Статистикт цэг ба интервал гэсэн хоёр төрлийн тооцоо байдаг. Онооны тооцоопараметрийг тооцоолоход ашигладаг тусдаа түүвэр статистикийг илэрхийлнэ хүн ам. Жишээлбэл, түүврийн дундаж цэгийн тооцоолол юм математикийн хүлээлтхүн ам, түүврийн дисперс S 2- хүн амын хэлбэлзлийн цэгийн тооцоо σ 2. Түүврийн дундаж нь хүн амын математикийн хүлээлтийг бодитой үнэлдэг болохыг харуулсан. Бүх түүврийн дундаж (ижил түүврийн хэмжээтэй) учир түүврийн дундажийг шударга бус гэж нэрлэдэг. n) нь нийт хүн амын математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна.

Түүврийн зөрүүг гаргахын тулд S 2хүн амын хэлбэлзлийн бодитой тооцоолол болсон σ 2, түүврийн дисперсийн хуваагч нь тэнцүү байх ёстой n – 1 , гэхдээ үгүй n. Өөрөөр хэлбэл, хүн амын хэлбэлзэл нь бүх боломжит түүврийн хэлбэлзлийн дундаж юм.

Популяцийн параметрүүдийг тооцоолохдоо түүвэр статистик гэх мэтийг анхаарч үзэх хэрэгтэй , тодорхой дээжээс хамаарна. Энэ баримтыг харгалзан үзэх, олж авах интервалын тооцоонийт хүн амын математикийн хүлээлт, түүврийн хэрэгслийн тархалтыг шинжлэх (дэлгэрэнгүй мэдээллийг үзнэ үү). Баригдсан интервал нь тодорхой итгэлийн түвшингээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь популяцийн жинхэнэ параметрийг зөв тооцоолох магадлалыг илэрхийлдэг. Үүнтэй төстэй итгэлцлийн интервалыг шинж чанарын эзлэх хувийг тооцоолоход ашиглаж болно Рмөн хүн амын үндсэн тархсан масс.

Тэмдэглэлийг эсвэл форматаар, жишээнүүдийг форматаар татаж аваарай

Мэдэгдэж буй стандарт хазайлттай хүн амын математикийн хүлээлтэд итгэх интервалыг бий болгох

Популяци дахь шинж чанарын эзлэх итгэлийн интервалыг бий болгох

Энэ хэсэг нь итгэлцлийн интервалын тухай ойлголтыг ангилсан өгөгдөл болгон өргөжүүлсэн. Энэ нь популяцид тухайн шинж чанарын эзлэх хувийг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог Рдээжийн хуваалтыг ашиглан РС= X/n. Хэрэв тоо хэмжээ нь заасан бол nРТэгээд n(1 – х) 5-аас хэтэрсэн тохиолдолд бином тархалтыг ойролцоогоор хэвийн гэж үзэж болно. Тиймээс хүн амд эзлэх хувийн жинг тооцоолох Ритгэлийн түвшин нь тэнцүү интервал байгуулах боломжтой (1 – α)х100%.

Хаана хС- шинж чанарын түүврийн эзлэх хувь тэнцүү байна X/n, өөрөөр хэлбэл амжилтын тоог түүврийн хэмжээгээр хуваасан, Р- нийт хүн амын дунд шинж чанарын эзлэх хувь, З- стандартчилагдсан чухал утга хэвийн тархалт, n- дээжийн хэмжээ.

Жишээ 3. 100 нэхэмжлэхээс бүрдсэн дээжийг бөглөсөн гэж үзье өнгөрсөн сар. Эдгээр нэхэмжлэхийн 10-ыг нь алдаатай эмхэтгэсэн гэж бодъё. Тиймээс, Р= 10/100 = 0.1. 95% итгэлийн түвшин нь Z = 1.96 чухал утгатай тохирч байна.

Тиймээс нэхэмжлэхийн 4.12% - 15.88% нь алдаатай байх магадлал 95% байна.

Өгөгдсөн түүврийн хэмжээний хувьд популяци дахь шинж чанарын эзлэх хувийг агуулсан итгэлцлийн интервал нь үргэлжилсэн түүврийн хэмжээнээс илүү өргөн харагдаж байна. санамсаргүй хувьсагч. Учир нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилт нь ангиллын өгөгдлийн хэмжилтээс илүү их мэдээллийг агуулна. Өөрөөр хэлбэл, зөвхөн хоёр утгыг авдаг категорийн өгөгдөл нь тэдгээрийн тархалтын параметрүүдийг тооцоолоход хангалтгүй мэдээлэл агуулдаг.

INхязгаарлагдмал популяциас гаргаж авсан тооцооллыг тооцоолох

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох.Эцсийн хүн амын залруулгын хүчин зүйл ( fpc) стандарт алдааг нэг дахин багасгахад ашигласан. Популяцийн параметрийн тооцоонд итгэх итгэлийн интервалыг тооцоолохдоо дээжийг буцааж өгөхгүйгээр авсан тохиолдолд залруулгын коэффициентийг хэрэглэнэ. Ийнхүү итгэлийн түвшинтэй тэнцэх математикийн хүлээлтийн итгэлийн интервал (1 – α)х100%, дараах томъёогоор тооцоолно.

Жишээ 4.Хязгаарлагдмал хүн амд залруулгын коэффициентийг ашиглахыг харуулахын тулд жишээ 3-т дурдсан нэхэмжлэхийн дундаж дүнгийн итгэлцлийн интервалыг тооцоолох асуудал руу буцъя. Нэг компани сард 5000 нэхэмжлэх гаргадаг гэж бодъё. X̅=110.27 доллар, С= $28.95, Н = 5000, n = 100, α = 0.05, t 99 = 1.9842. (6) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Онцлогийн эзлэх хувийг тооцоолох.Буцахгүйгээр сонгохдоо итгэлийн түвшинтэй тэнцэх шинж чанарын хувьд итгэх интервал (1 – α)х100%, дараах томъёогоор тооцоолно.

Итгэлийн интервал ба ёс зүйн асуудлууд

Хүн амын түүврийг авч, статистикийн дүгнэлт гаргахад ёс зүйн асуудал байнга гардаг. Хамгийн гол нь түүврийн статистикийн итгэлцлийн интервал болон цэгийн тооцоолол хэрхэн таарч байгаа явдал юм. Холбогдох итгэлцлийн интервалыг (ихэвчлэн 95%-ийн итгэлцлийн түвшинд) заагаагүй нийтлэх цэгийн тооцоо, тэдгээрийн гаргаж авсан түүврийн хэмжээ нь төөрөгдөл үүсгэж болзошгүй. Энэ нь хэрэглэгчдэд цэгийн тооцоолол нь нийт хүн амын шинж чанарыг урьдчилан таамаглахад яг хэрэгтэй зүйл юм гэсэн сэтгэгдэл төрүүлж магадгүй юм. Тиймээс аливаа судалгаанд цэгийн тооцоонд бус, харин интервалын тооцоонд анхаарлаа хандуулах ёстой гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Түүнээс гадна, Онцгой анхааралөгөх ёстой зөв сонголтдээжийн хэмжээ.

