Isasaalang-alang namin ang mga expression ng seryeng Fourier sa trigonometriko at kumplikadong anyo, at bigyang-pansin din ang mga kondisyon ng Dirichlet para sa tagpo ng seryeng Fourier. Bilang karagdagan, tatalakayin natin nang detalyado ang paliwanag ng naturang konsepto bilang negatibong dalas ng signal spectrum, na kadalasang nagiging sanhi ng kahirapan kapag naging pamilyar sa teorya ng spectral analysis.
Pana-panahong signal. Serye ng trigonometric Fourier
Hayaang magkaroon ng periodic signal ng tuloy-tuloy na oras na umuulit sa period c, i.e. , kung saan ay isang arbitrary integer.
Bilang isang halimbawa, ang Figure 1 ay nagpapakita ng isang pagkakasunod-sunod ng mga parihabang pulso ng tagal c, na paulit-ulit na may isang panahon ng c.
Figure 1. Pana-panahong pagkakasunud-sunod
hugis-parihaba na pulso
Mula sa kurso ng pagtatasa ng matematika ay kilala na ang sistema ng mga function ng trigonometriko
Sa maramihang mga frequency , kung saan ang rad/s ay isang integer, ito ay bumubuo ng isang orthonormal na batayan para sa agnas ng mga pana-panahong signal na may panahon na nakakatugon sa mga kondisyon ng Dirichlet. Ang mga kondisyon ng Dirichlet para sa convergence ng seryeng Fourier ay nangangailangan na ang isang pana-panahong signal ay tinukoy sa segment at matugunan ang mga sumusunod na kundisyon:
Halimbawa, ang periodic function 
ay hindi nakakatugon sa mga kondisyon ng Dirichlet dahil ang function ay may mga discontinuities ng pangalawang uri at tumatagal ng walang katapusang mga halaga sa , kung saan ay isang arbitrary integer. Kaya ang function hindi maaaring katawanin malapit sa Fourier. Maaari ka ring magbigay ng isang halimbawa ng function 
, na limitado, ngunit hindi rin nakakatugon sa mga kondisyon ng Dirichlet, dahil mayroon itong walang katapusang bilang ng mga extremum point habang papalapit ito sa zero. Graph ng isang function ipinapakita sa Figure 2.
Figure 2. Function graph :
a - dalawang panahon ng pag-uulit; b - sa paligid
Ipinapakita ng Figure 2a ang dalawang yugto ng pag-uulit ng function , at sa Figure 2b - ang lugar sa paligid ng . Ito ay makikita na habang ito ay lumalapit sa zero, ang oscillation frequency ay tumataas nang walang hanggan, at ang gayong function ay hindi maaaring katawanin ng isang Fourier series, dahil ito ay hindi piecewise monotonic.
Dapat pansinin na sa pagsasagawa ay walang mga signal na may walang katapusang kasalukuyang o mga halaga ng boltahe. Mga function na may walang katapusang bilang ng uri ng extrema hindi rin nangyayari sa mga inilapat na problema. Ang lahat ng tunay na pana-panahong signal ay nakakatugon sa mga kundisyon ng Dirichlet at maaaring katawanin ng isang walang katapusang trigonometric Fourier series ng form:
Sa expression (2), ang koepisyent ay tumutukoy sa pare-parehong bahagi ng periodic signal.
Sa lahat ng mga punto kung saan ang signal ay tuloy-tuloy, ang Fourier series (2) ay nagtatagpo sa mga halaga ng ibinigay na signal, at sa mga punto ng discontinuity ng unang uri - sa average na halaga, kung saan at ang mga limitasyon sa kaliwa at sa kanan ng discontinuity point, ayon sa pagkakabanggit.
Ito ay kilala rin mula sa kurso ng mathematical analysis na ang paggamit ng isang pinutol na serye ng Fourier, na naglalaman lamang ng mga unang termino sa halip na isang walang katapusang kabuuan, ay humahantong sa isang tinatayang representasyon ng signal:
Kung saan tinitiyak ang pinakamababang mean square error. Ang Figure 3 ay naglalarawan ng approximation ng isang periodic square wave train at isang periodic ramp wave kapag gumagamit ng iba't ibang numero ng Fourier series terms.
Figure 3. Approximation ng mga signal gamit ang pinutol na serye ng Fourier:
a - mga hugis-parihaba na pulso; b - signal ng ngipin ng lagari
Fourier serye sa kumplikadong anyo
Sa nakaraang seksyon, sinuri namin ang trigonometric Fourier series para sa pagpapalawak ng isang arbitrary na pana-panahong signal na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon ng Dirichlet. Gamit ang formula ni Euler, maaari nating ipakita ang:
Pagkatapos ay ang trigonometric Fourier series (2) na isinasaalang-alang ang (4):
Kaya, ang isang pana-panahong signal ay maaaring kinakatawan ng kabuuan ng isang pare-parehong bahagi at kumplikadong mga exponential na umiikot sa mga frequency na may mga coefficient para sa mga positibong frequency, at para sa mga kumplikadong exponential na umiikot sa mga negatibong frequency.
Isaalang-alang natin ang mga coefficient para sa mga kumplikadong exponential na umiikot na may mga positibong frequency:
Katulad nito, ang mga coefficient para sa mga kumplikadong exponential na umiikot na may mga negatibong frequency ay:
Ang mga expression (6) at (7) ay nag-tutugma bilang karagdagan, ang pare-parehong bahagi ay maaari ding isulat sa pamamagitan ng isang kumplikadong exponential sa zero frequency:
Kaya, ang (5) na isinasaalang-alang ang (6)-(8) ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan kapag na-index mula minus infinity hanggang infinity:
Mula sa expression (2) ito ay sumusunod na para sa isang tunay na signal ang coefficients ng serye (2) ay tunay din. Gayunpaman, ang (9) ay nag-uugnay ng isang tunay na signal sa isang hanay ng mga kumplikadong conjugate coefficient na nauugnay sa parehong positibo at negatibong mga frequency.
Ang ilang mga paliwanag ng seryeng Fourier sa kumplikadong anyo
Sa nakaraang seksyon, ginawa namin ang paglipat mula sa trigonometric Fourier series (2) sa Fourier series sa kumplikadong anyo (9). Bilang isang resulta, sa halip na mabulok ang mga pana-panahong signal sa batayan ng mga tunay na trigonometriko na pag-andar, nakatanggap kami ng pagpapalawak sa batayan ng mga kumplikadong exponential, na may mga kumplikadong coefficient, at kahit na ang mga negatibong frequency ay lumitaw sa pagpapalawak! Dahil ang isyung ito ay madalas na hindi maunawaan, kailangan ng ilang paglilinaw.
