Ang mga ekspresyong 5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2, b 2 x ay mga produkto ng mga numero, variable at kapangyarihan ng mga ito. Ang mga ganitong ekspresyon ay tinatawag monomials. Ang mga numero, mga variable at ang kanilang mga kapangyarihan ay itinuturing ding mga monomial.

Halimbawa, ang mga expression - 8, 35,y at y 2 - ay monomials.

Pamantayang anyo ng monomial ay tinatawag na monomial sa anyo ng produkto ng isang numerical factor sa unang lugar at mga kapangyarihan ng iba't ibang mga variable. Anumang monomial ay maaaring bawasan sa isang karaniwang anyo sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat ng mga variable at numero na kasama dito. Narito ang isang halimbawa ng pagbabawas ng monomial sa karaniwang anyo:

4x 2 y 4 (-5)yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5

Ang numerical factor ng isang monomial na nakasulat sa karaniwang anyo ay tinatawag koepisyentmonomial. Halimbawa, ang koepisyent ng monomial -12сx 6 y 5 ay katumbas ng -12. Ang mga coefficient ng monomials x 3 at -xy ay itinuturing na katumbas ng 1 at -1, dahil x 7 = 1x 7 at -xy = -1xy

Sa pamamagitan ng kapangyarihan ng monomial tawagan ang kabuuan ng mga exponent ng lahat ng mga variable na kasama dito. Kung ang isang monomial ay hindi naglalaman ng mga variable, iyon ay, ito ay isang numero, kung gayon ang antas nito ay itinuturing na katumbas ng zero.

Halimbawa, ang antas ng monomial 8x 3 yz 2 ay 6, ang antas ng monomial na 6x ay 1, ang antas ng monomial -10 ay 0.

Polinomyal ay tinatawag na kabuuan ng monomials.

Ang mga monomial na bumubuo sa isang polynomial ay tinatawag na mga miyembro ng polynomial. Kaya ang mga tuntunin ng polynomial 4x 2 y - 5xy + 3x -1 ay 4x 2 y, -5xy, 3x at -1.

Kung ang isang polynomial ay binubuo ng dalawang termino, kung gayon ito ay tinatawag na isang binomial, kung ito ay binubuo ng tatlo, ito ay tinatawag na isang trinomial. Ang isang monomial ay itinuturing na isang polynomial na binubuo ng isang termino.

Sa polynomial na 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6, ang mga terminong 7x 3 y 2 at - 2y 2 x 3 ay magkatulad na termino dahil pareho ang bahagi ng titik. Ang mga termino -12 at 6, na walang bahagi ng titik, ay magkatulad din. Ang mga magkatulad na termino sa isang polynomial ay tinatawag na katulad na mga termino ng isang polynomial, at ang pagbabawas ng mga katulad na termino sa isang polynomial ay tinatawag na isang pagbabawas ng mga katulad na termino ng isang polynomial.

Ibigay natin bilang isang halimbawa ang mga katulad na termino sa polynomial 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6.

Ang polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo, kung ang bawat isa sa mga termino nito ay isang monomial ng karaniwang anyo at ang polynomial na ito ay hindi naglalaman ng mga katulad na termino.

Anumang polynomial ay maaaring bawasan sa karaniwang anyo. Upang gawin ito, kailangan mong ipakita ang bawat isa sa mga miyembro nito sa karaniwang anyo at magdala ng mga katulad na termino.

Polynomial degree ang karaniwang anyo ay ang pinakamalaki sa mga kapangyarihan ng mga monomial na kasama dito.

Ang antas ng isang arbitrary na polynomial ay ang antas ng isang magkaparehong polynomial ng karaniwang anyo.

Halimbawa, hanapin natin ang antas ng polynomial 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4:

8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 = 4x 2 y -6.

Tandaan na ang orihinal na polynomial ay kinabibilangan ng mga monomial ng ikaanim na degree, ngunit kapag ang mga katulad na termino ay nabawasan, lahat ng mga ito ay nabawasan, at ang resulta ay isang polynomial ng ikatlong degree, na nangangahulugang ang orihinal na polynomial ay may degree na 3!

Mga tanong para sa mga tala

Given a polynomial P(x) = 2x 3 - 6x 2 - 5x + 4. Kalkulahin ang P(1).

