Найбільш просто вирішується завдання про вибір рішення в умовах невизначеності, коли нам хоч і невідомі умови виконання операції (стан природи), але відомі їх ймовірності:
В цьому випадку як показник ефективності, який ми прагнемо звернути в максимум, природно взяти середнє значення, або математичне очікуваннявиграшу, з урахуванням ймовірностей усіх можливих умов.
Позначимо це середнє значення для стратегії гравця через
або, коротше,
Очевидно, є не що інше, як виважене середнє виграшів рядка, взятих із кесами. Як оптимальна стратегія природно вибрати ту зі стратегій для якої величина звертається в максимум.
За допомогою такого прийому завдання про вибір рішення в умовах невизначеності перетворюється на завдання про вибір рішення в умовах визначеності, тільки прийняте рішенняє оптимальним над кожному окремому випадку, а середньому.
Приклад 1. Планується операція у невідомих метеорологічних умовах; варіанти цих умов: Відповідно до матеріалів метеозведення за багато років частоти (ймовірності) цих варіантів рівні відповідно:
Можливі варіанти організації операції у різних метеоумовах приносять різну вигоду. Значення «доходу» для кожного рішення різні умовинаведено у табл. 13.1
Таблиця 13.1
В останньому рядку надано ймовірності умов. Середні виграші наведено в останньому стовпці. З нього видно, що оптимальною стратегією гравця є його стратегія, що дає середній виграш(Відзначений зірочкою).
При виборі оптимальної стратегії у невідомих умовах із відомими ймовірностями можна користуватися не лише середнім виграшем
а й середнім ризиком
який, зрозуміло, потрібно звернути не максимум, а мінімум.
Покажемо, що стратегія, що максимізує середній виграш, збігається зі стратегією, що мінімізує середній ризик. Обчислимо обидва ці показники та складемо їх:
(13.2)
Ця сума (середнє зважене значення максимумів стовпців) для даної матриці є постійна величина; Позначимо її З:
звідки середній ризик дорівнює
Очевидно, ця величина звертається в мінімум тоді, коли а, - максимум, отже, стратегія, обрана з умов мінімального середнього ризику, збігається зі стратегією, обраної з умов максимального середнього виграшу.
Зауважимо, що у випадку, коли відомі ймовірності станів природи при вирішенні гри з природою, завжди можна обійтися одними чистими стратегіями, не застосовуючи змішаних. Справді, якщо ми застосовуватимемо якусь змішану стратегію
тобто стратегію з ймовірністю стратегію з ймовірністю і т. д., то наш середній виграш, середній і за умовами (станами природи) і за нашими стратегіями, буде:
Це - виважене середнє виграшів, які відповідають нашим чистим стратегіям.
Але зрозуміло, будь-яке середнє неспроможна перевищувати максимальної з середніх величин:
Тому застосування змішаної стратегії з будь-якими ймовірностями не може бути вигіднішим для гравця, ніж застосування чистої стратегії.
Імовірності умов (станів природи) можуть бути визначені зі статистичних даних, пов'язаних із багаторазовим виконанням подібних операцій або просто з проведенням спостережень над станами природи. Наприклад, якщо залізниціза цей проміжок часу потрібно виконати не цілком відомий обсяг перевезень, дані про розподіл умов можуть бути взяті з досвіду минулих років. Якщо, як у попередньому прикладі, успіх операції залежить від метеоумов, дані можуть бути взяті зі статистики метеосводок.
Однак часто трапляються випадки, коли, приступаючи до виконання операції, ми не маємо уявлення про ймовірність станів природи; всі наші відомості зводяться до переліку варіантів станів, а оцінити їх ймовірність ми можемо. Так, наприклад, навряд чи нам вдасться розумно оцінити ймовірність того, що протягом найближчих k років буде запропоновано та реалізовано важливий технічний винахід.
Зрозуміло, у подібних випадках ймовірності умов (станів природи) можуть бути оцінені суб'єктивно: деякі з них видаються нам більшими, а інші – менш правдоподібними. Для того, щоб наші суб'єктивні уявлення про більшу чи меншу «правдоподібність» тієї чи іншої гіпотези перетворити на чисельні оцінки, можуть застосовуватись різні технічні прийоми. Так, якщо ми не можемо віддати перевагу жодній гіпотезі, якщо вони всі для нас рівноправні, то природно призначити їх ймовірності рівними один одному:
Це так званий «принцип недостатньої підстави» Лапласа. Інший випадок, що часто зустрічається - коли ми маємо уявлення про те, які умови більш ймовірні, а які - менш, тобто можемо розмістити наявні гіпотези в порядку спаду їх правдоподібності: найбільш правдоподібна перша гіпотеза (ПЗ, потім друга) найменш правдоподібна гіпотеза (). Однак, наскільки одна з них найімовірніша за іншу - ми не знаємо. У цьому випадку можна, наприклад, призначити ймовірності гіпотез пропорційними членам спадної арифметичної прогресії:
або, враховуючи, що
Іноді вдається, виходячи з досвіду та здорового глузду, оцінити і більше тонкі відмінностіміж ступенями правдоподібності гіпотез
Подібні методи суб'єктивної оцінки «імовірності-правдоподібності» різних гіпотез про стан природи іноді можуть допомогти при виборі рішення. Однак не можна забувати, що «оптимальне рішення обране на основі суб'єктивних ймовірностей, неминуче виявиться теж суб'єктивним. Ступінь суб'єктивності рішення можна зменшити, якщо замість ймовірностей, призначених довільно однією особою, запровадити середні з таких ймовірностей, призначених, незалежно одна від одної, групою кваліфікованих осіб («експертів»). Метод опитування експертів взагалі широко застосовується в сучасній науціколи йдеться про оцінку невизначеної ситуації (наприклад, у футурології). Досвід застосування подібних методів вчить, що найчастіше оцінки експертів (прийняті незалежно одним від іншого) виявляються далеко не такими суперечливими, як це можна було передбачити, і вивести з них деякі передумови для прийняття розумного рішення цілком можливо.
