Mantıkta sonuçlar. Tümdengelim

Boolean türü Boolean türünün değerleri 1 bayt kaplar ve önceden tanımlanmış True (true) ve False (false) sabitleri tarafından belirtilen iki değerden birini alır.Mantıksal tür için statik yöntemler tanımlanır: boolean.Parse(s) - bir dizeyi dönüştüren bir işlev

26. Mantıksal analiz

26. Mantıksal analiz Veriyolu Sitesi.Veriyolu sitesi. Burası öğlen.Yaklaşık olarak öğlen. Bu sefer, yolcular, kavga, yolcuların kavgası. Bu bir aksiyon. Genç adam. Şapka. Uzun, sıska boyunlu, etrafı örgülü örgülü bir şapka takan genç bir adam. Bu

Mantıklı yol

Bölüm Bir. Tümdengelimli ve makul akıl yürütme

BÖLÜM 1. Mantığın konusu ve görevleri

1.1. Bir bilim olarak mantık

Mantık, uygarlıklarda ortaya çıkan akıl yürütme biçimleri ve yöntemleri hakkındaki ilk öğretileri olan en eski bilimlerden biridir. Antik Doğu(Çin, Hindistan). Mantığın ilke ve yöntemleri Batı kültürüne esas olarak eski Yunanlıların çabalarıyla girmiştir. Gelişmiş siyasi hayat Yunan şehir devletlerinde, farklı partilerin özgür vatandaş kitleleri üzerinde nüfuz mücadelesi, mülkiyeti çözme arzusu ve mahkemeler aracılığıyla ortaya çıkan diğer anlaşmazlıklar - tüm bunlar insanları ikna etme, çeşitli durumlarda konumlarını savunma yeteneğini gerektiriyordu. popüler forumlar devlet kurumları, mahkeme duruşmaları vb.

İkna sanatı, tartışma, kişinin fikrini makul bir şekilde savunma ve bir tartışma ve polemik sırasında bir rakibe itiraz etme becerisi, hitabet ve tartışma hakkında özel bir öğreti olan eristics'in geliştirilmesine odaklanan eski retorik çerçevesinde geliştirildi. İlk retorik öğretmenleri, ikna etme becerisi, tartışma yöntemleri ve topluluk önünde konuşmanın inşası, dönüşler hakkında bilgiyi yaymak ve geliştirmek için çok şey yaptılar. Özel dikkat duygusal, psikolojik, ahlaki ve hitabet yönleri ve özellikleri hakkında. Ancak daha sonra retorik okulları sofistler tarafından yönetilmeye başladığında, öğrencilerine tartışma yoluyla gerçeği aramayı değil, kazanmayı, ne pahasına olursa olsun sözlü bir rekabeti kazanmayı öğretmeye çalıştılar. Bu amaçlar için, daha sonra olarak bilinen kasıtlı mantıksal hatalar yaygın olarak kullanıldı. sofistlik, ayrıca rakibin dikkatini dağıtmak, öneride bulunmak, anlaşmazlığı ana konudan ikincil konulara geçirmek vb. için çeşitli psikolojik hileler ve teknikler.

Büyük antik filozoflar Sokrates, Platon ve Aristoteles, retorikteki bu eğilime kararlılıkla karşı çıktılar; bunlar, ikna etmenin ana yolunu, hitabet konuşmasında yer alan yargıların geçerliliği, akıl yürütme sürecindeki doğru bağlantıları, yani. Başkalarından bazı yargılar çıkarmak. Aristoteles'in (M.Ö. IV. Yüzyıl) akıl yürütme analizi için ilk mantık sistemini yaratmasıydı. tasım. Bu, mantıksal çıkarım kurallarına göre öncüllerden sonucun (sonuç) elde edildiği, en basit ama aynı zamanda en sık kullanılan tümdengelimli akıl yürütme biçimidir. Terimin kesinti Latince'den çevrilmiş anlamına gelir çözüm.

Bunu açıklamak için eski kıyasa dönelim:

Bütün insanlar ölümlüdür.

Kai insandır.____________

Bu nedenle Kai ölümlüdür.

Diğer kıyaslarda olduğu gibi burada da, belirli bir nesne ve olgu sınıfı hakkındaki genel bilgiden özel ve bireysel bilgiye çıkarım yapılır. Diğer durumlarda özelden özele veya genelden genele çıkarımın yapılabileceğini hemen vurgulayalım.

Tüm tümdengelimli çıkarımları birleştiren ana şey, sonucun mantıksal çıkarım kurallarına göre öncüllerden çıkması ve güvenilir, nesnel bir karaktere sahip olmasıdır. Başka bir deyişle sonuç, akıl yürüten konunun iradesine, arzularına ve tercihlerine bağlı değildir. Eğer böyle bir sonucun öncüllerini kabul ediyorsanız, o zaman onun sonucunu da kabul etmelisiniz.

Tümdengelimli çıkarımların tanımlayıcı özelliğinin, sonucun mantıksal olarak gerekli doğası, yani güvenilir doğruluğu olduğu da sıklıkla dile getirilir. Yani bu tür çıkarımlarda öncüllerin doğruluk değeri tamamen sonuca aktarılmaktadır. Tümdengelimli akıl yürütmenin en büyük ikna gücüne sahip olmasının ve yalnızca matematikte teoremleri kanıtlamak için değil, aynı zamanda güvenilir sonuçlara ihtiyaç duyulan her yerde yaygın olarak kullanılmasının nedeni budur.

