আসলে, একটি চিত্রের ক্ষেত্র খুঁজে পেতে, আপনার অনির্দিষ্ট এবং নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সম্পর্কে এত জ্ঞানের প্রয়োজন নেই। টাস্ক "ব্যবহার করে এলাকা গণনা করুন নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য"সর্বদা একটি অঙ্কন নির্মাণ জড়িত, আরও অনেক কিছু প্রাসঙ্গিক সমস্যাঅঙ্কন আপনার জ্ঞান এবং দক্ষতা হবে. এই বিষয়ে, মৌলিক প্রাথমিক ফাংশনগুলির গ্রাফগুলির আপনার স্মৃতিকে রিফ্রেশ করা এবং ন্যূনতম, একটি সরল রেখা এবং একটি হাইপারবোলা তৈরি করতে সক্ষম হওয়া দরকারী।

একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড একটি সমতল চিত্র অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ, সরলরেখা, এবং একটি ব্যবধানে ক্রমাগত একটি ফাংশনের গ্রাফ, যা এই ব্যবধানে চিহ্ন পরিবর্তন করে না। এই চিত্রটি অবস্থিত করা যাক কম না x-অক্ষ:

তারপর একটি বক্ররেখা ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল সংখ্যাগতভাবে একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের সমান. যেকোন সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য (যা বিদ্যমান) এর একটি খুব ভাল জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে।

জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, নির্দিষ্ট অখণ্ড হল AREA.

এটাই,একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য (যদি এটি বিদ্যমান থাকে) জ্যামিতিকভাবে একটি নির্দিষ্ট চিত্রের ক্ষেত্রের সাথে মিলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বিবেচনা করুন। ইন্টিগ্র্যান্ড অক্ষের উপরে অবস্থিত সমতলে একটি বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করে (যারা ইচ্ছুক একটি অঙ্কন করতে পারে), এবং নির্দিষ্ট অখণ্ডটি নিজেই সংখ্যাগতভাবে ক্ষেত্রফলের সমানঅনুরূপ বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড।

উদাহরণ 1

এটি একটি সাধারণ অ্যাসাইনমেন্ট বিবৃতি। প্রথম এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ মুহূর্তসমাধান - অঙ্কন অঙ্কন. তাছাড়া, অঙ্কন নির্মাণ করা আবশ্যক ডান.

একটি অঙ্কন নির্মাণ করার সময়, আমি নিম্নলিখিত আদেশ সুপারিশ: প্রথমেসমস্ত সরল রেখা (যদি তারা বিদ্যমান থাকে) এবং শুধুমাত্র নির্মাণ করা ভাল তারপর- প্যারাবোলাস, হাইপারবোলাস, অন্যান্য ফাংশনের গ্রাফ। ফাংশনগুলির গ্রাফ তৈরি করা আরও লাভজনক বিস্তারিতভাবে.

এই সমস্যা, সমাধান এই মত দেখতে পারে.
আসুন অঙ্কনটি আঁকুন (মনে রাখবেন যে সমীকরণটি অক্ষকে সংজ্ঞায়িত করে):

সেগমেন্টে, ফাংশনের গ্রাফটি অবস্থিত অক্ষের উপরে, এই জন্য:

উত্তর:

টাস্ক শেষ হওয়ার পরে, অঙ্কনটি দেখতে এবং উত্তরটি আসল কিনা তা নির্ধারণ করা সর্বদা কার্যকর। ভিতরে এক্ষেত্রে"চোখ দ্বারা" আমরা অঙ্কনে কক্ষের সংখ্যা গণনা করি - ভাল, প্রায় 9টি থাকবে, এটি সত্য বলে মনে হচ্ছে। এটি সম্পূর্ণরূপে পরিষ্কার যে আমরা যদি পেয়ে থাকি তবে বলুন, উত্তর: 20 বর্গ একক, তাহলে এটা স্পষ্ট যে কোথাও একটি ভুল করা হয়েছিল - 20 টি ঘর স্পষ্টভাবে প্রশ্নে থাকা চিত্রের সাথে ফিট করে না, সর্বাধিক এক ডজন। যদি উত্তর নেতিবাচক হয়, তাহলে কাজটিও ভুলভাবে সমাধান করা হয়েছিল।

