өөр цэвэрлэсэн дээж авсан.

Хүснэгт 3. Гурван дээжийн статистик.

Индекс	Анхны дээж	1 сонголт	Сонголт 2
Дундаж утга
Тархалт
Коэф. өөрчлөлтүүд
Коэф. хэлбэлзэл
Тэтгэвэрт гарсан объектын тоо, ширхэг.

Гүйцэтгэсэн тооцоонд үндэслэн бид олж авсан гэж хэлж болно өөр өөр аргуудитгэлцлийн интервалын утгууд огтлолцдог тул та үнэлгээчийн үзэмжээр тооцооллын аль ч аргыг ашиглаж болно.

Гэсэн хэдий ч estimatica.pro системд ажиллахдаа зах зээлийн хөгжлийн түвшингээс хамааран итгэлцлийн интервалыг тооцоолох аргыг сонгох нь зүйтэй гэж бид үзэж байна.

• хэрэв зах зээл хөгжөөгүй бол энэ тохиолдолд тэтгэвэрт гарсан объектын тоо бага байгаа тул дундаж ба стандарт хазайлтыг ашиглан тооцоолох аргыг ашиглана;
• Хэрэв зах зээл хөгжсөн бол том хэмжээний анхны түүврийг бүрдүүлэх боломжтой тул тооцооллыг t-статистикийн эгзэгтэй утгыг (Оюутны коэффициент) ашиглана.

Нийтлэлийг бэлтгэхдээ дараахь зүйлийг ашигласан болно.

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Эд хөрөнгийн үнэ цэнийг үнэлэх математик аргууд. Москва, 2014 он

2. Системийн өгөгдөл estimatica.pro

Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал - энэ нь мэдэгдэж буй магадлал бүхий нийт хүн амын математикийн хүлээлтийг агуулсан өгөгдлөөс тооцсон интервал юм. Математикийн хүлээлтийн байгалийн тооцоо нь түүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж юм. Тиймээс бид хичээлийн туршид "дундаж" ба "дундаж үнэ цэнэ" гэсэн нэр томъёог ашиглах болно. Итгэлийн интервалыг тооцоолох асуудалд хамгийн их шаардлагатай хариулт нь "Дунджийн [тодорхой асуудлын утга] итгэлийн интервал нь [бага утга]-аас [илүү утга] хүртэл байна." Итгэлийн интервалыг ашиглан та зөвхөн дундаж утгыг төдийгүй нийт хүн амын тодорхой шинж чанарын эзлэх хувийг үнэлж болно. Дундаж, хэлбэлзэл, стандарт хэлбэлзэлМөн шинэ тодорхойлолт, томъёонд хүрэх алдаануудыг хичээл дээр авч үзнэ Түүвэр ба популяцийн шинж чанар .

Дундаж утгын цэг ба интервалын тооцоо

Хэрэв популяцийн дундаж утгыг тоогоор (цэгээр) тооцсон бол ажиглалтын түүврээс тооцоолсон тодорхой дундаж утгыг популяцийн үл мэдэгдэх дундаж утгыг тооцоолно. Энэ тохиолдолд түүврийн дундаж утга - санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь нийт хүн амын дундаж утгатай давхцахгүй. Тиймээс түүврийн дундаж утгыг зааж өгөхдөө түүврийн алдааг нэгэн зэрэг зааж өгөх ёстой. Түүвэрлэлтийн алдааны хэмжүүр нь дундажтай ижил нэгжээр илэрхийлэгддэг стандарт алдаа юм. Тиймээс дараах тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг: .

Хэрэв дундаж үнэлгээг тодорхой магадлалтай холбох шаардлагатай бол популяцийн сонирхлын параметрийг нэг тоогоор биш, харин интервалаар үнэлэх ёстой. Итгэлийн интервал гэдэг нь тодорхой магадлал бүхий интервал юм Пхүн амын тооцоолсон үзүүлэлтийн утгыг олно. Энэ нь боломжтой байх итгэлийн интервал П = 1 - α санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олоод дараах байдлаар тооцоолно.

,

α = 1 - П, үүнийг статистикийн бараг бүх номын хавсралтаас олж болно.

Практикт популяцийн дундаж ба дисперс нь тодорхойгүй тул популяцийн дисперсийг түүврийн дисперсээр, олонлогийн дундажийг түүврийн дундажаар сольдог. Тиймээс ихэнх тохиолдолд итгэлийн интервалыг дараах байдлаар тооцдог.

.