Ders kitaplarında çok sık mantık azimli doğru düşünmenin yasaları veya doğru sonuçların ilkeleri ve yöntemleri hakkında bir bilim olarak. Ancak ne tür bir düşüncenin doğru kabul edildiği belirsiz kaldığından, tanımın ilk kısmı gizli bir totoloji içermektedir, çünkü böyle bir doğruluğun mantık kurallarına uyularak elde edileceği örtülü olarak varsayılmaktadır. İkinci bölümde mantığın konusu daha kesin olarak tanımlanıyor çünkü mantığın asıl görevi çıkarımların analizine indirgeniyor. diğerlerinden bazı yargıları almanın yollarını belirlemek. Doğru çıkarımlardan bahsettiklerinde örtülü ve hatta açık bir şekilde tümdengelimli mantığı kastettiklerini fark etmek kolaydır. Daha sonra daha ayrıntılı olarak öğreneceğimiz öncüllerden mantıksal sonuçların çıkarılması için tamamen kesin kurallar vardır. Çoğu zaman tümdengelimli mantık aynı zamanda biçimsel mantıkla da tanımlanır; çünkü biçimsel mantık, çıkarım biçimlerini yargıların belirli içeriğinden soyutlayarak inceler. Ancak bu görüş, hem doğayı inceleyen deneysel bilimlerde, hem de sosyo-ekonomik ve beşeri bilimlerde, toplumsal yaşamın gerçeklerine ve sonuçlarına dayanan, yaygın olarak kullanılan diğer akıl yürütme yöntemlerini ve biçimlerini dikkate almamaktadır. Günlük uygulamada sıklıkla genellemeler yaparız ve belirli durumlara ilişkin gözlemlere dayanarak varsayımlarda bulunuruz.

Herhangi bir özel durumun araştırılmasına ve doğrulanmasına dayanarak, çalışılmamış durumlar veya bir bütün olarak sınıfın tüm olguları hakkında bir sonuca varılan bu tür akıl yürütmeye denir. endüktif. Terim tümevarım araç rehberlik ve bu tür bir akıl yürütmenin özünü çok iyi ifade ediyor. Genellikle belirli bir nesne ve fenomen sınıfının belirli sayıda üyesinin özelliklerini ve ilişkilerini incelerler. Ortaya çıkan genel özellik veya ilişki daha sonra keşfedilmemiş üyelere veya sınıfın tamamına aktarılır. Açıkçası, böyle bir sonucun güvenilir bir şekilde doğru olduğu düşünülemez, çünkü sınıfın keşfedilmemiş üyeleri arasında ve özellikle de bir bütün olarak sınıf arasında, varsayılan ortak özelliğe sahip olmayan üyeler olabilir. Bu nedenle, tümevarım sonuçları güvenilir değil, yalnızca olasılıksaldır. Çoğu zaman bu tür sonuçlara makul, varsayımsal veya varsayımsal da denir, çünkü bunlar gerçeğe ulaşılmasını garanti etmez, yalnızca ona işaret eder. Onlar sahip sezgisel(arama) doğası gereği güvenilir olmaktan ziyade, gerçeği kanıtlamaktan ziyade aramaya yardımcı olur. Tümevarımsal akıl yürütmenin yanı sıra, bu aynı zamanda analoji ve istatistiksel genellemelerden elde edilen sonuçları da içerir.

Ayırt edici özellik Bu tür tümdengelimsel olmayan akıl yürütmenin en önemli özelliği, içlerindeki sonucun mantıksal olarak takip edilmemesidir; kesinti kurallarına göre, tesislerden. Öncüller yalnızca şu ya da bu dereceye kadar sonucu doğrular, onu az ya da çok olası ya da makul kılar, ancak onun güvenilir doğruluğunu garanti etmez. Bu temelde, olasılıksal akıl yürütme bazen açıkça hafife alınır, ikincil, yardımcı olarak değerlendirilir ve hatta mantıktan dışlanır.

Tümdengelimli olmayan ve özellikle tümevarımsal mantığa yönelik bu tutum esas olarak aşağıdaki nedenlerle açıklanmaktadır:

Birincisi ve asıl mesele, tümevarımsal sonuçların sorunlu, olasılıksal doğası ve sonuçların mevcut verilere bağlı bağımlılığı, öncüllerden ayrılamazlık ve sonuçların eksikliğidir. Sonuçta, yeni veriler elde edildikçe bu tür sonuçların ortaya çıkma ihtimali de değişiyor.

İkincisi, öncüller ile argümanın sonucu arasındaki olasılıksal mantıksal ilişkinin değerlendirilmesinde öznel yönlerin varlığı. Gerçekler ve kanıtlar gibi bu öncüller bir kişiye ikna edici görünebilir, ancak bir başkasına öyle gelmeyebilir. Biri bu sonucu güçlü bir şekilde desteklediğine inanıyor, diğeri ise tam tersi görüşte. Tümdengelimli çıkarımda bu tür anlaşmazlıklar ortaya çıkmaz.

