Энэ нийтлэлээс та зургийн талбайг хэрхэн олох талаар сурах болно. шугамаар хязгаарлагдана, интеграл ашиглан тооцоолол хийх. Бид тодорхой интегралуудыг судалж дуусаад, практик дээр олж авсан мэдлэгийнхээ геометрийн тайлбарыг эхлүүлэх цаг болсон үед бид ахлах сургуульд анх удаа ийм асуудлыг томъёолж байна.
Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд юу шаардлагатай вэ:
- Чадварлаг зураг зурах чадвартай;
- Шийдвэрлэх чадвар тодорхой интегралашиглах замаар алдартай томъёоНьютон-Лейбниц;
- Илүү ашигтай шийдлийн сонголтыг "харах" чадвар - жишээлбэл. Нэг эсвэл өөр тохиолдолд интеграци хийх нь хэрхэн илүү тохиромжтой болохыг ойлгож байна уу? X тэнхлэг (OX) эсвэл y тэнхлэг (OY) дагуу уу?
- За, зөв тооцоололгүй бол бид хаана байх байсан бэ?) Үүнд бусад төрлийн интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, тоон тооцоог зөв хийх зэрэг орно.
Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоолох асуудлыг шийдэх алгоритм:
1. Бид зураг зурж байна. Үүнийг алаг цаасан дээр, том хэмжээгээр хийхийг зөвлөж байна. Бид энэ функцийн нэрийг график бүрийн дээр харандаагаар гарын үсэг зурдаг. График дээр гарын үсэг зурах нь зөвхөн цаашдын тооцоо хийхэд хялбар байх үүднээс хийгддэг. Хүссэн зургийн графикийг хүлээн авсны дараа ихэнх тохиолдолд интеграцийн аль хязгаарыг ашиглах нь нэн даруй тодорхой болно. Ингэж л бид асуудлыг шийдэж байна график арга. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утга нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байх тохиолдол гардаг. Тиймээс та нэмэлт тооцоо хийж болно, хоёр дахь алхам руу очно уу.
2. Хэрэв интеграцийн хязгаарыг тодорхой заагаагүй бол бид графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олж, бидний график шийдэланалитикийн хамт.
3. Дараа нь та зураг дээр дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй. Функцийн графикууд хэрхэн байрлаж байгаагаас хамааран байдаг өөр өөр хандлагадүрсийн талбайг олох. Ингээд авч үзье өөр өөр жишээнүүдинтеграл ашиглан зургийн талбайг олох.
3.1. Асуудлын хамгийн сонгодог бөгөөд хамгийн энгийн хувилбар бол муруй трапецын талбайг олох шаардлагатай үед юм. Муруй трапец гэж юу вэ? Энэ нь x тэнхлэгээр хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм (y = 0), Чигээрээ x = a, x = bаас интервал дээр үргэлжилсэн дурын муруй аөмнө б. Түүнээс гадна энэ үзүүлэлт нь сөрөг биш бөгөөд x тэнхлэгээс доогуур байрлана. Энэ тохиолдолд муруйн трапецын талбай нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна.
Жишээ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Зураг ямар шугамаар хүрээлэгдсэн бэ? Бидэнд парабол байна y = x2 – 3x + 3, энэ нь тэнхлэгээс дээш байрладаг Өө, энэ нь сөрөг биш, учир нь Энэ параболын бүх цэгүүд эерэг утгатай байна. Дараа нь шулуун шугамуудыг өгөв x = 1Тэгээд x = 3, тэдгээр нь тэнхлэгтэй параллель гүйдэг OU, зүүн ба баруун талд байгаа зургийн хилийн шугам юм. За y = 0, энэ нь мөн x тэнхлэг бөгөөд дүрсийг доороос нь хязгаарладаг. Үр дүн нь сүүдэртэй, зүүн талын зургаас харж болно. IN энэ тохиолдолд, та тэр даруй асуудлыг шийдэж эхлэх боломжтой. Бидний өмнө муруй трапецын энгийн жишээ байгаа бөгөөд дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор шийддэг.
3.2. Өмнөх 3.1-д бид муруй трапецийг x тэнхлэгээс дээш байрлуулсан тохиолдолд судалж үзсэн. Функц нь x тэнхлэгийн доор оршдогоос бусад тохиолдолд асуудлын нөхцөл ижил байх тохиолдлыг авч үзье. Ньютон-Лейбницийн стандарт томьёонд хасах нь нэмэгддэг. Ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид доор авч үзэх болно.