Вище ми висвітлили питання про вибір рішення з урахуванням об'єктивно обчислених чи суб'єктивно призначених ймовірностей станів природи. Цей підхід у теорії рішень – не єдиний. Крім нього, існують ще кілька «критеріїв» або підходів до вибору оптимального рішення в умовах невизначеності. Зупинимося на деяких із них.
1. Максимальний критерій Вальда
Відповідно до цього критерію як оптимальну вибирається та стратегія гравця А, при якій мінімальний виграш максимальний, тобто стратегія, що гарантує за будь-яких умов виграш, не менший, ніж максимін:
(13.4)
Якщо керуватися цим критерієм, треба завжди орієнтуватися на гірші умови та вибирати ту стратегію, для якої в найгірших умовах виграш максимальний. Користуючись таким критерієм в іграх із природою, ми ніби ставимо замість цієї безособової та незацікавленої інстанції активного та зловмисного супротивника. Очевидно, такий підхід може бути продиктований лише крайнім песимізмом в оцінці обстановки – «завжди треба розраховувати на найгірше!» - але як один з можливих підходів заслуговує на розгляд.
2. Критерій мінімаксного ризику Севіджа
Сутність цього критерію полягає в тому, щоб будь-якими шляхами уникнути великого ризику при прийнятті рішення.
Критерій Севіджа, так само як і критерій Вальда - це критерій крайнього песимізму, але тільки песимізм тут розуміється по-іншому: найгіршим оголошується не мінімальний виграш, а максимальна втрата виграшу порівняно з тим, чого можна було б досягти за цих умов (максимальний ризик ).
3. Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца
Цей критерій рекомендує в умовах невизначеності при виборі рішення не керуватися ні крайнім песимізмом (завжди розраховуй на найгірше!) ні крайнім, легковажним оптимізмом (все обійдеться якнайкраще!) Критерій Гурвіца має вигляд:
де - коефіцієнт, що вибирається між нулем і одиницею.
Проаналізуємо структуру виразу (13.6). За умов Гурвіца перетворюється на песимістичний критерій Вальда, а при - на критерій «крайнього оптимізму», що рекомендує вибирати ту стратегію, для якої в найкращих умовахвиграш максимальний. При виходить щось середнє між крайнім песимізмом і крайнім оптимізмом (коефіцієнт і висловлює як би міру песимізму дослідника). Цей коефіцієнт вибирається із суб'єктивних міркувань - чим небезпечніша ситуаціячим більше ми хочемо в ній «підстрахуватися», тим ближче до одиниці вибирається в.
За бажання можна побудувати критерій, аналогічний критерію оптимізму-песимізму Гурвіца, виходячи не з виграшу, а з ризику, як у критерії Севіджа, але ми на цьому не зупинятимемося.
Незважаючи на те, що вибір критерію, як і вибір параметра в критерії Гурвіца, є суб'єктивним, все ж таки може виявитися корисним переглянути ситуацію з точки зору цих критеріїв. Якщо рекомендації, які з різних критеріїв, збігаються - тим краще, можна сміливо вибирати рекомендоване ними рішення. Якщо ж, як це часто буває, рекомендації суперечать одна одній - завжди є сенс замислитися над цим і прийняти остаточне рішенняз урахуванням його сильних і слабких сторін. Аналіз матриці гри з природою під кутом зору різних критеріїв часто дає краще уявлення про ситуацію, про переваги та недоліки кожного рішення, ніж безпосередній розгляд матриці, особливо коли її розміри великі.
Приклад 2. Розглядається гра з природою 4X3 із чотирма стратегіями гравця: і трьома варіантами умов (станів природи): Матриця виграшів дана у табл. 13.2.
Таблиця 13.2
Знайти оптимальне рішення (стратегію), користуючись критеріями Вальда, Севіджа та критерієм Гурвіца при
Рішення. 1. Критерій Вальда.
У кожному рядку матриці беремо найменший виграш (табл. 13.3).
З величин максимальна (позначена зірочкою) дорівнює 0,25, отже, за критерієм Вальда оптимальною є стратегія
2. Критерій Севіджа.
Будуємо матрицю ризиків та поміщаємо у правому додатковому стовпці максимальний ризик у кожному рядку (табл. 13.4).
