Doğrusal olmayan denklemlerin çözümü için Newton yöntemi c. Newton-Raphson yöntemini kullanarak doğrusal olmayan kararlı durum denklem sistemlerini çözme

Newton yöntemi (teğet yöntemi olarak da bilinir), belirli bir fonksiyonun kökünü (sıfır) bulmaya yönelik yinelemeli bir sayısal yöntemdir. Yöntem ilk olarak İngiliz fizikçi, matematikçi ve gökbilimci Isaac Newton (1643-1727) tarafından önerildi ve onun adıyla meşhur oldu.

Yöntem Isaac Newton tarafından Deanalysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Hakkında sonsuz seri denklemleriyle analiz), 1669'da Barrow'a değinilmiş ve De metodis fluxionum et serierum infinitarum (Latince: Akıların ve sonsuz serilerin yöntemi) veya Geometria analytica ( enlem.Analitik geometri) Newton'un 1671'de yazdığı toplu eserlerinde yer almaktadır. Ancak yöntemin açıklaması mevcut sunumundan önemli ölçüde farklıydı: Newton, yöntemini yalnızca polinomlara uyguladı. X n'nin ardışık yaklaşımlarını değil, bir polinom dizisini hesapladı ve sonuç olarak x'in yaklaşık bir çözümünü elde etti.

Yöntem ilk olarak 1685 yılında John Wallis'in Cebir adlı incelemesinde yayımlandı ve onun isteği üzerine bizzat Newton tarafından kısaca anlatıldı. 1690'da Joseph Raphson, Analysis aequationum universalis (lat. Genel analiz denklemler). Raphson, Newton'un yöntemini tamamen cebirsel olarak gördü ve kullanımını polinomlarla sınırladı, ancak yöntemi, Newton tarafından kullanılan anlaşılması daha zor polinom dizisi yerine ardışık xn yaklaşımları cinsinden tanımladı.

Son olarak, 1740 yılında, Newton'un yöntemi Thomas Simpson tarafından birinci dereceden yinelemeli bir çözüm yöntemi olarak tanımlandı. doğrusal olmayan denklemler burada sunulan türevi kullanarak. Aynı yayında Simpson, yöntemi iki denklemli bir sistem durumuna genelleştirdi ve Newton yönteminin, türevin veya gradyanın sıfırını bularak optimizasyon problemlerini çözmek için de uygulanabileceğini kaydetti.

Bu yönteme uygun olarak, bir fonksiyonun kökünü bulma görevi, fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin x ekseni ile kesişme noktasını bulma görevine indirgenmiştir.

Şekil 1 . Fonksiyon değişim grafiği

Bir fonksiyonun grafiğine herhangi bir noktada çizilen teğet çizgi, bu fonksiyonun söz konusu noktadaki türevi tarafından belirlenir ve bu da α () açısının tanjantı tarafından belirlenir. Teğetin apsis ekseni ile kesişme noktası aşağıdaki ilişkiye göre belirlenir: dik üçgen: açının tanjantıBir dik üçgende karşı tarafın üçgenin bitişik kenarına oranı ile belirlenir. Böylece her adımda fonksiyonun grafiğine bir sonraki yaklaşımın noktasında bir teğet oluşturulur. . Teğetin eksenle kesişme noktasıÖküz bir sonraki yaklaşma noktası olacak. Söz konusu yönteme uygun olarak, kökün yaklaşık değerinin hesaplanmasıBen-yinelemeler aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir:

Düz çizginin eğimi her adımda mümkün olan en iyi şekilde ayarlanır ancak algoritmanın grafiğin eğriliğini hesaba katmadığına ve bu nedenle hesaplama işlemi sırasında bilinmediğine dikkat etmelisiniz. grafiğin hangi yöne sapabileceği.

Yinelemeli sürecin sona ermesinin koşulu aşağıdaki koşulun yerine getirilmesidir:

Nerede ˗ Kökün belirlenmesinde izin verilen hata.

Yöntem ikinci dereceden yakınsamaya sahiptir. İkinci dereceden yakınsama oranı, yaklaşımdaki doğru işaret sayısının her yinelemede iki katına çıkması anlamına gelir.

Matematiksel gerekçe

Gerçek bir fonksiyon verilsinSöz konusu alanda tanımlanmış ve sürekli olan. Söz konusu fonksiyonun gerçek kökünü bulmak gerekir.

Denklemin türetilmesi yönteme dayanmaktadır. basit yinelemeler Buna göre denklem herhangi bir fonksiyon için eşdeğer bir denkleme indirgenir. İlişkisi ile tanımlanan daralma eşlemesi kavramını tanıtalım.

Yöntemin en iyi yakınsaması için koşulun bir sonraki yaklaşım noktasında karşılanması gerekir. Bu gereksinim, fonksiyonun kökünün, fonksiyonun ekstremumuna karşılık gelmesi gerektiği anlamına gelir.

Büzülme haritasının türevişu şekilde tanımlanır:

Bu ifadeden değişkeni ifade edelimDaha önce kabul edilen beyana tabi olmak koşulunun sağlanması gerektiğinde. Sonuç olarak değişkeni tanımlamak için bir ifade elde ederiz:

Bunu dikkate alarak sıkıştırma fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

Böylece denklemin sayısal çözümünü bulmaya yönelik algoritma yinelemeli bir hesaplama prosedürüne indirgenir:

Yöntemi kullanarak doğrusal olmayan bir denklemin kökünü bulmaya yönelik algoritma

1. Fonksiyonun kökünün yaklaşık değerinin başlangıç ​​noktasını ayarlayın, ayrıca hesaplama hatası (küçük pozitif sayı) ve ilk yineleme adımı ().

2. Fonksiyonun kökünün yaklaşık değerini aşağıdaki formüle göre hesaplayın:

3. Aşağıdaki durumlarda, belirtilen doğruluk için kökün yaklaşık değerini kontrol ederiz:

Ardışık iki yaklaşım arasındaki fark belirtilen doğruluktan az olursa iteratif süreç sona erer.

Ardışık iki yaklaşım arasındaki fark gerekli doğruluğa ulaşmazsa, yinelemeli işleme devam etmek ve söz konusu algoritmanın 2. adımına gitmek gerekir.

Denklem çözme örneği

yöntemleTek değişkenli bir denklem için Newton

Örnek olarak, doğrusal olmayan bir denklemi şu yöntemi kullanarak çözmeyi düşünün:Tek değişkenli bir denklem için Newton. Kök, ilk yaklaşım olarak doğrulukla bulunmalıdır.

