Kahulugan. Hayaang tukuyin ang isang function na f(x) sa ilang pagitan at ang x 0 ay isang punto sa pagitan na ito. Kung , kung gayon ang f(x) ay sinasabing tuloy-tuloy sa puntong x 0 .
Mula sa kahulugan ay sumusunod na maaari nating pag-usapan ang tungkol sa pagpapatuloy lamang na may kaugnayan sa mga puntong iyon kung saan tinukoy ang f(x) (kapag tinukoy ang limitasyon ng isang function, ang naturang kundisyon ay hindi naitakda). Para sa tuluy-tuloy na pag-andar , ibig sabihin, ang mga operasyong f at lim ay nababago. Alinsunod dito, ang dalawang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto ay maaaring bigyan ng dalawang kahulugan ng pagpapatuloy - "sa wika ng mga pagkakasunud-sunod" at "sa wika ng mga hindi pagkakapantay-pantay" (sa wika ng ε-δ). Iminumungkahi na gawin mo ito sa iyong sarili.
Para sa praktikal na paggamit, kung minsan ay mas maginhawang tukuyin ang pagpapatuloy sa wika ng mga pagtaas.
Ang halagang Δx=x-x 0 ay tinatawag na pagtaas ng argumento, at ang Δy=f(x)-f(x 0) ay ang pagtaas ng function kapag lumilipat mula sa puntong x 0 patungo sa puntong x.
Kahulugan. Hayaang tukuyin ang f(x) sa punto x 0 . Ang isang function na f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung ang isang infinitesimal na pagtaas ng argumento sa puntong ito ay tumutugma sa isang infinitesimal na pagtaas ng function, iyon ay, Δy→0 para sa Δx→0.

Halimbawa 1. Patunayan na ang function na y=sinx ay tuloy-tuloy para sa anumang halaga ng x.
Solusyon. Hayaang ang x 0 ay isang arbitrary na punto. Ang pagbibigay nito ng dagdag na Δx, nakukuha natin ang puntong x=x 0 +Δx. Pagkatapos . Nakukuha namin .
Kahulugan. Ang function na y=f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa puntong x 0 sa kanan (kaliwa) kung
.
Ang isang function na tuloy-tuloy sa isang panloob na punto ay parehong kanan at kaliwa tuloy-tuloy. Totoo rin ang kabaligtaran: kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto sa kaliwa at kanan, kung gayon ito ay magiging tuluy-tuloy sa puntong iyon. Gayunpaman, ang isang function ay maaari lamang maging tuloy-tuloy sa isang panig. Halimbawa, para sa , , f(1)=1, samakatuwid, ang function na ito ay tuloy-tuloy lamang sa kaliwa (para sa graph ng function na ito, tingnan ang talata 5.7.2 sa itaas).
Kahulugan. Ang isang function ay tinatawag na tuloy-tuloy sa ilang agwat kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito.
Sa partikular, kung ang agwat ay isang segment, kung gayon ang isang panig na pagpapatuloy ay ipinahiwatig sa mga dulo nito.

Mga katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar

1. Ang lahat ng elementarya ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan.
2. Kung ang f(x) at φ(x), na ibinigay sa isang tiyak na pagitan, ay tuloy-tuloy sa puntong x 0 ng interval na ito, kung gayon ang mga function ay magiging tuluy-tuloy din sa puntong ito.
3. Kung ang y=f(x) ay tuloy-tuloy sa puntong x 0 mula sa X, at ang z=φ(y) ay tuloy-tuloy sa katumbas na puntong y 0 =f(x 0) mula sa Y, kung gayon kumplikadong pag-andar z=φ(f(x)) ay magiging tuluy-tuloy sa punto x 0 .

Mga function break at ang kanilang pag-uuri

Ang isang tanda ng pagpapatuloy ng function na f(x) sa puntong x 0 ay ang pagkakapantay-pantay, na nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng tatlong kundisyon:
1) ang f(x) ay tinukoy sa punto x 0 ;
2) ;
3) .
Kung hindi bababa sa isa sa mga kinakailangang ito ang nilabag, ang x 0 ay tinatawag na break point ng function. Sa madaling salita, ang break point ay isang punto kung saan ang function na ito ay hindi tuloy-tuloy. Mula sa kahulugan ng mga break point, sumusunod na ang mga break point ng isang function ay:
a) mga puntos na kabilang sa domain ng kahulugan ng function kung saan ang f(x) ay nawawala ang ari-arian ng pagpapatuloy,
b) mga puntos na hindi kabilang sa domain ng kahulugan ng f(x), na mga katabing punto ng dalawang pagitan ng domain ng kahulugan ng function.
Halimbawa, para sa isang function, ang point x=0 ay isang break point, dahil ang function sa puntong ito ay hindi tinukoy, at ang function ay may discontinuity sa puntong x=1, na katabi ng dalawang pagitan (-∞,1) at (1,∞) ng domain ng kahulugan ng f(x) at hindi umiiral.

Ang sumusunod na klasipikasyon ay pinagtibay para sa mga break point.
1) Kung sa puntong x 0 ay may hangganan At , ngunit f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), pagkatapos x 0 ay tinatawag discontinuity point ng unang uri , at tinatawag na pagtalon ng function .

Halimbawa 2. Isaalang-alang ang function
Ang function ay maaari lamang masira sa puntong x=2 (sa ibang mga punto ito ay tuloy-tuloy tulad ng anumang polynomial).
Hahanapin natin , . Dahil ang mga one-sided na limitasyon ay may hangganan, ngunit hindi katumbas ng bawat isa, kung gayon sa puntong x=2 ang function ay may discontinuity ng unang uri. pansinin mo yan , samakatuwid ang function sa puntong ito ay tuloy-tuloy sa kanan (Larawan 2).
2) Discontinuity point ng pangalawang uri ay tinatawag na mga punto kung saan ang hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ay katumbas ng ∞ o wala.

Halimbawa 3. Ang function na y=2 1/ x ay tuloy-tuloy para sa lahat ng value ng x maliban sa x=0. Maghanap tayo ng mga one-sided na limitasyon: , , samakatuwid ang x=0 ay isang discontinuity point ng pangalawang uri (Fig. 3).
3) Point x=x 0 ay tinatawag naaalis na break point , kung f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0).
"Aalisin" namin ang puwang sa kahulugan na sapat na upang baguhin (muling tukuyin o muling tukuyin) ang halaga ng function sa puntong ito sa pamamagitan ng pagtatakda , at ang function ay magiging tuluy-tuloy sa puntong x 0 .
Halimbawa 4. Ito ay kilala na , at ang limitasyong ito ay hindi nakadepende sa paraan na ang x ay nagiging zero. Ngunit ang pag-andar sa puntong x=0 ay hindi tinukoy. Kung muling tukuyin natin ang function sa pamamagitan ng pagtatakda ng f(0)=1, ito ay magiging tuloy-tuloy sa puntong ito (sa ibang mga punto ito ay tuloy-tuloy bilang quotient ng tuluy-tuloy na function na sinx at x).
Halimbawa 5. Suriin ang pagpapatuloy ng isang function .
Solusyon. Ang mga function na y=x 3 at y=2x ay tinukoy at tuluy-tuloy sa lahat ng dako, kasama ang mga ipinahiwatig na pagitan. Suriin natin ang junction point ng mga pagitan x=0:
, , . Nakuha namin iyon , na nagpapahiwatig na sa puntong x=0 ang function ay tuloy-tuloy.
Kahulugan. Ang isang function na tuloy-tuloy sa isang interval maliban sa isang may hangganang bilang ng mga discontinuity point ng unang uri o naaalis na discontinuity ay tinatawag na piecewise continuous sa interval na ito.

