Точка M се нарича вътрешна за определено множество G, ако принадлежи на това множество заедно с някои от околностите си. Точка N се нарича гранична точка за множество G, ако във всяка пълна нейна околност има точки, както принадлежащи на G, така и непринадлежащи на него.

Множеството от всички гранични точки на множество G се нарича граница на G.

Множество G ще се нарича регион, ако всички негови точки са вътрешни (отворено множество). Множество G със свързана граница Г се нарича затворена област. Една област се нарича ограничена, ако се съдържа изцяло в кръг с достатъчно голям радиус.

Най-малката и най-голямата стойност на функция в дадена област се наричат ​​абсолютни екстремуми на функцията в тази област.

Теорема на Вайерщрас: функция, непрекъсната в ограничено и затворена зона, достига своите минимални и максимални стойности в този регион.

Последица. Абсолютният екстремум на функция в дадена област се постига или в критичната точка на функцията, принадлежаща на тази област, или при За да намерите най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област G, е необходимо да се намери всички негови критични точки в тази област, изчислете стойностите на функцията в тези точки (включително граничните) и чрез сравняване на получените числа изберете най-голямото и най-малкото от тях.

Пример 4.1.Намерете абсолютния екстремум на функцията (най-голямата и най-малката стойност)
в триъгълна област D с върхове
,
,
(Фиг. 1).

;
,

т.е. точка O(0, 0) е критична точка, принадлежаща на областта D. z(0,0)=0.

Да изследваме границата:

а) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

б) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

такси: ;
,

Пример 4.2.Намерете най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област, ограничена от координатните оси и правата линия
.

1) Намерете критичните точки, разположени в региона:

,
,

.

Да проучим границата. защото границата се състои от сегмент OA на оста Ox, сегмент OB на оста Oy и сегмент AB, след което определяме най-големите и най-малките стойности на функцията z на всеки от тези сегменти.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Сред всички намерени стойности изберете z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Условен екстремум. Метод на умножителя на Лагранж

Нека разгледаме задача, специфична за функции на няколко променливи, когато нейният екстремум се търси не върху цялата област на дефиниция, а върху множество, което удовлетворява определено условие.

Нека разгледаме функцията
, аргументи И които отговарят на условието
, наречено уравнение на свързване.

Точка
се нарича условна максимална (минимум) точка, ако има такава околност на тази точка, че за всички точки
от този квартал, отговарящ на условието
, неравенството е в сила
или
.

Фигура 2 показва условната максимална точка
. Очевидно това не е безусловната екстремна точка на функцията
(на фиг. 2 това е точката
).

Най-простият начин да се намери условният екстремум на функция на две променливи е да се намали проблема до намиране на екстремума на функция на една променлива. Нека приемем уравнението на връзката
успя да разреши по отношение на една от променливите, например да изрази през :
. Замествайки получения израз във функция на две променливи, получаваме

тези. функция на една променлива. Неговият екстремум ще бъде условният екстремум на функцията
.

Пример 5.1.Намерете максималните и минималните точки на функция
предвид това
.

Решение. Нека изразим от уравнението
променлива чрез променлива и заместете получения израз
във функция . Получаваме
или
. Тази функция има уникален минимум при
. Съответна стойност на функцията
. По този начин,
– точка на условен екстремум (минимум).

В разглеждания пример уравнението на свързване
се оказа линеен, така че беше лесно разрешен по отношение на една от променливите. В по-сложни случаи обаче това не може да стане.

За намиране на условен екстремум в общия случай се използва методът на умножителя на Лагранж. Да разгледаме функция на три променливи. Тази функция се нарича функция на Лагранж и – Множител на Лагранж. Следната теорема е вярна.

Теорема.Ако точката
е условната екстремна точка на функцията
предвид това
, тогава има стойност такава точка
е екстремната точка на функцията
.

По този начин, за да намерите условния екстремум на функцията
предвид това
трябва да се намери решение на системата

П последното от тези уравнения съвпада с уравнението на свързване. Първите две уравнения на системата могат да бъдат пренаписани във формата, т.е. в условната точка на екстремума градиентите на функцията
И
колинеарен. На фиг. Фигура 3 показва геометричния смисъл на условията на Лагранж. Линия
пунктирана, равна линия
функции
твърдо. От фиг. следва, че в условната точка на екстремума линията на функционалното ниво
докосва линията
.

