Bahay Pag-iwas Isang perpektong parisukat mula sa isang quadratic trinomial. Factoring polynomials

Isang perpektong parisukat mula sa isang quadratic trinomial. Factoring polynomials

Sa araling ito, aalalahanin natin ang lahat ng naunang pinag-aralan na pamamaraan ng pag-factor ng polynomial at isaalang-alang ang mga halimbawa ng kanilang aplikasyon, bilang karagdagan, pag-aaralan natin bagong paraan- paraan ng pagtukoy ng isang kumpletong parisukat at matutunan kung paano ilapat ito sa paglutas ng iba't ibang mga problema.

Paksa:Factoring polynomials

Aralin:Factoring polynomials. Paraan para sa pagpili ng isang kumpletong parisukat. Kumbinasyon ng mga pamamaraan

Alalahanin natin ang mga pangunahing pamamaraan ng pag-factor ng isang polynomial na napag-aralan nang mas maaga:

Ang paraan ng paglalagay ng isang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket, iyon ay, isang kadahilanan na naroroon sa lahat ng mga tuntunin ng polynomial. Tingnan natin ang isang halimbawa:

Alalahanin na ang monomial ay produkto ng mga kapangyarihan at numero. Sa aming halimbawa, ang parehong mga termino ay may ilang karaniwang, magkaparehong elemento.

Kaya, alisin natin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket:

;

Paalalahanan ka namin na sa pamamagitan ng pagpaparami ng salik na kinuha sa isang bracket, maaari mong suriin ang kawastuhan ng salik na kinuha.

Paraan ng pagpapangkat. Hindi laging posible na kunin ang isang karaniwang kadahilanan sa isang polynomial. Sa kasong ito, kailangan mong hatiin ang mga miyembro nito sa mga grupo sa paraang sa bawat grupo ay maaari kang kumuha ng isang karaniwang kadahilanan at subukang hatiin ito upang pagkatapos na alisin ang mga kadahilanan sa mga pangkat, isang karaniwang kadahilanan ang lilitaw sa buong expression, at maaari mong ipagpatuloy ang agnas. Tingnan natin ang isang halimbawa:

Igrupo natin ang unang termino sa ikaapat, ang pangalawa sa ikalima, at ang pangatlo sa ikaanim:

Kunin natin ang mga karaniwang salik sa mga pangkat:

Ang expression ay mayroon na ngayong isang karaniwang kadahilanan. Ilabas natin ito:

Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Tingnan natin ang isang halimbawa:

;

Isulat natin ang expression nang detalyado:

Malinaw, nasa harap natin ang formula para sa squared difference, dahil ito ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang expression at ang kanilang dobleng produkto ay ibinabawas dito. Gamitin natin ang formula:

Ngayon ay matututunan natin ang isa pang paraan - ang paraan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat. Ito ay batay sa mga formula ng parisukat ng kabuuan at ang parisukat ng pagkakaiba. Paalalahanan natin sila:

Formula para sa parisukat ng kabuuan (pagkakaiba);

Ang kakaiba ng mga formula na ito ay naglalaman ang mga ito ng mga parisukat ng dalawang expression at ang kanilang dobleng produkto. Tingnan natin ang isang halimbawa:

Isulat natin ang expression:

Kaya, ang unang expression ay , at ang pangalawa ay .

Upang lumikha ng isang formula para sa parisukat ng isang kabuuan o pagkakaiba, dalawang beses ang produkto ng mga expression ay hindi sapat. Kailangan itong idagdag at ibawas:

Kumpletuhin natin ang parisukat ng kabuuan:

Ibahin natin ang resultang expression:

Ilapat natin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, alalahanin na ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression ay ang produkto ng at ang kabuuan ng kanilang pagkakaiba:

Kaya, ang pamamaraang ito Una sa lahat, ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga expression a at b na squared, iyon ay, upang matukoy kung aling mga expression ay squared sa halimbawang ito. Pagkatapos nito, kailangan mong suriin ang pagkakaroon ng isang dobleng produkto at kung wala ito, pagkatapos ay idagdag at ibawas ito, hindi nito mababago ang kahulugan ng halimbawa, ngunit ang polynomial ay maaaring i-factorize gamit ang mga formula para sa parisukat ng ang kabuuan o pagkakaiba at pagkakaiba ng mga parisukat, kung maaari.