Mga halimbawa ng mga di-tuloy na function

Halimbawa 1. Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa (-∞+∞) maliban sa puntong x=2. Tukuyin natin ang uri ng pahinga. Dahil ang At , pagkatapos ay sa puntong x=2 mayroong isang discontinuity ng pangalawang uri (Larawan 6).
Halimbawa 2. Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy para sa lahat ng x maliban sa x=0, kung saan ang denominator ay zero. Maghanap tayo ng mga one-sided na limitasyon sa puntong x=0:
Ang mga one-sided na limitasyon ay may hangganan at iba, samakatuwid, ang x=0 ay isang discontinuity point ng unang uri (Larawan 7).
Halimbawa 3. Tukuyin kung anong mga punto at kung anong uri ng mga discontinuities mayroon ang function
Ang function na ito ay tinukoy sa [-2,2]. Dahil ang x 2 at 1/x ay tuloy-tuloy sa mga pagitan [-2,0] at , ayon sa pagkakabanggit, ang discontinuity ay maaari lamang mangyari sa junction ng mga pagitan, iyon ay, sa puntong x=0. Dahil ang , kung gayon ang x=0 ay isang discontinuity point ng pangalawang uri.

Halimbawa 4. Posible bang alisin ang mga puwang sa pag-andar:
A) sa puntong x=2;
b) sa puntong x=2;
V) sa punto x=1?
Solusyon. Tungkol sa halimbawa a) maaari nating agad na sabihin na ang discontinuity f(x) sa puntong x=2 ay hindi maaaring alisin, dahil sa puntong ito ay may mga walang katapusang one-sided na limitasyon (tingnan ang halimbawa 1).
b) Ang function na g(x) bagama't may finite one-sided na limitasyon sa puntong x=2

(,),

ngunit hindi sila nagtutugma, kaya hindi rin maalis ang puwang.
c) Ang function na φ(x) sa discontinuity point x=1 ay may katumbas na one-sided finite limits: . Samakatuwid, ang gap ay maaaring alisin sa pamamagitan ng muling pagtukoy sa function sa x=1 sa pamamagitan ng paglalagay ng f(1)=1 sa halip na f(1)=2.

Halimbawa 5. Ipakita na ang Dirichlet function

hindi tuloy-tuloy sa bawat punto sa numerical axis.
Solusyon. Hayaang ang x 0 ay anumang punto mula sa (-∞+∞). Sa alinman sa mga kapitbahayan nito ay may parehong makatwiran at hindi makatwiran na mga punto. Nangangahulugan ito na sa anumang kapitbahayan ng x 0 ang function ay magkakaroon ng mga halaga na katumbas ng 0 at 1. Sa kasong ito, hindi maaaring magkaroon ng limitasyon ng function sa punto x 0 alinman sa kaliwa o sa kanan, na nangangahulugang na ang Dirichlet function ay may mga discontinuity ng pangalawang uri sa bawat punto sa totoong axis.

Halimbawa 6. Maghanap ng mga breakpoint ng function

at tukuyin ang kanilang uri.
Solusyon. Ang mga puntos na pinaghihinalaang nasira ay mga puntos x 1 =2, x 2 =5, x 3 =3.
Sa puntong x 1 =2 f(x) ay may discontinuity ng pangalawang uri, dahil
.
Ang punto x 2 =5 ay isang punto ng pagpapatuloy, dahil ang halaga ng function sa puntong ito at sa paligid nito ay tinutukoy ng pangalawang linya, at hindi ang una: .
Suriin natin ang punto x 3 =3: , , kung saan sumusunod na ang x=3 ay isang discontinuity point ng unang uri.

Para sa malayang desisyon.
Suriin ang mga function para sa continuity at tukuyin ang uri ng mga discontinuity point:
1) ; Sagot: x=-1 – punto ng naaalis na discontinuity;
2) ; Sagot: Discontinuity ng pangalawang uri sa punto x=8;
3) ; Sagot: Discontinuity ng unang uri sa x=1;
4)
Sagot: Sa puntong x 1 =-5 ay may naaalis na puwang, sa x 2 =1 may puwang ng pangalawang uri at sa puntong x 3 =0 ay may puwang ng unang uri.
5) Paano dapat piliin ang numero A upang ang function

magiging tuluy-tuloy sa x=0?
Sagot: A=2.
6) Posible bang piliin ang numero A upang ang function

magiging tuluy-tuloy sa x=2?
Sagot: hindi.

Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto. Function y = f(x ) ay tinatawag na unpre-

maalog sa punto x 0 kung:

1) ang function na ito ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto x 0 ;

2) may limitasyon lim f(x);

→ x 0

3) limitasyon na ito katumbas ng halaga function sa point x 0, i.e. limf (x )= f (x 0 ) .
		x→x0
Ang huling kundisyon ay katumbas ng kundisyon lim		y = 0, kung saan x = x − x 0 – kailan
	x→ 0
pag-ikot ng argumento, y = f (x 0 +	x )− f (x 0 ) – pagtaas ng function, katumbas
pagdaragdag ng argumento	x, ibig sabihin. function	Ang f(x) ay tuloy-tuloy sa x 0

kung at kung sa puntong ito ang isang infinitesimal increment ng argument ay tumutugma sa isang infinitesimal increment ng function.

One-way na pagpapatuloy. Ang function na y = f (x) ay tinatawag na tuloy-tuloy

sa kaliwa sa pointx 0 kung ito ay tinukoy sa ilang kalahating pagitan(a ;x 0 ]

at lim f (x)= f (x 0).

x→ x0 − 0

Ang isang function na y = f (x) ay sinasabing right continuous sa puntong x 0 kung ito ay op-

ay ibinahagi sa isang tiyak na kalahating pagitan [ x 0 ;a ) at limf (x )= f (x 0 ) .

x→ x0 + 0

Function y = f(x)		tuloy-tuloy sa punto x 0			noon at kapag siya
tuloy-tuloy
lim f (x)= limf (x)= limf (x)= f (x 0).
x→ x0 + 0	x→ x0 − 0	x→x0

Pagpapatuloy ng isang function sa isang set. Tinatawag ang function na y = f (x).

tuloy-tuloy sa set X kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng set na ito. Bukod dito, kung ang isang function ay tinukoy sa dulo ng isang tiyak na pagitan ng numerical axis, kung gayon ang pagpapatuloy sa puntong ito ay mauunawaan bilang pagpapatuloy sa kanan o kaliwa. Sa partikular, ang function na y = f (x) ay tinatawag na non-

hindi tuloy-tuloy sa segment [a; b] kung siya

1) tuloy-tuloy sa bawat punto ng pagitan(a;b);

2) ay tamang tuloy-tuloy sa isang punto a ;

3) ay iniwang tuloy-tuloy sa isang punto b.

Mga function break point. Ang punto x 0 na kabilang sa domain ng depinisyon ng function na y = f (x) o ang pagiging boundary point ng domain na ito ay tinatawag

break point ng function na ito, ang iff(x) ay hindi tuloy-tuloy sa puntong iyon.

Ang mga discontinuity point ay nahahati sa mga discontinuity point ng una at pangalawang uri:

1) Kung may mga hangganan lim f (x )= f (x 0 − 0) at

x→ x0 − 0

	f (x)= f (x 0 + 0), at hindi lahat ng tatlong numero ay f (x 0 − 0), f (x 0 + 0),		f (x 0 ) ay pantay
x→ x0 + 0
sa kanilang sarili, pagkatapos x 0		ay tinatawag na isang discontinuity point ng unang uri.
	Sa partikular, kung ang kaliwa at kanang mga limitasyon ng function sa puntong x 0		pantay sa pagitan
	iyong sarili, ngunit	ay hindi katumbas ng halaga ng function sa puntong ito:

f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , pagkatapos x 0 ay tinatawag na naaalis na discontinuity point.

Sa kasong ito, sa pamamagitan ng pagtatakda ng f (x 0 )= A, maaari mong baguhin ang function sa punto x 0

upang ito ay maging tuluy-tuloy ( muling tukuyin ang function sa pamamagitan ng continuity). Ang pagkakaiba f (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) ay tinatawag na pagtalon ng isang function sa isang punto x 0 .

Ang function jump sa naaalis na discontinuity point ay zero.

2) Tinatawag na mga discontinuity point na hindi mga discontinuity point ng unang uri breakpoints ng pangalawang uri. Sa mga punto ng discontinuity ng pangalawang uri, hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon f (x 0 − 0) at f (x 0 + 0) ay wala o walang katapusan.