Üçüncüsü, tümevarıma yönelik bu tutum aynı zamanda tarihsel koşullarla da açıklanmaktadır. Tümevarımsal mantık ilk ortaya çıktığında, yaratıcıları, özellikle de F. Bacon, onun kanonları veya kuralları yardımıyla deneysel bilimlerdeki yeni gerçekleri neredeyse tamamen mekanik bir şekilde keşfetmenin mümkün olduğuna inanıyordu. "Bilimleri keşfetme yolumuz," diye yazıyordu, "yeteneğin keskinliğine ve gücüne çok az şey bırakıyor, ancak onları neredeyse eşitliyor. Tıpkı düz bir çizgi çizmede veya mükemmel bir daireyi tanımlamada olduğu gibi, elin sağlamlığı, becerisi ve sınanması anlamına gelir çok, sadece elinizle hareket ederseniz çok az şey ifade eder veya pusula ve cetvel kullanırsanız hiçbir şey ifade etmez. Bizim yöntemimizde de durum böyle." Konuşuyorum modern dil Tümevarımsal mantığın yaratıcıları kanunlarını keşif algoritmaları olarak görüyorlardı. Bilimin gelişmesiyle birlikte, bu tür kuralların (veya algoritmaların) yardımıyla deneysel olarak gözlemlenen fenomenler ile onları karakterize eden nicelikler arasındaki yalnızca en basit ampirik bağlantıları keşfetmenin mümkün olduğu giderek daha açık hale geldi. Açılış karmaşık bağlantılar ve derin teorik yasalar, ampirik ve deneysel tüm araç ve yöntemlerin kullanılmasını gerektiriyordu. teorik araştırma, maksimum uygulama bilim adamlarının zihinsel ve entelektüel yetenekleri, deneyimleri, sezgileri ve yetenekleri. Ve bu, daha önce tümevarımsal mantıkta var olan, keşfe mekanik yaklaşıma karşı olumsuz bir tutuma yol açmaktan başka bir şey yapamazdı.

Dördüncüsü, tümdengelimli akıl yürütme biçimlerinin genişlemesi, ilişkisel mantığın ortaya çıkışı ve özellikle uygulama matematiksel yöntemler Tümdengelimli mantığın ilerlemesine büyük ölçüde katkıda bulunan sembolik (veya matematiksel) mantığın yaratılmasıyla sonuçlanan tümdengelim analizi için.

Bütün bunlar, mantığı, tümdengelimli çıkarımların yöntemleri, kuralları ve yasalarının bilimi veya mantıksal çıkarım teorisi olarak neden sıklıkla tanımlamayı tercih ettiklerini açıkça ortaya koyuyor. Ancak tümevarım, analoji ve istatistiğin aynı olduğunu unutmamalıyız. önemli yollarla gerçeğin sezgisel arayışıdır ve bu nedenle akıl yürütmenin rasyonel yöntemleri olarak hizmet ederler. Sonuçta hakikat arayışı rastgele, deneme yanılma yoluyla gerçekleştirilebilir, ancak bu yöntem bazen kullanılsa da son derece etkisizdir. Bilim, organize, hedefe yönelik ve sistematik bir araştırmaya odaklandığından buna çok nadiren başvurur.

Tümdengelimli sonuçların öncülleri olarak kullanılan genel doğruların (ampirik ve teorik yasalar, ilkeler, hipotezler ve genellemeler) tümdengelim yoluyla kurulamayacağı da dikkate alınmalıdır. Ancak endüktif olarak açılmadıklarına itiraz edilebilir. Ancak tümevarımsal akıl yürütme gerçeği aramaya odaklandığından, daha kullanışlı bir buluşsal araştırma aracı olduğu ortaya çıkıyor. Tabii ki, varsayımları ve hipotezleri test ederken, özellikle bunlardan sonuçlar çıkarmak için tümdengelim de kullanılır. Bu nedenle tümdengelim tümevarıma karşı çıkamaz çünkü gerçek bilimsel bilgi sürecinde bunlar birbirlerini varsayar ve tamamlar.

Bu nedenle mantık, hem tümdengelim kurallarının analizini (öncüllerden sonuç çıkarmak) hem de olasılıksal veya makul sonuçların (hipotezler, genellemeler, varsayımlar) onaylanma derecesinin incelenmesini kapsayan rasyonel akıl yürütme yöntemleri bilimi olarak tanımlanabilir. , vesaire.).

Aristoteles'in mantıksal öğretileri temelinde oluşturulan geleneksel mantık, daha sonra F. Bacon tarafından formüle edilen ve J.S. tarafından sistematize edilen tümevarımsal mantık yöntemleriyle desteklendi. Millem. Uzun zamandır okullarda ve üniversitelerde adı altında öğretilen bu mantıktır. biçimsel mantık.

Ortaya Çıkış matematiksel mantık geleneksel mantıkta var olan tümdengelimli ve tümdengelimli olmayan mantıklar arasındaki ilişkiyi kökten değiştirdi. Bu değişiklik kesinti lehine yapıldı. Sembolleştirme ve matematiksel yöntemlerin kullanılması sayesinde tümdengelimli mantığın kendisi kesinlikle biçimsel bir karakter kazandı. Aslında böyle bir mantığı şöyle düşünmek oldukça meşrudur. matematiksel model tümdengelim. Bu nedenle, genellikle biçimsel mantığın gelişiminde modern bir aşama olarak kabul edilir, ancak tümdengelimli mantıktan bahsettiğimizi eklemeyi unuturlar.

Matematiksel mantığın muhakeme sürecini çeşitli hesaplama sistemlerinin inşasına indirgediği ve dolayısıyla doğal düşünme sürecini hesaplamalarla değiştirdiği de sıklıkla söylenir. Ancak model her zaman sadeleştirmelerle ilişkilendirildiğinden orijinalin yerini tutamaz. Aslında matematiksel mantık öncelikle matematiksel kanıtlar bu nedenle öncüllerin (veya argümanların) doğasını, geçerliliğini ve kabul edilebilirliğini soyutlar. Bu tür öncüllerin verilmiş veya önceden kanıtlanmış olduğunu düşünüyor.

Bu arada, gerçek akıl yürütme sürecinde, bir tartışmada, tartışmada, polemikte öncüllerin analizi ve değerlendirilmesi özel bir önem kazanır. önemli. Tartışma sırasında belirli tezleri ve ifadeleri ortaya koymanız, savunmalarında ikna edici argümanlar bulmanız, bunları düzeltmeniz ve tamamlamanız, karşı argümanlar vermeniz vb. gerekir. Burada gayri resmi ve tümdengelimli olmayan akıl yürütme yöntemlerine, özellikle gerçeklerin tümevarımsal genelleştirilmesine, analoji yoluyla sonuçlara, istatistiksel analize vb. yönelmemiz gerekiyor.