Una, ang pagtatrabaho sa mga kumplikadong exponent ay sa karamihan ng mga kaso ay mas madali kaysa sa pagtatrabaho sa mga function ng trigonometriko. Halimbawa, kapag nagpaparami at naghahati ng mga kumplikadong exponents, sapat na ang pagdaragdag (bawas) lamang ng mga exponents, habang ang mga formula para sa pagpaparami at paghahati ng mga function ng trigonometriko ay mas mahirap.
Ang pagkakaiba-iba at pagsasama-sama ng mga exponential, kahit na kumplikado, ay mas madali din kaysa sa mga function ng trigonometriko, na patuloy na nagbabago kapag naiba at pinagsama-sama (ang sin ay nagiging cosine at vice versa).
Kung ang signal ay panaka-nakang at tunay, kung gayon ang trigonometric Fourier series (2) ay tila mas malinaw, dahil ang lahat ng expansion coefficients , at nananatiling totoo. Gayunpaman, madalas na kailangang harapin ng isang tao ang mga kumplikadong pana-panahong signal (halimbawa, kapag modulate at demodulate, ginagamit ang isang quadrature na representasyon ng kumplikadong sobre). Sa kasong ito, kapag ginagamit ang trigonometric Fourier series, ang lahat ng coefficient , at expansions (2) ay magiging kumplikado, habang kapag ginagamit ang Fourier series sa complex form (9), ang parehong expansion coefficients ay gagamitin para sa parehong tunay at kumplikadong mga signal ng input. .
At sa wakas, kinakailangang pag-isipan ang paliwanag ng mga negatibong frequency na lumitaw sa (9). Ang tanong na ito ay kadalasang nagdudulot ng hindi pagkakaunawaan. SA Araw-araw na buhay hindi kami nakakatagpo ng mga negatibong frequency. Halimbawa, hindi namin kailanman ini-tune ang aming radyo sa negatibong frequency. Isaalang-alang natin ang sumusunod na pagkakatulad mula sa mekanika. Hayaang magkaroon ng mekanikal na spring pendulum na malayang umuusad sa isang tiyak na dalas. Maaari bang mag-oscillate ang isang pendulum na may negatibong frequency? Syempre hindi. Kung paanong walang mga istasyon ng radyo na nagbo-broadcast sa mga negatibong frequency, ang dalas ng mga oscillations ng isang pendulum ay hindi maaaring negatibo. Ngunit ang isang spring pendulum ay isang one-dimensional na bagay (ang pendulum ay nag-oscillates sa isang tuwid na linya).
Maaari din tayong magbigay ng isa pang pagkakatulad mula sa mekanika: isang gulong na umiikot na may dalas na . Ang gulong, hindi tulad ng pendulum, ay umiikot, i.e. ang isang punto sa ibabaw ng gulong ay gumagalaw sa isang eroplano, at hindi basta-basta umiikot sa isang tuwid na linya. Samakatuwid, upang natatanging tukuyin ang pag-ikot ng gulong, ang pagtatakda ng bilis ng pag-ikot ay hindi sapat, dahil kinakailangan din na itakda ang direksyon ng pag-ikot. Ito ang eksaktong dahilan kung bakit maaari nating gamitin ang frequency sign.
Kaya, kung ang gulong ay umiikot na may isang angular frequency rad/s counterclockwise, pagkatapos ay isasaalang-alang namin na ang gulong ay umiikot na may positibong dalas, at kung clockwise, kung gayon ang dalas ng pag-ikot ay magiging negatibo. Kaya, para sa isang utos ng pag-ikot, ang isang negatibong dalas ay tumigil sa pagiging walang kapararakan at nagpapahiwatig ng direksyon ng pag-ikot.
At ngayon ang pinakamahalagang bagay na dapat nating maunawaan. Ang oscillation ng isang one-dimensional na bagay (halimbawa, isang spring pendulum) ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga pag-ikot ng dalawang vector na ipinapakita sa Figure 4.
Figure 4. Oscillation ng isang spring pendulum
bilang kabuuan ng mga pag-ikot ng dalawang vectors
sa kumplikadong eroplano
Ang pendulum ay nag-oscillates kasama ang tunay na axis ng kumplikadong eroplano na may dalas ayon sa harmonic law. Ang paggalaw ng pendulum ay ipinapakita bilang isang pahalang na vector. Ang tuktok na vector ay umiikot sa kumplikadong eroplano na may positibong frequency (counterclockwise), at ang ibabang vector ay umiikot na may negatibong frequency (clockwise). Malinaw na inilalarawan ng Figure 4 ang kilalang kaugnayan mula sa kursong trigonometrya:
Kaya, ang serye ng Fourier sa kumplikadong anyo (9) ay kumakatawan sa mga pana-panahong isang-dimensional na signal bilang isang kabuuan ng mga vector sa kumplikadong eroplano na umiikot na may positibo at negatibong mga frequency. Kasabay nito, tandaan natin na sa kaso ng isang tunay na signal, ayon sa (9), ang mga expansion coefficient para sa mga negatibong frequency ay kumplikadong conjugate sa kaukulang coefficient para sa mga positibong frequency. Sa kaso ng isang kumplikadong signal, ang pag-aari na ito ng mga coefficient ay hindi hawakan dahil sa ang katunayan na at kumplikado din.
Spectrum ng mga pana-panahong signal
Ang Fourier series sa complex form ay ang decomposition ng isang periodic signal sa kabuuan ng complex exponentials na umiikot sa positive at negative frequency sa multiple ng rad/c na may kaukulang complex coefficient na tumutukoy sa spectrum ng signal. Ang mga kumplikadong coefficient ay maaaring katawanin gamit ang Euler formula bilang , kung saan ang amplitude spectrum, a ay ang phase spectrum.
Dahil ang mga pana-panahong signal ay inilatag sa isang hilera lamang sa isang nakapirming grid ng dalas, ang spectrum ng mga pana-panahong signal ay may linya (discrete).
Figure 5. Spectrum ng isang periodic sequence
hugis-parihaba na pulso:
a - amplitude spectrum; b - phase spectrum
Ipinapakita ng Figure 5 ang isang halimbawa ng amplitude at phase spectrum ng isang periodic sequence ng rectangular pulses (tingnan ang Figure 1) sa c, pulse duration c at pulse amplitude B.