Mga katangian ng mga function na tuluy-tuloy sa isang punto.

		f(x)	at ang g (x) ay tuloy-tuloy sa puntong x 0, pagkatapos ay ang mga function
f(x)±g(x),	f(x)g(x) at	f(x)	(kung saan ang g (x)≠ 0) ay tuloy-tuloy din sa puntong x.
		g(x)

2) Kung ang function na u (x) ay tuloy-tuloy sa puntong x 0, at ang function na f (u) ay tuloy-tuloy

sa puntong u 0 = u (x 0), kung gayon ang kumplikadong function na f (u (x)) ay tuloy-tuloy sa puntong x 0.

3) Ang lahat ng pangunahing elementarya function (c, x a, a x, loga x, sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx) ay tuluy-tuloy sa bawat

hanggang sa punto ng kanilang mga domain ng kahulugan.

Mula sa mga katangian 1)–3) sumusunod na ang lahat ng elementarya na pag-andar (mga pag-andar na nakuha mula sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya gamit ang isang may hangganang bilang ng mga pagpapatakbo ng aritmetika at mga pagpapatakbo ng komposisyon) ay tuloy-tuloy din sa bawat punto ng kanilang mga domain ng kahulugan.

Mga katangian ng mga function na tuloy-tuloy sa isang agwat.

1) (intermediate value theorem) Hayaang tukuyin ang function na f(x).

sa at tuloy-tuloy sa segment [a;b]. Pagkatapos ay para sa anumang numerong C na nakapaloob

sa pagitan ng mga numero f (a) at f (b), (f (a)< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .

2) (Bolzano-Cauchy theorem

ay hindi nagpapatuloy sa segment [a;b] at kumukuha ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo nito.

Pagkatapos ay mayroong kahit isang punto x 0 [ a ; b ] na ang f (x 0 )= 0 .

3) (1st Ang teorama ni Weierstrass) Hayaang tukuyin ang function na f (x) at

napunit sa segment [a;b]. Pagkatapos ang function na ito ay limitado sa segment na ito.

4) (ika-2 Ang teorama ni Weierstrass) Hayaang tukuyin ang function na f (x) at

nagmamadali sa segment		[a;b] . Pagkatapos ang function na ito ay umabot sa pagitan [ a ; b ]
ang pinakadakila		hindi bababa sa	mga halaga, i.e.	umiral
x1, x2 [a; b] ,		para sa anumang	puntos x [a;b]	patas	hindi pagkakapantay-pantay

f (x 1 )≤ f (x )≤ f (x 2 ) .

Halimbawa 5.17. Gamit ang kahulugan ng continuity, patunayan na ang function na y = 3x 2 + 2x − 5 ay tuloy-tuloy sa isang arbitrary point x 0 sa number line.

Solusyon: Paraan 1: Hayaang ang x 0 ay isang arbitrary point sa number axis. Ikaw-

Kinakalkula muna namin ang limitasyon ng function f (x) bilang x → x 0, na naglalapat ng mga theorems sa limitasyon ng kabuuan at produkto ng mga function:

lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2							− 5.
x→x0	x→x0	x→x0	x→x0
Pagkatapos ay kinakalkula namin ang halaga ng function sa punto x:f (x)= 3x 2							− 5 .
Ang paghahambing ng mga resulta na nakuha, nakikita natin				lim f (x)= f (x 0) na ayon sa
				x→x0

kahulugan at nangangahulugan ng pagpapatuloy ng function na isinasaalang-alang sa punto x 0.

Paraan 2: Hayaan		x – pagtaas ng argumento sa pointx 0. Hanapin natin ang sulat
nararapat	pagtaas			y = f(x0 + x) − f(x0 ) =
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5)
6 x x+ (x) 2	2x = (6x + 2)x + (x)2.
Kalkulahin natin ngayon ang limitasyon ng pagtaas ng function kapag ang pagtaas ng argumento
		nagsusumikap

	y = lim (6x + 2)		x + (x )2 = (6x + 2) lim		x + (limx)2 = 0.
x→ 0	x→ 0			x→ 0	x→ 0

Kaya, lim y = 0, na nangangahulugan ng pagpapatuloy ng kahulugan

x→ 0

function para sa anumang x 0 R .

Halimbawa 5.18. Hanapin ang mga discontinuity point ng function na f (x) at tukuyin ang kanilang uri. SA

Sa kaso ng isang naaalis na discontinuity, tukuyin ang function sa pamamagitan ng continuity:

1) f (x) = 1− x 2 sa x< 3;

5x kapag x ≥ 3

2) f (x)= x 2 + 4 x + 3;

x+1

	f(x)=
		x4 (x− 2)
	f(x)= arctan
			(x − 5)

Solusyon: 1) Ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang buong numero

y axis (−∞ ;+∞ ) . Sa mga pagitan (−∞ ;3),(3;+∞ ) ang function ay tuloy-tuloy. Ang isang discontinuity ay posible lamang sa puntong x = 3, kung saan nagbabago ang analytical specification ng function.

Hanapin natin ang isang panig na limitasyon ng function sa ipinahiwatig na punto:

f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;

x →3 −0

f (3+ 0)= lim 5x = 15.

x →3 +0

Nakikita natin na ang kaliwa at kanang mga limitasyon ay may hangganan, kaya x = 3
pumutok I			f(x). Tumalon sa function
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 .
		f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , samakatuwid sa punto		x = 3

Ang f(x) ay tamang tuloy-tuloy.

2) Ang function ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero maliban sa punto x = − 1, kung saan hindi ito tinukoy. Ibahin natin ang expression para sa f (x), pagpapalawak ng numerator

fraction sa mga kadahilanan:		f(x)=			4 x +3			(x + 1)(x + 3)	X + 3 para sa x ≠ − 1.
					x+1			x+1
Hanapin natin ang isang panig na limitasyon ng function sa puntong x = − 1:
	f(x)=lim	f (x )= lim(x + 3)= 2 .
x →−1−0	x →−1 +0		x →−1

Nalaman namin na ang kaliwa at kanang mga limitasyon ng function sa puntong pinag-aaralan ay umiiral, ay may hangganan at katumbas ng bawat isa, samakatuwid ang x = − 1 ay isang naaalis na punto

tuwid na linya y = x + 3 na may "butas" na punto M (− 1;2) . Para maging permanente ang function

hindi nagpapatuloy, dapat nating ilagay ang f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .

Kaya, nang higit pang tinukoy ang f (x) sa pamamagitan ng pagpapatuloy sa puntong x = − 1, nakuha namin ang function na f * (x)= x + 3 na may domain ng kahulugan (−∞ ;+∞ ) .

3) Ang function na ito tinukoy at tuluy-tuloy para sa lahat x maliban sa mga puntos

x = 0,x = 2, kung saan ang denominator ng fraction ay nagiging zero.

Isaalang-alang ang punto x = 0:

Dahil sa isang sapat na maliit na kapitbahayan ng zero ang function ay tumatagal lamang

	para sa mga negatibong halaga, pagkatapos f (− 0)= lim			= −∞ = f (+0)	Yung. tuldok
			(x − 2)
	x →−0
	Ang x = 0 ay isang discontinuity point ng pangalawang uri ng function		f(x).

Isaalang-alang ngayon ang punto x = 2:

Ang function ay tumatagal ng mga negatibong halaga malapit sa kaliwa ng isinasaalang-alang

	ang punto at ang mga positibo ay nasa kanan, samakatuwid				f (2− 0)=			= −∞,
							x4 (x− 2)
						x →2 −0
	f (2+ 0)= lim			= +∞ . Tulad ng sa nakaraang kaso, sa pointx = 2
			(x − 2)
	x →2 +0

tion ay walang kaliwa o kanan na may hangganan, i.e. dumaranas ng type II rupture sa puntong ito.

x = 5 .

f (5− 0)= lim arctan

π ,f (5+ 0)= lim arctan

x = 5

(x − 5)

(x − 5)

x →5 −0

x →5 +0

pumutok ka

f (5+ 0)− f (5− 0)=

π − (−

π )= π (tingnan ang Fig. 5.2).

Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

5.174. Gamit lamang ang kahulugan, patunayan ang pagpapatuloy ng function na f (x) sa

bawat punto x 0 R :

a) f(x) = c= const;		b) f (x)= x;
c) f (x)= x 3;		d) f (x)= 5x 2 − 4x + 1;
e) f (x)= sinx.
5.175. Patunayan na ang function	f(x) = x2	1 kapag x ≥ 0,	ay tuloy-tuloy sa
		1 sa x< 0
ang buong linya ng numero. Bumuo ng graph ng function na ito.
5.176. Patunayan na ang function	f(x) = x2	1 kapag x ≥ 0,	ay hindi tuloy-tuloy
		0 sa x< 0

sa puntong x = 0, ngunit tama ang tuloy-tuloy sa puntong iyon. I-graph ang function na f(x).

maalog sa punto x =

Ngunit tuloy-tuloy sa kaliwa sa puntong ito. Bumuo ng isang graph

mga function f(x).

5.178. Mga function ng graph

a) y =

x+1

b) y= x+

x+1

x+1

x+1

Alin sa mga kondisyon ng pagpapatuloy sa mga breakpoint ng mga function na ito ang nasiyahan at alin ang hindi nasiyahan?

5.179. Tukuyin ang break point ng function

kasalanan x		Para sa x ≠ 0
		sa x = 0

Alin sa mga kondisyon ng pagpapatuloy ang nasiyahan sa puntong ito at alin ang hindi natutugunan?

Kahulugan function break point at ang kanilang mga uri ay isang pagpapatuloy ng tema ng pagpapatuloy ng pag-andar. Ang isang visual (graphical) na paliwanag ng kahulugan ng mga break point ng isang function ay ibinibigay din sa kaibahan ng konsepto ng continuity. Alamin natin kung paano maghanap ng mga breakpoint ng isang function at matukoy ang kanilang mga uri. At ang atin ay tutulong sa atin dito tapat na kaibigan- kaliwa at kanang mga limitasyon, karaniwang tinatawag na one-sided na mga limitasyon. Kung ang sinuman ay may anumang takot sa unilateral na mga limitasyon, malapit na naming iwaksi ito.

Tinatawag ang mga punto sa isang graph na hindi konektado sa isa't isa function break point . Ang graph ng naturang function, na dumaranas ng discontinuity sa puntong x=2 - - sa figure sa ibaba.

Ang paglalahat ng nabanggit ay ang sumusunod na kahulugan. Kung ang isang function ay hindi tuloy-tuloy sa isang punto, ito ay may discontinuity sa puntong ito at ang punto mismo ay tinatawag break point . Ang mga pagkagambala ay sa unang uri at sa pangalawang uri .

Upang matukoy mga uri (character) ng mga break point ang mga function ay kailangang matagpuan nang may kumpiyansa mga limitasyon, kaya magandang ideya na buksan ang kaukulang aralin sa isang bagong window. Ngunit kaugnay ng mga breakpoint, mayroon tayong bago at mahalaga - isang panig (kaliwa at kanan) na mga limitasyon. Sa pangkalahatan sila ay nakasulat (kanang limitasyon) at (kaliwang limitasyon). Tulad ng sa kaso ng isang limitasyon sa pangkalahatan, upang mahanap ang limitasyon ng isang function, kailangan mong palitan ang X sa expression ng function para sa kung ano ang X. Ngunit, marahil, itatanong mo, paano mag-iiba ang kanan at kaliwang mga limitasyon, kung sa kaso ng kanan ay may idinagdag sa X, ngunit ito ay zero, at sa kaso ng kaliwa ay may ibawas sa X, ngunit ito ay isang bagay - zero din? At tama ka. Sa karamihan ng mga kaso.

Ngunit sa pagsasanay ng paghahanap ng mga discontinuity point ng isang function at pagtukoy ng uri ng mga ito, mayroong dalawang tipikal na kaso kapag ang kanan at kaliwang limitasyon ay hindi pantay:

• Ang isang function ay may dalawa o higit pang mga expression depende sa bahagi ng linya ng numero kung saan kabilang ang x (ang mga expression na ito ay karaniwang nakasulat sa mga kulot na bracket pagkatapos f(x)= );
• bilang resulta ng pagpapalit sa kung ano ang kaugalian ng X, nakakakuha tayo ng fraction sa denominator kung saan nananatiling plus zero (+0) o minus zero (-0) at samakatuwid ang fraction ay nangangahulugan ng plus infinity o minus infinity, at ang mga ito ay ganap na magkakaibang mga bagay.

Mga discontinuity point ng unang uri

Break point ng unang uri: Ang isang function ay may parehong may hangganan (ibig sabihin, hindi katumbas ng infinity) kaliwang limitasyon at may hangganan sa kanan, ngunit ang function ay hindi tinukoy sa isang punto o ang kaliwa at kanang mga limitasyon ay magkaiba (hindi pantay).

Ang punto ng naaalis na pagkakahinto ng unang uri. Ang kaliwa at kanang mga limitasyon ay pantay. Sa kasong ito, posibleng higit pang tukuyin ang function sa isang punto. Upang tukuyin ang isang function sa isang punto, sa simpleng pagsasalita, ay nangangahulugan na magbigay ng koneksyon ng mga punto sa pagitan ng kung saan mayroong isang punto kung saan ang kaliwa at kanang mga limitasyon ay matatagpuan na pantay sa bawat isa. Sa kasong ito, ang koneksyon ay dapat na kumakatawan lamang sa isang punto kung saan dapat matagpuan ang halaga ng function.

Halimbawa 1. Tukuyin ang break point ng function at ang uri (character) ng break point.

Discontinuity point ng pangalawang uri

Break point ng pangalawang uri: ang punto kung saan hindi bababa sa isa sa mga limitasyon (kaliwa o kanan) ay walang hanggan (katumbas ng infinity).

Halimbawa 3.

Solusyon. Mula sa pagpapahayag para sa kapangyarihan sa e ito ay malinaw na ang function ay hindi tinukoy sa punto. Hanapin natin ang kaliwa at kanang mga limitasyon ng function sa puntong ito:

Ang isa sa mga limitasyon ay katumbas ng infinity, kaya ang punto ay isang discontinuity point ng pangalawang uri. Ang graph ng isang function na may break point ay nasa ibaba ng halimbawa.

Ang paghahanap ng mga breakpoint ng isang function ay maaaring maging isang independiyenteng gawain o bahagi ng Full function na pananaliksik at graphing .

Halimbawa 4. Tukuyin ang break point ng function at ang uri (character) ng break point para sa function

Solusyon. Mula sa expression para sa kapangyarihan sa 2 ito ay malinaw na ang function ay hindi tinukoy sa punto. Hanapin natin ang kaliwa at kanang mga limitasyon ng function sa puntong ito.

Matatanggal na puwang.

Kahulugan. Dot a tinatawag na naaalis na discontinuity point ng function y=f(x), kung ang limitasyon ng function f(x) umiiral sa puntong ito, ngunit sa puntong ito a function f(x) alinman sa hindi tinukoy o may pribadong kahulugan f(a), iba sa limitasyon f(x) Simula ngayon.

Halimbawa. Halimbawa, ang function

ay nasa punto x=0 naaayos na puwang. Sa katunayan, ang paglilimita ng halaga ng function na ito sa punto x=0 ay katumbas ng 1. Ang bahagyang halaga ay katumbas ng 2.

Kung ang function f(x) ay nasa punto a naaalis na puwang, kung gayon ang puwang na ito ay maaaring alisin nang hindi binabago ang mga halaga ng pag-andar sa mga punto maliban sa a. Upang gawin ito, sapat na upang ilagay ang halaga ng function sa punto a katumbas ng halaga ng limitasyon nito sa puntong ito. Kaya, sa halimbawang isinasaalang-alang sa itaas ito ay sapat na upang ilagay f(0)=1 at pagkatapos , ibig sabihin. function f(x) ay magiging tuluy-tuloy sa punto x=0.

Pagkagambala ng unang uri.

Kahulugan. Dot a ay tinatawag na isang discontinuity point ng unang uri kung sa puntong ito ang function f(x) may hangganan ngunit hindi pantay na kanan at kaliwang limitasyon

Magbigay tayo ng ilang halimbawa.

Halimbawa. Function y=sgn x ay nasa punto x=0 pagkalagot ng unang uri. Sa katunayan, at sa gayon ang mga limitasyong ito ay hindi katumbas ng bawat isa.

