Teğet yöntemi örnek çözümü. Ders çalışması: Newton'un doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemi



Anahtar Kelimeler:

Çalışmanın amacı: Bir bilinmeyenli doğrusal olmayan denklemlerin çözümüne yönelik yöntemleri inceleyin ve bunları deneysel çalışmalarda test edin.

İşin hedefleri:

1. Analiz et özel edebiyat ve doğrusal olmayan denklemleri çözmek için en rasyonel yöntemleri seçerek derinlemesine çalışmanıza ve özümsemenize olanak tanır bu konu tamamı lise mezunu.
2. Doğrusal olmayan denklemleri BİT kullanarak çözmeye yönelik bir metodolojinin bazı yönlerini geliştirin.
3. Doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemlerini keşfedin:

‒ Adım yöntemi

‒ Yarıya indirme yöntemi

- Newton'un yöntemi

Giriiş.

Matematik okuryazarlığı olmadan fizik, kimya, biyoloji ve diğer konulardaki problemleri çözme yöntemlerine başarılı bir şekilde hakim olmak imkansızdır. Doğa bilimlerinin tüm kompleksi matematiksel bilgi temelinde inşa edilmiş ve geliştirilmiştir. Örneğin, matematiksel fizikteki bir dizi güncel problemin incelenmesi, doğrusal olmayan denklemlerin çözülmesi ihtiyacını doğurmaktadır. Doğrusal olmayan denklemlerin çözümü, doğrusal olmayan optik, plazma fiziği, süperiletkenlik teorisi ve düşük sıcaklık fiziğinde gereklidir. Bu konuyla ilgili yeterli miktarda literatür var ancak birçok ders kitabı ve makaleyi bir lise öğrencisinin anlaması zor. Bu makale fizik ve kimyadaki uygulamalı problemleri çözmek için kullanılabilecek doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemlerini tartışmaktadır. Uygulamanın ilginç bir yanı da Bilişim Teknolojileri Matematikte denklem ve problem çözme.

Adım yöntemi.

F(x)=0 formundaki doğrusal olmayan bir denklemin çözülmesi gerekli olsun. Ayrıca bize belirli bir arama aralığı verildiğini varsayalım. Arama aralığının sol kenarından başlayarak denklemin ilk kökünü içeren h uzunluğundaki [a,b] aralığının bulunması gerekmektedir.

Pirinç. 1. Adım yöntemi

Böyle bir sorunu çözmenin birkaç yolu vardır. Adım yöntemi, eşitsizlikleri çözmek için kullanılan sayısal yöntemlerin en basitidir, ancak yüksek doğruluk elde etmek için adımın önemli ölçüde azaltılması gerekir ve bu, hesaplama süresini büyük ölçüde artırır. Denklemleri çözmek için algoritma Bu method iki aşamadan oluşur.

BENsahne. Kök ayrımı.

Bu aşamada her biri denklemin yalnızca bir kökünü içeren bölümler belirlenir. Bu aşamayı uygulamak için birkaç seçenek vardır:

• X'in değerlerini (tercihen oldukça küçük bir adımla) değiştiririz ve fonksiyonun nerede işaret değiştirdiğini görürüz. Fonksiyonun işareti değiştiyse bu, X'in önceki ve şimdiki değeri arasındaki alanda bir kök olduğu anlamına gelir (eğer fonksiyon artış/azalış niteliğini değiştirmiyorsa o zaman sadece bir tane olduğunu söyleyebiliriz) bu aralıktaki kök).
• Grafik yöntemi. Bir grafik oluşturuyoruz ve bir kökün hangi aralıklarda olduğunu değerlendiriyoruz.
• Belirli bir fonksiyonun özelliklerini inceleyelim.

IIsahne. Köklerin iyileştirilmesi.

Bu aşamada daha önce belirlenen denklemin köklerinin anlamı netleştirilir. Kural olarak bu aşamada yinelemeli yöntemler kullanılır. Örneğin, yöntem yarım bölme(ikilikler) veya Newton'un yöntemi.

Yarım bölme yöntemi

Denklemlerin çözümü için, F(x) = 0 denkleminin tek kökünü içeren aralığın belirtilen doğruluk E elde edilene kadar sıralı olarak daraltılmasına dayanan hızlı ve oldukça basit bir sayısal yöntem. Bu yöntem genellikle çözerken kullanılır. ikinci dereceden denklemler ve daha yüksek dereceli denklemler. Bununla birlikte, bu yöntemin önemli bir dezavantajı vardır - eğer [a,b] segmenti birden fazla kök içeriyorsa, iyi sonuçlar elde edemeyecektir.

Pirinç. 2. İkilik yöntemi

Bu yöntemin algoritması aşağıdaki gibidir:

‒ [a;b] doğru parçasının ortasındaki kök x için yeni bir yaklaşım belirleyin: x=(a+b)/2.

‒ Fonksiyonun a ve x noktalarındaki değerlerini bulun: F(a) ve F(x).

‒ F(a)*F(x) durumunu kontrol edin

‒ 1. adıma gidin ve segmenti tekrar ikiye bölün. Algoritmaya |F(x)| koşuluna kadar devam edin.

Newton'un yöntemi

Sayısal çözüm yöntemlerinden en doğru olanı; çok karmaşık denklemleri çözmek için uygundur, ancak her adımda türevleri hesaplama ihtiyacı nedeniyle karmaşıktır. eğer xn denklemin köküne bir yaklaşım ise ise bir sonraki yaklaşım xn noktasında çizilen f(x) fonksiyonuna teğet kökü olarak tanımlanır.

f(x) fonksiyonuna x n noktasındaki teğet denklem şu şekildedir:

Teğet denkleminde y = 0 ve x = x n +1'i koyarız.

Daha sonra Newton yöntemindeki sıralı hesaplamaların algoritması aşağıdaki gibidir:

Teğet yönteminin yakınsaması ikinci derecedendir, yakınsama sırası 2'dir.

Dolayısıyla Newton'un teğet yönteminin yakınsaması çok hızlıdır.

Yöntem herhangi bir değişiklik yapılmaksızın karmaşık duruma genelleştirilmiştir. Eğer x i kökü ikinci çokluğun köküyse veya daha yüksekse yakınsaklık sırası düşer ve doğrusal hale gelir.

Newton yönteminin dezavantajları arasında yerelliği yer alır, çünkü yalnızca koşul her yerde karşılanırsa keyfi bir başlangıç ​​yaklaşımı için yakınsama garanti edilir. Tersi durumda yakınsama sadece kökün belirli bir mahallesinde meydana gelir.

Newton yöntemi (teğet yöntemi) genellikle denklem aşağıdaki durumlarda kullanılır: f(x) = 0 bir kökü vardır ve aşağıdaki koşullar karşılanır:

1) işlev y=f(x) tanımlı ve sürekli;

2) f(a) f(b) (fonksiyon, parçanın uçlarında farklı işaretlerin değerlerini alır [ a;b]);

3) türevler f"(x) Ve f""(x) aralıktaki işareti koru [ a;b] (yani işlev f(x) segmentte artar veya azalır [ a;b], dışbükeyliğin yönünü korurken);

Yöntemin anlamı şu şekildedir: segmentte [ a;b] böyle bir sayı seçildi x0, hangi f(x0) ile aynı işarete sahip f""(x 0), yani koşul yerine getirildi f(x 0) f""(x) > 0. Böylece apsisin olduğu nokta seçilir x 0 burada eğriye teğet y=f(x) segmentte [ a;b] eksenle kesişiyor Öküz. Puan başına x 0Öncelikle segmentin uçlarından birini seçmek uygundur.

