Dərs planı.
1. Təşkilati məqam.
2. Materialın təqdimatı.
3. Ev tapşırığı.
4. Dərsin yekunlaşdırılması.
Dərslər zamanı
I. Təşkilati məqam.
II. Materialın təqdimatı.
Motivasiya.
Həqiqi ədədlər çoxluğunun genişlənməsi həqiqi ədədlərə yeni ədədlərin (xəyali) əlavə edilməsindən ibarətdir. Bu ədədlərin tətbiqi həqiqi ədədlər çoxluğunda mənfi ədədin kökünün çıxarılmasının qeyri-mümkün olması ilə bağlıdır.
Konsepsiyanın təqdimatı kompleks ədəd.
Həqiqi ədədləri tamamladığımız xəyali ədədlər formada yazılır bi, Harada i xəyali vahiddir və i 2 = - 1.
Buna əsaslanaraq kompleks ədədin aşağıdakı tərifini əldə edirik.
Tərif. Kompleks ədəd formanın ifadəsidir a+bi, Harada a Və b- real ədədlər. Bu halda, aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilir:
a) İki mürəkkəb ədəd a 1 + b 1 i Və a 2 + b 2 i yalnız və yalnız o halda bərabərdir a 1 = a 2, b 1 = b 2.
b) Kompleks ədədlərin toplanması qayda ilə müəyyən edilir:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Kompleks ədədlərin vurulması qayda ilə müəyyən edilir:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Cəbri forma kompleks ədəd.
Kompleks ədədin formada yazılması a+bi kompleks ədədin cəbri forması adlanır, burada A- real hissə, bi xəyali hissədir və b- real rəqəm.
Kompleks nömrə a+bi onun həqiqi və xəyali hissələri sıfıra bərabər olarsa, sıfıra bərabər hesab olunur: a = b = 0
Kompleks nömrə a+bi saat b = 0 həqiqi ədədlə eyni hesab edilir a: a + 0i = a.
Kompleks nömrə a+bi saat a = 0 sırf xəyali adlanır və işarə olunur bi: 0 + bi = bi.
İki mürəkkəb ədəd z = a + bi Və = a – bi, yalnız xəyali hissənin işarəsi ilə fərqlənənlər qoşma adlanır.
Cəbri formada kompleks ədədlər üzərində əməliyyatlar.
Cəbri formada kompleks ədədlər üzərində aşağıdakı əməliyyatları yerinə yetirə bilərsiniz.
1) Əlavə.
Tərif. Kompleks ədədlərin cəmi z 1 = a 1 + b 1 i Və z 2 = a 2 + b 2 i kompleks ədəd adlanır z, həqiqi hissəsi həqiqi hissələrin cəminə bərabərdir z 1 Və z 2, xəyali hissə isə ədədlərin xəyali hissələrinin cəmidir z 1 Və z 2, yəni z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Nömrələri z 1 Və z 2 terminlər adlanır.
Kompleks ədədlərin toplanması aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
1º. Kommutativlik: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Assosiativlik: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Kompleks nömrə –a –bi mürəkkəb ədədin əksi adlanır z = a + bi. Kompleks ədəd, kompleks ədədin əksi z, işarələnmişdir -z. Kompleks ədədlərin cəmi z Və -z sıfıra bərabərdir: z + (-z) = 0
Nümunə 1: Əlavə edin (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Çıxarma.
Tərif. Kompleks ədəddən çıxın z 1 kompleks ədəd z 2 z, Nə z + z 2 = z 1.
Teorem. Kompleks ədədlər arasındakı fərq mövcuddur və unikaldır.
Misal 2: Çıxarma əməliyyatını yerinə yetirin (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Vurma.
Tərif. Kompleks ədədlərin hasili z 1 =a 1 +b 1 i Və z 2 =a 2 +b 2 i kompleks ədəd adlanır z, bərabərliklə müəyyən edilir: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Nömrələri z 1 Və z 2 amillər adlanır.
Kompleks ədədlərin vurulması aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
1º. Kommutativlik: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Assosiativlik: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Əlavəyə nisbətən vurmanın paylanması:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- real rəqəm.
Təcrübədə mürəkkəb ədədlərin vurulması cəminin cəminə vurulması və həqiqi və xəyali hissələrin ayrılması qaydasına əsasən həyata keçirilir.