Ихэнх тохиолдолд статистикийн заль мэх хийх объектууд нь улс төрийн тодорхой асуудлаар хүн амын социологийн судалгааны үр дүн юм. Энэ тохиолдолд судалгааны үр дүнг сонины эхний нүүрэнд нийтэлж, алдаа гаргадаг түүвэр судалгаамөн статистикийн шинжилгээний аргачлалыг дунд нь хаа нэгтээ хэвлэсэн байдаг. Хүлээн авсан онооны үнэлгээний үнэн зөвийг батлахын тулд тэдгээрийг олж авсан түүврийн хэмжээ, итгэлцлийн интервалын хил хязгаар, түүний ач холбогдлын түвшинг зааж өгөх шаардлагатай.

Дараагийн тэмдэглэл

Левин ба бусад Менежерүүдэд зориулсан статистик номны материалыг ашигласан болно. – М.: Уильямс, 2004. – х. 448–462

Төвийн хязгаарын теоремхангалттай том түүврийн хэмжээтэй бол дундаж түүврийн тархалтыг хэвийн тархалтаар ойртуулж болно гэж заасан. Энэ өмч нь хүн амын тархалтын төрлөөс хамаардаггүй.

Өмнөх дэд хэсгүүдэд бид үл мэдэгдэх параметрийг тооцоолох асуудлыг авч үзсэн Анэг тоо. Үүнийг "цэг" тооцоо гэж нэрлэдэг. Хэд хэдэн даалгаварт та зөвхөн параметрийг хайх шаардлагагүй Атохиромжтой тоон утга, гэхдээ түүний нарийвчлал, найдвартай байдлыг үнэлэх. Параметрийг солиход ямар алдаа гарч болохыг мэдэх хэрэгтэй Атүүний цэгийн тооцоо АЭдгээр алдаа нь мэдэгдэж буй хязгаараас хэтрэхгүй гэдэгт бид ямар итгэлтэй байж болох вэ?

Энэ төрлийн асуудал нь цэгийг тооцоолоход цөөн тооны ажиглалт хийхэд онцгой хамааралтай байдаг болон доторихэвчлэн санамсаргүй бөгөөд a-г ойролцоогоор солих нь ноцтой алдаа гаргахад хүргэдэг.

Тооцооллын үнэн зөв, найдвартай байдлын талаар ойлголт өгөх А,

В математик статистикТэд итгэлийн интервал болон итгэлийн магадлалыг ашигладаг.

Параметрийг авч үзье Атуршлагаас олж авсан шударга бус тооцоо А.Бид энэ тохиолдолд гарч болзошгүй алдааг тооцоолохыг хүсч байна. p магадлал бүхий үйл явдлыг практикт найдвартай гэж үзэж болохуйц хангалттай том p магадлалыг (жишээлбэл, p = 0.9, 0.95 эсвэл 0.99) оноож, s утгыг олъё.

Дараа нь солих явцад үүссэн алдааны практик боломжит утгуудын хүрээ Адээр А, ± s байх болно; Үнэмлэхүй утгын том алдаа нь зөвхөн бага магадлалтай a = 1 - p гарч ирнэ. (14.3.1)-ийг дараах байдлаар дахин бичье.

Тэгш байдал (14.3.2) магадлал нь p үл мэдэгдэх утгапараметр Аинтервалд багтдаг

Нэг нөхцөл байдлыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Өмнө нь бид өгөгдсөн санамсаргүй бус интервалд санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлалыг олон удаа авч үзсэн. Энд нөхцөл байдал өөр байна: хэмжээ Асанамсаргүй биш боловч интервал / p нь санамсаргүй байна. Түүний x тэнхлэг дээрх байрлал нь санамсаргүй бөгөөд төвөөр нь тодорхойлогддог А; Ерөнхийдөө s-ийн утгыг туршилтын өгөгдлөөр тооцдог тул 2s интервалын урт нь бас санамсаргүй байдаг. Тиймээс in энэ тохиолдолд p утгыг цэгийг "онох" магадлал гэж биш харин тайлбарлах нь дээр Аинтервалд / p, мөн санамсаргүй интервал / p цэгийг хамрах магадлалын хувьд А(Зураг 14.3.1).

Цагаан будаа. 14.3.1

p магадлалыг ихэвчлэн гэж нэрлэдэг итгэх магадлал, ба интервал / p - итгэлийн интервал.Интервалын хил хязгаар Хэрэв. a x =a-с ба a 2 = a +ба дуудагддаг итгэлцлийн хил хязгаар.

Итгэлийн интервалын тухай ойлголтын өөр тайлбарыг өгье: үүнийг параметрийн утгын интервал гэж үзэж болно. А,туршилтын өгөгдөлтэй нийцэж байгаа бөгөөд тэдгээртэй зөрчилдөхгүй. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид a = 1-p магадлалтай үйл явдлыг бараг боломжгүй гэж үзэхийг зөвшөөрвөл a параметрийн утгууд нь a - a> s нь туршилтын өгөгдөлтэй зөрчилдөж байгааг хүлээн зөвшөөрөх ёстой бөгөөд тэдгээр нь |a - А a t na 2.

Параметрийг авч үзье Анэг талыг барьсан тооцоо байдаг А.Хэрэв бид тоо хэмжээний хуваарилалтын хуулийг мэддэг байсан бол А, итгэлийн интервалыг олох даалгавар нь маш энгийн байх болно: s утгыг олоход хангалттай байх болно.

Хэцүү нь тооцооллын хуваарилалтын хууль юм Ахэмжигдэхүүний тархалтын хуулиас хамаарна Xулмаар түүний үл мэдэгдэх параметрүүд дээр (ялангуяа параметр дээр A).

Энэ бэрхшээлийг даван туулахын тулд та дараах ойролцоо аргыг ашиглаж болно: s-ийн илэрхийлэл дэх үл мэдэгдэх параметрүүдийг цэгийн тооцоогоор солино. Харьцангуй олон тооны туршилтуудтай П(20...30 орчим) энэ техник нь ихэвчлэн нарийвчлалын хувьд хангалттай үр дүнг өгдөг.

Жишээлбэл, математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервалын асуудлыг авч үзье.

Үүнийг үйлдвэрлэе П X,шинж чанарууд нь математикийн хүлээлт юм Тболон хэлбэлзэл Д- үл мэдэгдэх. Эдгээр параметрүүдийн хувьд дараахь тооцоог хийсэн.

Тохирох итгэлийн интервал / p байгуулах шаардлагатай итгэх магадлал p, математикийн хүлээлтийн хувьд Ттоо хэмжээ X.