Fourier na serye ng mga periodic function na may period 2π.
Ang seryeng Fourier ay nagpapahintulot sa amin na pag-aralan ang mga pana-panahong pag-andar sa pamamagitan ng pag-decomposing sa mga ito sa mga bahagi. Ang mga alternating current at boltahe, mga displacement, bilis at acceleration ng mga mekanismo ng crank at acoustic wave ay tipikal. praktikal na mga halimbawa aplikasyon ng mga pana-panahong pag-andar sa mga kalkulasyon ng engineering.
Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier ay batay sa pagpapalagay na ang lahat ng mga function ng praktikal na kahalagahan sa pagitan -π ≤x≤ π ay maaaring ipahayag sa anyo ng convergent trigonometric series (ang isang serye ay itinuturing na convergent kung ang pagkakasunud-sunod ng mga partial sums na binubuo ng mga termino nito nagtatagpo):
Karaniwang (=ordinaryong) notation sa pamamagitan ng kabuuan ng sinx at cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
kung saan ang a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. ay mga tunay na constants, i.e.
Kung saan, para sa hanay mula -π hanggang π, ang mga coefficient ng seryeng Fourier ay kinakalkula gamit ang mga formula:
Ang mga coefficient na a o , a n at b n ay tinatawag Fourier coefficients, at kung mahahanap ang mga ito, tatawagin ang serye (1). sa tabi ni Fourier, naaayon sa function na f(x). Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) ay tinatawag na una o pangunahing harmonic,
Ang isa pang paraan upang magsulat ng isang serye ay ang paggamit ng ugnayang acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Kung saan ang a o ay pare-pareho, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 ay ang mga amplitude ng iba't ibang bahagi, at katumbas ng a n =arctg a n /b n.
Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) o c 1 sin(x+α 1) ay tinatawag na una o pangunahing harmonic,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) o c 2 sin(2x+α 2) ay tinatawag pangalawang harmonic at iba pa.
Upang tumpak na kumatawan sa isang kumplikadong signal ay karaniwang nangangailangan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino. Gayunpaman, sa maraming praktikal na mga problema sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga unang ilang termino.
Fourier series ng non-periodic functions na may period 2π.
Pagpapalawak ng mga non-periodic function.
Kung ang function na f(x) ay hindi pana-panahon, nangangahulugan ito na hindi ito mapalawak sa seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Gayunpaman, posibleng tumukoy ng seryeng Fourier na kumakatawan sa isang function sa anumang saklaw ng lapad na 2π.
Dahil sa isang non-periodic function, ang isang bagong function ay maaaring mabuo sa pamamagitan ng pagpili ng mga value ng f(x) sa loob ng isang partikular na range at pag-uulit ng mga ito sa labas ng range na iyon sa 2π na mga pagitan. Dahil ang bagong function ay panaka-nakang may tuldok 2π, maaari itong palawakin sa seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Halimbawa, ang function na f(x)=x ay hindi pana-panahon. Gayunpaman, kung kinakailangan na palawakin ito sa isang seryeng Fourier sa pagitan mula o hanggang 2π, pagkatapos ay sa labas ng agwat na ito isang pana-panahong pag-andar na may panahon na 2π ay itinayo (tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba).
Para sa mga non-periodic function tulad ng f(x)=x, ang kabuuan ng Fourier series ay katumbas ng halaga ng f(x) sa lahat ng punto sa isang partikular na range, ngunit hindi ito katumbas ng f(x) para sa mga puntos sa labas ng saklaw. Upang mahanap ang seryeng Fourier ng isang non-periodic function sa 2π range, ang parehong formula ng Fourier coefficients ay ginagamit.
Kahit at kakaibang mga function.
Sabi nila ang function na y=f(x) kahit, kung f(-x)=f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng kahit na mga function ay palaging simetriko tungkol sa y-axis (iyon ay, sila ay mga mirror na imahe). Dalawang halimbawa ng even functions: y=x2 at y=cosx.
Sinasabi nila na ang function na y=f(x) kakaiba, kung f(-x)=-f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng mga kakaibang function ay palaging simetriko tungkol sa pinagmulan.
Maraming mga pag-andar ay hindi kahit na o kakaiba.
Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa mga cosine.
Ang Fourier series ng even periodic function f(x) na may period 2π ay naglalaman lamang ng mga cosine terms (ibig sabihin, walang sine terms) at maaaring may kasamang constant term. Kaya naman,
nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
Ang seryeng Fourier ng isang kakaibang periodic function na f(x) na may tuldok 2π ay naglalaman lamang ng mga terminong may mga sine (iyon ay, hindi ito naglalaman ng mga termino na may mga cosine).
Kaya naman,
nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
Fourier series sa kalahating cycle.
Kung ang isang function ay tinukoy para sa isang saklaw, sabihin nating mula 0 hanggang π, at hindi lamang mula 0 hanggang 2π, maaari itong palawakin sa isang serye sa mga sine o lamang sa mga cosine. Ang nagresultang serye ng Fourier ay tinatawag malapit sa Fourier sa kalahating ikot.
Kung gusto mong makuha ang agnas Half-cycle Fourier sa pamamagitan ng mga cosine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, kung gayon kinakailangan na bumuo ng pantay na periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f(x)=x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kahit function simetriko tungkol sa f(x) axis, gumuhit ng linya AB, tulad ng ipinapakita sa Fig. sa ibaba. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng itinuturing na pagitan ang nakuha hugis tatsulok ay panaka-nakang may tuldok na 2π, pagkatapos ay ang panghuling graph ay mukhang, ipakita. sa Fig. sa ibaba. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion sa mga cosine, tulad ng dati, kinakalkula natin ang Fourier coefficients a o at a n
Kung kailangan mong makuha Fourier half-cycle na pagpapalawak ng sine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, pagkatapos ay kinakailangan na bumuo ng isang kakaibang periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f(x)=x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kakaibang pag-andar ay simetriko tungkol sa pinagmulan, binubuo namin ang linya ng CD, tulad ng ipinapakita sa Fig. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na pagitan ang nagreresultang signal ng sawtooth ay panaka-nakang may panahon na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay may anyo na ipinapakita sa Fig. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion ng half-cycle sa mga tuntunin ng mga sine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficient. b
Fourier series para sa isang arbitrary na pagitan.
Pagpapalawak ng periodic function na may period L.