Lumipat tayo sa paglutas ng mga halimbawa.

Halimbawa 1 - factorize:

Maghanap tayo ng mga expression na parisukat:

Isulat natin kung ano dapat ang kanilang dobleng produkto:

Idagdag at ibawas natin ng doble ang produkto:

Kumpletuhin natin ang parisukat ng kabuuan at magbigay ng mga katulad:

Isulat natin ito gamit ang difference ng squares formula:

Halimbawa 2 - lutasin ang equation:

;

Sa kaliwang bahagi ng equation ay isang trinomial. Kailangan mong i-factor ito sa mga kadahilanan. Ginagamit namin ang squared difference formula:

Mayroon kaming parisukat ng unang expression at dobleng produkto, ang parisukat ng pangalawang expression ay nawawala, idagdag at ibawas natin ito:

Tiklupin natin ang isang kumpletong parisukat at magbigay ng mga katulad na termino:

Ilapat natin ang difference ng squares formula:

Kaya mayroon kaming equation

Alam natin na ang isang produkto ay katumbas ng zero lamang kung kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Gawin natin ang mga sumusunod na equation batay dito:

Lutasin natin ang unang equation:

Lutasin natin ang pangalawang equation:

Sagot: o

;

Nagpapatuloy kami nang katulad sa nakaraang halimbawa - piliin ang parisukat ng pagkakaiba.

tumawag si x

1.2.3. Paggamit ng mga pinaikling pagkakakilanlan ng multiplikasyon

Halimbawa. Factor x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Pag-factor ng polynomial gamit ang mga ugat nito

Teorama. Hayaang ang polynomial P x ay may ugat x 1 . Pagkatapos ang polynomial na ito ay maaaring i-factorize bilang mga sumusunod: P x x x 1 S x , kung saan ang S x ay ilang polynomial na ang degree ay mas mababa ng isa

ang mga halaga nang halili sa expression para sa P x Nakukuha namin iyon kapag x 2 mo-.

magiging 0 ang expression, ibig sabihin, P 2 0, na nangangahulugang x 2 ang ugat ng isang multi-

miyembro. Hatiin ang polynomial P x sa x 2 .

X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10 x

x2 x12

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Pagpili ng isang kumpletong parisukat

Ang paraan para sa pagpili ng kumpletong parisukat ay batay sa paggamit ng mga formula: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Ang pagbubukod ng isang kumpletong parisukat ay isang pagbabago ng pagkakakilanlan kung saan ang isang ibinigay na trinomial ay kinakatawan bilang isang b 2 ang kabuuan o pagkakaiba ng parisukat ng binomial at ilang numerical o alphabetic na expression.

Ang isang parisukat na trinomial na may paggalang sa isang variable ay nagbibigay ng isang pagpapahayag ng anyo

ax 2 bx c , kung saan ang a , b at c ay binibigyan ng mga numero, at a 0 .

Ibahin natin ang quadratic trinomial ax 2 bx c gaya ng mga sumusunod.

x2:

koepisyent

Pagkatapos ay kinakatawan namin ang expression b x bilang 2b x (dalawang beses ang produkto

x ): isang x

Sa expression sa panaklong idinaragdag at ibinabawas namin ang numero mula dito

na siyang parisukat ng isang numero

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Napapansin na ngayon

Nakukuha namin

4a 2

Halimbawa. Pumili ng isang kumpletong parisukat.

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Mga polynomial sa ilang mga variable

Ang mga polynomial sa ilang mga variable, tulad ng mga polynomial sa isang variable, ay maaaring idagdag, i-multiply at itaas sa isang natural na kapangyarihan.

Ang isang mahalagang pagbabago ng pagkakakilanlan ng isang polynomial sa ilang mga variable ay ang factorization. Dito, ang mga paraan ng factorization ay ginagamit bilang paglalagay ng karaniwang salik sa labas ng mga bracket, pagpapangkat, paggamit ng mga pinaikling pagkakakilanlan ng multiplikasyon, paghihiwalay ng kumpletong parisukat, at pagpapakilala ng mga auxiliary variable.