Mantığı rasyonel akıl yürütme yöntemleri bilimi olarak düşünürsek, herhangi bir mantık ders kitabının başladığı diğer düşünme biçimlerini - kavramlar ve yargıları unutmamalıyız. Ancak yargılar ve özellikle kavramlar mantıkta yardımcı bir rol oynar. Onların yardımıyla çıkarımların yapısı ve yargıların bağlantısı çeşitli türler muhakeme. Kavramlar, bir konu, yani bir düşünce nesnesi ve bir yüklem biçimindeki herhangi bir yargının yapısına, konuyu karakterize eden, yani düşünce nesnesinde belirli bir özelliğin varlığını veya yokluğunu iddia eden bir işaret olarak dahil edilir. . Sunumumuzda genel kabul görmüş geleneğe sadık kalarak tartışmaya kavramların ve yargıların analiziyle başlıyoruz ve ardından tümdengelimli ve tümdengelimli olmayan akıl yürütme yöntemlerini daha ayrıntılı olarak ele alıyoruz. Önermelerin analiz edildiği bölüm, genellikle matematiksel mantıktaki herhangi bir dersin başlangıç ​​noktası olan önermeler hesabının unsurlarını incelemektedir.

Yüklem mantığının unsurları, kategorik kıyas teorisinin özel bir durum olarak ele alındığı bir sonraki bölümde ele alınmaktadır. Modern formlar Tümdengelimsel olmayan akıl yürütme, olasılığın mantıksal ve istatistiksel yorumu arasında net bir ayrım yapılmadan açıkça anlaşılamaz, çünkü olasılık En sık ima edilen şey, tam da mantıkta yardımcı bir anlamı olan istatistiksel yorumudur. Bu bağlamda olasılıksal akıl yürütme bölümünde, özellikle olasılığın iki yorumu arasındaki farkın açıklığa kavuşturulmasına odaklanıyoruz ve mantıksal olasılığın özelliklerini daha ayrıntılı olarak açıklıyoruz.

Böylece kitaptaki sunumun tüm doğası, okuyucuyu tümdengelim ve tümevarım, güvenilirlik ve olasılık, düşüncenin genelden özele ve özelden genele hareketinin dışlamadığı, aksine tamamladığı gerçeğine yönlendirir. birbirimizin içinde genel süreç Rasyonel akıl yürütme hem gerçeği bulmayı hem de onu kanıtlamayı amaçlıyordu.

Temel kavramların özellikleri açıklanmaktadır. aksiyomlar- Kanıt olmadan kabul edilen teklifler.

Örneğin, okul geometrisinde aksiyomlar vardır: "Herhangi bir iki noktadan yalnızca bir düz çizgi çizebilirsiniz" veya "düz bir çizgi, bir düzlemi iki yarım düzleme böler."

Temel kavramların özelliklerini ortaya koyan herhangi bir matematik teorisinin aksiyom sistemi, tanımlarını verir. Bu tür tanımlara denir aksiyomatik.

Kanıtlanacak kavramların özelliklerine denir. teoremler, sonuçlar, işaretler, formüller, kurallar.

Teoremi kanıtla AİÇİNDE- bu, bir özelliğin karşılanması durumunda mantıksal bir şekilde tesis edilmesi anlamına gelir A, mülk yürütülecek İÇİNDE.

Kanıt matematikte, belirli bir teorinin, her biri ya bir aksiyom olan ya da mantıksal çıkarım kurallarına göre bu dizinin bir veya daha fazla önermesinden çıkarılan sonlu önerme dizisine denir.

Kanıtın temeli akıl yürütmedir - mantıksal işlem Bunun sonucunda anlam bakımından birbirine bağlı bir veya daha fazla cümleden yeni bilgi içeren bir cümle elde edilir.

Örnek olarak, 7 ile 8 sayıları arasında “küçüktür” ilişkisini kurmak isteyen bir okul çocuğunun muhakemesini düşünün. Öğrenci şöyle diyor: “7< 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Bu argümanda elde edilen sonucun hangi gerçeklere dayandığını öğrenelim.

Böyle iki gerçek var: Birincisi: eğer sayı A sayarken sayılar önce çağrılır B, O A< B. İkincisi: Sayarken 8'den önce 7'yi çağırmak.

İlk cümle genel karakter genel bir niceleyici içerdiğinden buna genel öncül denir. İkinci cümle belirli 7 ve 8 sayılarıyla ilgilidir - buna özel öncül denir. İki parselden alındı yeni gerçek: 7 < 8, его называют заключением.

Öncüller ve sonuç arasında bir argüman oluşturdukları için belirli bir bağlantı vardır.

Öncüller ile sonuç arasında bir çıkarım ilişkisi bulunan argümana denir. tümdengelimli.

Mantıkta “akıl yürütme” terimi yerine “çıkarım” kelimesi daha sık kullanılır.

Çıkarım- bu, mevcut bazı bilgilere dayanarak yeni bilgiler elde etmenin bir yoludur.

Çıkarım öncüllerden ve sonuçtan oluşur.

Parseller- bunlar başlangıç ​​bilgisini içerir.

Çözüm- bu, orijinalinden elde edilen yeni bilgiyi içeren bir ifadedir.

Kural olarak sonuç, öncüllerden “bu nedenle”, “anlamına gelir” kelimeleri kullanılarak ayrılır. Öncüllerle çıkarım R 1, R 2, …, рn ve sonuç R bunu şu şekilde yazacağız: veya (R 1, R 2, …, рn) R.