Bir yazılım paketinde doğrusal olmayan bir denklemi çözme seçeneğiMathCADŞekil 3'te sunulmuştur.

Hesaplama sonuçları, yani kökün yaklaşık değerindeki değişikliklerin dinamikleri ve yineleme adımına bağlı hesaplama hataları grafiksel biçimde sunulur (bkz. Şekil 2).

İncir. 2. Tek değişkenli bir denklem için Newton yöntemini kullanan hesaplama sonuçları

Aralıktaki denklemin kökünün yaklaşık değerini ararken belirtilen doğruluğu sağlamak için 4 yinelemenin yapılması gerekir. Son yineleme adımında, doğrusal olmayan denklemin kökünün yaklaşık değeri şu değerle belirlenecektir: .

Şek. 3 . Program listesiMathCad

Tek değişkenli bir denklem için Newton yönteminin modifikasyonları

Newton yönteminin hesaplama sürecini basitleştirmeyi amaçlayan çeşitli modifikasyonları vardır.

Basitleştirilmiş Newton yöntemi

Newton'un yöntemine göre f(x) fonksiyonunun türevinin her yineleme adımında hesaplanması gerekir, bu da hesaplama maliyetlerinin artmasına neden olur. Her hesaplama adımında türevin hesaplanmasıyla ilişkili maliyetleri azaltmak için, formülde x n noktasındaki türevi f'(x n)'yi x 0 noktasındaki f'(x 0) türeviyle değiştirebilirsiniz. Bu hesaplama yöntemine göre kökün yaklaşık değeri aşağıdaki formülle belirlenir:Değiştirilmiş Newton yöntemi

Newton'un fark yöntemi

Sonuç olarak f(x) fonksiyonunun kökünün yaklaşık değeri Newton'un fark yönteminin ifadesiyle belirlenecektir:

Newton'un iki aşamalı yöntemi

Newton'un yöntemine uygun olarak, her yineleme adımında f(x) fonksiyonunun türevini hesaplamak gerekir; bu her zaman uygun değildir ve bazen pratik olarak imkansızdır. Bu method bir fonksiyonun türevinin bir fark oranı (yaklaşık değer) ile değiştirilmesine izin verir:

Sonuç olarak, f(x) fonksiyonunun kökünün yaklaşık değeri aşağıdaki ifadeyle belirlenecektir:

Nerede

Şekil 5 . Newton'un iki aşamalı yöntemi

Sekant yöntemi iki adımlı bir yöntemdir, yani yeni bir yaklaşımdır.önceki iki yinelemeyle belirlendi Ve . Yöntem iki başlangıç ​​yaklaşımını belirtmelidir Ve . Yöntemin yakınsama oranı doğrusal olacaktır.

• Geri
• İleri

Yorumunuzu yazıya eklemek için lütfen siteye kayıt olunuz.

2. Doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözmek için Newton'un yöntemi.

Bu yöntem, basit yineleme yöntemine göre çok daha hızlı yakınsamaya sahiptir. Newton'un denklem sistemi (1.1) yöntemi, fonksiyon açılımının kullanımına dayanmaktadır.

, Nerede
(2.1)

Taylor serisinde, ikinci veya daha fazlasını içeren terimlerle yüksek siparişler türevler atılır. Bu yaklaşım, doğrusal olmayan bir sistemin (1.1) çözümünün bir dizi doğrusal sistemin çözümüyle değiştirilmesine olanak tanır.

Yani (1.1) sistemini Newton yöntemiyle çözeceğiz. D bölgesinde herhangi bir noktayı seçin
ve buna orijinal sistemin tam çözümüne sıfır yaklaşım adını veriyoruz. Şimdi fonksiyonları (2.1) noktasının komşuluğundaki Taylor serisine genişletelim. Sahip olacak

Çünkü (2.2)'nin sol tarafları (1.1)'e göre sıfır olmalı, sonra (2.2)'nin sağ tarafları da sıfır olmalıdır. Bu nedenle (2.2)'den elimizde

(2.3)'teki tüm kısmi türevler noktasında hesaplanmalıdır.

(2.3) doğrusal bir sistemdir cebirsel denklemler bilinmeyenlere göreli Bu sistem, eğer ana determinantı sıfırdan farklı ise ve miktarlar bulunabilirse Cramer yöntemiyle çözülebilir.

Artık koordinatlarla ilk yaklaşımı oluşturarak sıfır yaklaşımını hassaslaştırabiliriz.

onlar.
. (2.6)

Yaklaşımın (2.6) yeterli doğrulukla elde edilip edilmediğini bulalım. Bunu yapmak için durumu kontrol edelim

,
(2.7)

Nerede önceden belirlenmiş küçük bir pozitif sayı (sistemin (1.1) çözülmesi gereken doğruluk). Eğer (2.7) koşulu sağlanırsa, (1.1) sistemine yaklaşık çözüm olarak (2.6) seçilir ve hesaplamalar tamamlanır. Eğer koşul (2.7) karşılanmazsa aşağıdaki işlemi gerçekleştiririz. Sistemde (2.3), bunun yerine
güncellenmiş değerleri alalım

, (2.8)

onlar. Hadi yapalım aşağıdaki eylemler

. (2.9)

Bundan sonra sistem (2.3), büyüklükler için doğrusal cebirsel denklemler sistemi olacaktır. Bu büyüklükler belirlendikten sonra sonraki ikinci yaklaşıma geçilir.
formülleri kullanarak bulduğumuz sistem (1.1) çözümüne

Şimdi koşulu kontrol edelim (2.7)

Bu koşul sağlanıyorsa (1.1) sisteminin yaklaşık çözümü olarak ikinci yaklaşımı alarak hesaplamaları tamamlarız.
. Bu koşul karşılanmazsa, (2.3)'ü alarak bir sonraki yaklaşımı oluşturmaya devam ederiz.
Koşul karşılanıncaya kadar yaklaşımlar oluşturmak gereklidir.

Newton'un sistemi çözme yönteminin çalışma formülleri (1.1) şeklinde yazılabilir.

Hesaplama sırası

Burada
sistemin çözümü

(2.11)-(2.13) formüllerini kullanarak bir hesaplama algoritması formüle edelim.

1. D bölgesine ait bir sıfır yaklaşımı seçelim.

2. Doğrusal cebirsel denklemler sisteminde (2.13) şunu belirledik:
,A .

3. (2.13) sistemini çözelim ve miktarları bulalım
.