Pana-panahong pag-andar Ang f(x) ay umuulit habang ang x ay tumataas ng L, i.e. f(x+L)=f(x). Ang paglipat mula sa naunang itinuturing na mga function na may panahon na 2π hanggang sa mga function na may isang panahon ng L ay medyo simple, dahil ito ay maaaring gawin gamit ang isang pagbabago ng variable.
Upang mahanap ang seryeng Fourier ng function na f(x) sa hanay -L/2≤x≤L/2, ipinakilala namin ang isang bagong variable na u upang ang function na f(x) ay may panahon na 2π na may kaugnayan sa u. Kung u=2πx/L, kung gayon x=-L/2 para sa u=-π at x=L/2 para sa u=π. Hayaan din ang f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ang seryeng Fourier F(u) ay may anyo
(Ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mapalitan ng anumang pagitan ng haba L, halimbawa, mula 0 hanggang L)
Fourier series sa kalahating cycle para sa mga function na tinukoy sa interval L≠2π.
Para sa pagpapalit na u=πх/L, ang pagitan mula x=0 hanggang x=L ay tumutugma sa pagitan mula u=0 hanggang u=π. Dahil dito, ang function ay maaaring palawakin sa isang serye lamang sa mga cosine o lamang sa mga sine, i.e. V Fourier series sa kalahating cycle.
Ang pagpapalawak ng cosine sa hanay mula 0 hanggang L ay may anyo
, Saan
.
Ang seryeng Fourier ng isang function na f(x) sa pagitan (-l;l) ay isang trigonometrikong serye ng anyo: 
, Saan
.
Layunin. Online na calculator ay dinisenyo upang palawakin ang function na f(x) sa isang Fourier Series.
Para sa mga modulo function (tulad ng |x|), gamitin pagpapalawak ng cosine.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga function:
Para sa modulo function, gumamit ng cosine expansion. Halimbawa, para sa |x| ito ay kinakailangan upang magpasok ng isang function na walang isang module, i.e. x.Fourier series piecewise continuous, piecewise monotonic at bounded sa interval (- l;l) ng function ay nagtatagpo sa buong linya ng numero.
Kabuuan ng Fourier series S(x) :
- ay isang periodic function na may period 2 l. Ang isang function na u(x) ay tinatawag na periodic na may period T (o T-periodic) kung para sa lahat ng x ng rehiyon R, u(x+T)=u(x).
- sa pagitan (- l;l) kasabay ng function f(x), maliban sa mga breakpoint
- sa mga punto ng discontinuity (sa unang uri, dahil ang function ay bounded) ng function f(x) at sa mga dulo ng agwat ay kumukuha ng mga average na halaga:
Sinasabi nila na ang pagpapaandar ay lumalawak sa isang seryeng Fourier sa pagitan (- l;l):
.
Kung f(x) ay isang kahit na pag-andar, pagkatapos ay ang mga kahit na pag-andar lamang ang lumahok sa pagpapalawak nito, iyon ay b n=0.
Kung f(x) ay isang kakaibang pag-andar, kung gayon ang mga kakaibang pag-andar lamang ang lumahok sa pagpapalawak nito, iyon ay at n=0
Malapit sa Fourier
mga function f(x) sa pagitan (0; l) sa pamamagitan ng mga cosine ng maramihang mga arko
ang hilera ay tinatawag na: 
, Saan 
.
Malapit sa Fourier
mga function f(x) sa pagitan (0; l) kasama ang mga sine ng maramihang mga arko
ang hilera ay tinatawag na: 
, Saan 
.
Ang kabuuan ng seryeng Fourier sa mga cosine ng maramihang mga arko ay isang pantay na periodic function na may period 2 l, kasabay ng f(x) sa pagitan (0; l) sa mga punto ng pagpapatuloy.
Ang kabuuan ng seryeng Fourier sa mga sinus ng maraming arko ay isang kakaibang periodic function na may period 2 l, kasabay ng f(x) sa pagitan (0; l) sa mga punto ng pagpapatuloy.
Ang seryeng Fourier para sa isang naibigay na function sa isang naibigay na pagitan ay may pag-aari ng pagiging natatangi, iyon ay, kung ang pagpapalawak ay nakuha sa ibang paraan kaysa sa paggamit ng mga formula, halimbawa, sa pamamagitan ng pagpili ng mga coefficient, kung gayon ang mga coefficient na ito ay tumutugma sa mga kinakalkula mula sa mga formula. .
Halimbawa Blg. 1. Palawakin ang function f(x)=1:
a) sa isang kumpletong serye ng Fourier sa pagitan(-π ;π);
b) sa isang serye kasama ang mga sine ng maramihang mga arko sa pagitan(0;π); i-plot ang resultang Fourier series
Solusyon:
a) Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier sa pagitan (-π;π) ay may anyo: 
,
at lahat ng coefficients b n=0, dahil ang function na ito ay pantay; kaya,
Malinaw, ang pagkakapantay-pantay ay masisiyahan kung tatanggapin natin
A 0 =2, A 1 =A 2 =A 3 =…=0
Dahil sa kakaibang katangian, ito ang mga kinakailangang coefficient. Kaya, ang kinakailangang agnas: 
o 1=1 lang.
Sa kasong ito, kapag ang isang serye ay magkaparehong tumutugma sa function nito, ang graph ng Fourier series ay tumutugma sa graph ng function sa buong linya ng numero.
b) Ang pagpapalawak sa pagitan (0;π) sa mga tuntunin ng mga sine ng maraming arko ay may anyo:
Malinaw na imposibleng piliin ang mga coefficient upang ang pagkakapantay-pantay ay magkapareho. Gamitin natin ang formula upang kalkulahin ang mga coefficient:
Kaya, para sa kahit na n (n=2k) meron kami b n=0, para sa kakaiba ( n=2k-1) - 
Sa wakas, 
.
I-plot natin ang nagresultang serye ng Fourier gamit ang mga katangian nito (tingnan sa itaas).
Una sa lahat, bumuo kami ng isang graph ng function na ito sa isang naibigay na agwat. Susunod, sinasamantala ang kakaiba ng kabuuan ng serye, ipinagpapatuloy namin ang graph nang simetriko sa pinagmulan: 
Nagpapatuloy kami sa pana-panahong paraan kasama ang buong linya ng numero: 
At sa wakas, sa mga break point pinupunan namin ang average (sa pagitan ng kanan at kaliwang limitasyon) na mga halaga: 
Halimbawa Blg. 2. Palawakin ang isang function 
sa pagitan (0;6) kasama ang mga sine ng maraming arko.