Tukuyin ang antas ng polynomial: 3a 4 - 5a 3 - 2a 5

Sa ika-7 baitang, ang mga mag-aaral ay ipakikilala sa mga bagong konsepto at paksa bilang bahagi ng kursong algebra. Nagbubukas ang mga bagong pinto para sa kanila sa isang kaakit-akit na labirint na tinatawag na matematika. Kabilang dito ang pag-aaral ng mga monomial at polynomial, pati na rin ang kanilang aplikasyon.

Ano ito?

Una, unawain natin ang mga konsepto. Mayroong maraming mga tiyak na expression sa matematika, marami sa mga ito ay may sariling mga nakapirming pangalan. Ang isa sa mga salitang ito ay monomial. Ito ay isang mathematical term na binubuo ng isang produkto ng mga numero, mga variable, ang bawat isa ay maaaring lumitaw sa produkto sa ilang lawak. Polinomyal, ayon sa kahulugan, ito ay algebraic expression, na siyang kabuuan ng monomials. Madalas may kailangang dalhin monomial sa karaniwang anyo nito. Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerical factor na nasa monomial at ilagay ang resultang numero sa unang lugar. Pagkatapos ay i-multiply ang lahat ng kapangyarihan na may parehong base ng titik. Ang isang polynomial ay dinadala din sa isang karaniwang anyo; ito ay isang produkto na binubuo ng isang numerical factor at mga kapangyarihan ng iba't ibang mga variable.

Mga bato sa ilalim ng tubig

Tila, sa unang sulyap, walang anumang nakamamatay na kumplikado, ngunit para sa mga modernong mag-aaral ay may isang bilang ng mga pangyayari na maaaring ulap ang larawan. Malaking bilang ng mga item kurikulum ng paaralan, ang kabuuang kakulangan sa oras ng pag-aaral, isang makataong pag-iisip sa maraming bata, pati na rin ang pangunahing pagkapagod ay maaaring maging napakahirap na matuto ng bagong materyal. Madalas na nangyayari na ang isang bata, na hindi naiintindihan ang isang bagay, ay nahihiya o natatakot na magtanong sa guro, ngunit hindi niya ma-master ang paksa sa kanyang sarili, at nagsisimula ang mga paghihirap.

Paglutas ng problema

Mayroong ilang mga paraan upang maiwasan ang mga pitfalls na ito. Una, dapat bigyang-pansin ng mga magulang ng mga mag-aaral kung paano nakayanan ng kanilang anak ang programa sa pangkalahatan at partikular ang mga sakop na paksa. Hindi ito dapat kumuha ng anyo ng mahigpit na pangangasiwa o kontrol sa bata, ngunit ang layunin ay dapat na bumuo ng isang responsable at seryosong diskarte sa pag-aaral. Ang susi dito ay isang mapagkakatiwalaang relasyon, ngunit hindi takot.

Ang isang medyo karaniwang sitwasyon sa paaralan ay kapag ang isang bata ay hindi lubos na nauunawaan ang isang bagong paksa, natatakot sa pangungutya ng mga kaklase at hindi pagsang-ayon ng guro, at samakatuwid ay mas pinipiling manatiling tahimik tungkol sa kanyang pag-aatubili. Ang mga relasyon sa mga guro ay nag-iiba din, sa kasamaang-palad, hindi lahat ng mga guro ay nakakahanap ng diskarte sa mga bata, tulad ng ipinapakita ng kasanayan. At mayroong ilang mga pagpipilian sa paglabas:

• bisitahin karagdagang mga klase sa paaralan, kung mayroon man;
• mga aralin sa isang tagapagturo;
• pagsasanay sa pamamagitan ng Internet gamit ang mga espesyal na mapagkukunang pang-edukasyon.

Sa unang dalawang kaso, may mga disadvantages na nakasalalay sa oras at pinansyal na mapagkukunan, lalo na pagdating sa pagtuturo. Ang pangatlo ay maginhawa dahil ang opsyon sa pagsasanay na ito:

• libre;
• maaari kang mag-aral sa anumang maginhawang oras;
• walang sikolohikal na kakulangan sa ginhawa para sa mag-aaral, takot sa panlilibak, atbp.
• Maaari mong panoorin muli ang aralin sa video anumang oras kung may hindi malinaw sa unang pagkakataon.