Пример 5.2. Намерете точките на екстремума на функцията
предвид това
, използвайки метода на умножителя на Лагранж.

Решение. Съставяме функцията на Лагранж. Приравнявайки неговите частични производни на нула, получаваме система от уравнения:

Единственото й решение. Така условната точка на екстремума може да бъде само точка (3; 1). Лесно е да се провери, че в този момент функцията
има условен минимум. Ако броят на променливите е повече от две, могат да се разгледат няколко уравнения на свързване. Съответно в този случай ще има няколко множителя на Лагранж.

Проблемът за намиране на условен екстремум се използва при решаването на такива икономически проблеми като намиране на оптимално разпределение на ресурсите, избор на оптимален портфейл от ценни книжа и др.

Жозеф Луи Лагранж е роден в Торино (Италия) в италианско-френско семейство. Учи и след това преподава в Артилерийското училище. През 1759 г., по препоръка на Ойлер, 23-годишният Лагранж е избран за член на Берлинската академия на науките. През 1766 г. той вече става негов президент. Фридрих II кани Лагранж в Берлин. След смъртта на Фридрих II през 1786 г. Лагранж се премества в Париж. От 1722 г. е член на Парижката академия на науките, през 1795 г. е назначен за член на Бюрото по географски дължини и участва активно в създаването на метричната система от мерки. кръг научно изследванеЛагранж беше необичайно широк. Те са посветени на механиката, геометрията, математическия анализ, алгебрата, теорията на числата и теоретичната астрономия. Основната посока на изследванията на Лагранж е представянето на голямо разнообразие от явления в механиката от единна гледна точка. Той изведе уравнение, което описва поведението на всяка система под въздействието на сили. В областта на астрономията Лагранж направи много за решаването на проблема със стабилността слънчева система; доказа някои специални случаи на стабилно движение, по-специално за малки тела, разположени в така наречените триъгълни точки на либрация.

Метод на Лагранж─ това е метод за решаване на проблем условна оптимизация, в която ограниченията, записани като неявни функции, се комбинират с целевата функция под формата на ново уравнение, наречено Лагранж.

Нека помислим специален случай обща задачаНе линейно програмиране:

Като се има предвид системата нелинейни уравнения (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Намерете най-малката (или най-голямата) стойност на функцията (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

ако няма условия променливите да са неотрицателни и f(x1,x2,…,xn) и gi(x1,x2,…,xn) са функции, които са непрекъснати заедно с техните частни производни.

За да намерите решение на този проблем, можете да използвате следващ метод: 1. Въведете набор от променливи λ1, λ2,…, λm, наречени множители на Лагранж, съставете функцията на Лагранж (3)

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. Намерете частните производни на функцията на Лагранж по отношение на променливите xi и λi и ги приравнете на нула.

3. Решаване на системата от уравнения, намерете точките, в които целева функцияпроблемът може да има екстремум.

4. Сред точките, които са съмнителни, че не са екстремуми, намерете тези, в които е достигнат екстремумът, и изчислете стойностите на функцията в тези точки .

4. Сравнете получените стойности на функцията f и изберете най-добрата.

Според производствения план предприятието трябва да произведе 180 продукта. Тези продукти могат да бъдат произведени по два технологични начина. При производството на продукти x1 по метод I разходите са 4*x1+x1^2 рубли, а при производството на продукти x2 по метод II те са 8*x2+x2^2 рубли. Определете колко продукта трябва да бъдат произведени с всеки метод, така че общите производствени разходи да са минимални.

Решение: Математическата формулировка на проблема е да се определи най-ниска стойностфункции на две променливи:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, при условие, че x1 +x2 = 180.

Нека съставим функцията на Лагранж:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Нека изчислим неговите частни производни по отношение на x1, x2, λ и ги приравним към 0:

Нека преместим λ в дясната страна на първите две уравнения и приравним левите им страни, получаваме 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, или x1 − x2 = 2.

Решавайки последното уравнение заедно с уравнението x1 + x2 = 180, намираме x1 = 91, x2 = 89, т.е. получихме решение, което отговаря на условията:

Нека намерим стойността на целевата функция f за тези стойности на променливите:

F(x1, x2) = 17278

Тази точка е подозрителна за крайна точка. Използвайки втори частни производни, можем да покажем, че в точка (91.89) функцията f има минимум.

Описание на метода

Където .

Обосновка

Следното оправдание за метода на умножителя на Лагранж не е строго доказателство за него. Той съдържа евристични разсъждения, за да помогне за разбирането геометричен смисълметод.

