Na medyo boring na. At pakiramdam ko ay dumating na ang sandali kung kailan oras na upang kunin ang mga bagong de-latang kalakal mula sa mga strategic reserves ng teorya. Posible bang palawakin ang function sa isang serye sa ibang paraan? Halimbawa, ipahayag ang isang segment ng tuwid na linya sa mga tuntunin ng mga sine at cosine? Mukhang hindi kapani-paniwala, ngunit ang mga tila malayong pag-andar ay maaaring
"muling pagsasama". Bilang karagdagan sa mga pamilyar na degree sa teorya at kasanayan, may iba pang mga diskarte sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye.

Sa araling ito ay malalaman natin ang tungkol sa trigonometrya. sa tabi ni Fourier, tatalakayin natin ang isyu ng convergence at sum nito at, siyempre, susuriin natin ang maraming halimbawa ng pagpapalawak ng mga function sa isang seryeng Fourier. Taos-puso kong nais na tawagan ang artikulong "Fourier Series for Dummies," ngunit ito ay hindi tapat, dahil ang paglutas ng mga problema ay mangangailangan ng kaalaman sa iba pang sangay ng pagsusuri sa matematika at ilang praktikal na karanasan. Samakatuwid, ang preamble ay magiging katulad ng pagsasanay sa astronaut =)

Una, dapat mong lapitan ang pag-aaral ng mga materyales sa pahina sa mahusay na anyo. Inaantok, pahinga at matino. Nang walang matinding emosyon tungkol sa sirang paa ng hamster at obsessive thoughts tungkol sa hirap ng buhay isda sa aquarium. Ang seryeng Fourier ay hindi mahirap maunawaan, gayunpaman mga praktikal na gawain kailangan lang nila ng mas mataas na konsentrasyon ng atensyon - sa isip, dapat mong ganap na ihiwalay ang iyong sarili mula sa panlabas na stimuli. Ang sitwasyon ay pinalala ng katotohanan na walang madaling paraan upang suriin ang solusyon at sagot. Kaya, kung ang iyong kalusugan ay mas mababa sa average, pagkatapos ay mas mahusay na gumawa ng isang bagay na mas simple. Totoo ba.

Pangalawa, bago lumipad sa kalawakan kailangan mong pag-aralan ang panel ng instrumento sasakyang pangkalawakan. Magsimula tayo sa mga halaga ng mga pag-andar na dapat i-click sa makina:

Para sa anumang natural na halaga:

1) . Sa katunayan, ang sinusoid ay "tinatahi" ang x-axis sa bawat "pi":
. Sa kaso ng mga negatibong halaga ng argumento, ang resulta, siyempre, ay magiging pareho: .

2) . Ngunit hindi alam ng lahat ito. Ang cosine na "pi" ay katumbas ng isang "blinker":

Ang isang negatibong argumento ay hindi nagbabago sa bagay: .

Marahil sapat na iyon.

At pangatlo, mahal na cosmonaut corps, dapat ay kaya mo... pagsamahin.
Sa partikular, may kumpiyansa ilagay ang function sa ilalim ng differential sign, pagsamahin nang unti-unti at maging mapayapa kasama Formula ng Newton-Leibniz. Simulan natin ang mahahalagang pagsasanay bago ang paglipad. Hindi ko inirerekumenda na laktawan ito, upang hindi mawalan ng timbang sa ibang pagkakataon:

Halimbawa 1

Kalkulahin ang mga tiyak na integral

kung saan kumukuha ng mga natural na halaga.

Solusyon: Isinasagawa ang pagsasama sa variable na “x” at sa yugtong ito ang discrete variable na “en” ay itinuturing na pare-pareho. Sa lahat ng integral ilagay ang function sa ilalim ng differential sign:

Ang isang maikling bersyon ng solusyon na magandang i-target ay ganito ang hitsura:

Masanay na tayo:

Ang apat na natitirang puntos ay nasa iyong sarili. Subukang lapitan ang gawain nang may konsiyensya at isulat ang mga integral sa maikling paraan. Mga halimbawang solusyon sa pagtatapos ng aralin.

Pagkatapos isagawa ang mga pagsasanay na KALIDAD, nagsuot kami ng mga spacesuit
at naghahanda upang magsimula!

Pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Fourier sa pagitan

Isaalang-alang ang ilang function na iyon determinado hindi bababa sa isang yugto ng panahon (at posibleng para sa isang mas mahabang panahon). Kung ang function na ito ay maisasama sa pagitan, maaari itong palawakin sa trigonometriko Fourier serye:
, nasaan ang mga tinatawag na Fourier coefficients.

Sa kasong ito, tinawag ang numero panahon ng pagkabulok, at ang numero ay kalahating buhay ng agnas.

Malinaw na sa pangkalahatang kaso ang serye ng Fourier ay binubuo ng mga sine at cosine:

Sa katunayan, isulat natin ito nang detalyado:

Ang zero term ng serye ay karaniwang nakasulat sa anyo.

Ang mga fourier coefficient ay kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula:

Naiintindihan kong lubos na ang mga nagsisimulang pag-aralan ang paksa ay hindi pa rin malinaw tungkol sa mga bagong termino: panahon ng agnas, kalahating ikot, Fourier coefficients atbp. Huwag mag-panic, hindi ito maihahambing sa excitement bago pumunta sa outer space. Unawain natin ang lahat sa sumusunod na halimbawa, bago isagawa kung saan ito ay lohikal na magtanong ng pagpindot sa mga praktikal na katanungan:

Ano ang kailangan mong gawin sa mga sumusunod na gawain?

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier. Bukod pa rito, madalas na kinakailangan upang ilarawan ang isang graph ng isang function, isang graph ng kabuuan ng isang serye, isang bahagyang kabuuan, at sa kaso ng mga sopistikadong pantasyang propesor, gumawa ng iba pa.

Paano palawakin ang isang function sa isang serye ng Fourier?

Mahalaga, kailangan mong hanapin Fourier coefficients, iyon ay, bumuo at kalkulahin ang tatlo tiyak na integral.

Mangyaring kopyahin ang pangkalahatang anyo ng seryeng Fourier at ang tatlong gumaganang formula sa iyong kuwaderno. Ako ay natutuwa na ang ilang mga bisita sa site ay napagtanto ang kanilang pagkabata pangarap na maging isang astronaut sa harap mismo ng aking mga mata =)

Halimbawa 2

Palawakin ang function sa isang Fourier series sa pagitan. Bumuo ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng serye at ang bahagyang kabuuan.

Solusyon: Ang unang bahagi ng gawain ay upang palawakin ang function sa isang seryeng Fourier.

Ang simula ay pamantayan, siguraduhing isulat iyon:

Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak ay kalahating panahon.

Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan:

Gamit ang naaangkop na mga formula, nakita namin Fourier coefficients. Ngayon kailangan nating bumuo at kalkulahin ang tatlo tiyak na integral. Para sa kaginhawahan, bibilangin ko ang mga puntos:

1) Ang unang integral ay ang pinakasimpleng, gayunpaman, nangangailangan din ito ng eyeballs:

2) Gamitin ang pangalawang formula:

Ang integral na ito ay kilala at kinukuha niya ito nang paisa-isa:

Ginamit kapag natagpuan paraan ng pag-subsuming ng isang function sa ilalim ng differential sign.

Sa gawaing isinasaalang-alang, ito ay mas maginhawa upang agad na gamitin formula para sa pagsasama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral :

Isang pares ng mga teknikal na tala. Una, pagkatapos ilapat ang formula ang buong expression ay dapat na nakapaloob sa malalaking bracket, dahil may pare-pareho bago ang orihinal na integral. Huwag natin siyang mawala! Ang mga panaklong ay maaaring palawakin sa anumang karagdagang hakbang; Ginawa ko ito bilang isang huling paraan. Sa unang "piraso" Nagpapakita kami ng labis na pangangalaga sa pagpapalit tulad ng nakikita mo, hindi ginagamit ang pare-pareho, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay pinapalitan sa produkto. Ang aksyon na ito ay naka-highlight sa mga square bracket. Well, pamilyar ka sa integral ng pangalawang "piraso" ng formula mula sa gawain sa pagsasanay;-)

At pinaka-mahalaga - matinding konsentrasyon!

3) Hinahanap namin ang ikatlong Fourier coefficient:

Ang isang kamag-anak ng nakaraang integral ay nakuha, na kung saan ay din unti-unting nagsasama:

Ang pagkakataong ito ay medyo mas kumplikado, magkokomento ako sa mga karagdagang hakbang nang hakbang-hakbang:

(1) Ang expression ay ganap na nakapaloob sa malalaking bracket. Ayokong magmukhang boring, madalas silang nawawalan ng pare-pareho.

(2) V sa kasong ito Agad kong binuksan ang malalaking bracket na iyon. Espesyal na atensyon Inilalaan namin ang aming sarili sa unang "piraso": ang patuloy na usok sa gilid at hindi nakikilahok sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama (at) sa produkto. Dahil sa kalat ng rekord, ipinapayong muli na i-highlight ang pagkilos na ito gamit ang mga square bracket. Gamit ang pangalawang "piraso" ang lahat ay mas simple: dito lumitaw ang bahagi pagkatapos ng pagbubukas ng malalaking panaklong, at ang pare-pareho - bilang isang resulta ng pagsasama ng pamilyar na integral;-)

(3) Nagsasagawa kami ng mga pagbabago sa mga square bracket, at sa tamang integral ay pinapalitan namin ang mga limitasyon ng pagsasama.

(4) Inalis namin ang "flashing light" mula sa mga square bracket: , at pagkatapos ay buksan ang mga panloob na bracket: .

(5) Kanselahin namin ang 1 at –1 sa mga bracket at gumawa ng panghuling pagpapasimple.

Sa wakas, lahat ng tatlong Fourier coefficient ay matatagpuan:

I-substitute natin sila sa formula :

Kasabay nito, huwag kalimutang hatiin sa kalahati. Sa huling hakbang, ang pare-pareho ("minus dalawa"), na hindi nakasalalay sa "en," ay kinuha sa labas ng kabuuan.

Kaya, nakuha namin ang pagpapalawak ng function sa isang serye ng Fourier sa pagitan:

Pag-aralan natin ang isyu ng convergence ng seryeng Fourier. Ipapaliwanag ko ang teorya, sa partikular Ang teorama ni Dirichlet, literal na "sa mga daliri", kaya kung kailangan mo ng mahigpit na formulations, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin sa pagsusuri sa matematika (halimbawa, ang 2nd volume ng Bohan; o ang 3rd volume ng Fichtenholtz, ngunit ito ay mas mahirap).

Ang ikalawang bahagi ng problema ay nangangailangan ng pagguhit ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng isang serye, at isang graph ng isang bahagyang kabuuan.

Ang graph ng function ay ang karaniwan tuwid na linya sa isang eroplano, na iginuhit ng isang itim na tuldok na linya:

Alamin natin ang kabuuan ng serye. Tulad ng alam mo, ang serye ng function ay nagtatagpo sa mga function. Sa aming kaso, ang itinayong serye ng Fourier para sa anumang halaga ng "x" ay magsasama sa function, na ipinapakita sa pula. Ang function na ito nagtitiis ruptures ng 1st kind sa mga punto, ngunit tinukoy din sa kanila (mga pulang tuldok sa pagguhit)

kaya: . Madaling makita na ito ay kapansin-pansing naiiba sa orihinal na pag-andar, kaya naman sa entry Ang isang tilde ay ginagamit sa halip na isang katumbas na tanda.

Pag-aralan natin ang isang algorithm na maginhawa para sa pagbuo ng kabuuan ng isang serye.

Sa gitnang agwat, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mismong pag-andar (ang gitnang pulang segment ay kasabay ng itim na tuldok-tuldok na linya ng linear na pag-andar).

Ngayon ay pag-usapan natin nang kaunti ang katangian ng trigonometriko na pagpapalawak na isinasaalang-alang. Fourier serye mga periodic function lang (constant, sines at cosines) ang kasama, kaya ang kabuuan ng series ay isa ring periodic function.

Ano ang ibig sabihin nito sa aming partikular na halimbawa? At nangangahulugan ito na ang kabuuan ng serye –kinakailangang pana-panahon at ang pulang bahagi ng pagitan ay dapat na paulit-ulit na walang katapusang sa kaliwa at kanan.

Sa tingin ko ang kahulugan ng pariralang "panahon ng agnas" ay naging malinaw na ngayon. Sa madaling salita, sa tuwing paulit-ulit ang sitwasyon.

Sa pagsasagawa, kadalasan ay sapat na upang ilarawan ang tatlong panahon ng agnas, tulad ng ginagawa sa pagguhit. Well, at pati na rin ang "mga tuod" ng mga kalapit na panahon - upang malinaw na ang graph ay nagpapatuloy.

Ang partikular na interes ay mga discontinuity point ng 1st kind. Sa ganitong mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "tumalon" ng discontinuity (mga pulang tuldok sa pagguhit). Paano malalaman ang ordinate ng mga puntong ito? Una, hanapin natin ang ordinate ng "itaas na palapag": para magawa ito, kinakalkula natin ang halaga ng function sa pinakakanang punto ng gitnang panahon ng pagpapalawak: . Upang kalkulahin ang ordinate ng "lower floor" ang pinakamadaling paraan ay ang gawin ang sukdulan kaliwang halaga ng parehong panahon: . Ang ordinate ng average na halaga ay ang arithmetic mean ng kabuuan ng "itaas at ibaba": . Ang isang kaaya-ayang katotohanan ay kapag gumagawa ng isang guhit, makikita mo kaagad kung ang gitna ay kinakalkula nang tama o hindi tama.