Мінімальним із значень є 0,60 (позначено зірочкою); отже, за критерієм Севіджа, оптимальною є будь-яка зі стратегій
Таблиця 13.3
3. Критерій Гурвіца
Записуємо у правих трьох стовпцях матриці (табл. 135) «песимістичну» оцінку виграшу «оптимістичну» а); та їх середнє виважене за формулою (13.6):
для якої досягається
(Мінімум береться по всіх Знайти цей мінімакс (або максимін в критерії Вальда) можна звичайними методами лінійного програмування. Можуть бути випадки, коли застосування змішаних стратегій при використанні критеріїв Вальда, Севіджа, Гурвіца дасть перевагу в порівнянні з тим рішенням, де застосовуються одні чисті стратегії, проте ми будемо розглядати ці критерії тільки для чистих стратегій.
Одна з причин цього - у тому, що ми хочемо уникнути складних обчислень, коли їх результат може бути зведений нанівець недоліком відомостей про ситуацію (незнання ймовірностей умов). Інша, більше важлива причина- у тому, що основний зміст теорії статистичних рішень(ми торкнемося його в наступному параграфі) - це планування отримання та використання додаткової інформаціїпро стан природи, яку можна здобути шляхом експерименту. Дослідження показують, що у типових випадках, коли йдеться про отримання скільки-небудь значної кількості додаткової інформації, критерії, що не користуються ймовірностями станів (Вальда та ін), стають практично рівносильними критерію, заснованому на ймовірностях станів. Але ми знаємо, що при користуванні таким критерієм застосування змішаних стратегій немає сенсу; Отже, якщо ми можемо отримати скільки-небудь багато додаткової інформації, застосування змішаних стратегій втрачає сенс (хоч би яким із критеріїв вибору рішення ми користувалися). Якщо ж ми можемо, виробляючи експерименти, добувати нову інформацію, то різні критерії можуть давати рекомендації, що суперечать один одному, як ми бачили в прикладі 3.
Цей критерій спирається на «принцип недостатньої основи» Лапласа, за яким усі стани «природи» Si, i = 1,n вважають рівноймовірними. Відповідно до цього принципу кожному стану Si, ставиться ймовірність q i визначається за формулою
При цьому вихідною може розглядатися завдання прийняття рішення в умовах ризику, коли вибирається дія Rj, що дає найбільший очікуваний виграш. Для ухвалення рішення для кожної дії R j обчислюють середнє арифметичне значення виграшу:
(26)
Серед Mj(R) вибирають максимальне значення, яке відповідатиме оптимальній стратегії R j .
Іншими словами, знаходиться дія Rj , що відповідає
(27)
Якщо у вихідному завданні матриця можливих результатівпредставлена матрицею ризиків ||r ji ||, то критерій Лапласа набуває наступного вигляду:
(28)
Приклад 4. Одне з підприємств має визначити рівень своїх провізних можливостей так, щоб задовольнити попит клієнтів на транспортні послуги на запланований період. Попит на транспортні послуги не відомий, але очікується (прогнозується), що може прийняти одне з чотирьох значень: 10, 15, 20 або 25 тис. т. Для кожного рівня попиту існує найкращий рівень провізних можливостей транспортного підприємства (з точки зору можливих витрат ). Відхилення від цих рівнів призводять до додаткових витрат через перевищення провізних можливостей над попитом (через простою рухомого складу), або через неповне задоволення попиту на транспортні послуги. Нижче наведено таблицю, яка визначає можливі прогнозовані витрати на розвиток провізних можливостей:
Необхідно вибрати оптимальну стратегію.
Відповідно до умови завдання, є чотири варіанти попиту на транспортні послуги, що рівнозначно наявності чотирьох станів «природи»: S1, S2, S3, S4. Відомі також чотири стратегії розвитку провізних можливостей транспортного підприємства: R 1 , R 2 , R 3 , R 4 Витрати на розвиток провізних можливостей при кожній парі S i та R j задані наступною матрицею (таблицею):
Принцип Лапласа передбачає, що S1, S2, S3, S4 рівноймовірні. Отже, P(S = S i )= 1/n= 1/4 = 0,25, i = 1, 2, 3, 4 та очікувані витрати при різних діях R 1 , R 2 , R 3 , R 4 складають:
Таким чином, найкращою стратегієюрозвитку провізних можливостей відповідно до критерію Лапласа буде R2.
2. Критерій Вальда(Мінімаксний або максимінний критерій). Застосування цього критерію не вимагає знання ймовірностей станів Si. Цей критерій спирається на принцип максимальної обережності, оскільки він ґрунтується на виборі кращої з найгірших стратегій Rj.
Якщо у вихідній матриці (за умовою завдання) результат V ij представляє втрати особи, яка приймає рішення, то при виборі оптимальної стратегії використовується мінімальний критерій. Для визначення оптимальної стратегії R j необхідно в кожному рядку матриці результатів знайти найбільший елемент max(V ij ), а потім вибирається дія R j (рядок j), якому відповідатиме найменший елемент цих найбільших елементів, тобто дія, що визначає результат , рівний
(29)
Якщо вихідної матриці за умовою завдання результат V ij представляє виграш (корисність) особи, що приймає рішення, то при виборі оптимальної стратегії використовується максимальний критерій.