Bu algoritmayı belirli bir örnek kullanarak ele alalım.

Bize artan bir fonksiyon verilsin y = f(x) =x 2– 2,(0;2) segmentinde sürekli ve sahip f "(x) =2x>0 Ve f ""(x) = 2> 0.

Bizim durumumuzda teğet denklem şu şekildedir: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0).İÇİNDE x 0 noktası olarak noktayı seçiyoruz B 1 (b; f(b)) = (2,2). Fonksiyona bir teğet çizin y = f(x) B 1 noktasında ve teğet ile eksenin kesişme noktasını belirtir Öküz nokta x 1. İlk teğetin denklemini elde ederiz: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Öküz: x 1 =

Pirinç. 3. f(x) fonksiyonunun grafiğine ilk teğetinin oluşturulması

y=f(x) Öküz nokta boyunca x 1, asıl noktayı anladık B 2 =(1,5; 0,25). Fonksiyona tekrar teğet çizin y = f(x) B 2 noktasında ve teğetin kesişme noktasını belirtir ve Öküz nokta x 2.

İkinci teğetin denklemi: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Teğet ve eksenin kesişme noktası Öküz: x 2 =.

Daha sonra fonksiyonun kesişim noktasını buluruz. y=f(x) ve eksene çizilen bir dik Öküz x 2 noktasından B 3 noktasına ulaşıyoruz ve bu şekilde devam ediyor.

Pirinç. 4. f(x) fonksiyonunun grafiğine ikinci teğetin oluşturulması

Kökün ilk yaklaşımı aşağıdaki formülle belirlenir:

= 1.5.

Kökün ikinci yaklaşımı aşağıdaki formülle belirlenir:

=

Kökün üçüncü yaklaşımı aşağıdaki formülle belirlenir:

Böylece , Ben Kökün inci yaklaşımı aşağıdaki formülle belirlenir:

Hesaplamalar, cevap eşleşmesinde ihtiyaç duyulan ondalık basamaklara veya belirtilen e hassasiyetine ulaşılana kadar - eşitsizlik sağlanana kadar gerçekleştirilir |xi-xi-1|

Bizim durumumuzda üçüncü adımda elde edilen yaklaşımı gerçek cevapla karşılaştıralım. Gördüğünüz gibi üçüncü adımda 0,000002'den küçük bir hata aldık.

CAD kullanarak denklem çözmeMatematikCAD

Formun en basit denklemleri için F(X) = 0 MathCAD'deki çözüm, fonksiyon kullanılarak bulunur kök.

kök(F (X 1 , X 2 , … ) , X 1 , a, b ) - değeri döndürür X 1 , segmente ait [ a, b ] , burada ifade veya işlev F (X ) 0'a gider. Bu fonksiyonun her iki argümanı da skaler olmalıdır. Fonksiyon bir skaler değer döndürür.

Pirinç. 5. MathCAD'de doğrusal olmayan bir denklemin çözülmesi (kök fonksiyon)

Bu fonksiyonun uygulanması sonucunda bir hata meydana gelirse, bu, denklemin köklerinin olmadığı veya denklemin köklerinin ilk yaklaşımdan uzakta olduğu, ifadenin yerel olduğu anlamına gelebilir. maksimum Ve dk. ilk yaklaşım ile kökler arasındadır.

Hatanın nedenini belirlemek için fonksiyonun grafiğini incelemek gerekir. F(X). Denklemin köklerinin varlığını bulmaya yardımcı olacaktır. F(X) = 0 ve eğer varsa, değerlerini yaklaşık olarak belirleyin. Kökün ilk yaklaşımı ne kadar doğru seçilirse, kesin değeri de o kadar hızlı bulunur.

İlk yaklaşım bilinmiyorsa, fonksiyonun kullanılması tavsiye edilir. çözmek . Ayrıca, denklem birkaç değişken içeriyorsa, sonra belirtmeniz gerekir. anahtar kelimeçöz, denklemin çözüldüğü değişkenlerin listesidir.

Pirinç. 6. MathCAD'de doğrusal olmayan bir denklemi çözme (fonksiyonu çözme)

Çözüm

Çalışma nasıl olduğunu inceledi matematiksel yöntemler ve MathCAD CAD sistemindeki programlamayı kullanarak denklemleri çözme. Çeşitli metodlar avantajları ve dezavantajları var. Belirli bir yöntemin kullanımının verilen denklemin başlangıç ​​koşullarına bağlı olduğu unutulmamalıdır. Okulda bilinen, çarpanlara ayırma vb. yöntemlerle iyi çözülebilen denklemler, daha fazlasını çözmenin bir anlamı yok karmaşık yollarla. Fizik ve kimya için önemli olan ve denklemleri çözerken karmaşık hesaplama işlemleri gerektiren uygulamalı matematik problemleri, örneğin programlama kullanılarak başarıyla çözülür. Bunları Newton yöntemini kullanarak çözmek iyidir.

Kökleri açıklığa kavuşturmak için aynı denklemi çözmek için birkaç yöntem kullanabilirsiniz. Bu çalışmanın temelini oluşturan bu araştırmaydı. Aynı zamanda denklemin her aşamasını çözerken hangi yöntemin en başarılı olduğunu ve bu aşamada hangi yöntemin kullanılmamasının daha iyi olduğunu görmek kolaydır.

Çalışılan materyal bir yandan matematiksel bilginin genişletilmesine ve derinleştirilmesine ve matematiğe ilginin artmasına yardımcı olur. Öte yandan teknik ve mühendislik mesleğini edinmeyi planlayanlar için gerçek matematik problemlerini çözebilmek önemlidir. Bu yüzden bu iş için önemli ileri eğitim(örneğin, bir yükseköğretim kurumunda).

Edebiyat:

1. Mityakov S. N. Bilişim. Karmaşık eğitim materyalleri. - N. Novgorod: Nijniy Novgorod. durum teknoloji. üniversite, 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Doğrusal olmayan denklemlerin dallanma çözümlerinin teorisi. M.: Nauka, 1969. - 527 s.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Mühendisler ve teknik kolej öğrencileri için matematik el kitabı - M .: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V.P., Kurbatova E.V. Matematik: öğretici. - Rostov bilinmiyor: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. ansiklopedik sözlük genç matematikçi. - M .: Pedagoji, 1989.
6. Korn G., Korn T. Bilim adamları ve mühendisler için matematik el kitabı. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - St.Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Mathcad'e dayalı yüksek matematik. Genel kurs. - St.Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Mathcad'e dayalı sayısal yöntemler. - St.Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Anahtar Kelimeler: doğrusal olmayan denklemler, uygulamalı matematik, CAD MathCAD, Newton yöntemi, adım yöntemi, dikotomi yöntemi..

Dipnot: Makale, MathCAD bilgisayar destekli tasarım sisteminin kullanılması da dahil olmak üzere, doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemlerinin incelenmesine ayrılmıştır. Adım yöntemi, yarımlar ve Newton yöntemleri dikkate alınmış, bu yöntemlerin uygulanmasına yönelik ayrıntılı algoritmalar verilmiştir ve Karşılaştırmalı analiz belirtilen yöntemler.