Walang alinlangan positibong aspeto mayroon pa rito, kaya dapat tandaan ng mga magulang na ang kanilang anak ay maaaring mag-alok ng ganoong opsyon para sa mga karagdagang aktibidad. Posible na sa una ay hindi tatanggapin ng mag-aaral ang panukalang ito nang may sigasig, ngunit pagkatapos na subukan ito, pahalagahan niya ang mga pakinabang nito. Taon-taon tumataas ang load sa mga subject sa paaralan, sa ika-7 baitang medyo seryoso na.

Sa aming online na mapagkukunan, ang isang bata ay madaling makahanap ng isang aralin sa isang paksa na maaaring mahirap para sa kanya, halimbawa, "Polynomial. Pagbawas sa isang karaniwang anyo." Ang pagkakaroon ng naiintindihan ito, magagawa niyang maunawaan at makabisado ang karagdagang materyal nang mas simple at madali.

- polynomials. Sa artikulong ito ay ilalarawan namin ang lahat ng paunang at kinakailangang impormasyon tungkol sa mga polynomial. Kabilang dito, una, ang kahulugan ng isang polynomial na may kasamang mga kahulugan ng mga termino ng polynomial, sa partikular, ang libreng termino at mga katulad na termino. Pangalawa, pag-isipan natin ang mga polynomial ng karaniwang anyo, ibigay ang kaukulang kahulugan at magbigay ng mga halimbawa ng mga ito. Sa wakas, ipakikilala natin ang kahulugan ng antas ng isang polynomial, alamin kung paano ito mahahanap, at pag-uusapan ang tungkol sa mga coefficient ng mga termino ng polynomial.

Pag-navigate sa pahina.

Polynomial at mga termino nito - mga kahulugan at mga halimbawa

Sa grade 7, ang mga polynomial ay pinag-aralan kaagad pagkatapos ng monomials, ito ay naiintindihan, dahil kahulugan ng polynomial ay ibinibigay sa pamamagitan ng monomials. Ibigay natin ang kahulugang ito upang ipaliwanag kung ano ang polynomial.

Kahulugan.

Polinomyal ay ang kabuuan ng monomials; Ang isang monomial ay itinuturing na isang espesyal na kaso ng isang polynomial.

Ang nakasulat na kahulugan ay nagbibigay-daan sa iyo na magbigay ng maraming halimbawa ng polynomial hangga't gusto mo. Anuman sa mga monomial 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (−2) y 12, atbp. ay isang polynomial. Gayundin, ayon sa kahulugan, 1+x, a 2 +b 2 at mga polynomial.

Para sa kaginhawahan ng paglalarawan ng mga polynomial, isang kahulugan ng isang polynomial na termino ay ipinakilala.

Kahulugan.

Mga terminong polinomyal ay ang mga constituent monomials ng isang polynomial.

Halimbawa, ang polynomial 3 x 4 −2 x y+3−y 3 ay binubuo ng apat na termino: 3 x 4 , −2 x y , 3 at −y 3 . Ang isang monomial ay itinuturing na isang polynomial na binubuo ng isang termino.

Kahulugan.

Ang mga polynomial na binubuo ng dalawa at tatlong termino ay may mga espesyal na pangalan - binomial At trinomial ayon sa pagkakabanggit.

Kaya ang x+y ay isang binomial, at ang 2 x 3 q−q x x x+7 b ay isang trinomial.

Sa paaralan, madalas kaming may katrabaho linear binomial a x+b , kung saan ang a at b ay ilang mga numero, at ang x ay isang variable, pati na rin ang c quadratic trinomial a·x 2 +b·x+c, kung saan ang a, b at c ay ilang mga numero, at ang x ay isang variable. Narito ang mga halimbawa ng linear binomials: x+1 , x 7,2−4 , at narito ang mga halimbawa square trinomals: x 2 +3 x−5 at .

Ang mga polynomial sa kanilang notasyon ay maaaring magkaroon ng mga katulad na termino. Halimbawa, sa polynomial 1+5 x−3+y+2 x ang magkatulad na termino ay 1 at −3, pati na rin ang 5 x at 2 x. Mayroon silang sariling espesyal na pangalan - katulad na mga termino ng isang polynomial.

Kahulugan.