Для визначення оптимальної стратегії R j у кожному рядку матриці результатів знаходять найменший елемент min (Vij) , а потім вибирається дія R j (рядок j), якому будуть відповідати найбільші елементи цих найменших елементів, тобто дія, що визначає результат, рівний
(30)
Приклад 5. Розглянемо приклад 4. Оскільки V ij у цьому прикладі становить втрати (витрати), застосуємо мінімаксний критерій. Необхідні результати обчислення наведені у таблиці:
Таким чином, найкращою стратегією розвитку провізних можливостей відповідно до мінімаксного критерію «найкращим із найгірших» буде третя, тобто R 3 .
Мінімаксний критерій Вальда іноді призводить до нелогічних висновків через надмірну «песимістичність». "Песимістичність" цього критерію виправляє критерій Севіджа.
3. Критерій Севіджавикористовує матрицю ризиків r ij | |. Елементи даної матриці можна визначити за формулами (23), (24), які перепишемо в наступному вигляді:
(31)
Це означає, що r ij є різницю між найкращим значенням у стовпці i і значеннями V ji при тому ж i. Незалежно від того, чи є V ji доходом (виграшем) або втратами (витратами), r ji в обох випадках визначає величину втрат особи, яка приймає рішення. Отже, можна застосовувати до r ji тільки мінімальний критерій. Критерій Севіджа рекомендує в умовах невизначеності вибирати ту стратегію Rj, за якої величина ризику приймає найменше значенняу несприятливій ситуації (коли ризик максимальний).
Приклад 6. Розглянемо приклад 4. Вказана матриця визначає втрати (витрати). За формулою (31) обчислимо елементи матриці ризиків r ij ||:
Отримані результати обчислень з використанням критерію мінімального ризику Севіджа оформимо в таблиці:
Введення величини ризику r ji призвело до вибору першої стратегії R 1 , що забезпечує найменші втрати (витрати) у несприятливій ситуації (коли ризик максимальний).
Застосування критерію Севіджа дозволяє будь-якими шляхами уникнути великого ризику під час виборів стратегії, отже, уникнути більшого програшу (втрат).
4. Критерій Гурвіцазаснований на наступних двох припущеннях: «природа» може перебувати в найневигіднішому стані з ймовірністю (1 - α) та у найвигіднішому стані з ймовірністю α, де α - коефіцієнт довіри. Якщо результат V j i - прибуток, корисність, дохід тощо, то критерій Гурвіца записується так:
Коли V ji представляє витрати (втрати), то вибирають дію, що дає
Якщо α = 0, то отримаємо песимістичний критерій Вальда.
Якщо α = 1, то приходимо до вирішальному правилувиду max max V ji , або так званої стратегії «здорового оптиміста», т. е. критерій занадто оптимістичний.
Критерій Гурвіца встановлює баланс між випадками крайнього песимізму та крайнього оптимізму шляхом зважування обох способів поведінки відповідними вагами (1 - α) та α, де 0≤α≤1. Значення α від 0 до 1 може визначатися в залежності від схильності особи, яка приймає рішення, до песимізму або оптимізму. За відсутності яскраво вираженої схильності α = 0,5 є найбільш розумною.
Приклад 7. Критерій Гурвіца використовуємо на прикладі 4. Покладемо α = 0,5. Результати необхідних обчислень наведено нижче:
Оптимальне рішення полягає у виборі W.
Таким чином, у прикладі належить зробити вибір, яке з можливих рішенькраще:
за критерієм Лапласа - вибір стратегії R2,
за критерієм Вальда - вибір стратегії R3;
за критерієм Севіджа - вибір стратегії R1;
за критерієм Гурвіца при α = 0,5 - вибір стратегії R 1 , а якщо особа, яка приймає рішення - песиміст (α = 0), то вибір стратегії R 3 .
Це визначається вибором відповідного критерію (Лапласа, Вальда, Севіджа чи Гурвіца).
Вибір критерію прийняття рішень в умовах невизначеності є найскладнішим та найвідповідальнішим етапом у дослідженні операцій. При цьому немає жодних загальних порад чи рекомендацій. Вибір критерію має проводити особа, яка приймає рішення (ЛПР), з урахуванням конкретної специфіки розв'язуваного завдання та відповідно до своїх цілей, а також спираючись на минулий досвід та власну інтуїцію.
Зокрема, якщо навіть мінімальний ризик неприпустимий, слід застосовувати критерій Вальда. Якщо, навпаки, певний ризик є цілком прийнятним і ЛПР має намір вкласти в деяке підприємство стільки коштів, щоб потім воно не шкодувало, що вкладено замало, то обирають критерій Севіджа.
3. Критерій Лапласа, Вальда, Севіджа, Гурвіца
Існує кілька критеріїв для вибору оптимальної стратегії при ухваленні рішення в умовах ризику та невизначеності.
Критерій Лапласа:застосовується, якщо можна припускати, що це варіанти зовнішніх умов однаково можливі. Для кожного рішення знаходиться середня оцінказа всіма варіантами зовнішніх умов(Середній виграш):
де N-кількість станів зовнішнього середовища.
де Z - оптимальна стратегія.
Критерій Вальда:(Критерій крайнього песимізму, максимінний критерій): рішення вибирається для найгірших зовнішніх умов. Імовірності станів природи невідомі і немає можливості отримати про них будь-яку статистичну інформацію. Як оцінка кожного рішення використовується мінімальний виграш, який можна отримати при виборі цього рішення:
Найкращим є рішення з максимальною оцінкою.