Aşağıdakı misalda mürəkkəb ədədləri iki yolla vurmağı nəzərdən keçirəcəyik: qayda ilə və cəmini cəmlə vurmaqla.
Nümunə 3: Çoxalmanı yerinə yetirin (2 + 3i) (5 – 7i).
1 yol. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.
Metod 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Bölmə.
Tərif. Kompleks ədədi bölün z 1 kompleks ədədə z 2, belə mürəkkəb ədədi tapmaq deməkdir z, Nə z z 2 = z 1.
Teorem. Mürəkkəb ədədlərin nisbəti mövcuddur və unikaldırsa z 2 ≠ 0 + 0i.
Təcrübədə mürəkkəb ədədlərin payı və məxrəci məxrəcin qoşmasına vurmaqla tapılır.
Qoy z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Sonra
.
Aşağıdakı misalda düsturdan və məxrəcə birləşdirilən ədədə vurma qaydasından istifadə edərək bölməni həyata keçirəcəyik.
Misal 4. Hissəni tapın 
.
5) Müsbət bütöv bir gücə yüksəltmək.
a) Xəyali vahidin səlahiyyətləri.
Bərabərlikdən istifadə etmək i 2 = -1, xəyali vahidin istənilən müsbət tam gücünü təyin etmək asandır. Bizdə:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = mən 2 i 2 = 1,
i 5 = mən 4 i = i,
i 6 = mən 4 i 2 = -1,
i 7 = mən 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 və s.
Bu dərəcə dəyərləri göstərir mən n, Harada n– göstərici artdıqca vaxtaşırı təkrarlanan müsbət tam ədəd 4 .
Buna görə də sayını artırmaq i müsbət bütöv gücə, biz eksponenti bölmək lazımdır 4 və qurmaq i eksponenti bölmənin qalan hissəsinə bərabər olan gücə.
Misal 5: Hesablayın: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) Mürəkkəb ədədi müsbət tam ədədə yüksəltmək binomialı müvafiq dərəcəyə qaldırmaq qaydasına uyğun olaraq həyata keçirilir, çünki o, xüsusi hal eyni mürəkkəb amillərin çarpılması.
Misal 6: Hesablayın: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Kompleks ədədlər həqiqi ədədlər çoxluğunun uzantısıdır və adətən ilə işarələnir. İstənilən mürəkkəb ədəd formal cəmi kimi təqdim edilə bilər, burada və real ədədlərdir və xəyali vahiddir.
Kompleks ədədin , , şəklində yazılması mürəkkəb ədədin cəbri forması adlanır.
Kompleks ədədlərin xassələri. Kompleks ədədin həndəsi şərhi.
Cəbri formada verilmiş kompleks ədədlər üzərində hərəkətlər:
Hansı qaydalara baxaq arifmetik əməliyyatlar kompleks ədədlər üzərində.
Əgər α = a + bi və β = c + di iki kompleks ədəd verilmişdirsə, onda
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (on bir)
Bu, iki sıralı həqiqi ədəd cütünün toplama və çıxma əməliyyatlarının tərifindən irəli gəlir (bax: düsturlar (1) və (3)). Kompleks ədədlərin toplanması və çıxılması qaydalarını almışıq: iki mürəkkəb ədədi toplamaq üçün onların həqiqi hissələrini və müvafiq olaraq xəyal hissələrini ayrıca toplamaq lazımdır; Bir mürəkkəb ədəddən digərini çıxmaq üçün onların müvafiq olaraq həqiqi və xəyal hissələrini çıxmaq lazımdır.
– α = – a – bi ədədinə α = a + bi ədədinin əksi deyilir. Bu iki ədədin cəmi sıfırdır: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
Mürəkkəb ədədlərin vurulması qaydasını əldə etmək üçün (6) düsturundan, yəni i2 = -1 faktından istifadə edirik. Bu əlaqəni nəzərə alaraq (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, yəni.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
Bu düstur həqiqi ədədlərin sifarişli cütlərinin vurulmasını təyin edən (2) düsturuna uyğundur.
Qeyd edək ki, iki mürəkkəb qoşa ədədin cəmi və hasili həqiqi ədədlərdir. Həqiqətən, α = a + bi, = a – bi olarsa, onda α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, yəni.