Solusyon: Ang kinakailangang pagpapalawak ay may anyo:
Dahil ang parehong kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay naglalaman lamang function na kasalanan mula sa iba't ibang mga argumento, dapat mong suriin kung, para sa anumang mga halaga ng n (natural!), ang mga argumento ng mga sine sa kaliwa at tamang bahagi pagkakapantay-pantay:
o , kung saan n =18. Nangangahulugan ito na ang naturang termino ay nakapaloob sa kanang bahagi at ang koepisyent nito ay dapat na tumutugma sa koepisyent sa kaliwang bahagi: b 18 =1;
o , kung saan n =4. Ibig sabihin, b 4 =-5.
Kaya, sa pamamagitan ng pagpili ng mga coefficient posible na makuha ang nais na pagpapalawak:
Pederal na badyet ng estado institusyong pang-edukasyon mataas na edukasyon
"VOLGA STATE UNIVERSITY
TELEKOMUNIKASYON AT IMPORMATIKA"
Kagawaran ng Mas Mataas na Matematika
O.V.STAROZHILOVA
MGA ESPESYAL NA KABANATA NG MATHEMATICS
protocol No. 45, na may petsang Marso 10, 2017
Starozhilova, O.V.
C Mga espesyal na kabanata ng matematika: aklat-aralin //Starozhilova O.V.. – Samara: PGUTI, 2017. –221 p.
Pagtuturo ugnay sa mga espesyal na sangay ng matematika: matematikal na lohika at teorya ng automata, propositional algebra, propositional calculus, elemento ng teorya ng algorithm, regression analysis, optimization method.
Para sa mga mag-aaral sa unibersidad at masters na nag-aaral sa direksyon 03/09/02 " Mga sistema ng impormasyon at teknolohiya", na gustong mag-aral ng mga espesyal na kabanata ng matematika sa kanilang sarili.
Ang bawat seksyon ay nagtatapos sa mga tanong sa pagkontrol na makakatulong na suriin ang teoretikal na kasanayan ng kurso, naglalaman ng isang malaking bilang ng mga gawain para sa malayang desisyon at mga sagot upang suriin.
Ang manual ay naglalaman ng isang laboratoryo complex at ilang mga problema sa engineering na may diin sa software na pagpapatupad ng mga pamamaraan ng computational mathematics.
Starozhilova O.V., 2017
Kabanata 1 Harmonic Analysis 6
1.1 Problema sa tunog ng string 7
1.2 Orthogonal system ng mga function 8
1.3 Fourier series para sa trigonometric system of functions 10
1.4 Sapat na kondisyon pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series 13
1.5 Fourier series na pagpapalawak ng isang non-periodic function 17
1.6 Fourier series para sa even at odd na function 18
1.7 Fourier series para sa mga function ng anumang panahon 21
1.8 Fourier integral 27
1.9 Fourier integral para sa even at odd na function 29
1.10 Komplikadong anyo Fourier integral 30
1.11 Fourier transform 32
Kabanata 2 Lohika ng matematika at IV 33
2.1 Mga yugto ng pag-unlad ng lohika 34
2.2 Proposisyonal na lohika 38
2.3 Lohikal na mga connective 40
2.4Mga lohikal na operasyon 41
2.5 Alpabeto ng propositional calculus 42
2.6 Mga Formula
2.7 Mga batas ng proposisyonal na lohika 44
2.8 Mga pormal na teorya. Hatchability. Interpretasyon 46
2.9 Axiomatic na pamamaraan 47
2.10 Sistema ng mga axiom ng propositional calculus (PS) 52
2.11 Mga tuntunin sa konklusyon 53
2.12 Mga panuntunan sa hinuha na hinuha 56
2.13 Pagbuo ng konklusyon sa propositional logic 62
2.14 Relasyon sa pagitan ng algebra at propositional calculus 66
Kabanata 3 Mga Problema sa Pagsusuri ng Regression 70
3.1 Paraan hindi bababa sa mga parisukat 74
3.2 Pagsusuri ng linear regression 76
3.3 Pagtataya ng modelo ng regression 79
3.4 Mga problema sa paglalapat ng linear regression method 83
3.5 Mga kinakailangan ng istatistikal na modelo LR 85
3.6 Mga problema sa pagsusuri ng regression 86
3.7 Multivariate normal modelo ng regression 90
3.8 Pagkakaiba-iba ng dependent variable 92
Mga tanong sa pagsusulit 94
Kabanata 4 Pangkalahatang pagbabalangkas at mga uri ng mga problema sa paggawa ng desisyon 95
4.1 Pagbabalangkas sa matematika ng problema sa pag-optimize 97
4.2 Lokal at pandaigdigang minimum na TF 99
4.3 Mga Paraan walang kondisyong pag-optimize 102
4.4 Coordinate descent method 102
4.5 Paraan ng Rosenbrock 105
4.6 Paraan ng pagsasaayos 105
4.7 Random na paraan ng paghahanap 108
4.8 Paraan ni Newton 112
Kabanata 5 Fourier Transform 114
5.1 Fourier function approximation 114
5.2 Fourier transform 117
5.3 Mabilis na pagbabagong Fourier 120
LABORATORY COMPLEX 123
Harmonic at spectral analysis 123
Paksa 1. “Proposisyonal na lohika” 131
Mga variant ng indibidwal na takdang-aralin para sa paksang LP 133
Paksa 2. Linear pairwise regression 140
Gawain sa laboratoryo № 1 141
Pagkalkula ng mga coefficient ng LR equation 141
Laboratory work No. 2 144
Kinakalkula ang sample correlation coefficient 144
Laboratory work No. 3 145
Pagkalkula ng mga pagtatantya ng mga pagkakaiba-iba ng ipinares na LR 145
Laboratory work No. 4 147
Excel functions para sa ipinares na LR coefficients 147
Laboratory work No. 5 149
Pagbubuo ng isang pagtatantya ng pagitan para sa ipinares na LR function 149
Laboratory work No. 6 151
Sinusuri ang kahalagahan ng LR equation gamit ang Fisher criterion 151
Paksa 3 Nonlinear pairwise regression 153
Laboratory work No. 7 153
Pagbuo ng nonlinear regression gamit ang 153
Magdagdag ng Trendline Commands 153
Laboratory work No. 8 158
Pagpili ng pinakamahusay na nonlinear regression 158
Paksa 4. Linear maramihang pagbabalik 161
Laboratory work No. 9 162
Pagkalkula ng LMR coefficients 162
Laboratory work No. 10 166
Pagsubok sa kahalagahan sa Regression mode 166
Paksa 5. Nonlinear multiple regression 175
Laboratory work No. 11 175
Pagkalkula para sa Cobb-Douglas function 175
Pagsusulit № 1 179
Pares regression 179
Pagsusulit Blg. 2 181
Maramihan linear regression 181
Numerical na pamamaraan para sa paghahanap ng unconditional extremum 185
Graphical na pagsusuri ng function 185
Isang-dimensional na problema sa paghahanap 187
Ang algorithm ni Svenn 190
Paraan ng brute force 193
Paraan ng paghahanap ng bitwise 195
Paraan ng dichotomy. 198
Paraan ng Fibonacci 201
Paraan ng gintong ratio 205
Paraan ng gitnang punto 210
Paraan ni Newton 214
Panitikan 218
Kabanata 1 Harmonic Analysis
KahuluganHarmonic analysis- sangay ng matematika na nauugnay sa pagkabulok ng mga vibrations sa harmonic vibrations.
