a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Həll. axtarırlar ümumi qərar tənliklər sistemləri

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauss üsulu. Bunun üçün bu homojen sistemi koordinatlarda yazırıq:

Sistem matrisi

İcazə verilən sistemin forması var: (r A = 2, n= 3). Sistem kooperativ və qeyri-müəyyəndir. Onun ümumi həlli ( x 2 – sərbəst dəyişən): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o =. Məsələn, sıfırdan fərqli bir xüsusi həllin olması vektorların olduğunu göstərir a 1 , a 2 , a 3 xətti asılıdır.

Misal 2.

olub olmadığını öyrənin bu sistem xətti asılı və ya xətti müstəqil vektorlar:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Həll. Homojen tənliklər sistemini nəzərdən keçirək a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

və ya genişləndirilmiş formada (koordinatlarla)

Sistem homojendir. Qeyri-degenerativdirsə, o zaman onun unikal həlli var. Nə vaxt homojen sistem– sıfır (mənasız) həll. Bu o deməkdir ki, bu halda vektorlar sistemi müstəqildir. Əgər sistem pozulmuşdursa, o, sıfırdan fərqli həllərə malikdir və buna görə də asılıdır.

Sistemi degenerasiya üçün yoxlayırıq:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistem qeyri-degenerasiya və deməli vektorlardır a 1 , a 2 , a 3 xətti müstəqil.

Tapşırıqlar. Verilmiş vektorlar sisteminin xətti asılı və ya xətti müstəqil olduğunu öyrənin:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Sübut edin ki, vektorlar sistemi o halda xətti asılı olacaq:

a) iki bərabər vektor;

b) iki mütənasib vektor.

Tapşırıq 1. Vektorlar sisteminin xətti müstəqil olub olmadığını öyrənin. Vektorlar sistemi, sütunları vektorların koordinatlarından ibarət olan sistemin matrisi ilə müəyyən ediləcək.

.

Həll. Xətti birləşməyə icazə verin sıfıra bərabərdir. Bu bərabərliyi koordinatlarda yazsaq, alırıq aşağıdakı sistem tənliklər:

.

Belə tənliklər sisteminə üçbucaq deyilir. Onun yalnız bir həlli var . Buna görə vektorlar xətti müstəqil.

Tapşırıq 2. Vektorlar sisteminin xətti müstəqil olub olmadığını öyrənin.

.

Həll. Vektorlar xətti müstəqildir (1-ci məsələyə bax). Sübut edək ki, vektor vektorların xətti birləşməsidir . Vektor genişlənmə əmsalları tənliklər sistemindən müəyyən edilir

.

Bu sistem, üçbucaqlı sistem kimi, unikal həll yoluna malikdir.

Buna görə vektorlar sistemi xətti asılıdır.

Şərh. 1-ci məsələdəki kimi eyni tipli matrislər çağırılır üçbucaqlı , və problem 2 - pilləli üçbucaqlı . Vektorlar sisteminin xətti asılılığı məsələsi, bu vektorların koordinatlarından ibarət matris pilləli üçbucaqlı olduqda asanlıqla həll olunur. Əgər matrisin xüsusi forması yoxdursa, o zaman istifadə olunur elementar sətir çevrilmələri , sütunlar arasında xətti əlaqələri qoruyaraq, onu pilləli üçbucaq formasına endirmək olar.

Elementar sətir çevrilmələri matrislər (EPS) matris üzərində aşağıdakı əməliyyatlar adlanır:

1) xətlərin yenidən təşkili;

2) sətri sıfırdan fərqli ədədə vurmaq;

3) ixtiyari bir rəqəmə vurulan başqa bir sətir əlavə etmək.

Tapşırıq 3. Maksimum xətti müstəqil alt sistemi tapın və vektorlar sisteminin dərəcəsini hesablayın

.

Həll. EPS-dən istifadə edərək sistemin matrisini pilləli üçbucaqlı formaya endirək. Proseduru izah etmək üçün simvolu ilə çevriləcək matrisin nömrəsi ilə xətti işarə edirik. Oxdan sonrakı sütun, çevrilən matrisin sətirlərində yeni matrisin sətirlərini əldə etmək üçün yerinə yetirilməli olan hərəkətləri göstərir.

.

Aydındır ki, alınan matrisin ilk iki sütunu xətti müstəqildir, üçüncü sütun onların xətti birləşməsidir, dördüncüsü isə ilk ikisindən asılı deyil. Vektorlar əsas adlanır. Onlar sistemin maksimal xətti müstəqil alt sistemini təşkil edirlər , sistemin dərəcəsi isə üçdür.

Əsas, koordinatlar

Tapşırıq 4. Koordinatları şərti ödəyən həndəsi vektorlar çoxluğunda bu əsasda vektorların əsasını və koordinatlarını tapın. .

Həll. Çoxluq mənbədən keçən bir təyyarədir. Müstəvidə ixtiyari əsas iki qeyri-kollinear vektordan ibarətdir. Seçilmiş əsasda vektorların koordinatları müvafiq sistemin həlli ilə müəyyən edilir xətti tənliklər.

Bu problemi həll etməyin başqa bir yolu var, o zaman koordinatlardan istifadə edərək əsas tapa bilərsiniz.

Koordinatlar boşluqlar müstəvidə koordinat deyil, çünki onlar əlaqə ilə bağlıdır , yəni müstəqil deyillər. Müstəqil dəyişənlər və (bunlar sərbəst adlanır) müstəvidə vektoru unikal şəkildə təyin edir və buna görə də onları koordinatlar kimi seçmək olar. Sonra əsas sərbəst dəyişənlər çoxluğunda yerləşən və onlara uyğun gələn vektorlardan ibarətdir Və , yəni.