4. Formül (2.12)'de şunu koyarız:
ve bir sonraki yaklaşımın bileşenlerini hesaplayın.

5. Koşulu (2.7) aşağıdakiler için kontrol edelim: (Birkaç niceliğin maksimumunu hesaplamak için algoritmaya bakın.)

6. Bu koşul sağlanıyorsa (1.1) sisteminin yaklaşık çözümü olarak yaklaşımı seçerek hesaplamaları tamamlarız. Bu koşul karşılanmıyorsa 7. adıma geçin.

7. Hadi koyalım
hepsi için .

8. 3. adımı uygulayalım:
.

Geometrik olarak bu algoritma şu şekilde yazılabilir:

Algoritma. Birkaç büyüklüğün maksimumunun hesaplanması.

Örnek. İki denklemden oluşan bir sistemi çözmek için Newton yöntemini kullanmayı düşünelim.

Doğruluğa kadar Newton yöntemini kullanarak çözün aşağıdaki sistem doğrusal olmayan denklemler

, (2.14)

Burada
. Sıfır yaklaşımını seçelim
, D alanına ait. Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi (2.3) oluşturalım. O gibi görünecek

(2.15)

Haydi belirtelim

(2.15) sistemini bilinmeyenlere göre çözelim
Örneğin Cramer yöntemi. Cramer'in formüllerini forma yazıyoruz

(2.17)

sistemin ana belirleyicisi nerede (2.15)

(2.18)

ve (2.15) sisteminin yardımcı determinantları şu şekildedir:

.

Bulunan değerleri (2.16)'ya koyarız ve ilk yaklaşımın bileşenlerini buluruz
(2.15) sisteminin çözümüne.

Durumu kontrol edelim

, (2.19)

eğer bu koşul karşılanırsa, o zaman (2.15) sistemine yaklaşık bir çözüm olarak ilk yaklaşımı alarak hesaplamaları tamamlarız, yani.
. Eğer koşul (2.19) karşılanmazsa, o zaman şunu belirleriz:
,
ve inşa edeceğiz yeni sistem doğrusal cebirsel denklemler (2.15). Çözdükten sonra ikinci yaklaşımı buluruz
. Hadi kontrol edelim. Bu koşul sağlanırsa (2.15) sisteminin yaklaşık çözümünü seçeriz.
. Koşul karşılanmazsa, ayarlıyoruz
,
ve bulmak için aşağıdaki sistemi (2.15) oluşturun.
vesaire.

Görevler

Tüm görevler şunları gerektirir:

Önerilen algoritmaya göre yöntemin sayısal uygulaması için bir program hazırlayın.

Hesaplama sonuçlarını alın.

Sonuçlarınızı kontrol edin.

İki doğrusal olmayan denklem sistemi verilmiştir.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Bölüm 3. Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek için sayısal yöntemler.

İşin amacı. SLAE'leri çözmek için bazı yaklaşık yöntemlere ve bunların bilgisayarda sayısal uygulamalarına giriş.

Ön açıklamalar. SLAE'leri çözmeye yönelik tüm yöntemler genellikle ikiye ayrılır büyük gruplar. İlk grup, genellikle doğru olarak adlandırılan yöntemleri içerir. Bu yöntemler herhangi bir sistem için bulmamızı sağlar kesin değerler Her biri tam olarak gerçekleştirilen sonlu sayıda aritmetik işlemden sonra bilinmeyenler.

İkinci grup ise doğruluğu kesin olmayan tüm yöntemleri içermektedir. Bunlara yinelemeli, sayısal veya yaklaşık denir. Bu tür yöntemler kullanıldığında kesin çözüm, sonsuz bir yaklaşım süreci sonucunda elde edilir. Bu tür yöntemlerin çekici bir özelliği, kendi kendini düzeltmeleri ve bir PC'de uygulanma kolaylığıdır.

SLAE'leri çözmek için bazı yaklaşık yöntemleri ele alalım ve bunların sayısal uygulamaları için algoritmalar oluşturalım. SLAE'nin yaklaşık bir çözümünü, çok küçük bir pozitif sayı olan doğrulukla elde edeceğiz.

1. Yineleme yöntemi.

SLAE şu şekilde verilsin

(1.1)

Bu sistem matris formunda yazılabilir.

, (1.2)

Nerede
- sistemdeki bilinmeyenler için katsayılar matrisi (1.1),
- ücretsiz üyelerin sütunu,
- sistemin bilinmeyenleri sütunu (1.1).

. (1.3)

(1.1) sistemini yineleme yöntemini kullanarak çözelim. Bunu yapmak için aşağıdaki adımları uygulayacağız.

İlk önce. Sıfır yaklaşımını seçelim

(1.4)

sistemin (1.1) kesin çözümüne (1.3). Sıfır yaklaşımının bileşenleri herhangi bir sayı olabilir. Ancak sıfır yaklaşımının bileşenleri için sıfırlardan birini almak daha uygundur.
veya ücretsiz sistem koşulları (1.1)

İkincisi. Sıfır yaklaşımının bileşenlerini yerine koyarız Sağ Taraf sistem (1.1) ve hesaplayın

(1.5)

(1.5)'te soldaki miktarlar ilk yaklaşımın bileşenleridir
İlk yaklaşımla sonuçlanan eylemlere yineleme adı verilir.

Üçüncü. için sıfır ve birinci yaklaşımları kontrol edelim.

(1.6)

Eğer tüm koşullar (1.6) karşılanırsa, o zaman (1.1) sisteminin yaklaşık çözümü için ya seçeriz ya da farketmez çünkü birbirlerinden en fazla farklı değiller ve hadi hesaplamaları bitirelim. Koşullardan (1.6) en az biri karşılanmazsa bir sonraki eyleme geçeriz.

Dördüncüsü. Bir sonraki yinelemeyi gerçekleştirelim, yani. (1.1) sisteminin sağ tarafında, birinci yaklaşımın bileşenlerini yerine koyarız ve ikinci yaklaşımın bileşenlerini hesaplarız
, Nerede

Beşinci. Hadi kontrol edelim
ve devamı, yani. Bu yaklaşımlar için (1.6) koşulunu kontrol edelim. Eğer tüm koşullar (1.6) karşılanırsa, o zaman (1.1) sisteminin yaklaşık çözümü için ya birini seçeceğiz ya da önemi yok çünkü birbirlerinden en fazla farklılık göstermezler. Aksi takdirde, ikinci yaklaşımın bileşenlerini sistemin (1.1) sağ tarafına koyarak bir sonraki iterasyonu oluşturacağız.

İki bitişik yaklaşıma kadar yinelemelerin yapılması gerekir
ve birbirlerinden en fazla farklı olmayacaktır.