উদাহরণ 3

রেখা এবং সমন্বয় অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন।

সমাধান: আসুন একটি অঙ্কন করি:

যদি একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড অবস্থিত হয় অক্ষ অধীনে(অথবা কম পক্ষে উচ্চতর নাদেওয়া অক্ষ), তারপর সূত্র ব্যবহার করে এর ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে:

এক্ষেত্রে:

মনোযোগ! দুই ধরনের কাজ বিভ্রান্ত করা উচিত নয়:

1) যদি আপনাকে একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করতে বলা হয় কোনটি ছাড়াই জ্যামিতিক অর্থ, তাহলে এটা নেতিবাচক হতে পারে।

2) যদি আপনাকে একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল বের করতে বলা হয়, তাহলে ক্ষেত্রটি সর্বদা ইতিবাচক হয়! সেজন্য শুধু আলোচিত সূত্রে মাইনাস দেখা যাচ্ছে।

অনুশীলনে, প্রায়শই চিত্রটি উপরের এবং নীচের অর্ধ-সমতল উভয় ক্ষেত্রেই অবস্থিত এবং তাই, সহজতম স্কুল সমস্যা থেকে আমরা আরও অর্থবহ উদাহরণগুলিতে চলে যাই।

উদাহরণ 4

এলাকা খুঁজুন সমতল চিত্র, লাইন দ্বারা আবদ্ধ , .

সমাধান: প্রথমে আপনাকে অঙ্কনটি সম্পূর্ণ করতে হবে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, এলাকার সমস্যায় একটি অঙ্কন তৈরি করার সময়, আমরা লাইনের ছেদ বিন্দুতে সবচেয়ে বেশি আগ্রহী। আসুন প্যারাবোলা এবং সরলরেখার ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে বের করি। এটা দুইভাবে সম্পাদন করা যেতে পারে। প্রথম পদ্ধতিটি বিশ্লেষণমূলক। আমরা সমীকরণটি সমাধান করি:

এর মানে হল একীকরণের নিম্ন সীমা, একীকরণের উপরের সীমা।

সম্ভব হলে এই পদ্ধতি ব্যবহার না করাই ভালো।.

এটা অনেক বেশি লাভজনক এবং দ্রুত লাইন বিন্দু বিন্দু নির্মাণ, এবং একীকরণের সীমা "নিজেদের দ্বারা" পরিষ্কার হয়ে যায়। তবুও, সীমা খুঁজে বের করার বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতিটি এখনও কখনও কখনও ব্যবহার করতে হয় যদি, উদাহরণস্বরূপ, গ্রাফটি যথেষ্ট বড় হয়, বা বিশদ নির্মাণ একীকরণের সীমা প্রকাশ না করে (সেগুলি ভগ্নাংশ বা অযৌক্তিক হতে পারে)। এবং আমরা যেমন একটি উদাহরণ বিবেচনা করবে।

আসুন আমাদের কাজে ফিরে যাই: প্রথমে একটি সরল রেখা এবং শুধুমাত্র তারপর একটি প্যারাবোলা তৈরি করা আরও যুক্তিযুক্ত। চলুন অঙ্কন করা যাক:

এবং এখন কাজের সূত্র: যদি সেগমেন্টে কিছু একটানা ফাংশন থাকে এর চেয়ে বড় বা সমানকিছু ক্রমাগত ফাংশন, তারপর এই ফাংশনগুলির গ্রাফ এবং রেখাগুলি দ্বারা সীমাবদ্ধ চিত্রের ক্ষেত্রফল , , সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:

এখানে আপনাকে আর ভাবতে হবে না যে চিত্রটি কোথায় অবস্থিত - অক্ষের উপরে বা অক্ষের নীচে, এবং মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, কোন গ্রাফটি বেশি তা গুরুত্বপূর্ণ(অন্য গ্রাফের সাথে সম্পর্কিত), এবং নিচে কোনটি.