Найкращим є рішення з максимальною оцінкою.
За критерієм Вальда вибирають стратегію, яка дає гарантований виграш за найгіршого варіанту стану природи.
Критерій Севіджа,як і критерій Вальда, це критерій крайнього песимізму, але тільки песимізм тут проявляється в тому, що мінімізується максимальна втрата у виграші. Для оцінки рішень використовується матриця ризиків. Як оцінка використовується максимальний ризик (максимальний втрачений виграш), що відповідає даному рішенню:
Найкращим є рішення з мінімальною оцінкою.
Це найбільш обережний підхід до прийняття рішень і той, що найбільше враховує всі можливі ризики.
Критерій Гурвіца:рішення приймається з урахуванням того, що можливі як сприятливі, і несприятливі зовнішні умови. При використанні цього критерію потрібно вказати «коефіцієнт песимізму» – число в діапазоні від 0 до 1, що є суб'єктивною (тобто не розрахованою, а зазначеною людиною) оцінкою можливості несприятливих зовнішніх умов. Якщо є підстави припускати, що умови будуть несприятливими, то коефіцієнт песимізму призначається близьким до одиниці. Якщо несприятливі зовнішні умови малоймовірні, використовується коефіцієнт песимізму, близький до нуля. Оцінки рішень знаходяться за такою формулою:
де a – коефіцієнт песимізму.
Найкращим є рішення з максимальною оцінкою:
Крім критеріїв оптимальності, які можна застосовувати при прийнятті рішення в умовах ризику та невизначеності, існує дуже відомий та поширений метод теорії ігор, що використовується в управлінській діяльності в умовах невизначеності.
4. Метод теорії ігор після прийняття рішень за умов невизначеності
При ухваленні рішень в умовах невизначеності дуже широко використовується метод теорії ігор. Теорія ігор – це математична теорія конфліктних ситуацій. Завдання цієї теорії - вироблення рекомендацій щодо раціонального образу дій учасників конфлікту. При цьому будують запитану модель конфліктної ситуації, яку називають грою. Під «грою» розуміють захід, що складається з низки дій чи «ходів». Від реальної конфліктної ситуації гра відрізняється тим, що ведеться за певними правилами. Сторони, що у конфлікті, називають гравцями, результат конфлікту - виграшем тощо.
Якщо у грі зіштовхуються інтереси двох сторін, то гра називається парною, якщо сторін більше – множинною. Множинна гра з двома постійними коаліціями звертає гру до парної. Найбільше практичного значення мають парні гри. Розглянемо кінцеву гру, в якій гравець має m стратегій, а гравець В - n стратегій. Така гра називається m x n. Стратегії, відповідно, позначимо: А1, А2, ..., Аm - для гравця А; Якщо гра складається тільки з особистих ходів, то вибір стратегій А i і В j гравцями однозначно визначає результат гри - наш виграш a ij Якщо відомі a ij для всіх поєднань стратегій, вони утворюють платіжну матрицю розміром m x п, де: m - число рядків матриці, а n - число його стовпців.
Принцип обережності, що диктує гравцям вибір відповідних стратегій (максимінної та мінімаксної), є в теорії ігор основним принципом і називається принципом мінімаксу. У платіжній матриці такої гри існує елемент, що є одночасно мінімальним у своєму рядку та максимальним у своєму стовпці. Такий елемент називають сідловою тонкою. У цьому значення v=ą=þ називають чистою ціною гри. У цьому випадку рішення гри (сукупність оптимальних стратегій гравців) має таку властивість: якщо один із гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то для іншого не може бути вигідним відхилятися від своєї оптимальної стратегії. Якщо верхня ціна гри не збігається з нижньою, то в цьому випадку варто говорити про гру у змішаних стратегіях. Змішаною S A називається застосування чистих стратегій А 1 ,А 2 ,…,А n з ймовірністю p 1 ,p 2 ,…,p n , а змішаною стратегією S B - застосування чистих стратегій B 1 ,B 2 ,…,B n з ймовірністю p 1 , p 2, ..., p m. Нехай гра має розмірність 2 на 2 і задається платіжною матрицею:
Для гравця А оптимальна стратегія матиме ймовірність:
;
; ціна гри 
Критерій Севіджа один із критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності. Умовами невизначеності вважається ситуація, коли наслідки прийнятих рішень невідомі, і можна лише їх оцінити. Для ухвалення рішення… … Вікіпедія
Критерій згоди Колмогорова- або Критерій згоди Колмогорова Смирнова статистичний критерій, що використовується для визначення того, чи підпорядковуються два емпіричні розподіли одному закону, чи того, чи підпорядковується отриманий розподіл передбачуваної моделі.