Sistem (1.1)'i çözmek için yineleme yönteminin çalışma formülü şu şekilde yazılabilir:

Formül (1.7)'nin sayısal uygulamasına yönelik algoritma aşağıdaki gibi olabilir.

Sistem (1.1) için yineleme yönteminin yakınsaması için yeterli koşullar şu şekildedir:

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Basit yineleme yöntemi.

Doğrusal cebirsel denklemler sistemi (SLAE) şu şekilde verilsin:

(2.1)

Basit yineleme yöntemini kullanarak sistemi (2.1) çözmek için öncelikle forma indirgenmesi gerekir.

(2.2)

Sistemde (2.2) -'inci denklem, (2.1) sisteminin -'inci denklemidir ve -'inci bilinmeyene göre çözümlenmiştir (
).

Sistemi (2.1) çözme yöntemi, onu sisteme (2.2) indirgemeyi ve ardından yineleme yöntemini kullanarak sistemi (2.2) çözmeyi içeren yönteme, sistem (2.1) için basit yineleme yöntemi denir.

Böylece, (2.1) sistemini çözmek için basit yineleme yönteminin çalışma formülleri şu şekilde olacaktır:

(2.3)

Formüller (2.3) şu şekilde yazılabilir:

Formül (2.4)'e göre sistem (2.1) için basit yineleme yönteminin sayısal uygulamasına yönelik algoritma aşağıdaki gibi olabilir.

Bu algoritma geometrik olarak yazılabilir.

Sistem (2.1) için basit yineleme yönteminin yakınsaması için yeterli koşullar şu şekildedir:

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Sabit Seidel yöntemi.

SLAE'leri çözmeye yönelik Seidel yöntemi, yineleme yönteminden farklıdır; çünkü -'inci bileşen için bazı yaklaşımlar bulduktan sonra onu hemen bir sonraki bileşeni bulmak için kullanırız
,
, …, -th bileşeni. Bu yaklaşım daha fazlasını sağlar yüksek hız iterasyon yöntemiyle karşılaştırıldığında Seidel yönteminin yakınsaması.

SLAE şu şekilde verilsin

(3.1)

İzin vermek
- kesin çözüme sıfır yaklaşım
sistemler (3.1). Ve bulunmasına izin ver bu yaklaşım
. Bileşenleri tanımlayalım
formülleri kullanarak yaklaşıklık

(3.2)

Formüller (3.2) kompakt biçimde yazılabilir

,
,
(3.3)

Formülleri (3.3) kullanarak sistemi (3.1) çözmek için Seidel yönteminin sayısal uygulamasına yönelik algoritma aşağıdaki gibi olabilir.

1. Örneğin şunu seçelim:
,

2. Koyalım.

3. Herkes için hesaplayalım.

4. Herkesin koşullarını kontrol edeceğiz
.

5. Paragraf 4'teki tüm koşullar karşılanırsa, o zaman veya'yı sistem (3.1)'e yaklaşık bir çözüm olarak seçeceğiz ve hesaplamaları tamamlayacağız. 4. adımdaki en az bir koşul karşılanmazsa 6. adıma geçin.

6. Onu bir kenara bırakalım ve 3. adıma geçelim.

Bu algoritma geometrik olarak yazılabilir.

Sistem (3.1) için Seidel yönteminin yakınsaması için yeterli koşul şu şekildedir:
, .

4. Durağan olmayan Seidel yöntemi.

SLAE'yi (3.1) çözmenin bu yöntemi, Seidel yöntemine göre daha da yüksek bir yakınsama hızı sağlar.

Sistem (3.1) için n'inci yaklaşımın ve n'inci yaklaşımın bileşenlerini bir şekilde bulalım.

Düzeltme vektörünü hesaplayalım

Değerleri hesaplayalım

, (4.2)

Miktarları ayarlayalım
, azalan sırayla.

Aynı sırayla (3.1) sistemindeki denklemleri ve bu sistemdeki bilinmeyenleri yeniden yazıyoruz: Doğrusalcebir Ve doğrusal olmayan ... Yönetmekİçin laboratuvar İşlerİle ... metodolojik talimatlar İçinpratikİşlerİle İçinöğrenciler ...

Eğitim literatürü (doğa bilimleri ve teknik) 2000-2011 OP döngüsü – 10 yıllık CD döngüsü – 5 yıl

Edebiyat

... DoğalBilimler genel olarak 1. Astronomi [Metin]: kılavuz İçin ... Sayısalyöntemler: Doğrusalcebir Ve doğrusal olmayan ... Yönetmekİçin laboratuvar İşlerİle ... metodolojik talimatlar İçinpratikİşlerİle disiplin "Ulaştırma Ekonomisi" İçinöğrenciler ...

- doğa bilimleri (1)

öğretici

... yönetmekİçinöğrenciler ve öğretmenler, amaçlanan İçin sadece ders çalışmak için değil yöntemleriş... üretme pratik gerçek verileri kullanma becerisi. metodik tavsiyeler İle testin yerine getirilmesi işİle Bu...

- doğa bilimleri - fizik ve matematik bilimleri - kimya bilimleri - yer bilimleri (jeodezik, jeofizik, jeoloji ve coğrafya bilimleri)

Belge

... İçinöğrencilerdoğal olarak- ... İşlerİle"Genetik ve seçilim" disiplini, Güncel problemler Bu Bilimler. Sistematikleştirilmiş bağımsız İşöğrencilerİle teorik ve pratik ... doğrusal, doğrusal olmayan, dinamik. Tüm yöntemler ...

- doğa bilimleri - fizik ve matematik bilimleri - kimya bilimleri - yer bilimleri (jeodezik, jeofizik, jeoloji ve coğrafya bilimleri) (7)

Ders kitaplarının listesi

Eremin'in determinantı doğrusal Ve doğrusal olmayancebir : doğrusal Ve doğrusal olmayan programlama: yeni yöntem/ Eremin, Mikhail... İçinöğrenciler ve üniversitelerdeki jeolojik uzmanlık öğretmenleri. kh-1 1794549 99. D3 P 693 Pratikyönetmekİle ...



Anahtar Kelimeler:

Çalışmanın amacı: Bir bilinmeyenli doğrusal olmayan denklemlerin çözümüne yönelik yöntemleri inceleyin ve bunları deneysel çalışmalarda test edin.

İşin hedefleri:

1. Analiz et özel edebiyat ve doğrusal olmayan denklemleri çözmek için en rasyonel yöntemleri seçerek derinlemesine çalışmanıza ve özümsemenize olanak tanır bu konu tamamı lise mezunu.
2. Doğrusal olmayan denklemleri BİT kullanarak çözmeye yönelik bir metodolojinin bazı yönlerini geliştirin.
3. Doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemlerini keşfedin:

‒ Adım yöntemi

‒ Yarıya indirme yöntemi

- Newton'un yöntemi

Giriiş.

