மெட்ரிக்குகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள். மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது

பொதுவாக சமன்பாடுகள், நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகள், அத்துடன் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள், கணிதத்தில் கோட்பாட்டு மற்றும் பயன்பாட்டு ஆகிய இரண்டிலும் ஒரு சிறப்பு இடத்தைப் பெறுகின்றன.

பெரும்பாலான உடல், பொருளாதார, தொழில்நுட்ப மற்றும் கல்வியியல் சிக்கல்கள் பல்வேறு சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகளைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்பட்டு தீர்க்கப்படுவதே இதற்குக் காரணம். IN சமீபத்தில்ஆராய்ச்சியாளர்கள், விஞ்ஞானிகள் மற்றும் பயிற்சியாளர்கள் மத்தியில் குறிப்பிட்ட பிரபலத்தைப் பெற்றுள்ளது கணித மாடலிங்ஏறக்குறைய அனைத்து பாடப் பகுதிகளிலும், இது பல்வேறு இயல்புகளின் பொருள்களைப் படிப்பதற்கான பிற அறியப்பட்ட மற்றும் நிரூபிக்கப்பட்ட முறைகளை விட அதன் வெளிப்படையான நன்மைகளால் விளக்கப்படுகிறது, குறிப்பாக, அழைக்கப்படும் சிக்கலான அமைப்புகள். விஞ்ஞானிகளால் வழங்கப்பட்ட கணித மாதிரியின் பல்வேறு வரையறைகள் உள்ளன வெவ்வேறு நேரங்களில், ஆனால் எங்கள் கருத்துப்படி, மிகவும் வெற்றிகரமான ஒன்று பின்வரும் அறிக்கை. கணித மாதிரி- இது ஒரு யோசனை சமன்பாடு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகளை உருவாக்கி தீர்க்கும் திறன் ஒரு நவீன நிபுணரின் ஒருங்கிணைந்த பண்பு ஆகும்.

நேரியல் அமைப்புகளைத் தீர்க்க இயற்கணித சமன்பாடுகள்பொதுவாக பயன்படுத்தப்படும் முறைகள் க்ரேமர், ஜோர்டான்-காஸ் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் முறை.

மேட்ரிக்ஸ் தீர்வு முறை என்பது ஒரு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி பூஜ்ஜியமற்ற தீர்மானிப்பான் கொண்ட நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையாகும்.

மேட்ரிக்ஸ் A இல் xi தெரியாத அளவுகளுக்கான குணகங்களை எழுதினால், திசையன் நெடுவரிசை X இல் தெரியாத அளவுகளையும், திசையன் நெடுவரிசை B இல் உள்ள இலவச சொற்களையும் சேகரித்தால், நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதலாம். பின்வரும் அணி சமன்பாடு A · X = B, இது அணி A இன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாதபோது மட்டுமே ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வை பின்வரும் வழியில் காணலாம் எக்ஸ் = ஏ-1 · பி, எங்கே ஏ -1 - தலைகீழ் அணி.

மேட்ரிக்ஸ் தீர்வு முறை பின்வருமாறு.

அமைப்பு கொடுக்கப்படட்டும் நேரியல் சமன்பாடுகள்உடன் nதெரியவில்லை:

இது மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம்: AX = பி, எங்கே ஏ- அமைப்பின் முக்கிய அணி, பிமற்றும் எக்ஸ்- முறையே இலவச விதிமுறைகள் மற்றும் அமைப்பின் தீர்வுகளின் நெடுவரிசைகள்:

இதை பெருக்குவோம் அணி சமன்பாடுவிட்டு சென்றது ஏ-1 - மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் அணி ஏ: ஏ -1 (AX) = ஏ -1 பி

ஏனெனில் ஏ -1 ஏ = ஈ, நாம் பெறுகிறோம் எக்ஸ்=ஏ -1 பி. வலது பகுதிஇந்த சமன்பாடு அசல் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் நெடுவரிசையை வழங்கும். பொருந்தக்கூடிய நிலை இந்த முறை(அத்துடன் பொதுவாக ஒரு தீர்வின் இருப்பு ஒரே மாதிரியான அமைப்புஅறியப்படாத எண்ணிக்கைக்கு சமமான சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடுகள்) என்பது மேட்ரிக்ஸின் சிதைவின்மை ஏ. தேவையான மற்றும் போதுமான நிலைஇதன் பொருள் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை ஏ:det ஏ≠ 0.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கு, அதாவது திசையன் போது பி = 0 , உண்மையில் எதிர் விதி: அமைப்பு AX = 0 க்கு அற்பமான (அதாவது பூஜ்ஜியம் அல்லாத) தீர்வு உள்ளது ஏ= 0. நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகளின் தீர்வுகளுக்கு இடையேயான இத்தகைய இணைப்பு ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்று என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பிற்கான தீர்வுகள்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் அறியப்படாத குணகங்களால் ஆன மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்பதை உறுதி செய்வோம்.

அடுத்த கட்டம் கணக்கிடுவது இயற்கணித சேர்த்தல்கள்அறியப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு மேட்ரிக்ஸின் கூறுகளுக்கு. தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிக்க அவை தேவைப்படும்.

(சில நேரங்களில் இந்த முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது அணி முறைஅல்லது தலைகீழ் அணி முறை) SLAE இன் குறியீட்டின் மேட்ரிக்ஸ் வடிவம் போன்ற கருத்துடன் பூர்வாங்க அறிமுகம் தேவைப்படுகிறது. தலைகீழ் அணி முறையானது நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இதில் கணினி மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. இயற்கையாகவே, கணினியின் அணி சதுரமானது என்று இது கருதுகிறது (சதுர மெட்ரிக்குகளுக்கு மட்டுமே நிர்ணயிக்கும் கருத்து உள்ளது). தலைகீழ் அணி முறையின் சாராம்சத்தை மூன்று புள்ளிகளில் வெளிப்படுத்தலாம்:

1. மூன்று அணிகளை எழுதவும்: கணினி அணி $A$, தெரியாதவர்களின் அணி $X$, இலவச சொற்களின் அணி $B$.
2. தலைகீழ் அணி $A^(-1)$ ஐக் கண்டறியவும்.
3. $X=A^(-1)\cdot B$ என்ற சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட SLAEக்கான தீர்வைப் பெறவும்.

எந்த SLAEஐயும் $A\cdot X=B$ என மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதலாம், இதில் $A$ என்பது கணினியின் அணி, $B$ என்பது இலவச விதிமுறைகளின் அணி, $X$ என்பது தெரியாதவற்றின் மேட்ரிக்ஸ். மேட்ரிக்ஸ் $A^(-1)$ இருக்கட்டும். $A\cdot X=B$ என்ற சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் இடதுபுறத்தில் உள்ள அணி $A^(-1)$ மூலம் பெருக்குவோம்:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ என்பது அடையாள அணி), மேலே உள்ள சமத்துவம்:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ என்பதால், பின்:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\ right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\ right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸுக்கு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது. $A^(-1)$ கணக்கிடுவோம். உதாரணம் எண். 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\வலது) . $$

இப்போது மூன்று மெட்ரிக்குகளையும் ($X$, $A^(-1)$, $B$) சமமாக $X=A^(-1)\cdot B$க்கு மாற்றுவோம். பின்னர் நாங்கள் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தைச் செய்கிறோம்

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

எனவே, எங்களுக்கு $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( வரிசை )\வலது)$. இந்த சமத்துவத்தில் இருந்து நாம்: $x_1=-3$, $x_2=2$.

பதில்: $x_1=-3$, $x_2=2$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

SLAE ஐ தீர்க்கவும் $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ தலைகீழ் அணி முறையைப் பயன்படுத்துகிறது.