Двуизмерен калъф

Нивелирани линии и крива.

Нека се изисква да се намери екстремумът на някаква функция на две променливи при условието, определено от уравнението . Ще приемем, че всички функции са непрекъснато диференцируеми и това уравнение дефинира гладка крива Сна повърхността. Тогава задачата се свежда до намиране на екстремума на функцията fна кривата С. Това също ще приемем Сне преминава през точки, където градиентът fсе превръща в 0.

Нека начертаем линии на функционално ниво на равнината f(тоест криви). От геометричните съображения става ясно, че екстремумът на функцията fна кривата Сможе да има само точки, в които допирателните към Си съответната линия на ниво съвпадат. Наистина, ако кривата Спресича линията на нивото fв точка напречно (тоест под някакъв ненулев ъгъл), след което се движи по кривата Сот точка можем да стигнем до линиите на нивото, съответстващи на по-голяма стойност f, и по-малко. Следователно такава точка не може да бъде точка на екстремум.

Следователно необходимо условие за екстремум в нашия случай ще бъде съвпадението на допирателните. За да го напишете в аналитична форма, имайте предвид, че е еквивалентно на паралелизма на градиентите на функциите fи ψ в дадена точка, тъй като векторът на градиента е перпендикулярен на допирателната към линията на нивото. Това условие се изразява в следната форма:

където λ е ненулево число, което е множител на Лагранж.

Нека сега да разгледаме Функция на Лагранж, в зависимост от и λ:

Необходимо условие за неговия екстремум е градиентът да е равен на нула. В съответствие с правилата за диференциация се записва във формуляра

Получихме система, чиито първи две уравнения са еквивалентни на необходимото условие локален екстремум(1), а третият - към уравнението . Можете да го намерите от него. Освен това, тъй като в противен случай градиентът на функцията fизчезва в точката , което противоречи на нашите предположения. Трябва да се отбележи, че така намерените точки може да не са желаните точки на условния екстремум – разглежданото условие е необходимо, но не достатъчно. Намиране на условен екстремум с помощта на спомагателна функция Ли формира основата на метода на умножителя на Лагранж, приложен тук за най-простия случай на две променливи. Оказва се, че горното разсъждение може да се обобщи за случай на произволен брой променливи и уравнения, които определят условията.

Въз основа на метода на умножителя на Лагранж е възможно да се докажат някои достатъчни условияза условен екстремум, изискващ анализ на вторите производни на функцията на Лагранж.

Приложение

• Методът на умножителя на Лагранж се използва за решаване на проблеми с нелинейното програмиране, които възникват в много области (например в икономиката).
• Основният метод за решаване на проблема с оптимизирането на качеството на кодиране на аудио и видео данни при даден среден битрейт (оптимизация на изкривяването - английски. Rate-Distortion оптимизация).

Вижте също

Връзки

• Зорич В. А. Математически анализ. Част 1. - изд. 2-ро, рев. и допълнителни - М.: ФАЗИС, 1997.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво представляват „множителите на Лагранж“ в други речници:

Множители на Лагранж- допълнителни фактори, които трансформират целевата функция на екстремален проблем на изпъкнало програмиране (по-специално линейно програмиране), когато го решават с помощта на един от класическите методи, методът за разрешаване на множители... ... Икономически и математически речник

Множители на Лагранж- Допълнителни фактори, които трансформират целевата функция на проблем с екстремално изпъкнало програмиране (по-специално линейно програмиране), когато се решава с помощта на един от класическите методи, методът за разрешаване на множители (метод на Лагранж).... ... Ръководство за технически преводач

Механика. 1) Уравнения на Лагранж от 1-ви род, диференциални уравнения на механичното движение. системи, които са дадени в проекции върху правоъгълни координатни оси и съдържат т.нар. Множители на Лагранж. Получено от J. Lagrange през 1788 г. За холономна система, ... ... Физическа енциклопедия

Обикновена механика диференциални уравнения 2-ри ред, описващ движенията на механ. системи под въздействието на приложени към тях сили. Л.у. установен от J. Lag диапазон в две форми: L. u. 1-ви вид, или уравнения в декартови координати с... ... Математическа енциклопедия

1) в хидромеханиката, уравнението на движението на течност (газ) в променливи на Лагранж, които са координатите на средата. Получи френски учен J. Lagrange (ок. 1780). От Л. у. законът за движение на средата се определя под формата на зависимости... ... Физическа енциклопедия