Mga katulad na termino ng isang polynomial ang mga katulad na termino sa isang polynomial ay tinatawag.

Sa nakaraang halimbawa, ang 1 at −3, pati na rin ang pares na 5 x at 2 x, ay magkatulad na termino ng polynomial. Sa mga polynomial na may magkatulad na termino, maaari kang magsagawa ng pagbabawas ng mga katulad na termino upang pasimplehin ang kanilang anyo.

Polynomial ng karaniwang anyo

Para sa polynomials, pati na rin para sa monomials, mayroong tinatawag na karaniwang view. Ipahayag natin ang kaukulang kahulugan.

Batay depinisyon na ito, maaari tayong magbigay ng mga halimbawa ng mga polynomial ng karaniwang anyo. Kaya ang polynomials 3 x 2 −x y+1 at nakasulat sa karaniwang anyo. At ang mga expression na 5+3 x 2 −x 2 +2 x z at x+x y 3 x x z 2 +3 z ay hindi polynomial ng karaniwang anyo, dahil ang una sa kanila ay naglalaman ng magkatulad na termino 3 x 2 at −x 2 , at sa ang pangalawa – isang monomial x·y 3 ·x·z 2 , ang anyo nito ay iba sa karaniwang isa.

Tandaan na, kung kinakailangan, maaari mong palaging bawasan ang polynomial sa karaniwang anyo.

Ang isa pang konsepto na nauugnay sa mga polynomial ng karaniwang anyo ay ang konsepto ng isang libreng termino ng isang polynomial.

Kahulugan.

Libreng termino ng isang polynomial ay isang miyembro ng isang polynomial ng karaniwang anyo na walang bahagi ng titik.

Sa madaling salita, kung ang isang polynomial ng karaniwang anyo ay naglalaman ng isang numero, kung gayon ito ay tinatawag na isang libreng miyembro. Halimbawa, ang 5 ay ang libreng termino ng polynomial x 2 z+5, ngunit ang polynomial 7 a+4 a b+b 3 ay walang libreng termino.

Degree ng isang polynomial - paano ito mahahanap?

Isa pang importante kasamang kahulugan ay upang matukoy ang antas ng isang polynomial. Una, tinutukoy namin ang antas ng isang polynomial ng karaniwang anyo;

Kahulugan.

Degree ng isang polynomial ng karaniwang anyo ay ang pinakamalaki sa mga kapangyarihan ng mga monomial na kasama sa notasyon nito.

Magbigay tayo ng mga halimbawa. Ang antas ng polynomial 5 x 3 −4 ay katumbas ng 3, dahil ang mga monomial na 5 x 3 at −4 na kasama dito ay may mga degree na 3 at 0, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki sa mga numerong ito ay 3, na siyang antas ng polynomial. sa pamamagitan ng kahulugan. At ang antas ng polynomial 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x katumbas ng pinakamalaki sa mga numerong 2+3=5, 4+1=5 at 1, iyon ay, 5.

Ngayon, alamin natin kung paano hanapin ang antas ng polynomial ng anumang anyo.

Kahulugan.

Ang antas ng isang polynomial ng arbitrary na anyo tawagan ang antas ng katumbas na polynomial ng karaniwang anyo.

Kaya, kung ang isang polynomial ay hindi nakasulat sa karaniwang anyo, at kailangan mong hanapin ang antas nito, kailangan mong bawasan ang orihinal na polynomial sa karaniwang anyo, at hanapin ang antas ng resultang polynomial - ito ang kinakailangan. Tingnan natin ang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Hanapin ang antas ng polynomial 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Solusyon.

Una kailangan mong kumatawan sa polynomial sa karaniwang anyo:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Kasama sa resultang polynomial ng karaniwang anyo ang dalawang monomial −2·a 2 ·b 2 ·c 2 at y 2 ·z 2 . Hanapin natin ang kanilang kapangyarihan: 2+2+2=6 at 2+2=4. Malinaw, ang pinakamalaki sa mga kapangyarihang ito ay 6, na sa pamamagitan ng kahulugan ay ang kapangyarihan ng isang polynomial ng karaniwang anyo −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, at samakatuwid ang antas ng orihinal na polynomial., 3 x at 7 ng polynomial na 2 x−0.5 x y+3 x+7 .

