Podstawowe wzory logarytmiczne. Podajmy kilka przykładów zależności numerycznych

Logarytm liczby b (b > 0) o podstawie a (a > 0, a ≠ 1)– wykładnik, do którego należy podnieść liczbę a, aby otrzymać b.

Logarytm o podstawie 10 b można zapisać jako log(b), a logarytm o podstawie e (logarytm naturalny) wynosi ln(b).

Często używane przy rozwiązywaniu problemów z logarytmami:

Własności logarytmów

Istnieją cztery główne właściwości logarytmów.

Niech a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Właściwość 1. Logarytm iloczynu

Logarytm iloczynu równa sumie logarytmy:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Właściwość 2. Logarytm ilorazu

Logarytm ilorazu równa różnicy logarytmów:

log a (x / y) = log a x – log a y

Właściwość 3. Logarytm potęgi

Logarytm stopnia równy iloczynowi potęgi i logarytmu:

Jeśli podstawa logarytmu jest wyrażona w stopniu, wówczas obowiązuje inny wzór:

Właściwość 4. Logarytm pierwiastka

Właściwość tę można wyprowadzić z własności logarytmu potęgi, ponieważ n-ty pierwiastek potęgi jest równy potęgi 1/n:

Wzór na przeliczenie logarytmu o jednej podstawie na logarytm o innej podstawie

Formuła ta jest również często używana przy rozwiązywaniu różnych zadań na logarytmach:

Szczególny przypadek:

Porównywanie logarytmów (nierówności)

Mamy 2 funkcje f(x) i g(x) pod logarytmami o tych samych podstawach i pomiędzy nimi znajduje się znak nierówności:

Aby je porównać, musisz najpierw spojrzeć na podstawę logarytmów a:

• Jeśli a > 0, to f(x) > g(x) > 0
• Jeśli 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak rozwiązywać problemy z logarytmami: przykłady

Zadania z logarytmami zawarte w Unified State Examination z matematyki dla klasy 11 w zadaniu 5 i zadaniu 7, zadania z rozwiązaniami znajdziesz na naszej stronie internetowej w odpowiednich działach. W banku zadań matematycznych znajdują się także zadania z logarytmami. Wszystkie przykłady można znaleźć, przeszukując witrynę.

Co to jest logarytm

Logarytmy zawsze były uważane za trudny temat na szkolnych kursach matematyki. Istnieje wiele różnych definicji logarytmu, ale z jakiegoś powodu większość podręczników używa najbardziej złożonej i nieudanej z nich.

Zdefiniujemy logarytm prosto i jasno. W tym celu utwórzmy tabelę:

Mamy więc potęgę dwójki.

Logarytmy - właściwości, wzory, sposób rozwiązywania

Jeśli weźmiesz liczbę z dolnej linii, możesz łatwo znaleźć potęgę, do której będziesz musiał podnieść dwa, aby otrzymać tę liczbę. Na przykład, aby uzyskać 16, musisz podnieść dwa do potęgi czwartej. Aby otrzymać 64, musisz podnieść dwa do potęgi szóstej. Można to zobaczyć z tabeli.

A teraz - właściwie definicja logarytmu:

podstawą a argumentu x jest potęga, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

Oznaczenie: log a x = b, gdzie a to podstawa, x to argument, b to faktyczna wartość logarytmu.

Na przykład 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logarytm o podstawie 2 z 8 to trzy, ponieważ 2 3 = 8). Z tym samym sukcesem log 2 64 = 6, ponieważ 2 6 = 64.