Örnekler çıkarımlar: a) Sayı bir =B. Sayı b = c. Bu nedenle sayı bir = c.

b) Bir kesirde pay, paydadan küçükse kesir düzgündür. bir kesir olarak pay paydadan küçük (5<6) . Bu nedenle kesir - doğru.

c) Yağmur yağarsa gökyüzünde bulutlar vardır. Gökyüzünde bulutlar var, dolayısıyla yağmur yağıyor.

Sonuçlar doğru veya yanlış olabilir.

Çıkarım denir doğru yapısına karşılık gelen ve sonuca bir ima işaretiyle bağlanan öncüllerin birleşimini temsil eden formül aynı şekilde doğruysa.

Bunun için Sonucun doğru olup olmadığını belirlemek için şu şekilde ilerleyin:

1) tüm öncülleri ve sonuçları resmileştirin;

2) bir sonuç işaretiyle birbirine bağlanan öncüllerin birleşimini temsil eden bir formül yazın;

3) bu formül için bir doğruluk tablosu hazırlayın;

4) Formül tamamen doğruysa sonuç doğrudur, değilse sonuç yanlıştır.

Mantıkta, bir sonucun doğruluğunun onun biçimiyle belirlendiğine ve içinde yer alan ifadelerin belirli içeriğine bağlı olmadığına inanılır. Ve mantıkta, tümdengelimli sonuçların oluşturulabileceği kurallar önerilmektedir. Bu kurallara denir çıkarım kuralları veya tümdengelimli akıl yürütme kalıpları.

Pek çok kural vardır ancak en sık kullanılanlar şunlardır:

1. - sonuç kuralı;

2. - olumsuzlama kuralı;

3. - kıyas kuralı.

Hadi verelim örnek yapılan çıkarımlar kural sonuçlar:"Eğer bir numaranın kaydedilmesi X bir sayıyla biter 5, bu sayı X bölü 15. Numara yazma 135 bir sayıyla biter 5 . Bu nedenle sayı 135 bölü 5 ».

Bu sonuçtaki genel önerme şu ifadedir: “Eğer Ah), O B(x)", Nerede Ah)- bu bir “numara kaydıdır” X bir sayıyla biter 5 ", A B(x)- "sayı X bölü 5 " Özel bir öncül, genel öncülün durumundan elde edilen bir ifadedir.
x = 135(onlar. bir(135)). Sonuç, türetilmiş bir ifadedir B(x) en x = 135(onlar. V(135)).

Hadi verelim kurala göre yapılan bir sonuca örnek negatifler:"Eğer bir numaranın kaydedilmesi X bir sayıyla biter 5, bu sayı X bölü 5 . Sayı 177 bölünemez 5 . Bu nedenle bir sayıyla bitmiyor 5 ».

Bu sonuçta genel önermenin bir öncekiyle aynı olduğunu, özel önermenin ise “sayı” ifadesinin olumsuzlaması olduğunu görüyoruz. 177 bölü 5 "(yani). Sonuç “Sayı yazmak” cümlesinin olumsuzudur. 177 bir sayıyla biter 5 "(yani).

Son olarak şunu düşünelim dayalı bir çıkarım örneği kıyas kuralı: "Eğer sayı Xçoklu 12, o zaman bu bir kattır 6. eğer sayı Xçoklu 6 , o zaman bu bir kattır 3 . Bu nedenle eğer sayı Xçoklu 12, o zaman bu bir kattır 3 ».

Bu sonucun iki öncülü var: “Eğer Ah), O B(x)" ve eğer B(x), O C(x)", burada A(x) "sayıdır Xçoklu 12 », B(x)- "sayı Xçoklu 6 " Ve C(x)- "sayı Xçoklu 3 " Sonuç şu ifadedir: “Eğer Ah), O C(x)».

Aşağıdaki sonuçların doğru olup olmadığını kontrol edelim:

1) Bir dörtgen eşkenar dörtgen ise köşegenleri birbirine diktir. ABCD- eşkenar dörtgen Bu nedenle köşegenleri birbirine diktir.

2) Sayı şuna bölünüyorsa: 4 , o zaman şuna bölünür: 2 . Sayı 22 bölü 2 . Bu nedenle ikiye bölünmüştür 4.

3) Bütün ağaçlar bitkidir. Çam bir ağaçtır. Bu da çamın bir bitki olduğu anlamına gelir.

4) Bu sınıftaki tüm öğrenciler tiyatroya gitti. Petya tiyatroda değildi. Dolayısıyla Petya bu sınıfın öğrencisi değil.

5) Bir kesrin payı paydasından küçükse kesir doğrudur. Bir kesir düzgün ise 1'den küçüktür. Dolayısıyla bir kesrin payı paydasından küçükse kesir 1'den küçüktür.

Çözüm: 1) Çıkarımın doğruluğu sorununu çözmek için mantıksal biçimini tanımlayalım. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: C(x)- "dörtgen" X- eşkenar dörtgen", B(x)- “dörtgen içinde X köşegenler karşılıklı olarak diktir." O halde ilk öncül şu şekilde yazılabilir:
C(x) B(x), ikinci - CA), ve sonuç B(a).

Dolayısıyla bu çıkarımın biçimi şu şekildedir: . Sonuç kuralına göre inşa edilmiştir. Dolayısıyla bu mantık doğrudur.

2) Gösterimi tanıtalım: Ah)- "sayı X bölü 4 », B(x)- "sayı X bölü 2 " Daha sonra ilk öncülü yazıyoruz: Ah)B(x), ikinci B(a), ve sonuç şudur A(a). Sonuç şu şekilde olacaktır: .