Bumuo tayo ng bahagyang kabuuan ng serye at sabay na ulitin ang kahulugan ng terminong "convergence." Ang motibo ay kilala rin mula sa aralin tungkol sa kabuuan ng isang serye ng numero. Ilarawan natin nang detalyado ang ating kayamanan:

Upang bumuo ng isang bahagyang kabuuan, kailangan mong magsulat ng zero + dalawa pang termino ng serye. Yan ay,

Ipinapakita ng drawing ang graph ng function berde, at, tulad ng nakikita mo, "binalot" nito ang buong halaga nang medyo mahigpit. Kung isasaalang-alang namin ang isang bahagyang kabuuan ng limang termino ng serye, kung gayon ang graph ng function na ito ay tinatantya ang mga pulang linya nang mas tumpak, kung mayroong isang daang termino, kung gayon ang "berdeng ahas" ay talagang ganap na sumanib sa mga pulang segment; atbp. Kaya, ang seryeng Fourier ay nagtatagpo sa kabuuan nito.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang bahagyang halaga ay tuluy-tuloy na pag-andar, gayunpaman, ang kabuuang kabuuan ng serye ay hindi pa rin nagpapatuloy.

Sa pagsasagawa, hindi gaanong bihira ang bumuo ng isang bahagyang sum graph. Paano ito gagawin? Sa aming kaso, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar sa segment, kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa mga intermediate na punto (mas maraming puntos ang iyong isinasaalang-alang, mas tumpak ang graph). Pagkatapos ay dapat mong markahan ang mga puntong ito sa pagguhit at maingat na gumuhit ng isang graph sa panahon, at pagkatapos ay "kopyahin" ito sa mga katabing agwat. Paano pa? Pagkatapos ng lahat, ang approximation ay isang periodic function din... ...sa ilang mga paraan, ang graph nito ay nagpapaalala sa akin ng isang pantay na ritmo ng puso sa pagpapakita ng isang medikal na aparato.

Ang pagsasagawa ng konstruksiyon, siyempre, ay hindi masyadong maginhawa, dahil kailangan mong maging maingat, na mapanatili ang katumpakan ng hindi bababa sa kalahating milimetro. Gayunpaman, pasayahin ko ang mga mambabasa na hindi komportable sa pagguhit - sa isang "tunay" na problema ay hindi palaging kinakailangan na magsagawa ng pagguhit sa halos 50% ng mga kaso kinakailangan na palawakin ang pag-andar sa isang serye ng Fourier at iyon lang .

Matapos makumpleto ang pagguhit, nakumpleto namin ang gawain:

Sagot:

Sa maraming mga gawain ang pag-andar ay naghihirap pagkalagot ng 1st kind sa panahon mismo ng agnas:

Halimbawa 3

Palawakin ang function na ibinigay sa pagitan sa isang seryeng Fourier. Gumuhit ng graph ng function at ang kabuuang kabuuan ng serye.

Ang iminungkahing function ay tinukoy sa isang hiwa-hiwalay na paraan (at, tandaan, sa segment lang) at nagtitiis pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Posible bang kalkulahin ang Fourier coefficients? Walang problema. Parehong ang kaliwa at kanang bahagi ng function ay pinagsama-sama sa kanilang mga pagitan, samakatuwid ang mga integral sa bawat isa sa tatlong mga formula ay dapat na kinakatawan bilang ang kabuuan ng dalawang integral. Tingnan natin, halimbawa, kung paano ito ginagawa para sa isang zero coefficient:

Ang pangalawang integral ay naging katumbas ng zero, na nagbawas ng trabaho, ngunit hindi ito palaging nangyayari.

Ang iba pang dalawang Fourier coefficient ay inilarawan nang katulad.

Paano ipakita ang kabuuan ng isang serye? Sa kaliwang pagitan ay gumuhit kami ng isang tuwid na segment ng linya, at sa pagitan - isang tuwid na segment ng linya (i-highlight namin ang seksyon ng axis sa bold at bold). Iyon ay, sa pagitan ng pagpapalawak, ang kabuuan ng serye ay tumutugma sa pag-andar sa lahat ng dako maliban sa tatlong "masamang" puntos. Sa discontinuity point ng function, ang Fourier series ay magko-converge sa isang nakahiwalay na value, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "jump" ng discontinuity. Hindi mahirap makita ito nang pasalita: kaliwang panig na limitasyon: , kanang panig na limitasyon: at, malinaw naman, ang ordinate ng midpoint ay 0.5.

Dahil sa periodicity ng kabuuan, ang larawan ay dapat na "multiplied" sa mga katabing mga panahon, sa partikular, ang parehong bagay ay dapat na ilarawan sa mga pagitan at . Kasabay nito, sa mga punto ang serye ng Fourier ay magsasama-sama sa mga halagang panggitna.

Sa totoo lang, wala namang bago dito.

Subukang makayanan ang gawaing ito sa iyong sarili. Isang tinatayang sample ng huling disenyo at isang guhit sa pagtatapos ng aralin.

Pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier sa isang arbitrary na panahon

Para sa isang di-makatwirang panahon ng pagpapalawak, kung saan ang "el" ay anumang positibong numero, ang mga formula para sa serye ng Fourier at mga koepisyent ng Fourier ay nakikilala sa pamamagitan ng bahagyang mas kumplikadong argumento para sa sine at cosine:

Kung , pagkatapos ay makuha namin ang mga formula ng pagitan kung saan kami nagsimula.

Ang algorithm at mga prinsipyo para sa paglutas ng problema ay ganap na napanatili, ngunit ang teknikal na pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon ay tumataas:

Halimbawa 4

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at i-plot ang kabuuan.

Solusyon: talagang isang analogue ng Halimbawa No. 3 na may pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak ay kalahating panahon. Ang pag-andar ay tinukoy lamang sa kalahating pagitan, ngunit hindi nito binabago ang bagay - mahalaga na ang parehong mga piraso ng pag-andar ay mapagsasama.

Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier:

Dahil ang function ay hindi nagpapatuloy sa pinanggalingan, ang bawat Fourier coefficient ay dapat na malinaw na nakasulat bilang kabuuan ng dalawang integral:

1) Isusulat ko ang unang integral sa mas maraming detalye hangga't maaari:

2) Maingat nating tinitingnan ang ibabaw ng Buwan:

Pangalawang integral kunin ito ng pira-piraso:

Ano ang dapat nating bigyang pansin pagkatapos nating buksan ang pagpapatuloy ng solusyon na may asterisk?