Энэ асуудлыг шийдэхдээ бид тоо хэмжээг ашиглах болно Тнийлбэрийг илэрхийлнэ Пбие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X чмөн төв хязгаарын теоремын дагуу хангалттай том Птүүний тархалтын хууль хэвийн хэмжээнд ойрхон байна. Практикт харьцангуй цөөн тооны нэр томьёотой ч (10...20 орчим) нийлбэрийн тархалтын хуулийг ойролцоогоор хэвийн гэж үзэж болно. Бид үнэ цэнийг тооцох болно Тердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Энэ хуулийн шинж чанарууд - математикийн хүлээлт ба дисперс нь тэнцүү байна ТТэгээд

(13-р бүлгийн 13.3-ыг үзнэ үү). үнэ цэнэ гэж үзье ДБид Ep-ийн үнэ цэнийг мэдэж, олох болно

6-р бүлгийн (6.3.5) томъёог ашиглан бид (14.3.5)-ын зүүн талын магадлалыг хэвийн тархалтын функцээр илэрхийлнэ.

тооцооны стандарт хазайлт хаана байна Т.

Eq-аас.

Sp-ийн утгыг ол:

arg Ф* (х) нь Ф*-ийн урвуу функц юм. (X),тэдгээр. аргументийн үнэ цэнэ хэвийн үйл ажиллагаахуваарилалт тэнцүү байна X.

Тархалт D,үүгээр тоо хэмжээг илэрхийлнэ А 1P, бид яг таг мэдэхгүй байна; түүний ойролцоо утгын хувьд та тооцооллыг ашиглаж болно Д(14.3.4) болон ойролцоогоор тавина:

Ийнхүү итгэлцлийн интервалыг бий болгох асуудлыг ойролцоогоор шийдсэн бөгөөд энэ нь:

Энд gp-ийг (14.3.7) томъёогоор тодорхойлно.

s p-ийг тооцоолохдоо Ф* (l) функцийн хүснэгтэд урвуу интерполяци хийхээс зайлсхийхийн тулд хэмжигдэхүүний утгыг өгдөг тусгай хүснэгтийг (Хүснэгт 14.3.1) эмхэтгэх нь тохиромжтой.

r-ээс хамаарна. Утга (p нь хэвийн хуулийн хувьд тархалтын төвөөс баруун болон зүүн тийш зурсан стандарт хазайлтын тоог тодорхойлдог бөгөөд ингэснээр үүссэн хэсэгт орох магадлал p-тэй тэнцүү байна.

7 p утгыг ашиглан итгэлцлийн интервалыг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

Хүснэгт 14.3.1

Жишээ 1. Хэмжигдэхүүн дээр 20 туршилт хийсэн X;үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 14.3.2.

Хүснэгт 14.3.2

Хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс тооцооллыг олох шаардлагатай X p = 0.8 итгэх магадлалд тохирох итгэлийн интервалыг байгуулна.

Шийдэл.Бидэнд байгаа:

Лавлах цэг болгон l: = 10-ийг сонгосноор гурав дахь томьёог (14.2.14) ашиглан бид шударга бус үнэлгээг олно. Д :

Хүснэгтийн дагуу 14.3.1 бид олдог

Итгэлийн хязгаарлалт:

Итгэлийн интервал:

Параметрийн утгууд Т,Энэ интервалд байгаа үзүүлэлтүүд нь хүснэгтэд өгсөн туршилтын өгөгдөлтэй нийцэж байна. 14.3.2.

Үүнтэй адилаар хэлбэлзлийн итгэлийн интервалыг байгуулж болно.

Үүнийг үйлдвэрлэе Псанамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан туршилтууд XА болон дисперсийн аль алинд нь үл мэдэгдэх параметртэй ДШударга бус үнэлгээг авсан:

Энэ нь хэлбэлзлийн итгэлцлийн интервалыг ойролцоогоор бий болгох шаардлагатай.

Томъёогоор (14.3.11) тодорхой байна Дтөлөөлдөг

хэмжээ Пхэлбэрийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Эдгээр үнэ цэнэ нь тийм биш юм

бие даасан, учир нь тэдгээрийн аль нэг нь тоо хэмжээг агуулдаг Т,бусдаас хамааралтай. Гэсэн хэдий ч нэмэгдэх тусам үүнийг харуулж болно Птэдгээрийн нийлбэрийн тархалтын хууль мөн хэвийн хэмжээнд ойртоно. Бараг цагт П= 20...30 аль хэдийн хэвийн гэж үзэж болно.

Ийм байна гэж үзээд энэ хуулийн шинж чанаруудыг олъё: математикийн хүлээлт ба тархалт. Үнэлгээнээс хойш Д- тэгвэл шударга бус M[D] = D.

Зөрчлийн тооцоо Д Дхарьцангуй төвөгтэй тооцоололтой холбоотой тул бид түүний илэрхийлэлийг гаралгүйгээр танилцуулж байна:

q 4 нь дөрөв дэх нь төв цэгтоо хэмжээ X.

Энэ илэрхийллийг ашиглахын тулд та \u003d 4 ба утгыг орлуулах хэрэгтэй Д(ядаж ойр байдаг). Оронд нь ДТа түүний үнэлгээг ашиглаж болно Д.Зарчмын хувьд дөрөв дэх төв мөчийг тооцоолол, жишээлбэл, маягтын утгаар сольж болно.

гэхдээ ийм орлуулалт нь маш бага нарийвчлалыг өгөх болно, учир нь ерөнхийдөө хязгаарлагдмал тооны туршилтууд байдаг. өндөр захиалга-аас тодорхойлсон том алдаанууд. Гэсэн хэдий ч практикт энэ нь ихэвчлэн тоо хэмжээний хуваарилалтын хуулийн төрөл тохиолддог XУрьдчилан мэдэгдэж байгаа: зөвхөн түүний параметрүүд тодорхойгүй байна. Дараа нь та μ 4-ээр дамжуулан илэрхийлэхийг оролдож болно Д.

Хамгийн түгээмэл тохиолдлыг авч үзье, хэзээ үнэ цэнэ Xердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Дараа нь түүний дөрөв дэх төв мөчийг тархалтын хувьд илэрхийлнэ (6-р бүлгийн 6.2-р хэсгийг үзнэ үү);

ба томъёо (14.3.12) өгнө эсвэл

(14.3.14) дэх үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулах Дтүүний үнэлгээ Д, бид авдаг: хаанаас

Момент μ 4-ийг дамжуулан илэрхийлж болно Дмөн бусад зарим тохиолдолд үнэ цэнийг хуваарилах үед Xхэвийн биш боловч гадаад төрх нь мэдэгдэж байна. Жишээлбэл, хуулийн хувьд жигд нягтрал(5-р бүлгийг үзнэ үү) бидэнд байна:

Энд (a, P) нь хуулийг тодорхойлсон интервал юм.