Tapşırıq 5. Fəzada tək koordinatları bir-birinə bərabər olan bütün vektorlar çoxluğunda bu əsasdakı vektorların bazisini və koordinatlarını tapın.

Həll. Əvvəlki məsələdə olduğu kimi koordinatları da seçək.

Çünki , sonra sərbəst dəyişənlər vektoru unikal olaraq təyin edir və buna görə də koordinatlardır. Müvafiq əsas vektorlardan ibarətdir.

Tapşırıq 6. Formanın bütün matrisləri çoxluğunda bu əsasda vektorların bazisini və koordinatlarını tapın , Harada - ixtiyari nömrələr.

Həll. Hər bir matris formada unikal şəkildə təmsil olunur:

Bu əlaqə vektorun bazaya görə genişlənməsidir
koordinatları ilə .

Tapşırıq 7. Vektorlar sisteminin xətti gövdəsinin ölçüsünü və əsasını tapın

.

Həll. EPS-dən istifadə edərək matrisi sistem vektorlarının koordinatlarından pilləli üçbucaqlı formaya çeviririk.

.

Sütunlar sonuncu matrislər xətti müstəqildir və sütunlar onlar vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunur. Buna görə vektorlar əsas təşkil edir , Və .

Şərh. Əsas birmənalı olaraq seçilir. Məsələn, vektorlar də əsas yaradır .

Qoy L ixtiyari xətti fəzadır, a i Î L,- onun elementləri (vektorları).

Tərif 3.3.1.İfadə , Harada, - xətti kombinasiya adlanan ixtiyari real ədədlər vektorlar a 1 , a 2 ,…, a n.

Əgər vektor R = , sonra belə deyirlər R vektorlara parçalanır a 1 , a 2 ,…, a n.

Tərif 3.3.2. Vektorların xətti kombinasiyası deyilir qeyri-trivial, ədədlər arasında sıfırdan az olmayan bir ədəd varsa. Əks halda, xətti birləşmə adlanır əhəmiyyətsiz.

Tərif 3.3.3 . a 1 , a 2 ,…, a vektorları nƏgər onların qeyri-trivial xətti kombinasiyası mövcuddursa, xətti asılı adlanır

= 0 .

Tərif 3.3.4. a 1, a 2,…, a vektorları n bərabərlik olarsa xətti müstəqil adlanır = 0 yalnız bütün nömrələrin olduğu halda mümkündür l 1, l 2,…, l n eyni zamanda sıfıra bərabərdir.

Qeyd edək ki, hər hansı sıfırdan fərqli element a 1 bərabərlik olduğundan xətti müstəqil sistem hesab edilə bilər l a 1 = 0 yalnız o halda mümkündür l= 0.

Teorem 3.3.1. Lazım olan və kifayət qədər şərait xətti asılılıq a 1, a 2,…, a n bu elementlərdən ən azı birinin qalan hissəsinə parçalanması imkanıdır.

Sübut. Zərurət. a 1 , a 2 ,…, a elementləri olsun n xətti asılıdır. Bu o deməkdir ki = 0 , və nömrələrdən ən azı biri l 1, l 2,…, l n sıfırdan fərqlidir. Qoy əminlik üçün l 1 ¹ 0. Sonra

yəni a 1 elementi a 2, a 3, …, a elementlərinə parçalanır. n.

Adekvatlıq. a 1 elementi a 2, a 3, …, a elementlərinə parçalansın n, yəni a 1 =. Sonra = 0 , buna görə də a 1 , a 2 ,…, a vektorlarının qeyri-trivial xətti kombinasiyası mövcuddur. n, bərabərdir 0 , buna görə də onlar xətti asılıdırlar .

Teorem 3.3.2. a 1 , a 2 ,…, a elementlərindən ən azı biri olarsa n sıfırdır, onda bu vektorlar xətti asılıdır.

Sübut . Qoy a n= 0 , sonra = 0 , bu elementlərin xətti asılılığı deməkdir.

Teorem 3.3.3. Əgər n vektor arasında hər hansı p (s< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Sübut. Müəyyənlik üçün a 1, a 2,…, a elementləri olsun səh xətti asılıdır. Bu o deməkdir ki, qeyri-trivial xətti kombinasiya var ki = 0 . Elementi onun hər iki hissəsinə əlavə etsək, göstərilən bərabərlik qorunacaq. Sonra + = 0 , və nömrələrdən ən azı biri l 1, l 2,…, lp sıfırdan fərqlidir. Buna görə a 1 , a 2 ,…, a vektorları n xətti asılıdır.

Nəticə 3.3.1.Əgər n element xətti müstəqildirsə, onda onlardan hər hansı k-si xətti müstəqildir (k< n).

Teorem 3.3.4. Əgər vektorlar a 1 , a 2 ,…, a n- 1 xətti müstəqildir və elementlər a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n xətti asılıdır, sonra vektor a n vektorlara genişləndirilə bilər a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Sübut.Çünki a 1 şərti ilə, a 2 ,…,a n- 1, a n xətti asılıdırlar, onda onların qeyri-trivial xətti kombinasiyası var = 0 , və (əks halda a 1, a 2,..., a vektorları xətti asılı olacaqlar. n- 1). Amma sonra vektor

,

Q.E.D.