Nazywa się operację znajdowania logarytmu liczby o zadanej podstawie. Dodajmy więc nową linię do naszej tabeli:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Niestety, nie wszystkie logarytmy można obliczyć tak łatwo. Na przykład spróbuj znaleźć log 2 5. Numeru 5 nie ma w tabeli, ale logika podpowiada, że ​​logarytm będzie leżał gdzieś w przedziale. Ponieważ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Liczby takie nazywane są niewymiernymi: liczby po przecinku można zapisywać w nieskończoność i nigdy się nie powtarzają. Jeśli logarytm okaże się irracjonalny, lepiej go tak zostawić: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ważne jest, aby zrozumieć, że logarytm jest wyrażeniem zawierającym dwie zmienne (podstawę i argument). Na początku wiele osób myli, gdzie jest podstawa, a gdzie argument. Aby uniknąć irytujących nieporozumień, wystarczy spojrzeć na zdjęcie:

Przed nami nic więcej niż definicja logarytmu. Pamiętać: logarytm jest potęgą, w który należy wbudować bazę, aby uzyskać argument. Jest to podstawa podniesiona do potęgi - na zdjęciu jest ona zaznaczona na czerwono. Okazuje się, że podstawa jest zawsze na dole! Tę cudowną zasadę powtarzam moim uczniom już na pierwszej lekcji – i nie pojawia się żadne zamieszanie.

Jak liczyć logarytmy

Ustaliliśmy definicję - pozostaje tylko nauczyć się liczyć logarytmy, tj. pozbądź się znaku „log”. Na początek zauważmy, że z definicji wynikają dwa ważne fakty:

1. Argument i podstawa muszą być zawsze większe od zera. Wynika to z definicji stopnia przez wykładnik wymierny, do którego sprowadza się definicja logarytmu.
2. Podstawa musi być różna od jednej, ponieważ jeden w jakimkolwiek stopniu nadal pozostaje jednym. Z tego powodu pytanie „do jakiej potęgi trzeba podnieść jedną, aby otrzymać dwie” jest pozbawione sensu. Nie ma takiego stopnia!

Takie ograniczenia nazywane są zakres akceptowalnych wartości(ODZ). Okazuje się, że ODZ logarytmu wygląda następująco: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Należy pamiętać, że nie ma ograniczeń co do liczby b (wartości logarytmu). Na przykład logarytm może być ujemny: log 2 · 0,5 = −1, ponieważ 0,5 = 2-1.

Jednak teraz rozważamy tylko wyrażenia liczbowe, w przypadku których nie jest wymagana znajomość VA logarytmu. Autorzy zadań uwzględnili już wszystkie ograniczenia. Kiedy jednak w grę wchodzą równania logarytmiczne i nierówności, wymagania DL staną się obowiązkowe. Przecież podstawa i argumentacja mogą zawierać bardzo mocne konstrukcje, które niekoniecznie odpowiadają powyższym ograniczeniom.

Przyjrzyjmy się teraz ogólnemu schematowi obliczania logarytmów. Składa się z trzech kroków:

1. Wyraź podstawę a i argument x jako potęgę o minimalnej możliwej podstawie większej niż jeden. Po drodze lepiej pozbyć się ułamków dziesiętnych;
2. Rozwiąż równanie dla zmiennej b: x = a b ;
3. Wynikowa liczba b będzie odpowiedzią.

To wszystko! Jeśli logarytm okaże się niewymierny, będzie to widoczne już w pierwszym kroku. Wymóg, aby podstawa była większa niż jedność, jest bardzo ważny: zmniejsza to prawdopodobieństwo błędu i znacznie upraszcza obliczenia. Tak samo z miejsca dziesiętne: jeśli natychmiast zamienisz je na zwykłe, błędów będzie znacznie mniej.

Zobaczmy, jak działa ten schemat na konkretnych przykładach:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 5 25

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę piątki: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Zadanie. Oblicz logarytm:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 4 64

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę dwójki: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Otrzymaliśmy odpowiedź: 3.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 16 1

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę dwójki: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Otrzymaliśmy odpowiedź: 0.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 7 14

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę siódemki: 7 = 7 1 ; 14 nie można przedstawić w postaci potęgi siódemki, ponieważ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z poprzedniego akapitu wynika, że ​​logarytm się nie liczy;
3. Odpowiedź brzmi bez zmian: log 7 14.

Mała uwaga do ostatniego przykładu. Jak możesz mieć pewność, że liczba nie jest dokładną potęgą innej liczby? To bardzo proste – wystarczy rozłożyć to na czynniki pierwsze. Jeśli rozwinięcie ma co najmniej dwa różne czynniki, liczba nie jest dokładną potęgą.