Bilinenlerin arasında böyle bir mantıksal biçim yoktur. Her iki öncülün de doğru, sonucun ise yanlış olduğunu görmek kolaydır.

Bu, bu akıl yürütmenin yanlış olduğu anlamına gelir.

3) Bazı gösterimleri tanıtalım. İzin vermek Ah)- "Eğer X ağaç", B(x) - « X bitki". Daha sonra parseller şu şekli alacaktır: Ah)B(x), A(a), ve sonuç B(a). Sonucumuz şu şekilde oluşturulmuştur: - sonuç kuralları.

Bu, akıl yürütmemizin doğru yapılandırıldığı anlamına gelir.

4) İzin ver Ah) - « X-sınıfımızın öğrencileri, B(x)- “öğrenciler X tiyatroya gittim." Daha sonra parseller aşağıdaki gibi olacaktır: Ah)B(x), ve sonuç.

Bu sonuç olumsuzlama kuralına dayanmaktadır:

- doğru olduğu anlamına gelir.

5) Çıkarımın mantıksal biçimini tanımlayalım. İzin vermek A(x) -"bir kesirin payı X paydadan daha az." B(x) - “kesir X- doğru." C(x)- "kesir" X az 1 " Daha sonra parseller şu şekli alacaktır: Ah)B(x), B(x) C(x), ve sonuç Ah)C(x).

Sonuçlarımız aşağıdaki mantıksal forma sahip olacaktır: - kıyas kuralı.

Bu, bu sonucun doğru olduğu anlamına gelir.

Mantıkta, çıkarımların doğruluğunu kontrol etmenin çeşitli yolları dikkate alınır. Euler çemberlerini kullanarak çıkarımların doğruluğunun analizi.Şu şekilde gerçekleştirilir: sonucu küme teorik dilinde yazın; Euler çevrelerindeki öncülleri doğru kabul ederek tasvir etmek; sonucun her zaman doğru olup olmadığına bakarlar. Eğer öyleyse, o zaman çıkarımın doğru şekilde yapıldığını söylüyorlar. Sonucun yanlış olduğu açık olan bir çizim mümkünse, sonucun yanlış olduğunu söylerler.

Tablo 9

Çıkarım kuralına göre yapılan çıkarımın tümdengelimli olduğunu gösterelim. Öncelikle bu kuralı küme teorisi dilinde yazalım.

Paket Ah)B(x) olarak yazılabilir TAtelevizyon, Nerede TA Ve televizyon- önerme formlarının doğruluk kümeleri Ah) Ve B(x).

Özel parsel A(a) anlamına gelir ATA, ve sonuç B(a) gösterir ki ATELEVİZYON.

Çıkarım kuralına göre oluşturulan çıkarımın tamamı küme teorik dilinde aşağıdaki gibi yazılacaktır: .

Pirinç. 58.

Örnekler.

1. “Bir sayı bir sayıyla bitiyorsa” sonucu doğru mudur? 5, o zaman sayı bölünebilir 5. Sayı 125 bölü 5. Bu nedenle sayıyı yazmak 125 bir sayıyla biter 5 »?

Çözüm: Bu sonuç şemaya göre yapılmıştır. , buna karşılık gelir . Bizim bildiğimiz böyle bir plan yok. Bunun tümdengelimli çıkarım kuralı olup olmadığını öğrenelim mi?

Euler çemberlerini kullanalım. Küme teorik dilinde

Sonuçta elde edilen kural şu ​​şekilde yazılabilir:

. Kümeleri Euler çemberleri üzerinde gösterelim TA Ve televizyon ve öğeyi belirtin A birçoktan TELEVİZYON.

Bir sette bulunabileceği ortaya çıktı TA, veya ona ait olmayabilir (Şek. 59). Mantıkta böyle bir şemanın, sonucun doğruluğunu garanti etmediği için tümdengelimli çıkarım kuralı olmadığına inanılır.

Bu sonuç, akıl yürütmenin doğruluğunu garanti etmeyen bir şemaya göre yapıldığından doğru değildir.

Pirinç. 59.

b) Tüm fiiller “ne yapmalı?” sorusuna cevap verir. veya “ne yapmalıyım?” "Peygamber çiçeği" kelimesi bu soruların hiçbirine cevap vermiyor. Bu nedenle "peygamber çiçeği" bir fiil değildir.

Çözüm: a) Bu sonucu küme teorisi dilinde yazalım. ile belirtelim A- Eğitim Fakültesi'nin birçok öğrencisi İÇİNDE- öğretmen olan birçok öğrenci İLE- 20 yaşın üzerindeki birçok öğrenci.

O zaman sonuç şu şekli alacaktır: .

Bu kümeleri daireler üzerinde tasvir edersek, 2 durum mümkündür:

1) takımlar A, B, C kesişir;

2) ayarlamak İÇİNDE birçok şeyle kesişiyor İLE Ve A, ve çok A kesişiyor İÇİNDE, ancak kesişmiyor İLE.

b) ile belirtelim A birçok fiil ve aracılığıyla İÇİNDE"Ne yapmalı?" sorusuna cevap veren birçok kelime var. veya “ne yapmalıyım?”

O halde sonuç şu şekilde yazılabilir:

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1. Öğrenciden 23 sayısının neden 20 + 3'ün toplamı olarak gösterilebildiğini açıklaması istenir. Şöyle düşünür: “23 sayısı iki basamaklıdır. İki basamaklı herhangi bir sayı, basamaklı terimlerin toplamı olarak temsil edilebilir. Bu nedenle 23 = 20 + 3."