Метод на умножителя на Лагранж, метод за намиране на условния екстремум на функцията f(x), където, спрямо m ограничения, i варира от едно до m. Съдържание 1 Описание на метода ... Wikipedia

Функция, използвана при решаване на проблеми с условния екстремум на функции на много променливи и функционали. С помощта на L. f. се записват необходимите условияоптималност в задачи за условен екстремум. В този случай не е необходимо да се изразяват само променливи... Математическа енциклопедия

Метод за решаване на задачи върху условен екстремум; L.M.M. се състои в свеждането на тези задачи до задачи върху безусловния екстремум на спомагателна функция, т.нар. Функции на Лагранж. За проблема за екстремума на функцията f (x1, x2,..., xn) за... ...

Променливи, с помощта на които се конструира функцията на Лагранж при изследване на задачи върху условен екстремум. Използването на линейни методи и функцията на Лагранж ни позволява да получим необходимите условия за оптималност в проблеми, включващи условен екстремум по еднакъв начин... Математическа енциклопедия

1) в хидромеханиката, уравненията на движение на течна среда, записани в променливи на Лагранж, които са координатите на частиците на средата. От Л. у. законът за движение на частиците на средата се определя под формата на зависимости на координатите от времето и от тях... ... Велика съветска енциклопедия

• Урок

Всеки добър ден. В тази статия искам да покажа един от графични методистроителство математически моделиза динамични системи, което се нарича облигационна графика(„връзка“ - връзки, „графа“ - графика). В руската литература намерих описание на този метод само в учебника на Томски Политехнически университет, А.В. Воронин “МОДЕЛИРАНЕ НА МЕХАТРОНИЧНИ СИСТЕМИ” 2008 Покажи също класически методчрез уравнението на Лагранж от 2-ри род.

Метод на Лагранж

Няма да описвам теорията, ще покажа етапите на изчисленията с няколко коментара. Лично за мен е по-лесно да се уча от примери, отколкото да чета теория 10 пъти. Струваше ми се, че в руската литература обяснението на този метод, както и математиката или физиката като цяло, е много богато сложни формули, което съответно изисква сериозна математическа подготовка. Докато изучавах метода на Лагранж (уча в Политехническия университет в Торино, Италия), изучавах руска литература, за да сравня методите на изчисление, и ми беше трудно да проследя напредъка на решаването на този метод. Дори да си спомня курсовете по моделиране в Харковския авиационен институт, извеждането на такива методи беше много тромаво и никой не си направи труда да разбере този въпрос. Това реших да напиша, наръчник за конструиране на математически модели по Лагранж, както се оказа не е никак трудно, достатъчно е да знаете как се изчисляват производни по време и частни производни. За по-сложни модели се добавят и ротационни матрици, но и в тях няма нищо сложно.

Характеристики на методите за моделиране:

• Нютон-Ойлер: векторни уравнения, базирани на динамично равновесие силаИ моменти
• Лагранж: скаларни уравнения, базирани на функции на състоянието, свързани с кинетика и потенциал енергии
• Брой облигации: метод, базиран на потока мощностмежду елементите на системата

Да започнем с прост пример. Маса с пружина и демпфер. Пренебрегваме силата на гравитацията.

Фиг. 1. Маса с пружина и демпфер

На първо място, ние обозначаваме:

• начална системакоординати(NSK) или фиксиран ск R0(i0,j0,k0). Където? Можете да посочите с пръст небето, но чрез потрепване на върховете на невроните в мозъка преминава идеята, за да постави NSC на линията на движение на тялото M1.
• координатни системи за всяко тяло с маса(имаме M1 R1(i1,j1,k1)), ориентацията може да бъде произволна, но защо да усложнявате живота си, задайте го с минимална разлика от NSC
• обобщени координати q_i(минималният брой променливи, които могат да опишат движението), в този пример има една обобщена координата, движение само по оста j

Фиг. 2. Записваме координатни системи и обобщени координати

Фигура 3. Позиция и скорост на тялото M1

След това ще намерим кинетичната (C) и потенциалната (P) енергия и дисипативната функция (D) за амортисьора, използвайки формулите:

Фигура 4. Пълна формулакинетична енергия

В нашия пример няма ротация, вторият компонент е 0.