Жишээ 2 . Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Энэ жишээнд бид парабола байна y = x2 + 6x + 2тэнхлэгээс үүссэн Өө, Чигээрээ x = -4, x = -1, y = 0. Энд y = 0дээрээс хүссэн дүрсийг хязгаарладаг. Шууд x = -4Тэгээд x = -1эдгээр нь тодорхой интегралыг тооцоолох хил хязгаар юм. Дүрсийн талбайг олох асуудлыг шийдэх зарчим нь жишээний дугаар 1-тэй бараг бүрэн давхцаж байна. Ганц ялгаа нь өгөгдсөн функц эерэг биш, мөн интервал дээр үргэлжилдэг. [-4; -1] . Та эерэг биш гэж юу гэсэн үг вэ? Зургаас харахад өгөгдсөн х-ийн дотор байрлах дүрс нь зөвхөн "сөрөг" координатуудтай бөгөөд бид асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг харж, санаж байх ёстой. Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан зургийн талбайг хайдаг, зөвхөн эхэнд хасах тэмдэгтэй.
Нийтлэл дуусаагүй байна.
A)
Шийдэл.
Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм.
Зураг зурцгаая:
Тэгшитгэл y=0 "x" тэнхлэгийг тохируулна;
- x=-2 Тэгээд x=1 - шулуун, тэнхлэгтэй зэрэгцээ OU;
- y=x 2 +2 - (0;2) цэг дээр оройтой, мөчрүүд нь дээш чиглэсэн парабол.
Сэтгэгдэл.Параболыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. оруулах x=0 тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол OU мөн үүний дагуу шийдвэр гаргах квадрат тэгшитгэл, тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол Өө .
Параболын оройг дараах томъёогоор олж болно. 
Та мөн шугамыг цэг болгон барьж болно.
[-2;1] интервал дээр функцийн график y=x 2 +2 байрладаг тэнхлэгээс дээш Үхэр , Тийм учраас:
Хариулт: С =9 м.кв нэгж
Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг санагдаж байна. Хэрэв бид 20 гэсэн хариулт авсан бол энэ нь тодорхой байна квадрат нэгж, дараа нь хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.
Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн доор Өө?
б)Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y=-e x , x=1 ба координатын тэнхлэгүүд.
Шийдэл.
Зураг зурцгаая.
Хэрэв муруй трапец бол тэнхлэгийн доор бүрэн байрладаг Өө , Дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Хариулт: S=(e-1) кв. нэгж" 1.72 кв. нэгж
Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:
1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.
2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.
Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг.
хамт)Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгайн дүрсийн талбайг ол y=2x-x 2, y=-x.
Шийдэл.
Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё 
ба шулуун 
Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм.
Бид тэгшитгэлийг шийддэг:
Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм a=0 , интеграцийн дээд хязгаар b=3 .
|
Бид барьж байна өгөгдсөн мөрүүд: 1. Парабол - (1;1) цэг дээрх орой; тэнхлэгийн уулзвар Өө -оноо (0;0) ба (0;2). 2. Шулуун шугам - 2 ба 4-р координатын өнцгийн биссектриса. Тэгээд одоо Анхаар! Хэрэв сегмент дээр байгаа бол [ a;b] зарим нэг тасралтгүй функц f(x)заримаас их эсвэл тэнцүү тасралтгүй функц g(x), дараа нь дараах томъёог ашиглан харгалзах зургийн талбайг олж болно. Энэ зураг хаана байрлах нь хамаагүй - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, гэхдээ аль график нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм. Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна. |
.Та шугамыг цэгээр байгуулж болох бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог.
Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Сегмент дээр 
, холбогдох томъёоны дагуу:
Хариулт: С =4.5 м.кв нэгж
Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурах явдал юм, илүү их сэдэвчилсэн асуудалтаны зурах мэдлэг, ур чадвар байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн графикуудын тухай санах ойг сэргээх нь ашигтай байдаг үндсэн функцууд, мөн хамгийн багадаа шулуун ба гиперболыг барьж чаддаг байх.
Муруй трапец гэдэг нь тэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү бага биш x тэнхлэг:
Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн байдаг геометрийн утга.
Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.
Тэр бол,тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.
Жишээ 1
Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.
Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг санал болгож байна. хамгийн эхэндбүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр бөгөөд зөвхөн Дараа нь- парабол, гипербол, бусад функцийн график. Функцийн графикийг бүтээх нь илүү ашигтай байдаг цэгээр.
Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):
Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэгээс дээш, Тийм учраас:
Хариулт:
Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг санагдаж байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.
Жишээ 3
Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.
Шийдэл: Зураг зурцгаая:
Хэрэв муруй трапец байрладаг бол тэнхлэгийн доор(эсвэл ядаж өндөр бишөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд:
Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:
1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.
2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.
Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.
Жишээ 4
, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.
Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:
Интеграцийн доод хязгаар нь , дээд хязгаар нь .
Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр..
Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.
Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:
Одоо ажлын томъёо: Хэрэв сегмент дээр тасралтгүй функц байгаа бол -аас их буюу тэнцүүЗарим тасралтгүй функц, дараа нь эдгээр функцүүдийн графикууд болон шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг , , томъёогоор олж болно. 
Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, мөн ойролцоогоор хэлэхэд, Аль график ӨНДӨР байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.
Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.
Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:
Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:
Хариулт:
Жишээ 4
, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.
Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:
Бидний олох ёстой талбай нь цэнхэр өнгийн сүүдэртэй байна(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж "гажиг" ихэвчлэн гарч ирдэг бөгөөд та дүрсний сүүдэртэй хэсгийг олох хэрэгтэй болдог. ногоон!
Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм.
Үнэхээр:
1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;
2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.
Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:
Интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзье. Энэ хичээл дээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг эрэлхийлдэг бүх хүмүүс үүнийг олж авцгаая. Чи хэзээ ч мэдэхгүй. Бид үүнийг амьдралд ойртуулах хэрэгтэй болно хөдөөгийн зуслангийн газаранхан шатны функцүүд ба тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг ол.
Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.
1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми нар эхлээд хичээлээ унших ёстой Үгүй.
2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Та хуудсан дээрх тодорхой интегралуудтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурах явдал юм, тиймээс таны мэдлэг, зурах ур чадвар бас хамааралтай асуудал байх болно. Наад зах нь та шулуун шугам, парабол, гиперболыг барьж чаддаг байх хэрэгтэй.
Муруй трапецаар эхэлцгээе. Муруй трапец гэдэг нь зарим функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм y = е(x), тэнхлэг ҮХЭРболон шугамууд x = а; x = б.
Муруй шугаман трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна
Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээБид тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо дахиад нэгийг хэлэх цаг болжээ ашигтай баримт. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм. Тэр бол, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Тодорхой интегралыг авч үзье
Интеграл
хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хэрэв хүсвэл үүнийг зурж болно), тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.
Жишээ 1
, , , .
Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Хамгийн чухал цэгшийдэл - зураг. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.
Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг санал болгож байна. хамгийн эхэндбүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр бөгөөд зөвхөн Дараа нь– парабол, гипербол, бусад функцийн график. Цэг бүрээр барих техникийг лавлах материалаас олж болно Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.
Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг хийцгээе (тэгшитгэлийг анхаарна уу y= 0 нь тэнхлэгийг заана ҮХЭР):
Бид муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй; энд бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.
Сегмент дээр [-2; 1] функцын график y = x 2+2 байрлалтай тэнхлэгээс дээшҮХЭР, Тийм учраас:
Хариулт: .
Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс
,
лекцээс үзнэ үү Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ. Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.
Жишээ 2
Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол xy = 4, x = 2, x= 4 ба тэнхлэг ҮХЭР.
Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.
Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн доорҮХЭР?
Жишээ 3
Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = e-x, x= 1 ба координатын тэнхлэгүүд.
Шийдэл: Зураг зурцгаая:
Хэрэв муруй трапец бол тэнхлэгийн доор бүрэн байрладаг ҮХЭР , дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд:
.
Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:
1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.
2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.
Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.
Жишээ 4
Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгайн дүрсийн талбайг ол y = 2x – x 2 , y = -x.
Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Талбайн асуудалд зураг зурахдаа бид шугамын огтлолцлын цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё y = 2x – x 2 ба шулуун y = -x. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:
Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм а= 0, интеграцийн дээд хязгаар б= 3. Ихэнхдээ шугамыг цэгээр байгуулах нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болдог. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:
Цэгэн чиглэлд барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" тодорхойлдог гэдгийг давтан хэлье.