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
İki mürəkkəb ədədi cəbri formada bölərkən, bölmənin eyni tipli ədədlə də ifadə olunduğunu gözləmək lazımdır, yəni α/β = u + vi, burada u, v R. Kompleks ədədlərin bölünməsi qaydasını çıxaraq. . α = a + bi, β = c + di ədədləri verilsin və β ≠ 0, yəni c2 + d2 ≠ 0. Son bərabərsizlik o deməkdir ki, c və d eyni vaxtda yox olmur (c = 0 olduqda hal istisna edilir. , d = 0). (12) və ikinci (13) bərabərliklərinin düsturunu tətbiq edərək tapırıq:
Beləliklə, iki mürəkkəb ədədin nisbəti düsturla müəyyən edilir:
(4) düsturuna uyğundur.
β = c + di ədədi üçün alınan düsturdan istifadə edərək, onun tərs ədədi β-1 = 1/β tapa bilərsiniz. (14) düsturunda a = 1, b = 0 fərz etsək, alırıq
Bu düstur sıfırdan fərqli verilmiş kompleks ədədin tərsini təyin edir; bu rəqəm də mürəkkəbdir.
Məsələn: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
Cəbri formada kompleks ədədlər üzərində əməliyyatlar.
55. Kompleks ədədin arqumenti. Kompleks ədədin yazılmasının triqonometrik forması (törəmə).
Arg.com.nömrələri. – həqiqi X oxunun müsbət istiqaməti ilə verilmiş ədədi təmsil edən vektor arasında.
Triqon düsturu. Nömrələri: ,
Kompleks ədədin yazılmasının cəbri forması................................................ ......... ................... | |||
Kompleks ədədlər müstəvisi................................................. ................................................................ .......................................... | |||
Mürəkkəb qoşa ədədlər...................................... ................................................................ .......................... | |||
Cəbri formada kompleks ədədlərlə əməliyyatlar...................................... ......... .... | |||
Kompleks ədədlərin toplanması................................................. ................................................................ ................. | |||
Kompleks ədədlərin çıxılması ................................................. ................................................................ ...................... | |||
Kompleks ədədlərin vurulması................................................. ................................................................ ................... | |||
Kompleks ədədlərin bölünməsi................................................. ................................................................ .......................... ... | |||
Kompleks ədədin yazılışının triqonometrik forması................................................ ......... ......... | |||
Triqonometrik formada kompleks ədədlərlə əməliyyatlar...................................... ......... | |||
Kompleks ədədlərin triqonometrik formada vurulması...................................... ......... | |||
Kompleks ədədlərin triqonometrik formada bölünməsi................................................... ............ | |||
Kompleks ədədi müsbət tam ədədə yüksəltmək...................................... ............ | |||
Mürəkkəb ədəddən müsbət tam dərəcənin kökünün çıxarılması...................................... | |||
Kompleks ədədi rasional gücə çatdırmaq................................................ ...................... | |||
Mürəkkəb sıra................................................................ ................................................................ ......... ................................... | |||
Mürəkkəb ədədlər silsiləsi................................................. ................................................................ .......................... | |||
Mürəkkəb müstəvidə güc seriyaları...................................... ...... ................................. | |||
İkitərəfli güc seriyası mürəkkəb müstəvidə................................................. ...... | |||
Kompleks dəyişənin funksiyaları................................................. ....... ................................................... | |||
Əsas elementar funksiyalar.............................................. ................................................................................ . | |||
Eyler düsturları................................................. ................................................................ ......... ................................... | |||
Kompleks ədədi təmsil etməyin eksponensial forması................................................ ................................ . | |||
Triqonometrik və hiperbolik funksiyalar arasında əlaqə................................... | |||
Loqarifmik funksiya................................................. ................................................................ ............ | |||
Ümumi eksponensial və ümumi güc funksiyaları........................................... ...... .............. | |||