$A$ அமைப்பின் மேட்ரிக்ஸ், இலவச சொற்களின் அணி $B$ மற்றும் தெரியாதவர்களின் அணி $X$ ஆகியவற்றை எழுதுவோம்.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\ right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\ right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

இப்போது சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸுக்கு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியும் முறை, அதாவது. $A^(-1)$ கண்டுபிடி. எடுத்துக்காட்டாக எண். 3 இல், தலைகீழ் மெட்ரிக்ஸைக் கண்டறிவதற்காக அர்ப்பணிக்கப்பட்ட பக்கத்தில், தலைகீழ் அணி ஏற்கனவே கண்டறியப்பட்டுள்ளது. முடிக்கப்பட்ட முடிவைப் பயன்படுத்தி $A^(-1)$ என்று எழுதுவோம்:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\இறுதி(வரிசை)\வலது). $$

இப்போது மூன்று மெட்ரிக்குகளையும் ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ என்ற சமத்துவத்தில் மாற்றுவோம், பின்னர் வலது பக்கத்தில் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தைச் செய்யலாம். இந்த சமத்துவத்தின்.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\ end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

எனவே, எங்களுக்கு $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 என்ற சமத்துவம் கிடைத்தது. \ \9\முடிவு(வரிசை)\வலது)$. இந்த சமத்துவத்தில் இருந்து நாம்: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

கருத்தில் கொள்வோம் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு(SLAU) ஒப்பீட்டளவில் nதெரியவில்லை எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., எக்ஸ் n :

இந்த அமைப்பு "சரிந்த" வடிவத்தில் பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்:

எஸ் n i=1 அ ij எக்ஸ் ஜே = ஆ நான் , i=1,2, ..., n.

மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் விதிக்கு இணங்க, நேரியல் சமன்பாடுகளின் கருதப்படும் அமைப்பை எழுதலாம் அணி வடிவம் கோடாரி=ஆ, எங்கே

, ,.

மேட்ரிக்ஸ் ஏ, நெடுவரிசைகள் தொடர்புடைய தெரியாதவற்றிற்கான குணகங்களாகவும், வரிசைகள் தொடர்புடைய சமன்பாட்டில் தெரியாதவற்றுக்கான குணகங்களாகவும் அழைக்கப்படுகிறது. அமைப்பின் அணி. நெடுவரிசை அணி பி, அமைப்பின் சமன்பாடுகளின் வலது பக்கமாக இருக்கும் உறுப்புகள் வலது பக்க அணி அல்லது வெறுமனே அழைக்கப்படுகிறது அமைப்பின் வலது பக்கம். நெடுவரிசை அணி எக்ஸ் , யாருடைய கூறுகள் தெரியாத தெரியாதவை, அழைக்கப்படுகிறது அமைப்பு தீர்வு.

வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கோடாரி=ஆ, இருக்கிறது அணி சமன்பாடு.

கணினி அணி என்றால் சிதையாத, பின்னர் அது ஒரு தலைகீழ் அணி மற்றும் பின்னர் அமைப்பு தீர்வு உள்ளது கோடாரி=ஆசூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

x=A -1 பி.

உதாரணமாகஅமைப்பைத் தீர்க்கவும் அணி முறை.

தீர்வுகணினியின் குணகம் மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்போம்

முதல் வரியில் விரிவாக்குவதன் மூலம் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்:

ஏனெனில் Δ ≠ 0 , அந்த ஏ -1 உள்ளது.

தலைகீழ் அணி சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது.

அமைப்புக்கு தீர்வு காண்போம்

எனவே, எக்ஸ் 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

தேர்வு:

7. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் பொருந்தக்கூடிய தன்மை குறித்த க்ரோனெக்கர்-காபெல்லி தேற்றம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புவடிவம் உள்ளது:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

இங்கே a i j மற்றும் b i (i = ; j = ) கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் x j என்பது தெரியாத உண்மையான எண்கள். மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி, கணினியை (5.1) வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம்:

A = (a i j) என்பது கணினியின் (5.1) அறியப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு அணி ஆகும், இது அழைக்கப்படுகிறது. அமைப்பின் அணி, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T என்பது முறையே தெரியாத x j மற்றும் இலவச சொற்கள் b i ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட நெடுவரிசை திசையன்கள்.

ஆர்டர் செய்யப்பட்ட சேகரிப்பு nஉண்மையான எண்கள் (c 1 , c 2 ,..., c n) எனப்படும் அமைப்பு தீர்வு(5.1), x 1, x 2,..., x n ஆகிய மாறிகளுக்குப் பதிலாக இந்த எண்களை மாற்றுவதன் விளைவாக, கணினியின் ஒவ்வொரு சமன்பாடும் எண்கணித அடையாளமாக மாறும்; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு திசையன் C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T என்றால் AC  B.

அமைப்பு (5.1) என்று அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு,அல்லது தீர்க்கக்கூடிய,குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வு இருந்தால். அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது பொருந்தாத,அல்லது தீர்க்க முடியாத, அதற்கு தீர்வுகள் இல்லை என்றால்.

,

அணி A இன் வலது பக்கத்தில் இலவச சொற்களின் நெடுவரிசையை ஒதுக்குவதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்டது அமைப்பின் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி.

அமைப்பின் பொருந்தக்கூடிய கேள்வி (5.1) பின்வரும் தேற்றத்தால் தீர்க்கப்படுகிறது.

குரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றம் . நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு A மற்றும் A அணிகளின் வரிசைகள் இணைந்தால் மட்டுமே சீராக இருக்கும், அதாவது. r(A) = r(A) = r.

அமைப்பின் தீர்வுகளின் எம் தொகுப்பிற்கு (5.1) மூன்று சாத்தியங்கள் உள்ளன:

1) M =  (இந்த வழக்கில் கணினி சீரற்றது);

2) M என்பது ஒரு உறுப்பைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது. கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது (இந்த வழக்கில் கணினி என்று அழைக்கப்படுகிறது உறுதி);

3) M ஆனது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது (பின்னர் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது நிச்சயமற்ற) மூன்றாவது வழக்கில், கணினி (5.1) எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

r(A) = n என்றால் மட்டுமே கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. இந்த வழக்கில், சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இல்லை (mn); m>n என்றால், பிறகு m-n சமன்பாடுகள்மற்றவற்றின் விளைவுகளாகும். 0 என்றால்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் தன்னிச்சையான அமைப்பைத் தீர்க்க, சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும் அமைப்புகளை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும் - என்று அழைக்கப்படுபவை க்ரேமர் வகை அமைப்புகள்:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

அமைப்புகள் (5.3) பின்வரும் வழிகளில் ஒன்றில் தீர்க்கப்படுகின்றன: 1) காஸ் முறை அல்லது தெரியாதவற்றை நீக்கும் முறை; 2) கிராமரின் சூத்திரங்களின்படி; 3) அணி முறை.

எடுத்துக்காட்டு 2.12. சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஆராய்ந்து, அது சீரானதாக இருந்தால் அதைத் தீர்க்கவும்:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

தீர்வு.கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

 .

கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையை கணக்கிடுவோம். எடுத்துக்காட்டாக, மேல் இடது மூலையில் உள்ள இரண்டாவது-வரிசை மைனர் = 7  0; அதைக் கொண்ட மூன்றாம் வரிசை மைனர்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

இதன் விளைவாக, அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 2 ஆகும், அதாவது. r(A) = 2. நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A இன் தரவரிசையைக் கணக்கிட, எல்லை மைனரைக் கவனியுங்கள்

இதன் பொருள் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி r(A) = 3. r(A)  r(A), அமைப்பு சீரற்றதாக உள்ளது.

தலைப்பு 2. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்.

அடிப்படை கருத்துக்கள்.

வரையறை 1. அமைப்பு மீஉடன் நேரியல் சமன்பாடுகள் nதெரியாதது என்பது படிவத்தின் ஒரு அமைப்பு:

எண்கள் எங்கே மற்றும் உள்ளன.

வரையறை 2. அமைப்பு (I)க்கான தீர்வு என்பது அறியப்படாதவற்றின் தொகுப்பாகும், இதில் இந்த அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாடும் ஒரு அடையாளமாக மாறும்.

வரையறை 3. அமைப்பு (I) என்று அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு, அது குறைந்தது ஒரு தீர்வு இருந்தால் மற்றும் கூட்டு அல்லாத, அதற்கு தீர்வுகள் இல்லை என்றால். கூட்டு அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது உறுதி, அது ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு இருந்தால், மற்றும் நிச்சயமற்றஇல்லையெனில்.