Vektorların xətti asılılığı və xətti müstəqilliyi.
Vektorların əsasları. Affin koordinat sistemi

Auditoriyada şokoladlı araba var və bu gün hər bir ziyarətçi şirin bir cüt əldə edəcək - xətti cəbrlə analitik həndəsə. Bu məqalə eyni anda ali riyaziyyatın iki bölməsinə toxunacaq və biz onların bir qablaşdırmada necə birlikdə mövcud olduğunu görəcəyik. Fasilə verin, Twix yeyin! ...lənətə gəlsin, nə cəfəngiyyatdır. Baxmayaraq ki, yaxşı, xal qazanmasam da, sonda oxumağa müsbət münasibət bəsləməlisiniz.

Vektorların xətti asılılığı, xətti vektor müstəqilliyi, vektorların əsası və digər terminlər təkcə həndəsi şərhə deyil, hər şeydən əvvəl cəbri mənaya malikdir. Xətti cəbr nöqteyi-nəzərindən "vektor" anlayışının özü həmişə müstəvidə və ya kosmosda təsvir edə biləcəyimiz "adi" vektor deyil. Sübut üçün uzağa baxmaq lazım deyil, beş ölçülü fəzanın vektorunu çəkməyə çalışın . Və ya Gismeteoya getdiyim hava vektoru: – temperatur və Atmosfer təzyiqi müvafiq olaraq. Nümunə, əlbəttə ki, vektor fəzasının xassələri baxımından düzgün deyil, lakin buna baxmayaraq, heç kim bu parametrlərin vektor kimi rəsmiləşdirilməsini qadağan etmir. Payız nəfəsi...

Xeyr, mən sizi nəzəriyyədən, xətti vektor fəzalarından bezdirmək fikrində deyiləm, vəzifə budur başa düşmək təriflər və teoremlər. Yeni terminlər (xətti asılılıq, müstəqillik, xətti birləşmə, bazis və s.) cəbri baxımdan bütün vektorlara şamil edilir, lakin həndəsi nümunələr veriləcəkdir. Beləliklə, hər şey sadə, əlçatan və aydındır. Analitik həndəsə problemlərinə əlavə olaraq, bəzi tipik cəbr məsələlərini də nəzərdən keçirəcəyik. Materialı mənimsəmək üçün dərslərlə tanış olmaq məsləhətdir Butaforlar üçün vektorlar Və Determinantı necə hesablamaq olar?

Müstəvi vektorların xətti asılılığı və müstəqilliyi.
Müstəvi əsas və afin koordinat sistemi

Gəlin kompüter masanızın müstəvisini nəzərdən keçirək (yalnız bir masa, yataq masası, döşəmə, tavan, istədiyiniz hər şey). Tapşırıq olacaq növbəti addımlar:

1) Təyyarə əsasını seçin. Təxminən desək, bir masanın uzunluğu və eni var, buna görə də əsas qurmaq üçün iki vektorun tələb olunacağı intuitivdir. Bir vektor kifayət deyil, üç vektor həddindən artıqdır.

2) Seçilmiş əsas əsasında koordinat sistemini təyin edin(koordinat şəbəkəsi) masadakı bütün obyektlərə koordinatlar təyin etmək.

Təəccüblənməyin, əvvəlcə izahatlar barmaqlarda olacaq. Üstəlik, sizin. Zəhmət olmasa yerləşdirin şəhadət barmağı sol əl stolun kənarında ki, monitora baxsın. Bu vektor olacaq. İndi yer kiçik barmaq sağ əl masanın kənarında eyni şəkildə - monitor ekranına yönəldilməsi üçün. Bu vektor olacaq. Gülümsə, əla görünürsən! Vektorlar haqqında nə deyə bilərik? Məlumat vektorları kollinear, yəni xətti bir-biri vasitəsilə ifadə olunur:
, yaxşı və ya əksinə: , burada bəzi ədəd sıfırdan fərqlidir.

Bu hərəkətin şəklini sinifdə görə bilərsiniz. Butaforlar üçün vektorlar, burada vektoru ədədə vurma qaydasını izah etdim.

Barmaqlarınız kompüter masasının müstəvisinə əsas qoyacaqmı? Aydındır ki, yox. Kollinear vektorlar irəli və geri hərəkət edir tək istiqamət və təyyarənin uzunluğu və eni var.

Belə vektorlar deyilir xətti asılı.

İstinad: “Xətti”, “xətti” sözləri riyazi tənliklərdə və ifadələrdə kvadratların, kubların, başqa dərəcələrin, loqarifmlərin, sinusların və s. Yalnız xətti (1-ci dərəcə) ifadələr və asılılıqlar var.

İki təyyarə vektoru xətti asılı yalnız və yalnız bir-birinə uyğun gələrsə.

Barmaqlarınızı masanın üstündə keçin ki, aralarında 0 və ya 180 dərəcədən başqa hər hansı bir bucaq olsun. İki təyyarə vektoruxətti yox yalnız və yalnız kollinear olmadıqda asılıdır. Beləliklə, əsas əldə edilir. Əsasın müxtəlif uzunluqdakı perpendikulyar olmayan vektorlarla "əyri" olduğu ortaya çıxdığından utanmaq lazım deyil. Tezliklə biz onun qurulması üçün nəinki 90 dərəcə bucağın uyğun olduğunu, nəinki bərabər uzunluqlu vahid vektorların olmadığını görəcəyik.

Hər hansı təyyarə vektoru yeganə yoləsasında genişlənir:
, həqiqi ədədlər haradadır. Nömrələr çağırılır vektor koordinatları bu əsasda.