Halimbawa. Function , tinukoy sa lahat ng dako maliban sa punto x=1, ay nasa punto x=1 pagkalagot ng unang uri. Sa katunayan, .

Pagkagambala ng pangalawang uri.

Kahulugan. Dot a ay tinatawag na isang discontinuity point ng pangalawang uri kung sa puntong ito ang function f(x) ay walang kahit isa sa mga one-sided na limitasyon o kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ay walang katapusan.

Halimbawa. Function f(x)=tan x, malinaw naman, ay may discontinuity ng pangalawang uri sa bawat punto x k =π/2+π k, k=0, ± 1, ± 2,…, dahil sa bawat ganoong punto

Halimbawa. Ang function ay may discontinuity ng pangalawang uri sa punto x=0, dahil sa puntong ito wala itong mga limitasyon sa kanan o kaliwa.

Pagpapatuloy ng isang function sa isang segment

Kahulugan. Tinukoy ang function sa isang agwat at tuloy-tuloy sa bawat punto nito ay tinatawag na tuloy-tuloy sa bahaging ito.

Bukod dito, sa ilalim ng pagpapatuloy sa punto a ay nauunawaan bilang pagpapatuloy sa kanan, at sa pamamagitan ng pagpapatuloy sa isang punto b- pagpapatuloy sa kaliwa.

Sasabihin namin na ang function y=f(x), tinukoy sa set (x) umabot sa itaas (ibabang) gilid nito , kung mayroong ganoong punto x 0 ∈(x), Ano f(x 0)=β (f(x 0)=α).

[Weierstrass] Teorama. Ang bawat function na tuloy-tuloy sa isang interval ay may hangganan at umabot sa itaas na hangganan nito at sa ibabang hangganan nito.

Theorem [Bolzano-Cauchy]. Kung ang function y=f(x) tuloy-tuloy sa segment At f(a)=A, f(b)=B, pagkatapos ay para sa alinman C, nagtapos sa pagitan ng A At B, may ganyang punto ξ∈ , Ano f(ξ)=C.

Sa madaling salita, ang isang function na tuluy-tuloy sa isang pagitan, kumukuha ng anumang dalawang halaga, ay tumatagal din ng anumang halaga na nasa pagitan ng mga ito.

Bunga. Kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang segment at kumukuha ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo nito, pagkatapos ay mayroong hindi bababa sa isang punto sa segment na ito kung saan nawala ang function.

Bunga. Hayaan ang function y=f(x) tuloy-tuloy sa segment At , . Pagkatapos ang function f(x) kinukuha ang lahat ng value mula sa segment at ang mga halagang ito lamang.

Kaya, ang hanay ng lahat ng mga halaga ng isang function na ibinibigay at tuloy-tuloy sa isang partikular na segment ay isa ring segment.

Pagpapatuloy ng pag-andar. Mga breaking points.

Ang toro ay lumalakad, umiindayog, bumuntong-hininga habang siya ay lumalakad:
- Oh, ang board ay nauubusan, ngayon ako ay babagsak!

Sa araling ito susuriin natin ang konsepto ng pagpapatuloy ng isang function, ang pag-uuri ng mga discontinuity point at isang karaniwang praktikal na problema pagpapatuloy ng pag-aaral ng mga pag-andar. Mula sa mismong pangalan ng paksa, maraming intuitive na hulaan kung ano ang tatalakayin at iniisip na ang materyal ay medyo simple. Ito ay totoo. Ngunit ito ay mga simpleng gawain na kadalasang pinaparusahan para sa kapabayaan at isang mababaw na diskarte sa paglutas ng mga ito. Samakatuwid, inirerekumenda ko na pag-aralan mo ang artikulo nang maingat at mahuli ang lahat ng mga subtleties at diskarte.

Ano ang kailangan mong malaman at magagawa? Hindi masyado. Upang matutunan nang mabuti ang aralin, kailangan mong maunawaan kung ano ito limitasyon ng isang function. Mga mambabasa na may mababang antas sapat na ang paghahanda upang maunawaan ang artikulo Mga limitasyon sa pag-andar. Mga halimbawa ng solusyon at tumingin geometriko na kahulugan limitasyon sa manwal Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar. Maipapayo rin na maging pamilyar ka geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph, dahil ang pagsasanay sa karamihan ng mga kaso ay nagsasangkot ng pagbuo ng isang guhit. Ang mga prospect ay maasahan para sa lahat, at kahit isang buong takure ay makakayanan ang gawain sa sarili nitong sa susunod na oras o dalawa!

Pagpapatuloy ng pag-andar. Mga breakpoint at ang kanilang pag-uuri

Konsepto ng pagpapatuloy ng pag-andar

Isaalang-alang natin ang ilang function na tuluy-tuloy sa buong linya ng numero:

O, upang ilagay ito nang mas maikli, ang aming function ay tuloy-tuloy sa (ang hanay ng mga tunay na numero).

Ano ang “philistine” na pamantayan ng pagpapatuloy? Obvious naman ang schedule tuluy-tuloy na pag-andar maaaring iguhit nang hindi inaangat ang lapis mula sa papel.

Sa kasong ito, dapat na malinaw na makilala ang dalawang simpleng konsepto: domain ng isang function At pagpapatuloy ng pag-andar. SA pangkalahatang kaso hindi ito ang parehong bagay. Halimbawa:

Ang function na ito ay tinukoy sa buong linya ng numero, iyon ay, para sa lahat Ang kahulugan ng "x" ay may sariling kahulugan ng "y". Sa partikular, kung , pagkatapos . Tandaan na ang isa pang punto ay may bantas, dahil sa pamamagitan ng kahulugan ng isang function, ang halaga ng argument ay dapat na tumutugma sa ang tanging bagay halaga ng function. kaya, domain ang aming function: .

Gayunpaman ang function na ito ay hindi tuloy-tuloy sa ! Halatang halata na sa puntong siya ay naghihirap gap. Ang termino ay medyo naiintindihan at nakikita, sa katunayan, dito ang lapis ay kailangang putulin pa rin ang papel. Maya-maya ay titingnan natin ang pag-uuri ng mga breakpoint.

Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto at sa isang pagitan

Sa isang partikular na problema sa matematika, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa pagpapatuloy ng isang function sa isang punto, ang pagpapatuloy ng isang function sa isang interval, isang kalahating pagitan, o ang pagpapatuloy ng isang function sa isang segment. Yan ay, walang "patuloy lang"– ang function ay maaaring tuluy-tuloy sa SOMEWHERE. At ang pangunahing "building block" ng lahat ng iba pa ay pagpapatuloy ng pag-andar sa punto .

Teorya pagsusuri sa matematika ay nagbibigay ng kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function sa isang punto gamit ang "delta" at "epsilon" na mga kapitbahayan, ngunit sa pagsasagawa ng isa pang kahulugan ay ginagamit, kung saan kami ay magbibigay-pansin.

Tandaan muna natin isang panig na mga limitasyon na sumambulat sa ating buhay sa unang aralin tungkol sa mga function graph. Isaalang-alang ang pang-araw-araw na sitwasyon:

Kung lalapit tayo sa axis sa punto umalis(pulang arrow), pagkatapos ay ang kaukulang mga halaga ng "mga laro" ay pupunta sa axis hanggang sa punto (crimson arrow). Sa matematika, ang katotohanang ito ay naayos gamit kaliwang limitasyon:

Bigyang-pansin ang entry (nagbabasa ng "x tends to ka sa kaliwa"). Ang "additive" na "minus zero" ay sumisimbolo , ibig sabihin nito ay papalapit na tayo sa numero mula sa kaliwang bahagi.

Katulad nito, kung lalapit ka sa puntong "ka" sa kanan(asul na arrow), pagkatapos ay ang "mga laro" ay darating sa parehong halaga, ngunit kasama ang berdeng arrow, at limitasyon sa kanang kamay ay mai-format tulad ng sumusunod:

Ang "Additive" ay sumisimbolo , at ang nakasulat sa entry ay: “x tends to ka on the right.”

Kung ang mga one-sided na limitasyon ay may hangganan at pantay(tulad ng sa aming kaso): , tapos sasabihin natin na may GENERAL limit. Ito ay simple, ang pangkalahatang limitasyon ay ang aming "karaniwan" limitasyon ng isang function, katumbas ng isang may hangganang numero.