বিবেচনাধীন উদাহরণে, এটা স্পষ্ট যে সেগমেন্টে প্যারাবোলা সরলরেখার উপরে অবস্থিত, এবং তাই এটি থেকে বিয়োগ করা প্রয়োজন

সম্পূর্ণ সমাধান এই মত দেখতে পারে:

পছন্দসই চিত্রটি উপরে একটি প্যারাবোলা এবং নীচে একটি সরল রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ।
সেগমেন্টে, সংশ্লিষ্ট সূত্র অনুযায়ী:

উত্তর:

উদাহরণ 4

রেখা দ্বারা আবদ্ধ চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন , , .

সমাধান: প্রথমে একটি অঙ্কন করা যাক:

যে চিত্রটির এলাকাটি আমাদের খুঁজে বের করতে হবে তা হল ছায়াযুক্ত নীল(শর্তটি সাবধানে দেখুন - চিত্রটি কীভাবে সীমাবদ্ধ!) কিন্তু অনুশীলনে, অসাবধানতার কারণে, প্রায়শই একটি "গল্প" দেখা দেয় যে আপনাকে ছায়াযুক্ত একটি চিত্রের ক্ষেত্র খুঁজে বের করতে হবে সবুজ!

এই উদাহরণটি এই ক্ষেত্রেও দরকারী যে এটি দুটি নির্দিষ্ট অখণ্ড ব্যবহার করে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করে।

সত্যিই:

1) অক্ষের উপরের অংশে একটি সরল রেখার একটি গ্রাফ রয়েছে;

2) অক্ষের উপরের অংশে একটি হাইপারবোলার একটি গ্রাফ রয়েছে।

এটি বেশ সুস্পষ্ট যে এলাকাগুলি যোগ করা যেতে পারে (এবং উচিত) তাই:

নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা যায়

চলুন অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসের প্রয়োগ বিবেচনা করা যাক। এই পাঠে আমরা সাধারণ এবং সবচেয়ে সাধারণ কাজটি বিশ্লেষণ করব - একটি সমতল চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য কীভাবে একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করবেন. অবশেষে, যারা উচ্চতর গণিতে অর্থ খুঁজছেন - তারা এটি খুঁজে পেতে পারেন। আপনি কখনো জানেন না. আমাদের এটিকে জীবনে আরও কাছে আনতে হবে দেশের কুটির এলাকাপ্রাথমিক ফাংশন এবং একটি নির্দিষ্ট অখণ্ড ব্যবহার করে এর ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করুন।

উপাদানটি সফলভাবে আয়ত্ত করতে, আপনাকে অবশ্যই:

1) বুঝুন অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যঅন্তত একটি গড় স্তরে। সুতরাং, ডামিদের প্রথমে পাঠটি পড়তে হবে না.

2) নিউটন-লাইবনিজ সূত্র প্রয়োগ করতে এবং সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করতে সক্ষম হন। আপনি পৃষ্ঠায় কিছু অবিচ্ছেদ্য সঙ্গে উষ্ণ বন্ধুত্বপূর্ণ সম্পর্ক স্থাপন করতে পারেন নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. সমাধানের উদাহরণ.

আসলে, একটি চিত্রের ক্ষেত্র খুঁজে পেতে, আপনার অনির্দিষ্ট এবং নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সম্পর্কে এত জ্ঞানের প্রয়োজন নেই। কাজ "একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে এলাকা গণনা" সবসময় একটি অঙ্কন নির্মাণ জড়িত, তাই আপনার জ্ঞান এবং অঙ্কন দক্ষতা অনেক বেশি চাপের বিষয় হবে। এই বিষয়ে, মৌলিক প্রাথমিক ফাংশনগুলির গ্রাফগুলির আপনার স্মৃতিকে রিফ্রেশ করা এবং ন্যূনতম, একটি সরল রেখা, প্যারাবোলা এবং হাইপারবোলা তৈরি করতে সক্ষম হওয়া দরকারী। এটি ব্যবহার করে করা যেতে পারে (অনেকের জন্য এটি প্রয়োজনীয়) পদ্ধতিগত উপাদানএবং গ্রাফের জ্যামিতিক রূপান্তর সম্পর্কিত নিবন্ধ।