Тиймээс,

(14.3.12) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна. ойролцоогоор хаанаас олох вэ

26-р хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийн төрөл тодорхойгүй тохиолдолд а/)-ийн утгыг ойролцоогоор тооцоолохдоо энэ хуулийг батлах онцгой шалтгаан байхгүй бол (14.3.16) томъёог ашиглахыг зөвлөж байна. Энэ нь ердийнхөөс эрс ялгаатай (эерэг эсвэл сөрөг куртозтой) .

Хэрэв a/)-ийн ойролцоо утгыг аль нэг аргаар олж авсан бол бид математикийн хүлээлтэд зориулж бүтээсэнтэй ижил аргаар дисперсийн итгэлцлийн интервалыг байгуулж болно.

өгөгдсөн p магадлалаас хамаарах утгыг хүснэгтийн дагуу олно. 14.3.1.

Жишээ 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн хувьд ойролцоогоор 80%-ийн итгэлийн интервалыг ол. X 1-р жишээний нөхцөлд, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол үнэ цэнэ Xхэвийн хэмжээнд ойрхон хуулийн дагуу хуваарилагдсан.

Шийдэл.Утга нь хүснэгтэд байгаатай ижил хэвээр байна. 14.3.1:

Томъёоны дагуу (14.3.16)

(14.3.18) томъёог ашиглан бид итгэлийн интервалыг олно:

Дундаж утгуудын харгалзах интервал квадрат хазайлт: (0,21; 0,29).

14.4. Ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний параметрүүдийн итгэлийн интервалыг бий болгох нарийн аргууд

Өмнөх дэд хэсэгт бид математикийн хүлээлт ба дисперсийн итгэлцлийн интервалыг бий болгох ойролцоогоор аргуудыг судалсан. Энд бид ижил асуудлыг шийдэх тодорхой аргуудын талаар санаа өгөх болно. Итгэлийн интервалыг үнэн зөв олохын тулд хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн хэлбэрийг урьдчилан мэдэх зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг бид онцолж байна. X,харин ойролцоо аргыг хэрэглэхэд энэ шаардлагагүй.

Санаа нарийн аргуудитгэлцлийн интервалыг бий болгох нь дараах байдалтай байна. Аливаа итгэлцлийн интервал нь бидний сонирхож буй тооцоог багтаасан тодорхой тэгш бус байдлыг биелүүлэх магадлалыг илэрхийлсэн нөхцлөөс олддог. А.Үнэлгээний хуваарилалтын хууль АВ ерөнхий тохиолдолүл мэдэгдэх хэмжигдэхүүний параметрүүдээс хамаарна X.Гэсэн хэдий ч заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс тэгш бус байдлыг дамжуулах боломжтой байдаг Аажиглагдсан утгуудын бусад функцэд X p X 2, ..., X х.тархалтын хууль нь үл мэдэгдэх параметрээс хамаардаггүй, зөвхөн туршилтын тоо, хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн төрлөөс хамаарна. X.Эдгээр төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь математик статистикт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг; хэмжигдэхүүнийг хэвийн хуваарилах тохиолдолд тэдгээрийг хамгийн нарийвчлан судалсан X.

Жишээлбэл, утгын хэвийн тархалттай байх нь батлагдсан Xсанамсаргүй утга

гэж нэрлэгддэг зүйлд захирагддаг Оюутны хуваарилалтын хууль-тай П- 1 градусын эрх чөлөө; Энэ хуулийн нягтрал нь хэлбэртэй байна

Энд G(x) нь мэдэгдэж буй гамма функц юм:

Мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн болох нь батлагдсан

-тай "% 2 тархалт" байна П- 1 градусын эрх чөлөө (7-р бүлгийг үз), нягтралыг томъёогоор илэрхийлнэ

Тархалтын (14.4.2) ба (14.4.4) гарал үүслийн талаар ярихгүйгээр бид параметрийн итгэлцлийн интервалыг байгуулахдаа тэдгээрийг хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. ty D.

Үүнийг үйлдвэрлэе Псанамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан туршилтууд X,үл мэдэгдэх параметрүүдээр хэвийн тархсан T&O.Эдгээр үзүүлэлтүүдийн хувьд тооцооллыг авсан

Итгэлийн магадлал p-тэй харгалзах хоёр параметрийн хувьд итгэлцлийн интервалыг байгуулах шаардлагатай.

Эхлээд математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервалыг байгуулъя. Энэ интервалыг тэгш хэмтэй авч үзэх нь зүйн хэрэг юм Т; s p нь интервалын уртын хагасыг тэмдэглэе. Нөхцөлийг хангахын тулд s p утгыг сонгох ёстой

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс тэгш байдлын (14.4.5) зүүн талд шилжихийг оролдъё Тсанамсаргүй хэмжигдэхүүн рүү Т,Оюутны хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Үүнийг хийхийн тулд |m-w?| тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүлнэ

эерэг утгаар: эсвэл тэмдэглэгээг ашиглан (14.4.1),

Нөхцөлөөс / p утгыг олох боломжтой / p тоог олъё

(14.4.2) томъёоноос тодорхой байна (1) - жигд функц, тэгэхээр (14.4.8) өгнө

Тэгш байдал (14.4.9) нь p-ээс хамаарч утгыг / p-ийг тодорхойлно. Хэрэв танд интеграл утгуудын хүснэгт байгаа бол

дараа нь /p-ийн утгыг урвуу интерполяцаар хүснэгтээс олж болно. Гэхдээ /p утгын хүснэгтийг урьдчилан гаргах нь илүү тохиромжтой. Ийм хүснэгтийг Хавсралтад өгсөн болно (Хүснэгт 5). Энэ хүснэгтэд итгэлийн түвшин p болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тооноос хамаарч утгуудыг харуулав П- 1. Хүснэгтээс тодорхойлсны дараа / p. 5 ба таамаглаж байна

бид итгэлцлийн интервал / p ба интервалын өргөний хагасыг олох болно

Жишээ 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан 5 туршилт хийсэн X,үл мэдэгдэх параметрүүдээр хэвийн тархсан Тболон тухай. Туршилтын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 14.4.1.

Хүснэгт 14.4.1

Үнэлгээ олох ТМатематикийн хүлээлтийн хувьд 90% -ийн итгэлцлийн интервал / p-ийг байгуулна (өөрөөр хэлбэл итгэлийн магадлалд харгалзах интервал p = 0.9).

Шийдэл.Бидэнд байгаа:

Өргөдлийн 5-р хүснэгтийн дагуу P - 1 = 4 ба p = 0.9-ийг бид олно хаана

Итгэлийн интервал нь байх болно

Жишээ 2. 14.3-р дэд хэсгийн 1-р жишээний нөхцлийн хувьд утгыг авч үзнэ. Xхэвийн тархалттай, тодорхой итгэлийн интервалыг ол.