Kapag nag-aaral ng pana-panahon (i.e., paulit-ulit sa oras) na mga phenomena, isinasaalang-alang namin mga pana-panahong pag-andar.
Halimbawa, ang isang harmonic oscillation ay inilalarawan ng isang periodic function ng oras t:
Ø KahuluganPana-panahong pag-andar- isang function na ang halaga ay hindi nagbabago kapag ang isang tiyak na hindi-zero na numero ay tumawag panahon mga function.
Dahil ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang tuldok ay muli ng isang tuldok at, samakatuwid, ang anumang multiple ng isang yugto ay isa ring tuldok, kung gayon ang bawat periodic function ay may walang katapusang bilang ng mga tuldok.
Kung ang isang periodic function ay may totoong period, tuluy-tuloy at iba sa constant, kung gayon ito ang may pinakamaliit na positive period T; anumang iba pang tunay na panahon ng parehong function ay magkakaroon ng form kT, Saan k =±1, ±2,....
Ang kabuuan, produkto at quotient ng mga periodic function na may parehong period ay periodic function na may parehong period.
Ang mga pana-panahong pag-andar ay may napakahalagang papel sa teorya ng mga oscillation at sa matematikal na pisika sa pangkalahatan. Sa kurso ng pagsusuri sa matematika, nakilala namin ang konsepto ng isang functional na serye, nagtrabaho kasama ang mahalagang espesyal na kaso nito - serye ng kapangyarihan. Isaalang-alang natin ang isa pang napakahalaga (kabilang ang para sa mga pisikal na aplikasyon) espesyal na kaso functional na serye - trigonometriko serye.
Ø Kahulugan Functional range - serye ng anyo
kung saan ang mga function ay depende sa isang variable o ilang variable.
Para sa bawat nakapirming halaga, ang functional na serye ay nagiging isang numerical na serye
na maaaring magtagpo o maaaring maghiwalay.
Ø Kahulugan Functional na serye ng convergence point- ang punto kung saan nagtatagpo ang functional series.
Ø Kahulugan Ang hanay ng lahat ng mga punto ng convergence ay tinatawag convergence na rehiyon ng serye.
pwede ba function na ito kumakatawan sa anyo ng isang trigonometric series, i.e. posible bang hanapin ang mga coefficient? isang n At b n na may pagkakapantay-pantay para sa lahat
Ang kabuuan ng serye ay malinaw na isang pana-panahong pag-andar. Nangangahulugan ito na ang mga pana-panahong pag-andar lamang ang maaaring palawakin sa isang seryeng trigonometriko f.
Bilang karagdagan, ito ay malinaw na kung ang dalawang pana-panahong pag-andar ay nag-tutugma sa isang pagitan na ang haba ay katumbas ng panahon, kung gayon sila ay nag-tutugma sa lahat ng dako. Samakatuwid, ito ay sapat na upang suriin sa isang tiyak na pagitan ng haba, halimbawa,.
1.1 Problema sa tunog ng string
Ang pag-aaral ng trigonometriko serye ay humantong sa pamamagitan ng tunog string problema posed sa ika-18 siglo.
Dahil sa isang function, posible bang makahanap ng isang trigonometriko na serye na nagtatagpo at bilang ang kabuuan nito ay ang function. Ito ay kinakailangan upang magpataw ng mga paghihigpit dito upang ang isa ay maaaring maghanap para sa isang trigonometriko serye na nagtatagpo dito.
Ang isang katulad na gawain ay para sa serye ng kapangyarihan, kung ito ay malulutas, kung gayon ang naturang serye ay isang serye ng Taylor.
1.2 Orthogonal system ng mga function
Ang sistematikong pag-aaral ng orthogonal system of functions ay sinimulan na may kaugnayan sa Fourier method para sa paglutas ng mga problema sa boundary value ng mga equation ng mathematical physics. Ang isa sa mga pangunahing problema sa teorya ng mga orthogonal system ng mga function ay ang problema ng pagkabulok ng isang function. f(x) sa isang serye ng anyo , kung saan mayroong isang orthogonal na sistema ng mga function.
Ø Kahulugan Tinatawag ang mga function orthogonal sa , kung matupad:
q Halimbawa , 
- ang mga function ay orthogonal sa , dahil 
q Halimbawa on ay orthogonal sa anumang function na tinukoy sa.
Ø Kahulugan Ang isang walang katapusang sistema ng mga pag-andar ay tinatawag orthogonal sa kung
q Halimbawa Ang isang walang katapusang sistema ng mga pag-andar ay hindi bumubuo ng isang orthogonal na sistema ng mga pag-andar
q Halimbawa -trigonometric function system bumubuo ng isang sistema ng mga function na orthogonal dito.
, 
, 
.
Ø Kahulugan Hayaan ang isang arbitrary na sistema ng mga function na orthogonal sa . hilera
kung saan ay arbitrary numerical coefficients, tinatawag sa tabi ng bawat isa ayon sa isang orthogonal system of functions.
Ø Kahulugan Serye ayon sa trigonometric system ng mga function
tinawag serye ng trigonometriko.
ü Magkomento Kung ang kabuuan ng isang trigonometrikong serye ay nagtatagpo sa bawat punto, kung gayon ito ay panaka-nakang, dahil , ay mga pana-panahong pag-andar na may tuldok, pagkatapos ay nasa pagkakapantay-pantay. 
walang magbabago, kaya pana-panahon.