Matematik okuryazarlığı olmadan fizik, kimya, biyoloji ve diğer konulardaki problemleri çözme yöntemlerine başarılı bir şekilde hakim olmak imkansızdır. Doğa bilimlerinin tüm kompleksi matematiksel bilgi temelinde inşa edilmiş ve geliştirilmiştir. Örneğin, matematiksel fizikteki bir takım güncel problemlerin incelenmesi, doğrusal olmayan denklemlerin çözülmesi ihtiyacını doğurmaktadır. Doğrusal olmayan denklemlerin çözümü, doğrusal olmayan optik, plazma fiziği, süperiletkenlik teorisi ve düşük sıcaklık fiziğinde gereklidir. Bu konuyla ilgili yeterli miktarda literatür var ancak birçok ders kitabı ve makaleyi bir lise öğrencisinin anlaması zor. Bu makale fizik ve kimyadaki uygulamalı problemleri çözmek için kullanılabilecek doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemlerini tartışmaktadır. Uygulamanın ilginç bir yönü de Bilişim Teknolojileri Matematikte denklem ve problem çözme.

Adım yöntemi.

F(x)=0 formundaki doğrusal olmayan bir denklemin çözülmesi gerekli olsun. Ayrıca bize belirli bir arama aralığı verildiğini varsayalım. Arama aralığının sol kenarından başlayarak denklemin ilk kökünü içeren h uzunluğundaki [a,b] aralığının bulunması gerekmektedir.

Pirinç. 1. Adım yöntemi

Böyle bir sorunu çözmenin birkaç yolu vardır. Adım yöntemi, eşitsizlikleri çözmek için kullanılan sayısal yöntemlerin en basitidir, ancak yüksek doğruluk elde etmek için adımın önemli ölçüde azaltılması gerekir ve bu, hesaplama süresini büyük ölçüde artırır. Denklemleri çözmek için algoritma Bu method iki aşamadan oluşur.

BENsahne. Kök ayrımı.

Bu aşamada her biri denklemin yalnızca bir kökünü içeren bölümler belirlenir. Bu aşamayı uygulamak için birkaç seçenek vardır:

• X'in değerlerini (tercihen oldukça küçük bir adımla) değiştiririz ve fonksiyonun nerede işaret değiştirdiğini görürüz. Fonksiyonun işareti değiştiyse bu, X'in önceki ve şimdiki değeri arasındaki alanda bir kök olduğu anlamına gelir (eğer fonksiyon artış/azalış niteliğini değiştirmiyorsa o zaman sadece bir tane olduğunu söyleyebiliriz) kök bu aralıktadır).
• Grafik yöntemi. Bir grafik oluşturuyoruz ve bir kökün hangi aralıklarda olduğunu değerlendiriyoruz.
• Belirli bir fonksiyonun özelliklerini inceleyelim.

IIsahne. Köklerin iyileştirilmesi.

Bu aşamada daha önce belirlenen denklemin köklerinin anlamı netleştirilir. Kural olarak bu aşamada yinelemeli yöntemler kullanılır. Örneğin, yöntem yarım bölme(ikilikler) veya Newton'un yöntemi.

Yarım bölme yöntemi

Denklemlerin çözümü için, F(x) = 0 denkleminin tek kökünü içeren aralığın belirtilen doğruluk E elde edilene kadar sıralı olarak daraltılmasına dayanan hızlı ve oldukça basit bir sayısal yöntem. Bu yöntem genellikle çözerken kullanılır. ikinci dereceden denklemler ve daha yüksek dereceli denklemler. Bununla birlikte, bu yöntemin önemli bir dezavantajı vardır - eğer [a,b] segmenti birden fazla kök içeriyorsa, iyi sonuçlar elde edemeyecektir.

Pirinç. 2. İkilik yöntemi

Bu yöntemin algoritması aşağıdaki gibidir:

‒ [a;b] doğru parçasının ortasındaki kök x için yeni bir yaklaşım belirleyin: x=(a+b)/2.

‒ Fonksiyonun a ve x noktalarındaki değerlerini bulun: F(a) ve F(x).

‒ F(a)*F(x) durumunu kontrol edin

‒ 1. adıma gidin ve segmenti tekrar ikiye bölün. Algoritmaya |F(x)| koşuluna kadar devam edin.

Newton'un yöntemi

Sayısal çözüm yöntemlerinden en doğru olanı; çok karmaşık denklemleri çözmek için uygundur, ancak her adımda türevleri hesaplama ihtiyacı nedeniyle karmaşıktır. eğer xn denklemin köküne bir yaklaşım ise ise bir sonraki yaklaşım xn noktasında çizilen f(x) fonksiyonuna teğet kökü olarak tanımlanır.

f(x) fonksiyonuna x n noktasındaki teğet denklem şu şekildedir:

Teğet denkleminde y = 0 ve x = x n +1'i koyarız.

Daha sonra Newton yöntemindeki sıralı hesaplamaların algoritması aşağıdaki gibidir:

Teğet yönteminin yakınsaması ikinci derecedendir, yakınsama sırası 2'dir.

Dolayısıyla Newton'un teğet yönteminin yakınsaması çok hızlıdır.

Yöntem herhangi bir değişiklik yapılmaksızın karmaşık duruma genelleştirilmiştir. Eğer x i kökü ikinci çokluğun köküyse veya daha yüksekse yakınsaklık sırası düşer ve doğrusal hale gelir.

Newton yönteminin dezavantajları arasında yerelliği yer alır, çünkü yalnızca koşul her yerde karşılanırsa keyfi bir başlangıç ​​yaklaşımı için yakınsama garanti edilir. Tersi durumda yakınsama sadece kökün belirli bir mahallesinde meydana gelir.

Newton yöntemi (teğet yöntemi) genellikle denklem aşağıdaki durumlarda kullanılır: f(x) = 0 bir kökü vardır ve aşağıdaki koşullar karşılanır:

1) işlev y=f(x) tanımlanmış ve sürekli;

2) f(a) f(b) (fonksiyon, parçanın uçlarında farklı işaretlerin değerlerini alır [ a;b]);

3) türevler f"(x) Ve f""(x) aralıktaki işareti koru [ a;b] (yani işlev f(x) segmentte artar veya azalır [ a;b], dışbükeyliğin yönünü korurken);

Yöntemin anlamı şu şekildedir: segmentte [ a;b] böyle bir sayı seçildi x0, hangi f(x0) ile aynı işarete sahip f""(x 0), yani koşul sağlandı f(x 0) f""(x) > 0. Böylece apsisin olduğu nokta seçilir x 0 burada eğriye teğet y=f(x) segmentte [ a;b] eksenle kesişiyor Öküz. Puan başına x 0Öncelikle segmentin uçlarından birini seçmek uygundur.