Bu da deyilir vektorkimi təqdim olunur xətti birləşməəsas vektorlar. Yəni ifadə deyilir vektor parçalanmasıəsasında və ya xətti birləşməəsas vektorlar.

Məsələn, vektorun müstəvinin ortonormal əsası boyunca parçalandığını və ya vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim olunduğunu deyə bilərik.

Gəlin formalaşdıraq əsasın tərifi formal olaraq: Təyyarənin əsası bir cüt xətti müstəqil (kollinear olmayan) vektorlar adlanır, , burada hər hansı müstəvi vektor əsas vektorların xətti birləşməsidir.

Tərifin əsas məqamı vektorların götürülməsi faktıdır müəyyən qaydada. Əsaslar - bunlar tamamilə fərqli iki əsasdır! Necə deyərlər, sağ əlin kiçik barmağını sol əlin kiçik barmağı ilə əvəz edə bilməzsən.

Biz əsası anladıq, lakin koordinatlar şəbəkəsini qurmaq və kompüter masanızda hər bir elementə koordinatlar təyin etmək kifayət deyil. Niyə kifayət deyil? Vektorlar sərbəstdir və bütün təyyarə boyu gəzirlər. Beləliklə, vəhşi bir həftə sonundan qalan masadakı o kiçik çirkli ləkələrə koordinatları necə təyin edirsiniz? Bir başlanğıc nöqtəsi lazımdır. Və belə bir əlamətdar nöqtə hər kəsə tanış olan bir nöqtədir - koordinatların mənşəyi. Koordinat sistemini anlayaq:

Mən “məktəb” sistemi ilə başlayacağam. Artıq giriş dərsində Butaforlar üçün vektorlar Düzbucaqlı koordinat sistemi ilə ortonormal əsas arasındakı bəzi fərqləri vurğuladım. Budur standart şəkil:

Haqqında danışdıqları zaman düzbucaqlı koordinat sistemi, onda çox vaxt onlar mənşəyi, koordinat oxlarını və oxlar boyunca miqyası nəzərdə tuturlar. Axtarış sisteminə “düzbucaqlı koordinat sistemi” yazmağa çalışın və görəcəksiniz ki, bir çox mənbələr sizə 5-6-cı sinifdən tanış olan koordinat oxları və müstəvidə nöqtələrin necə qurulacağı barədə məlumat verəcəklər.

Digər tərəfdən, görünür ki, düzbucaqlı koordinat sistemi ortonormal əsas baxımından tamamilə müəyyən edilə bilər. Və bu, demək olar ki, doğrudur. Tərif aşağıdakı kimidir:

mənşəyi, Və ortonormaləsas qoyulur Kartezyen düzbucaqlı müstəvi koordinat sistemi . Yəni düzbucaqlı koordinat sistemi mütləq tək nöqtə və iki vahid ortoqonal vektorla müəyyən edilir. Buna görə yuxarıda verdiyim rəsmi görürsən - həndəsi məsələlərdə həm vektorlar, həm də koordinat oxları çox vaxt (lakin həmişə deyil) çəkilir.

Düşünürəm ki, hər kəs bir nöqtə (mənşə) və ortonormal əsasdan istifadə etdiyini başa düşür Təyyarədə HƏR NÖQTƏ və təyyarədə HƏR VEKTOR koordinatları təyin edilə bilər. Obrazlı desək, “təyyarədə hər şey nömrələnə bilər”.

Koordinat vektorlarının vahid olması tələb olunurmu? Xeyr, onlar ixtiyari sıfırdan fərqli uzunluğa malik ola bilərlər. Bir nöqtəni və ixtiyari sıfırdan fərqli uzunluqlu iki ortoqonal vektoru nəzərdən keçirək:

Belə bir əsas deyilir ortoqonal. Vektorlu koordinatların mənşəyi koordinat şəbəkəsi ilə müəyyən edilir və müstəvidə istənilən nöqtə, istənilən vektor verilmiş əsasda öz koordinatlarına malikdir. Məsələn, və ya. Aşkar narahatçılıq koordinat vektorlarının olmasıdır V ümumi hal birlikdən başqa müxtəlif uzunluqlara malikdir. Əgər uzunluqlar vahidə bərabərdirsə, onda adi ortonormal əsas alınır.

! Qeyd : ortoqonal əsasda, eləcə də aşağıda müstəvi və fəzanın afin əsaslarında oxlar boyunca vahidlər nəzərə alınır. ŞƏRTLİ. Məsələn, x oxu boyunca bir vahid 4 sm, ordinat oxu boyunca bir vahid 2 sm ehtiva edir.Bu məlumat, lazım olduqda, “qeyri-standart” koordinatları “adi santimetrlərimizə” çevirmək üçün kifayətdir.

Və əslində artıq cavablandırılmış ikinci sual, əsas vektorlar arasındakı bucaq 90 dərəcəyə bərabər olmalıdırmı? Yox! Tərifdə göstərildiyi kimi, əsas vektorlar olmalıdır yalnız kollinear deyil. Müvafiq olaraq, bucaq 0 və 180 dərəcədən başqa hər şey ola bilər.