1. I-factor ang polynomial P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Salik P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Ilapat natin ang paraan ng pagpapangkat

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Salik P x ,y x 4 4y 4 . Pumili tayo ng kumpletong parisukat:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Mga katangian ng isang degree na may anumang rational exponent

Ang isang degree na may anumang rational exponent ay may mga sumusunod na katangian:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

isang r 1

ar 1

br 1

kung saan ang a 0;b 0;r 1;r 2 ay mga arbitraryong rational na numero.

1. Multiply 8

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. I-factorize

isang 2x 3

1.6. Mga pagsasanay na gagawin sa iyong sarili

1. Magsagawa ng mga aksyon gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon. 1) isang 52;

2) 3 a 72 ;

3) isang nb n2 .

4) 1 x 3 ;

3 y 3 ;

7) 8 a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Kalkulahin gamit ang mga pinaikling pagkakakilanlan ng multiplikasyon:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Patunayan ang mga pagkakakilanlan:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) isang 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. I-factor ang mga sumusunod na polynomial:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 t 3 27t 6 .

5. Kalkulahin sa pinakasimpleng paraan:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Hanapin ang quotient at remainder ng isang polynomial P x ayon sa polynomialQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Patunayan na ang polynomial x 2 2x 2 ay walang tunay na ugat.

8. Hanapin ang mga ugat ng polynomial:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Salik:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng paghihiwalay ng kumpletong parisukat:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Hanapin ang mga kahulugan ng mga expression:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Kalkulahin:

16 0,25

16 0,25

Tulad ng nabanggit ko na, sa integral calculus ay walang maginhawang formula para sa pagsasama ng isang fraction. At samakatuwid, mayroong isang malungkot na kalakaran: mas sopistikado ang fraction, mas mahirap hanapin ang integral nito. Kaugnay nito, kailangan mong gumamit ng iba't ibang mga trick, na sasabihin ko sa iyo ngayon. Ang mga handa na mambabasa ay maaaring agad na samantalahin talaan ng mga Nilalaman:

  • Paraan ng subsuming ang differential sign para sa mga simpleng fraction

Paraan ng conversion ng artipisyal na numerator

Halimbawa 1

Sa pamamagitan ng paraan, ang itinuturing na integral ay maaari ding malutas sa pamamagitan ng pagbabago ng variable na pamamaraan, na nagsasaad , ngunit ang pagsusulat ng solusyon ay mas mahaba.

Halimbawa 2

Hanapin hindi tiyak na integral. Magsagawa ng check.

Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Dapat tandaan na hindi na gagana dito ang variable replacement method.

Pansin, mahalaga! Ang mga halimbawa No. 1, 2 ay tipikal at madalas mangyari. Sa partikular, ang mga naturang integral ay madalas na lumitaw sa panahon ng solusyon ng iba pang mga integral, lalo na, kapag pinagsama ang mga hindi makatwiran na pag-andar (mga ugat).

Gumagana rin ang isinasaalang-alang na pamamaraan sa kaso kung ang pinakamataas na antas ng numerator ay mas malaki kaysa sa pinakamataas na antas ng denominator.

Halimbawa 3

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magsagawa ng check.

Nagsisimula kaming pumili ng numerator.

Ang algorithm para sa pagpili ng numerator ay katulad nito:

1) Sa numerator kailangan kong ayusin , ngunit doon . Anong gagawin? Inilalagay ko ito sa mga bracket at i-multiply sa: .

2) Ngayon sinusubukan kong buksan ang mga bracket na ito, ano ang mangyayari? . Hmm... mas mabuti iyon, ngunit walang dalawa sa numerator sa simula. Anong gagawin? Kailangan mong i-multiply sa:

3) Binuksan ko muli ang mga bracket: . At narito ang unang tagumpay! Sakto lang pala! Ngunit ang problema ay lumitaw ang isang karagdagang termino. Anong gagawin? Upang maiwasang magbago ang expression, dapat kong idagdag ang pareho sa aking pagbuo:
. Naging mas madali ang buhay. Posible bang mag-organisa muli sa numerator?