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa ika-7 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 p.m. Bahagi 1. Teksbuk para sa mga mag-aaral institusyong pang-edukasyon/ A. G. Mordkovich. - 17th ed., idagdag. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra at nagsimula pagsusuri sa matematika. Ika-10 baitang: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; inedit ni A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 2010.- 368 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

19. Kunin natin ang formula

nabasa namin ito tulad nito: "ang pagkakaiba sa pagitan ng mga numero a at b." Maaari naming palitan ang numero a ng zero sa formula na ito; saka siya lilingon sa

0 – b o nasa –b lang.

Ang pagbabawas ng b mula sa zero ay nangangahulugang, ayon sa alam natin tungkol sa pagbabawas ng mga kamag-anak na numero, pagdaragdag ng numerong b na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda sa zero. Samakatuwid, ang ekspresyong –b ay dapat na maunawaan bilang ang bilang na may kabaligtaran na tanda ng numerong b. Kung, halimbawa, b = +5, kung gayon –b = –5; kung b = –4, pagkatapos –b = +4, atbp. Kung isusulat natin ang expression na +a, dapat itong maunawaan bilang isang numero na katumbas ng numero a. Kung a = +5, kung gayon +a = +5; kung a = –4, kung gayon +a = 4, atbp.

Samakatuwid ang formula

maaari nating maunawaan nang walang pagtatangi ng resulta, o sa kahulugan

o sa kahulugan

Kaya, maaari nating palaging palitan ang pagbabawas ng karagdagan at maunawaan ang anumang pagkakaiba bilang kabuuan ng dalawang numero:
a – b ay ang kabuuan ng mga numero a at (–b)
x – y ay ang kabuuan ng mga numerong x at (–y)
–a – b ay ang kabuuan ng mga numero (–a) at (–b), atbp.

Ang mga formula kung saan, mula sa punto ng view ng aritmetika, maraming mga karagdagan at pagbabawas ang nagaganap, halimbawa,

a – b + c + d – e – f,

maaari na nating maunawaan ngayon, mula sa punto ng view ng algebra, bilang isang kabuuan, ibig sabihin:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Samakatuwid, kaugalian na tawagan ang gayong mga expression sa pangalang "algebraic sum".

20. Kumuha tayo ng ilang algebraic sum

a – b – c o –3bc² + 2ab – 4a²b, atbp.

Nakaugalian na tawagan ang mga ekspresyong ito sa pangalan polinomyal, at pinapalitan ng salitang ito ang salitang "sum" o ang pangalang "algebraic sum". Alam natin yan

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b), atbp.

Hiwalay, ang bawat termino ay tinatawag na miyembro ng polynomial.

Ang unang polynomial

ay binubuo ng tatlong termino: (+a), (–b) at (+c).

Ang pangalawang polynomial

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

binubuo ng apat na termino: (–abc), (–3bc²), (+2ab) at (–4a²b).

Ang mga kabuuan ay maaaring muling ayusin sa anumang pagkakasunud-sunod:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Ang pag-aari na ito ng isang kabuuan ay maaari na ngayong ipahayag sa ibang paraan: ang mga tuntunin ng isang polynomial ay maaaring muling ayusin sa anumang pagkakasunud-sunod. Ginawa ito sa itaas para sa polynomial –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, bukod dito, sa paraang ang termino (+2ab) ay nasa harap na ngayon. Dahil dito, medyo pasimplehin ang expression: hindi mo kailangang isulat ang + sign sa harap. Siyempre, ang mga naturang pagbabago ay dapat gawin kaagad, nang hindi muna ilakip (tulad ng nasa itaas) ang bawat termino sa mga panaklong.

Isa pang halimbawa:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

Ang unang termino ng polynomial na ito ay orihinal na (+1) - ang + sign ay ipinahiwatig bago ang yunit; kapag inilipat namin ang miyembrong ito sa isang lugar maliban sa una (inilipat namin ito sa huling lugar sa itaas), hindi maaaring laktawan ang + sign na ito.

Mapapansin natin na sa nakaraang halimbawa, sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga termino ng polynomial, nakamit natin ang isang tiyak na pagkakasunud-sunod: sa unang lugar ay ang terminong may titik a hanggang ika-4 na kapangyarihan, sa susunod na lugar ay ang terminong may titik a sa ika-3 kapangyarihan, pagkatapos ay darating ang termino na may letrang a sa ika-3 kapangyarihan 2nd degree, pagkatapos - a sa 1st degree at, sa wakas, isang termino kung saan walang titik a.