Təyyarədə bir nöqtə çağırıldı mənşəyi, Və qeyri-kollinear vektorlar, , təyin edin afin müstəvi koordinat sistemi :

Bəzən belə bir koordinat sistemi adlanır əyri sistemi. Nümunə olaraq, rəsm nöqtələri və vektorları göstərir:

Anladığınız kimi, affin koordinat sistemi daha az rahatdır, dərsin ikinci hissəsində müzakirə etdiyimiz vektor və seqmentlərin uzunluqları üçün düsturlar işləmir. Butaforlar üçün vektorlar, ilə əlaqəli bir çox dadlı düsturlar vektorların skalyar hasili. Lakin vektorların əlavə edilməsi və vektorun ədədə vurulması qaydaları, bu münasibətdə seqmentin bölünməsi üçün düsturlar, eləcə də tezliklə nəzərdən keçirəcəyimiz bəzi digər məsələlər etibarlıdır.

Və nəticə ondan ibarətdir ki, afin koordinat sisteminin ən əlverişli xüsusi halı Dekart düzbucaqlı sistemidir. Ona görə də onu tez-tez görməlisən, əzizim. ...Ancaq bu həyatda hər şey nisbidir - bir çox vəziyyətlər var ki, burada əyri bucaq (və ya başqa bir, məsələn, qütb) koordinat sistemi. Və humanoidlər belə sistemləri bəyənə bilər =)

Gəlin praktik hissəyə keçək. Bu dərsdəki bütün məsələlər həm düzbucaqlı koordinat sistemi, həm də ümumi afin vəziyyət üçün etibarlıdır. Burada mürəkkəb bir şey yoxdur, bütün material hətta məktəbli üçün də əlçatandır.

Müstəvi vektorların kollinearlığını necə təyin etmək olar?

Tipik şey. İki müstəvi vektor üçün collinear idi, onların müvafiq koordinatlarının mütənasib olması zəruri və kifayətdirƏslində, bu, aşkar əlaqənin koordinat-koordinat təfərrüatlarıdır.

Misal 1

a) Vektorların kollinear olub olmadığını yoxlayın .
b) Vektorlar əsas təşkil edirmi? ?

Həll:
a) vektorların olub olmadığını öyrənək mütənasiblik əmsalı, bərabərliklər təmin olunsun:

Mən sizə mütləq “foppish” proqram növü haqqında məlumat verəcəyəm bu qaydadan, bu praktikada olduqca yaxşı işləyir. İdeya dərhal nisbəti yaratmaq və düzgün olub olmadığını görməkdir:

Vektorların müvafiq koordinatlarının nisbətlərindən nisbət yaradaq:

Qısaldaq:
, buna görə də müvafiq koordinatlar mütənasibdir, buna görə də,

Münasibət başqa cür də edilə bilər; bu, ekvivalent variantdır:

Özünü sınamaq üçün kollinear vektorların bir-biri ilə xətti şəkildə ifadə olunmasından istifadə edə bilərsiniz. IN bu halda bərabərliklər var . Onların etibarlılığı vektorlarla elementar əməliyyatlar vasitəsilə asanlıqla yoxlanıla bilər:

b) İki müstəvi vektor kollinear deyilsə (xətti müstəqil) əsas təşkil edir. Vektorları kollinearlıq üçün yoxlayırıq . Gəlin bir sistem yaradaq:

Birinci tənlikdən belə çıxır ki, , ikinci tənlikdən o deməkdir ki, sistem uyğunsuzdur(həll yoxdur). Beləliklə, vektorların uyğun koordinatları mütənasib deyil.

Nəticə: vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.

Həllin sadələşdirilmiş versiyası belə görünür:

Vektorların uyğun koordinatlarından nisbət yaradaq :
, bu o deməkdir ki, bu vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.

Adətən bu seçim rəyçilər tərəfindən rədd edilmir, lakin bəzi koordinatların sıfıra bərabər olduğu hallarda problem yaranır. Bunun kimi: . Və ya bu kimi: . Və ya bu kimi: . Burada nisbətlə necə işləmək olar? (həqiqətən, sıfıra bölmək olmaz). Məhz bu səbəbdən sadələşdirilmiş həlli “foppish” adlandırdım.

Cavab: a) , b) forma.

Bir az yaradıcılıq nümunəsi müstəqil qərar:

Misal 2

Parametrin hansı qiymətində vektorlar var onlar collinear olacaq?

Nümunə həllində parametr nisbət vasitəsilə tapılır.

Vektorların kollinearlığını yoxlamaq üçün zərif bir cəbr üsulu var. Gəlin biliklərimizi sistemləşdirək və beşinci nöqtə kimi əlavə edək:

İki müstəvi vektor üçün aşağıdakı ifadələr ekvivalentdir:

2) vektorlar əsas təşkil edir;
3) vektorlar kollinear deyil;

+ 5) bu vektorların koordinatlarından ibarət müəyyənedici sıfırdan fərqlidir.

müvafiq olaraq, aşağıdakı əks ifadələr ekvivalentdir:
1) vektorlar xətti asılıdır;
2) vektorlar əsas təşkil etmir;
3) vektorlar kollineardır;
4) vektorlar bir-biri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə oluna bilər;
+ 5) bu vektorların koordinatlarından ibarət müəyyənedici sıfıra bərabərdir.

Mən, həqiqətən, ümid edirəm Bu an rastlaşdığınız bütün terminləri və ifadələri artıq başa düşürsünüz.

Gəlin yeni, beşinci məqama daha yaxından nəzər salaq: iki müstəvi vektor yalnız və yalnız verilmiş vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabər olduqda kollinear olurlar.:. İstifadə üçün bu xüsusiyyətdən Təbii ki, bacarmaq lazımdır determinantları tapın.