Newton yöntemi (teğet yöntemi olarak da bilinir), belirli bir fonksiyonun kökünü (sıfır) bulmaya yönelik yinelemeli bir sayısal yöntemdir. Yöntem ilk olarak İngiliz fizikçi, matematikçi ve gökbilimci Isaac Newton (1643-1727) tarafından önerildi ve onun adıyla meşhur oldu.

Yöntem, Isaac Newton tarafından Deanalysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Hakkında sonsuz seri denklemleriyle analiz), 1669'da Barrow'a değinilmiş ve De metodis fluxionum et serierum infinitarum (Latince: Akıların ve sonsuz serilerin yöntemi) veya Geometria analytica ( enlem.Analitik geometri) Newton'un 1671'de yazdığı toplu eserlerinde yer almaktadır. Ancak yöntemin açıklaması mevcut sunumundan önemli ölçüde farklıydı: Newton, yöntemini yalnızca polinomlara uyguladı. X n'nin ardışık yaklaşımlarını değil, bir polinom dizisini hesapladı ve sonuç olarak x'in yaklaşık bir çözümünü elde etti.

Yöntem ilk olarak 1685 yılında John Wallis'in Cebir adlı incelemesinde yayımlandı ve onun isteği üzerine bizzat Newton tarafından kısaca tanımlandı. 1690'da Joseph Raphson, Analysis aequationum universalis (lat. Genel analiz denklemler). Raphson, Newton'un yöntemini tamamen cebirsel olarak gördü ve kullanımını polinomlarla sınırladı, ancak yöntemi, Newton tarafından kullanılan anlaşılması daha zor polinom dizisi yerine ardışık xn yaklaşımları cinsinden tanımladı.

Son olarak, 1740 yılında, Newton'un yöntemi Thomas Simpson tarafından, burada özetlendiği gibi türevleri kullanarak doğrusal olmayan denklemleri çözmek için birinci dereceden yinelemeli bir yöntem olarak tanımlandı. Aynı yayında Simpson, yöntemi iki denklemli bir sistem durumuna genelleştirdi ve Newton yönteminin, türevin veya gradyanın sıfırını bularak optimizasyon problemlerini çözmek için de uygulanabileceğini kaydetti.

Bu yönteme uygun olarak, bir fonksiyonun kökünü bulma görevi, fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin x ekseni ile kesişme noktasını bulma görevine indirgenmiştir.

Şekil 1 . Fonksiyon değişim grafiği

Bir fonksiyonun grafiğine herhangi bir noktada çizilen teğet çizgi, bu fonksiyonun söz konusu noktadaki türevi tarafından belirlenir ve bu da α () açısının tanjantı tarafından belirlenir. Teğetin apsis ekseni ile kesişme noktası aşağıdaki ilişkiye göre belirlenir: dik üçgen: açının tanjantıBir dik üçgende karşı tarafın üçgenin bitişik kenarına oranı ile belirlenir. Böylece her adımda fonksiyonun grafiğine bir sonraki yaklaşımın noktasında bir teğet oluşturulur. . Teğetin eksenle kesişme noktasıÖküz bir sonraki yaklaşma noktası olacak. Söz konusu yönteme uygun olarak, kökün yaklaşık değerinin hesaplanmasıBen-yinelemeler aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir:

Düz çizginin eğimi her adımda mümkün olan en iyi şekilde ayarlanır, ancak algoritmanın grafiğin eğriliğini hesaba katmadığına ve bu nedenle hesaplama işlemi sırasında bilinmediğine dikkat etmelisiniz. grafiğin hangi yöne sapabileceği.

Yinelemeli sürecin sona ermesinin koşulu aşağıdaki koşulun yerine getirilmesidir:

Nerede ˗ Kökün belirlenmesinde izin verilen hata.

Yöntem ikinci dereceden yakınsamaya sahiptir. İkinci dereceden yakınsama oranı, yaklaşımdaki doğru işaretlerin sayısının her yinelemede iki katına çıkması anlamına gelir.

Matematiksel gerekçe

Gerçek bir fonksiyon verilsinSöz konusu alanda tanımlanmış ve sürekli olan. Söz konusu fonksiyonun gerçek kökünü bulmak gerekir.

Denklemin türetilmesi yönteme dayanmaktadır. basit yinelemeler Buna göre denklem herhangi bir fonksiyon için eşdeğer bir denkleme indirgenir. İlişkisi ile tanımlanan daralma eşlemesi kavramını tanıtalım.

Yöntemin en iyi yakınsaması için koşulun bir sonraki yaklaşım noktasında karşılanması gerekir. Bu gereksinim, fonksiyonun kökünün, fonksiyonun ekstremumuna karşılık gelmesi gerektiği anlamına gelir.

Büzülme haritasının türevişu şekilde tanımlanır:

Bu ifadeden değişkeni ifade edelimDaha önce kabul edilen beyana tabi olmak koşulunun sağlanması gerektiğinde. Sonuç olarak değişkeni tanımlamak için bir ifade elde ederiz:

Bunu dikkate alarak sıkıştırma fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

Böylece denklemin sayısal çözümünü bulmaya yönelik algoritma yinelemeli bir hesaplama prosedürüne indirgenir:

Yöntemi kullanarak doğrusal olmayan bir denklemin kökünü bulmaya yönelik algoritma

1. Fonksiyonun kökünün yaklaşık değerinin başlangıç ​​noktasını ayarlayın, ayrıca hesaplama hatası (küçük pozitif sayı) ve ilk yineleme adımı ().

2. Fonksiyonun kökünün yaklaşık değerini aşağıdaki formüle göre hesaplayın:

3. Aşağıdaki durumlarda, belirtilen doğruluk için kökün yaklaşık değerini kontrol ederiz:

Ardışık iki yaklaşım arasındaki fark belirtilen doğruluktan az olursa iteratif süreç sona erer.

Ardışık iki yaklaşım arasındaki fark gerekli doğruluğa ulaşmazsa, yinelemeli işleme devam etmek ve söz konusu algoritmanın 2. adımına gitmek gerekir.

Denklem çözme örneği

yöntemleTek değişkenli bir denklem için Newton

Örnek olarak, doğrusal olmayan bir denklemi şu yöntemi kullanarak çözmeyi düşünün:Tek değişkenli bir denklem için Newton. Kök, ilk yaklaşım olarak doğrulukla bulunmalıdır.

Bir yazılım paketinde doğrusal olmayan bir denklemi çözme seçeneğiMatematikCADŞekil 3'te sunulmuştur.

Hesaplama sonuçları, yani kökün yaklaşık değerindeki değişikliklerin dinamikleri ve yineleme adımına bağlı hesaplama hataları grafiksel biçimde sunulur (bkz. Şekil 2).

İncir. 2. Tek değişkenli bir denklem için Newton yöntemini kullanan hesaplama sonuçları

Aralıktaki denklemin kökünün yaklaşık değerini ararken belirtilen doğruluğu sağlamak için 4 yinelemenin yapılması gerekir. Son yineleme adımında, doğrusal olmayan denklemin kökünün yaklaşık değeri şu değerle belirlenecektir: .

Şek. 3 . Program listesiMathCad

Tek değişkenli bir denklem için Newton yönteminin modifikasyonları

Newton yönteminin hesaplama sürecini basitleştirmeyi amaçlayan çeşitli modifikasyonları vardır.