Tandaan na kung ang function ay hindi tinukoy sa (butas itim na tuldok sa sangay ng graph), pagkatapos ay mananatiling wasto ang mga kalkulasyon sa itaas. Tulad ng nabanggit nang maraming beses, lalo na sa artikulo sa infinitesimal functions, ibig sabihin ng mga expression na "x" walang katapusang malapit lumalapit sa punto, habang HINDI MAHALAGA, kung ang function mismo ay tinukoy sa isang naibigay na punto o hindi. Magandang halimbawa lalabas sa susunod na talata, kapag nasuri ang function.

Kahulugan: ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto kung ang limitasyon ng function sa isang naibigay na punto ay katumbas ng halaga ng function sa puntong iyon: .

Ang kahulugan ay detalyado sa sumusunod na mga kondisyon:

1) Ang function ay dapat na tinukoy sa punto, iyon ay, ang halaga ay dapat na umiiral.

2) Dapat mayroong pangkalahatang limitasyon ng function. Tulad ng nabanggit sa itaas, ito ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon at pagkakapantay-pantay ng isang panig na mga limitasyon: .

3) Ang limitasyon ng function sa isang naibigay na punto ay dapat na katumbas ng halaga ng function sa puntong ito: .

Kung nilabag kahit isa ng tatlong kundisyon, pagkatapos ay mawawalan ng function ang property ng continuity sa punto .

Pagpapatuloy ng isang function sa isang pagitan ay binuo nang mapanlikha at napakasimple: ang isang function ay tuloy-tuloy sa pagitan kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng ibinigay na pagitan.

Sa partikular, maraming mga pag-andar ang tuluy-tuloy sa isang walang katapusang pagitan, iyon ay, sa hanay ng mga tunay na numero. Ito ay isang linear function, polynomials, exponential, sine, cosine, atbp. At sa pangkalahatan, anumang elementarya function tuloy-tuloy sa nito domain ng kahulugan, halimbawa, ang isang logarithmic function ay tuloy-tuloy sa pagitan . sana sa sandaling ito mayroon kang magandang ideya kung ano ang hitsura ng mga graph ng mga pangunahing function. Higit pa Detalyadong impormasyon ang kanilang pagpapatuloy ay maaaring makuha mula sa mabait na tao sa apelyidong Fichtengolts.

Sa pagpapatuloy ng isang function sa isang segment at kalahating pagitan, hindi rin mahirap ang lahat, ngunit mas angkop na pag-usapan ito sa klase tungkol sa paghahanap ng minimum at maximum na halaga ng isang function sa isang segment, ngunit sa ngayon huwag muna nating alalahanin ito.

Pag-uuri ng mga break point

Ang kamangha-manghang buhay ng mga pag-andar ay mayaman sa lahat ng uri ng mga espesyal na punto, at ang mga break point ay isa lamang sa mga pahina ng kanilang talambuhay.

Tandaan : kung sakali, magtatalakay ako sa isang elementarya: ang breaking point ay palaging iisang punto– walang "ilang break point sa isang hilera", ibig sabihin, walang ganoong bagay bilang "break interval".

Ang mga puntong ito ay nahahati naman sa dalawa malalaking grupo: ruptures ng unang uri At ruptures ng pangalawang uri. Ang bawat uri ng puwang ay may kanya-kanyang sarili katangian na titingnan natin ngayon:

Discontinuity point ng unang uri

Kung ang kondisyon ng pagpapatuloy ay nilabag sa isang punto at isang panig na mga limitasyon may hangganan , pagkatapos ito ay tinatawag na discontinuity point ng unang uri.

Magsimula tayo sa pinaka-optimistikong kaso. Ayon sa orihinal na ideya ng aralin, nais kong sabihin ang teorya na "sa pangkalahatang pananaw”, ngunit upang maipakita ang katotohanan ng materyal, nanirahan ako sa opsyon na may mga partikular na character.

Ito ay malungkot, tulad ng isang larawan ng mga bagong kasal sa backdrop ng Eternal Flame, ngunit ang sumusunod na kuha ay karaniwang tinatanggap. Ilarawan natin ang graph ng function sa drawing:


Ang function na ito ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, maliban sa punto. At sa katunayan, ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng zero. Gayunpaman, alinsunod sa kahulugan ng limitasyon, magagawa natin walang katapusang malapit lapitan ang "zero" pareho mula sa kaliwa at mula sa kanan, iyon ay, umiiral ang isang panig na mga limitasyon at, malinaw naman, nag-tutugma:
(Kondisyon No. 2 ng pagpapatuloy ay nasiyahan).

Ngunit ang pag-andar ay hindi tinukoy sa punto, samakatuwid, ang Kondisyon Blg. 1 ng pagpapatuloy ay nilabag, at ang pag-andar ay dumaranas ng discontinuity sa puntong ito.

Isang pahinga ng ganitong uri (na may umiiral na pangkalahatang limitasyon) ay tinatawag naaayos na puwang. Bakit matatanggal? Dahil ang function ay maaari muling tukuyin sa break point:

Parang kakaiba? Siguro. Ngunit ang gayong notasyon ng pag-andar ay hindi sumasalungat sa anuman! Ngayon ang agwat ay sarado at lahat ay masaya:


Magsagawa tayo ng isang pormal na pagsusuri:

2) – mayroong pangkalahatang limitasyon;
3)

Kaya, ang lahat ng tatlong mga kondisyon ay nasiyahan, at ang function ay tuloy-tuloy sa isang punto sa pamamagitan ng kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function sa isang punto.

Gayunpaman, maaaring tukuyin ng mga matan haters ang function sa isang masamang paraan, halimbawa :


Ito ay kagiliw-giliw na ang unang dalawang kondisyon ng pagpapatuloy ay nasiyahan dito:
1) - ang function ay tinukoy sa isang naibigay na punto;
2) – may pangkalahatang limitasyon.

Ngunit ang ikatlong hangganan ay hindi naipasa: , iyon ay, ang limitasyon ng pag-andar sa punto hindi pantay ang halaga ng isang ibinigay na function sa isang naibigay na punto.

Kaya, sa isang punto ang pag-andar ay dumaranas ng isang discontinuity.

Ang pangalawa, mas malungkot na kaso ay tinatawag pagkalagot ng unang uri na may pagtalon. At ang kalungkutan ay dulot ng isang panig na mga limitasyon na iyon may hangganan at naiiba. Ang isang halimbawa ay ipinapakita sa ikalawang guhit ng aralin. Ang ganitong puwang ay kadalasang nangyayari sa piecewise tinukoy na mga function, na nabanggit na sa artikulo tungkol sa mga pagbabago sa graph.

Isaalang-alang ang piecewise function at tatapusin natin ang pagguhit nito. Paano bumuo ng isang graph? Napakasimple. Sa kalahating pagitan ay gumuhit kami ng isang fragment ng isang parabola ( kulay berde), sa pagitan – isang tuwid na bahagi ng linya (pula) at sa kalahating pagitan – isang tuwid na linya ( Kulay asul).

Bukod dito, dahil sa hindi pagkakapantay-pantay, ang halaga ay tinutukoy para sa quadratic function(berdeng tuldok), at dahil sa hindi pagkakapantay-pantay , tinutukoy ang halaga para sa linear function(asul na tuldok):

Sa pinakamahirap na kaso, dapat kang gumamit ng point-by-point construction ng bawat piraso ng graph (tingnan ang unang aralin tungkol sa mga graph ng mga function).

Ngayon ay magiging interesado lamang tayo sa punto. Suriin natin ito para sa pagpapatuloy:

2) Kalkulahin natin ang mga one-sided na limitasyon.

Sa kaliwa mayroon kaming pulang linyang segment, kaya ang kaliwang bahagi na limitasyon ay:

Sa kanan ay ang asul na tuwid na linya, at ang kanang-kamay na limitasyon:

Bilang resulta, natanggap namin may hangganan na mga numero, at sila hindi pantay. Dahil one-sided na limitasyon may hangganan at naiiba: , pagkatapos ay nagpaparaya ang aming function discontinuity ng unang uri na may isang pagtalon.