வரையறை 4. படிவத்தின் சமன்பாடு

அழைக்கப்பட்டது பூஜ்யம், மற்றும் சமன்பாடு வடிவத்தில் உள்ளது

அழைக்கப்பட்டது பொருந்தாத. வெளிப்படையாக, பொருந்தாத சமன்பாட்டைக் கொண்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சீரற்றது.

வரையறை 5. நேரியல் சமன்பாடுகளின் இரண்டு அமைப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன இணையான, ஒரு அமைப்பின் ஒவ்வொரு தீர்வும் மற்றொன்றுக்கு ஒரு தீர்வாக இருந்தால், அதற்கு மாறாக, இரண்டாவது அமைப்பின் ஒவ்வொரு தீர்வும் முதல் முறைக்கான தீர்வாகும்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம்.

அமைப்பு (I) ஐக் கருத்தில் கொள்வோம் (§1 ஐப் பார்க்கவும்).

குறிப்போம்:

தெரியாதவர்களுக்கான குணக அணி

மேட்ரிக்ஸ் - இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசை

மேட்ரிக்ஸ் - தெரியாதவர்களின் நெடுவரிசை

.

வரையறை 1.அணி அழைக்கப்படுகிறது அமைப்பின் முக்கிய அணி(I), மற்றும் அணி என்பது அமைப்பின் (I) நீட்டிக்கப்பட்ட அணி ஆகும்.

மெட்ரிக்ஸின் சமத்துவத்தின் வரையறையின்படி, அமைப்பு (I) அணி சமத்துவத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது:

.

இந்த சமத்துவத்தின் வலது பக்கம் மெட்ரிக்குகளின் பெருக்கத்தின் வரையறையின்படி ( வரையறை 3 § 5 அத்தியாயம் 1 ஐப் பார்க்கவும்) காரணியாக்கப்படலாம்:

, அதாவது

சமத்துவம் (2) அழைக்கப்பட்டது அமைப்பின் அணி குறியீடு (I).

க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது.

அமைப்பில் விடுங்கள் (I) (பார்க்க §1) m=n, அதாவது சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம், மேலும் அமைப்பின் முக்கிய அணி ஒருமையற்றது, அதாவது. . பின்னர் §1 இலிருந்து கணினி (I) ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது

எங்கே Δ = டெட் ஏமுக்கிய என்று அழைக்கப்படுகிறது அமைப்பின் தீர்மானிப்பான்(I), Δ நான்மாற்றுவதன் மூலம் தீர்மானிக்கும் Δ இலிருந்து பெறப்படுகிறது நான்கணினியின் (I) இலவச உறுப்பினர்களின் நெடுவரிசைக்கு வது நெடுவரிசை.

எடுத்துக்காட்டு: Cramer இன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்:

.

சூத்திரங்கள் மூலம் (3) .

அமைப்பின் தீர்மானங்களை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

,

,

.

தீர்மானிப்பாளரைப் பெற, தீர்மானிப்பதில் முதல் நெடுவரிசையை இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையுடன் மாற்றினோம்; தீர்மானிப்பதில் 2 வது நெடுவரிசையை இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையுடன் மாற்றினால், நாங்கள் பெறுகிறோம்; இதேபோல், தீர்மானிப்பதில் 3 வது நெடுவரிசையை இலவச சொற்களின் நெடுவரிசையுடன் மாற்றினால், நமக்கு கிடைக்கும் . அமைப்பு தீர்வு:

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

அமைப்பில் விடுங்கள் (I) (பார்க்க §1) m=nமற்றும் அமைப்பின் முக்கிய அணி ஒருமை அல்ல. கணினி (I) ஐ மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதுவோம் ( பார்க்க §2):

ஏனெனில் அணி ஏஒருமை அல்ல, பின்னர் அது ஒரு தலைகீழ் அணியைக் கொண்டுள்ளது ( அத்தியாயம் 1 இன் தேற்றம் 1 §6 ஐப் பார்க்கவும்) சமத்துவத்தின் இருபுறமும் பெருக்குவோம் (2) அணிக்கு, பின்னர்

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் வரையறையின்படி. சமத்துவத்தில் இருந்து (3) எங்களிடம் உள்ளது

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்

.

குறிப்போம்

எடுத்துக்காட்டில் (§ 3) நாங்கள் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட்டோம், எனவே, அணி ஏதலைகீழ் அணி உள்ளது. பின்னர் நடைமுறையில் (4) , அதாவது

. (5)

மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்போம் ( §6 அத்தியாயம் 1 ஐப் பார்க்கவும்)

, , ,

, , ,

,

.

காஸ் முறை.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கொடுக்கலாம்:

. (நான்)

சிஸ்டம் (I) இன் அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டறிவது அல்லது கணினி சீரற்றதா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும்.

வரையறை 1.அமைப்பின் அடிப்படை மாற்றம் என்று அழைக்கலாம்(I) மூன்று செயல்களில் ஏதேனும்:

1) பூஜ்ஜிய சமன்பாட்டைக் கடப்பது;

2) சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் மற்றொரு சமன்பாட்டின் தொடர்புடைய பகுதிகளைச் சேர்த்தல், l எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது;

3) கணினியின் சமன்பாடுகளில் சொற்களை இடமாற்றம் செய்வதன் மூலம் அனைத்து சமன்பாடுகளிலும் ஒரே எண்களைக் கொண்ட தெரியாதவர்கள் ஒரே இடங்களை ஆக்கிரமித்துள்ளனர், அதாவது. எடுத்துக்காட்டாக, 1 வது சமன்பாட்டில் 2 மற்றும் 3 வது விதிமுறைகளை மாற்றியிருந்தால், கணினியின் அனைத்து சமன்பாடுகளிலும் இதைச் செய்ய வேண்டும்.

காஸ் முறையானது அடிப்படை மாற்றங்களின் உதவியுடன் அமைப்பு (I) ஒரு சமமான அமைப்பாகக் குறைக்கப்படுகிறது, அதன் தீர்வு நேரடியாகக் கண்டறியப்படுகிறது அல்லது அதன் தீர்க்க முடியாத தன்மை நிறுவப்பட்டது.

§2 இல் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, அமைப்பு (I) அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது மற்றும் அமைப்பின் (I) எந்த அடிப்படை மாற்றமும் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை மாற்றத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது:

.

உருமாற்றம் 1) அணியில் உள்ள பூஜ்ஜிய வரிசையை நீக்குவதற்கு ஒத்திருக்கிறது, மாற்றம் 2) மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய வரிசையில் மற்றொரு வரிசையைச் சேர்ப்பதற்குச் சமம், l எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது, மாற்றம் 3) மேட்ரிக்ஸில் உள்ள நெடுவரிசைகளை மறுசீரமைப்பதற்குச் சமம்.

மாறாக, மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு அடிப்படை மாற்றமும் கணினியின் (I) அடிப்படை மாற்றத்திற்கு ஒத்திருப்பதைக் காண்பது எளிது. மேற்கூறியவற்றின் காரணமாக, கணினி (I) உடனான செயல்பாடுகளுக்குப் பதிலாக, இந்த அமைப்பின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸுடன் நாங்கள் வேலை செய்வோம்.

மேட்ரிக்ஸில், 1 வது நெடுவரிசையில் குணகங்கள் உள்ளன x 1, 2 வது நெடுவரிசை - க்கான குணகங்களிலிருந்து x 2முதலியன நெடுவரிசைகள் மறுசீரமைக்கப்பட்டால், இந்த நிபந்தனை மீறப்பட்டதாக கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, நாம் 1வது மற்றும் 2வது நெடுவரிசைகளை மாற்றினால், இப்போது 1வது நெடுவரிசையில் அதற்கான குணகங்கள் இருக்கும். x 2, மற்றும் 2 வது நெடுவரிசையில் - குணகங்கள் x 1.

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினி (I) ஐத் தீர்ப்போம்.

1. மேட்ரிக்ஸில் உள்ள அனைத்து பூஜ்ஜிய வரிசைகளையும் கடக்கவும், ஏதேனும் இருந்தால் (அதாவது, கணினியில் (I) அனைத்து பூஜ்ஜிய சமன்பாடுகளையும் கடக்கவும்.

2. மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளில் கடைசி ஒன்றைத் தவிர அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான ஒரு வரிசை உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம் (அத்தகைய வரிசையை சீரற்றதாக அழைப்போம்). வெளிப்படையாக, அத்தகைய வரி அமைப்பு (I) இல் உள்ள சீரற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது, எனவே, அமைப்பு (I) க்கு தீர்வுகள் இல்லை, மேலும் இந்த செயல்முறை முடிவடைகிறது.

3. மேட்ரிக்ஸில் சீரற்ற வரிசைகள் இருக்கக்கூடாது (அமைப்பு (I) சீரற்ற சமன்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை). என்றால் ஒரு 11 =0, பின்னர் 1 வது வரிசையில் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு சில உறுப்புகளை (கடைசி ஒன்றைத் தவிர) கண்டுபிடித்து, 1 வது வரிசையில் 1 வது இடத்தில் பூஜ்ஜியம் இல்லாதபடி நெடுவரிசைகளை மறுசீரமைப்போம். நாம் இப்போது (அதாவது, அமைப்பின் (I) சமன்பாடுகளில் தொடர்புடைய சொற்களை மாற்றுவோம்) என்று கருதுவோம்.

4. 1 வது வரியை பெருக்கி, முடிவை 2 வது வரியுடன் சேர்க்கவும், பின்னர் 1 வது வரியை பெருக்கி 3 வது வரியுடன் முடிவை சேர்க்கவும். வெளிப்படையாக, இந்த செயல்முறை தெரியாததை நீக்குவதற்கு சமம் x 1 1வது தவிர, அமைப்பின் அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும் (I). புதிய மேட்ரிக்ஸில், தனிமத்தின் கீழ் 1 வது நெடுவரிசையில் பூஜ்ஜியங்களைப் பெறுகிறோம் ஒரு 11:

.

5. மேட்ரிக்ஸில் உள்ள அனைத்து பூஜ்ஜிய வரிசைகளையும் கடந்து, ஏதேனும் இருந்தால், சீரற்ற வரிசை இருக்கிறதா என்று சரிபார்க்கவும் (ஒன்று இருந்தால், கணினி சீரற்றது மற்றும் தீர்வு அங்கு முடிவடைகிறது). இருக்குமா என்று பார்க்கலாம் ஒரு 22 / =0, ஆம் எனில், 2வது வரிசையில் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு ஒரு உறுப்பைக் கண்டுபிடித்து, நெடுவரிசைகளை மறுசீரமைப்போம். அடுத்து, 2 வது வரிசையின் கூறுகளை பெருக்கவும் மற்றும் 3 வது வரியின் தொடர்புடைய கூறுகளுடன் சேர்க்கவும், பின்னர் - 2 வது வரியின் கூறுகள் மற்றும் 4 வது வரியின் தொடர்புடைய உறுப்புகளுடன் சேர்க்கவும், முதலியன, கீழே பூஜ்ஜியங்கள் கிடைக்கும் வரை ஒரு 22/

.

எடுக்கப்பட்ட செயல்கள் தெரியாததை நீக்குவதற்கு சமம் x 2 1வது மற்றும் 2வது தவிர, அமைப்பின் அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும் (I). வரிசைகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதாக இருப்பதால், வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளுக்குப் பிறகு, கணினி சீரற்றதாக இருப்பதைப் பெறுகிறோம், அல்லது ஒரு படி மேட்ரிக்ஸுடன் முடிவடையும் ( வரையறை 2 §7 அத்தியாயம் 1 ஐப் பார்க்கவும்) :

,

மேட்ரிக்ஸுடன் தொடர்புடைய சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதுவோம். இந்த அமைப்பு அமைப்பு (I) க்கு சமம்

.

நாம் வெளிப்படுத்தும் கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து; முந்தைய சமன்பாட்டிற்குப் பதிலாக, நாம் பெறும் வரை, கண்டறிதல் போன்றவை.

குறிப்பு 1.எனவே, காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியை (I) தீர்க்கும்போது, ​​​​பின்வரும் நிகழ்வுகளில் ஒன்றை நாம் அடைகிறோம்.

1. அமைப்பு (I) சீரற்றது.

2. மேட்ரிக்ஸில் உள்ள வரிசைகளின் எண்ணிக்கை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு () சமமாக இருந்தால் சிஸ்டம் (I) க்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

3. மேட்ரிக்ஸில் உள்ள வரிசைகளின் எண்ணிக்கை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட () ​​குறைவாக இருந்தால், கணினி (I) எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே பின்வரும் தேற்றம் உள்ளது.

தேற்றம்.நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சீரற்றதாகவோ, தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டதாகவோ அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டுகள். காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் அல்லது அதன் முரண்பாட்டை நிரூபிக்கவும்:

b) ;

a) கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பை படிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்:

.

கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த அசல் அமைப்பின் 1வது மற்றும் 2வது சமன்பாடுகளை மாற்றியுள்ளோம் (பின்னங்களுக்குப் பதிலாக, இந்த மறுசீரமைப்பைப் பயன்படுத்தி முழு எண்களுடன் மட்டுமே செயல்படுவோம்).

விரிவாக்கப்பட்ட அணியை உருவாக்குவோம்:

.

பூஜ்ய கோடுகள் இல்லை; பொருந்தாத கோடுகள் இல்லை, ; 1ஐத் தவிர கணினியின் அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும் 1வது தெரியாததை விலக்குவோம். இதைச் செய்ய, மேட்ரிக்ஸின் 1 வது வரிசையின் கூறுகளை “-2” ஆல் பெருக்கி, அவற்றை 2 வது வரிசையின் தொடர்புடைய கூறுகளுடன் சேர்க்கவும், இது 1 வது சமன்பாட்டை “-2” ஆல் பெருக்கி 2 வதுடன் சேர்ப்பதற்கு சமம். சமன்பாடு. பின்னர் நாம் 1 வது வரியின் கூறுகளை "-3" ஆல் பெருக்கி அவற்றை மூன்றாவது வரியின் தொடர்புடைய கூறுகளுடன் சேர்க்கிறோம், அதாவது. கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் 2வது சமன்பாட்டை “-3” ஆல் பெருக்கி 3வது சமன்பாட்டுடன் கூட்டுவோம். நாம் பெறுகிறோம்

.

அணி சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது). - (அத்தியாயம் 1 இன் வரையறை 3§7ஐப் பார்க்கவும்).

தலைகீழ் அணி முறை ஒரு சிறப்பு வழக்கு அணி சமன்பாடு

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு: கணினியை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதுகிறோம் (கடைசி சூத்திரத்தைப் பார்க்கவும்)

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் காண்கிறோம்:
, மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் இயற்கணித நிரப்புகளின் இடமாற்ற அணி எங்கே.

முதலில், தீர்மானிப்பதைப் பார்ப்போம்:

இங்கே தீர்மானிப்பான் முதல் வரியில் விரிவடைகிறது.

கவனம்! தலைகீழ் அணி இல்லை என்றால், மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்க முடியாது. இந்த வழக்கில், தெரியாத முறை (காசியன் முறை) அகற்றுவதன் மூலம் கணினி தீர்க்கப்படுகிறது.

இப்போது நாம் 9 மைனர்களைக் கணக்கிட்டு அவற்றை மைனர்ஸ் மேட்ரிக்ஸில் எழுத வேண்டும்

குறிப்பு:நேரியல் இயற்கணிதத்தில் இரட்டை சப்ஸ்கிரிப்ட்களின் பொருளை அறிவது பயனுள்ளது. முதல் இலக்கமானது உறுப்பு அமைந்துள்ள கோட்டின் எண்ணிக்கையாகும். இரண்டாவது இலக்கமானது உறுப்பு அமைந்துள்ள நெடுவரிசையின் எண்ணிக்கை:

அதாவது, இரட்டை சப்ஸ்கிரிப்ட் என்பது உறுப்பு முதல் வரிசையில், மூன்றாவது நெடுவரிசையில் இருப்பதையும், எடுத்துக்காட்டாக, உறுப்பு 3 வரிசை, 2 நெடுவரிசையில் இருப்பதையும் குறிக்கிறது.