Итгэлийн интервалын томъёог хэрэв хүн амын дундаж утгыг тооцоолоход ашиглаж болно

• хүн амын стандарт хазайлт мэдэгдэж байна;
• эсвэл популяцийн стандарт хазайлт тодорхойгүй боловч түүврийн хэмжээ 30-аас их байна.

Түүврийн дундаж нь популяцийн дундажийг бодитой бус тооцоолсон дүн юм. Хариуд нь түүврийн хэлбэлзэл популяцийн хэлбэлзлийн бодитой тооцоолол биш юм. Түүврийн дисперсийн томьёо дахь олонлогийн дисперсийн бодит үнэлгээг авахын тулд түүврийн хэмжээ n-ээр солих ёстой n-1.

Жишээ 1.Тодорхой хотын санамсаргүй түүврээр сонгогдсон 100 кафед ажиллагсдын дундаж тоо 4.6 стандарт хазайлттай 10.5 байна гэсэн мэдээллийг цуглуулсан. Кафены ажилчдын тоонд итгэх итгэлийн 95% интервалыг тодорхойл.

стандартын чухал утга хаана байна хэвийн тархалтач холбогдлын түвшний хувьд α = 0,05 .

Тиймээс кафены ажилчдын дундаж тоо 95% -ийн итгэлцлийн интервал 9.6-11.4 хооронд хэлбэлзэж байна.

Жишээ 2. 64 ажиглалтын популяциас санамсаргүй түүврийн хувьд дараах нийт утгыг тооцоолсон.

ажиглалтын утгын нийлбэр,

дундаж утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр .

Математикийн хүлээлтэд 95% итгэх интервалыг тооцоол.

Стандарт хазайлтыг тооцоолъё:

,

Дундаж утгыг тооцоолъё:

.

Бид итгэлцлийн интервалын илэрхийлэлд утгуудыг орлуулна.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Бид авах:

Тиймээс энэ түүврийн математикийн хүлээлтийн 95%-ийн итгэлийн интервал 7.484-11.266 хооронд хэлбэлзэж байна.

Жишээ 3. 100 ажиглалтаас бүрдсэн санамсаргүй популяцийн түүврийн хувьд тооцоолсон дундаж нь 15.2, стандарт хазайлт нь 3.2 байна. Хүлээгдэж буй утгын хувьд 95%, дараа нь 99% итгэлийн интервалыг тооцоол. Хэрэв түүврийн хүч ба түүний хэлбэлзэл өөрчлөгдөөгүй бөгөөд итгэлцлийн коэффициент нэмэгдэх юм бол итгэлийн интервал нарийсч эсвэл өргөсөх үү?

Бид эдгээр утгыг итгэлцлийн интервалын илэрхийлэл болгон орлуулна.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Бид авах:

.

Иймээс энэ түүврийн дундаж утгын 95%-ийн итгэлийн интервал 14.57-15.82 хооронд хэлбэлзэж байна.

Бид эдгээр утгыг дахин итгэлийн интервалын илэрхийлэл болгон орлуулж байна:

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,01 .

Бид авах:

.

Иймээс энэ түүврийн дундаж утгын 99% итгэлийн интервал 14.37-16.02 хооронд хэлбэлзэж байна.

Бидний харж байгаагаар итгэлийн коэффициент нэмэгдэхийн хэрээр стандарт хэвийн тархалтын критик утга нэмэгдэж, улмаар интервалын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүд дунджаас хол байрлаж, улмаар математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал нэмэгддэг. .

Тодорхой таталцлын цэг ба интервалын тооцоо

Зарим түүврийн шинж чанарын эзлэх хувийг цэгийн тооцоо гэж тайлбарлаж болно тодорхой татах хүч хнийт хүн амын дунд ижил шинж чанартай байдаг. Хэрэв энэ утгыг магадлалтай холбох шаардлагатай бол хувийн таталцлын итгэлцлийн интервалыг тооцоолох хэрэгтэй. хмагадлал бүхий популяцийн шинж чанар П = 1 - α :

.

Жишээ 4.Зарим хотод хоёр нэр дэвшигч байдаг АТэгээд Бхотын даргад нэр дэвшиж байна. Хотын 200 оршин суугчдаас санамсаргүй байдлаар санал асуулга явуулахад 46 хувь нь нэр дэвшигчийн төлөө саналаа өгнө гэж хариулжээ. А, 26% - нэр дэвшигчийн хувьд Б 28 хувь нь хэнд санал өгөхөө мэдэхгүй байна. Нэр дэвшигчийг дэмжиж буй хотын оршин суугчдын хувийн жингийн 95 хувийн итгэлийн интервалыг тодорхойл А.