Шийдэл.Хавсралтын 5-р хүснэгтээс харахад бид хэзээ болохыг олж мэднэ P - 1 = 19ir =

0.8 / p = 1.328; эндээс

14.3-р дэд хэсгийн 1-р жишээний шийдэлтэй харьцуулбал (e p = 0.072) зөрүү нь маш бага гэдэгт бид итгэлтэй байна. Хэрэв бид хоёр дахь аравтын бутархайн нарийвчлалыг хадгалах юм бол яг ба ойролцоо аргуудаар олсон итгэлийн интервалууд давхцдаг.

Вариацын итгэлцлийн интервалыг байгуулах ажлыг үргэлжлүүлье. Шударга бус дисперсийн үнэлэгчийг авч үзье

санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлнэ Дхэмжээгээр дамжуулан В(14.4.3), x 2 тархалттай (14.4.4):

Хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мэдэх V,өгөгдсөн p магадлалтайгаар унах /(1) интервалыг олж болно.

Хуваарилалтын хууль kn_x(v) I 7 магнитуд нь зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 14.4.1.

Цагаан будаа. 14.4.1

Асуулт гарч ирнэ: интервал / p-ийг хэрхэн сонгох вэ? Хэмжээний тархалтын хууль бол Втэгш хэмтэй байсан (хэвийн хууль эсвэл Оюутны тархалт гэх мэт), математикийн хүлээлттэй харьцуулахад /p интервалыг тэгш хэмтэй авах нь зүйн хэрэг. Энэ тохиолдолд хууль k p_x (v)тэгш бус. Утгын магадлал байхын тулд /p интервалыг сонгохыг зөвшөөрье Вбаруун ба зүүн талын интервалаас цааш (14.4.1-р зурагт сүүдэрлэсэн хэсгүүд) ижил бөгөөд тэнцүү байв.

Энэ шинж чанартай интервал /p байгуулахын тулд бид хүснэгтийг ашиглана. 4 програм: энэ нь тоо агуулсан у)тиймэрхүү

үнэ цэнийн хувьд V,х 2-тэй - r эрх чөлөөний зэрэгтэй тархалт. Манай тохиолдолд r = n- 1. Засацгаая r = n- 1 ба хүснэгтийн харгалзах мөрөнд олно. 4 хоёр утгатай x 2 -нэг нь магадлалд тохирох нөгөө нь - магадлал Эдгээрийг тэмдэглэе

үнэт зүйлс 2 цагтТэгээд xl?Интервал байна y 2,зүүн талдаа, мөн у ~баруун төгсгөл.

Одоо / p интервалаас хүссэн итгэлийн интервалыг /|, D хилтэй тархалтын хувьд олъё. D2,цэгийг хамардаг Д p магадлалтай:

Цэгийг хамарсан / (, = (?> ь А) интервал байгуулъя Дхэрэв зөвхөн үнэ цэнэ В/r интервалд ордог. Интервал гэдгийг харуулъя

энэ нөхцлийг хангаж байна. Үнэхээр тэгш бус байдал тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

ба эдгээр тэгш бус байдал нь p магадлалд хангагдана. Ийнхүү дисперсийн итгэлцлийн интервал олдсон ба (14.4.13) томъёогоор илэрхийлэгдэнэ.

Жишээ 3. 14.3-р дэд хэсгийн 2-р жишээний нөхцлийн дагуу хэлбэлзлийн итгэлцлийн интервалыг ол. Xхэвийн тархсан.

Шийдэл.Бидэнд байгаа . Хавсралтын 4-р хүснэгтийн дагуу

бид олдог r = n - 1 = 19

(14.4.13) томъёог ашиглан бид дисперсийн итгэлцлийн интервалыг олно

Стандарт хазайлтын харгалзах интервал нь (0.21; 0.32) байна. Энэ интервал нь ойролцоогоор аргыг ашиглан 14.3-р дэд хэсгийн 2-р жишээнд авсан интервалаас (0.21; 0.29) бага зэрэг давсан байна.

• Зураг 14.3.1-д итгэлцлийн интервалыг тэгш хэмтэй авч үзсэн. Ерөнхийдөө бид дараа нь харах болно, энэ нь шаардлагагүй юм.

Итгэлийн интервалууд.

Итгэлийн интервалын тооцоолол нь харгалзах параметрийн дундаж алдаа дээр суурилдаг. Итгэлийн интервал Тооцоолсон параметрийн жинхэнэ утга нь магадлал (1-a) ямар хязгаарт багтаж байгааг харуулна. Энд a нь ач холбогдлын түвшин, (1-a) -ийг итгэлийн магадлал гэж бас нэрлэдэг.

Эхний бүлэгт бид жишээ нь арифметик дундажийн хувьд нийт тохиолдлын 95%-д нь жинхэнэ популяцийн дундаж нь дундажийн 2 стандарт алдааны дотор байгааг харуулсан. Ийнхүү дундаж утгын 95%-ийн итгэлийн интервалын хил нь түүврийн дунджаас 2 дахин хол байх болно. дундаж алдаадундаж, өөрөөр хэлбэл. бид итгэлийн түвшнээс хамааран дундажийн дундаж алдааг тодорхой коэффициентоор үржүүлнэ. Дундаж болон дунджийн зөрүүний хувьд Оюутны коэффициент (Оюутны тестийн эгзэгтэй утга), хувьцааны хувь болон зөрүүний хувьд z шалгуурын критик утгыг авна. Коэффициент ба дундаж алдааны үржвэрийг өгөгдсөн параметрийн хамгийн их алдаа гэж нэрлэж болно, i.e. үүнийг үнэлэх үед бидний олж авах хамгийн дээд хэмжээ.

Итгэлийн интервал Арифметик дундаж : .

Энд жишээ дундаж байна;

Арифметик дундажийн дундаж алдаа;

с -дээжийн стандарт хазайлт;

n

f = n-1 (Оюутны коэффициент).

Итгэлийн интервал арифметик дундажийн ялгаа :

Түүврийн дундаж хоорондын ялгаа энд байна;

- арифметик дундажийн зөрүүний дундаж алдаа;

s 1 , s 2 -дээжийн стандарт хазайлт;

n1, n2

Чухал үнэ цэнэОюутны t-ийн тест нь өгөгдсөн ач холбогдлын түвшин болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо f=n 1 +n 2-2 (Оюутны коэффициент).

Итгэлийн интервал хувьцаа :

.

Энд d нь түүврийн бутархай;

- дундаж бутархай алдаа;

n– түүврийн хэмжээ (бүлгийн хэмжээ);

Итгэлийн интервал хувьцааны зөрүү :

Энд жишээ хувьцааны ялгаа байна;

– арифметик дундажийн зөрүүний дундаж алдаа;

n1, n2– дээжийн хэмжээ (бүлгийн тоо);

Өгөгдсөн ач холбогдлын түвшинд z шалгуурын эгзэгтэй утга a ( , , ).

Шалгуур үзүүлэлтүүдийн хоорондын зөрүүг итгэх интервалыг тооцоолсноор бид нэгдүгээрт шууд хардаг боломжит утгууднөлөө, зөвхөн энэ биш цэгийн тооцоо. Хоёрдугаарт, бид тэг таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөх эсвэл үгүйсгэх талаар дүгнэлт хийж болно, гуравдугаарт, туршилтын хүч чадлын талаар дүгнэлт хийж болно.