প্রকৃতপক্ষে, প্রত্যেকেই স্কুলের সময় থেকেই একটি নির্দিষ্ট অখণ্ড ব্যবহার করে এলাকা খুঁজে বের করার কাজটির সাথে পরিচিত, এবং আমরা এর থেকে খুব বেশি এগিয়ে যাব না স্কুলের পাঠ্যক্রম. এই নিবন্ধটি হয়তো আদৌ বিদ্যমান ছিল না, কিন্তু সত্য যে সমস্যাটি 100টির মধ্যে 99টি ক্ষেত্রে ঘটে, যখন একজন শিক্ষার্থী একটি ঘৃণ্য স্কুল থেকে ভুগে এবং উচ্চতর গণিতের একটি কোর্সে উৎসাহের সাথে মাস্টার্স করে।

এই কর্মশালার উপকরণ সহজভাবে, বিস্তারিতভাবে এবং ন্যূনতম তত্ত্বের সাথে উপস্থাপন করা হয়েছে।

এর একটি বাঁকা trapezoid সঙ্গে শুরু করা যাক.

বক্ররেখা ট্র্যাপিজয়েডএকটি সমতল চিত্র যা একটি অক্ষ, সরল রেখা এবং একটি ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন একটি ফাংশনের গ্রাফ দ্বারা আবদ্ধ যা এই ব্যবধানে চিহ্ন পরিবর্তন করে না। এই চিত্রটি অবস্থিত করা যাক কম না x-অক্ষ:

তারপর একটি বক্ররেখা ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল সংখ্যাগতভাবে একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের সমান. যেকোন সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য (যা বিদ্যমান) এর একটি খুব ভাল জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে। এই পাঠে নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. সমাধানের উদাহরণআমি বলেছিলাম যে একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য একটি সংখ্যা। এবং এখন আরও একটি বলার সময় এসেছে দরকারী সত্য. জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, নির্দিষ্ট অখণ্ড হল AREA.

এটাই, নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য (যদি এটি বিদ্যমান থাকে) জ্যামিতিকভাবে একটি নির্দিষ্ট চিত্রের ক্ষেত্রফলের সাথে মিলে যায়. উদাহরণস্বরূপ, সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বিবেচনা করুন। ইন্টিগ্র্যান্ড অক্ষের উপরে অবস্থিত সমতলে একটি বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করে (যারা ইচ্ছুক একটি অঙ্কন করতে পারে), এবং নির্দিষ্ট অখণ্ডটি নিজেই সংখ্যাগতভাবে সংশ্লিষ্ট বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফলের সমান।

উদাহরণ 1

এটি একটি সাধারণ অ্যাসাইনমেন্ট বিবৃতি। সিদ্ধান্তের প্রথম এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল একটি অঙ্কন নির্মাণ. তাছাড়া, অঙ্কন নির্মাণ করা আবশ্যক ডান.

একটি অঙ্কন নির্মাণ করার সময়, আমি নিম্নলিখিত আদেশ সুপারিশ: প্রথমেসমস্ত সরল রেখা (যদি তারা বিদ্যমান থাকে) এবং শুধুমাত্র নির্মাণ করা ভাল তারপর- প্যারাবোলাস, হাইপারবোলাস, অন্যান্য ফাংশনের গ্রাফ। ফাংশনগুলির গ্রাফ তৈরি করা আরও লাভজনক বিস্তারিতভাবে, পয়েন্ট-বাই-পয়েন্ট নির্মাণ কৌশল রেফারেন্স উপাদান পাওয়া যাবে গ্রাফ এবং প্রাথমিক ফাংশন বৈশিষ্ট্য. সেখানে আপনি আমাদের পাঠের জন্য খুব দরকারী উপাদান খুঁজে পেতে পারেন - কিভাবে দ্রুত একটি প্যারাবোলা তৈরি করতে হয়।

এই সমস্যা, সমাধান এই মত দেখতে পারে.
আসুন অঙ্কনটি আঁকুন (মনে রাখবেন যে সমীকরণটি অক্ষকে সংজ্ঞায়িত করে):

আমি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েডকে ছায়া দেব না; আমরা কোন এলাকার কথা বলছি তা এখানে স্পষ্ট। সমাধান এই মত চলতে থাকে:

সেগমেন্টে, ফাংশনের গ্রাফটি অবস্থিত অক্ষের উপরে, এই জন্য:

উত্তর:

সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করতে এবং নিউটন-লাইবনিজ সূত্র প্রয়োগ করতে কার অসুবিধা রয়েছে? , বক্তৃতা পড়ুন নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. সমাধানের উদাহরণ.