Итгэлийн интервал- хязгаарлагдмал утгууд статистик үнэ цэнэ, өгөгдсөн итгэлийн магадлалаар γ нь илүү их эзэлхүүнийг түүвэрлэх үед энэ интервалд байх болно. P(θ - ε) гэж тэмдэглэсэн. Практикт γ-ийн итгэлийн магадлалыг нэгдмэл байдалтай ойролцоо утгуудаас сонгоно: γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

Үйлчилгээний зорилго. Энэ үйлчилгээг ашигласнаар та дараахь зүйлийг тодорхойлж болно.

• ерөнхий дундаж итгэлцлийн интервал, дисперсийн итгэлцлийн интервал;
• стандарт хазайлтад итгэх интервал, ерөнхий хувьцааны итгэлцлийн интервал;

Үүссэн шийдлийг Word файлд хадгална (жишээг үзнэ үү). Анхны өгөгдлийг хэрхэн бөглөх тухай видео заавар доор байна.

Жишээ №1. Нэгдлийн фермд нийт 1000 хонь сүргээс 100 хонийг сонгомол хяналтын хяргалт хийсэн. Үүний үр дүнд нэг хониноос дунджаар 4.2 кг ноос хагалахыг тогтоосон. Нэг хонинд ногдох ноос хяргах дундаж хэмжээг тодорхойлохдоо түүврийн дундаж квадрат алдааг 0.99-ийн магадлалаар, хэрэв хэлбэлзэл 2.5 бол хяргалтын утга агуулагдах хязгаарыг тодорхойлно. Дээж нь давтагдахгүй.
Жишээ №2. Москвагийн хойд гаалийн газрын импортын багцаас санамсаргүй давтан түүврийн аргаар “А” бүтээгдэхүүнээс 20 дээж авсан. Туршилтын үр дүнд дээж дэх "А" бүтээгдэхүүний дундаж чийгшил тогтоогдсон бөгөөд энэ нь 1% -ийн стандарт хазайлттай 6% -тай тэнцэж байна.
Импортын бүтээгдэхүүний нийт багц дахь бүтээгдэхүүний дундаж чийгийн хязгаарыг 0.683 магадлалаар тодорхойлно.
Жишээ №3. 36 сурагчийн дунд явуулсан судалгаагаар жилд дунджаар сурах бичиг уншдаг гэсэн дүн гарчээ хичээлийн жил, 6-тай тэнцүү болсон. Нэг улиралд оюутны уншсан сурах бичгийн тоог 6-тай тэнцэх стандарт хазайлттай хэвийн тархалтын хуультай гэж үзвэл: A) 0.99 найдвартай, математикийн интервалын тооцоог ол. энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт; Б) өгөгдсөн түүврээс тооцоолсон нэг улиралд оюутны уншсан сурах бичгийн дундаж тоо нь математикийн хүлээлтээс гажсан гэж бид ямар магадлалаар хэлж чадах вэ? үнэмлэхүй үнэ цэнэ 2-оос ихгүй байна.

Итгэлийн интервалын ангилал

Үнэлгээ хийгдэж буй параметрийн төрлөөр:

Дээжийн төрлөөр:

1. Хязгааргүй дээжийн итгэлийн интервал;
2. Эцсийн түүврийн итгэлцлийн интервал;

Дээжийг дахин дээж авах гэж нэрлэдэг, хэрэв сонгосон объектыг дараагийн объектыг сонгохоос өмнө популяци руу буцаасан бол. Дээжийг давтагдахгүй гэж нэрлэдэг, хэрэв сонгосон объектыг популяцид буцааж өгөхгүй бол. Практикт бид ихэвчлэн давтагддаггүй дээжтэй харьцдаг.

Санамсаргүй түүвэрлэлтийн дундаж түүврийн алдааны тооцоо

Түүврээс олж авсан үзүүлэлтүүдийн утга ба нийт популяцийн холбогдох параметрүүдийн хоорондын зөрүүг гэж нэрлэдэг. төлөөллийн алдаа.
Ерөнхий болон түүвэр популяцийн үндсэн параметрүүдийн тэмдэглэгээ.