Одоо ажлын томъёо:
Хэрэв сегмент дээр байгаа бол [ а; б] зарим нэг тасралтгүй функц е(x) -аас их буюу тэнцүүзарим тасралтгүй функц g(x), дараа нь харгалзах зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энд та зураг хаана байрладаг талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, гэхдээ Аль график ӨНДӨР байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.
Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрлах нь тодорхой байна, тиймээс 2-оос x – x 2-ыг хасах ёстой - x.
Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:
Хүссэн дүрс нь параболоор хязгаарлагддаг y = 2x – x 2 дээд ба шулуун y = -xдоороос.
2-р сегмент дээр x – x 2 ≥ -x. Холбогдох томъёоны дагуу:
Хариулт: .
Үнэн хэрэгтээ, доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо нь (3-р жишээг үз) юм. онцгой тохиолдолтомъёо
.
Учир нь тэнхлэг ҮХЭРтэгшитгэлээр өгөгдсөн y= 0, мөн функцийн график g(x) тэнхлэгийн доор байрладаг ҮХЭР, Тэр
.
Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэдэн жишээ
Жишээ 5
Жишээ 6
Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол
Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүйгээс... Буруу зургийн талбай олдсон.
Жишээ 7
Эхлээд зураг зуръя:
Бидний олох ёстой талбай нь цэнхэр өнгийн сүүдэртэй байна(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж хүмүүс ихэвчлэн ногоон өнгөөр сүүдэрлэсэн зургийн хэсгийг олох хэрэгтэй гэж шийддэг!
Энэ жишээ нь тодорхой хоёр интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцдог тул бас хэрэгтэй. Үнэхээр:
1) сегмент дээр [-1; 1] тэнхлэгээс дээш ҮХЭРграфик нь шулуун байрладаг y = x+1;
2) Тэнхлэгээс дээш сегмент дээр ҮХЭРгиперболын график байрладаг y = (2/x).
Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:
Хариулт:
Жишээ 8
Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол
Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулъя
мөн цэгээр нь зурах:
Бидний дээд хязгаар "сайн" гэдэг нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна. б = 1.
Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ?
байж магадгүй, а=(-1/3)? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь тодорхой болж магадгүй юм а=(-1/4). Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?
Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар нэгтгэх хязгаарыг тодруулах хэрэгтэй.
Графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олъё
Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.
.
Тиймээс, а=(-1/3).
Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн юм. Хамгийн гол нь орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй. Энд байгаа тооцоо нь хамгийн энгийн зүйл биш юм. Сегмент дээр
, 
,
зохих томъёоны дагуу:
Хариулт: 
Хичээлийг дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.
Жишээ 9
Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол
Шийдэл: Энэ дүрсийг зураг дээр дүрсэлцгээе.
Цэг цэгээр зурахын тулд та мэдэх хэрэгтэй Гадаад төрхсинусоидууд. Ерөнхийдөө бүх энгийн функцүүдийн график, мөн зарим синусын утгыг мэдэх нь ашигтай байдаг. Тэдгээрийг утгын хүснэгтээс олж болно тригонометрийн функцууд . Зарим тохиолдолд (жишээлбэл, энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд графикууд болон интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.
Энд нэгдмэл байдлын хязгаарлалттай холбоотой асуудал байхгүй, тэдгээр нь нөхцөл байдлаас шууд хамаардаг;
– “x” тэгээс “pi” болж өөрчлөгдөнө. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:
Сегмент дээр функцийн график y= нүгэл 3 xтэнхлэгээс дээш байрладаг ҮХЭР, Тийм учраас:
(1) Та хичээлээс синус болон косинусууд сондгой зэрэглэлд хэрхэн нэгтгэгдэж байгааг харж болно Тригонометрийн функцүүдийн интегралууд. Бид нэг синусыг хавчих.
(2) Бид үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг хэлбэрээр ашигладаг
(3) Хувьсагчийг өөрчилье т= cos x, тэгвэл: тэнхлэгийн дээгүүр байрласан тул:
.
.
Жич:үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын үр дүнд шүргэгч кубын интегралыг хэрхэн авч байгааг анхаарна уу
.