Вальда критерій- , Інше написання умов Уолда див. Економіко-математичний словник
Критерій згоди Пірсона- Критерій Пірсона, або критерій χ² (Хі квадрат) найчастіше вживаний критерій для перевірки гіпотези про закон розподілу. У багатьох практичних завданнях точний закон розподілу невідомий, тобто є гіпотезою, яка... Вікіпедія
Критерій Краскела- Уолліс призначений для перевірки рівності медіан кількох вибірок. Цей критерій є багатовимірним узагальненням критерію Вілкоксона Манна Уітні. Критерій Краскела Уолліса є ранговим, тому він інваріантний по відношенню до будь-якого ... Вікіпедія
Критерій Кохрена- Критерій Кохрена використовують для порівняння трьох і більше вибірок однакового обсягу. Розбіжність між дисперсіями вважається випадковою при вибраному рівні значущості, якщо: де квантиль випадкової величини при числі сумованих ... Вікіпедія
Критерій Лілієфорса- Статистичний критерій, названий на ім'я Х'юберта Ліллієфорса, професора статистики Університету Джорджа Вашингтона, що є модифікацією критерію Колмогорова-Смирнова. Використовується для перевірки нульової гіпотези про те, що вибірка… … Вікіпедія
Критерій Вілкоксона- Для покращення цієї статті бажано?: Знайти та оформити у вигляді виносок посилання на авторитетні джерела, що підтверджують написане. Додати ілюстрації. Т Кріт … Вікіпедія
Послідовний статистичний критерій- Послідовний статистичний критерій послідовна статистична процедура, що використовується для перевірки статистичних гіпотезв послідовному аналізі. Нехай спостереженню у статистичному експерименті доступна випадкова величиназ… … Вікіпедія
Тест Вальда- (англ. Wald test) статистичний тест, використовуваний перевірки обмежень на параметри статистичних моделей, оцінених з урахуванням вибіркових даних. Є одним із трьох базових тестів перевірки обмежень поряд із тестом… … Вікіпедія
Книги
- Теорія ймовірностей та математична статистика у завданнях: Більше 360 завдань та вправ, Борзих Д.. У запропонованому посібнику містяться завдання різного рівня складності. Проте основний акцент зроблено на завдання середньої складності. Це зроблено навмисне з тим, щоб спонукати студентів до… Купити за 443 руб
- Теорія ймовірностей та математична статистика у завданнях. Понад 360 завдань та вправ, Борзих Д.А.. У запропонованому посібнику містяться завдання різного рівня складності. Проте основний акцент зроблено на завдання середньої складності. Це зроблено навмисно для того, щоб спонукати студентів до…
Коротка теорія
Будь-яку господарську діяльність людини можна як гру з природою. У широкому значенні під природою розумітимемо сукупність невизначених факторів, що впливають на ефективність прийнятих рішень.
Управління будь-яким об'єктом здійснюється шляхом прийняття послідовності управлінських рішень. Для прийняття рішення необхідна інформація (сукупність відомостей про стан об'єкта управління та умови його роботи). У тих випадках, коли відсутня достатньо повна інформація, виникає невизначеність у ухваленні рішення. Причини цього можуть бути різні: потрібна для повного обґрунтування рішення інформація принципово не може бути отримана (непереборна невизначеність); інформація може бути отримана своєчасно, на момент прийняття рішення; витрати, пов'язані з отриманням інформації, надто високі. У міру вдосконалення засобів збору, передачі та обробки інформації невизначеність управлінських рішень буде зменшуватися. До цього треба прагнути. Існування непереборної невизначеності пов'язані з випадковим характером багатьох явищ. Наприклад, у торгівлі, випадковий характер зміни попиту унеможливлює його точне прогнозування, а, отже, і формування ідеально точного замовлення на поставку товару. Ухвалення рішення у разі пов'язані з ризиком. Приймання партії товару виходячи з вибіркового контролю також пов'язані з ризиком прийняття рішення за умов невизначеності. Невизначеність може бути знята шляхом повного контролю всієї партії, проте це може виявитися надто дорогим заходом. У сільському господарстві, наприклад, з метою одержання врожаю людина робить низку дії (орає землю, вносить добрива, бореться з бур'янами тощо). Остаточний результат (урожай) залежить від дій не тільки людини, а й природи (дощ, посуха, вечір тощо). З наведених прикладів видно, що повністю виключити невизначеність в управлінні економічною системою не можна, хоча, повторимо, цього потрібно прагнути. У кожному конкретному випадку слід брати до уваги рівень ризику при прийнятті управлінських рішень, по можливості максимально враховувати наявну інформацію з метою зменшення несприятливих наслідків, які можуть виникнути через помилкові рішення.
Дві сторони, що беруть участь у грі, називатимемо гравець I та гравець II. Кожен із гравців має у своєму розпорядженні кінцевий набір дій (чистих стратегій), які він може застосовувати в процесі гри. Гра має циклічний характер, що повторюється. Про кожен цикл гравці обирають одну зі своїх стратегій, що однозначно визначає платіж. Інтереси гравців протилежні. Гравець I намагається вести гру так, щоб платежі були якомога більшими. Для гравця II бажані якомога менші значення платежів (з урахуванням знака). Причому у кожному циклі виграш одного з гравців точно збігається з програшем іншого. Ігри такого типу називаються іграми з нульовою сумою.
Вирішити гру - значить визначити оптимальну поведінку гравців. Рішення ігор предмет теорії ігор. Оптимальна поведінка гравця є інваріантною щодо зміни всіх елементів платіжної матриці на деяку величину.
У загальному випадкувизначення оптимального поведінки гравців пов'язані з рішенням двоїстої пари завдань лінійного програмування. В окремих випадках можуть бути використані простіші методи. Часто платіжну матрицю вдається спростити шляхом видалення з неї рядків і стовпців, що відповідають домінованим стратегіям гравців, домінованою називається стратегія, всі платежі якої не кращі за відповідні платежі деякої іншої стратегії і хоча б один з платежів гірший за відповідний платеж цієї іншої стратегії, званої домінуючої.