Bu algoritmayı belirli bir örnek kullanarak ele alalım.

Bize artan bir fonksiyon verilsin y = f(x) =x 2– 2,(0;2) segmentinde sürekli ve sahip f "(x) =2x>0 Ve f ""(x) = 2> 0.

Bizim durumumuzda teğet denklem şu şekildedir: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0).İÇİNDE x 0 noktası olarak noktayı seçiyoruz B 1 (b; f(b)) = (2,2). Fonksiyona bir teğet çizin y = f(x) B 1 noktasında ve teğet ile eksenin kesişme noktasını belirtir Öküz nokta x 1. İlk teğetin denklemini elde ederiz: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Öküz: x 1 =

Pirinç. 3. f(x) fonksiyonunun grafiğine ilk teğetinin oluşturulması

y=f(x) Öküz nokta boyunca x 1, asıl noktayı anladık B 2 =(1,5; 0,25). Fonksiyona tekrar teğet çizin y = f(x) B 2 noktasında ve teğetin kesişme noktasını belirtir ve Öküz nokta x 2.

İkinci teğetin denklemi: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Teğet ve eksenin kesişme noktası Öküz: x 2 =.

Daha sonra fonksiyonun kesişim noktasını buluruz. y=f(x) ve eksene çizilen bir dik Öküz x 2 noktasından B 3 noktasına ulaşıyoruz ve bu böyle devam ediyor.

Pirinç. 4. f(x) fonksiyonunun grafiğine ikinci teğetin oluşturulması

Kökün ilk yaklaşımı aşağıdaki formülle belirlenir:

= 1.5.

Kökün ikinci yaklaşımı aşağıdaki formülle belirlenir:

=

Kökün üçüncü yaklaşımı aşağıdaki formülle belirlenir:

Böylece ,Ben Kökün inci yaklaşımı aşağıdaki formülle belirlenir:

Hesaplamalar, cevap eşleşmesinde ihtiyaç duyulan ondalık basamaklara veya belirtilen e hassasiyetine ulaşılana kadar - eşitsizlik sağlanana kadar gerçekleştirilir |xi-xi-1|

Bizim durumumuzda üçüncü adımda elde edilen yaklaşımı gerçek cevapla karşılaştıralım. Gördüğünüz gibi üçüncü adımda 0,000002'den küçük bir hata aldık.

CAD kullanarak denklem çözmeMathCAD

Formun en basit denklemleri için F(X) = 0 MathCAD'deki çözüm, fonksiyon kullanılarak bulunur kök.

kök(F (X 1 , X 2 , … ) , X 1 , a, b ) - değeri döndürür X 1 , segmente ait [ a, b ] , burada ifade veya işlev F (X ) 0'a gider. Bu fonksiyonun her iki argümanı da skaler olmalıdır. Fonksiyon bir skaler değer döndürür.

Pirinç. 5. MathCAD'de doğrusal olmayan bir denklemin çözülmesi (kök fonksiyon)

Bu fonksiyonun uygulanması sonucunda bir hata meydana gelirse, bu, denklemin köklerinin olmadığı veya denklemin köklerinin ilk yaklaşımdan uzakta olduğu, ifadenin yerel olduğu anlamına gelebilir. maksimum Ve dk. ilk yaklaşım ile kökler arasındadır.

Hatanın nedenini belirlemek için fonksiyonun grafiğini incelemek gerekir. F(X). Denklemin köklerinin varlığını bulmaya yardımcı olacaktır. F(X) = 0 ve eğer varsa, değerlerini yaklaşık olarak belirleyin. Kökün ilk yaklaşımı ne kadar doğru seçilirse, kesin değeri de o kadar hızlı bulunur.

İlk yaklaşım bilinmiyorsa, fonksiyonun kullanılması tavsiye edilir. çözmek . Ayrıca, denklem birkaç değişken içeriyorsa, sonra belirtmeniz gerekir. anahtar kelimeçöz, denklemin çözüldüğü değişkenlerin listesidir.

Pirinç. 6. MathCAD'de doğrusal olmayan bir denklemi çözme (fonksiyonu çözme)

Çözüm

Çalışma nasıl olduğunu inceledi matematiksel yöntemler ve MathCAD CAD sistemindeki programlamayı kullanarak denklemleri çözme. Çeşitli metodlar avantajları ve dezavantajları var. Belirli bir yöntemin kullanımının verilen denklemin başlangıç ​​koşullarına bağlı olduğu unutulmamalıdır. Okulda bilinen, çarpanlara ayırma vb. yöntemlerle iyi çözülebilen denklemler, daha fazlasını çözmenin bir anlamı yok karmaşık yollarla. Fizik ve kimya için önemli olan ve denklemleri çözerken karmaşık hesaplama işlemleri gerektiren uygulamalı matematik problemleri, örneğin programlama kullanılarak başarıyla çözülür. Bunları Newton yöntemini kullanarak çözmek iyidir.

Kökleri açıklığa kavuşturmak için aynı denklemi çözmek için birkaç yöntem kullanabilirsiniz. Bu çalışmanın temelini oluşturan bu araştırmaydı. Aynı zamanda denklemin her aşamasını çözerken hangi yöntemin en başarılı olduğunu ve bu aşamada hangi yöntemin kullanılmamasının daha iyi olduğunu görmek kolaydır.

Çalışılan materyal bir yandan matematiksel bilginin genişletilmesine ve derinleştirilmesine ve matematiğe ilginin artmasına yardımcı olur. Öte yandan teknik ve mühendislik mesleğini edinmeyi planlayanlar için gerçek matematik problemlerini çözebilmek önemlidir. Bu yüzden bu iş için önemli ileri eğitim(örneğin, bir yükseköğretim kurumunda).

Edebiyat:

1. Mityakov S. N. Bilişim. Karmaşık eğitim materyalleri. - N. Novgorod: Nijniy Novgorod. durum teknoloji. üniversite, 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Doğrusal olmayan denklemlerin dallanma çözümlerinin teorisi. M.: Nauka, 1969. - 527 s.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Mühendisler ve teknik kolej öğrencileri için matematik el kitabı - M .: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V.P., Kurbatova E.V. Matematik: öğretici. - Rostov bilinmiyor: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. ansiklopedik sözlük genç matematikçi. - M .: Pedagoji, 1989.
6. Korn G., Korn T. Bilim insanları ve mühendisler için matematik el kitabı. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - St.Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Mathcad'e dayalı yüksek matematik. Genel kurs. - St.Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Mathcad'e dayalı sayısal yöntemler. - St.Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Anahtar Kelimeler: doğrusal olmayan denklemler, uygulamalı matematik, CAD MathCAD, Newton yöntemi, adım yöntemi, dikotomi yöntemi..