Асуудал 1(муруй трапецын талбайг тооцоолох тухай).
Декартын тэгш өнцөгт координатын систем xOy-д x тэнхлэг, x = a, x = b шулуун шугамууд (а муруй шугаман трапецаар) -аар хязгаарлагдсан дүрс (зураг харна уу) өгөгдсөн. Муруйн шугамын талбайг тооцоолох шаардлагатай. трапец.
Шийдэл.Геометр нь олон өнцөгт болон тойргийн зарим хэсгийг (салбар, сегмент) тооцоолох жорыг бидэнд өгдөг. Геометрийн үзэл баримтлалыг ашиглан бид зөвхөн шаардлагатай талбайн ойролцоо утгыг олох боломжтой бөгөөд дараах үндэслэлээр тайлбарлана.
Хэсэгт хувацгаая [a; b] (муруй трапецын суурь) n тэнцүү хэсэгт; энэ хуваалтыг x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 цэгүүдийг ашиглан гүйцэтгэнэ. Эдгээр цэгүүдээр у тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татъя. Дараа нь өгөгдсөн муруй шугаман трапецийг n хэсэг, n нарийн багана болгон хуваана. Бүх трапецын талбай нь баганын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
k-р баганыг тусад нь авч үзье, өөрөөр хэлбэл. суурь нь сегмент болох муруй трапец. Үүнийг суурь, өндөр нь f(x k)-тэй тэнцүү тэгш өнцөгтөөр орлъё (зураг харна уу). Тэгш өнцөгтийн талбай нь \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \)-тэй тэнцүү бөгөөд \(\Delta x_k \) нь сегментийн урт юм; Үүссэн бүтээгдэхүүнийг k-р баганын талбайн ойролцоо утга гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм. 
Хэрэв бид одоо бусад бүх баганатай ижил зүйлийг хийвэл дараах үр дүнд хүрнэ: өгөгдсөн муруйн трапецын S талбай нь n тэгш өнцөгтөөс бүрдсэн шаталсан дүрсийн S n талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна (зураг харна уу):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Энд тэмдэглэгээг жигд байлгах үүднээс a = x 0, b = x n; \(\Дельта x_0 \) - сегментийн урт, \(\Дельта x_1 \) - сегментийн урт гэх мэт; энэ тохиолдолд бид дээр тохиролцсоны дагуу \(\Дельта x_0 = \цэг = \Дельта x_(n-1) \)
Тэгэхээр, \(S \ойролцоогоор S_n \) бөгөөд энэ ойролцоо тэгш байдал нь илүү нарийвчлалтай байх тусам n их байх болно.
Тодорхойлолтоор муруйн трапецын шаардагдах талбай нь дарааллын хязгаартай (S n) тэнцүү байна гэж үздэг.
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Асуудал 2(цэг шилжүүлэх тухай)
Материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлдөг. Хурдны хугацаанаас хамаарах хамаарлыг v = v(t) томъёогоор илэрхийлнэ. Тодорхой хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөнийг ол [a; б].
Шийдэл.Хэрэв хөдөлгөөн жигд байсан бол асуудлыг маш энгийнээр шийдэх болно: s = vt, i.e. s = v(b-a). Тэгш бус хөдөлгөөний хувьд та өмнөх асуудлын шийдэлд үндэслэсэн санааг ашиглах хэрэгтэй.
1) Цагийн интервалыг хуваах [a; b] n тэнцүү хэсэгт хуваана.
2) Цаг хугацааг авч үзээд энэ хугацаанд хурд нь t k үеийнхтэй адил тогтмол байсан гэж үзье. Тиймээс бид v = v(t k) гэж таамаглаж байна.
3) Тодорхой хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөний ойролцоо утгыг олъё, бид энэ ойролцоо утгыг s k гэж тэмдэглэнэ;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Шилжилтийн s-ийн ойролцоо утгыг ол:
\(s \ойролцоогоор S_n \) хаана
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Шаардлагатай шилжилт нь дарааллын хязгаартай тэнцүү байна (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Дүгнэж хэлье. Шийдэл янз бүрийн даалгаварижил математик загвар болгон бууруулсан. Шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн салбарын олон асуудал шийдвэрлэх явцад ижил загварт хүргэдэг. Тэгэхээр энэ математик загвартусгайлан судлах шаардлагатай.