Basitleştirilmiş Newton yöntemi

Newton'un yöntemine göre f(x) fonksiyonunun türevinin her yineleme adımında hesaplanması gerekir, bu da hesaplama maliyetlerinin artmasına neden olur. Her hesaplama adımında türevin hesaplanmasıyla ilişkili maliyetleri azaltmak için, formülde x n noktasındaki türevi f'(x n)'yi x 0 noktasındaki f'(x 0) türeviyle değiştirebilirsiniz. Bu hesaplama yöntemine göre kökün yaklaşık değeri aşağıdaki formülle belirlenir:Değiştirilmiş Newton yöntemi

Newton'un fark yöntemi

Sonuç olarak f(x) fonksiyonunun kökünün yaklaşık değeri Newton'un fark yönteminin ifadesiyle belirlenecektir:

Newton'un iki aşamalı yöntemi

Newton'un yöntemine uygun olarak, her yineleme adımında f(x) fonksiyonunun türevini hesaplamak gerekir; bu her zaman uygun değildir ve bazen pratik olarak imkansızdır. Bu method bir fonksiyonun türevinin bir fark oranı (yaklaşık değer) ile değiştirilmesine izin verir:

Sonuç olarak, f(x) fonksiyonunun kökünün yaklaşık değeri aşağıdaki ifadeyle belirlenecektir:

Nerede

Şekil 5 . Newton'un iki aşamalı yöntemi

Sekant yöntemi iki adımlı bir yöntemdir, yani yeni bir yaklaşımdır.önceki iki yinelemeyle belirlendi Ve . Yöntem iki başlangıç ​​yaklaşımını belirtmelidir Ve . Yöntemin yakınsama oranı doğrusal olacaktır.

• Geri
• İleri

Yorumunuzu yazıya eklemek için lütfen siteye kayıt olunuz.

2. Doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözmek için Newton'un yöntemi.

Bu yöntem, basit yineleme yöntemine göre çok daha hızlı yakınsamaya sahiptir. Newton'un denklem sistemi (1.1) yöntemi, fonksiyon açılımının kullanımına dayanmaktadır.

, Nerede
(2.1)

Taylor serisinde, ikinci veya daha fazlasını içeren terimlerle yüksek siparişler türevler atılır. Bu yaklaşım bir sorunu çözmeye izin verir doğrusal olmayan sistem(1.1)'in yerini bir dizi doğrusal sistemin çözümü almıştır.

Yani (1.1) sistemini Newton yöntemiyle çözeceğiz. D bölgesinde herhangi bir noktayı seçin
ve buna orijinal sistemin tam çözümüne sıfır yaklaşım adını veriyoruz. Şimdi fonksiyonları (2.1) noktasının komşuluğundaki Taylor serisine genişletelim. Sahip olacak

Çünkü (2.2)'nin sol tarafları (1.1)'e göre sıfır olmalı, sonra (2.2)'nin sağ tarafları da sıfır olmalıdır. Bu nedenle (2.2)'den elimizde

(2.3)'teki tüm kısmi türevler noktasında hesaplanmalıdır.

(2.3) doğrusal bir sistemdir cebirsel denklemler bilinmeyenlere göreli Bu sistem, eğer ana determinantı sıfırdan farklı ise ve miktarlar bulunabilirse Cramer yöntemiyle çözülebilir.

Artık koordinatlarla ilk yaklaşımı oluşturarak sıfır yaklaşımını hassaslaştırabiliriz.

onlar.
. (2.6)

Yaklaşımın (2.6) yeterli doğrulukla elde edilip edilmediğini bulalım. Bunu yapmak için durumu kontrol edelim

,
(2.7)

Nerede önceden belirlenmiş küçük bir pozitif sayı (sistemin (1.1) çözülmesi gereken doğruluk). (2.7) koşulu sağlanırsa, (1.1) sisteminin yaklaşık çözümü olarak (2.6) seçilir ve hesaplamalar tamamlanır. Eğer koşul (2.7) karşılanmazsa aşağıdaki eylemi gerçekleştiririz. Sistemde (2.3), bunun yerine
güncellenen değerleri alalım

, (2.8)

onlar. Hadi yapalım aşağıdaki eylemler

. (2.9)

Bundan sonra sistem (2.3), büyüklükler için doğrusal cebirsel denklemler sistemi olacaktır. Bu büyüklükler belirlendikten sonra sonraki ikinci yaklaşıma geçilir.
formülleri kullanarak bulduğumuz sistem (1.1) çözümüne

Şimdi koşulu kontrol edelim (2.7)

Bu koşul sağlanıyorsa (1.1) sisteminin yaklaşık çözümü olarak ikinci yaklaşımı alarak hesaplamaları tamamlarız.
. Bu koşul karşılanmazsa, (2.3)'ü alarak bir sonraki yaklaşımı oluşturmaya devam ederiz.
Koşul karşılanıncaya kadar yaklaşımlar oluşturmak gereklidir.

Newton'un sistemi çözme yönteminin çalışma formülleri (1.1) şeklinde yazılabilir.

Hesaplama sırası

Burada
sistemin çözümü

(2.11)-(2.13) formüllerini kullanarak bir hesaplama algoritması formüle edelim.

1. D bölgesine ait bir sıfır yaklaşımı seçelim.

2. Doğrusal cebirsel denklemler sisteminde (2.13) şunu belirledik:
,A .

3. (2.13) sistemini çözelim ve büyüklükleri bulalım
.

4. Formül (2.12)'de şunu koyarız:
ve bir sonraki yaklaşımın bileşenlerini hesaplayın.

5. Koşulu (2.7) aşağıdakiler için kontrol edelim: (Birkaç niceliğin maksimumunu hesaplamak için algoritmaya bakın.)

6. Bu koşul sağlanıyorsa (1.1) sisteminin yaklaşık çözümü olarak yaklaşımı seçerek hesaplamaları tamamlarız. Bu koşul karşılanmıyorsa 7. adıma geçin.

7. Hadi koyalım
hepsi için .

8. 3. adımı uygulayalım:
.

Geometrik olarak bu algoritma şu şekilde yazılabilir:

Algoritma. Birkaç miktarın maksimumunun hesaplanması.

Örnek. İki denklemden oluşan bir sistemi çözmek için Newton yöntemini kullanmayı düşünelim.

Doğruluğa kadar Newton yöntemini kullanarak çözün aşağıdaki sistem doğrusal olmayan denklemler

, (2.14)

Burada
. Sıfır yaklaşımını seçelim
, D alanına ait. Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi (2.3) oluşturalım. O gibi görünecek

(2.15)

Haydi belirtelim

(2.15) sistemini bilinmeyenlere göre çözelim
Örneğin Cramer yöntemi. Cramer'in formüllerini forma yazıyoruz

(2.17)

sistemin ana belirleyicisi nerede (2.15)

(2.18)

ve (2.15) sisteminin yardımcı determinantları şu şekildedir:

.

Bulunan değerleri (2.16)'ya koyarız ve ilk yaklaşımın bileşenlerini buluruz
(2.15) sisteminin çözümüne.

Durumu kontrol edelim

, (2.19)

eğer bu koşul karşılanırsa, o zaman (2.15) sistemine yaklaşık bir çözüm olarak ilk yaklaşımı alarak hesaplamaları tamamlarız, yani.
. Eğer koşul (2.19) karşılanmazsa, o zaman şunu belirleriz:
,
ve inşa edeceğiz yeni sistem doğrusal cebirsel denklemler (2.15). Çözdükten sonra ikinci yaklaşımı buluruz
. Hadi kontrol edelim. Bu koşul sağlanırsa (2.15) sisteminin yaklaşık çözümünü seçeriz.
. Koşul karşılanmazsa, ayarlıyoruz
,
ve bulmak için aşağıdaki sistemi (2.15) oluşturun.
vesaire.