У звичайній стратегічній грі беруть участь «розумні та антагоністичні» супротивники (протиборчі сторони). У таких іграх кожна зі сторін робить саме ті дії, які найвигідніші їй і менш вигідні противнику. Однак дуже часто невизначеність, що супроводжує деяку операцію, не пов'язана зі свідомою протидією противника, а залежить від якоїсь невідомої гравцеві I об'єктивної дійсності (природи). Такі ситуації прийнято називати іграми з природою. Гравець II - природа - теоретично статистичних ігор перестав бути розумним гравцем, оскільки сприймається як якась незацікавлена інстанція, яка обирає собі оптимальних стратегій. Можливі стани природи (її стратегії) реалізуються випадковим чином. У дослідженні операцій оперуючу сторону (гравця I) часто називають статистиком, а самі операції – іграми статистика з природою чи статистичними іграми.
Розглянемо ігрову постановку завдання ухвалення рішення за умов невизначеності. Нехай стороні, що оперує, необхідно виконати операцію в недостатньо відомій обстановці щодо станів якої можна зробити припущень. Ці припущення розглядатимемо як стратегії природи. Оперуюча сторона у своєму розпорядженні має можливі стратегії - . Виграші гравця I при кожній парі стратегій передбачаються відомими і задані платіжною матрицею.
Завдання полягає у визначенні такої стратегії (чистої або змішаної), яка при її застосуванні забезпечила б оперуючій стороні найбільший виграш.
Вище говорилося, що господарська діяльність людини може розглядатися як гра з природою. Основною особливістю природи як гравця є її не зацікавленість у виграші.
Аналіз матриці виграшів гри з природою починається з виявлення та відкидання дублюючих та свідомо невигідних стратегій особи, яка грає з природою. Що стосується стратегій природи, то жодну з них відкинути не можна, оскільки кожен із станів природи може наступити випадковим чином, незалежно від дій гравця I. Через те, що природа не протидіє гравцю I, може здатися, що гра з природою простіше стратегічної гри. Насправді, це не так. Протилежність інтересів гравців у стратегічній грі в певному сенсі ніби знімає невизначеність, чого не можна сказати про статистичну гру. Оперуючій стороні у грі з природою легше у тому відношенні, що вона швидше за все виграє більше, ніж у грі проти свідомого супротивника. Однак їй важче прийняти обґрунтоване рішення, оскільки у грі з природою невизначеність ситуації позначається значно сильнішою мірою.
Після спрощення платіжної матриці гри з природою доцільно не лише оцінити виграш за тієї чи іншої ігрової ситуації, але й визначити різницю між максимально можливим виграшем при даному станіприроди та виграшем, який буде отримано при застосуванні стратегії в тих самих умовах. Ця різниця в теорії ігор називається ризиком.
Природа змінює стан стихійно, зовсім не переймаючись результатом гри. В антагоністичній грі ми припускали, що гравці користуються оптимальними (у певному сенсі) змішаними стратегіями. Можна припустити, що природа застосовує, напевно, не оптимальну стратегію. Тоді яку? Якби існувала відповідь на це питання, то ухвалення рішення особою, яка приймає рішення (ЛПР), зводилося б до детермінованого завдання.
Якщо ймовірності станів природи відомі, то користуються критерієм Байєса, відповідно до якого оптимальною вважається чиста стратегія, за якої максимізується середній виграш:
Критерій Байєса припускає, що нам хоч і невідомі умови виконання операцій (стану природи), але відомі їх ймовірності.
За допомогою такого прийому завдання про вибір рішення в умовах невизначеності перетворюється на завдання про вибір рішення в умовах визначеності, тільки прийняте рішення є оптимальним не в кожному окремому випадку, а в середньому.
Якщо гравцеві є рівною мірою правдоподібними всі стани природи, то іноді вважають і, враховуючи, «принцип недостатньої підстави» Лапласа, оптимальною вважають чисту стратегію, яка забезпечує:
Якщо ж змішана стратегія природи невідома, то залежно від гіпотези про поведінку природи можна запропонувати низку підходів обгрунтування вибору рішення ЛПР. Свою оцінку характеру поведінки природи будемо характеризувати числом, яке можна пов'язувати зі ступенем активного «протидії» природи як гравця Значення відповідає найбільш песимістичному відношенню ЛПР у сенсі «сприяння» природи у досягненні найкращих господарських результатів. Значення відповідає найбільшому оптимізму ЛПР. Як відомо, у господарській діяльності зазначені крайнощі небезпечні. Швидше за все, доцільно виходити з деякого проміжного значення. У цьому випадку використовується критерій Гурвіца, згідно з яким найкращим рішенням ЛПР є чиста стратегія, яка відповідає умові:
Критерій Гурвіца (критерій «оптимізму-песимізму») дозволяє керуватися при виборі ризикового рішення в умовах невизначеності деяким середнім результатом ефективності, що знаходиться в полі між значеннями за критеріями «максимаксу» і «максиміна» (поле між цими значеннями пов'язане за допомогою опуклої лінійної функції).