Ang pagsasaayos na ito ng mga termino ng isang polynomial ay ipinahayag ng mga salitang "the polynomial is arranged in descending powers of the letter a."

Narito ang iba pang mga halimbawa ng kaayusan na ito:

3x 5 – 2ax 3 + b (sa pababang kapangyarihan ng letrang x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (sa pababang kapangyarihan ng titik a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (sa pababang kapangyarihan ng letrang b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (sa pababang kapangyarihan ng letrang x).

Ang reverse "ascending degrees" na pag-aayos ay kadalasang ginagamit, kung saan ang antas ng napiling titik ay unti-unting tumataas, at sa 1st term alinman sa liham na ito ay wala sa lahat, o ito ay may pinakamababang antas dito kumpara sa iba pang mga termino. Sa pangalawa sa mga naunang halimbawa, maaari nating sabihin na dito ang polynomial ay nakaayos sa mga pataas na kapangyarihan ng titik b. Narito ang mga halimbawa:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (sa pataas na kapangyarihan ng titik a);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (sa pataas na kapangyarihan ng letrang x);
palakol 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (sa pataas na kapangyarihan ng letrang x);
a 3 – 2ab + b 2 (sa pataas na kapangyarihan ng letrang b o sa pababang kapangyarihan ng letrang a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (sa pababang kapangyarihan ng letrang x o sa pataas na kapangyarihan ng letrang y).

21. Ang polynomial na may dalawang termino ay tinatawag binomial(halimbawa, 3a + 2b), mga tatlong termino - isang trinomial (halimbawa, 2a² - 3ab + 4b²), atbp. Posibleng pag-usapan ang tungkol sa kabuuan ng isang termino (ang kabilang termino ay zero), o tungkol sa isang polynomial tungkol sa isang termino. Pagkatapos, siyempre, ang pangalang "polynomial" ay hindi naaangkop at ang pangalang "monomial" ay ginagamit. Ang bawat termino ng anumang polynomial, kinuha nang hiwalay, ay isang monomial. Narito ang mga halimbawa ng pinakasimpleng monomial:

2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; atbp.

Halos lahat ng mga monomial na nakasulat sa itaas ay mga produkto ng dalawa o higit pang mga kadahilanan, at karamihan sa mga ito ay may parehong numerical factor at isang alphabetic. Halimbawa, ang monomial –3abc ay may numerical factor –3 at letter factor a, b at c; sa monomial 4x³ mayroong numeric factor +4 (ang + sign ay ipinahiwatig) at literal na factor x³, atbp. Kung magsusulat tayo ng monomial na may ilang numeric na salik (at pati na rin ang mga alphabetic), tulad ng sumusunod

,

pagkatapos ito ay mas maginhawa upang muling ayusin ang mga kadahilanan upang ang mga numerical na kadahilanan ay malapit, i.e.

,

i-multiply ang mga numerical na salik na ito at makuha

–4a²bc² (mga tuldok, multiplication sign ay nilaktawan).

Nakaugalian din, sa karamihan ng mga kaso, na isulat ang numerical factor sa harap. Sumulat sila:

4a, hindi 4
–3a²b, hindi a²(–3)b

Ang numerical factor ng isang monomial ay tinatawag na coefficient.

Kung ang isang numerical factor ay hindi nakasulat sa isang monomial, halimbawa, ab, maaari mo itong palaging ipahiwatig. Sa totoo lang

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³, atbp.

Kaya, ang mga monomial na a², ab, ab² bawat isa ay may coefficient na 1 (mas tiyak: +1). Kung magsusulat tayo ng mga monomial –ab, –a², –ab², atbp., dapat silang magkaroon ng coefficient na –1.