Фигура 5. Изчисляване на кинетична, потенциална енергия и дисипативна функция

Уравнението на Лагранж има следната форма:

Фиг. 6. Уравнение на Лагранж и Лагранжиан

Делта W_iТова е виртуална работа, извършена от приложени сили и моменти. Да я намерим:

Фигура 7. Изчисляване на виртуална работа

Където делта q_1виртуално движение.

Заместваме всичко в уравнението на Лагранж:

Фиг. 8. Полученият масов модел с пружина и амортисьор

Това е мястото, където методът на Лагранж свършва. Както можете да видите, не е толкова сложно, но все пак е много прост пример, за който най-вероятно методът на Нютон-Ойлер би бил дори по-прост. За по-сложни системи, където ще има няколко тела, завъртани едно спрямо друго под различни ъгли, методът на Лагранж ще бъде по-лесен.

Метод на облигацииграфика

Веднага ще ви покажа как изглежда моделът в bond-graph за пример с маса, пружина и демпфер:

Фиг. 9. Bond-graph маси с пружина и демпфер

Тук ще трябва да разкажете малко теория, която ще бъде достатъчна за изграждане прости модели. Ако някой се интересува, може да прочете книгата ( Методология на Bond Graph) или ( Воронин А.В. Моделиране на мехатронни системи: урок. – Томск: Издателство на Томския политехнически университет, 2008 г).

Нека първо да определим това сложни системисе състои от няколко домейна. Например, електрическият двигател се състои от електрически и механични части или домейни.

облигационна графикавъз основа на обмена на енергия между тези домейни, подсистеми. Обърнете внимание, че обменът на енергия, независимо от неговата форма, винаги се определя от две променливи ( променлива мощност), с помощта на които можем да изследваме взаимодействието на различни подсистеми в динамична система (виж таблицата).

Както се вижда от таблицата, изразяването на власт е почти еднакво навсякъде. В обобщение, Мощност- Тази работа " поток - f" На " усилие - e».

Усилие(Английски) усилие) в електрическата област това е напрежение (e), в механичната област е сила (F) или въртящ момент (T), в хидравликата е налягане (p).

Поток(Английски) поток) в електрическата област е ток (i), в механичната област е скорост (v) или ъглова скорост(омега), в хидравликата – флуиден поток или дебит (Q).

Като вземем тези обозначения, получаваме израз за мощност:

Фиг. 10. Формула за мощност чрез променливи за мощност

В езика на графиката на връзката връзката между две подсистеми, които обменят мощност, е представена чрез връзка. връзка). Затова се нарича този метод бонд-графили ж raf-връзки, свързан граф. Нека помислим блокова схемавръзки в модел с електрически двигател (това все още не е графика на връзката):

Фиг. 11. Блокова диаграма на потока на мощността между домейни

Ако имаме източник на напрежение, тогава той съответно генерира напрежение и го предава на двигателя за намотка (затова стрелката е насочена към двигателя), в зависимост от съпротивлението на намотката се появява ток според закона на Ом (насочен от двигателя към източника). Съответно една променлива е вход към подсистемата, а втората трябва да бъде изходот подсистемата. Тук напрежението ( усилие) – вход, ток ( поток) - изход.

Ако използвате източник на ток, как ще се промени диаграмата? вярно Токът ще бъде насочен към двигателя, а напрежението към източника. Тогава текущият ( поток) - входен волтаж ( усилие) - изход.

Нека да разгледаме един пример в механиката. Сила, действаща върху маса.

Фиг. 12. Сила, приложена към масата

Блоковата схема ще бъде както следва:

Фиг. 13. Блокова схема

В този пример Сила ( усилие) – входна променлива за маса. (Сила, приложена към масата)
Според втория закон на Нютон:

Масата отговаря бързо:

В този пример, ако една променлива ( сила - усилие) е входв механичната област, след това друга променлива на мощността ( скорост - поток) – автоматично става изход.

За да се разграничи къде е входът и къде е изходът, се използва вертикална линия в края на стрелката (връзката) между елементите, тази линия се нарича знак за причинност или причинно-следствена връзка (причинно-следствена връзка). Оказва се, че приложената сила е причината, а скоростта е следствието. Този знак е много важен за правилното изграждане на системен модел, тъй като причинно-следствената връзка е следствие физическо поведениеи обмен на мощности на две подсистеми, следователно изборът на местоположението на знака за причинност не може да бъде произволен.