தீர்வின் போது, ​​சிறார்களின் கணக்கீட்டை விரிவாக விவரிப்பது நல்லது, இருப்பினும் சில அனுபவங்களுடன் நீங்கள் வாய்வழியாக பிழைகள் மூலம் அவற்றைக் கணக்கிடப் பழகலாம்.

சிறார்களைக் கணக்கிடும் வரிசை முற்றிலும் முக்கியமற்றது; சிறார்களை நெடுவரிசைகளால் கணக்கிட முடிந்தது (இது இன்னும் வசதியானது).

இதனால்:

- மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் சிறார்களின் அணி.

- இயற்கணித சேர்த்தல்களின் அணி.

- இயற்கணித சேர்த்தல்களின் இடமாற்ற அணி.

நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், பாடத்தில் செய்யப்பட்ட படிகளை விரிவாக விவாதித்தோம். மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

இப்போது நாம் தலைகீழ் அணியை எழுதுகிறோம்:

எந்த சூழ்நிலையிலும் நாம் அதை மேட்ரிக்ஸில் உள்ளிடக்கூடாது, இது மேலும் கணக்கீடுகளை தீவிரமாக சிக்கலாக்கும். மேட்ரிக்ஸில் உள்ள அனைத்து எண்களும் மீதி இல்லாமல் 60 ஆல் வகுக்கப்பட்டால் வகுத்தல் செய்யப்பட வேண்டும். ஆனால் இந்த விஷயத்தில் மேட்ரிக்ஸில் ஒரு கழித்தல் மிகவும் அவசியம், மாறாக, இது மேலும் கணக்கீடுகளை எளிதாக்கும்.

எஞ்சியிருப்பது மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தைச் செய்வது மட்டுமே. வகுப்பில் மெட்ரிக்குகளை எவ்வாறு பெருக்குவது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ளலாம். மெட்ரிக்குகளுடன் செயல்கள். மூலம், அதே உதாரணம் அங்கு பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது.

60 ஆல் வகுத்தல் செய்யப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க அனைத்து கடைசி.
சில நேரங்களில் அது முற்றிலும் பிரிக்கப்படாமல் இருக்கலாம், அதாவது. "மோசமான" பின்னங்கள் ஏற்படலாம். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் என்ன செய்ய வேண்டும் என்பதை நாங்கள் கிராமரின் விதியைப் பார்த்தபோது நான் ஏற்கனவே சொன்னேன்.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 12

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்.

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு (இறுதி வடிவமைப்பின் மாதிரி மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பதில்).

அமைப்பைத் தீர்க்க மிகவும் உலகளாவிய வழி தெரியாதவற்றை நீக்கும் முறை (காசியன் முறை). அல்காரிதத்தை தெளிவாக விளக்குவது அவ்வளவு எளிதானது அல்ல, ஆனால் நான் முயற்சித்தேன்!

நான் உங்கள் வெற்றிக்காக வாழ்த்துகின்றேன்!

பதில்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 3:

எடுத்துக்காட்டு 6:

எடுத்துக்காட்டு 8: , . இந்த உதாரணத்திற்கான மாதிரி தீர்வை நீங்கள் பார்க்கலாம் அல்லது பதிவிறக்கலாம் (கீழே உள்ள இணைப்பு).

எடுத்துக்காட்டுகள் 10, 12:

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை நாங்கள் தொடர்ந்து கருதுகிறோம். இந்த பாடம் தலைப்பில் மூன்றாவது. பொதுவாக நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்ன என்பது பற்றிய தெளிவற்ற யோசனை உங்களுக்கு இருந்தால், நீங்கள் ஒரு தேநீர் தொட்டி போல் உணர்ந்தால், அடுத்த பக்கத்தில் உள்ள அடிப்படைகளுடன் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறேன், பாடத்தைப் படிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

காசியன் முறை எளிதானது!ஏன்? பிரபல ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஜோஹன் கார்ல் ஃபிரெட்ரிக் காஸ், அவரது வாழ்நாளில், எல்லா காலத்திலும் சிறந்த கணிதவியலாளர், மேதை மற்றும் "கணிதத்தின் ராஜா" என்ற புனைப்பெயரைப் பெற்றார். மற்றும் புத்திசாலித்தனமான அனைத்தும், உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, எளிமையானது!மூலம், உறிஞ்சுபவர்கள் பணம் பெறுவது மட்டுமல்லாமல், மேதைகளும் கூட - காஸின் உருவப்படம் 10 டாய்ச்மார்க் ரூபாய் நோட்டில் இருந்தது (யூரோவை அறிமுகப்படுத்துவதற்கு முன்பு), மற்றும் காஸ் இன்னும் சாதாரண தபால்தலைகளிலிருந்து ஜேர்மனியர்களைப் பார்த்து மர்மமான முறையில் புன்னகைக்கிறார்.

காஸ் முறை எளிமையானது, அதில் தேர்ச்சி பெற ஐந்தாம் வகுப்பு மாணவரின் அறிவு போதுமானது. கூட்டி பெருக்க தெரிந்திருக்க வேண்டும்!பள்ளிக் கணிதத் தேர்வுகளில் தெரியாதவர்களை வரிசையாக விலக்கும் முறையை ஆசிரியர்கள் அடிக்கடி கருதுவது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல. இது ஒரு முரண்பாடு, ஆனால் மாணவர்கள் காசியன் முறையை மிகவும் கடினமாகக் காண்கிறார்கள். ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை - இது முறையைப் பற்றியது, மேலும் அணுகக்கூடிய வடிவத்தில் முறையின் வழிமுறையைப் பற்றி பேச முயற்சிப்பேன்.

முதலில், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் பற்றிய சிறிய அறிவை முறைப்படுத்துவோம். நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு:

1) ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.
2) எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.
3) தீர்வுகள் இல்லை (இருக்கவும் கூட்டு அல்லாத).

காஸ் முறை ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மிகவும் சக்திவாய்ந்த மற்றும் உலகளாவிய கருவியாகும் ஏதேனும்நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். நாம் நினைவில் வைத்திருப்பது போல், க்ரேமர் விதி மற்றும் அணி முறைகணினி எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும் அல்லது சீரற்றதாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் பொருத்தமற்றது. மற்றும் தெரியாதவற்றை வரிசையாக நீக்கும் முறை எப்படியும்விடைக்கு நம்மை அழைத்துச் செல்லும்! இந்த பாடத்தில், வழக்கு எண் 1 க்கான காஸ் முறையை மீண்டும் கருத்தில் கொள்வோம் (அமைப்புக்கான ஒரே தீர்வு), ஒரு கட்டுரை புள்ளிகள் எண் 2-3 இன் சூழ்நிலைகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. முறையின் அல்காரிதம் மூன்று நிகழ்வுகளிலும் ஒரே மாதிரியாக செயல்படுகிறது என்பதை நான் கவனிக்கிறேன்.

பாடத்திலிருந்து எளிமையான முறைக்குத் திரும்புவோம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது?
காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்க்கவும்.

முதல் படி எழுதுவது நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி அணி:
. குணகங்கள் எந்தக் கொள்கையால் எழுதப்படுகின்றன என்பதை அனைவரும் பார்க்கலாம் என்று நினைக்கிறேன். மேட்ரிக்ஸின் உள்ளே உள்ள செங்குத்து கோடு எந்த கணித அர்த்தத்தையும் கொண்டிருக்கவில்லை - இது வடிவமைப்பை எளிதாக்குவதற்கான ஒரு வேலைநிறுத்தமாகும்.

குறிப்பு: நீங்கள் நினைவில் கொள்ள பரிந்துரைக்கிறேன்விதிமுறை நேரியல் இயற்கணிதம்.சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்களால் மட்டுமே உருவாக்கப்பட்ட ஒரு அணி, இந்த எடுத்துக்காட்டில் கணினி அணி: . விரிவாக்கப்பட்ட சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் - இது கணினியின் அதே மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசை, இந்த விஷயத்தில்: . சுருக்கத்திற்கு, எந்த மெட்ரிக்ஸையும் வெறுமனே அணி என்று அழைக்கலாம்.

நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் அமைப்பு எழுதப்பட்ட பிறகு, அதனுடன் சில செயல்களைச் செய்வது அவசியம், அவை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன அடிப்படை மாற்றங்கள்.

பின்வரும் அடிப்படை மாற்றங்கள் உள்ளன:

1) சரங்கள்மெட்ரிக்குகள் மறுசீரமைக்க முடியும்சில இடங்களில். எடுத்துக்காட்டாக, பரிசீலனையில் உள்ள மேட்ரிக்ஸில், நீங்கள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசைகளை வலியின்றி மறுசீரமைக்கலாம்:

2) மேட்ரிக்ஸில் விகிதாசார (சிறப்பு நிகழ்வாக - ஒரே மாதிரியான) வரிசைகள் இருந்தால் (அல்லது தோன்றியிருந்தால்), நீங்கள் செய்ய வேண்டும் அழிஇந்த வரிசைகள் அனைத்தும் மேட்ரிக்ஸில் இருந்து ஒன்று தவிர. உதாரணமாக, மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் . இந்த மேட்ரிக்ஸில், கடைசி மூன்று வரிசைகள் விகிதாசாரமாக உள்ளன, எனவே அவற்றில் ஒன்றை மட்டும் விட்டுவிட்டால் போதும்: .

3) உருமாற்றங்களின் போது மேட்ரிக்ஸில் பூஜ்ஜிய வரிசை தோன்றினால், அதுவும் இருக்க வேண்டும் அழி. நான் வரைய மாட்டேன், நிச்சயமாக, பூஜ்ஜியக் கோடு அதில் உள்ள கோடு அனைத்து பூஜ்ஜியங்கள்.

4) மேட்ரிக்ஸ் வரிசை இருக்கலாம் பெருக்கவும் (வகுக்கவும்)எந்த எண்ணுக்கும் பூஜ்யம் அல்லாத. உதாரணமாக, மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள். இங்கே முதல் வரியை –3 ஆல் வகுத்து, இரண்டாவது வரியை 2 ஆல் பெருக்குவது நல்லது: . இந்த செயல் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இது மேட்ரிக்ஸின் மேலும் மாற்றங்களை எளிதாக்குகிறது.

5) இந்த மாற்றம் மிகவும் சிரமங்களை ஏற்படுத்துகிறது, ஆனால் உண்மையில் சிக்கலான ஒன்றும் இல்லை. மேட்ரிக்ஸின் ஒரு வரிசைக்கு உங்களால் முடியும் ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்படும் மற்றொரு சரத்தைச் சேர்க்கவும், பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. ஒரு நடைமுறை உதாரணத்திலிருந்து எங்கள் மேட்ரிக்ஸைப் பார்ப்போம்: முதலில் நான் மாற்றத்தை விரிவாக விவரிக்கிறேன். முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கவும்: , மற்றும் இரண்டாவது வரியில் முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்குவோம்: . இப்போது முதல் வரியை “பின்” –2 ஆல் பிரிக்கலாம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ADD என்று வரி LI – மாறவில்லை. எப்போதும்சேர்க்கப்படும் வரி மாறுகிறது UT.

நடைமுறையில், நிச்சயமாக, அவர்கள் அதை விரிவாக எழுதவில்லை, ஆனால் சுருக்கமாக எழுதுங்கள்:

மீண்டும்: இரண்டாவது வரிக்கு முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கியது. ஒரு வரி பொதுவாக வாய்வழியாக அல்லது வரைவில் பெருக்கப்படுகிறது, மனக் கணக்கீடு செயல்முறை இது போன்றது:

"நான் மேட்ரிக்ஸை மீண்டும் எழுதுகிறேன் மற்றும் முதல் வரியை மீண்டும் எழுதுகிறேன்:"

“முதல் நெடுவரிசை. கீழே நான் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற வேண்டும். எனவே, மேலே உள்ளதை –2: ஆல் பெருக்கி, முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கிறேன்: 2 + (–2) = 0. முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறேன்: »

“இப்போது இரண்டாவது பத்தி. மேலே, நான் -1 ஆல் -2: பெருக்குகிறேன். நான் முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கிறேன்: 1 + 2 = 3. முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறேன்: "

"மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசை. மேலே நான் -5 ஐ -2 ஆல் பெருக்குகிறேன்: . நான் முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கிறேன்: –7 + 10 = 3. முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறேன்: »

தயவுசெய்து இந்த உதாரணத்தை கவனமாகப் புரிந்துகொண்டு, வரிசையான கணக்கீட்டு வழிமுறையைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள், இதை நீங்கள் புரிந்து கொண்டால், காஸியன் முறை நடைமுறையில் உங்கள் பாக்கெட்டில் உள்ளது. ஆனால், நிச்சயமாக, இந்த மாற்றத்தில் நாங்கள் இன்னும் வேலை செய்வோம்.

அடிப்படை மாற்றங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வை மாற்றாது

! கவனம்:கையாளுதல்கள் என்று கருதப்படுகிறது பயன்படுத்த முடியாது, மெட்ரிக்குகள் "அவர்களாலேயே" வழங்கப்படும் பணி உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டால். எடுத்துக்காட்டாக, "கிளாசிக்கல்" உடன் மெட்ரிக்குகளுடன் செயல்பாடுகள்எந்த சூழ்நிலையிலும் நீங்கள் மெட்ரிக்குகளுக்குள் எதையும் மறுசீரமைக்கக்கூடாது!

நமது அமைப்புக்கு திரும்புவோம். இது ஏற்கனவே கிட்டத்தட்ட தீர்க்கப்பட்டுள்ளது.

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதைக் குறைப்போம் படிநிலை பார்வை:

(1) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. மூலம், நாம் ஏன் முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்குகிறோம்? கீழே பூஜ்ஜியத்தைப் பெற, அதாவது இரண்டாவது வரியில் ஒரு மாறியை அகற்றுவது.

(2) இரண்டாவது வரியை 3 ஆல் வகுக்கவும்.

அடிப்படை மாற்றங்களின் நோக்கம்– மேட்ரிக்ஸை படிப்படியாக படிவமாக குறைக்கவும்: . பணியின் வடிவமைப்பில், அவர்கள் "படிகளை" ஒரு எளிய பென்சிலால் குறிக்கிறார்கள், மேலும் "படிகளில்" அமைந்துள்ள எண்களை வட்டமிடுகிறார்கள். "படிக்காட்சி" என்ற சொல் முற்றிலும் தத்துவார்த்தமானது அல்ல, இது பெரும்பாலும் அறிவியல் மற்றும் கல்வி இலக்கியங்களில் அழைக்கப்படுகிறது trapezoidal பார்வைஅல்லது முக்கோண பார்வை.

அடிப்படை மாற்றங்களின் விளைவாக, நாங்கள் பெற்றோம் இணையானஅசல் சமன்பாடு அமைப்பு:

இப்போது கணினியை எதிர் திசையில் "அவிழ்க்க" வேண்டும் - கீழே இருந்து மேல், இந்த செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது காஸியன் முறையின் தலைகீழ்.

குறைந்த சமன்பாட்டில் ஏற்கனவே ஒரு ஆயத்த முடிவு உள்ளது: .

கணினியின் முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு, ஏற்கனவே அறியப்பட்ட "y" மதிப்பை மாற்றுவோம்:

காஸியன் முறையானது மூன்று அறியப்படாத மூன்று நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும் போது மிகவும் பொதுவான சூழ்நிலையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம்:

தீர்வின் போது நாம் வரும் முடிவை இப்போது நான் உடனடியாக வரைகிறேன்:

நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவதே எங்கள் குறிக்கோள். எங்கு தொடங்குவது?