Що стосується крайнього песимізму ЛПР зазначений критерій називається критерієм Вальда. Відповідно до цього критерію, найкращою вважається максимінна стратегія. Це критерій крайнього песимізму. За цим критерієм ЛПР вибирає ту стратегію, яка гарантує у найгірших умовах максимальний виграш:
Такий вибір відповідає найбільш боязкому поведінці ЛПР, що він передбачає найбільш, несприятливе поведінка природи, боїться великих втрат. Можна припустити, що вона не отримає великих виграшів. Згідно з критерієм Севіджа, слід обирати чисту стратегію відповідну умові:
де ризик.
Критерій Севіджа (критерій втрат від "мінімаксу") передбачає, що з усіх можливих варіантів "матриці рішень" вибирається та альтернатива, яка мінімізує розміри максимальних втрат за кожним із можливих рішень. З використанням цього критерію «матриця рішення» перетворюється на «матрицю ризику», у якій замість значень ефективності проставляються розміри втрат при різних варіантах розвитку подій.
Недоліком критеріїв Вальда, Севіджа та Гурвіца є суб'єктивна оцінкаповедінка природи. Хоча зазначені критерії і дають деяку логічну схему прийняття рішень, резонно все ж таки поставити питання: «А чому відразу не вибрати суб'єктивне рішення, замість того, щоб мати справу з різними критеріями?» Безсумнівно, визначення рішення щодо різним критеріямдопомагає ЛПР оцінити прийняте рішення з різних позицій та уникнути грубих помилок у господарській діяльності.
Приклад розв'язання задачі
Умова завдання
Після кількох років експлуатації обладнання може опинитися в одному із трьох станів:
- потрібен профілактичний ремонт;
- потрібна заміна окремих деталей та вузлів;
- потрібен капітальний ремонт.
Залежно від ситуації керівництво підприємства може ухвалити такі рішення:
Потрібно знайти оптимальне вирішення цієї проблеми за критерієм мінімізації витрат з урахуванням таких припущень:
| a | 4 | 6 | 9 | b | 5 | 3 | 7 | c | 20 | 15 | 6 | q | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Розв'язання задачі
Якщо виникли труднощі з вирішенням завдань, сайт сайт надає онлайн допомогу студентам за методами оптимальних рішень з контрольними або іспитами.
Гра парна, статистична. У грі беруть участь 2 гравці: керівництво підприємства та природа.
Під природою в даному випадкурозуміємо сукупність зовнішніх факторів, Які визначають стан обладнання.
Стратегія керівництва:
Відремонтувати обладнання самотужки
Викликати бригаду фахівців
Замінити обладнання новим
Стратегія природи - 3 можливі стани устаткування.
Потрібен профілактичний ремонт;
Слід замінити окремі деталі та вузли;
Потрібний капітальний ремонт.
Розрахунок платіжної матриці та матриці ризиків
Оскільки елементи матриці - витрати, то вважатимемо їх виграшними, але зі знаком мінус. Платіжна матриця:
| -4 | -6 | -9 | -9 | -5 | -3 | -7 | -7 | -20 | -15 | -6 | -20 | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Складаємо матрицю ризиків:
| -4-(-20)=16 | -6-(-15)=9 | -9-(-9)=0 | 16 | -5-(-20)=15 | -3-(-15)=12 | -7-(-9)=2 | 15 | -20-(-20)=0 | -15-(-15)=0 | -6-(-9)=3 | 3 |
Критерій Байєса
Визначаємо середні виграші:
За критерієм Байєса оптимальною є стратегія – викликати бригаду фахівців
Критерій Лапласа
Визначимо середні виграші:
За критерієм Лапласа оптимальною є стратегія – викликати бригаду фахівців
Критерій Вальда
За критерієм Вальда оптимальною є стратегія – викликати бригаду фахівців
Критерій Севіджа
За критерієм Севіджа оптимальною є стратегія – замінити обладнання на нове
Критерій Гурвіца
За критерієм Гурвіца оптимальною є стратегія – викликати бригаду фахівців
Відповідь
За всіма критеріями, крім критерію Севіджа, оптимальною є стратегія «Викликати бригаду фахівців». За критерієм Севіджа, який мінімізує ризики, оптимальна стратегія «Замінити обладнання новим».
Містить викладені в короткій та доступній формі теоретичні відомості про матричної грибез сідлової точки та способі зведення такого завдання до задачі лінійного програмування, для відшукання її вирішення у змішаних стратегіях. Наведено приклад розв'язання задачі.
Багатоканальна СМО з необмеженою чергою
Наведено необхідні теоретичні відомості та зразок розв'язання задачі на тему "Многоканальна система масового обслуговуванняз необмеженою чергою", детально розглянуто показники багатоканальної системимасового обслуговування (СМО) з очікуванням обслуговування - середня кількість каналів, зайнятих обслуговуванням заявки, довжина черги, ймовірність утворення черги, ймовірність вільного станусистеми, середній час очікування у черзі.
Критичний шлях, критичний час та інші параметри мережного графіка робіт
На прикладі розв'язання задачі розглянуто питання побудови мережевого графікаробіт, знаходження критичного шляху та критичного часу. Також показано обчислення параметрів та резервів подій та робіт - ранніх та пізніх термінів, загальних (повних) та приватних резервів.