Una, hindi natin nawawala ang unang integral , kung saan agad naming pinaandar pag-subscribe sa differential sign. Pangalawa, huwag kalimutan ang malas na pare-pareho bago ang malaking bracket at huwag malito sa mga palatandaan kapag gumagamit ng formula . Ang mga malalaking bracket ay mas maginhawa pa ring buksan kaagad sa susunod na hakbang.

Ang natitira ay isang bagay ng pamamaraan;

Oo, hindi para sa wala na ang mga kilalang kasamahan ng Pranses na matematiko na si Fourier ay nagalit - paano siya nangahas na ayusin ang mga pag-andar sa mga seryeng trigonometriko?! =) Siyanga pala, lahat ay malamang na interesado sa praktikal na kahulugan ng gawaing pinag-uusapan. Si Fourier mismo ang nagtrabaho matematikal na modelo thermal conductivity, at pagkatapos ay nagsimulang gamitin ang seryeng ipinangalan sa kanya para pag-aralan ang maraming pana-panahong proseso, na nakikita at hindi nakikita sa nakapaligid na mundo. Ngayon, sa pamamagitan ng paraan, nahuli ko ang aking sarili na iniisip na hindi nagkataon na inihambing ko ang graph ng pangalawang halimbawa sa pana-panahong ritmo ng puso. Ang mga interesado ay maaaring maging pamilyar sa praktikal na aplikasyon Fourier na pagbabago sa mga mapagkukunan ng third party. ...Bagama't mas mabuting hindi - ito ay maaalala bilang Unang Pag-ibig =)

3) Isinasaalang-alang ang paulit-ulit na binanggit na mahina na mga link, tingnan natin ang ikatlong koepisyent:

Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi:

I-substitute natin ang nakitang Fourier coefficients sa formula , hindi nakakalimutang hatiin ang zero coefficient sa kalahati:

I-plot natin ang kabuuan ng serye. Ulitin natin sandali ang pamamaraan: gumagawa tayo ng isang tuwid na linya sa isang pagitan, at isang tuwid na linya sa isang pagitan. Kung ang "x" na halaga ay zero, naglalagay kami ng isang punto sa gitna ng "jump" ng gap at "kopyahin" ang graph para sa mga kalapit na panahon:


Sa "mga junction" ng mga tuldok, ang kabuuan ay magiging katumbas din ng mga midpoint ng "jump" ng gap.

handa na. Ipaalala ko sa iyo na ang mismong function ay ayon sa kundisyon na tinukoy lamang sa kalahating pagitan at, malinaw naman, tumutugma sa kabuuan ng serye sa mga pagitan.

Sagot:

Minsan ang isang piecewise na ibinigay na function ay tuloy-tuloy sa panahon ng pagpapalawak. Ang pinakasimpleng halimbawa: . Solusyon (tingnan ang Bohan volume 2) katulad ng sa dalawang naunang halimbawa: sa kabila pagpapatuloy ng pag-andar sa punto , ang bawat Fourier coefficient ay ipinahayag bilang kabuuan ng dalawang integral.

Sa pagitan ng agnas mga discontinuity point ng 1st kind at/o maaaring may higit pang "junction" na mga punto ng graph (dalawa, tatlo at sa pangkalahatan ay anuman pangwakas dami). Kung ang isang function ay integrable sa bawat bahagi, ito ay napapalawak din sa isang Fourier series. Ngunit mula sa praktikal na karanasan ay hindi ko naaalala ang isang malupit na bagay. Gayunpaman, may mga mas mahirap na gawain kaysa sa mga napag-isipan pa lang, at sa dulo ng artikulo ay may mga link sa serye ng Fourier na mas kumplikado para sa lahat.

Pansamantala, magpahinga tayo, sumandal sa ating mga upuan at pagnilayan ang walang katapusang kalawakan ng mga bituin:

Halimbawa 5

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan at i-plot ang kabuuan ng serye.

Sa problemang ito ang function tuloy-tuloy sa kalahating pagitan ng pagpapalawak, na pinapasimple ang solusyon. Ang lahat ay halos kapareho sa Halimbawa Blg. 2. Walang pagtakas mula sa sasakyang pangalangaang - kailangan mong magpasya =) Isang tinatayang sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin, may nakalakip na iskedyul.

Fourier serye pagpapalawak ng kahit at kakaiba function

Sa pantay at kakaibang mga pag-andar, ang proseso ng paglutas ng problema ay kapansin-pansing pinasimple. At dahil jan. Bumalik tayo sa pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier na may panahon na "dalawang pi" at arbitrary na panahon "dalawang el" .

Ipagpalagay natin na ang ating function ay pantay. Ang pangkalahatang termino ng serye, tulad ng nakikita mo, ay naglalaman ng kahit na mga cosine at kakaibang sine. At kung kami ay nagpapalawak ng isang EVEN function, kung gayon bakit kailangan namin ng mga kakaibang sine?! I-reset natin ang hindi kinakailangang koepisyent: .

kaya, ang isang kahit na function ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier sa mga cosine lamang:

Dahil ang integral ng even functions kasama ang isang integration segment na simetriko na may paggalang sa zero ay maaaring doblehin, pagkatapos ay ang natitirang Fourier coefficients ay pinasimple.

Para sa puwang:

Para sa arbitrary na pagitan:

Ang mga halimbawa ng aklat-aralin, na makikita sa halos anumang aklat-aralin sa pagsusuri sa matematika, ay kinabibilangan ng mga pagpapalawak ng kahit na mga function . Bilang karagdagan, ilang beses na silang nakatagpo sa aking personal na pagsasanay:

Halimbawa 6

Ang function ay ibinigay. Kailangan:

1) palawakin ang function sa isang Fourier series na may period , kung saan ay isang arbitrary na positibong numero;

2) isulat ang pagpapalawak sa pagitan, bumuo ng isang function at i-graph ang kabuuang kabuuan ng serye.

Solusyon: sa unang talata ito ay iminungkahi upang malutas ang problema sa pangkalahatang pananaw, at ito ay napaka maginhawa! Kung kinakailangan, palitan lamang ang iyong halaga.

1) Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak ay kalahating panahon. Sa panahon ng karagdagang mga aksyon, lalo na sa panahon ng pagsasama, ang "el" ay itinuturing na pare-pareho

Ang function ay pantay, na nangangahulugang maaari itong palawakin sa isang serye ng Fourier sa mga cosine lamang: .

Hinahanap namin ang mga Fourier coefficient gamit ang mga formula . Bigyang-pansin ang kanilang walang kondisyon na mga pakinabang. Una, ang pagsasama ay isinasagawa sa positibong bahagi ng pagpapalawak, na nangangahulugang ligtas nating mapupuksa ang module , isinasaalang-alang lamang ang "X" ng dalawang piraso. At, pangalawa, ang pagsasama ay kapansin-pansing pinasimple.