Ito ay lohikal na ang puwang ay hindi maaaring alisin - ang pag-andar ay talagang hindi maaaring higit pang tukuyin at "nakadikit", tulad ng sa nakaraang halimbawa.

Discontinuity point ng pangalawang uri

Karaniwan, ang lahat ng iba pang mga kaso ng rupture ay matalinong inuri sa kategoryang ito. Hindi ko ilista ang lahat, dahil sa pagsasanay, sa 99% ng mga problema ay makakaharap mo walang katapusang agwat– kapag kaliwete o kanang kamay, at mas madalas, ang parehong mga limitasyon ay walang katapusan.

At, siyempre, ang pinaka-halatang larawan ay ang hyperbola sa point zero. Narito ang parehong isang panig na limitasyon ay walang katapusan: , samakatuwid, ang pag-andar ay dumaranas ng isang discontinuity ng pangalawang uri sa punto .

Sinusubukan kong punan ang aking mga artikulo ng magkakaibang nilalaman hangga't maaari, kaya tingnan natin ang graph ng isang function na hindi pa nakakaharap:

ayon sa karaniwang pamamaraan:

1) Ang function ay hindi tinukoy sa puntong ito dahil ang denominator ay napupunta sa zero.

Siyempre, maaari nating tapusin kaagad na ang pag-andar ay dumaranas ng discontinuity sa punto , ngunit mainam na pag-uri-uriin ang likas na katangian ng discontinuity, na kadalasang kinakailangan ng kundisyon. Para dito:

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na sa pamamagitan ng pag-record ang ibig nating sabihin infinitesimal isang negatibong numero , at sa ilalim ng entry - infinitesimal positive number.

Ang mga one-sided na limitasyon ay walang hanggan, na nangangahulugan na ang function ay dumaranas ng discontinuity ng ikalawang uri sa punto . Ang y-axis ay patayong asymptote para sa graph.

Karaniwang umiral ang magkabilang panig na mga limitasyon, ngunit isa lamang sa mga ito ang walang hanggan, halimbawa:

Ito ang graph ng function.

Sinusuri namin ang punto para sa pagpapatuloy:

1) Ang function ay hindi tinukoy sa puntong ito.

2) Kalkulahin natin ang mga one-sided na limitasyon:

Pag-uusapan natin ang tungkol sa paraan ng pagkalkula ng gayong mga one-sided na limitasyon sa huling dalawang halimbawa ng lektura, bagaman maraming mga mambabasa ang nakakita at nahulaan ang lahat.

Ang limitasyon sa kaliwang kamay ay may hangganan at katumbas ng zero (kami ay "hindi pumunta sa mismong punto"), ngunit ang kanang-kamay na limitasyon ay walang hanggan at ang orange na sangay ng graph ay lumalapit nang walang hanggan malapit sa kanyang patayong asymptote, na ibinigay ng equation (itim na tuldok na linya).

Kaya naghihirap ang pag-andar pangalawang uri ng discontinuity sa puntong .

Tulad ng para sa isang discontinuity ng unang uri, ang function ay maaaring tukuyin sa mismong discontinuity point. Halimbawa, para sa isang piecewise function Huwag mag-atubiling maglagay ng itim na bold na tuldok sa pinanggalingan ng mga coordinate. Sa kanan ay isang sangay ng hyperbola, at ang kanang-kamay na limitasyon ay walang katapusan. Sa tingin ko halos lahat ay may ideya kung ano ang hitsura ng graph na ito.

Ano ang inaabangan ng lahat:

Paano suriin ang isang function para sa pagpapatuloy?

Ang pag-aaral ng isang function para sa pagpapatuloy sa isang punto ay isinasagawa ayon sa isang naitatag na nakagawiang pamamaraan, na binubuo ng pagsuri sa tatlong mga kondisyon ng pagpapatuloy:

Halimbawa 1

Galugarin ang function

Solusyon:

1) Ang tanging punto sa loob ng saklaw ay kung saan hindi tinukoy ang function.

2) Kalkulahin natin ang mga one-sided na limitasyon:

Ang mga one-sided na limitasyon ay may hangganan at pantay.

Kaya, sa puntong ang pag-andar ay dumaranas ng isang naaalis na pagkakahinto.

Ano ang hitsura ng graph ng function na ito?

Gusto kong gawing simple , at tila isang ordinaryong parabola ang nakuha. PERO ang orihinal na function ay hindi tinukoy sa point , kaya ang sumusunod na sugnay ay kinakailangan:

Gawin natin ang pagguhit:

Sagot: ang function ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero maliban sa punto kung saan ito ay dumaranas ng naaalis na discontinuity.

Ang pag-andar ay maaaring higit pang tukuyin sa isang mahusay o hindi napakahusay na paraan, ngunit ayon sa kondisyon na ito ay hindi kinakailangan.

Sasabihin mo na ito ay isang malayong halimbawa? Hindi talaga. Ito ay nangyari nang dose-dosenang beses sa pagsasanay. Halos lahat ng mga gawain ng site ay nagmula sa tunay na independiyenteng trabaho at mga pagsubok.

Alisin natin ang ating mga paboritong module:

Halimbawa 2

Galugarin ang function para sa pagpapatuloy. Tukuyin ang likas na katangian ng mga discontinuities ng function, kung mayroon sila. Isagawa ang pagguhit.

Solusyon: Para sa ilang kadahilanan, ang mga mag-aaral ay natatakot at hindi gusto ang mga function na may isang module, kahit na walang kumplikado tungkol sa mga ito. Medyo na-touch na natin ang mga ganoong bagay sa aralin. Mga pagbabagong geometriko ng mga graph. Dahil ang modyul ay hindi negatibo, ito ay pinalawak tulad ng sumusunod: , kung saan ang "alpha" ay ilang expression. SA sa kasong ito, at ang aming function ay dapat na nakasulat nang paisa-isa:

Ngunit ang mga praksyon ng parehong piraso ay dapat bawasan ng . Ang pagbawas, tulad ng sa nakaraang halimbawa, ay hindi magaganap nang walang mga kahihinatnan. Ang orihinal na function ay hindi tinukoy sa punto dahil ang denominator ay napupunta sa zero. Samakatuwid, dapat ding tukuyin ng system ang kundisyon , at gawing mahigpit ang unang hindi pagkakapantay-pantay:

Ngayon tungkol sa VERY MABUTING pagtanggap mga solusyon: bago tapusin ang gawain sa isang draft, kapaki-pakinabang na gumawa ng isang pagguhit (hindi alintana kung ito ay kinakailangan ng mga kondisyon o hindi). Makakatulong ito, una, upang agad na makita ang mga punto ng pagpapatuloy at mga punto ng hindi pagkakatuloy, at, pangalawa, ito ay 100% na mapoprotektahan ka mula sa mga error kapag naghahanap ng isang panig na mga limitasyon.

Gawin natin ang pagguhit. Alinsunod sa aming mga kalkulasyon, sa kaliwa ng punto ay kinakailangan upang gumuhit ng isang fragment ng isang parabola (asul na kulay), at sa kanan - isang piraso ng isang parabola (pulang kulay), habang ang function ay hindi tinukoy sa ituro ang sarili:

Kung may pagdududa, kumuha ng ilang x value at isaksak ang mga ito sa function (pag-alala na sinisira ng module ang posibleng minus sign) at suriin ang graph.

Suriin natin ang function para sa pagpapatuloy nang analytical:

1) Ang function ay hindi tinukoy sa punto, kaya maaari naming agad na sabihin na ito ay hindi tuloy-tuloy dito.

2) Itatag natin ang likas na katangian ng discontinuity; para magawa ito, kinakalkula natin ang mga one-sided na limitasyon:

Ang mga one-sided na limitasyon ay may hangganan at iba, na nangangahulugan na ang function ay dumaranas ng discontinuity ng 1st kind na may tumalon sa punto . Tandaan muli na kapag naghahanap ng mga limitasyon, hindi mahalaga kung ang function sa break point ay tinukoy o hindi.