4) Ito ay posible. Subukan Natin: . Buksan ang mga bracket ng ikalawang termino:
. Paumanhin, ngunit sa nakaraang hakbang ay mayroon talaga akong , hindi . Anong gagawin? Kailangan mong i-multiply ang pangalawang termino sa pamamagitan ng:

5) Muli, upang suriin, binubuksan ko ang mga bracket sa ikalawang termino:
. Ngayon ay normal na: hango sa panghuling pagtatayo ng punto 3! Ngunit muli mayroong isang maliit na "ngunit", isang karagdagang termino ay lumitaw, na nangangahulugang dapat kong idagdag sa aking ekspresyon:

Kung ang lahat ay tapos na nang tama, pagkatapos ay kapag binuksan namin ang lahat ng mga bracket dapat naming makuha ang orihinal na numerator ng integrand. Sinusuri namin:
Hood.

kaya:

handa na. Sa huling termino, ginamit ko ang paraan ng pag-subsuming ng isang function sa ilalim ng isang kaugalian.

Kung mahanap natin ang derivative ng sagot at bawasan ang expression sa isang common denominator, pagkatapos ay makukuha natin ang eksaktong orihinal na integrand function. Ang itinuturing na paraan ng agnas sa isang kabuuan ay walang iba kundi ang kabaligtaran na aksyon ng pagdadala ng isang expression sa isang karaniwang denominator.

Ang algorithm para sa pagpili ng numerator sa mga naturang halimbawa ay pinakamahusay na ginawa sa isang draft. Sa ilang mga kasanayan ito ay gagana sa pag-iisip. Naaalala ko ang isang kaso ng pagsira ng rekord noong nagsagawa ako ng pagpili para sa ika-11 na kapangyarihan, at ang pagpapalawak ng numerator ay tumagal ng halos dalawang linya ng Verd.

Halimbawa 4

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magsagawa ng check.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Paraan ng subsuming ang differential sign para sa mga simpleng fraction

Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang susunod na uri ng mga fraction.
, , , (mga coefficient at hindi katumbas ng zero).

Sa katunayan, ang ilang mga kaso na may arcsine at arctangent ay nabanggit na sa aralin Paraan ng pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral. Ang ganitong mga halimbawa ay malulutas sa pamamagitan ng paglalagay ng function sa ilalim ng differential sign at karagdagang pagsasama gamit ang isang table. Eto pa isa tipikal na mga halimbawa na may mahaba at mataas na logarithm:

Halimbawa 5

Halimbawa 6

Dito ipinapayong kunin ang isang talahanayan ng mga integral at tingnan kung anong mga formula at Paano nagaganap ang pagbabago. Tandaan, Paano at bakit Ang mga parisukat sa mga halimbawang ito ay naka-highlight. Sa partikular, sa Halimbawa 6 kailangan muna nating katawanin ang denominator sa anyo , pagkatapos ay dalhin ito sa ilalim ng differential sign. At ang lahat ng ito ay kailangang gawin upang magamit ang karaniwang formula ng tabular .

Bakit tumingin, subukang lutasin ang mga halimbawa No. 7, 8 sa iyong sarili, lalo na dahil sila ay medyo maikli:

Halimbawa 7

Halimbawa 8

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Kung pinamamahalaan mo ring suriin ang mga halimbawang ito, pagkatapos ay malaking paggalang - ang iyong mga kasanayan sa pagkita ng kaibhan ay mahusay.

Buong parisukat na paraan ng pagpili

Mga integral ng anyo, (mga coefficient at hindi katumbas ng zero) ay nalutas kumpletong paraan ng pagkuha ng parisukat, na lumabas na sa aralin Mga pagbabagong geometriko ng mga graph.

Sa katunayan, ang mga naturang integral ay bumababa sa isa sa apat na tabular integral na kakatingin lang natin. At ito ay nakakamit gamit ang pamilyar na pinaikling mga formula ng pagpaparami:

Ang mga formula ay inilapat nang tumpak sa direksyon na ito, iyon ay, ang ideya ng pamamaraan ay upang artipisyal na ayusin ang mga expression alinman sa denominator, at pagkatapos ay i-convert ang mga ito nang naaayon sa alinman.