Итгэлийн интервал ашиглан таамаглалыг шалгахдаа дараах дүрмийг баримтлах ёстой.

Хэрэв дундаж утгын зөрүүний 100(1-а) хувийн итгэлцлийн интервал нь тэгийг агуулаагүй бол ялгаа нь ач холбогдлын а түвшинд статистикийн ач холбогдолтой; эсрэгээр, хэрэв энэ интервал нь тэгийг агуулж байвал ялгаа нь статистикийн хувьд ач холбогдолтой биш юм.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв энэ интервал нь тэгтэй байвал харьцуулж буй үзүүлэлт нь нөгөө бүлэгтэй харьцуулахад аль нэг бүлэгт их эсвэл бага байж болно гэсэн үг юм. ажиглагдсан ялгаа нь тохиолдлоос үүдэлтэй.

Туршилтын хүчийг итгэлийн интервал доторх тэгийн байршлаар шүүж болно. Хэрэв тэг нь доод буюу дээд хязгааринтервал, дараа нь магадгүй илүү олон тооны харьцуулсан бүлгүүд байвал ялгаа нь хүрэх болно статистикийн ач холбогдол. Хэрэв тэг нь интервалын дунд ойрхон байвал энэ нь туршилтын бүлгийн үзүүлэлтийн өсөлт, бууралт хоёулаа адилхан магадлалтай бөгөөд магадгүй үнэхээр ялгаа байхгүй гэсэн үг юм.

Жишээ нь:

Хоёр өөр төрлийн мэдээ алдуулалтыг хэрэглэх үед мэс заслын нас баралтыг харьцуулахын тулд: 61 хүн нэгдүгээр төрлийн мэдээ алдуулалтаар хагалгаанд орж, 8 хүн нас барж, хоёрдугаар төрлийн 67 хүн, 10 хүн нас баржээ.

d 1 = 8/61 = 0.131; d2 = 10/67 = 0.149; d1-d2 = - 0.018.

Харьцуулсан аргуудын үхлийн ялгаа нь 100(1-a) = 95% магадлалтай (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) эсвэл (-0.14; 0.104) хооронд байх болно. Интервал нь тэгийг агуулна, өөрөөр хэлбэл. хоёр дахь ижил үхлийн тухай таамаглал янз бүрийн төрөлМэдээ алдуулахаас татгалзах боломжгүй.

Тиймээс нас баралтын түвшин 14% хүртэл буурч, 95% магадлалтайгаар 10.4% хүртэл өсөх болно, өөрөөр хэлбэл. тэг нь ойролцоогоор интервалын дунд байдаг тул эдгээр хоёр арга нь үхлийн хувьд үнэхээр ялгаатай биш гэж маргаж болно.

Өмнө дурьдсан жишээн дээр шалгалтын оноогоор ялгаатай дөрвөн бүлгийн оюутнуудад товших тестийн үед дарах дундаж хугацааг харьцуулсан. Шалгалтанд 2 ба 5-р дүнгээр тэнцсэн оюутнуудын даралтын дундаж хугацааны итгэлцлийн интервал болон эдгээр дунджийн зөрүүний итгэлийн интервалыг тооцоолъё.

Оюутны коэффициентийг Оюутны хуваарилалтын хүснэгтийг ашиглан олно (хавсралтыг үзнэ үү): эхний бүлгийн хувьд: = t(0.05;48) = 2.011; хоёр дахь бүлгийн хувьд: = t(0.05;61) = 2.000. Тиймээс эхний бүлгийн итгэлцлийн интервал: = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), хоёр дахь бүлгийн хувьд (156.55- 2.000*1.88;+156.18.*) ; 160.3). Тиймээс шалгалтанд 2 оноо авсан хүмүүсийн хувьд дарах дундаж хугацаа 95% -ийн магадлалтайгаар 157.8 мс-ээс 166.6 мс, 5-д тэнцсэн хүмүүсийн хувьд - 152.8 мс-ээс 160.3 мс хооронд 95% байна. .

Та мөн тэг таамаглалыг зөвхөн дундаж утгуудын зөрүүгээр бус харин итгэлцлийн интервал ашиглан шалгаж болно. Жишээлбэл, манай тохиолдолд, хэрэв утгуудын итгэлийн интервалууд давхцаж байвал тэг таамаглалыг үгүйсгэх аргагүй юм. Сонгосон ач холбогдлын түвшинд таамаглалыг үгүйсгэхийн тулд харгалзах итгэлийн интервалууд давхцаж болохгүй.

Шалгалтанд 2 ба 5-р үнэлгээтэй тэнцсэн бүлгүүдийн даралтын дундаж хугацааны зөрүүний итгэлцлийн интервалыг олъё. Дундажуудын зөрүү: 162.19 – 156.55 = 5.64. Оюутны коэффициент: = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982. Бүлгийн стандарт хазайлт нь дараахтай тэнцүү байна: ; . Бид дундажийн зөрүүний дундаж алдааг тооцоолно: . Итгэлийн интервал: =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33).

Тэгэхээр шалгалтанд 2 ба 5 оноо авсан бүлгүүдийн даралтын дундаж хугацааны зөрүү нь -0,044 мс-ээс 11,33 мс хооронд байх болно. Энэ интервалд тэг орно, өөрөөр хэлбэл. Шалгалтанд сайн тэнцсэн хүмүүсийн даралтын дундаж хугацаа шалгалтанд хангалтгүй тэнцсэн хүмүүстэй харьцуулахад нэмэгдэж эсвэл буурч болно, жишээлбэл. тэг таамаглалыг үгүйсгэх боломжгүй. Гэхдээ тэг нь доод хязгаарт маш ойрхон байгаа бөгөөд сайн давсан хүмүүсийн хувьд дарах хугацаа багасах магадлал өндөр байдаг. Тиймээс бид 2 ба 5-ыг давсан хүмүүсийн даралтын дундаж хугацааны ялгаа байсаар байгаа бөгөөд дундаж хугацааны өөрчлөлт, дундаж хугацааны тархалт, түүврийн хэмжээ зэргээс шалтгаалан бид тэдгээрийг илрүүлж чадаагүй гэж дүгнэж болно.

Туршилтын хүч нь буруу тэг таамаглалыг үгүйсгэх магадлал, i.e. хаана байгаа ялгааг олох.

Туршилтын хүчийг ач холбогдлын түвшин, бүлгүүдийн хоорондох ялгааны хэмжээ, бүлэг дэх утгын тархалт, дээжийн хэмжээ зэргээс хамаарч тодорхойлно.

Оюутны шалгалт болон дисперсийн шинжилгээТа мэдрэмжийн диаграммыг ашиглаж болно.

Шалгуурын хүчийг шаардлагатай тооны бүлгийг урьдчилан тодорхойлоход ашиглаж болно.