Zadanie. Dowiedz się, czy liczby są dokładnymi potęgami: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - dokładny stopień, ponieważ jest tylko jeden mnożnik;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie jest dokładną potęgą, ponieważ istnieją dwa czynniki: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - dokładny stopień;
35 = 7 · 5 – znowu nie jest to dokładna potęga;
14 = 7 · 2 – znowu nie jest to dokładny stopień;

Należy również zauważyć, że same liczby pierwsze są zawsze dokładnymi potęgami samych siebie.

Logarytm dziesiętny

Niektóre logarytmy są tak powszechne, że mają specjalną nazwę i symbol.

argumentu x jest logarytmem o podstawie 10, tj. Potęga, do której należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: lg x.

Na przykład log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od teraz, gdy w podręczniku pojawi się sformułowanie typu „Znajdź lg 0,01”, wiedz, że nie jest to literówka. To jest logarytm dziesiętny. Jeśli jednak nie znasz tego zapisu, zawsze możesz go przepisać:
log x = log 10 x

Wszystko, co jest prawdziwe w przypadku logarytmów zwykłych, jest również prawdziwe w przypadku logarytmów dziesiętnych.

Naturalny logarytm

Istnieje inny logarytm, który ma swoje własne oznaczenie. W pewnym sensie jest to nawet ważniejsze niż liczba dziesiętna. Mówimy o logarytmie naturalnym.

argumentu x jest logarytmem o podstawie e, tj. potęga, do której należy podnieść liczbę e, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: ln x.

Wiele osób zapyta: jaka jest liczba e? To liczba niewymierna Dokładna wartość niemożliwe do odnalezienia i nagrania. Podam tylko pierwsze liczby:
e = 2,718281828459…

Nie będziemy szczegółowo omawiać, czym jest ta liczba i dlaczego jest potrzebna. Pamiętaj tylko, że e jest podstawą logarytmu naturalnego:
ln x = log e x

Zatem ln e = 1; ln mi 2 = 2; ln mi 16 = 16 - itd. Z drugiej strony ln 2 jest liczbą niewymierną. Ogólnie rzecz biorąc, logarytm naturalny dowolnego Liczba wymierna irracjonalny. Z wyjątkiem oczywiście jednego: ln 1 = 0.

Dla logarytmy naturalne obowiązują wszystkie zasady dotyczące logarytmów zwykłych.

Zobacz też:

Logarytm. Własności logarytmu (potęga logarytmu).

Jak przedstawić liczbę jako logarytm?

Korzystamy z definicji logarytmu.

Logarytm to wykładnik, do którego należy podnieść podstawę, aby otrzymać liczbę pod znakiem logarytmu.

Zatem, aby przedstawić pewną liczbę c jako logarytm o podstawie a, należy pod znakiem logarytmu umieścić potęgę o tej samej podstawie co podstawa logarytmu i zapisać tę liczbę c jako wykładnik:

Absolutnie dowolną liczbę można przedstawić jako logarytm - dodatni, ujemny, całkowity, ułamkowy, wymierny, irracjonalny:

Aby nie pomylić a i c w stresujących warunkach testu lub egzaminu, możesz zastosować następującą zasadę zapamiętywania:

to, co jest poniżej, spada, to, co jest powyżej, idzie w górę.

Na przykład musisz przedstawić liczbę 2 jako logarytm o podstawie 3.

Mamy dwie liczby - 2 i 3. Te liczby to podstawa i wykładnik, który zapiszemy pod znakiem logarytmu. Pozostaje ustalić, które z tych liczb należy zapisać do podstawy stopnia, a które do wykładnika.

Podstawa 3 w zapisie logarytmu znajduje się na dole, co oznacza, że ​​jeśli przedstawimy dwa jako logarytm o podstawie 3, zapiszemy również 3 do podstawy.

2 jest wyższe niż trzy. A w zapisie stopnia drugiego piszemy nad trzecim, czyli jako wykładnik:

Logarytmy. Pierwszy poziom.