Фиг. 14. Обозначаване на причинно-следствената връзка

Тази вертикална линия показва коя подсистема получава силата ( усилие) и в резултат на това генерира поток ( поток). В примера с маса би било така:

Фиг. 14. Причинно-следствена връзка за силата, действаща върху масата

От стрелката е ясно, че входът за маса е - сила, а изходът е скорост. Това се прави, за да не се претрупва диаграмата със стрелки и да се систематизира конструкцията на модела.

Следващия важен момент. Генерализиран импулс(количество движение) и движещ се(енергийни променливи).

Таблица на променливите мощност и енергия в различни области

Таблицата по-горе въвежда две допълнителни физически величини, използвани в метода на графиката на връзката. Те се наричат генерализиран импулс (Р) И генерализирано движение (р) или енергийни променливи и те могат да бъдат получени чрез интегриране на мощностни променливи във времето:

Фиг. 15. Връзка между променливите мощност и енергия

В електрическата област :

Въз основа на закона на Фарадей, волтажв краищата на проводника е равна на производната на магнитния поток през този проводник.

А Текуща сила - физическо количество, равно на отношението на количеството заряд Q, преминаващо през известно време t напречно сечениепроводник, до стойността на този период от време.

Механична област:

От 2-рия закон на Нютон, Сила– времева производна на импулса

И съответно, скорост- времева производна на изместване:

Нека да обобщим:

Основни елементи

Всички елементи в динамичните системи могат да бъдат разделени на двуполюсни и четириполюсни компоненти.
Нека помислим биполярни компоненти:

Източници
Има източници както на усилие, така и на поток. Аналогия в електрическата област: източник на усилия – източник на напрежение, източник на поток – източник на ток. Причинно-следствените знаци за източниците трябва да бъдат само такива.

Фиг. 16. Причинно-следствени връзки и обозначаване на източници

Компонент R – дисипативен елемент

Компонент I – инерционен елемент

Компонент C – капацитивен елемент

Както се вижда от фигурите, различни елементи от същ тип R,C,Iописани със същите уравнения. Има разлика САМО в електрическия капацитет, просто трябва да я запомните!

Четириполюсни компоненти:

Нека разгледаме два компонента: трансформатор и жиратор.

Последните важни компоненти в метода на графиката на връзката са връзките. Има два вида възли:

Това е с компонентите.

Основните стъпки за установяване на причинно-следствени връзки след конструиране на графика на връзка:

1. Дайте причинно-следствени връзки на всички източници
2. Преминете през всички възли и запишете причинно-следствени връзки след точка 1
3. За компоненти Iзадайте входна причинно-следствена връзка (усилието е включено в този компонент), за компоненти Cприсвояване на изходна причинно-следствена връзка (усилието произлиза от този компонент)
4. Повторете точка 2
5. Въведете причинно-следствени връзки за R компоненти

Това завършва мини-курса по теория. Сега имаме всичко необходимо за изграждане на модели.
Нека решим няколко примера. Нека започнем с електрическа верига, по-добре е да разберем аналогията с конструирането на графика на връзката.

Пример 1

Нека започнем да изграждаме графика на връзка с източник на напрежение. Просто напишете Se и поставете стрелка.

Вижте, всичко е просто! Нека да разгледаме по-нататък, R и L са свързани последователно, което означава, че в тях протича един и същ ток, ако говорим за променливи на мощността - един и същ поток. Кой възел има същия поток? Правилният отговор е 1 възел. Свързваме източника, съпротивлението (компонент - R) и индуктивността (компонент - I) към 1-възел.

След това имаме капацитет и съпротивление в паралел, което означава, че те имат същото напрежение или сила. 0-node е подходящ като никой друг. Свързваме капацитета (компонент C) и съпротивлението (компонент R) към 0-възела.

Също така свързваме възли 1 и 0 един с друг. Посоката на стрелките се избира произволно, посоката на връзката засяга само знака в уравненията.

Ще получите следната графика на връзката:

Сега трябва да установим причинно-следствени връзки. Следвайки указанията за последователността на поставянето им, нека започнем с източника.

1. Имаме източник на напрежение (усилие), такъв източник има само една опция за причинност - изход. Нека го облечем.
2. Следва компонент I, нека видим какво препоръчват. Ние поставяме
3. Сложихме го за 1-възел. Яжте
4. 0-възел трябва да има един вход и всички изходни причинно-следствени връзки. Засега имаме един почивен ден. Търсим компоненти C или I. Намерихме го. Ние поставяме
5. Нека изброим каквото е останало

Това е всичко. Построена е графика на облигации. Ура, другари!