Gəlin qərar verəkİkinci şəkildə 1-ci misal:

a) Vektorların koordinatlarından ibarət müəyyənedicini hesablayaq :
, bu o deməkdir ki, bu vektorlar kollineardır.

b) İki müstəvi vektor kollinear deyilsə (xətti müstəqil) əsas təşkil edir. Vektor koordinatlarından ibarət müəyyənedicini hesablayaq :
, yəni vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.

Cavab: a) , b) forma.

O, nisbətləri olan bir həlldən çox daha yığcam və gözəl görünür.

Nəzərdən keçirilən materialın köməyi ilə təkcə vektorların kollinearlığını qurmaq deyil, həm də seqmentlərin və düz xətlərin paralelliyini sübut etmək mümkündür. Xüsusi həndəsi fiqurlarla bağlı bir neçə məsələni nəzərdən keçirək.

Misal 3

Dördbucaqlının təpələri verilmişdir. Dördbucaqlının paraleloqram olduğunu sübut edin.

Sübut: Problemdə rəsm yaratmağa ehtiyac yoxdur, çünki həlli sırf analitik olacaqdır. Paraleloqramın tərifini xatırlayaq:
Paraleloqram Qarşı tərəfləri cüt-cüt paralel olan dördbucaqlı adlanır.

Beləliklə, sübut etmək lazımdır:
1) əks tərəflərin paralelliyi və;
2) əks tərəflərin paralelliyi və.

Biz sübut edirik:

1) vektorları tapın:

2) vektorları tapın:

Nəticə eyni vektordur (“məktəbə görə” – bərabər vektorlar). Kollinearlıq olduqca açıqdır, lakin qərarın tənzimləmə ilə aydın şəkildə rəsmiləşdirilməsi daha yaxşıdır. Vektor koordinatlarından ibarət determinantı hesablayaq:
, bu o deməkdir ki, bu vektorlar kollineardır və .

Nəticə: Dördbucaqlının əks tərəfləri cüt-cüt paraleldir, yəni tərifinə görə paraleloqramdır. Q.E.D.

Daha yaxşı və fərqli rəqəmlər:

Misal 4

Dördbucaqlının təpələri verilmişdir. Dördbucaqlının trapesiya olduğunu sübut edin.

Sübutun daha ciddi formalaşdırılması üçün, əlbəttə ki, trapezoidin tərifini almaq daha yaxşıdır, ancaq onun necə göründüyünü xatırlamaq kifayətdir.

Bu, özünüz həll edə biləcəyiniz bir vəzifədir. Tam həll dərsin sonunda.

İndi yavaş-yavaş təyyarədən kosmosa keçməyin vaxtı gəldi:

Kosmik vektorların kollinearlığını necə təyin etmək olar?

Qayda çox oxşardır. İki fəza vektorunun kollinear olması üçün onların müvafiq koordinatlarının mütənasib olması zəruri və kifayətdir..

Misal 5

Aşağıdakı fəza vektorlarının kollinear olub olmadığını öyrənin:

A) ;
b)
V)

Həll:
a) Vektorların müvafiq koordinatları üçün mütənasiblik əmsalının olub olmadığını yoxlayaq:

Sistemin həlli yoxdur, yəni vektorlar kollinear deyil.

“Sadələşdirilmiş” nisbət yoxlanılmaqla rəsmiləşdirilir. Bu halda:
– müvafiq koordinatlar mütənasib deyil, yəni vektorlar kollinear deyildir.

Cavab: vektorlar kollinear deyil.

b-c) Bunlar müstəqil qərar üçün nöqtələrdir. Bunu iki yolla sınayın.

Üçüncü dərəcəli determinant vasitəsilə fəza vektorlarının kollinearlığını yoxlamaq üçün bir üsul var, bu üsul məqalədə əhatə olunub Vektorların vektor məhsulu.

Təyyarə vəziyyətinə bənzər olaraq, nəzərdən keçirilən alətlər fəza seqmentlərinin və düz xətlərin paralelliyini öyrənmək üçün istifadə edilə bilər.

İkinci bölməyə xoş gəlmisiniz:

Üçölçülü fəzada vektorların xətti asılılığı və müstəqilliyi.
Məkan əsası və afin koordinat sistemi

Təyyarədə tədqiq etdiyimiz nümunələrin çoxu kosmos üçün etibarlı olacaq. Mən nəzəriyyə qeydlərini minimuma endirməyə çalışdım, çünki aslan payı artıq məlumat çeynəyib. Bununla belə, yeni termin və anlayışlar meydana çıxacağı üçün giriş hissəsini diqqətlə oxumağınızı tövsiyə edirəm.

İndi kompüter masasının müstəvisi əvəzinə üç ölçülü məkanı araşdırırıq. Əvvəlcə onun əsasını yaradaq. Kimsə indi evdədir, kimsə açıq havadadır, amma hər halda biz üç ölçüdən qaça bilmərik: en, uzunluq və hündürlük. Beləliklə, əsas qurmaq üçün üç fəza vektoru tələb olunacaq. Bir və ya iki vektor kifayət deyil, dördüncü artıqdır.

Və yenidən barmaqlarımıza istilənirik. Zəhmət olmasa əlinizi yuxarı qaldırın və müxtəlif istiqamətlərə yayın baş barmaq, indeks və orta barmaq . Bunlar vektorlar olacaq, onlar müxtəlif istiqamətlərə baxırlar, müxtəlif uzunluqlara malikdirlər və öz aralarında fərqli açılara malikdirlər. Təbrik edirik, üçölçülü məkanın əsası hazırdır! Yeri gəlmişkən, bunu müəllimlərə nümayiş etdirməyə ehtiyac yoxdur, barmaqlarınızı nə qədər büksəniz də, təriflərdən qaçış yoxdur =)

Sonra soruşaq mühüm məsələ, hər hansı üç vektor əsas təşkil edir üçölçülü məkan ? Zəhmət olmasa üç barmağınızı kompüter masasının yuxarı hissəsinə möhkəm basın. Nə olub? Üç vektor eyni müstəvidə yerləşir və kobud desək, ölçülərdən birini - hündürlüyü itirmişik. Belə vektorlar düzbucaqlı və üçölçülü fəzanın əsasının yaradılmadığı tamamilə aydındır.