Halimbawa 9

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ito pinakasimpleng halimbawa, kung saan na may term – unit coefficient(at hindi ilang numero o minus).

Tingnan natin ang denominator, dito ang buong bagay ay malinaw na nagmumula sa pagkakataon. Simulan natin ang pag-convert ng denominator:

Malinaw, kailangan mong magdagdag ng 4. At, upang hindi magbago ang expression, ibawas ang parehong apat:

Ngayon ay maaari mong ilapat ang formula:

Matapos makumpleto ang conversion LAGI ipinapayong gumanap reverse stroke: , lahat ay maayos, walang mga error.

Ang huling disenyo ng halimbawang pinag-uusapan ay dapat magmukhang ganito:

handa na. Pagbubuod ng "libre" kumplikadong pag-andar sa ilalim ng differential sign: , sa prinsipyo, ay maaaring mapabayaan

Halimbawa 10

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili, ang sagot ay nasa dulo ng aralin

Halimbawa 11

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ano ang gagawin kapag may minus sa harap? Sa kasong ito, kailangan nating alisin ang minus sa mga bracket at ayusin ang mga tuntunin sa pagkakasunud-sunod na kailangan natin: . pare-pareho(“dalawa” sa sa kasong ito) wag mong hawakan!

Ngayon ay nagdaragdag kami ng isa sa mga panaklong. Pag-aralan ang expression, dumating kami sa konklusyon na kailangan naming magdagdag ng isa sa labas ng mga bracket:

Dito natin makuha ang formula, ilapat:

LAGI Sinusuri namin ang draft:
, na kung ano ang kailangang suriin.

Ang malinis na halimbawa ay mukhang ganito:

Ginagawang mas mahirap ang gawain

Halimbawa 12

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Dito ang termino ay hindi na isang unit coefficient, ngunit isang "lima".

(1) Kung mayroong isang pare-pareho sa, pagkatapos ay agad naming alisin ito sa mga bracket.

(2) Sa pangkalahatan, palaging mas mahusay na ilipat ang pare-parehong ito sa labas ng integral upang hindi ito makahadlang.

(3) Malinaw, ang lahat ay darating sa formula. Kailangan nating maunawaan ang termino, ibig sabihin, makuha ang "dalawa"

(4) Oo, . Nangangahulugan ito na nagdaragdag tayo sa expression at ibawas ang parehong fraction.

(5) Ngayon pumili ng isang kumpletong parisukat. SA pangkalahatang kaso kailangan din nating kalkulahin , ngunit narito ang formula para sa mahabang logarithm , at walang punto sa pagsasagawa ng aksyon kung bakit magiging malinaw sa ibaba.

(6) Sa totoo lang, maaari nating ilapat ang formula , sa halip na "X" lamang ang mayroon tayo, na hindi nagpapawalang-bisa sa bisa ng integral ng talahanayan. Sa mahigpit na pagsasalita, isang hakbang ang napalampas - bago ang pagsasama, ang function ay dapat na nasa ilalim ng differential sign: , ngunit, tulad ng paulit-ulit kong nabanggit, ito ay madalas na napapabayaan.

(7) Sa sagot sa ilalim ng ugat, ipinapayong palawakin ang lahat ng mga bracket pabalik:

Mahirap? Hindi ito ang pinakamahirap na bahagi ng integral calculus. Bagaman, ang mga halimbawang isinasaalang-alang ay hindi masyadong kumplikado dahil nangangailangan sila ng mahusay na mga diskarte sa pag-compute.

Halimbawa 13

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang sagot ay nasa katapusan ng aralin.

May mga integral na may mga ugat sa denominator, na, gamit ang isang pagpapalit, ay binabawasan sa mga integral ng uri na isinasaalang-alang na maaari mong basahin ang tungkol sa mga ito sa artikulo Mga kumplikadong integral, ngunit ito ay idinisenyo para sa napakahandang mga mag-aaral.