Görevler

Tüm görevler şunları gerektirir:

Önerilen algoritmaya göre yöntemin sayısal uygulaması için bir program hazırlayın.

Hesaplama sonuçlarını alın.

Sonuçlarınızı kontrol edin.

İki doğrusal olmayan denklemden oluşan bir sistem verilmiştir.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Bölüm 3. Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek için sayısal yöntemler.

İşin amacı. SLAE'leri çözmek için bazı yaklaşık yöntemlere ve bunların bilgisayarda sayısal uygulamalarına giriş.

Ön açıklamalar. SLAE'leri çözmeye yönelik tüm yöntemler genellikle ikiye ayrılır büyük gruplar. İlk grup, genellikle doğru olarak adlandırılan yöntemleri içerir. Bu yöntemler herhangi bir sistem için bulmamızı sağlar kesin değerler Her biri tam olarak gerçekleştirilen sonlu sayıda aritmetik işlemden sonra bilinmeyenler.

İkinci grup ise doğruluğu kesin olmayan tüm yöntemleri içermektedir. Bunlara yinelemeli, sayısal veya yaklaşık denir. Bu tür yöntemler kullanıldığında kesin çözüm, sonsuz bir yaklaşım süreci sonucunda elde edilir. Bu tür yöntemlerin çekici bir özelliği, kendi kendini düzeltmeleri ve bir PC'de uygulanma kolaylığıdır.

SLAE'leri çözmek için bazı yaklaşık yöntemleri ele alalım ve bunların sayısal uygulamaları için algoritmalar oluşturalım. SLAE'nin yaklaşık bir çözümünü, çok küçük bir pozitif sayı olan doğrulukla elde edeceğiz.

1. Yineleme yöntemi.

SLAE şu şekilde verilsin

(1.1)

Bu sistem matris formunda yazılabilir.

, (1.2)

Nerede
- sistemdeki bilinmeyenler için katsayılar matrisi (1.1),
- ücretsiz üyelerin sütunu,
- sistemin bilinmeyenleri sütunu (1.1).

. (1.3)

Sistem (1.1)'i yineleme yöntemini kullanarak çözelim. Bunu yapmak için aşağıdaki adımları uygulayacağız.

İlk önce. Sıfır yaklaşımını seçelim

(1.4)

(1.1) sisteminin kesin çözümüne (1.3). Sıfır yaklaşımının bileşenleri herhangi bir sayı olabilir. Ancak sıfır yaklaşımının bileşenleri için sıfırlardan birini almak daha uygundur.
veya ücretsiz sistem şartları (1.1)

İkincisi. Sıfır yaklaşımının bileşenlerini yerine koyarız Sağ Taraf sistem (1.1) ve hesaplayın

(1.5)

(1.5)'te soldaki miktarlar ilk yaklaşımın bileşenleridir
İlk yaklaşımla sonuçlanan eylemlere yineleme adı verilir.

Üçüncü. için sıfır ve birinci yaklaşımları kontrol edelim.

(1.6)

Eğer tüm koşullar (1.6) karşılanırsa, o zaman (1.1) sisteminin yaklaşık çözümü için ya seçeriz ya da farketmez çünkü birbirlerinden en fazla farklılar ve hadi hesaplamaları bitirelim. Koşullardan (1.6) en az biri karşılanmazsa bir sonraki eyleme geçeriz.

Dördüncüsü. Bir sonraki yinelemeyi gerçekleştirelim, yani. (1.1) sisteminin sağ tarafında, birinci yaklaşımın bileşenlerini yerine koyarız ve ikinci yaklaşımın bileşenlerini hesaplarız
, Nerede

Beşinci. Hadi kontrol edelim
ve devamı, yani. Bu yaklaşımlar için (1.6) koşulunu kontrol edelim. Eğer tüm koşullar (1.6) karşılanırsa, o zaman (1.1) sisteminin yaklaşık çözümü için ya seçeceğiz ya da fark etmez çünkü birbirlerinden en fazla farklı değiller. Aksi takdirde, ikinci yaklaşımın bileşenlerini sistemin (1.1) sağ tarafına koyarak bir sonraki iterasyonu oluşturacağız.

İki bitişik yaklaşıma kadar yinelemelerin yapılması gerekir
ve birbirlerinden en fazla farklı olmayacaktır.

Sistem (1.1)'i çözmek için yineleme yönteminin çalışma formülü şu şekilde yazılabilir:

Formül (1.7)'nin sayısal uygulamasına yönelik algoritma aşağıdaki gibi olabilir.

Sistem (1.1) için yineleme yönteminin yakınsaması için yeterli koşullar şu şekildedir:

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Basit yineleme yöntemi.

Doğrusal cebirsel denklemler sistemi (SLAE) şu şekilde verilsin:

(2.1)

Basit yineleme yöntemini kullanarak sistemi (2.1) çözmek için öncelikle forma indirgenmesi gerekir.

(2.2)

Sistemde (2.2) -'inci denklem, (2.1) sisteminin -'inci denklemidir ve -'inci bilinmeyene göre çözümlenmiştir (
).

Sistemi (2.1) çözme yöntemi, onu sisteme (2.2) indirgemeyi ve ardından yineleme yöntemini kullanarak sistemi (2.2) çözmeyi içeren yönteme, sistem (2.1) için basit yineleme yöntemi denir.

Böylece, (2.1) sistemini çözmek için basit yineleme yönteminin çalışma formülleri şu şekilde olacaktır:

(2.3)

Formüller (2.3) şu şekilde yazılabilir:

Formül (2.4)'e göre sistem (2.1) için basit yineleme yönteminin sayısal uygulamasına yönelik algoritma aşağıdaki gibi olabilir.

Bu algoritma geometrik olarak yazılabilir.

Sistem (2.1) için basit yineleme yönteminin yakınsaması için yeterli koşullar şu şekildedir:

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Sabit Seidel yöntemi.

SLAE'leri çözmeye yönelik Seidel yöntemi, yineleme yönteminden farklıdır; çünkü -'inci bileşen için bazı yaklaşımlar bulduktan sonra onu hemen bir sonraki bileşeni bulmak için kullanırız
,
, …, -th bileşeni. Bu yaklaşım daha fazlasını sağlar yüksek hız iterasyon yöntemiyle karşılaştırıldığında Seidel yönteminin yakınsaması.

SLAE şu şekilde verilsin

(3.1)

İzin vermek
- kesin çözüme sıfır yaklaşım
sistemler (3.1). Ve bulunmasına izin ver bu yaklaşım
. Bileşenleri tanımlayalım
formülleri kullanarak yaklaşıklık

(3.2)

Formüller (3.2) kompakt biçimde yazılabilir

,
,
(3.3)

Formülleri (3.3) kullanarak sistemi (3.1) çözmek için Seidel yönteminin sayısal uygulamasına yönelik algoritma aşağıdaki gibi olabilir.