Qeyd etmək lazımdır ki, koplanar vektorların eyni müstəvidə uzanması lazım deyil, onlar paralel müstəvilərdə ola bilərlər (bunu barmaqlarınızla etməyin, bunu yalnız Salvador Dali edib =)).

Tərif: vektorlar deyilir düzbucaqlı, paralel olduqları müstəvi varsa. Bura əlavə etmək məntiqlidir ki, əgər belə bir müstəvi yoxdursa, onda vektorlar koplanar olmayacaq.

Üç koplanar vektor həmişə xətti asılıdır, yəni bir-biri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunur. Sadəlik üçün bir daha onların eyni müstəvidə yatdıqlarını təsəvvür edək. Birincisi, vektorlar təkcə düzənli deyil, həm də kollinear ola bilər, sonra istənilən vektor istənilən vektor vasitəsilə ifadə oluna bilər. İkinci halda, məsələn, vektorlar kollinear deyilsə, üçüncü vektor onlar vasitəsilə unikal şəkildə ifadə edilir: (və niyə əvvəlki bölmədəki materiallardan təxmin etmək asandır).

Bunun əksi də doğrudur: üç qeyri-komplanar vektor həmişə xətti müstəqildir, yəni heç bir şəkildə bir-biri vasitəsilə ifadə olunmur. Və aydındır ki, yalnız belə vektorlar üçölçülü məkanın əsasını təşkil edə bilər.

Tərif: Üçölçülü məkanın əsası xətti müstəqil (komplanar olmayan) vektorların üçlüyü adlanır, müəyyən qaydada qəbul edilir, və fəzanın istənilən vektoru yeganə yol verilmiş əsasda parçalanır, bu əsasda vektorun koordinatları haradadır

Nəzərinizə çatdırım ki, vektorun formada təmsil olunduğunu da deyə bilərik xətti birləşməəsas vektorlar.

Koordinat sistemi anlayışı müstəvi halı ilə eyni şəkildə təqdim olunur; bir nöqtə və istənilən üç xətti müstəqil vektor kifayətdir:

mənşəyi, Və qeyri-düzgün vektorlar, müəyyən qaydada qəbul edilir, təyin edin üçölçülü fəzanın affin koordinat sistemi :

Əlbəttə ki, koordinat şəbəkəsi "çəp" və əlverişsizdir, lakin buna baxmayaraq, qurulmuş koordinat sistemi bizə imkan verir mütləq istənilən vektorun koordinatlarını və fəzada istənilən nöqtənin koordinatlarını təyin edin. Müstəvi kimi, yuxarıda qeyd etdiyim bəzi düsturlar kosmosun affin koordinat sistemində işləməyəcək.

Hər kəsin təxmin etdiyi kimi, affin koordinat sisteminin ən tanış və əlverişli xüsusi halıdır düzbucaqlı kosmik koordinat sistemi:

Kosmosda bir nöqtə deyilir mənşəyi, Və ortonormaləsas qoyulur Kartezyen düzbucaqlı fəza koordinat sistemi . Tanış şəkil:

Praktiki tapşırıqlara keçməzdən əvvəl məlumatları yenidən sistemləşdirək:

Üç fəza vektoru üçün aşağıdakı ifadələr ekvivalentdir:
1) vektorlar xətti müstəqildir;
2) vektorlar əsas təşkil edir;
3) vektorlar koplanar deyil;
4) vektorlar bir-biri vasitəsilə xətti ifadə edilə bilməz;
5) bu vektorların koordinatlarından ibarət olan determinant sıfırdan fərqlidir.

Düşünürəm ki, əks bəyanatlar başa düşüləndir.

Kosmik vektorların xətti asılılığı/müstəqilliyi ənənəvi olaraq determinantdan istifadə etməklə yoxlanılır (5-ci bənd). Qalan praktiki tapşırıqlar aydın cəbri xarakterə malik olacaqdır. Həndəsə çubuğunu asmaq və xətti cəbrin beysbol yarasasını istifadə etmək vaxtıdır:

Kosmosun üç vektoru Verilmiş vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabər olduqda və yalnız o zaman müştərəkdir: .

Diqqətinizi kiçik bir şeyə cəlb edirəm texniki nüans: vektorların koordinatları təkcə sütunlarda deyil, həm də sətirlərdə yazıla bilər (determinantın qiyməti bundan dəyişməyəcək - determinantların xassələrinə baxın). Ancaq sütunlarda daha yaxşıdır, çünki bəzi praktik problemlərin həlli üçün daha faydalıdır.

Determinantların hesablanması üsullarını bir az unudan və ya bəlkə də onlardan çox az anlayışı olan oxucular üçün ən qədim dərslərimdən birini tövsiyə edirəm: Determinantı necə hesablamaq olar?