முதலில், மேல் இடது எண்ணைப் பாருங்கள்:

கிட்டத்தட்ட எப்போதும் இங்கே இருக்க வேண்டும் அலகு. பொதுவாக, –1 (மற்றும் சில நேரங்களில் மற்ற எண்கள்) செய்யும், ஆனால் எப்படியோ பாரம்பரியமாக ஒன்று வழக்கமாக அங்கு வைக்கப்படும். ஒரு யூனிட்டை எவ்வாறு ஒழுங்கமைப்பது? நாங்கள் முதல் நெடுவரிசையைப் பார்க்கிறோம் - எங்களிடம் முடிக்கப்பட்ட அலகு உள்ளது! மாற்றம் ஒன்று: முதல் மற்றும் மூன்றாவது வரிகளை மாற்றவும்:

இப்போது தீர்வு முடியும் வரை முதல் வரி மாறாமல் இருக்கும். இப்போது சரி.

மேல் இடது மூலையில் உள்ள அலகு ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளது. இப்போது நீங்கள் இந்த இடங்களில் பூஜ்ஜியங்களைப் பெற வேண்டும்:

"கடினமான" மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பூஜ்ஜியங்களைப் பெறுகிறோம். முதலில் நாம் இரண்டாவது வரியை (2, –1, 3, 13) கையாள்வோம். முதல் நிலையில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற என்ன செய்ய வேண்டும்? வேண்டும் இரண்டாவது வரியில் முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கவும். மனரீதியாக அல்லது வரைவில், முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கவும்: (–2, –4, 2, –18). நாங்கள் தொடர்ந்து (மீண்டும் மனரீதியாக அல்லது வரைவில்) கூடுதலாகச் செய்கிறோம், இரண்டாவது வரியில் நாம் முதல் வரியைச் சேர்க்கிறோம், ஏற்கனவே –2 ஆல் பெருக்கப்பட்டுள்ளது:

முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறோம்:

மூன்றாவது வரியை நாங்கள் அதே வழியில் கையாளுகிறோம் (3, 2, -5, -1). முதல் நிலையில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற, உங்களுக்குத் தேவை மூன்றாவது வரியில் முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்கவும். மனரீதியாக அல்லது வரைவில், முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்கவும்: (–3, –6, 3, –27). மற்றும் மூன்றாவது வரியில் முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்குவோம்:

முடிவை மூன்றாவது வரியில் எழுதுகிறோம்:

நடைமுறையில், இந்த செயல்கள் பொதுவாக வாய்வழியாகச் செய்யப்படுகின்றன மற்றும் ஒரு படியில் எழுதப்படுகின்றன:

எல்லாவற்றையும் ஒரே நேரத்தில் எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை. கணக்கீடுகளின் வரிசை மற்றும் முடிவுகளை "உள்ளிடுதல்" சீரானபொதுவாக இது இப்படித்தான் இருக்கும்: முதலில் நாம் முதல் வரியை மீண்டும் எழுதுகிறோம், மெதுவாக நம்மை நாமே கொப்பளிக்கிறோம் - தொடர்ந்து மற்றும் கவனத்துடன்:

மேலே உள்ள கணக்கீடுகளின் மன செயல்முறையை நான் ஏற்கனவே விவாதித்தேன்.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், இதைச் செய்வது எளிது; அதே நேரத்தில், மூன்றாவது வரியை –2 ஆல் வகுக்கிறோம், ஏனெனில் சிறிய எண்கள், எளிமையான தீர்வு:

அடிப்படை மாற்றங்களின் இறுதி கட்டத்தில், நீங்கள் இங்கே மற்றொரு பூஜ்ஜியத்தைப் பெற வேண்டும்:

இதற்காக மூன்றாவது வரியில் நாம் இரண்டாவது வரியை –2 ஆல் பெருக்குகிறோம்:

இந்த செயலை நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும் - மனதளவில் இரண்டாவது வரியை –2 ஆல் பெருக்கி, கூட்டலைச் செய்யவும்.

கடைசியாக நிகழ்த்தப்பட்ட செயல் முடிவின் சிகை அலங்காரம், மூன்றாவது வரியை 3 ஆல் வகுக்கவும்.

அடிப்படை மாற்றங்களின் விளைவாக, நேரியல் சமன்பாடுகளின் சமமான அமைப்பு பெறப்பட்டது:

குளிர்.

இப்போது காஸியன் முறையின் தலைகீழ் நடைமுறைக்கு வருகிறது. சமன்பாடுகள் கீழிருந்து மேல் வரை "விரிந்து".

மூன்றாவது சமன்பாட்டில் ஏற்கனவே ஒரு தயாராக முடிவு உள்ளது:

இரண்டாவது சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்: . "zet" என்பதன் பொருள் ஏற்கனவே அறியப்பட்டுள்ளது, இவ்வாறு:

இறுதியாக, முதல் சமன்பாடு: . "Igrek" மற்றும் "zet" அறியப்படுகின்றன, இது சிறிய விஷயங்களின் விஷயம்:

பதில்:

மீண்டும் மீண்டும் குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எந்தவொரு சமன்பாடு அமைப்புக்கும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வைச் சரிபார்க்க இது சாத்தியம் மற்றும் அவசியம், அதிர்ஷ்டவசமாக, இது எளிதானது மற்றும் விரைவானது.

எடுத்துக்காட்டு 2

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு, இறுதி வடிவமைப்பின் மாதிரி மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் ஒரு பதில்.

உங்கள் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் முடிவின் முன்னேற்றம்எனது முடிவு செயல்முறையுடன் ஒத்துப்போகாமல் இருக்கலாம், மேலும் இது காஸ் முறையின் அம்சமாகும். ஆனால் பதில்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்!

எடுத்துக்காட்டு 3

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

மேல் இடது "படியை" பார்க்கிறோம். நாம் அங்கே ஒன்றை வைத்திருக்க வேண்டும். பிரச்சனை என்னவென்றால், முதல் நெடுவரிசையில் அலகுகள் எதுவும் இல்லை, எனவே வரிசைகளை மறுசீரமைப்பது எதையும் தீர்க்காது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், அலகு ஒரு அடிப்படை மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒழுங்கமைக்கப்பட வேண்டும். இது பொதுவாக பல வழிகளில் செய்யப்படலாம். நான் இதைச் செய்தேன்: (1) முதல் வரியில் நாம் இரண்டாவது வரியைச் சேர்க்கிறோம், அதை –1 ஆல் பெருக்குகிறோம். அதாவது, மனதளவில் இரண்டாவது வரியை –1 ஆல் பெருக்கி முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகளைச் சேர்த்தோம், அதே நேரத்தில் இரண்டாவது வரி மாறவில்லை.

இப்போது மேல் இடதுபுறம் -1, இது எங்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது. +1 பெற விரும்பும் எவரும் கூடுதல் இயக்கத்தைச் செய்யலாம்: முதல் வரியை –1 ஆல் பெருக்கவும் (அதன் அடையாளத்தை மாற்றவும்).

(2) முதல் வரி 5 ஆல் பெருக்கப்பட்டது இரண்டாவது வரியில் முதல் வரி 3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

(3) முதல் வரி -1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, கொள்கையளவில், இது அழகுக்கானது. மூன்றாவது வரியின் அடையாளமும் மாற்றப்பட்டது, அது இரண்டாவது இடத்திற்கு மாற்றப்பட்டது, இதனால் இரண்டாவது "படியில்" எங்களுக்கு தேவையான அலகு இருந்தது.

(4) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, 2 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

(5) மூன்றாவது வரி 3 ஆல் வகுக்கப்பட்டது.

கணக்கீடுகளில் பிழையைக் குறிக்கும் ஒரு மோசமான அறிகுறி (மிகவும் அரிதாக, எழுத்துப்பிழை) ஒரு "மோசமான" அடிப்பகுதி. அதாவது, கீழே, மற்றும், அதன்படி, நமக்கு ஏதாவது கிடைத்தால், , பின்னர் அதிக அளவு நிகழ்தகவுடன், அடிப்படை மாற்றங்களின் போது பிழை ஏற்பட்டது என்று கூறலாம்.