Bu sonuçtaki birinci ve ikinci cümleler öncüllerdir ve genel nitelikteki bir tanesi “iki basamaklı herhangi bir sayı, rakam terimlerinin toplamı olarak temsil edilebilir” ifadesidir, diğeri ise özeldir, yalnızca 23 sayısını karakterize eder - iki hanelidir. Sonuç, yani “bu nedenle” kelimesinden sonra gelen bu cümle, 23 sayısına atıfta bulunduğu için doğası gereği özeldir.

Genellikle teoremlerin kanıtlanmasında kullanılan çıkarımlar mantıksal çıkarım kavramına dayanır. Ayrıca, mantıksal çıkarımın tanımından, ilk ifadelerin (öncüllerin) doğru olduğu önerme değişkenlerinin tüm değerleri için teoremin sonucunun da doğru olduğu sonucu çıkar. Bu tür sonuçlar çıkarımsaldır.

Yukarıda tartışılan örnekte verilen çıkarım tümdengelimlidir.

Örnek 2. İlkokul çocuklarına çarpma işleminin değişme özelliğini tanıtma tekniklerinden biri aşağıdaki gibidir. Okul çocukları, çeşitli görsel yardımlar kullanarak öğretmenle birlikte şunları tespit ederler: 6 3 = 36, 52 = 25. Daha sonra elde edilen eşitliklere dayanarak şu sonuca vardılar: tüm doğal sayılar için A Ve B eşitlik doğrudur ab = ba.

Bu sonuçta, öncüller ilk iki eşitliktir. Böyle bir özelliğin belirli doğal sayılar için geçerli olduğunu iddia ediyorlar. Bu örnekteki sonuç genel bir ifadedir; doğal sayıların çarpımının değişme özelliği.

Bu sonuçta, belirli bir nitelikteki öncüller şunu göstermektedir: bazı Doğal sayılar şu özelliğe sahiptir: Çarpanların yeniden düzenlenmesi çarpımı değiştirmez. Ve buna dayanarak tüm doğal sayıların bu özelliğe sahip olduğu sonucuna varıldı. Bu tür çıkarımlara eksik tümevarım denir.

onlar. bazı doğal sayılar için toplamın çarpımından az olduğu ileri sürülebilir. Bu, bazı sayıların bu özelliğe sahip olduğu gerçeğine dayanarak, tüm doğal sayıların bu özelliğe sahip olduğu sonucuna varabileceğimiz anlamına gelir:

Bu örnek analojik akıl yürütmenin bir örneğidir.

Altında benzetmeİki nesnenin bazı özelliklerdeki benzerliğine ve bunlardan birinde ek bir özelliğin varlığına dayanarak, diğer nesnede de aynı özelliğin varlığına ilişkin bir sonuca varılan çıkarımı anlayın.

Kıyas yoluyla varılan sonuç bir varsayım, bir hipotez niteliğindedir ve bu nedenle ya kanıta ya da çürütmeye ihtiyaç duyar.

Bir sonuç çıkarırken, mantıksal bağlaçları ekleme ve kaldırma kurallarını çıkarım kurallarıyla aynı şekilde sunmak uygundur:

Kural 1.$F_1$ ve $F_2$ öncülleri “ve” anlamına geliyorsa, bu durumda bunların bağlacı doğrudur, yani.

$$\frac(F_1 ; F_2)((F_1\&F_2))$$

Bu giriş, eğer $F_1$ ve $F_2$ öncülleri doğruysa, sonuca mantıksal bir bağlaç birleşimi ekleme olasılığını sağlar; bu kural A5 aksiyomuyla aynıdır (bkz.);

Kural 2.$(F_1\&F_2)$, “ve” değerine sahipse, o zaman $F_1$ ve $F_2$ alt formülleri doğrudur, yani.

$$\frac((F_1\&F_2))(F_1) \: ve \: \frac((F_1\&F_2))(F_2)$$

Bu gösterim, eğer $(F_1\&F_2)$ doğruysa, sonuçtaki bağlacın mantıksal bağlayıcısını kaldırma ve $F_1$ ve $F_2$ alt formüllerinin gerçek değerlerini dikkate alma olasılığını sağlar; bu kural A3 ve A4 aksiyomlarıyla aynıdır;

Kural 3.$F_1$ "ve" değerine sahipse ve $(F_1\&F_2)$ "l" değerine sahipse, o zaman $F_2$ alt formülü yanlıştır, yani.

$$\frac(F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2)( \left\rceil\right. \!\!F_2)$$

Bu giriş, eğer $(F_1\&F_2)$ yanlışsa ve alt formüllerden biri doğruysa, sonuçtaki bağlacın mantıksal birleşimini kaldırma ve ikinci alt formülün değerinin yanlış olduğunu düşünme olasılığını sağlar;

Kural 4. En az bir $F_1$ veya $F_2$ öncülü doğruysa, o zaman bunların ayrılığı da doğrudur, yani.

$$\frac(F_1)( (F_1\vee F_2)) \: veya \: \frac(F_2)( (F_1\vee F_2))$$

Bu gösterim, eğer en az bir $F_1$ veya $F_2$ alt formülü doğruysa, sonuca mantıksal bir ayrım bağlacının dahil edilmesi olasılığını sağlar; bu kural A6 ve A7 aksiyomlarıyla aynıdır;

Kural 5.$(F_1\vee F_2)$, “ve” değerine sahipse ve $F_1$ veya $F_2$ alt formüllerinden biri “l” değerine sahipse, bu durumda ikinci $F_2$ veya $F_1$ alt formülü doğrudur, yani.

$$\frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_2) \: veya \: \frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right . \!\!F_2 )( (F_1)$$