Mürəkkəb dəyişənin funksiyalarının diferensiallaşdırılması................................................... ............ | |||
Koşi-Riman şərtləri................................................. ................................................................ ............ ............ | |||
Törəmənin hesablanması üçün düsturlar...................................... ....... ................................... | |||
Fərqləndirmə əməliyyatının xassələri................................................. ................................................................ | |||
Analitik funksiyanın həqiqi və xəyali hissələrinin xassələri................................... | |||
Mürəkkəb dəyişənin funksiyasının real və ya xəyali funksiyasından yenidən qurulması |
|||
Metod №1. Əyri inteqraldan istifadə................................................. ...... ....... | |||
Metod № 2. Koşi-Riman şərtlərinin birbaşa tətbiqi...................................... | |||
Metod № 3. Axtarılan funksiyanın törəməsi vasitəsilə...................................... ......... ......... | |||
Mürəkkəb dəyişənin funksiyalarının inteqrasiyası................................................... ......... ......... | |||
İnteqral Koşi düsturu................................................. ................................................................ ............ | |||
Taylor və Laurent silsiləsində funksiyaların genişləndirilməsi...................................... ...................... ........................... | |||
Mürəkkəb dəyişənin funksiyasının sıfırları və tək nöqtələri...................................... ............. ...... | |||
Mürəkkəb dəyişən funksiyasının sıfırları...................................... ...................... ................................ | |||
Mürəkkəb dəyişənin funksiyasının təcrid olunmuş tək nöqtələri...................................... | |||
14.3 Mürəkkəb dəyişənin funksiyasının tək nöqtəsi kimi sonsuzluq nöqtəsi
Çıxışlar................................................. ....... ................................................. ................................................................ ... | |||
Son nöqtədə çıxılma................................................. ...... ................................................. ............ ...... | |||
Sonsuzluqda bir nöqtədə funksiyanın qalığı...................................... ............ ............... | |||
Qalıqlardan istifadə edərək inteqralların hesablanması................................................ ....... ........................... | |||
Özünü test sualları............................................... ................................................................ .......................... ....... | |||
Ədəbiyyat.................................................. ................................................................ ................................................ | |||
Mövzu indeksi................................................. ................................................................ ...... .............. | |||
Ön söz
İmtahanın və ya modulun sertifikatlaşdırılmasının nəzəri və praktik hissələrinə hazırlaşarkən vaxt və səyləri düzgün bölüşdürmək olduqca çətindir, xüsusən də sessiya zamanı həmişə kifayət qədər vaxt olmadığı üçün. Təcrübə göstərir ki, hər kəs bunun öhdəsindən gələ bilməz. Nəticədə imtahan zamanı bəzi tələbələr problemləri düzgün həll edir, lakin ən sadəinə cavab verməkdə çətinlik çəkirlər nəzəri məsələlər, digərləri isə teoremi tərtib edə bilər, lakin tətbiq edə bilmir.
“Mürəkkəb dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi” (TFCP) kursunda imtahana hazırlaşmaq üçün bu təlimatlar bu ziddiyyəti həll etmək və kursun nəzəri və praktiki materialının eyni vaxtda təkrarlanmasını təmin etmək cəhdidir. “Təcrübəsiz nəzəriyyə ölüdür, nəzəriyyəsiz təcrübə kordur” prinsipini rəhbər tutaraq, onlar həm təriflər və tərtibatlar səviyyəsində kursun nəzəri müddəalarını, həm də hər bir nəzəri mövqeyin tətbiqini təsvir edən nümunələri ehtiva edir və bununla da onun yadda saxlanması və başa düşülməsi.
Təklif olunan məqsəd metodoloji tövsiyələr– tələbəyə imtahana əsas səviyyədə hazırlaşmağa kömək edin. Başqa sözlə, TFKP kursu üzrə dərslərdə istifadə olunan və icra zamanı zəruri olan əsas məqamları özündə əks etdirən genişləndirilmiş iş kitabçası tərtib edilmişdir. ev tapşırığı və nəzarət tədbirlərinə hazırlıq. Bundan başqa müstəqil iş Tələbələr üçün bu elektron təhsil nəşrindən dərslər keçirilərkən istifadə edilə bilər interaktiv forma elektron lövhədən istifadə etməklə və ya distant təhsil sisteminə yerləşdirmək üçün.
Nəzərə alın ki, bu əsər nə dərslikləri, nə də mühazirə qeydlərini əvəz etmir. Materialın dərindən öyrənilməsi üçün MSTU tərəfindən nəşr olunan müvafiq bölmələrə müraciət etmək tövsiyə olunur. N.E. Bauman əsas dərslik.