Түүвэрлэлтийн алдааны дундаж томьёо
дахин сонгох		давтагдахгүй сонголт
дунджаар	хуваалцахын тулд	дунджаар	хуваалцахын тулд

Түүвэрлэлтийн алдааны хязгаар (Δ) хоорондын хамаарлыг зарим магадлалаар баталгаажуулсан Р(t),Тэгээд дундаж алдаадээж нь дараах хэлбэртэй байна: эсвэл Δ = t·μ, энд т– Лапласын интеграл функцийн хүснэгтийн дагуу магадлалын P(t) түвшнээс хамаарч тодорхойлогддог итгэлцлийн коэффициент.

Цэвэр санамсаргүй түүврийн аргыг ашиглан түүврийн хэмжээг тооцоолох томъёо

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг (бид ерөнхий популяцийн тухай ярьж болно) D = 2 (> 0) дисперс нь мэдэгдэж байгаа ердийн хуулийн дагуу тараацгаая. Нийт хүн амын дундаас (санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсон объектуудын багц дээр) n хэмжээтэй түүврийг хийдэг. Түүвэр x 1 , x 2 ,..., x n нь (текстэнд дээр тайлбарласан арга) ижил аргаар тархсан n бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний олонлог гэж үздэг.

Дараахь тэгш байдлын талаар өмнө нь хэлэлцэж, нотолсон.

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгааг зүгээр л нотлоход хангалттай (бид нотолгоог орхигдуулсан). энэ тохиолдолдмөн ердийн хуулийн дагуу хуваарилагддаг.

Үл мэдэгдэх M хэмжигдэхүүнийг a-аар тэмдэглээд өгөгдсөн найдвартай байдалд үндэслэн d > 0 тоог сонгон нөхцөл хангагдъя.

П(- а< d) = (1)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ердийн хуулийн дагуу математикийн хүлээлт M = M = a, дисперс D = D /n = 2 /n-тэй тархсан тул бид дараахь зүйлийг олж авна.

П(- а< d) =P(a - d < < a + d) =

Тэгш байдлыг хангахын тулд d сонгоход л үлддэг

Хүснэгтийг ашиглан (t)= / 2 гэсэн t тоог олох боломжтой. Энэ t тоог заримдаа гэж нэрлэдэг. тоо хэмжээ.

Одоо тэгш эрхээс

d-ийн утгыг тодорхойлъё:

Бид эцсийн үр дүнг (1) томъёог дараах хэлбэрээр гаргаж авна.

Сүүлийн томъёоны утга нь дараах байдалтай байна: найдвартай байдал, итгэлийн интервал

популяцийн үл мэдэгдэх a = M параметрийг хамарна. Та өөрөөр хэлж болно: цэгийн тооцооМ параметрийн утгыг d= t / нарийвчлалтайгаар, найдвартайгаар тодорхойлно.

Даалгавар. 6.25-тай тэнцэх дисперстэй хэвийн хуулийн дагуу тархсан тодорхой шинж чанартай популяци байг. n = 27 түүврийн хэмжээг авч, шинж чанарын түүврийн дундаж утгыг = 12. Найдвартай байдал = 0.99 байх ерөнхий популяцийн судлагдсан шинж чанарын үл мэдэгдэх математик хүлээлтийг хамарсан итгэлцлийн интервалыг ол.

Шийдэл. Эхлээд Лапласын функцийн хүснэгтийг ашиглан бид (t) = / 2 = 0.495 тэгшитгэлээс t-ийн утгыг олно. Хүлээн авсан утгыг t = 2.58 дээр үндэслэн бид тооцооллын нарийвчлалыг (эсвэл итгэлцлийн интервалын уртын хагас) тодорхойлно d: d = 2.52.58 / 1.24. Эндээс бид шаардлагатай итгэлийн интервалыг олж авна: (10.76; 13.24).

статистик таамаглал ерөнхий хэлбэлзэл

Үгүй үед хэвийн тархалтын математик хүлээлтийн итгэлийн интервал мэдэгдэж буй зөрүү

Үл мэдэгдэх математик хүлээлт M-тэй хэвийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг a үсгээр тэмдэглэнэ. n эзлэхүүний дээжийг хийцгээе. Мэдэгдэж буй томьёо ашиглан түүврийн дундаж болон зассан түүврийн дисперс s 2-ийг тодорхойлъё.

Санамсаргүй утга

Студентийн хуулийн дагуу n - 1 эрх чөлөөний зэрэгтэй хуваарилагдана.

Даалгавар бол өгөгдсөн найдвартай байдлын хувьд t тоог олох ба n - 1 эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог олох явдал юм.