Misal 6

Aşağıdakı vektorların üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edib-etmədiyini yoxlayın:

Həll: Əslində, bütün həll determinantın hesablanmasına gəlir.

a) Vektor koordinatlarından ibarət müəyyənedicini hesablayaq (birinci sətirdə determinant aşkarlanır):

, bu o deməkdir ki, vektorlar xətti müstəqildir (komplanar deyil) və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edir.

Cavab verin: bu vektorlar əsas təşkil edir

b) Bu, müstəqil qərar üçün bir məqamdır. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Yaradıcı vəzifələr də var:

Misal 7

Parametrin hansı qiymətində vektorlar koplanar olacaq?

Həll: Vektorlar koplanardır o zaman və yalnız bu vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabərdir:

Əsasən, bir determinant ilə bir tənliyi həll etməlisiniz. Biz jerboasdakı uçurtmalar kimi sıfırları aşağı salırıq - ikinci sətirdəki determinantı açmaq və dərhal mənfi cəhətlərdən qurtulmaq daha yaxşıdır:

Əlavə sadələşdirmələr aparırıq və məsələni ən sadə xətti tənliyə endiririk:

Cavab verin: at

Burada yoxlamaq asandır; bunu etmək üçün nəticədə yaranan dəyəri orijinal determinantla əvəz etməli və əmin olun ki, , yenidən açın.

Sonda gəlin daha birinə baxaq tipik vəzifə, daha çox cəbri xarakter daşıyır və ənənəvi olaraq xətti cəbrin kursuna daxil edilir. O qədər yaygındır ki, öz mövzusuna layiqdir:

3 vektorun üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyini sübut edin
və bu əsasda 4-cü vektorun koordinatlarını tapın

Misal 8

Vektorlar verilir. Üçölçülü fəzada vektorların bazis təşkil etdiyini göstərin və bu əsasda vektorun koordinatlarını tapın.

Həll: Əvvəlcə şərtlə məşğul olaq. Şərtə görə, dörd vektor verilir və gördüyünüz kimi, onların artıq müəyyən əsasda koordinatları var. Bu əsasın nə olması bizim üçün maraqlı deyil. Və aşağıdakı şey maraqlıdır: üç vektor yeni bir əsas yarada bilər. Birinci mərhələ 6-cı nümunənin həlli ilə tamamilə üst-üstə düşür, vektorların həqiqətən xətti müstəqil olub olmadığını yoxlamaq lazımdır:

Vektor koordinatlarından ibarət determinantı hesablayaq:

, bu o deməkdir ki, vektorlar xətti müstəqildir və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edir.

! Əhəmiyyətli : vektor koordinatları Mütləq yazın sütunlara sətirlərdə deyil, müəyyənedicidir. Əks halda, sonrakı həll alqoritmində qarışıqlıq yaranacaq.

Tərif. Vektorların xətti birləşməsiəmsalları x 1 , ..., x n olan a 1 , ..., a n vektor adlanır

x 1 a 1 + ... + x n a n .

əhəmiyyətsiz, əgər bütün x 1 , ..., x n əmsalları sıfıra bərabərdirsə.

Tərif. X 1 a 1 + ... + x n a n xətti kombinasiyası adlanır qeyri-trivial, x 1, ..., x n əmsallarından ən azı biri sıfıra bərabər deyilsə.

xətti müstəqil, bu vektorların sıfır vektoruna bərabər qeyri-trivial kombinasiyası yoxdursa.

Yəni, a 1, ..., a n vektorları x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 olarsa, x 1 = 0, ..., x n = 0 olduqda xətti müstəqildirlər.

Tərif. a 1, ..., a n vektorları adlanır xətti asılı, bu vektorların sıfır vektoruna bərabər qeyri-trivial kombinasiyası varsa.

Xətti asılı vektorların xassələri:

2 və 3 ölçülü vektorlar üçün.

İki xətti asılı vektorlar- kollinear. (Kollinear vektorlar xətti asılıdır.)

3-ölçülü vektorlar üçün.

Üç xətti asılı vektor koplanardır. (Üç paralel vektor xətti asılıdır.)

• n-ölçülü vektorlar üçün.

  n + 1 vektorları həmişə xətti asılıdır.

Vektorların xətti asılılığına və xətti müstəqilliyinə dair məsələlərə nümunələr:

Misal 1. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorlarının xətti müstəqil olub-olmadığını yoxlayın. .

Həll:

Vektorlar xətti asılı olacaq, çünki vektorların ölçüsü vektorların sayından azdır.

Misal 2. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorlarının xətti müstəqil olub-olmadığını yoxlayın.

Həll:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

birinci sətirdən ikincini çıxarın; üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edin:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Bu həll göstərir ki, sistemin çoxlu həlli var, yəni x 1, x 2, x 3 ədədlərinin qiymətlərinin sıfırdan fərqli kombinasiyası var ki, a, b, c vektorlarının xətti kombinasiyası bərabər olsun. sıfır vektoru, məsələn:

A + b + c = 0

bu o deməkdir ki, a, b, c vektorları xətti asılıdır.

Cavab: a, b, c vektorları xətti asılıdır.

Misal 3. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorlarının xətti müstəqil olub-olmadığını yoxlayın.

Həll: Bu vektorların xətti birləşməsinin sıfır vektoruna bərabər olacağı əmsalların dəyərlərini tapaq.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Bu vektor tənliyini xətti tənliklər sistemi kimi yazmaq olar

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Bu sistemi Gauss metodundan istifadə edərək həll edək

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

ikinci sətirdən birincini çıxarın; üçüncü sətirdən birincini çıxarın:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

birinci sətirdən ikincini çıxarın; üçüncü sətirə ikinci əlavə edin.