Logarytmy

Logarytm Liczba dodatnia B oparte na A, Gdzie a > 0, a ≠ 1, nazywa się wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę A, Pozyskać B.

Definicja logarytmu można krótko zapisać tak:

Ta równość jest ważna dla b > 0, a > 0, a ≠ 1. Zwykle się to nazywa tożsamość logarytmiczna.
Nazywa się czynność polegającą na znajdowaniu logarytmu liczby logarytmem.

Właściwości logarytmów:

Logarytm iloczynu:

Logarytm ilorazu:

Zastępowanie podstawy logarytmu:

Logarytm stopnia:

Logarytm pierwiastka:

Logarytm z podstawą mocy:

Logarytmy dziesiętne i naturalne.

Logarytm dziesiętny liczby wywołują logarytm tej liczby o podstawie 10 i zapisują   lg B
Naturalny logarytm liczby nazywane są logarytmem tej liczby o podstawie mi, Gdzie mi- liczba niewymierna w przybliżeniu równa 2,7. Jednocześnie piszą ln B.

Inne notatki z algebry i geometrii

Podstawowe własności logarytmów

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie można rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: zarejestruj x i zarejestruj a y. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Formuły te pomogą Ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie zostaną uwzględnione jego poszczególne części (zobacz lekcję „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Dziennik 6 4 + dziennik 6 9.

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele z nich opiera się na tym fakcie papiery testowe. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo to zauważyć ostatnia zasada podąża za pierwszymi dwoma. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli zachowa się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie wzory nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie , tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech będzie podany logarytm log a x. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiego wzoru wynika, że ​​podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz się pozbądźmy logarytm dziesiętny, przeprowadzka do nowej bazy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie.

W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: .

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli liczbę b podniesie się do takiej potęgi, że liczba b do tej potęgi da liczbę a? Zgadza się: wynikiem jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu wziąłem kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

1. log a a = 1 wynosi. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
2. log a 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie można rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: log A X i zaloguj się A y. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. dziennik A X+ log A y= log A (X · y);
2. dziennik A X− log A y= log A (X : y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Te formuły pomogą ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie uwzględnisz jego poszczególnych części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Dziennik 6 4 + dziennik 6 9.

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli przestrzega się ODZ logarytmu: A > 0, A ≠ 1, X> 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu. To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

[Podpis do zdjęcia]

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mamy:

[Podpis do zdjęcia]

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm A X. Następnie dla dowolnej liczby C takie, że C> 0 i C≠ 1, prawdziwa jest równość:

[Podpis do zdjęcia]

W szczególności, jeśli umieścimy C = X, otrzymujemy:

[Podpis do zdjęcia]

Z drugiego wzoru wynika, że ​​podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

[Podpis do zdjęcia]

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

[Podpis do zdjęcia]

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

[Podpis do zdjęcia]

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba N staje się wyznacznikiem stopnia stojącego w argumentacji. Numer N może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: podstawowa tożsamość logarytmiczna.

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli numer B podnieść do takiej potęgi, że liczba B do tej potęgi daje liczbę A? Zgadza się: otrzymujesz ten sam numer A. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

[Podpis do zdjęcia]

Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu wziąłem kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

[Podpis do zdjęcia]

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Egzaminu Państwowego Unified :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

1. dziennik A A= 1 jest jednostką logarytmiczną. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy A od tej podstawy jest równa jeden.
2. dziennik A 1 = 0 to zero logarytmiczne. Baza A może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jeden, logarytm jest równy zeru! Ponieważ A 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Logarytm liczby dodatniej b o podstawie a (a>0, a nie jest równe 1) to liczba c taka, że ​​a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Należy pamiętać, że logarytm liczby niedodatniej jest niezdefiniowany. Ponadto podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, która nie jest równa 1. Na przykład, jeśli podniesiemy do kwadratu -2, otrzymamy liczbę 4, ale nie oznacza to, że logarytm o podstawie -2 z 4 jest równe 2.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

a log za b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Ważne jest, że zakres definicji prawej i lewej strony tego wzoru jest inny. Lewa strona zdefiniowane tylko dla b>0, a>0 i a ≠ 1. Prawa część jest zdefiniowana dla dowolnego b, ale w ogóle nie zależy od a. Zatem zastosowanie podstawowej „tożsamości” logarytmicznej przy rozwiązywaniu równań i nierówności może prowadzić do zmiany OD.