Təlimatın sonunda tövsiyə olunan ədəbiyyatın siyahısı və mətndə vurğulanan hər şeyi özündə əks etdirən mövzu indeksi var. qalın kursivşərtlər. İndeks bu terminlərin ciddi şəkildə müəyyən edildiyi və ya təsvir edildiyi və istifadəsini göstərmək üçün misalların verildiyi bölmələrə hiperlinklərdən ibarətdir.
Dərs vəsaiti MDTU-nun bütün fakültələrinin 2-ci kurs tələbələri üçün nəzərdə tutulub. N.E. Bauman.
1. Kompleks ədədin yazılmasının cəbri forması
z = x + iy formasının qeydi, burada x,y həqiqi ədədlərdir, i xəyali vahiddir (yəni i 2 = − 1)
z kompleks ədədinin yazılmasının cəbri forması adlanır. Bu halda x kompleks ədədin həqiqi hissəsi adlanır və Re z (x = Re z), y kompleks ədədin xəyal hissəsi adlanır və Im z (y = Im z) ilə işarələnir.
Misal. z = 4− 3i kompleks ədədinin həqiqi hissəsi Rez = 4, xəyali hissəsi isə Imz = − 3 olur.
2. Kompleks say müstəvisi
IN kompleks dəyişənin funksiyaları nəzəriyyələri nəzərdən keçirilirmürəkkəb ədəd müstəvisi z, w və s. mürəkkəb ədədləri bildirən hərflərlə və ya hərflərlə işarələnən .
Kompleks müstəvinin üfüqi oxu deyilir real ox, üzərinə z = x + 0i = x həqiqi ədədləri yerləşdirilmişdir.
Kompleks müstəvinin şaquli oxuna xəyali ox deyilir;
3. Mürəkkəb qoşa ədədlər
z = x + iy və z = x − iy ədədləri adlanır mürəkkəb birləşmə. Mürəkkəb müstəvidə onlar real oxa simmetrik olan nöqtələrə uyğun gəlir.
4. Cəbri formada kompleks ədədlərlə əməliyyatlar
4.1 Kompleks ədədlərin toplanması
İki mürəkkəb ədədin cəmi | z 1= x 1+ iy 1 | və z 2 = x 2 + iy 2 kompleks ədəd adlanır |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | əməliyyat | əlavə |
||||||||||
mürəkkəb ədədlər cəbri binomialların toplanması əməliyyatına bənzəyir. | |||||||||||||
Misal. İki kompleks ədədin cəmi z 1 = 3+ 7i və z 2 | = −1 +2 i | kompleks ədəd olacaq |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Aydındır ki, | məbləği hərtərəfli şəkildə | qoşma | edir | real | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Kompleks ədədlərin çıxılması | |||||||||||||
İki kompleks ədədin fərqi z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | çağırdı | hərtərəfli |
||||||||||
z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Misal. İki mürəkkəb ədədin fərqi | z 1 =3 −4 i | və z 2 | = −1 +2 i | hərtərəfli olacaq |
|||||||||
z ədədi 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Fərqinə görə | mürəkkəb birləşmə | edir | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Kompleks ədədlərin vurulması | |||||||||||||
İki kompleks ədədin hasili | z 1= x 1+ iy 1 | və z 2= x 2+ iy 2 | kompleks adlanır |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Beləliklə, mürəkkəb ədədlərin vurulması əməliyyatı i 2 = − 1 faktını nəzərə alaraq cəbri binomların vurulması əməliyyatına bənzəyir.
Səhifə 2/3
Kompleks ədədin cəbri forması.
Kompleks ədədlərin toplama, çıxma, vurma və bölmə.
Biz artıq mürəkkəb ədədin cəbri forması ilə tanış olmuşuq - bu, mürəkkəb ədədin cəbri formasıdır. Niyə forma haqqında danışırıq? Məsələ burasındadır ki, kompleks ədədlərin triqonometrik və eksponensial formaları da var ki, bunlardan növbəti paraqrafda bəhs ediləcək.
Kompleks ədədlərlə əməliyyatlar xüsusilə çətin deyil və adi cəbrdən çox da fərqlənmir.