ü Magkomento Kung ibinigay sa segment, ngunit hindi , pagkatapos ay sa pamamagitan ng paglilipat sa pinanggalingan ng mga coordinate maaari itong mabawasan sa pinag-aralan ng kaso.
ü Magkomento Kung ang isang periodic function na may period ay hindi , ito ay pinalawak sa isang trigonometric series
q Teorama Kung ang isang serye ng numero ay nagtatagpo, kung gayon ang seryeng trigonometriko
ganap at pare-parehong nagtatagpo sa buong axis.
Patunay
Kaya naman,
serye - pinahahalagahan ang isang partikular na serye ng trigonometriko, at ayon sa pagsubok ni Weierstrass, pantay na nagtatagpo.
Ang ganap na convergence ay halata.
1.3 Fourier series para sa trigonometric system ng mga function
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 – 1830 – Pranses na matematiko.
Upang kalkulahin ang mga coefficient ng serye ng Fourier, kinakalkula namin ang mga integral
, 
, 
, 
,
q Teorama Kung may pagkakapantay-pantay para sa lahat
at ang trigonometric series ay pantay na nagtatagpo sa buong axis, pagkatapos ay ang mga coefficient ng seryeng ito ay tinutukoy
, 
,
Patunay
Ang serye ay magkakaugnay sa buong linya ng numero, ang mga termino nito ay tuluy-tuloy na mga pag-andar, pagkatapos ang kabuuan nito ay tuloy-tuloy din at ang termino-by-term na pagsasama ng serye ay posible sa loob ng
Ang bawat integral ay katumbas ng zero, dahil ang trigonometric system ng mga function ay orthogonal sa , at pagkatapos
Upang patunayan ito, i-multiply ang magkabilang panig
Hindi nito maaabala ang pare-parehong convergence ng serye.
Dahil sa pare-parehong convergence ng serye
at nangangahulugan ito ng pare-parehong convergence ng serye.
Pagsasama sa , mayroon kami
Dahil sa orthogonality ng trigonometric system ng mga function sa
, 
, at mula sa 
ang integral sa ,
, iyon, atbp.
Tandaan natin yan
Ang bisa ng mga pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod mula sa paglalapat ng mga trigonometrikong formula sa integrand.
Ang formula para sa ay napatunayan sa katulad na paraan.
ü Magkomento Ang teorama ay nananatiling wasto sa anumang pagitan, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay pinapalitan ng at ayon sa pagkakabanggit.
Ø Kahulugan Serye ng trigonometric
,
na ang mga coefficient ay tinutukoy ng mga formula
, ,
,
tinawag malapit sa Fourier para sa function, at ang mga coefficient ay tinatawag Fourier coefficients.
Kung ang Fourier series ng isang function f(x) converges sa lahat ng mga punto ng pagpapatuloy, pagkatapos ay sinasabi namin na ang function Ang f(x) ay pinalawak sa isang seryeng Fourier.
ü Magkomento Hindi lahat ng trigonometriko serye ay isang seryeng Fourier, kahit na ito ay nagtatagpo sa buong linya ng numero.
Ang kabuuan ng isang hindi pare-parehong convergent na serye ay maaaring hindi tuluy-tuloy at hindi mapagsasama, kaya imposibleng matukoy ang Fourier coefficients.
ü Magkomento Ang seryeng Fourier ay isang espesyal na kaso ng functional series.
1.4 Sapat na mga kondisyon para sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Fourier
Ø Kahulugan Tinatawag ang function piecewise monotonic sa segment, kung ang segment na ito ay maaaring hatiin sa isang may hangganang bilang ng mga puntos x 1 , x 2 , ..., x n-1 sa pagitan ( a,x 1), (x 1,x 2), ..., (xn-1,b) upang sa bawat isa sa mga pagitan ang pag-andar ay monotoniko, iyon ay, hindi ito tumataas o hindi bumababa.
ü Magkomento Mula sa kahulugan ay sumusunod na kung ang isang function ay piecewise monotonic at nakatali sa [ a,b], pagkatapos ay mayroon lamang itong mga discontinuities ng unang uri.
Ø Kahulugan Tinatawag ang function putol-putol na makinis, kung sa bawat finite interval ito at ang derivative nito ay may hindi hihigit sa isang finite number of discontinuity points ng 1st kind.
q Theorem (kondisyon ng Dirichlet sapat na kundisyon para sa decomposability ng isang function sa isang Fourier series): Kung ang isang periodic function na may period ay nakakatugon sa isa sa mga kundisyon:
pagkatapos ang seryeng Fourier na binuo para sa function na ito ay nagtatagpo sa lahat ng mga punto
at nagtatagpo sa numero 
sa bawat punto ng hindi pagpapatuloy nito.
Ang kabuuan ng nagresultang serye ay katumbas ng halaga ng function sa mga punto ng pagpapatuloy ng function
Functions, decomposing ang mga ito sa mga bahagi. Ang mga alternating current at voltages, displacements, speed at acceleration ng crank mechanisms at acoustic waves ay mga tipikal na praktikal na halimbawa ng paggamit ng periodic functions sa mga kalkulasyon ng engineering.
Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier ay batay sa pagpapalagay na ang lahat ng mga function ng praktikal na kahalagahan sa pagitan -π ≤x≤ π ay maaaring ipahayag sa anyo ng convergent trigonometric series (ang isang serye ay itinuturing na convergent kung ang pagkakasunud-sunod ng mga partial sums na binubuo ng mga termino nito nagtatagpo):
Karaniwang (=ordinaryong) notation sa pamamagitan ng kabuuan ng sinx at cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
kung saan ang a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. ay mga tunay na constants, i.e.
Kung saan, para sa hanay mula -π hanggang π, ang mga coefficient ng seryeng Fourier ay kinakalkula gamit ang mga formula:
Ang mga coefficient na a o , a n at b n ay tinatawag Fourier coefficients, at kung mahahanap ang mga ito, tatawagin ang serye (1). sa tabi ni Fourier, naaayon sa function na f(x). Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) ay tinatawag na una o pangunahing harmonic,
Ang isa pang paraan upang magsulat ng isang serye ay ang paggamit ng ugnayang acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Kung saan ang a o ay pare-pareho, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 ay ang mga amplitude ng iba't ibang bahagi, at katumbas ng a n =arctg a n /b n.
Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) o c 1 sin(x+α 1) ay tinatawag na una o pangunahing harmonic,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) o c 2 sin(2x+α 2) ay tinatawag pangalawang harmonic at iba pa.
Upang tumpak na kumatawan sa isang kumplikadong signal ay karaniwang nangangailangan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino. Gayunpaman, sa maraming praktikal na mga problema sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga unang ilang termino.
Fourier series ng non-periodic functions na may period 2π.
Pagpapalawak ng mga non-periodic function sa Fourier series.
Kung ang function na f(x) ay hindi pana-panahon, nangangahulugan ito na hindi ito mapalawak sa seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Gayunpaman, posibleng tumukoy ng seryeng Fourier na kumakatawan sa isang function sa anumang saklaw ng lapad na 2π.
Dahil sa isang non-periodic function, ang isang bagong function ay maaaring mabuo sa pamamagitan ng pagpili ng mga value ng f(x) sa loob ng isang partikular na range at pag-uulit ng mga ito sa labas ng range na iyon sa 2π na mga pagitan. Dahil ang bagong function ay panaka-nakang may tuldok 2π, maaari itong palawakin sa seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Halimbawa, ang function na f(x)=x ay hindi pana-panahon. Gayunpaman, kung kinakailangan na palawakin ito sa isang seryeng Fourier sa pagitan mula o hanggang 2π, pagkatapos ay sa labas ng agwat na ito isang pana-panahong pag-andar na may panahon na 2π ay itinayo (tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba).
Para sa mga non-periodic function tulad ng f(x)=x, ang kabuuan ng Fourier series ay katumbas ng halaga ng f(x) sa lahat ng punto sa isang partikular na range, ngunit hindi ito katumbas ng f(x) para sa mga puntos sa labas ng saklaw. Upang mahanap ang seryeng Fourier ng isang non-periodic function sa 2π range, ang parehong formula ng Fourier coefficients ay ginagamit.
Kahit at kakaibang mga function.
Sabi nila ang function na y=f(x) kahit, kung f(-x)=f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng kahit na mga function ay palaging simetriko tungkol sa y-axis (iyon ay, sila ay mga mirror na imahe). Dalawang halimbawa ng even functions: y=x2 at y=cosx.
Sinasabi nila na ang function na y=f(x) kakaiba, kung f(-x)=-f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng mga kakaibang function ay palaging simetriko tungkol sa pinagmulan.
Maraming mga pag-andar ay hindi kahit na o kakaiba.
Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa mga cosine.
Ang Fourier series ng even periodic function f(x) na may period 2π ay naglalaman lamang ng mga cosine terms (ibig sabihin, walang sine terms) at maaaring may kasamang constant term. Kaya naman,
nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
Ang seryeng Fourier ng isang kakaibang periodic function na f(x) na may tuldok 2π ay naglalaman lamang ng mga terminong may mga sine (iyon ay, hindi ito naglalaman ng mga termino na may mga cosine).
Kaya naman,
nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
Fourier series sa kalahating cycle.
Kung ang isang function ay tinukoy para sa isang saklaw, sabihin nating mula 0 hanggang π, at hindi lamang mula 0 hanggang 2π, maaari itong palawakin sa isang serye sa mga sine o lamang sa mga cosine. Ang nagresultang serye ng Fourier ay tinatawag malapit sa Fourier sa kalahating ikot.
Kung gusto mong makuha ang agnas Half-cycle Fourier sa pamamagitan ng mga cosine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, kung gayon kinakailangan na bumuo ng pantay na periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f(x)=x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kahit na function ay simetriko tungkol sa f(x) axis, gumuhit kami ng linya AB, tulad ng ipinapakita sa Fig. sa ibaba. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng itinuturing na agwat, ang nagreresultang triangular na hugis ay panaka-nakang may tuldok na 2π, kung gayon ang huling graph ay ganito ang hitsura: sa Fig. sa ibaba. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion sa mga cosine, tulad ng dati, kinakalkula natin ang Fourier coefficients a o at a n
Kung gusto mong makakuha ng mga function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, kailangan mong bumuo ng kakaibang periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f(x)=x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kakaibang pag-andar ay simetriko tungkol sa pinagmulan, binubuo namin ang linya ng CD, tulad ng ipinapakita sa Fig. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na pagitan ang nagreresultang signal ng sawtooth ay panaka-nakang may panahon na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay may anyo na ipinapakita sa Fig. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion ng half-cycle sa mga tuntunin ng mga sine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficient. b
Fourier series para sa isang arbitrary na pagitan.
Pagpapalawak ng periodic function na may period L.
Ang periodic function na f(x) ay umuulit habang ang x ay tumataas ng L, i.e. f(x+L)=f(x). Ang paglipat mula sa naunang itinuturing na mga function na may panahon na 2π hanggang sa mga function na may isang panahon ng L ay medyo simple, dahil ito ay maaaring gawin gamit ang isang pagbabago ng variable.
Upang mahanap ang seryeng Fourier ng function na f(x) sa hanay -L/2≤x≤L/2, ipinakilala namin ang isang bagong variable na u upang ang function na f(x) ay may panahon na 2π na may kaugnayan sa u. Kung u=2πx/L, kung gayon x=-L/2 para sa u=-π at x=L/2 para sa u=π. Hayaan din ang f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ang seryeng Fourier F(u) ay may anyo
Nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
Gayunpaman, mas madalas ang formula sa itaas ay nagreresulta sa isang pagtitiwala sa x. Dahil u=2πx/L, nangangahulugan ito ng du=(2π/L)dx, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay mula -L/2 hanggang L/2 sa halip na - π hanggang π. Dahil dito, ang seryeng Fourier para sa pagtitiwala sa x ay may anyo
kung saan sa hanay mula -L/2 hanggang L/2 ay ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
(Ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mapalitan ng anumang pagitan ng haba L, halimbawa, mula 0 hanggang L)
Fourier series sa kalahating cycle para sa mga function na tinukoy sa interval L≠2π.
Para sa pagpapalit na u=πх/L, ang pagitan mula x=0 hanggang x=L ay tumutugma sa pagitan mula u=0 hanggang u=π. Dahil dito, ang function ay maaaring palawakin sa isang serye lamang sa mga cosine o lamang sa mga sine, i.e. V Fourier series sa kalahating cycle.
Ang pagpapalawak ng cosine sa hanay mula 0 hanggang L ay may anyo