1. Örneğin şunu seçelim:
,

2. Koyalım.

3. Herkes için hesaplayalım.

4. Herkesin koşullarını kontrol edeceğiz
.

5. Paragraf 4'teki tüm koşullar yerine getirilirse, o zaman veya'yı sistem (3.1)'in yaklaşık çözümü olarak seçip hesaplamaları tamamlayacağız. 4. adımdaki en az bir koşul karşılanmazsa 6. adıma geçin.

6. Onu bir kenara bırakalım ve 3. adıma geçelim.

Bu algoritma geometrik olarak yazılabilir.

Sistem (3.1) için Seidel yönteminin yakınsaması için yeterli koşul şu şekildedir:
, .

4. Durağan olmayan Seidel yöntemi.

SLAE'yi (3.1) çözmenin bu yöntemi, Seidel yöntemine göre daha da yüksek bir yakınsama hızı sağlar.

Sistem (3.1) için n'inci yaklaşımın ve n'inci yaklaşımın bileşenlerini bir şekilde bulalım.

Düzeltme vektörünü hesaplayalım

Değerleri hesaplayalım

, (4.2)

Miktarları ayarlayalım
, azalan sırayla.

Aynı sırayla (3.1) sistemindeki denklemleri ve bu sistemdeki bilinmeyenleri yeniden yazıyoruz: Doğrusalcebir Ve doğrusal olmayan ... Yönetmekİçin laboratuvar İşlerİle ... metodolojik talimatlar İçinpratikİşlerİle İçinöğrenciler ...

Eğitim literatürü (doğa bilimleri ve teknik) 2000-2011 OP döngüsü – 10 yıllık CD döngüsü – 5 yıl

Edebiyat

... DoğalBilimler genel olarak 1. Astronomi [Metin]: kılavuz İçin ... Sayısalyöntemler: Doğrusalcebir Ve doğrusal olmayan ... Yönetmekİçin laboratuvar İşlerİle ... metodolojik talimatlar İçinpratikİşlerİle"Ulaştırma Ekonomisi" disiplini İçinöğrenciler ...

- doğa bilimleri (1)

öğretici

... yönetmekİçinöğrenciler ve öğretmenler, amaçlanan İçin sadece ders çalışmak için değil yöntemleriş... üretme pratik gerçek verileri kullanma becerisi. metodiköneriler İle testin yerine getirilmesi işİle Bu...

- doğa bilimleri - fizik ve matematik bilimleri - kimya bilimleri - yer bilimleri (jeodezik, jeofizik, jeoloji ve coğrafya bilimleri)

Belge

... İçinöğrencilerdoğal olarak- ... İşlerİle"Genetik ve seçilim" disiplini, Güncel problemler Bu Bilimler. Sistematikleştirilmiş bağımsız İşöğrencilerİle teorik ve pratik ... doğrusal, doğrusal olmayan, dinamik. Tüm yöntemler ...

- doğa bilimleri - fizik ve matematik bilimleri - kimya bilimleri - yer bilimleri (jeodezik, jeofizik, jeoloji ve coğrafya bilimleri) (7)

Ders kitaplarının listesi

Eremin'in determinantı doğrusal Ve doğrusal olmayancebir : doğrusal Ve doğrusal olmayan programlama: yeni yöntem/ Eremin, Mikhail... İçinöğrenciler ve üniversitelerdeki jeolojik uzmanlık öğretmenleri. kh-1 1794549 99. D3 P 693 Pratikyönetmekİle ...

Doğrusal olmayan denklemleri Newton yöntemiyle çözme

Elektrik gücü problemlerini çözmek için yöntemde çeşitli değişiklikler vardır. Yinelemeli sürecin yakınsama hızını arttırmayı ve hesaplama süresini kısaltmayı mümkün kılarlar.

Temel bilgiler itibar yöntem - hızlı yakınsamaya sahiptir.

Yöntem fikri Orijinal doğrusal olmayan denklem sisteminin hesaplanmasının her yinelemesinde, çözümü bilinmeyenlerin bir sonraki yaklaşımını istenen çözüme daha yakın bir şekilde elde etmemizi sağlayan bazı yardımcı doğrusal denklem sistemi ile sıralı olarak değiştirilmesinden oluşur ( doğrusallaştırma).

Doğrusal olmayan denklemi düşünün Genel görünüm:

Denklemin gerekli çözümü, eğrinin x eksenini kestiği noktadır.

Bilinmeyenlerin ilk yaklaşımını belirledik x (0). Bu noktada fonksiyonun değerini belirleyin w(x(0)) ve B noktasında eğriye bir teğet çizin. Bu teğetin x ekseniyle kesişme noktası, bilinmeyenin bir sonraki yaklaşımını belirler. x (1) vesaire.

Denklemi (1) noktanın yakınındaki bir Taylor serisine genişletelim. x (0). Sadece 1. türevi içeren açılım terimlerini ele alalım:

(2)

x – x (0) = Δx- bilinmeyende değişiklik. Bunu tanımlarsak bir sonraki yaklaşımı belirleyebiliriz.

(2)'den değişikliği belirliyoruz (3)

Daha sonra aşağıdaki yaklaşım: (5)

Benzer şekilde elde ederiz İle-e yaklaşımlar:

Bu Newton yönteminin tekrarlanan formülü Doğrusal olmayan denklemleri çözmek için. Bilinmeyenlerin sonraki yaklaşımlarını belirlemenizi sağlar.

Formül (6) şekilden başka bir şekilde elde edilebilir:

Yinelemeli süreç azalırsa ve yaklaşırsa yakınsar 0 . Eğer sonuç elde edilirse.

Geometrik yorumlamaya ilişkin yorumlar

Yöntemin yinelemeli adımı, denklemin (2) sol tarafında açıklanan eğrinin düz bir çizgiyle değiştirilmesine indirgenir. noktasında eğriye teğettir. Bu süreç denir doğrusallaştırma. Eğrinin teğetinin eksenle kesişme noktası X bilinmeyenin başka bir yaklaşımını verir. Bu nedenle bu yönteme denir teğet yöntem.

Örnek:

Örnek:

Bu yöntemle doğrusal olmayan bir denklemin tüm köklerini belirlemek için herhangi bir şekilde belirlemek gerekir. yaklaşık Bu köklerin konumlarını belirleyin ve onlara yakın ilk yaklaşımları ayarlayın.

Köklerin bulunduğu alanı belirlemenin basit bir yolu çizelgeleme.

Newton'un yineleme süreci yakınlaşmıyor, eğer ilk yaklaşımlar şu şekilde seçilirse:

Süreç ya hiç yakınsamıyor ya da çok zayıf bir şekilde yakınlaşıyor.

SNAU'yu çözmek için Newton-Raphson yöntemi

Raphson, Newton'un yinelemeli yönteminin çözüm için önerdiğini gösterdi. bir doğrusal olmayan denklemler, çözmek için kullanılabilir sistemler Doğrusal olmayan denklemler.

Aynı zamanda, doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözmek için bir bilinmeyen yerine bir kümeyi (vektör) dikkate almak gerekir. Bilinmeyen:

bir artık denklem yerine, dikkate alırız artıkların vektörü sistemin denklemleri:

(6)'daki bir türev değiştirilir türev matrisi. (6)'daki bölme işlemi, çarpma işlemiyle değiştirilmiştir. tersi türevlerin matrisi. Bu durumda Newton-Raphson yöntemi, tek boyutlu bir problemden tek boyutlu bir probleme geçişte Newton yönteminden farklılık göstermektedir. çok boyutlu.