நாங்கள் தலைகீழ் கட்டணம் வசூலிக்கிறோம், எடுத்துக்காட்டுகளின் வடிவமைப்பில் அவை பெரும்பாலும் கணினியை மீண்டும் எழுதுவதில்லை, ஆனால் சமன்பாடுகள் "கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸிலிருந்து நேரடியாக எடுக்கப்படுகின்றன." தலைகீழ் நகர்வு, நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், கீழே இருந்து மேலே வேலை செய்கிறது:
ஆம், இங்கே ஒரு பரிசு:

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 4

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

நீங்கள் சொந்தமாக தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு, இது சற்று சிக்கலானது. யாரேனும் குழம்பினால் பரவாயில்லை. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் மாதிரி வடிவமைப்பு. உங்கள் தீர்வு எனது தீர்விலிருந்து வேறுபட்டிருக்கலாம்.

கடைசி பகுதியில் காஸியன் அல்காரிதத்தின் சில அம்சங்களைப் பார்ப்போம்.
முதல் அம்சம் என்னவென்றால், சில நேரங்களில் சில மாறிகள் கணினி சமன்பாடுகளில் காணவில்லை, எடுத்துக்காட்டாக:

நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி மேட்ரிக்ஸை எவ்வாறு சரியாக எழுதுவது? நான் ஏற்கனவே வகுப்பில் இதைப் பற்றி பேசினேன். கிராமர் விதி. மேட்ரிக்ஸ் முறை. கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில், விடுபட்ட மாறிகளுக்குப் பதிலாக பூஜ்ஜியங்களை வைக்கிறோம்:

முதல் நெடுவரிசையில் ஏற்கனவே ஒரு பூஜ்ஜியம் இருப்பதால், இது மிகவும் எளிதான உதாரணம்.

இரண்டாவது அம்சம் இது. கருதப்பட்ட அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளிலும், "படிகளில்" -1 அல்லது +1 ஐ வைத்தோம். வேறு எண்கள் இருக்க முடியுமா? சில சந்தர்ப்பங்களில் அவர்களால் முடியும். அமைப்பைக் கவனியுங்கள்: .

இங்கே மேல் இடது "படியில்" நமக்கு இரண்டு உள்ளது. ஆனால் முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள அனைத்து எண்களும் மீதி இல்லாமல் 2 ஆல் வகுபடும் - மற்றொன்று இரண்டு மற்றும் ஆறு என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். மற்றும் மேல் இடது இரண்டு எங்களுக்கு பொருந்தும்! முதல் கட்டத்தில், நீங்கள் பின்வரும் மாற்றங்களைச் செய்ய வேண்டும்: முதல் வரியை –1 ஆல் பெருக்கி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கவும்; மூன்றாவது வரியில் முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்கவும். இதன் மூலம் முதல் நெடுவரிசையில் தேவையான பூஜ்ஜியங்களைப் பெறுவோம்.

அல்லது மற்றொரு வழக்கமான உதாரணம்: . இங்கே இரண்டாவது “படியில்” உள்ள மூன்றும் நமக்குப் பொருந்தும், ஏனெனில் 12 (நாம் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற வேண்டிய இடம்) மீதம் இல்லாமல் 3 ஆல் வகுபடும். பின்வரும் மாற்றத்தைச் செய்ய வேண்டியது அவசியம்: மூன்றாவது வரியில் இரண்டாவது வரியைச் சேர்க்கவும், –4 ஆல் பெருக்கவும், இதன் விளைவாக நமக்குத் தேவையான பூஜ்ஜியம் பெறப்படும்.

காஸின் முறை உலகளாவியது, ஆனால் ஒரு தனித்தன்மை உள்ளது. பிற முறைகளைப் பயன்படுத்தி கணினிகளைத் தீர்க்க நீங்கள் நம்பிக்கையுடன் கற்றுக்கொள்ளலாம் (க்ரேமர் முறை, மேட்ரிக்ஸ் முறை) உண்மையில் முதல் முறையாக - அவை மிகவும் கண்டிப்பான வழிமுறையைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் காஸியன் முறையில் நம்பிக்கையை உணர, நீங்கள் "உங்கள் பற்கள்" மற்றும் குறைந்தது 5-10 பத்து அமைப்புகளை தீர்க்க வேண்டும். எனவே, முதலில் கணக்கீடுகளில் குழப்பம் மற்றும் பிழைகள் இருக்கலாம், இதில் அசாதாரணமான அல்லது சோகமான எதுவும் இல்லை.

ஜன்னலுக்கு வெளியே மழை பெய்யும் இலையுதிர் காலநிலை.... எனவே, மிகவும் சிக்கலான உதாரணத்தை தாங்களாகவே தீர்க்க விரும்பும் அனைவருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 5

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நான்கு தெரியாதவைகளுடன் 4 நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

அத்தகைய பணி நடைமுறையில் மிகவும் அரிதானது அல்ல. இந்தப் பக்கத்தை முழுமையாகப் படித்த ஒரு டீபாட் கூட அத்தகைய அமைப்பை உள்ளுணர்வாகத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையைப் புரிந்துகொள்வார் என்று நினைக்கிறேன். அடிப்படையில், எல்லாம் ஒன்றுதான் - இன்னும் பல செயல்கள் உள்ளன.

கணினியில் தீர்வுகள் இல்லாத (சீரற்ற) அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும் சந்தர்ப்பங்கள் பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகின்றன பொதுவான தீர்வுடன் பொருந்தாத அமைப்புகள் மற்றும் அமைப்புகள். காஸியன் முறையின் கருதப்பட்ட அல்காரிதத்தை அங்கு நீங்கள் சரிசெய்யலாம்.

நான் உங்கள் வெற்றிக்காக வாழ்த்துகின்றேன்!

தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 2: கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்.

அடிப்படை மாற்றங்கள் நிகழ்த்தப்பட்டன:
(1) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. முதல் வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.கவனம்! இங்கே நீங்கள் மூன்றாவது வரியில் இருந்து முதல் கழிக்க ஆசைப்படலாம், அதை கழிக்க வேண்டாம் என்று நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன் - பிழையின் ஆபத்து பெரிதும் அதிகரிக்கிறது. அதை மடியுங்கள்!
(2) இரண்டாவது வரியின் அடையாளம் மாற்றப்பட்டது (–1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது). இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகள் மாற்றப்பட்டுள்ளன.குறிப்பு , "படிகளில்" நாங்கள் ஒன்றில் மட்டும் திருப்தி அடைகிறோம், ஆனால் -1, இன்னும் வசதியானது.
(3) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, 5 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.
(4) இரண்டாவது வரியின் அடையாளம் மாற்றப்பட்டது (–1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது). மூன்றாவது வரி 14 ஆல் வகுக்கப்பட்டது.

தலைகீழ்:


பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 4: கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

நிகழ்த்தப்பட்ட மாற்றங்கள்:
(1) முதல் வரியில் இரண்டாவது வரி சேர்க்கப்பட்டது. எனவே, விரும்பிய அலகு மேல் இடது "படியில்" ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளது.
(2) முதல் வரி 7 ஆல் பெருக்கப்பட்டது இரண்டாவது வரியில் முதல் வரி 6 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

இரண்டாவது "படி" மூலம் எல்லாம் மோசமாகிறது , அதற்கான "வேட்பாளர்கள்" எண்கள் 17 மற்றும் 23 ஆகும், மேலும் நமக்கு ஒன்று அல்லது -1 தேவை. மாற்றங்கள் (3) மற்றும் (4) விரும்பிய அலகு பெறுவதை நோக்கமாகக் கொண்டிருக்கும்

(3) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –1.
(4) மூன்றாவது வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, அது –3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.
இரண்டாவது படியில் தேவையான பொருள் பெறப்பட்டது .
(5) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியுடன் சேர்க்கப்பட்டு, 6 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.
(6) இரண்டாவது வரி –1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, மூன்றாவது வரி -83 ஆல் வகுக்கப்பட்டது.ஒரே கோட்டில் இல்லாத மூன்று வெவ்வேறு புள்ளிகளால் விமானம் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பது வெளிப்படையானது. எனவே, விமானங்களின் மூன்று-எழுத்து பெயர்கள் மிகவும் பிரபலமாக உள்ளன - அவற்றிற்குச் சொந்தமான புள்ளிகளால், எடுத்துக்காட்டாக, ; .இலவச உறுப்பினர்கள் என்றால்