22. Mas kumplikadong mga halimbawa ng polynomial at monomials.

(a + b)² + 3(a – b)² ... ang formula na ito ay nagpapahayag ng kabuuan ng dalawang termino: ang una ay ang parisukat ng kabuuan ng mga numerong a at b, at ang pangalawa ay ang produkto ng numero 3 sa pamamagitan ng parisukat ng pagkakaiba ng parehong mga numero. Samakatuwid, ang formula na ito ay dapat kilalanin bilang isang binomial: ang unang termino ay (a + b)² at ang pangalawang 3(a – b)². Kung kukunin natin nang hiwalay ang expression (a + b)², kung gayon sa pamamagitan ng nauna, dapat itong ituring na monomial, at ang coefficient nito ay +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... dapat kilalanin bilang trinomial (ang kabuuan ng tatlong termino): ang unang termino ay a(b – 1 ) at ang coefficient nito = +1 , ang pangalawang term –b(a – 1), ang coefficient nito = –1, ang ikatlong term –(a – 1)(b – 1), ang coefficient nito = – 1.

Minsan ang bilang ng mga termino ng isang polynomial ay artipisyal na binabawasan. Kaya trinomial

maaaring, halimbawa, ay ituring bilang isang binomial, at ang a + b, halimbawa, ay itinuturing bilang isang termino (isang termino). Upang gawing mas malinaw ito, gumamit ng mga panaklong:

Pagkatapos ang termino (a + b) ay may ipinahiwatig na koepisyent na +1

[talagang (a + b) = (+1)(a + b)].

Na nangangailangan ng factoring ng isang polynomial, tukuyin ang karaniwang kadahilanan ng ibinigay na expression. Upang gawin ito, alisin muna sa mga bracket ang mga variable na kasama sa lahat ng miyembro ng expression. Bukod dito, ang mga variable na ito ay dapat na may pinakamababang tagapagpahiwatig. Pagkatapos ay kalkulahin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng bawat isa sa mga coefficient ng polynomial. Ang modulus ng resultang numero ay magiging koepisyent ng karaniwang multiplier.

Halimbawa. Kumalat sa 5m³–10m²n²+5m². Ilagay ang m² sa labas ng mga bracket, dahil variable m sa bawat termino ng expression na ito at ang pinakamaliit na exponent nito ay dalawa. Kalkulahin ang karaniwang multiplier factor. Ito ay katumbas ng lima. Kaya, ang karaniwang kadahilanan ng expression na ito ay 5m². Kaya naman: 5m³–10m²n²+5m²=5m²(m–2n²+1).

Kung ang isang expression ay walang karaniwang salik, subukang palawakin ito gamit ang paraan ng pagpapangkat. Para magawa ito, pagsama-samahin sa mga grupo ang mga miyembrong may mga karaniwang salik. Ilagay sa mga bracket ang karaniwang salik ng bawat pangkat. Alisin sa mga bracket ang karaniwang salik ng lahat ng nabuong grupo.

Halimbawa. I-factor ang polynomial a³–3a²+4a–12. Igrupo ayon sa sumusunod: (a³–3a²)+(4a–12). Alisin ang karaniwang salik a² sa unang pangkat at ang karaniwang salik 4 sa pangalawang pangkat. Kaya naman: a²(a–3)+4(a–3). Kunin ang polynomial a–3 sa mga bracket at kunin ang: (a–3)(a²+4). Samakatuwid, a³–3a²+4a–12=(a–3)(a²+4).

Ang ilan polynomials ay naka-factorize gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon. Upang gawin ito, dalhin ang polynomial sa nais na anyo sa pamamagitan ng pagpapangkat o sa pamamagitan ng pag-alis ng karaniwang kadahilanan mula sa mga bracket. Susunod, ilapat ang naaangkop na pinaikling formula ng multiplikasyon.

Halimbawa. I-factor ang polynomial 4x²–m²+2mn–n². Pagsamahin ang huling tatlong termino sa mga bracket, habang kumukuha ng –1 sa mga bracket. Kunin: 4x²–(m²–2mn+n²). Ang expression sa panaklong ay maaaring katawanin bilang parisukat ng pagkakaiba. Kaya naman: (2x)²–(m–n)². Ito ang pagkakaiba ng mga parisukat, maaari nating isulat ito: (2x–m+n)(2x+m+n). Kaya, 4x²–m²+2mn–n²=(2x–m+n)(2x+m+n).

Ang ilang polynomial ay maaaring i-factorize gamit ang pamamaraan hindi tiyak na mga koepisyent. Kaya, ang bawat polynomial ay maaaring katawanin sa anyo (y–t)(my²+ny+k), kung saan ang t, m, n, k ay mga numerical coefficient. Dahil dito, ang gawain ay bumababa sa pagtukoy ng mga halaga ng mga coefficient na ito. Ginagawa ito batay sa pagkakapantay-pantay na ito: (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk.