Gerçek doğrusal olmayan cebirsel denklemler sistemini ele alalım:

(7)

Matris formunda yazılabilir:

Nerede X= x 2 – vektör – bilinmeyenler sütunu;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

W = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – vektör fonksiyonu.

w n (x 1, x 2, ... x n)

İzin vermek - bilinmeyenlerin ilk yaklaşımları. Sistem (7)'nin her denklemini noktanın yakınındaki bir Taylor serisine genişletelim. X (0) yani, orijinal doğrusal olmayan denklemlerin, yalnızca 1. türevinin korunduğu (doğrusallaştırma) doğrusal olanlarla yaklaşık olarak değiştirilmesini gerçekleştireceğiz. Sonuç olarak denklem sistemi (7) şu şekli alır:

(9)

Sonuç olarak elimizde doğrusal denklem sistemi(Doğrusallaştırılmış sistem), burada bilinmeyenler düzeltmelerdir. Bu sistemdeki bilinmeyenlerin katsayıları denklemlerin birinci türevleridir. wj tüm bilinmeyenler için orijinal doğrusal olmayan sistemin Xi.. Bir katsayılar matrisi oluştururlar – Jacobi matrisi:

=

Matrisin her satırı, doğrusal olmayan sistemin bir sonraki denkleminin tüm bilinmeyenlere göre ilk türevlerinden oluşur.

Doğrusallaştırılmış sistemi (9) matris formunda yazalım:

(10)

İşte orijinal sistemin denklemlerinin artıklarının vektörü. Elemanları, bilinmeyenlerin ardışık yaklaşımlarının doğrusal olmayan sistemin denklemlerine yerleştirilmesiyle elde edilir;

- Jakoben matris. Elemanları, orijinal sistemin tüm denklemlerinin tüm bilinmeyenlere göre ilk kısmi türevleridir;

- düzeltme vektörüİstenilen bilinmeyenlere Her yinelemede şu yazılabilir:

Kabul edilen gösterim dikkate alınarak Sistem (10) yazılabilir:

(12)

Bu sistem doğrusal değişikliklerle ilgili ΔХ (k).

Sistem (13), yinelemeli sürecin her adımında orijinal SNAU'nun yerini alan doğrusallaştırılmış bir denklem sistemidir.

Sistem (13) bilinen herhangi bir yöntemle çözülür, bunun sonucunda düzeltme vektörünü buluruz. O zaman (11)'den bulabiliriz sonraki yaklaşımlar Bilinmeyen:

O. Her yinelemeli adım süreç doğrusal sistemin (13) çözülmesinden ve (14)'ten bir sonraki yaklaşımın belirlenmesinden oluşur.

(11) ve (12)'den genel durumu elde edebiliriz. yineleme formülü(matris formunda), Newton-Raphson yöntemine karşılık gelir:

(15)

Formül (6)'ya karşılık gelen bir yapıya sahiptir.

Formül (15) pratik hesaplamalarda kullanılır nadiren, çünkü burada hesaplamaların her yinelemesinde Jacobian matrisini (büyük boyutlu) ters çevirmek gerekir. Gerçek hesaplamalarda doğrusal sistemin (13) çözülmesi sonucunda düzeltmeler belirlenir.

Tamamlama kontrolü Artıkların vektörünü kullanarak yinelemeli işlemi gerçekleştiriyoruz:

Artıklar için bu koşulun sağlanması gerekir. herkes Sistemin denklemleri.

Newton-Raphson yöntemini kullanarak SNAU'yu çözmeye yönelik algoritma

1. Bilinmeyenlerin başlangıç ​​yaklaşımlarının vektörünün belirlenmesi.

Hesaplama doğruluğunun ayarlanması є , diğer hesaplama parametreleri

2. Doğrusal olmayan denklemlerin yaklaşım noktasındaki artıklarının belirlenmesi;

2.3. Bilinmeyenlerin bir sonraki yaklaşımı noktasında Jacobian matrisinin elemanlarının belirlenmesi;

2.4. Doğrusallaştırılmış sistemin (13) bilinen herhangi bir yöntemle çözümü. Bilinmeyenlerdeki değişikliklerin belirlenmesi.

2.5. Bilinmeyenlerin bir sonraki yaklaşımının (14)'e göre belirlenmesi.

2.6. (16)'ya uygun olarak yineleme sürecinin tamamlanmasının izlenmesi. Koşul karşılanmıyorsa 2. adıma dönün.

Örnek:

Newton-Raphson yöntemini kullanarak SLAE'yi çözün:

(çözüm X 1 = X 2 =2)

Denklemleri artıklar şeklinde yazalım:

Jacobian matrisinin elemanlarını tanımlıyoruz:

Jacobian matrisi:

Newton-Raphson yöntemi algoritmasını uygulayalım:

1) İlk yineleme:

İlk yaklaşımlar

Artıklar

Jacobian matrisi:

Doğrusallaştırılmış denklem sistemi:

Bilinmeyenlerin 1. yaklaşımı:

2) İkinci yineleme

3) Üçüncü yineleme:

… ……… …… …… …… ……..

Newton-Raphson yöntemini kullanarak kararlı durum denklem sistemlerini çözme

Üçüncü düğüm için güç dengesi formundaki kararlı durumun doğrusal olmayan denklemi şu şekildedir:

(17)

Bu, karmaşık bilinmeyenleri ve katsayıları olan bir denklemdir. Formun bu tür denklemleri için (17) karar vermek mümkündü Newton-Raphson yöntemini kullanarak dönüştürülürler: gerçek ve sanal kısımlar ayrılır. Bunun sonucunda her karmaşık denklem form (17), düğümdeki aktif ve reaktif güç dengesine karşılık gelen iki gerçek denkleme ayrılır:

Düğümde belirtilen güçler şunlardır;

Düğümlerdeki bilinmeyen voltaj bileşenleri. Onlara ihtiyaç var

hesaplama sonucunda belirlenir.

Denklemlerin (18) sağ tarafında, düğüme yaklaşan dallardaki akışların hesaplanan toplam gücü yer almaktadır.

Bu denklemleri (18) şu şekilde yazalım: artıklar:

Denklemlerin (19) artıkları hesaplanana karşılık gelir dengesizlik düğümdeki aktif ve reaktif güç.

Artıklar düğüm modunu tanımlar і ve düğümlerdeki bilinmeyen gerilimlerin doğrusal olmayan fonksiyonlarıdır. -> 0 olması gereklidir.

Sistemi Newton-Raphson yöntemiyle çözeceğiz 2n formun (19) denklemleri, yani bir elektrik şebekesinin kararlı durumunu Newton-Raphson yöntemini kullanarak hesaplama problemini çözmek için ihtiyacınız olan:

1) bir sistem oluşturmak 2n dengeleme olanlar hariç, elektrik şebekesinin tüm düğümleri için formun (19) denklemleri;

2) Newton-Raphson yönteminin yinelemeli sürecini organize etmek

Bu denklem sistemini çözelim. Kararın bir sonucu olarak

düğümlerde gerekli gerilim bileşenlerini elde ederiz.

Bu denklem sistemini genel biçimde yazalım:

(20)

2 doğrusal olmayan bir sistemimiz var artık denklemler 2 bilinmeyenli, ki bu. İçindeki bilinmeyen bileşenler voltaj bileşenleridir - modüller ve açılar.