Ngayon ang lahat na natitira ay upang ilipat ang pagguhit mula sa draft (ito ay ginawa na parang sa tulong ng pananaliksik ;-)) at kumpletuhin ang gawain:

Sagot: ang function ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero maliban sa punto kung saan ito ay dumaranas ng discontinuity ng unang uri na may isang pagtalon.

Minsan kailangan nila ng karagdagang indikasyon ng discontinuity jump. Ito ay kinakalkula nang simple - mula sa tamang limitasyon kailangan mong ibawas ang kaliwang limitasyon: , iyon ay, sa break point ang aming function ay tumalon ng 2 unit pababa (tulad ng sinasabi sa amin ng minus sign).

Halimbawa 3

Galugarin ang function para sa pagpapatuloy. Tukuyin ang likas na katangian ng mga discontinuities ng function, kung mayroon sila. Gumawa ng drawing.

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa, isang halimbawang solusyon sa pagtatapos ng aralin.

Lumipat tayo sa pinakasikat at laganap na bersyon ng gawain, kapag ang function ay binubuo ng tatlong bahagi:

Halimbawa 4

Suriin ang isang function para sa pagpapatuloy at i-plot ang isang graph ng function .

Solusyon: malinaw na ang lahat ng tatlong bahagi ng function ay tuluy-tuloy sa kaukulang mga agwat, kaya nananatili itong suriin lamang ang dalawang punto ng "junction" sa pagitan ng mga piraso. Una, gumawa tayo ng isang draft na pagguhit; Nagkomento ako sa pamamaraan ng pagtatayo sa sapat na detalye sa unang bahagi ng artikulo. Ang tanging bagay ay kailangan nating maingat na sundin ang ating mga isahan na punto: dahil sa hindi pagkakapantay-pantay, ang halaga ay kabilang sa tuwid na linya (berdeng tuldok), at dahil sa hindi pagkakapantay-pantay, ang halaga ay kabilang sa parabola (pulang tuldok):


Well, in principle, everything is clear =) Ang natitira na lang ay gawing pormal ang desisyon. Para sa bawat isa sa dalawang puntong "pagsasama", karaniwang sinusuri namin ang 3 kundisyon ng pagpapatuloy:

ako) Sinusuri namin ang punto para sa pagpapatuloy

1)

Ang mga one-sided na limitasyon ay may hangganan at iba, na nangangahulugan na ang function ay dumaranas ng discontinuity ng 1st kind na may tumalon sa punto .

Kalkulahin natin ang discontinuity jump bilang pagkakaiba sa pagitan ng kanan at kaliwang limitasyon:
, ibig sabihin, ang graph ay nag-jerked up ng isang unit.

II) Sinusuri namin ang punto para sa pagpapatuloy

1) – ang function ay tinukoy sa isang naibigay na punto.

2) Maghanap ng mga one-sided na limitasyon:

– ang isang panig na limitasyon ay may hangganan at pantay, na nangangahulugang mayroong pangkalahatang limitasyon.

3) – ang limitasyon ng isang function sa isang punto ay katumbas ng halaga ng function na ito sa isang naibigay na punto.

Sa huling yugto, inililipat namin ang pagguhit sa panghuling bersyon, pagkatapos ay inilalagay namin ang pangwakas na chord:

Sagot: ang function ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, maliban sa punto kung saan ito ay dumaranas ng discontinuity ng unang uri na may isang pagtalon.

Halimbawa 5

Suriin ang isang function para sa continuity at bumuo ng graph nito .

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili, maikling solusyon at isang tinatayang sample ng gawain sa pagtatapos ng aralin.

Maaari kang makakuha ng impresyon na sa isang punto ang pag-andar ay dapat na tuloy-tuloy, at sa isa pa ay dapat mayroong isang discontinuity. Sa pagsasagawa, hindi ito palaging nangyayari. Subukang huwag pabayaan ang natitirang mga halimbawa - magkakaroon ng maraming kawili-wili at mahahalagang tampok:

Halimbawa 6

Nabigyan ng function . Siyasatin ang function para sa pagpapatuloy sa mga punto. Bumuo ng isang graph.

Solusyon: at muli agad na isagawa ang pagguhit sa draft:

Ang kakaiba ng graph na ito ay ang piecewise function ay ibinibigay ng equation ng abscissa axis. Ang lugar na ito ay iginuhit dito berde, at sa isang kuwaderno ito ay karaniwang naka-highlight sa bold gamit ang isang simpleng lapis. At, siyempre, huwag kalimutan ang tungkol sa aming mga tupa: ang halaga ay kabilang sa tangent branch (pulang tuldok), at ang halaga ay kabilang sa tuwid na linya.

Ang lahat ay malinaw mula sa pagguhit - ang pag-andar ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, ang natitira lamang ay upang gawing pormal ang solusyon, na dinadala sa ganap na automation pagkatapos ng 3-4 na katulad na mga halimbawa:

ako) Sinusuri namin ang punto para sa pagpapatuloy

1) - ang function ay tinukoy sa isang naibigay na punto.

2) Kalkulahin natin ang mga one-sided na limitasyon:

, na nangangahulugang mayroong pangkalahatang limitasyon.

Kung sakali, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang isang maliit na katotohanan: ang limitasyon ng isang pare-pareho ay katumbas ng pare-pareho mismo. Sa kasong ito, ang limitasyon ng zero ay katumbas ng zero mismo (kaliwang kamay na limitasyon).

3) – ang limitasyon ng isang function sa isang punto ay katumbas ng halaga ng function na ito sa isang naibigay na punto.

Kaya, ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto sa pamamagitan ng kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function sa isang punto.

II) Sinusuri namin ang punto para sa pagpapatuloy

1) - ang function ay tinukoy sa isang naibigay na punto.

2) Maghanap ng mga one-sided na limitasyon:

At dito - ang limitasyon ng isa ay katumbas ng yunit mismo.

– may pangkalahatang limitasyon.

3) – ang limitasyon ng isang function sa isang punto ay katumbas ng halaga ng function na ito sa isang naibigay na punto.

Kaya, ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto sa pamamagitan ng kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function sa isang punto.

Gaya ng dati, pagkatapos ng pananaliksik ay inililipat namin ang aming guhit sa huling bersyon.

Sagot: ang function ay tuloy-tuloy sa mga punto.

Pakitandaan na sa kondisyon na wala kaming tinanong tungkol sa pag-aaral ng buong function para sa pagpapatuloy, at ito ay itinuturing na magandang mathematical form upang bumalangkas tumpak at malinaw ang sagot sa tanong na binigay. Sa pamamagitan ng paraan, kung ang kondisyon ay hindi nangangailangan sa iyo na bumuo ng isang graph, pagkatapos ay mayroon ka bawat karapatan huwag itayo ito (bagaman maaari kang pilitin ng guro na gawin ito sa ibang pagkakataon).

Isang maliit na mathematical na "tongue twister" para sa paglutas nito sa iyong sarili:

Halimbawa 7

Nabigyan ng function . Siyasatin ang function para sa pagpapatuloy sa mga punto. Uriin ang mga breakpoint, kung mayroon man. Isagawa ang pagguhit.

Subukang "bigkas" ang lahat ng "mga salita" nang tama =) At iguhit ang graph nang mas tumpak, katumpakan, hindi ito magiging labis sa lahat ng dako;-)

Tulad ng naaalala mo, inirerekumenda kong agad na kumpletuhin ang pagguhit bilang isang draft, ngunit paminsan-minsan ay makakatagpo ka ng mga halimbawa kung saan hindi mo agad matukoy kung ano ang hitsura ng graph. Samakatuwid, sa ilang mga kaso, ito ay kapaki-pakinabang upang unang mahanap ang isang panig na limitasyon at pagkatapos lamang, batay sa pag-aaral, ilarawan ang mga sanga. Sa huling dalawang halimbawa, matututunan din natin ang isang pamamaraan para sa pagkalkula ng ilang isang panig na limitasyon:

Halimbawa 8

Suriin ang function para sa continuity at buuin ang schematic graph nito.

Solusyon: ang masasamang puntos ay halata: (binabawasan ang denominator ng exponent sa zero) at (binabawasan ang denominator ng buong fraction sa zero). Hindi malinaw kung ano ang hitsura ng graph ng function na ito, na nangangahulugang mas mabuting magsaliksik muna.