Тодорхой интегралын тухай ойлголт
y = f(x), тасралтгүй (гэхдээ авч үзсэн бодлогод таамаглаж байсанчлан сөрөг биш байх албагүй) функцийн авч үзсэн гурван бодлогод [a; b]:
1) сегментийг хуваах [a; b] n тэнцүү хэсэгт;
2) нийлбэрийг бүрдүүлэх $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$-ийг тооцоол
би мэднэ математик шинжилгээЭнэ хязгаар нь тасралтгүй (эсвэл хэсэгчлэн тасралтгүй) функцийн хувьд байдаг нь батлагдсан. Түүнийг дууддаг y = f(x) функцийн тодорхой интеграл [a сегмент дээр; b]ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a ба b тоонуудыг интеграцийн хязгаар гэж нэрлэдэг (доод ба дээд).
Дээр дурдсан ажлууд руу буцаж орцгооё. 1-р асуудалд өгөгдсөн талбайн тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
энд S нь дээрх зурагт үзүүлсэн муруй трапецын талбай юм. Энэ бол тодорхой интегралын геометрийн утга.
Бодлого 2-т өгөгдсөн t = a-аас t = b хүртэлх хугацаанд v = v(t) хурдтай шулуун шугамаар хөдөлж буй цэгийн шилжилтийн s-ийн тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
Ньютон-Лейбницийн томъёо
Эхлээд асуултанд хариулъя: тодорхой интеграл ба эсрэг дериватив хоёрын хооронд ямар холбоо хамааралтай вэ?
Хариултыг бодлого 2-оос олж болно.Нэг талаас v = v(t) хурдтай шулуун шугамаар хөдөлж буй цэгийн t = a-аас t = b хүртэлх хугацааны s шилжилтийг тооцоолно. томъёо
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Нөгөө талаас, хөдөлж буй цэгийн координат нь хурдны эсрэг дериватив юм - үүнийг s(t) гэж тэмдэглэе; энэ нь s шилжилтийг s = s(b) - s(a) томъёогоор илэрхийлнэ гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
Энд s(t) нь v(t)-ийн эсрэг дериватив юм.
Математик шинжилгээний явцад дараах теорем батлагдсан.
Теорем. Хэрэв y = f(x) функц нь [a интервал дээр тасралтгүй байвал; b] бол томъёо хүчинтэй байна
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
Энд F(x) нь f(x)-ийн эсрэг дериватив юм.
Өгөгдсөн томъёог ихэвчлэн нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёоАнглийн физикч Исаак Ньютон (1643-1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646-1716) нарын хүндэтгэлд зориулж, бие биенээсээ хамааралгүй, бараг нэгэн зэрэг хүлээн авсан.
Практикт F(b) - F(a) гэж бичихийн оронд \(\зүүн. F(x)\right|_a^b \) тэмдэглэгээг ашигладаг (заримдаа үүнийг гэж нэрлэдэг). давхар орлуулалт) ба үүний дагуу Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах хэлбэрээр дахин бичнэ үү.
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \зүүн. F(x)\right|_a^b \)
Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо эхлээд эсрэг деривативыг олж, дараа нь давхар орлуулалт хийнэ.
Ньютон-Лейбницийн томъёонд үндэслэн бид тодорхой интегралын хоёр шинж чанарыг олж авч болно.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Функцийн нийлбэрийн интеграл нийлбэртэй тэнцүү байнаинтеграл:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох
Интегралыг ашиглан та зөвхөн муруй шугаман трапецын талбайг төдийгүй илүү олон хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолж болно. нарийн төвөгтэй төрөл, жишээ нь зурагт үзүүлсэн. P дүрс нь x = a, x = b шулуун шугамууд болон y = f(x), y = g(x) тасралтгүй функцуудын графикаар хязгаарлагдаж, [a; b] \(g(x) \leq f(x) \) тэгш бус байдал биелнэ. Ийм зургийн S талбайг тооцоолохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Тэгэхээр x = a, x = b шулуун шугамууд болон y = f(x), y = g(x) функцүүдийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн S талбай нь хэрчим дээр үргэлжилсэн бөгөөд хэрчмээс аль ч х-д байхаар байна. [a; b] томъёогоор тооцоолсон \(g(x) \leq f(x) \) тэгш бус байдал хангагдана.
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