টাস্ক শেষ হওয়ার পরে, অঙ্কনটি দেখতে এবং উত্তরটি আসল কিনা তা নির্ধারণ করা সর্বদা কার্যকর। এই ক্ষেত্রে, আমরা "চোখ দ্বারা" অঙ্কনটিতে কোষের সংখ্যা গণনা করি - ভাল, প্রায় 9টি থাকবে, এটি সত্য বলে মনে হয়। এটা একেবারেই পরিষ্কার যে আমরা যদি উত্তর পাই, বলুন: 20 বর্গ ইউনিট, তাহলে এটা স্পষ্ট যে কোথাও একটা ভুল হয়েছে - 20 টি ঘর স্পষ্টতই প্রশ্নে থাকা চিত্রের সাথে খাপ খায় না, অন্তত এক ডজন। যদি উত্তর নেতিবাচক হয়, তাহলে কাজটিও ভুলভাবে সমাধান করা হয়েছিল।

উদাহরণ 2

রেখা , , এবং অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন

এই জন্য একটি উদাহরণ স্বাধীন সিদ্ধান্ত. সম্পূর্ণ সমাধানএবং পাঠ শেষে উত্তর।

বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড অবস্থিত হলে কি করবেন অক্ষ অধীনে?

উদাহরণ 3

রেখা এবং সমন্বয় অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন।

সমাধান: আসুন একটি অঙ্কন করি:

যদি একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড অবস্থিত হয় অক্ষ অধীনে(অথবা কম পক্ষে উচ্চতর নাদেওয়া অক্ষ), তারপর সূত্র ব্যবহার করে এর ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে:
এক্ষেত্রে:

মনোযোগ! দুই ধরনের কাজ বিভ্রান্ত করা উচিত নয়:

1) যদি আপনাকে কোন জ্যামিতিক অর্থ ছাড়াই কেবল একটি নির্দিষ্ট অখণ্ড সমাধান করতে বলা হয়, তাহলে এটি নেতিবাচক হতে পারে।

2) যদি আপনাকে একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল বের করতে বলা হয়, তাহলে ক্ষেত্রটি সর্বদা ইতিবাচক হয়! সেজন্য শুধু আলোচিত সূত্রে মাইনাস দেখা যাচ্ছে।

অনুশীলনে, প্রায়শই চিত্রটি উপরের এবং নীচের অর্ধ-সমতল উভয় ক্ষেত্রেই অবস্থিত এবং তাই, সহজতম স্কুল সমস্যা থেকে আমরা আরও অর্থবহ উদাহরণগুলিতে চলে যাই।

উদাহরণ 4

রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজুন।

সমাধান: প্রথমে আপনাকে অঙ্কনটি সম্পূর্ণ করতে হবে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, এলাকার সমস্যায় একটি অঙ্কন তৈরি করার সময়, আমরা লাইনের ছেদ বিন্দুতে সবচেয়ে বেশি আগ্রহী। আসুন প্যারাবোলা এবং সরলরেখার ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে বের করি। এটা দুইভাবে সম্পাদন করা যেতে পারে। প্রথম পদ্ধতিটি বিশ্লেষণমূলক। আমরা সমীকরণটি সমাধান করি:

এর মানে হল একীকরণের নিম্ন সীমা, একীকরণের উপরের সীমা।
সম্ভব হলে এই পদ্ধতি ব্যবহার না করাই ভালো।.