Dalawa:

Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi:

kaya:
, habang ang pare-pareho , na hindi nakasalalay sa "en", ay kinuha sa labas ng kabuuan.

Sagot:

2) Isulat natin ang pagpapalawak sa pagitan, para sa layuning ito sa pangkalahatang pormula kapalit nais na halaga kalahating ikot:

Fourier na serye ng mga periodic function na may period 2π.

Ang seryeng Fourier ay nagpapahintulot sa amin na pag-aralan ang mga pana-panahong pag-andar sa pamamagitan ng pag-decomposing sa mga ito sa mga bahagi. Ang mga alternating current at boltahe, mga displacement, bilis at acceleration ng mga mekanismo ng crank at acoustic wave ay tipikal. praktikal na mga halimbawa aplikasyon ng mga pana-panahong pag-andar sa mga kalkulasyon ng engineering.

Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier ay batay sa pagpapalagay na ang lahat ng mga function na may praktikal na kahalagahan sa pagitan -π ≤x≤ π ay maaaring ipahayag sa anyo ng convergent trigonometric series (ang isang serye ay itinuturing na convergent kung ang pagkakasunud-sunod ng mga partial sums na binubuo ng mga termino nito nagtatagpo):

Karaniwang (=ordinaryong) notation sa pamamagitan ng kabuuan ng sinx at cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

kung saan ang a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. ay mga tunay na constants, i.e.

Kung saan, para sa hanay mula -π hanggang π, ang mga coefficient ng seryeng Fourier ay kinakalkula gamit ang mga formula:

Ang mga coefficient na a o , a n at b n ay tinatawag Fourier coefficients, at kung mahahanap ang mga ito, tatawagin ang serye (1). sa tabi ni Fourier, naaayon sa function na f(x). Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) ay tinatawag na una o pangunahing harmonic,

Ang isa pang paraan upang magsulat ng isang serye ay ang paggamit ng ugnayang acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Kung saan ang a o ay pare-pareho, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 ay ang mga amplitude ng iba't ibang bahagi, at katumbas ng a n =arctg a n /b n.

Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) o c 1 sin(x+α 1) ay tinatawag na una o pangunahing harmonic,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) o c 2 sin(2x+α 2) ay tinatawag pangalawang harmonic at iba pa.

Upang tumpak na kumatawan sa isang kumplikadong signal ay karaniwang nangangailangan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino. Gayunpaman, sa maraming praktikal na mga problema sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga unang ilang termino.

Fourier series ng non-periodic functions na may period 2π.

Pagpapalawak ng mga non-periodic function.

Kung ang function na f(x) ay hindi pana-panahon, nangangahulugan ito na hindi ito mapalawak sa seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Gayunpaman, posibleng tumukoy ng seryeng Fourier na kumakatawan sa isang function sa anumang saklaw ng lapad na 2π.

Dahil sa isang non-periodic function, ang isang bagong function ay maaaring mabuo sa pamamagitan ng pagpili ng mga value ng f(x) sa loob ng isang partikular na range at pag-uulit ng mga ito sa labas ng range na iyon sa 2π na mga pagitan. Dahil ang bagong function ay panaka-nakang may tuldok 2π, maaari itong palawakin sa seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Halimbawa, ang function na f(x)=x ay hindi pana-panahon. Gayunpaman, kung kinakailangan na palawakin ito sa isang seryeng Fourier sa pagitan mula o hanggang 2π, pagkatapos ay sa labas ng agwat na ito isang pana-panahong pag-andar na may panahon na 2π ay itinayo (tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba).

Para sa mga non-periodic function tulad ng f(x)=x, ang kabuuan ng Fourier series ay katumbas ng halaga ng f(x) sa lahat ng punto sa isang partikular na range, ngunit hindi ito katumbas ng f(x) para sa mga puntos sa labas ng saklaw. Upang mahanap ang seryeng Fourier ng isang non-periodic function sa 2π range, ang parehong formula ng Fourier coefficients ay ginagamit.

Kahit at kakaibang mga function.

Sabi nila ang function na y=f(x) kahit, kung f(-x)=f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng kahit na mga function ay palaging simetriko tungkol sa y-axis (iyon ay, sila ay mga mirror na imahe). Dalawang halimbawa ng even functions: y=x2 at y=cosx.

Sinasabi nila na ang function na y=f(x) kakaiba, kung f(-x)=-f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng mga kakaibang function ay palaging simetriko tungkol sa pinagmulan.

Maraming mga pag-andar ay hindi kahit na o kakaiba.

Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa mga cosine.

Ang Fourier series ng even periodic function f(x) na may period 2π ay naglalaman lamang ng mga cosine terms (ibig sabihin, walang sine terms) at maaaring may kasamang constant term. Kaya naman,

nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Ang seryeng Fourier ng isang kakaibang periodic function na f(x) na may tuldok 2π ay naglalaman lamang ng mga terminong may mga sine (iyon ay, hindi ito naglalaman ng mga termino na may mga cosine).

Kaya naman,

nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Fourier series sa kalahating cycle.

Kung ang isang function ay tinukoy para sa isang saklaw, sabihin nating mula 0 hanggang π, at hindi lamang mula 0 hanggang 2π, maaari itong palawakin sa isang serye sa mga sine o lamang sa mga cosine. Ang nagresultang serye ng Fourier ay tinatawag malapit sa Fourier sa kalahating ikot.

Kung gusto mong makuha ang agnas Half-cycle Fourier sa pamamagitan ng mga cosine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, pagkatapos ay kinakailangan upang bumuo ng isang pantay na periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f(x)=x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kahit na function simetriko tungkol sa f(x) axis, gumuhit ng linya AB, tulad ng ipinapakita sa Fig. sa ibaba. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng itinuturing na pagitan ang nakuha hugis tatsulok ay panaka-nakang may tuldok na 2π, pagkatapos ay ang panghuling graph ay mukhang, ipakita. sa Fig. sa ibaba. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion sa mga cosine, tulad ng dati, kinakalkula natin ang Fourier coefficients a o at a n

Kung kailangan mong makuha Fourier half-cycle na pagpapalawak ng sine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, pagkatapos ay kinakailangan na bumuo ng isang kakaibang periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f(x)=x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kakaibang pag-andar ay simetriko tungkol sa pinagmulan, binubuo namin ang linya ng CD, tulad ng ipinapakita sa Fig. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na pagitan ang nagreresultang signal ng sawtooth ay panaka-nakang may panahon na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay may anyo na ipinapakita sa Fig. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion ng half-cycle sa mga tuntunin ng mga sine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficient. b

Fourier series para sa isang arbitrary na pagitan.