Dwie oczywiste konsekwencje definicji logarytmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Rzeczywiście, podnosząc liczbę a do pierwszej potęgi, otrzymamy tę samą liczbę, a podnosząc ją do potęgi zerowej, otrzymamy jeden.

Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b do = log a b - log a do (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chciałbym przestrzec uczniów przed bezmyślnym używaniem tych wzorów przy rozwiązywaniu równań i nierówności logarytmicznych. Używając ich „od lewej do prawej”, ODZ zwęża się, a przy przejściu od sumy lub różnicy logarytmów do logarytmu iloczynu lub ilorazu ODZ rozszerza się.

Rzeczywiście, logarytm wyrażenia a (f (x) g (x)) jest zdefiniowany w dwóch przypadkach: gdy obie funkcje są ściśle dodatnie lub gdy obie f(x) i g(x) są mniejsze od zera.

Przekształcając to wyrażenie na sumę log a f (x) + log a g (x), zmuszeni jesteśmy ograniczyć się tylko do przypadku, gdy f(x)>0 i g(x)>0. Następuje zawężenie zakresu dopuszczalnych wartości, co jest kategorycznie niedopuszczalne, ponieważ może prowadzić do utraty rozwiązań. Podobny problem istnieje dla wzoru (6).

Stopień można odjąć od znaku logarytmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I jeszcze raz apeluję o dokładność. Rozważ następujący przykład:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lewa strona równości jest oczywiście zdefiniowana dla wszystkich wartości f(x) z wyjątkiem zera. Prawa strona jest tylko dla f(x)>0! Wyjmując stopień z logarytmu, ponownie zawężamy ODZ. Procedura odwrotna prowadzi do poszerzenia zakresu wartości dopuszczalnych. Wszystkie te uwagi odnoszą się nie tylko do potęgi 2, ale także do każdej parzystej potęgi.

Formuła przejścia do nowego fundamentu

log a b = log c b log do a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ten rzadki przypadek, gdy ODZ nie zmienia się podczas transformacji. Jeśli mądrze wybrałeś bazę c (dodatnią i różną od 1), formuła na przejście do nowej bazy jest całkowicie bezpieczna.

Jeśli wybierzemy liczbę b jako nową podstawę c, otrzymamy ważne szczególny przypadek wzory (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Kilka prostych przykładów z logarytmami

Przykład 1. Oblicz: log2 + log50.
Rozwiązanie. log2 + log50 = log100 = 2. Wykorzystaliśmy wzór na sumę logarytmów (5) i definicję logarytmu dziesiętnego.

Przykład 2. Oblicz: lg125/lg5.
Rozwiązanie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Użyliśmy wzoru na przejście do nowej bazy (8).

Tabela wzorów związanych z logarytmami

a log za b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b do = log a b - log a do (a > 0, a ≠ 1, b > 0, do > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log do a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

1. Sprawdź, czy pod znakiem logarytmu znajdują się liczby ujemne lub jedynka. Ta metoda ma zastosowanie do wyrażeń w formie log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a)))). Jednak nie nadaje się do niektórych szczególnych przypadków:

   • Logarytm Liczba ujemna nieokreślone na żadnej podstawie (np. log ⁡ (- 3) (\ Displaystyle \ log (-3)) Lub log 4 ⁡ (- 5) (\ Displaystyle \ log _ (4) (-5))). W tym przypadku napisz „brak rozwiązania”.
   • Logarytm zera do dowolnej podstawy jest również nieokreślony. Jeśli zostaniesz złapany ln ⁡ (0) (\ displaystyle \ ln (0)), wpisz „brak rozwiązania”.
   • Logarytm jeden do dowolnej podstawy ( log ⁡ (1) (\ displaystyle \ log (1))) wynosi zawsze zero, ponieważ x 0 = 1 (\ displaystyle x ^ (0) = 1) dla wszystkich wartości X. Zamiast tego logarytmu wpisz 1 i nie korzystaj z poniższej metody.
   • Jeśli logarytmy mają różne podstawy, np l o sol 3 (x) l o sol 4 (a) (\ Displaystyle (\ Frac (log_ (3) (x)) (log_ (4) (a)))) i nie są zredukowane do liczb całkowitych, wartości wyrażenia nie można znaleźć ręcznie.