Ipasa ang numerator sa ilalim ng differential sign

Ito ang huling bahagi ng aralin, gayunpaman, ang mga integral ng ganitong uri ay karaniwan! Kung pagod ka na, siguro mas mabuting magbasa ka bukas? ;)

Ang mga integral na isasaalang-alang natin ay katulad ng mga integral ng nakaraang talata, mayroon silang anyo: o (coefficients , at hindi katumbas ng zero).

Ibig sabihin, sa numerator na mayroon tayo linear function. Paano malutas ang mga naturang integral?

Online na calculator.
Paghihiwalay ng parisukat ng isang binomial at pag-factor ng isang parisukat na trinomial.

Ang math program na ito nakikilala ang square binomial mula sa square trinomial, ibig sabihin. gumagawa ng pagbabago tulad ng:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) at nagfa-factorize ng isang quadratic trinomial: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Yung. ang mga problema ay kumukulo sa paghahanap ng mga numero \(p, q\) at \(n, m\)

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon.

Maaaring maging kapaki-pakinabang ang programang ito para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya bilang paghahanda sa mga pagsubok at mga pagsusulit, kapag sinusubok ang kaalaman bago ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng isang quadratic trinomial, inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng isang quadratic polynomial

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), atbp.

Maaaring ipasok ang mga numero bilang buo o fractional na mga numero.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal maliit na bahagi maaaring ihiwalay sa kabuuan sa pamamagitan ng tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal tulad nito: 2.5x - 3.5x^2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Buong bahagi pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng panaklong. Sa kasong ito, kapag nag-solve, ang ipinakilala na expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Halimbawa ng isang detalyadong solusyon

Isolating ang parisukat ng isang binomial.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorization.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kaliwa(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \kanan) = $$ $$ 2 \kaliwa(x -1 \kanan) \kaliwa(x +2 \kanan) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Magpasya

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.
Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...


kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Feedback Form.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.



Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Paghihiwalay ng parisukat ng isang binomial mula sa isang parisukat na trinomial

Kung ang parisukat na trinomial ax 2 +bx+c ay kinakatawan bilang a(x+p) 2 +q, kung saan ang p at q ay mga tunay na numero, pagkatapos ay sinasabi natin na mula sa square trinomial, naka-highlight ang square ng binomial.

Mula sa trinomial 2x 2 +12x+14 kinuha namin ang parisukat ng binomial.


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


Upang gawin ito, isipin ang 6x bilang isang produkto ng 2*3*x, at pagkatapos ay idagdag at ibawas ang 3 2. Nakukuha namin:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

yun. Kami kunin ang square binomial mula sa square trinomial, at ipinakita na:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Kung ang square trinomial ax 2 +bx+c ay kinakatawan sa anyong a(x+n)(x+m), kung saan ang n at m ay tunay na mga numero, kung gayon ang operasyon ay sinasabing isinagawa. factorization ng isang quadratic trinomial.

Ipakita natin sa isang halimbawa kung paano ginagawa ang pagbabagong ito.

I-factor natin ang quadratic trinomial 2x 2 +4x-6.

Alisin natin ang coefficient a sa mga bracket, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Ibahin natin ang expression sa mga bracket.
Upang gawin ito, isipin ang 2x bilang pagkakaiba na 3x-1x, at -3 bilang -1*3. Nakukuha namin:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

yun. Kami isinasali ang quadratic trinomial, at ipinakita na:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Tandaan na ang pag-factor ng isang quadratic trinomial ay posible lamang kapag, quadratic equation, na naaayon sa trinomial na ito ay may mga ugat.
Yung. sa aming kaso, posibleng i-factor ang trinomial 2x 2 +4x-6 kung ang quadratic equation na 2x 2 +4x-6 =0 ay may mga ugat. Sa proseso ng factorization, itinatag namin na ang equation na 2x 2 + 4x-6 = 0 ay may dalawang ugat 1 at -3, dahil sa mga halagang ito, ang equation na 2(x-1)(x+3)=0 ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Mga aklat (mga aklat-aralin) Mga Abstract ng Unified State Examination at ang Unified State Examination na pagsusulit online Mga laro, puzzle Pag-plot ng mga graph ng mga function Diksyunaryo ng pagbabaybay ng wikang Russian Dictionary of youth slang Catalog of Russian schools Catalog of secondary educational institutions of Russia Catalog of Russian universities List ng mga gawain

Kahulugan

Ang mga ekspresyon ng anyong 2 x 2 + 3 x + 5 ay tinatawag na quadratic trinomals. Sa pangkalahatan, ang square trinomial ay isang expression ng form na a x 2 + b x + c, kung saan ang a, b, c a, b, c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.