Pagpapalawak ng periodic function na may period L.

Ang periodic function na f(x) ay umuulit habang ang x ay tumataas ng L, i.e. f(x+L)=f(x). Ang paglipat mula sa naunang itinuturing na mga function na may panahon na 2π hanggang sa mga function na may isang panahon ng L ay medyo simple, dahil ito ay maaaring gawin gamit ang isang pagbabago ng variable.

Upang mahanap ang seryeng Fourier ng function na f(x) sa hanay -L/2≤x≤L/2, ipinakilala namin ang isang bagong variable na u upang ang function na f(x) ay may panahon na 2π na may kaugnayan sa u. Kung u=2πx/L, kung gayon x=-L/2 para sa u=-π at x=L/2 para sa u=π. Hayaan din ang f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ang seryeng Fourier F(u) ay may anyo

(Ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mapalitan ng anumang pagitan ng haba L, halimbawa, mula 0 hanggang L)

Fourier series sa kalahating cycle para sa mga function na tinukoy sa interval L≠2π.

Para sa pagpapalit na u=πх/L, ang pagitan mula x=0 hanggang x=L ay tumutugma sa pagitan mula u=0 hanggang u=π. Dahil dito, ang function ay maaaring palawakin sa isang serye lamang sa mga cosine o lamang sa mga sine, i.e. V Fourier series sa kalahating cycle.

Ang pagpapalawak ng cosine sa hanay mula 0 hanggang L ay may anyo

Ang Fourier series ng even periodic function na f(x) na may period 2p ay naglalaman lamang ng mga terminong may mga cosine (ibig sabihin, hindi naglalaman ng mga terminong may sine) at maaaring may kasamang permanenteng termino. Kaya naman,

nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa mga sine

Ang seryeng Fourier ng isang kakaibang periodic function na f (x) na may tuldok 2p ay naglalaman lamang ng mga terminong may mga sinus (iyon ay, hindi ito naglalaman ng mga terminong may mga cosine).

Kaya naman,

nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Fourier series sa kalahating cycle

Kung ang isang function ay tinukoy para sa isang saklaw, sabihin nating mula 0 hanggang p, at hindi lamang mula 0 hanggang 2p, maaari itong palawakin sa isang serye lamang sa mga sine o sa mga cosine lamang. Ang nagresultang serye ng Fourier ay tinatawag malapit Fourier sa kalahating ikot

Kung gusto mong makuha ang agnas Fourier sa kalahating ikot Sa pamamagitan ng mga cosine function na f (x) sa hanay mula 0 hanggang p, pagkatapos ay kinakailangan na bumuo ng isang pantay na pana-panahong pag-andar. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f (x) = x, na binuo sa pagitan mula sa x = 0 hanggang x = p. Dahil ang kahit na function ay simetriko tungkol sa f (x) axis, gumuhit kami ng linya AB, tulad ng ipinapakita sa Fig. sa ibaba. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng itinuturing na agwat, ang nagreresultang triangular na hugis ay panaka-nakang may tuldok na 2p, kung gayon ang panghuling graph ay ganito ang hitsura: sa Fig. sa ibaba. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion sa mga cosine, tulad ng dati, kinakalkula natin ang Fourier coefficients a o at a n

Kung kailangan mong makuha pagkabulok Fourier sa kalahating ikot Sa pamamagitan ng sinuses function na f (x) sa hanay mula 0 hanggang p, pagkatapos ay kinakailangan upang bumuo ng isang kakaibang periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f (x) =x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=p. Dahil ang kakaibang pag-andar ay simetriko tungkol sa pinagmulan, binubuo namin ang linya ng CD, tulad ng ipinapakita sa Fig.

Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na pagitan ang nagreresultang signal ng sawtooth ay panaka-nakang may panahon na 2p, kung gayon ang panghuling graph ay may anyo na ipinapakita sa Fig. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion ng half-cycle sa mga tuntunin ng mga sine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficient. b

Ang seryeng Fourier ay isang representasyon ng isang arbitrary na function na may isang tiyak na panahon sa anyo ng isang serye. Sa pangkalahatan, ang solusyon na ito ay tinatawag na agnas ng isang elemento kasama ang isang orthogonal na batayan. Ang pagpapalawak ng mga function sa seryeng Fourier ay isang medyo makapangyarihang tool para sa paglutas ng iba't ibang mga problema dahil sa mga katangian ng pagbabagong ito sa panahon ng integration, differentiation, pati na rin ang paglilipat ng mga expression sa pamamagitan ng argumento at convolution.

Ang isang tao na hindi pamilyar sa mas mataas na matematika, pati na rin sa mga gawa ng Pranses na siyentipiko na si Fourier, malamang na hindi mauunawaan kung ano ang mga "serye" na ito at kung ano ang kailangan nila. Samantala, ang pagbabagong ito ay naging lubos na isinama sa ating buhay. Ginagamit ito hindi lamang ng mga mathematician, kundi pati na rin ng mga physicist, chemist, doktor, astronomer, seismologist, oceanographer at marami pang iba. Tingnan din natin ang mga gawa ng mahusay na Pranses na siyentipiko na nakagawa ng isang pagtuklas na nauna sa panahon nito.

Tao at ang Fourier Transform

Ang serye ng Fourier ay isa sa mga pamamaraan (kasama ang pagsusuri at iba pa) Ang prosesong ito ay nangyayari sa tuwing nakakarinig ng tunog ang isang tao. Awtomatikong isinasagawa ng ating tainga ang pagbabago elementarya na mga particle sa isang nababanat na daluyan ay inilatag sa mga hilera (kasama ang spectrum) ng sunud-sunod na mga halaga ng antas ng lakas para sa mga tono ng iba't ibang taas. Susunod, ginagawa ng utak ang data na ito sa mga tunog na pamilyar sa atin. Nangyayari ang lahat ng ito nang wala ang ating pagnanais o kamalayan, sa sarili nitong, ngunit upang maunawaan ang mga prosesong ito, aabutin ng ilang taon upang pag-aralan ang mas mataas na matematika.