Halimbawa. I-factor ang polynomial 2a³–a²–7a+2. Mula sa ikalawang bahagi para sa isang polynomial ng ikatlong antas, gawin ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay: m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; –tk=2. Isulat ang mga ito bilang isang sistema. Lutasin ito. Makikita mo ang mga halaga t=2; n=3; k=–1. Ipalit ang mga nakalkulang coefficient sa unang bahagi ng formula, makakakuha ka ng: 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1).

Mga Pinagmulan:

• Factoring polynomials
• kung paano i-factor ang isang polynomial

Agham sa Matematika pag-aaral ng iba't ibang istruktura, pagkakasunud-sunod ng mga numero, relasyon sa pagitan ng mga ito, pagbubuo ng mga equation at paglutas ng mga ito. Ito ay isang pormal na wika na malinaw na naglalarawan sa mga malapit na perpektong katangian ng mga tunay na bagay na pinag-aralan sa ibang larangan ng agham. Ang isa sa gayong istraktura ay isang polynomial.

Mga tagubilin

Polynomial o (mula sa Greek na "poly" - marami at ang Latin na "nomen" - pangalan) - mga pag-andar ng elementarya classical algebra at algebraic geometry. Ito ay isang function ng isang variable, na may anyong F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n, kung saan ang c_i ay fixed coefficients, x ay isang variable.

Ang mga polynomial ay ginagamit sa maraming lugar, kabilang ang pag-aaral ng zero, negatibo at kumplikadong mga numero, ang teorya ng mga grupo, singsing, buhol, set, atbp. Ang paggamit ng mga kalkulasyon ng polynomial ay lubos na pinapasimple ang pagpapahayag ng mga katangian ng iba't ibang mga bagay.

Mga pangunahing kahulugan:
Ang bawat termino ng isang polynomial ay tinatawag na monomial.
Ang polynomial na binubuo ng dalawang monomial ay tinatawag na binomial o binomial.
Polynomial coefficients – tunay o kumplikadong mga numero.
Kung ang koepisyent ay katumbas ng 1, kung gayon ito ay tinatawag na unitary (nabawasan).
Ang mga degree ng variable sa bawat monomial ay mga non-negative na integer, tinutukoy ng maximum na degree ang degree ng polynomial, at ang buong degree nito ay tinatawag na integer, katumbas ng kabuuan lahat ng grado.
Ang monomial na katumbas ng degree zero ay tinatawag na free term.
Ang isang polynomial na lahat ay may parehong kabuuang antas ay tinatawag na homogenous.

Ang ilang karaniwang ginagamit na polynomial ay pinangalanan pagkatapos ng scientist na tinukoy ang mga ito, pati na rin ang mga function na kanilang tinukoy. Halimbawa, ang binomial ng Newton ay para sa decomposing isang polynomial sa mga indibidwal na termino upang makalkula ang mga kapangyarihan. Ito ang mga notasyon para sa mga parisukat ng kabuuan at pagkakaiba na kilala mula sa kurikulum ng paaralan (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 at ang pagkakaiba ng mga parisukat (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).

Kung papayagan namin ang mga negatibong kapangyarihan sa notasyon ng isang polynomial, makakakuha kami ng polynomial o Laurent series; Ang Chebyshev polynomial ay ginagamit sa approximation theory; Hermite polynomial - sa teorya ng posibilidad; Lagrange - para sa pagsasama ng numero at interpolation; Taylor - kapag tinatantya ang isang function, atbp.

tala

Ang binomial ni Newton ay madalas na binabanggit sa mga aklat (The Master at Margarita) at mga pelikula (Stalker) kapag ang mga karakter ay nilulutas ang mga problema sa matematika. Ang terminong ito ay kilala at samakatuwid ay itinuturing na pinakatanyag na polynomial.

Tip 3: Paano i-factor ang 90 sa dalawang coprime factor

Ang mutually prime factor ay mga numero na walang karaniwang divisors maliban sa isa. Ang algorithm ay medyo simple, subukang isaalang-alang ito gamit ang isang halimbawa: i-factor ang numero 90 sa dalawang mutually prime factor.