Bu gösterim, eğer $(F_1\vee F_2)$ doğruysa, sonuçtaki ayrılığın mantıksal bağlacını kaldırma ve $F_1$ veya $F_2$ alt formüllerinin gerçek değerlerini dikkate alma olasılığını sağlar;

Kural 6.$F_2$ alt formülü “ve” değerine sahipse, o zaman $(F_1\rightarrow F_2)$ formülü $F_1$ alt formülünün herhangi bir değeri için doğrudur;

$$\frac(F_2)( (F_1\rightarrow F_2))$$

$F_2$ gerçek değerine sahip bu gösterim, $F_1$ ("her şeyden gelen gerçek") alt formülünün herhangi bir değeri için mantıksal bir bağlacın sonucuna bir çıkarım ekleme olasılığını sağlar; bu kural aksiyom 1 ile aynıdır;

Kural 7.$F_1$ alt formülü “l” değerine sahipse, o zaman $(F_1\rightarrow F_2)$ formülü $F_2$ alt formülünün herhangi bir değeri için doğrudur;

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_1\rightarrow F_2))$$

Bu gösterim, eğer $F_1$ değeri yanlışsa, $F_2$ alt formülünün herhangi bir değeri için sonuca mantıksal bir çıkarım bağlacı ekleme olasılığını sağlar (“yanlıştan gelen her şey”);

Kural 8.$(F_1\rightarrow F_2)$ formülü “ve” değerine sahipse, o zaman $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1) formülü $ doğrudur, yani.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )( (\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1))$$

Gerçek değeri $(F_1\rightarrow F_2)$ olan bu giriş, anlamın kutuplarını değiştirirken aynı anda değerlerini değiştirme olasılığını belirler; bu zıtlık yasasıdır;

Kural 9.$(F_1\rightarrow F_2)$ formülü "ve" değerine sahipse, o zaman $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ formülü herhangi bir $F_3$ değeri için doğrudur, yani.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )(((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)) $$

$(F_1\rightarrow F_2)$ gerçek değerine sahip bu giriş, çıkarımın her kutbu üzerinde $F_3$ formülünün herhangi bir değeri için ayırma işlemini gerçekleştirme yeteneğini belirler; bu kural aksiyom A11 ile aynıdır.

Kural 10.$(F_1\rightarrow F_2)$ formülü "ve" değerine sahipse, o zaman $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ formülü herhangi bir $F_3$ değeri için doğrudur, yani.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )(((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3))$$

$(F_1\rightarrow F_2)$ gerçek değerine sahip bu giriş, çıkarımın her kutbu üzerinde $F_3$ formülünün herhangi bir değeri için birleştirme işlemini gerçekleştirme yeteneğini belirler; bu kural A10 aksiyomu ile aynıdır.

Kural 11.$(F_1\rightarrow F_2)$ ve $(F_2\rightarrow F_3)$ formülleri “ve” değerine sahipse, o zaman $(F_1\rightarrow F_3)$ formülü doğrudur, yani.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_3) )((F_1\rightarrow F_3))$$

$(F_1\rightarrow F_2)$ ve $(F_2\rightarrow F_3)$ gerçek değerine sahip bu girdi, $(F_1\rightarrow F_3)$ (kıyas kanunu) çıkarımını oluşturma olasılığını sağlar; bu kural A2 aksiyomuyla aynıdır;

Kural 12.$F_1$ ve $(F_1\rightarrow F_2)$ formülleri “ve” değerine sahipse, o zaman $F_2$ formülü doğrudur, yani.

$$\frac(F_1; (F_1\rightarrow F_2) )( F_2)$$

$F_1$ öncülünün gerçek değeri ve $(F_1\rightarrow F_2)$ çıkarımının gerçek değeri verildiğinde, bu giriş, çıkarımın mantıksal bağlayıcısını kaldırmanıza ve $F_2$ sonucunun gerçek değerini belirlemenize olanak tanır;

Kural 13. Formüller $\left\rceil\right ise. \!\!F_2 ve (F_1\rightarrow F_2)$ "ve" anlamına geliyorsa $\left\rceil\right formülü doğrudur. \!\!F_1$, yani.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2) )( \left\rceil\right. \!\!F_1)$$

Bu girdiye $\left\rceil\right önermesinin gerçek değeri verilir. \!\!F_2$ ve çıkarımlar $(F_1\rightarrow F_2)$, çıkarımın mantıksal bağlayıcısını kaldırmanıza ve $\left\rceil\right sonucunun gerçek değerini belirlemenize olanak tanır. \!\!F_1$;

Kural 14.$(F_1\rightarrow F_2)$ ve $(F_2\rightarrow F_1)$ formülleri “ve” değerine sahipse, o zaman $(F_1\leftrightarrow F_2)$ formülü doğrudur, yani.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_1) )( (F_1\leftrightarrow F_2))$$

$(F_1\rightarrow F_2)$ ve $(F_2\rightarrow F_1)$ gerçek değerini içeren bu giriş, mantıksal bir eşdeğerlik bağlacını tanıtmanıza ve $(F_1\leftrightarrow F_2)$ formülünün değerini belirlemenize olanak tanır;

Kural 15.$(F_1\leftrightarrow F_2)$ formülü “ve” değerine sahipse, o zaman $(F_1\rightarrow F_2)$ ve $(F_2\rightarrow F_1)$ formülleri doğrudur, yani.

$$\frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_1\rightarrow F_2) ) \: ve \: \frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_2\rightarrow F_1) )$$

$(F_1\leftrightarrow F_2)$ gerçek değerine sahip bu giriş, mantıksal eşdeğerlik bağlacını kaldırmanıza ve $(F_1\rightarrow F_2)$ ve $(F_2\rightarrow F_1) formüllerinin gerçek değerini belirlemenize olanak tanır $.