Higit pa tungkol sa Fourier transform

Ang pagbabagong Fourier ay maaaring isagawa gamit ang analytical, numerical at iba pang mga pamamaraan. Ang Fourier series ay tumutukoy sa numerical na paraan ng pag-decomposing ng anumang oscillatory na proseso - mula sa karagatan at light waves hanggang sa mga siklo ng solar (at iba pang astronomical na bagay) na aktibidad. Gamit ang mga mathematical technique na ito, maaari mong pag-aralan ang mga function, na kumakatawan sa anumang oscillatory na proseso bilang isang serye ng mga sinusoidal na bahagi na lumilipat mula sa minimum hanggang sa maximum at pabalik. Ang Fourier transform ay isang function na naglalarawan sa phase at amplitude ng sinusoids na tumutugma sa isang tiyak na frequency. Ang prosesong ito ay maaaring gamitin upang malutas ang napakasalimuot na mga equation na naglalarawan ng mga dynamic na proseso na nagmumula sa ilalim ng impluwensya ng init, liwanag o enerhiyang elektrikal. Gayundin, ginagawang posible ng serye ng Fourier na ihiwalay ang mga pare-parehong bahagi sa mga kumplikadong oscillatory signal, na ginagawang posible na wastong bigyang-kahulugan ang mga eksperimentong obserbasyon na nakuha sa medisina, kimika at astronomiya.

Makasaysayang sanggunian

Ang founding father ng teoryang ito ay ang French mathematician na si Jean Baptiste Joseph Fourier. Ang pagbabagong ito ay ipinangalan sa kanya pagkatapos. Sa una, ginamit ng siyentipiko ang kanyang pamamaraan upang pag-aralan at ipaliwanag ang mga mekanismo ng thermal conductivity - ang pagkalat ng init sa mga solido. Iminungkahi ni Fourier na ang paunang hindi regular na pamamahagi ay maaaring mabulok sa mga simpleng sinusoid, na ang bawat isa ay magkakaroon ng sarili nitong minimum at maximum na temperatura, pati na rin ang sarili nitong yugto. Sa kasong ito, ang bawat naturang bahagi ay susukatin mula minimum hanggang maximum at pabalik. Ang mathematical function na naglalarawan sa upper at lower peak ng curve, pati na rin ang phase ng bawat harmonic, ay tinatawag na Fourier transform ng temperature distribution expression. Pinagsama-sama ng may-akda ng teorya pangkalahatang pag-andar pamamahagi, na mahirap ilarawan sa matematika, sa isang napaka-maginhawang serye ng cosine at sine, na magkakasamang nagbibigay ng orihinal na pamamahagi.

Ang prinsipyo ng pagbabago at mga pananaw ng mga kontemporaryo

Ang mga kontemporaryo ng siyentipiko - mga nangungunang mathematician noong unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo - ay hindi tinanggap ang teoryang ito. Ang pangunahing pagtutol ay ang paninindigan ni Fourier na ang isang discontinuous function, na naglalarawan sa isang tuwid na linya o discontinuous curve, ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng sinusoidal expression na tuluy-tuloy. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang Heaviside step: ang value nito ay zero sa kaliwa ng discontinuity at isa sa kanan. Inilalarawan ng function na ito ang pag-asa ng electric current sa isang pansamantalang variable kapag ang circuit ay sarado. Ang mga kontemporaryo ng teorya noong panahong iyon ay hindi pa nakatagpo ng katulad na sitwasyon kung saan ang isang di-tuloy na pagpapahayag ay ilalarawan sa pamamagitan ng kumbinasyon ng tuluy-tuloy, ordinaryong mga function tulad ng exponential, sine, linear o quadratic.

Ano ang nakalilito sa mga French mathematician tungkol sa teorya ni Fourier?

Pagkatapos ng lahat, kung tama ang mathematician sa kanyang mga pahayag, kung gayon, pagbubuod ng walang katapusan serye ng trigonometriko Fourier, posibleng makakuha ng eksaktong representasyon ng isang step expression kahit na marami itong katulad na hakbang. Sa simula ng ikalabinsiyam na siglo, ang gayong pahayag ay tila walang katotohanan. Ngunit sa kabila ng lahat ng mga pagdududa, maraming mga mathematician ang pinalawak ang saklaw ng pag-aaral ng hindi pangkaraniwang bagay na ito, na dinadala ito sa kabila ng pag-aaral ng thermal conductivity. Gayunpaman, ang karamihan sa mga siyentipiko ay patuloy na pinahihirapan ng tanong na: "Maaari bang magtagpo ang kabuuan ng isang serye ng sinusoidal sa eksaktong halaga hindi tuloy-tuloy na pag-andar?

Convergence ng Fourier series: isang halimbawa

Ang tanong ng convergence ay bumangon sa tuwing kinakailangan na magsama ng walang katapusang serye ng mga numero. Upang maunawaan ang hindi pangkaraniwang bagay na ito, isaalang-alang ang isang klasikong halimbawa. Maaabot mo ba ang pader kung ang bawat susunod na hakbang ay kalahati ng laki ng nauna? Sabihin nating dalawang metro ka mula sa iyong target, ang unang hakbang ay magdadala sa iyo sa kalahating marka, ang susunod ay magdadala sa iyo sa tatlong-kapat na marka, at pagkatapos ng ikalima ay nasasaklaw mo na ang halos 97 porsiyento ng daan. Gayunpaman, gaano man karaming mga hakbang ang iyong gawin, hindi mo makakamit ang iyong nilalayon na layunin sa isang mahigpit na kahulugan ng matematika. Gamit ang mga numerical na kalkulasyon, mapapatunayan na sa kalaunan ay posible na makakuha ng mas malapit sa ibinigay na distansya. Ang patunay na ito ay katumbas ng pagpapakita na ang kabuuan ng kalahati, ikaapat, atbp. ay may posibilidad sa pagkakaisa.

The Question of Convergence: The Second Coming, or Lord Kelvin's Instrument

Muling ibinangon ang isyung ito sa pagtatapos ng ikalabinsiyam na siglo, nang sinubukan nilang gamitin ang serye ng Fourier upang mahulaan ang tides ng tides. Sa oras na ito, nag-imbento si Lord Kelvin ng isang aparato na isang analog aparatong pang-compute, na nagbigay-daan sa mga mandaragat ng militar at mangangalakal na masubaybayan ang natural na pangyayaring ito. Tinukoy ng mekanismong ito ang mga hanay ng mga yugto at amplitude mula sa isang talaan ng mga taas ng tubig at kaukulang mga punto ng oras, na maingat na sinusukat sa isang partikular na daungan sa buong taon. Ang bawat parameter ay isang sinusoidal na bahagi ng pagpapahayag ng taas ng tubig at isa sa mga regular na bahagi. Ang mga sukat ay ipinasok sa instrumento ng pagkalkula ni Lord Kelvin, na nag-synthesize ng curve na hinulaang ang taas ng tubig bilang isang function ng oras para sa susunod na taon. Sa lalong madaling panahon ang mga katulad na kurba ay iginuhit para sa lahat ng mga daungan ng mundo.

Paano kung ang proseso ay nagambala ng isang hindi tuloy-tuloy na pag-andar?