Остава само да напишем уравненията, които описват нашата система. За да направите това, създайте таблица с 3 колони. Първият ще съдържа всички компоненти на системата, вторият ще съдържа входната променлива за всеки елемент, а третият ще съдържа изходната променлива за същия компонент. Вече дефинирахме входа и изхода чрез причинно-следствени връзки. Така че не би трябвало да има проблеми.

Нека номерираме всяка връзка за по-лесно записване на нивата. Взимаме уравненията за всеки елемент от списъка с компоненти C, R, I.

След като съставихме таблица, ние дефинираме променливите на състоянието, в този пример има 2 от тях, p3 и q5. След това трябва да запишете уравненията на състоянието:

Това е всичко, моделът е готов.

Пример 2. Бих искал веднага да се извиня за качеството на снимката, основното е, че можете да четете

Нека решим друг пример за механична система, същата, която решихме с помощта на метода на Лагранж. Ще покажа решението без коментар. Нека да проверим кой от тези методи е по-прост и лесен.

В Матбала са компилирани и двата математически модела с еднакви параметри, получени по метода на Лагранж и графика на връзката. Резултатът е по-долу: Добавете тагове

Методът за определяне на условен екстремум започва с конструирането на спомагателна функция на Лагранж, която в областта на възможните решения достига максимум за същите стойности на променливите х 1 , х 2 , ..., х н , което е същото като целевата функция z . Нека задачата за определяне на условния екстремум на функцията е решена z = f(X) под ограничения φ i ( х 1 , х 2 , ..., х н ) = 0, i = 1, 2, ..., м , м < н

Нека съставим функция

което се нарича Функция на Лагранж. х , - постоянни фактори ( Множители на Лагранж). Обърнете внимание, че на множителите на Лагранж може да се даде икономическо значение. Ако f(x 1 , х 2 , ..., х н ) - приходи в съответствие с плана X = (x 1 , х 2 , ..., х н ) , и функцията φ i (х 1 , х 2 , ..., х н ) - разходи за i-тия ресурс, съответстващ на този план, тогава х , е цената (оценката) на i-тия ресурс, характеризираща изменението на екстремната стойност на целевата функция в зависимост от изменението на размера на i-тия ресурс (пределна оценка). L(X) - функция n+m променливи (х 1 , х 2 , ..., х н , λ 1 , λ 2 , ..., λ н ) . Определянето на стационарните точки на тази функция води до решаване на системата от уравнения

Лесно е да се види това . По този начин задачата за намиране на условния екстремум на функцията z = f(X) се свежда до намиране на локалния екстремум на функцията L(X) . Ако се намери стационарна точка, тогава въпросът за съществуването на екстремум в най-простите случаи се решава въз основа на достатъчни условия за екстремума - изучаване на знака на втория диференциал д 2 L(X) в стационарна точка, при условие че променливата нараства Δx i - свързани с връзки

получен чрез диференциране на уравненията на свързване.

Решаване на система от нелинейни уравнения с две неизвестни чрез инструмента Find Solution

Настройки Намиране на решениеви позволява да намерите решение на система от нелинейни уравнения с две неизвестни:

Където
- нелинейна функция на променливи х И г ,
- произволна константа.

Известно е, че двойката ( х , г ) е решение на система от уравнения (10) тогава и само ако е решение на следното уравнение с две неизвестни:

СЪСот друга страна, решението на система (10) е пресечните точки на две криви: f ] (х, г) = ° С И f 2 (x, y) = C 2 на повърхността XOY.

Това води до метод за намиране на корените на системата. нелинейни уравнения:

Определете (поне приблизително) интервала на съществуване на решение на системата от уравнения (10) или уравнение (11). Тук е необходимо да се вземе предвид вида на уравненията, включени в системата, областта на дефиниране на всяко от техните уравнения и т.н. Понякога се използва избор на първоначално приближение на решението;

Табулирайте решението на уравнение (11) за променливите x и y на избрания интервал или изградете графики на функции f 1 (х, г) = C, и f 2 (x,y) = C 2 (система (10)).

Локализирайте предполагаемите корени на системата от уравнения - намерете няколко минимални стойности от таблицата, представяща корените на уравнение (11), или определете пресечните точки на кривите, включени в системата (10).

4. Намерете корените на системата от уравнения (10) с помощта на добавката Намиране на решение.