2. Zamień wyrażenie na jeden logarytm. Jeśli wyrażenie nie jest jednym z powyższych specjalne okazje, można to przedstawić jako pojedynczy logarytm. Użyj w tym celu poniższej formuły: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log za ⁡ (x) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a))) = \ log_(a)(x)).

   • Przykład 1: Rozważmy wyrażenie log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\ Displaystyle (\ Frac (\ log (16)) (\ log (2}}}.
     Najpierw przedstawmy wyrażenie jako pojedynczy logarytm, korzystając z powyższego wzoru: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log (16)) (\ log (2))) = \ log _ (2) (16)}.
   • Ten wzór na „zastąpienie podstawy” logarytmu wywodzi się z podstawowych właściwości logarytmów.

3. Jeśli to możliwe, oceń wartość wyrażenia ręcznie. Znaleźć log za ⁡ (x) (\ Displaystyle \ log _ (a) (x)) wyobraź sobie wyrażenie „ A? = x (\ displaystyle a ^ (?) = x)", czyli zadaj następujące pytanie: "Do jakiej potęgi powinieneś podnieść A, Pozyskać X?. Odpowiedź na to pytanie może wymagać użycia kalkulatora, ale jeśli będziesz mieć szczęście, być może uda Ci się go znaleźć ręcznie.

   • Przykład 1 (ciąg dalszy): Przepisz jako 2? = 16 (\ displaystyle 2 ^ (?) = 16). Musisz znaleźć, jaka liczba powinna stanąć w miejscu znaku „?”. Można to zrobić metodą prób i błędów:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\ Displaystyle 2 ^ (2) = 2 * 2 = 4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\ Displaystyle 2 ^ (3) = 4 * 2 = 8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\ Displaystyle 2 ^ (4) = 8 * 2 = 16)
     Zatem szukana liczba to 4: log 2 ⁡ (16) (\ Displaystyle \ log _ (2) (16)) = 4 .

4. Pozostaw odpowiedź w formie logarytmicznej, jeśli nie możesz jej uprościć. Wiele logarytmów jest bardzo trudnych do obliczenia ręcznie. W takim przypadku, aby uzyskać dokładną odpowiedź, będziesz potrzebować kalkulatora. Jeśli jednak rozwiązujesz problem na zajęciach, nauczyciel najprawdopodobniej będzie usatysfakcjonowany odpowiedzią w formie logarytmicznej. Metoda omówiona poniżej służy do rozwiązania bardziej złożonego przykładu:

   • przykład 2: co jest równe log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (3) (58)) (\ log _ (3) (7)}}?
   • Przekształćmy to wyrażenie na jeden logarytm: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (3) (58)) (\ log _ (3) (7))) = \ log_(7)(58)). Należy zauważyć, że podstawa 3 wspólna dla obu logarytmów znika; jest to prawdą z jakiegokolwiek powodu.
   • Przepiszmy wyrażenie w formie 7? = 58 (\ displaystyle 7 ^ (?) = 58) i spróbujmy znaleźć wartość?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\ Displaystyle 7 ^ (2) = 7 * 7 = 49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\ Displaystyle 7 ^ (3) = 49 * 7 = 343)
     Ponieważ pomiędzy tymi dwiema liczbami znajduje się 58, nie jest ona wyrażana jako liczba całkowita.
   • Odpowiedź pozostawiamy w formie logarytmicznej: log 7 ⁡ (58) (\ Displaystyle \ log _ (7) (58)).