Sa oras na iyon ay tila halata na ang isang tidal wave predictor na may malaking bilang ng mga elemento ng pagbibilang ay maaaring kalkulahin ang isang malaking bilang ng mga phase at amplitudes at sa gayon ay nagbibigay ng mas tumpak na mga hula. Gayunpaman, lumabas na ang pattern na ito ay hindi sinusunod sa mga kaso kung saan ang tidal expression na dapat i-synthesize ay naglalaman ng isang matalim na pagtalon, iyon ay, ito ay hindi nagpapatuloy. Kung ang data mula sa isang talahanayan ng mga sandali ng oras ay ipinasok sa aparato, kinakalkula nito ang ilang mga Fourier coefficient. Ang orihinal na pag-andar ay naibalik salamat sa mga bahagi ng sinusoidal (alinsunod sa mga nahanap na coefficient). Ang pagkakaiba sa pagitan ng orihinal at muling itinayong expression ay maaaring masukat sa anumang punto. Kapag nagsasagawa ng paulit-ulit na mga kalkulasyon at paghahambing, malinaw na ang halaga ng pinakamalaking error ay hindi bumababa. Gayunpaman, ang mga ito ay naisalokal sa rehiyon na tumutugma sa discontinuity point, at sa anumang iba pang punto ay may posibilidad silang maging zero. Noong 1899, ang resultang ito ay theoretically nakumpirma ni Joshua Willard Gibbs ng Yale University.

Convergence ng Fourier series at ang pag-unlad ng matematika sa pangkalahatan

Ang pagsusuri ng Fourier ay hindi naaangkop sa mga expression na naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga spike sa isang partikular na agwat. Sa pangkalahatan, Fourier series, kung ang orihinal na function ay kinakatawan ng resulta ng real pisikal na dimensyon, laging nagtatagpo. Ang mga tanong tungkol sa convergence ng prosesong ito para sa mga tiyak na klase ng mga function ay humantong sa paglitaw ng mga bagong sangay sa matematika, halimbawa, ang teorya ng generalised function. Siya ay nauugnay sa mga pangalan tulad ng L. Schwartz, J. Mikusinski at J. Temple. Sa loob ng balangkas ng teoryang ito, isang malinaw at tumpak teoretikal na batayan sa ilalim ng mga expression tulad ng Dirac delta function (ito ay naglalarawan ng isang rehiyon ng isang lugar na puro sa isang napakaliit na kapitbahayan ng isang punto) at ang Heaviside na "hakbang". Salamat sa gawaing ito, naging naaangkop ang serye ng Fourier sa paglutas ng mga equation at mga problemang kinasasangkutan ng mga intuitive na konsepto: point charge, point mass, magnetic dipoles, at concentrated load sa isang beam.

Fourier na pamamaraan

Ang serye ng Fourier, alinsunod sa mga prinsipyo ng panghihimasok, ay nagsisimula sa agnas ng mga kumplikadong anyo sa mas simple. Halimbawa, ang isang pagbabago sa daloy ng init ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng pagdaan nito sa iba't ibang mga hadlang na gawa sa heat-insulating material na hindi regular na hugis o isang pagbabago sa ibabaw ng lupa - isang lindol, isang pagbabago sa orbit. celestial body- impluwensya ng mga planeta. Bilang isang patakaran, ang mga naturang equation na naglalarawan ng mga simpleng klasikal na sistema ay madaling malutas para sa bawat indibidwal na alon. Ipinakita iyon ni Fourier mga simpleng solusyon ay maaari ding isama upang makakuha ng mga solusyon sa mas kumplikadong mga problema. Sa mga terminong pangmatematika, ang seryeng Fourier ay isang pamamaraan para sa pagkatawan ng isang expression bilang kabuuan ng mga harmonika - cosine at sine. kaya lang pagsusuring ito kilala rin bilang harmonic analysis.

Fourier series - isang perpektong pamamaraan bago ang "panahon ng computer"

Bago ang paglikha kagamitan sa kompyuter Ang diskarteng Fourier ay ang pinakamahusay na sandata sa arsenal ng mga siyentipiko kapag nagtatrabaho sa likas na alon ng ating mundo. Fourier serye kumplikadong anyo nagpapahintulot sa iyo na magpasya hindi lamang mga simpleng gawain, na pumapayag sa direktang aplikasyon ng mga batas ng mekanika ni Newton, ngunit pati na rin ang mga pangunahing equation. Karamihan sa mga natuklasan ng Newtonian science noong ikalabinsiyam na siglo ay naging posible lamang sa pamamagitan ng pamamaraan ni Fourier.

Fourier series ngayon

Sa pag-unlad ng mga computer, ang Fourier transforms ay tumaas sa isang qualitatively bagong antas. Ang pamamaraan na ito ay matatag na itinatag sa halos lahat ng mga lugar ng agham at teknolohiya. Ang isang halimbawa ay digital audio at video. Ang pagpapatupad nito ay naging posible lamang salamat sa isang teorya na binuo ng isang Pranses na matematiko sa simula ng ikalabinsiyam na siglo. Kaya, ang seryeng Fourier sa isang kumplikadong anyo ay naging posible upang makagawa ng isang pambihirang tagumpay sa pag-aaral ng kalawakan. Bilang karagdagan, naimpluwensyahan nito ang pag-aaral ng pisika ng mga semiconductor na materyales at plasma, microwave acoustics, oceanography, radar, at seismology.

Serye ng Trigonometric Fourier

Sa matematika, ang seryeng Fourier ay isang paraan ng pagkatawan ng arbitraryo kumplikadong mga pag-andar ang kabuuan ng mga mas simple. SA pangkalahatang mga kaso ang bilang ng mga naturang expression ay maaaring walang katapusan. Bukod dito, kung higit na isinasaalang-alang ang kanilang numero sa pagkalkula, mas tumpak ang huling resulta. Kadalasan, ang mga trigonometric na function ng cosine o sine ay ginagamit bilang pinakasimpleng mga. Sa kasong ito, ang serye ng Fourier ay tinatawag na trigonometric, at ang solusyon ng naturang mga expression ay tinatawag na harmonic expansion. Ang pamamaraang ito ay gumaganap mahalagang papel sa matematika. Una sa lahat, ang serye ng trigonometriko ay nagbibigay ng paraan para sa paglalarawan at pag-aaral din ng mga pag-andar; ito ang pangunahing kagamitan ng teorya. Bilang karagdagan, pinapayagan ka nitong malutas ang isang bilang ng mga problema sa matematikal na pisika. Sa wakas, ang teoryang ito ay nag-ambag sa pagbuo ng isang bilang ng mga napakahalagang sangay ng matematikal na agham (ang teorya ng mga integral, ang teorya ng mga pana-panahong pag-andar). Bilang karagdagan, ito ay nagsilbing panimulang punto para sa pagbuo ng mga sumusunod na pag-andar ng isang tunay na variable, at inilatag din ang pundasyon para sa harmonic analysis.