Kompleks ədədlərin toplanması
Misal 1
İki mürəkkəb ədəd əlavə edin,
İki mürəkkəb ədədi toplamaq üçün onların həqiqi və xəyali hissələrini əlavə etməlisiniz:
Sadə, elə deyilmi? Hərəkət o qədər aydındır ki, əlavə şərhə ehtiyac yoxdur.
Bu sadə üsulla istənilən sayda şərtlərin cəmini tapa bilərsiniz: həqiqi hissələri cəmləyin və xəyali hissələri cəmləyin.
Kompleks ədədlər üçün birinci sinif qaydası etibarlıdır: 
– şərtlərin yenidən təşkili məbləği dəyişmir.
Kompleks ədədlərin çıxılması
Misal 2
Kompleks ədədlər arasındakı fərqləri tapın və əgər ,
Hərəkət əlavə etməyə bənzəyir, yeganə xüsusiyyət ondan ibarətdir ki, çıxarma mötərizədə qoyulmalı və sonra mötərizələr işarə dəyişikliyi ilə standart şəkildə açılmalıdır:
Nəticə çaşdırıcı olmamalıdır. Sadəcə olaraq həqiqi hissə birləşmədir: . Aydınlıq üçün cavabı aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar: .
İkinci fərqi hesablayaq:
Burada əsl hissə də kompozitdir:
Hər hansı bir az ifadə etməmək üçün verəcəm qısa misal“pis” xəyali hissə ilə: . Burada artıq mötərizəsiz edə bilməzsiniz.
Kompleks ədədlərin vurulması
Sizi məşhur bərabərliklə tanış etməyin vaxtı gəldi:
Misal 3
Kompleks ədədlərin hasilini tapın,
Aydındır ki, əsər belə yazılmalıdır:
Bu nə təklif edir? Çoxhədlilərin vurulması qaydasına uyğun olaraq mötərizənin açılmasını xahiş edir. Bunu etməlisən! Bütün cəbri əməliyyatlar sizə tanışdır, əsas odur ki, bunu xatırlayın və diqqətli olun.
Çoxhədliləri çoxaltmaq üçün məktəb qaydasını təkrarlayaq: Çoxhədli çoxhədliyə vurmaq üçün bir çoxhədlinin hər bir üzvünü digər çoxhədlinin hər üzvünə vurmaq lazımdır.
Bunu ətraflı yazacam:
Ümid edirəm ki, hamıya aydın oldu
Diqqət və yenə diqqət, əksər hallarda işarələrdə səhvlərə yol verilir.
Cəm kimi, mürəkkəb ədədlərin hasili dəyişdirilə biləndir, yəni bərabərlik doğrudur: .
IN tədris ədəbiyyatı və İnternetdə mürəkkəb ədədlərin məhsulunu hesablamaq üçün xüsusi düstur tapmaq asandır. İstəyirsinizsə istifadə edin, amma mənə elə gəlir ki, çoxhədlilərin vurulması ilə yanaşma daha universal və aydındır. Düsturu verməyəcəyəm, düşünürəm ki, daxil bu halda- Bu, başınızı yonqarla doldurur.
Kompleks ədədlərin bölünməsi
Misal 4
Verilmiş mürəkkəb ədədlər, . Kəmiyyəti tapın.
Gəlin bir nisbət yaradaq:
Rəqəmlərin bölünməsi həyata keçirilir məxrəc və payı məxrəcin qoşma ifadəsinə vurmaqla.
Saqqallı düsturu xatırlayaq və məxrəcimizə baxaq: . Məxrəcdə artıq var, ona görə də bu halda qoşma ifadə , yəni
Qaydaya görə, məxrəc ilə vurulmalı və heç bir şey dəyişməməsi üçün pay eyni ədədə vurulmalıdır:
Bunu ətraflı yazacam:
Mən "yaxşı" bir nümunə seçdim: iki ədədi "sıfırdan" götürsəniz, bölmə nəticəsində demək olar ki, həmişə kəsr alacaqsınız, məsələn.
Bəzi hallarda, kəsri bölməzdən əvvəl onu sadələşdirmək məsləhət görülür, məsələn, ədədlərin nisbətini nəzərdən keçirin: . Bölmədən əvvəl lazımsız minuslardan qurtuluruq: say və məxrəcdə mənfiləri mötərizədə çıxarırıq və bu minusları azaldırıq: 
. Problemləri həll etməyi sevənlər üçün düzgün cavab budur:
Nadir hallarda, lakin aşağıdakı vəzifə baş verir:
Misal 5
Kompleks ədəd verilmişdir. Bu ədədi cəbri formada (yəni formada) yazın.