Итгэлийн интервал нь өгөгдсөн магадлалаар тооцоолсон параметрийн жинхэнэ утга ямар хязгаарт багтаж байгааг харуулдаг.

Итгэлийн интервалыг ашиглан та статистик таамаглалыг шалгаж, шалгуур үзүүлэлтийн мэдрэмжийн талаар дүгнэлт хийж болно.

Уран зохиол.

Гланз С. – Бүлэг 6,7.

Реброва О.Ю. – х.112-114, х.171-173, х.234-238.

Сидоренко Е.В. – х.32-33.

Оюутнуудын өөрийгөө шалгах асуултууд.

1. Шалгуурын хүч нь юу вэ?

2. Ямар тохиолдолд шалгуур үзүүлэлтийн хүчийг үнэлэх шаардлагатай вэ?

3. Эрчим хүчийг тооцоолох арга.

6. Итгэлийн интервал ашиглан статистикийн таамаглалыг хэрхэн шалгах вэ?

7. Итгэлийн интервалыг тооцоолохдоо шалгуур үзүүлэлтийн хүчийг юу гэж хэлж болох вэ?

Даалгаврууд.

Бидэнд зарим шинж чанарын хэвийн тархалттай олон тооны эд зүйлс байна гэж бодъё (жишээлбэл, ижил төрлийн хүнсний ногооны бүрэн агуулах, хэмжээ, жин нь өөр өөр байдаг). Та бүхэл бүтэн багцын дундаж шинж чанарыг мэдэхийг хүсч байгаа ч хүнсний ногоо бүрийг хэмжиж, жинлэх цаг хугацаа, хүсэл ч байхгүй. Энэ шаардлагагүй гэдгийг та ойлгож байна. Гэхдээ спот шалгахад хэдэн ширхэг авах шаардлагатай вэ?

Энэ нөхцөл байдалд хэрэгтэй хэд хэдэн томъёог өгөхөөс өмнө зарим тэмдэглэгээг эргэн санацгаая.

Нэгдүгээрт, хэрэв бид хүнсний ногооны агуулахыг бүхэлд нь хэмжсэн бол (энэ багц элементийг нийт хүн ам гэж нэрлэдэг) бүх багцын дундаж жинг бидэнд байгаа бүх нарийвчлалтайгаар мэдэх болно. Үүнийг дундаж гэж нэрлэе X дундаж .g en . - ерөнхий дундаж. Хэрэв түүний дундаж утга ба хазайлт нь мэдэгдэж байвал юу бүрэн тодорхойлогддогийг бид аль хэдийн мэддэг . Үнэн, бид X дундаж ген биш ч бишс Бид нийт хүн амыг мэдэхгүй. Бид зөвхөн тодорхой түүврийг авч, шаардлагатай утгыг хэмжиж, энэ түүврийн хувьд дундаж X дундаж утга ба S стандарт хазайлтыг сонгох боломжтой.

Хэрэв бидний түүврийн шалгалт олон тооны элементүүдийг агуулдаг бол (ихэвчлэн n нь 30-аас их байдаг) тэдгээрийг авдаг. үнэхээр санамсаргүй, дараа нь s ерөнхий хүн ам нь S сонголтоос бараг ялгаатай байх болно ..

Үүнээс гадна хэвийн тархалтын хувьд бид дараах томъёог ашиглаж болно.

95% магадлалтай

99% магадлалтай

IN ерөнхий үзэл P (t) магадлалтай

Итгэлийн интервалыг мэдэхийг хүссэн t утга ба магадлалын P (t) хоорондын хамаарлыг дараах хүснэгтээс авч болно.

Тиймээс бид популяцийн дундаж утга аль мужид (өгөгдсөн магадлалаар) байгааг тодорхойлсон.

Хангалттай том түүвэр байхгүй л бол хүн амын тоо s = байна гэж хэлж болохгүй S сонгох Үүнээс гадна, энэ тохиолдолд дээжийн хэвийн тархалтад ойр байх нь асуудалтай байдаг. Энэ тохиолдолд бид мөн оронд нь S сонгохыг ашигладагтомъёонд s:

гэхдээ P(t) тогтсон магадлалын хувьд t-ийн утга нь n түүврийн элементийн тооноос хамаарна. n нь том байх тусам үүсэх итгэлийн интервал (1) томъёогоор өгөгдсөн утгатай ойр байх болно. Энэ тохиолдолд t утгыг өөр хүснэгтээс авсан болно ( Оюутны t-тест), бид доор танилцуулж байна:

Оюутны t-тестийн утга 0.95 ба 0.99

Жишээ 3.Тус компанийн ажилчдаас санамсаргүй түүврийн аргаар 30 хүнийг сонгосон. Түүврийн дагуу дундаж цалин (сард) 5 мянган рублийн стандарт хазайлттай 30 мянган рубль байна. Компанийн дундаж цалинг 0.99 магадлалаар тодорхойл.

Шийдэл:Нөхцөлөөр бид n = 30, X дундаж байна. =30000, S=5000, P = 0.99. Итгэлийн интервалыг олохын тулд бид Оюутны t тестт тохирох томъёог ашиглана. n = 30 ба P = 0.99-ийн хүснэгтээс бид t = 2.756-г олно.

тэдгээр. хайж байсан итгэмжлэгдсэн төлөөлөгчинтервал 27484< Х ср.ген < 32516.

Тиймээс 0.99 магадлалаар бид интервал (27484; 32516) нь компанийн дундаж цалинг агуулдаг гэж хэлж болно.

Та энэ аргыг ашиглана гэж найдаж байна, та нартай хамт ширээ байх шаардлагагүй. Тооцооллыг Excel дээр автоматаар хийх боломжтой. Excel файлд байхдаа дээд цэсний fx товчийг дарна уу. Дараа нь функцүүдийн дотроос "статистикийн" төрлийг сонгоод цонхон дээрх санал болгож буй жагсаалтаас - STUDAR DISCOVER. Дараа нь "магадлал" талбарт курсорыг байрлуулж, урвуу магадлалын утгыг оруулна уу (жишээлбэл, манай тохиолдолд 0.95 магадлалын оронд та 0.05 магадлалыг бичих хэрэгтэй). бололтой хүснэгтүр дүн нь бид алдаа гаргах магадлал ямар байх вэ гэсэн асуултад хариулах байдлаар эмхэтгэсэн. Үүнтэй адилаар, Эрх чөлөөний зэрэг талбарт өөрийн дээжийн утгыг (n-1) оруулна уу.

Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал - энэ нь мэдэгдэж буй магадлал бүхий нийт хүн амын математикийн хүлээлтийг агуулсан өгөгдлөөс тооцсон интервал юм. Математикийн хүлээлтийн байгалийн тооцоо нь түүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж юм. Тиймээс бид хичээлийн туршид "дундаж" ба "дундаж үнэ цэнэ" гэсэн нэр томъёог ашиглах болно. Итгэлийн интервалыг тооцоолох асуудалд ихэвчлэн "дундаж тооны итгэлийн интервал [тодорхой бодлогын утга] нь [бага утга]-аас [илүү утга] хүртэл байна" гэх мэт хариултыг ихэвчлэн шаарддаг. Итгэлийн интервалыг ашиглан та зөвхөн дундаж утгыг төдийгүй нийт хүн амын тодорхой шинж чанарын эзлэх хувийг үнэлж болно. Дундаж, хэлбэлзэл, стандарт хэлбэлзэлМөн шинэ тодорхойлолт, томъёонд хүрэх алдаануудыг хичээл дээр авч үзнэ Түүвэр ба популяцийн шинж чанар .

Дундаж утгын цэг ба интервалын тооцоо

Хэрэв популяцийн дундаж утгыг тоогоор (цэгээр) тооцсон бол ажиглалтын түүврээс тооцоолсон тодорхой дундаж утгыг популяцийн үл мэдэгдэх дундаж утгыг тооцоолно. Энэ тохиолдолд түүврийн дундаж утга - санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь нийт хүн амын дундаж утгатай давхцахгүй. Тиймээс түүврийн дундаж утгыг зааж өгөхдөө түүврийн алдааг нэгэн зэрэг зааж өгөх ёстой. Түүвэрлэлтийн алдааны хэмжүүр нь дундажтай ижил нэгжээр илэрхийлэгдсэн стандарт алдаа юм. Тиймээс дараах тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг: .

Хэрэв дундажийг тооцоолохдоо тодорхой магадлалтай холбоотой байх шаардлагатай бол популяцийн сонирхлын параметрийг нэг тоогоор биш, харин интервалаар үнэлэх ёстой. Итгэлийн интервал гэдэг нь тодорхой магадлал бүхий интервал юм Пхүн амын тооцоолсон үзүүлэлтийн утгыг олно. Энэ нь боломжтой байх итгэлийн интервал П = 1 - α санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олоод дараах байдлаар тооцоолно.

,

α = 1 - П, үүнийг статистикийн бараг бүх номын хавсралтаас олж болно.

Практикт популяцийн дундаж ба дисперс нь тодорхойгүй тул популяцийн дисперсийг түүврийн дисперсээр, олонлогийн дундажийг түүврийн дундажаар солино. Тиймээс ихэнх тохиолдолд итгэлийн интервалыг дараах байдлаар тооцдог.

.

Итгэлийн интервалын томъёог хэрэв хүн амын дундаж утгыг тооцоолоход ашиглаж болно

• хүн амын стандарт хазайлт мэдэгдэж байна;
• эсвэл хүн амын стандарт хазайлт тодорхойгүй боловч түүврийн хэмжээ 30-аас их байна.

Түүврийн дундаж нь хүн амын дунджийг бодитой бус тооцоолол юм. Хариуд нь түүврийн хэлбэлзэл популяцийн хэлбэлзлийн бодитой тооцоолол биш юм. Түүврийн дисперсийн томьёо дахь олонлогийн дисперсийн бодит үнэлгээг авахын тулд түүврийн хэмжээ n-ээр солих ёстой n-1.

Жишээ 1.Тодорхой хотын санамсаргүй түүврээр сонгогдсон 100 кафед ажиллагсдын дундаж тоо 4.6 стандарт хазайлттай 10.5 байна гэсэн мэдээллийг цуглуулсан. Кафены ажилчдын тоонд итгэх итгэлийн 95% интервалыг тодорхойл.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Тиймээс кафены ажилчдын дундаж тоо 95% -ийн итгэлцлийн интервал нь 9.6-11.4 хооронд хэлбэлзэж байна.

Жишээ 2. 64 ажиглалтаас бүрдсэн санамсаргүй түүврийн хувьд дараах нийт утгыг тооцоолсон.

ажиглалтын утгын нийлбэр,

дундаж утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр .

Математикийн хүлээлтэд 95% итгэх интервалыг тооцоол.

Стандарт хазайлтыг тооцоолъё:

,

Дундаж утгыг тооцоолъё:

.

Бид итгэлцлийн интервалын илэрхийлэлд утгуудыг орлуулна.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Бид авах:

Тиймээс энэ түүврийн математикийн хүлээлтийн 95%-ийн итгэлийн интервал 7.484-11.266 хооронд хэлбэлзэж байна.

Жишээ 3. 100 ажиглалтаас бүрдсэн санамсаргүй популяцийн түүврийн хувьд тооцоолсон дундаж нь 15.2, стандарт хазайлт нь 3.2 байна. Хүлээгдэж буй утгын хувьд 95%, дараа нь 99% итгэлийн интервалыг тооцоол. Хэрэв түүврийн хүч ба түүний хэлбэлзэл өөрчлөгдөөгүй бөгөөд итгэлцлийн коэффициент нэмэгдэх юм бол итгэлийн интервал нарийсч эсвэл өргөсөх үү?

Бид эдгээр утгыг итгэлцлийн интервалын илэрхийлэл болгон орлуулна.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Бид авах:

.

Иймээс энэ түүврийн дундаж утгын 95%-ийн итгэлийн интервал 14.57-15.82 хооронд хэлбэлзэж байна.

Бид эдгээр утгыг дахин итгэлийн интервалын илэрхийлэл болгон орлуулж байна:

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,01 .

Бид авах:

.

Иймээс энэ түүврийн дундаж утгын 99% итгэлийн интервал 14.37-16.02 хооронд хэлбэлзэж байна.

Бидний харж байгаагаар итгэлийн коэффициент нэмэгдэхийн хэрээр стандарт хэвийн тархалтын критик утга нэмэгдэж, улмаар интервалын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүд дунджаас хол байрлаж, улмаар математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал нэмэгддэг. .

Тодорхой таталцлын цэг ба интервалын тооцоо

Зарим түүврийн шинж чанарын эзлэх хувийг цэгийн тооцоо гэж тайлбарлаж болно тодорхой татах хүч хнийт хүн амын дунд ижил шинж чанартай байдаг. Хэрэв энэ утгыг магадлалтай холбох шаардлагатай бол хувийн таталцлын итгэлцлийн интервалыг тооцоолох хэрэгтэй. хмагадлал бүхий популяцийн шинж чанар П = 1 - α :

.

Жишээ 4.Зарим хотод хоёр нэр дэвшигч байдаг АТэгээд Бхотын даргад нэр дэвшиж байна. Хотын 200 оршин суугчдаас санамсаргүй байдлаар санал асуулга явуулахад 46 хувь нь нэр дэвшигчийн төлөө саналаа өгнө гэж хариулжээ. А, 26% - нэр дэвшигчийн хувьд Б 28 хувь нь хэнд санал өгөхөө мэдэхгүй байна. Нэр дэвшигчийг дэмжиж буй хотын оршин суугчдын хувийн жингийн 95 хувийн итгэлийн интервалыг тодорхойл А.