Dipnot: Makale, MathCAD bilgisayar destekli tasarım sisteminin kullanılması da dahil olmak üzere, doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemlerinin incelenmesine ayrılmıştır. Adım yöntemi, yarımlar ve Newton yöntemleri dikkate alınmış, bu yöntemlerin uygulanmasına yönelik ayrıntılı algoritmalar verilmiştir ve Karşılaştırmalı analiz belirtilen yöntemler.

Örneğin:

Bulmak için görevi ayarlayalım geçerli Bu denklemin kökleri.

Ve kesinlikle var! - hakkındaki makalelerden fonksiyon grafikleri Ve yüksek matematik denklemleri Programın ne olduğunu çok iyi biliyorsun Polinom fonksiyonu tek derece ekseni en az bir kez kesiyor, bu nedenle denklemimiz en azından bir gerçek kök. Bir. Ya da iki. Veya üç.

Öncelikle müsaitlik durumunu kontrol etmek için yalvarıyor akılcı kökler. Buna göre karşılık gelen teorem yalnızca 1, –1, 3, –3 sayıları bu “unvanı” talep edebilir ve doğrudan ikame yoluyla hiçbirinin “uygun” olmadığından emin olmak kolaydır. Böylece irrasyonel değerler kalır. 3. derece bir polinomun irrasyonel kök(ler)i bulunabilir Kesinlikle (radikallerle ifade edin) sözde kullanarak Cardano formülleri ancak bu yöntem oldukça zahmetlidir. Ancak 5. ve daha yüksek derecedeki polinomlar için genel bir analitik yöntem yoktur ve buna ek olarak pratikte içinde yer alan birçok başka denklem vardır. kesin değerler gerçek kökler elde etmek imkansızdır (var olmalarına rağmen).

Ancak uygulamada (örneğin mühendislik) problemler, hesaplanan yaklaşık değerlerin kullanılması kabul edilebilirden daha fazlasıdır belli bir doğrulukla.

Örneğimiz için doğruluğu ayarlayalım. Bu ne anlama geliyor? Bu, kökün yaklaşık değerini BÖYLE bulmamız gerektiği anlamına gelir. (kökler) biz hangisinde 0,001'den fazla yanılmamamız garantidir (binlerce) .

Çözümün “rastgele” başlatılamayacağı ve bu nedenle ilk adımda kökler oluşturulamayacağı kesinlikle açıktır. ayırmak. Bir kökü ayırmak, bu kökün ait olduğu ve üzerinde başka köklerin bulunmadığı yeterince küçük (genellikle tek) bir parça bulmak anlamına gelir. En basit ve en erişilebilir kök ayırmanın grafiksel yöntemi. Hadi yapalım nokta nokta bir fonksiyonun grafiği :

Çizimden, görünüşe göre denklemin segmente ait tek bir gerçek kökü olduğu anlaşılmaktadır. Bu aralığın sonunda fonksiyon farklı işaretlerin değerlerini alır: ve gerçekte segmentteki fonksiyonun sürekliliği hemen görünür temel yol kök iyileştirme: aralığı ikiye bölün ve fonksiyonun uçlarında yer aldığı parçayı seçin farklı işaretler. İÇİNDE bu durumda bu açıkça bir bölüm. Ortaya çıkan aralığı ikiye bölüyoruz ve tekrar "farklı işaret" segmentini seçiyoruz. Ve benzeri. Bu tür ardışık eylemlere denir yinelemeler. Bu durumda, segmentin uzunluğu hesaplama doğruluğunun iki katından az olana kadar yapılmalı ve son "farklı işaretli" segmentin ortası, kökün yaklaşık değeri olarak seçilmelidir.

Değerlendirilen şema doğal bir isim aldı - yarım bölme yöntemi. Ve bu yöntemin dezavantajı hızdır. Yavaşça. Çok yavaş. Gerekli doğruluğu elde edene kadar çok fazla yineleme olacak. Gelişim ile bilgisayar Teknolojisi Bu elbette bir sorun değil ama matematik bunun için var, en akılcı çözümleri aramak.

Ve daha fazlasından biri etkili yollar Kökün yaklaşık değerini bulmak kesin olarak teğet yöntem. Yöntemin kısa geometrik özü şu şekildedir: ilk olarak özel bir kriterin kullanılması (bu konuda biraz sonra daha fazlası) segmentin uçlarından biri seçilir. Bu sona denir ilkÖrneğimizde kökün yaklaşımı: . Şimdi fonksiyonun grafiğine bir teğet çiziyoruz apsiste (mavi nokta ve mor teğet):

Bu teğet x eksenini sarı noktada kesiyor ve ilk adımda neredeyse "kökü vurduğumuza" dikkat edin! Olacak Birinci kök yaklaşımı. Daha sonra sarıyı fonksiyonun grafiğine dik olarak indirip turuncu noktaya “alırız”. Ekseni köke daha da yakın kesecek olan turuncu noktadan tekrar bir teğet çiziyoruz! Ve benzeri. Teğet yöntemini kullanarak hedefe büyük adımlarla yaklaştığımızı ve doğruluğa ulaşmanın tam anlamıyla birkaç yineleme gerektireceğini anlamak zor değil.

Teğet şu şekilde tanımlandığı için: fonksiyonun türevi, daha sonra bu ders uygulamalarından biri olarak “Türevler” bölümünde sona erdi. Ve ayrıntıya girmeden yöntemin teorik gerekçesi Konunun teknik yönünü ele alacağım. Uygulamada yukarıda açıklanan sorun yaklaşık olarak aşağıdaki formülasyonda ortaya çıkar:

örnek 1

Kullanarak grafik yöntemi Denklemin gerçek kökünün bulunduğu aralığı bulun. Newton yöntemini kullanarak, kökün yaklaşık değerini 0,001 doğrulukla elde edin

İşte tek bir geçerli kökün varlığının hemen belirtildiği görevin "koruyucu versiyonu".