эсвэл тэнцүү тэгш байдал

Энд хаалтанд үл мэдэгдэх a параметрийн утга нь итгэлийн интервал болох тодорхой интервалд хамаарах нөхцөлийг бичнэ. Түүний хил хязгаар нь найдвартай байдал, түүнчлэн түүвэрлэлтийн параметр ба s-ээс хамаарна.

t-ийн утгыг хэмжигдэхүүнээр нь тодорхойлохын тулд тэгш байдлыг (2) дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Одоо Студентийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний t-ийн хүснэгтийг ашиглан магадлал 1 - ба эрх чөлөөний зэрэглэлийн n - 1-ийг ашиглан бид t-ийг олно. Формула (3) нь тавьсан асуудлын хариултыг өгдөг.

Даалгавар. 20 цахилгаан чийдэнгийн хяналтын туршилтын үеэр дундаж хугацааТэдний ажил 11 цагтай тэнцэх стандарт хазайлттай (засварласан түүврийн дисперсийн квадрат язгуураар тооцсон) 2000 цагтай тэнцсэн. Дэнлүүний үйл ажиллагааны үргэлжлэх хугацаа нь хэвийн тархсан гэдгийг мэддэг санамсаргүй хувьсагч. Энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервалыг 0.95 найдвартайгаар тодорхойлно.

Шийдэл. 1-р утга - энэ тохиолдолд 0.05-тай тэнцүү байна. Оюутны хуваарилалтын хүснэгтийн дагуу эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо 19-тэй тэнцүү байх үед бид дараахь зүйлийг олно: t = 2.093. Одоо тооцооллын үнэн зөвийг тооцоолъё: 2.093121/ = 56.6. Эндээс бид шаардлагатай итгэлийн интервалыг олж авна: (1943.4; 2056.6).

Энэ тархалтын дисперс ба стандарт хазайлт s мэдэгдэж байгаа гэдгийг харгалзан, популяцийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийг хэвийн тархалттай байг. Түүврийн дундажийг ашиглан үл мэдэгдэх математик хүлээлтийг тооцоолох шаардлагатай. Энэ тохиолдолд найдвартай байдлын хувьд математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервалыг олох даалгавар ирдэг. Хэрэв та утгыг тохируулсан бол итгэх магадлал(найдвартай байдал) b, дараа нь (6.9a) томъёог ашиглан үл мэдэгдэх математик хүлээлтийн интервалд орох магадлалыг олж болно:

Энд Ф(t) нь Лаплас функц (5.17a).

Үүний үр дүнд бид D = s 2 дисперс нь мэдэгдэж байгаа бол математикийн хүлээлтийн итгэлийн интервалын хил хязгаарыг олох алгоритмыг томъёолж болно.

1. Найдвартай байдлын утгыг тохируулах - b.
2. (6.14)-ээс Ф(t) = 0.5× b илэрхийлнэ. Ф(t) утгын дагуу Лаплас функцийн t-ийн утгыг хүснэгтээс сонгоно (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү).
3. (6.10) томъёог ашиглан e хазайлтыг тооцоол.
4. (6.12) томъёог ашиглан b магадлалын хувьд тэгш бус байдал нь дараах итгэлцлийн интервалыг бич.

.

Жишээ 5.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хэвийн тархалттай байна. Хэрэв өгөгдсөн бол үл мэдэгдэх математик хүлээлт a-ийн найдвартай байдал b = 0.96 гэсэн тооцоололд итгэх итгэлийн интервалыг ол.

1) ерөнхий стандарт хазайлт s = 5;

2) түүврийн дундаж;

3) түүврийн хэмжээ n = 49.

Математикийн хүлээлтийн интервалын тооцооны томъёонд (6.15). А найдвартай b-ээс бусад бүх хэмжигдэхүүнүүд мэдэгдэж байна. t-ийн утгыг (6.14) ашиглан олж болно: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

Хавсралт 1-ийн хүснэгтийг ашиглан Лаплас функц Ф(t) = 0.48 харгалзах t = 2.06 утгыг ол. Тиймээс, . Тооцоолсон e-ийн утгыг томъёонд (6.12) орлуулснаар та итгэлийн интервалыг авах боломжтой: 30-1.47< a < 30+1,47.

Үл мэдэгдэх математик хүлээлтийн найдвартай байдал b = 0.96 гэсэн тооцоололд шаардагдах итгэлийн интервал нь: 28.53-тай тэнцүү байна.< a < 31,47.