Sistemi (20) Newton-Raphson yöntemini kullanarak çözmek için şunu yazmanız gerekir: ek(13) formunun doğrusallaştırılmış denklem sistemi, her yinelemede bilinmeyenlere yönelik düzeltmeleri belirlediğimizi çözerek:

(21)

Kabul edilen gösterim dikkate alınarak sistem (21) şu şekilde yazılabilir:

(22)

Jacobi matrisi nerede, elemanları tüm bilinmeyenlere - stres bileşenlerine göre sistem (20) denklemlerinin kısmi türevleridir

Sistem (20) denklemlerinin artıklarının vektörü. Değerleri, bilinmeyenlerin ardışık yaklaşımlarının denklemlere yerleştirilmesiyle elde edilir;

Bilinmeyenlere yönelik düzeltmelerin vektörü:

; Δɨ ben = Ԩ i (k+1) - Ԩ i (k), ΔU ben = U ben (k+1) - U ben (k) .

Kullandığımız Jacobian matrisinin elemanlarını belirlemek için analitik farklılaşma yani Sistemin (20) her denklemini gerekli miktarlara (açılara ve gerilim modüllerine) göre farklılaştırıyoruz. Jacobian matrisini oluşturmak için aşağıdakilerin türevleri için analitik ifadeler elde etmeniz gerekir: türler:

1) Aynı düğümün gerilim açısına göre düğümün aktif gücünün artık denkleminin türevi: ;

2) Bitişikteki düğümün gerilim açısına göre, inci düğümün aktif gücünün artık denkleminin türevi J- inci düğüm: ;

3) Aynı düğümün voltajının modülo düğümünün aktif gücünün kalıntısının türevi: ;

4) Bitişik düğümün gerilimi modülüne ait aktif gücün kalıntısının türevi: ;

Dört türev daha benzer şekilde belirlenir - tüm bilinmeyenler için düğümün reaktif güç kalıntısının denklemlerinden türevler:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Bu türevleri dikkate alarak Jacobi matrisi genel formda yazılabilir:

(23)

Hadi tanımlayalım analitik ifadeler türevler için, sistem (20) denklemlerinin bilinmeyen niceliklere göre türevinin alınması. Şuna benziyorlar:

(24)

Jakoben matris V Genel dava- boyuta sahip simetrik bir kare matris, elemanları tüm bilinmeyenlere göre denklemlerin artıklarının (güç dengesizliği) kısmi türevleridir.

Düğümler birbirine bağlı değilse, matrisin karşılık gelen türevleri, köşegenin dışında bulunan Jacobian matrisi sıfıra eşit olacaktır (iletkenlik matrisine benzer) - çünkü karşılık gelen formüllerde (24) karşılıklı iletkenlik ve ben ve'nin bir faktörüdür. ve ben =0.

Matrisin her satırı, bir sonraki sistem denkleminin (20) türevleridir.

Modellenen ağ şemasında özel düğümlerin varlığı (destek ve dengeleme düğümleri, FM düğümleri) yapı kararlı durum denklem sistemi ve Jacobian matrisinin yapısı:

1. Düğümler için modülü sabitleme Jacobian matrisinden verilen ve bilinmeyenlerin ve olduğu gerilimler (FM) hariç tutuldu türevler çizgisi (çünkü Qi belirtilmezse, reaktif güç dengesi denklemi (18), (19) çizilemez) ve türevler sütunu (gerilim modülü sen ben biliniyor ve bilinmeyenler listesinden çıkarılıyor).

2. Destek ve dengeleme düğümleri için matrisin karşılık gelen satırları ve sütunları hariç tutulur;

3. Düğümler doğrudan bağlı değilse matristeki karşılık gelen türevler sıfıra eşittir.

Jacobian matrisi dörde ayrılabilir engellemek:

1) - dengesizlik denklemlerinden türevler aktif güç (20) ile köşeler stres;

2) - dengesizlik denklemlerinin türevleri aktif güç tarafından modüller stres;

3) - dengesizlik denklemlerinin türevleri reaktif güç (20) ile köşeler stres;

4) - dengesizlik denklemlerinin türevleri reaktif güç tarafından modüller stres.

Bunlar bilinmeyen açılarda aktif ve reaktif güç dengesizliklerinin kısmi türevlerinin ve gerilim modüllerinin matris hücreleridir. Genel olarak bunlar boyutun kare matrisleridir n×n.

Bunu dikkate alarak Jacobian matrisi şu şekilde temsil edilebilir: engellemek matrisler:

Nerede bilinmeyen miktarların alt vektörü.

Bunu dikkate alarak, doğrusallaştırılmış denklem sistemi (22) şu şekilde yazılabilir:

. (25)

Bunu çözmek doğrusal sistem denklemler (bilinen herhangi bir yöntemle)

Yöntemin her yinelemesinde bilinmeyenlere yönelik düzeltmeler bulunur ve ardından

düzenli yaklaşıyor Bilinmeyen:

(26)

Bilinmeyenlerin bir sonraki yaklaşımı kullanılarak da elde edilebilir. yineleme formülü Newton-Raphson yöntemi, (15)'e benzer:

- · (27)

Bu, her yinelemede Jacobian matrisinin ters çevrilmesini gerektirir; bu, hantal bir hesaplama işlemidir.

Newton-Raphson yöntemini kullanarak kararlı durum denklem sistemlerini çözmeye yönelik algoritma

1. Bilinmeyen gerilimlerin başlangıç ​​değerlerinin ayarlanması. İlk yaklaşımlar olarak şunu kabul ediyoruz: , yani. düğümlerin nominal gerilimleri;

2. Hesaplama koşullarının ayarlanması: doğruluk ε , maksimum yineleme sayısı, hızlanma katsayıları vb.

3. Bilinmeyenlerin ardışık yaklaşımları ile denklem (20)'ye göre denklem artıklarının belirlenmesi;

4. Jacobi matrisinin elemanlarının (24)'e göre bilinmeyenlerin ardışık yaklaşımlarıyla belirlenmesi;

5. Doğrusallaştırılmış denklem sisteminin (25) çözülmesi ve bilinmeyenlere yönelik düzeltmelerin belirlenmesi;

6. (26)'ya göre bilinmeyenlerin sonraki yaklaşımlarının belirlenmesi;

7. Yineleme işleminin tamamlandığının kontrol edilmesi:

Tüm düğümler için denklemlerin artık değerleri belirtilen doğruluktan az olmalıdır.

Koşul karşılanmazsa, 3. noktaya dönün ve bilinmeyenlerin yeni yaklaşımlarıyla hesaplamayı tekrarlayın.

Bir numara var Newton-Raphson yönteminin modifikasyonları.İçermek:

1. Değiştirilmiş Newton-Raphson yöntemi.

Jacobian matrisi bilinmeyenlerin başlangıç ​​değerleri için bir kez hesaplanır. Sonraki yinelemelerde kabul edilir devamlı. Bu, her yinelemedeki hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltır, ancak yineleme sayısını artırır.

2. Bölünmüş Newton-Raphson yöntemi.

Formun türevleri çok küçüktür ve değerleri göz ardı edilebilir. Sonuç olarak, Jacobian matrisinde iki blok kalır - 1. ve 4. ve denklemlerden oluşan sistem (25) parçalanır iki bağımsız boyut sistemine bölünür. Bu sistemlerin her biri diğerinden ayrı ayrı çözülmektedir. Bu, hesaplama miktarında ve gerekli bilgisayar belleğinde azalmaya yol açar.