Texnika eynidir - məxrəc və payı məxrəcə birləşdirici ifadə ilə vururuq. Formula yenidən baxaq. Məxrəcdə artıq var, ona görə də məxrəc və pay birləşdirici ifadə ilə vurulmalıdır, yəni:
Praktikada onlar asanlıqla mürəkkəb nömrələrlə bir çox əməliyyatlar yerinə yetirməli olduğunuz mürəkkəb bir nümunə təklif edə bilərlər. Çaxnaşma yoxdur: ehtiyatlı ol, cəbr qaydalarına, adi cəbri prosedura əməl edin və bunu unutmayın.
Kompleks ədədin triqonometrik və eksponensial forması
Bu paraqrafda daha çox şey var danışarıq kompleks ədədin triqonometrik forması haqqında. Nümayiş formasında praktiki tapşırıqlarçox az rast gəlinir. Triqonometrik cədvəlləri yükləməyi və mümkünsə çap etməyi tövsiyə edirəm, metodik material səhifəsində tanış ola bilərsiniz Riyazi düsturlar və masalar. Masalar olmadan uzağa getmək olmaz.
İstənilən kompleks ədəd (sıfırdan başqa) triqonometrik formada yazıla bilər: 
, O haradadır kompleks ədədin modulu, A - kompleks ədəd arqumenti. Qaçmayaq, hər şey göründüyündən də sadədir.
Gəlin ədədi kompleks müstəvidə təmsil edək. İzahın dəqiqliyi və sadəliyi üçün onu birinci koordinat kvadrantına yerləşdirəcəyik, yəni. inanırıq ki:
Kompleks ədədin modulu mürəkkəb müstəvidə başlanğıcdan müvafiq nöqtəyə qədər olan məsafədir. Sadəcə qoymaq, modul uzunluqdur rəsmdə qırmızı ilə göstərilən radius vektoru.
Kompleks ədədin modulu adətən aşağıdakılarla işarələnir: və ya
Pifaqor teoremindən istifadə edərək kompleks ədədin modulunu tapmaq üçün düstur əldə etmək asandır: . Bu formulaədalətli hər hansı üçün“a” və “olmaq” mənalarını verir.
Qeyd: Kompleks ədədin modulu anlayışın ümumiləşdirilməsidir həqiqi ədədin modulu, bir nöqtədən başlanğıca qədər olan məsafə kimi.
Kompleks ədədin arqumentiçağırdı künc arasında müsbət yarımox həqiqi ox və başlanğıcdan müvafiq nöqtəyə çəkilmiş radius vektoru. Arqument üçün müəyyən edilməyib tək: .
Sözügedən prinsip əslində buna bənzəyir qütb koordinatları, burada qütb radiusu və qütb bucağı nöqtəni unikal şəkildə müəyyənləşdirir.
Mürəkkəb ədədin arqumenti standart olaraq işarələnir: və ya
Həndəsi mülahizələrdən arqumenti tapmaq üçün aşağıdakı düsturu əldə edirik:
. Diqqət! Bu düstur yalnız sağ yarım müstəvidə işləyir! Kompleks nömrə 1-ci və ya 4-cü koordinat kvadrantında yerləşmirsə, düstur bir qədər fərqli olacaq. Bu halları da təhlil edəcəyik.
Ancaq əvvəlcə kompleks ədədlərin koordinat oxlarında yerləşdiyi ən sadə nümunələrə baxaq.
Misal 7
Gəlin rəsm çəkək:
Əslində, tapşırıq şifahidir. Aydınlıq üçün kompleks ədədin triqonometrik formasını yenidən yazacağam: 
Möhkəm xatırlayaq, modul - uzunluq(həmişə mənfi olmayan), arqumentdir künc.
1) Ədədi triqonometrik formada təqdim edək. Onun modulunu və arqumentini tapaq. Aydındır ki. Formuladan istifadə edərək formal hesablama: .
Aydındır ki, (rəqəm birbaşa real müsbət yarımox üzərindədir). Beləliklə, triqonometrik formada ədəd: 
.