Çözüm: ilk adımda kök grafiksel olarak ayrılmalıdır. Bu, çizim yaparak yapılabilir (yukarıdaki resimlere bakın) ancak bu yaklaşımın bir takım dezavantajları vardır. Öncelikle grafiğin basit olduğu bir gerçek değil (önceden bilmiyoruz), A yazılım– her zaman elinizin altında değildir. Ve ikinci olarak (1'den itibaren sonuç), büyük olasılıkla sonuç şematik bir çizim bile değil, kaba bir çizim olacaktır ki bu elbette iyi değildir.

Peki neden gereksiz zorluklara ihtiyacımız var? Hayal edelim denklem formda grafikleri DİKKATLİCE çizin ve çizimde kökü işaretleyin (Grafiklerin kesişme noktasının “X” koordinatı):

Açık avantaj Bu method bu fonksiyonların grafiklerinin elle çok daha doğru ve çok daha hızlı oluşturulmasıdır. Bu arada şunu unutma dümdüz geçti kübik parabol Bu, önerilen denklemin aslında yalnızca bir gerçek kökü olduğu anlamına gelir. Güven ama doğrula ;-)

Yani “müşterimiz” segmente ait ve “gözle” yaklaşık olarak 0,65-0,7'ye eşit.

İkinci adımda seçmen gerek ilk yaklaşım kök Genellikle bu, segmentin uçlarından biridir. İlk yaklaşım tatmin edici olmalıdır sonraki koşul:

Bulalım Birinci Ve ikinci türetilmiş işlevler :

ve segmentin sol ucunu kontrol edin:

Dolayısıyla sıfır “uymadı.”

Segmentin sağ ucunun kontrol edilmesi:

- Herşey yolunda! İlk yaklaşım olarak seçiyoruz.

Üçüncü adımda Köklere giden yol bizi bekliyor. Sonraki her kök yaklaşımı, aşağıdakiler kullanılarak önceki verilerden hesaplanır. tekrarlayan formüller:

İşlem, önceden belirlenmiş bir hesaplama doğruluğu olan koşul karşılandığında sona erer. Sonuç olarak, kökün yaklaşık değeri olarak “n'inci” yaklaşım alınır: .

Sırada rutin hesaplamalar var:

(yuvarlama genellikle 5-6 ondalık basamağa kadar yapılır)

Elde edilen değer 'den büyük olduğundan kökün 1. yaklaşımına geçiyoruz:

Hesaplıyoruz:

, dolayısıyla 2. yaklaşıma geçme ihtiyacı vardır:

Bir sonraki tura geçelim:

Böylece yinelemeler tamamlanır ve 2. yaklaşım, verilen doğruluk uyarınca binde bire yuvarlanması gereken kökün yaklaşık değeri olarak alınmalıdır:

Uygulamada, girişi biraz kısaltmak için hesaplamaların sonuçlarını bir tabloya girmek uygundur; kesir genellikle şu şekilde gösterilir:

Mümkünse, hesaplamaları Excel'de kendiniz yapmak daha iyidir - çok daha kullanışlı ve daha hızlıdır:

Cevap: 0,001'e kadar doğru

Bu ifadenin değerlendirmemizde hata yaptığımızı ima ettiğini hatırlatmak isterim. gerçek anlam kök değeri 0,001'den fazla olmamalıdır. Şüphe duyanlar bir mikro hesap makinesi alıp bir kez daha yaklaşık 0,674 değerini yerine koyabilirler. Sol Taraf denklemler

Şimdi tablonun sağ sütununu yukarıdan aşağıya doğru “tarayalım” ve değerlerin mutlak değerde giderek azaldığını fark edelim. Bu etki denir yakınsama Kökü keyfi olarak yüksek doğrulukla hesaplamamıza olanak tanıyan bir yöntem. Ancak yakınsama her zaman gerçekleşmez; sağlanır bir takım koşullar, bunun hakkında sessiz kaldım. Özellikle kökün izole edildiği segment yeterince küçük– aksi takdirde değerler rastgele değişecek ve algoritmayı tamamlayamayacağız.

Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Belirtilen koşulların karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin (yukarıdaki bağlantıya bakın) ve gerekirse segmenti azaltın. Yani göreceli olarak konuşursak, eğer analiz edilen örnekte aralık bizim için uygun değilse, o zaman örneğin segmenti dikkate almalıyız. Uygulamada bu tür durumlarla karşılaştım ve bu teknik gerçekten yardımcı oluyor! "Geniş" segmentin her iki ucu da koşulu karşılamıyorsa aynı işlem yapılmalıdır. (yani hiçbiri ilk yaklaşım olarak uygun değildir).

Ancak genellikle her şey bir saat gibi çalışır, ancak bazı tuzaklar da vardır:

Örnek 2

Denklemin gerçek kök sayısını grafiksel olarak belirleyin, bu kökleri ayırın ve Newton yöntemini kullanarak köklerin yaklaşık değerlerini doğrulukla bulun.

Sorunun durumu gözle görülür şekilde daha katı hale geldi: birincisi, denklemin tek bir kökü olmadığına dair güçlü bir ipucu içeriyor, ikincisi doğruluk gereksinimi arttı ve üçüncüsü, fonksiyonun grafiğiyle baş etmek çok daha zordur.

Ve bu nedenle çözüm Bir tasarruf numarasıyla başlayalım: Denklemi formda hayal edin ve grafikler çizin:


Çizimden denklemimizin iki gerçek kökü olduğu anlaşılmaktadır:

Algoritmanın, anladığınız gibi, iki kez "kranklanması" gerekiyor. Ama bu sadece çok ağır vakalarda oluyor, bazen 3-4 kökü incelemek gerekiyor.

1) Kriterin kullanılması İlk kökün ilk yaklaşımı olarak parçanın hangi ucunu seçeceğimizi bulalım. Fonksiyonların türevlerini bulma :

Segmentin sol ucunun test edilmesi:

- geldi!

Böylece, bir başlangıç ​​yaklaşımıdır.

Tekrarlanan formülü kullanarak Newton yöntemini kullanarak kökü hassaslaştıracağız:
- kesire kadar modulo gerekli doğruluktan daha az olmayacaktır:

Ve burada “modül” kelimesi, değerler negatif olduğundan yanıltıcı olmayan bir önem kazanıyor:


Aynı nedenden ötürü, bir sonraki yaklaşıma geçerken özel dikkat gösterilmelidir:

Yeterince rağmen yüksek gereksinim doğruluk açısından süreç 2. yaklaşımda tekrar sona erdi: , dolayısıyla:

0,0001'e kadar doğru

2) Kökün yaklaşık değerini bulalım.

Bitler için segmentin sol ucunu kontrol ediyoruz:

bu nedenle başlangıç ​​yaklaşımı olarak uygun değildir.