Isaalang-alang ang quadratic trinomial x 2 - 4 x + 5. Isulat natin ito sa form na ito: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Idagdag natin ang 2 2 sa expression na ito at ibawas ang 2 2, makuha natin ang: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Tandaan na x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, kaya x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Ang pagbabagong ginawa natin ay tinatawag "pagbukod ng perpektong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial".

Tukuyin ang perpektong parisukat mula sa quadratic trinomial 9 x 2 + 3 x + 1.

Tandaan na 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Pagkatapos ay `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Idagdag at ibawas ang `(1/2)^2` sa resultang expression, nakukuha namin

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Ipapakita namin kung paano ang paraan ng paghihiwalay ng isang perpektong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial ay ginagamit upang i-factorize ang isang parisukat na trinomial.

I-factor ang quadratic trinomial 4 x 2 - 12 x + 5.

Pinipili namin ang perpektong parisukat mula sa quadratic trinomial: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Ngayon inilalapat namin ang formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), nakukuha namin: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .

I-factor ang quadratic trinomial - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Ngayon napansin natin na 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Idinaragdag namin ang terminong 2 2 sa expression na 9 x 2 - 12 x, nakukuha namin ang:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Inilapat namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, mayroon kaming:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

I-factor ang quadratic trinomial 3 x 2 - 14 x - 5 .

Hindi namin maaaring katawanin ang expression na 3 x 2 bilang parisukat ng ilang expression, dahil hindi pa namin ito pinag-aralan sa paaralan. Dadaanan mo ito mamaya, at sa Gawain Blg. 4 ay pag-aaralan natin parisukat na ugat. Ipakita natin kung paano mo maisasaliksik ang isang ibinigay na quadratic trinomial:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Ipapakita namin sa iyo kung paano gamitin ang perpektong paraan ng parisukat upang mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang quadratic trinomial.
Isaalang-alang ang quadratic trinomial x 2 - x + 3. Pumili ng kumpletong parisukat:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Tandaan na kapag ang `x=1/2` ang value ng quadratic trinomial ay `11/4`, at kapag ang `x!=1/2` ay idinagdag ang isang positibong numero sa value ng `11/4`, kaya namin makakuha ng numerong mas malaki sa `11/ 4`. kaya, pinakamaliit na halaga Ang quadratic trinomial ay `11/4` at nakukuha ito kapag `x=1/2`.

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng quadratic trinomial - 16 2 + 8 x + 6.

Pumili kami ng perpektong parisukat mula sa isang quadratic trinomial: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Kapag ang `x=1/4` ang value ng quadratic trinomial ay 7, at kapag ang `x!=1/4` ay ibinawas ang isang positibong numero mula sa numerong 7, ibig sabihin, nakakakuha tayo ng numerong mas mababa sa 7. Kaya ang numero 7 ay pinakamataas na halaga quadratic trinomial, at nakukuha ito kapag `x=1/4`.

I-factor ang numerator at denominator ng fraction `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` at bawasan ang fraction.

Tandaan na ang denominator ng fraction x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. I-factorize natin ang numerator ng fraction gamit ang paraan ng paghihiwalay ng kumpletong parisukat mula sa square trinomial. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Ang fraction na ito ay binawasan sa anyong `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` pagkatapos ng pagbabawas ng (x - 3) makuha natin ang `(x+5)/(x-3 )`.

I-factor ang polynomial x 4 - 13 x 2 + 36.

Ilapat natin ang paraan ng paghihiwalay ng kumpletong parisukat sa polynomial na ito. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



Bago sa site

>

Pinaka sikat

© 2024. Dental consultation portal.

MGA SIKAT NA SEKSYON