Əks yoxlama hərəkəti gün kimi aydındır:
2) Ədədi triqonometrik formada təmsil edək. Onun modulunu və arqumentini tapaq. Aydındır ki. Formuladan istifadə edərək formal hesablama: .
Aydındır ki, (və ya 90 dərəcə). Rəsmdə künc qırmızı rənglə göstərilmişdir. Beləliklə, triqonometrik formada ədəd: 
.
Dəyərlər cədvəlindən istifadə triqonometrik funksiyalar, ədədin cəbri formasını geri qaytarmaq asandır (eyni zamanda yoxlama apararaq):
3) Ədədi triqonometrik formada təmsil edək. Onun modulunu və arqumentini tapaq. Aydındır ki. Formuladan istifadə edərək formal hesablama: .
Aydındır ki, (və ya 180 dərəcə). Rəsmdə künc mavi rənglə göstərilmişdir. Beləliklə, triqonometrik formada ədəd: 
.
İmtahan:
4) Və dördüncü maraqlı hal. Ədədi triqonometrik formada təmsil edək. Onun modulunu və arqumentini tapaq. Aydındır ki. Formuladan istifadə edərək formal hesablama: .
Arqument iki şəkildə yazıla bilər: Birinci yol: (270 dərəcə) və müvafiq olaraq: 
. İmtahan:
Bununla belə, aşağıdakı qayda daha standartdır: Bucaq 180 dərəcədən çox olarsa, sonra mənfi işarəsi və bucağın əks istiqaməti (“sürüşmə”) ilə yazılır: (mənfi 90 dərəcə), bucaq rəsmdə qeyd olunur. yaşıl. Bunu görmək asandır və eyni açıdır.
Beləliklə, giriş formasını alır: 
Diqqət! Heç bir halda kosinusun paritetindən, sinusun qəribəliyindən istifadə etməməli və qeydi daha da “sadələşdirməməlisiniz”:
Yeri gəlmişkən, xatırlamaqda fayda var görünüş triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyaların xassələri, istinad materialları səhifənin son paraqraflarındadır. Əsasın qrafikləri və xassələri elementar funksiyalar . Və mürəkkəb ədədlər daha asan öyrəniləcək!
Ən sadə misalların tərtibatında yazılmalıdır: “modulun bərabər olduğu aydındır... arqumentin bərabər olduğu aydındır...”. Bu, həqiqətən aydındır və şifahi şəkildə həll etmək asandır.
Daha ümumi halları nəzərdən keçirməyə davam edək. Artıq qeyd etdiyim kimi, modulda heç bir problem yoxdur, həmişə formuladan istifadə etməlisiniz; Ancaq arqumenti tapmaq üçün düsturlar fərqli olacaq, nömrənin hansı koordinat rübündə yerləşməsindən asılıdır. Bu vəziyyətdə üç seçim mümkündür (onları notebookunuza köçürmək faydalıdır):
1) Əgər (1-ci və 4-cü koordinat rübləri və ya sağ yarım müstəvi) olarsa, arqument düsturdan istifadə etməklə tapılmalıdır.
2) Əgər (2-ci koordinat rübü), onda arqument düsturdan istifadə etməklə tapılmalıdır 
.
3) Əgər (3-cü koordinat rübü), onda arqument düsturdan istifadə etməklə tapılmalıdır 
.
Misal 8
Kompleks ədədləri triqonometrik formada təmsil edin: , , , .
Hazır düsturlar olduğundan, rəsmi tamamlamaq lazım deyil. Ancaq bir məqam var: sizdən bir ədədi triqonometrik formada təmsil etməyiniz xahiş edildikdə, o zaman Hər halda rəsm çəkmək daha yaxşıdır. Fakt budur ki, rəsmsiz bir həll tez-tez müəllimlər tərəfindən rədd edilir, bir rəsmin olmaması mənfi və uğursuzluq üçün ciddi bir səbəbdir;
Eh, mən yüz ildir əl ilə heç nə çəkməmişəm, bax:
Həmişə olduğu kimi, bir az çirkli oldu =)
Rəqəmləri təqdim edəcəyəm və kompleks formada birinci və üçüncü nömrələr müstəqil həll üçün olacaq.
Ədədi triqonometrik formada təqdim edək. Onun modulunu və arqumentini tapaq.