এটা অনেক বেশি লাভজনক এবং দ্রুত লাইন বিন্দু বিন্দু নির্মাণ, এবং একীকরণের সীমা "নিজেদের দ্বারা" পরিষ্কার হয়ে যায়। বিভিন্ন গ্রাফের জন্য পয়েন্ট-বাই-পয়েন্ট নির্মাণ কৌশল সাহায্যে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে গ্রাফ এবং প্রাথমিক ফাংশন বৈশিষ্ট্য. তবুও, সীমা খুঁজে বের করার বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতিটি এখনও কখনও কখনও ব্যবহার করতে হয় যদি, উদাহরণস্বরূপ, গ্রাফটি যথেষ্ট বড় হয়, বা বিশদ নির্মাণ একীকরণের সীমা প্রকাশ না করে (সেগুলি ভগ্নাংশ বা অযৌক্তিক হতে পারে)। এবং আমরা যেমন একটি উদাহরণ বিবেচনা করবে।

আসুন আমাদের কাজে ফিরে যাই: প্রথমে একটি সরল রেখা এবং শুধুমাত্র তারপর একটি প্যারাবোলা তৈরি করা আরও যুক্তিযুক্ত। চলুন অঙ্কন করা যাক:

আমি আবার বলছি যে পয়েন্টওয়াইজ নির্মাণ করার সময়, ইন্টিগ্রেশনের সীমা প্রায়শই "স্বয়ংক্রিয়ভাবে" পাওয়া যায়।

এবং এখন কাজের সূত্র: যদি সেগমেন্টে কিছু একটানা ফাংশন থাকে এর চেয়ে বড় বা সমানকিছু একটানা ফাংশন, তারপর এই ফাংশনগুলির গ্রাফ এবং রেখাগুলি দ্বারা আবদ্ধ চিত্রের ক্ষেত্রফল, , সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে:

এখানে আপনাকে আর ভাবতে হবে না যে চিত্রটি কোথায় অবস্থিত - অক্ষের উপরে বা অক্ষের নীচে, এবং মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, কোন গ্রাফটি বেশি তা গুরুত্বপূর্ণ(অন্য গ্রাফের সাথে সম্পর্কিত), এবং নিচে কোনটি.

বিবেচনাধীন উদাহরণে, এটা স্পষ্ট যে সেগমেন্টে প্যারাবোলা সরলরেখার উপরে অবস্থিত, এবং তাই এটি থেকে বিয়োগ করা প্রয়োজন

সম্পূর্ণ সমাধান এই মত দেখতে পারে:

পছন্দসই চিত্রটি উপরে একটি প্যারাবোলা এবং নীচে একটি সরল রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ।
সেগমেন্টে, সংশ্লিষ্ট সূত্র অনুযায়ী:

উত্তর:

প্রকৃতপক্ষে, নিম্ন অর্ধ-সমতলের একটি বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফলের জন্য স্কুল সূত্রটি (সরল উদাহরণ নং 3 দেখুন) বিশেষ মামলাসূত্র . যেহেতু অক্ষটি সমীকরণ দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়েছে এবং ফাংশনের গ্রাফটি অবস্থিত উচ্চতর নাঅক্ষ, তারপর

এবং এখন আপনার নিজের সমাধানের জন্য কয়েকটি উদাহরণ

উদাহরণ 5

উদাহরণ 6

রেখা দ্বারা আবদ্ধ চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজুন,।

একটি সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে এলাকা গণনা করার সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, একটি মজার ঘটনা কখনও কখনও ঘটে। অঙ্কন সঠিকভাবে করা হয়েছিল, গণনা সঠিক ছিল, কিন্তু অসাবধানতার কারণে ... ভুল চিত্রের এলাকা পাওয়া গেছে, ঠিক এভাবেই আপনার নম্র ভৃত্য বেশ কয়েকবার ছটফট করেছে। এখানে বাস্তব ক্ষেত্রেজীবন থেকে:

উদাহরণ 7

রেখা দ্বারা আবদ্ধ চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন , , .

সমাধান: প্রথমে একটি অঙ্কন করা যাক:

...এহ, অঙ্কনটি বাজেভাবে বেরিয়ে এসেছে, কিন্তু সবকিছুই পাঠযোগ্য বলে মনে হচ্ছে।

যে চিত্রটির এলাকাটি আমাদের খুঁজে বের করতে হবে তা হল ছায়াযুক্ত নীল(শর্তটি সাবধানে দেখুন - চিত্রটি কীভাবে সীমাবদ্ধ!) কিন্তু অনুশীলনে, অসাবধানতার কারণে, একটি "গল্প" প্রায়শই ঘটে যে আপনাকে একটি চিত্রের ক্ষেত্রটি খুঁজে বের করতে হবে যা সবুজ রঙে ছায়াযুক্ত!

এই উদাহরণটি এই ক্ষেত্রেও দরকারী যে এটি দুটি নির্দিষ্ট অখণ্ড ব্যবহার করে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করে। সত্যিই:

1) অক্ষের উপরের অংশে একটি সরল রেখার একটি গ্রাফ রয়েছে;

2) অক্ষের উপরের অংশে একটি হাইপারবোলার একটি গ্রাফ রয়েছে।

এটি বেশ সুস্পষ্ট যে এলাকাগুলি যোগ করা যেতে পারে (এবং উচিত) তাই:

উত্তর:

চলুন আরেকটি অর্থবহ কাজে এগিয়ে যাই।

উদাহরণ 8

রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন,
আসুন সমীকরণগুলিকে "স্কুল" আকারে উপস্থাপন করি এবং একটি পয়েন্ট-বাই-পয়েন্ট অঙ্কন করি:

অঙ্কন থেকে এটা স্পষ্ট যে আমাদের উপরের সীমা "ভাল": .
কিন্তু নিম্ন সীমা কি?! এটা স্পষ্ট যে এটি একটি পূর্ণসংখ্যা নয়, কিন্তু এটি কি? হতে পারে ? কিন্তু কোথায় গ্যারান্টি আছে যে অঙ্কনটি নিখুঁত নির্ভুলতার সাথে তৈরি করা হয়েছে, এটি ভাল হতে পারে যে ... বা মূল। যদি আমরা গ্রাফটি ভুলভাবে তৈরি করি?

এই ধরনের ক্ষেত্রে, আপনাকে অতিরিক্ত সময় ব্যয় করতে হবে এবং বিশ্লেষণাত্মকভাবে একীকরণের সীমা স্পষ্ট করতে হবে।

আসুন একটি সরলরেখা এবং একটি প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে বের করি।
এটি করার জন্য, আমরা সমীকরণটি সমাধান করি:


,

সত্যিই, .

পরবর্তী সমাধানটি তুচ্ছ, প্রধান জিনিসটি প্রতিস্থাপন এবং লক্ষণগুলিতে বিভ্রান্ত হওয়া নয়; এখানে গণনাগুলি সবচেয়ে সহজ নয়।

সেগমেন্টে , সংশ্লিষ্ট সূত্র অনুযায়ী:

উত্তর:

ঠিক আছে, পাঠটি শেষ করতে, আসুন আরও দুটি কঠিন কাজ দেখি।

উদাহরণ 9

রেখা দ্বারা আবদ্ধ চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন, ,

সমাধান: আসুন অঙ্কনে এই চিত্রটি চিত্রিত করা যাক।

অভিশাপ, আমি সময়সূচীতে স্বাক্ষর করতে ভুলে গিয়েছিলাম, এবং দুঃখিত, আমি ছবিটি আবার করতে চাইনি। একটি আঁকার দিন নয়, সংক্ষেপে, আজকের দিনটি =)

পয়েন্ট-বাই-পয়েন্ট নির্মাণের জন্য আপনাকে জানতে হবে চেহারা sinusoids (এবং সাধারণত জানতে দরকারী সমস্ত প্রাথমিক ফাংশনের গ্রাফ), সেইসাথে কিছু সাইন মান, এগুলি পাওয়া যাবে ত্রিকোণমিতিক টেবিল. কিছু ক্ষেত্রে (যেমন এই ক্ষেত্রে), একটি পরিকল্পিত অঙ্কন তৈরি করা সম্ভব, যার উপর গ্রাফ এবং একীকরণের সীমা মৌলিকভাবে সঠিকভাবে প্রদর্শিত হওয়া উচিত।

এখানে ইন্টিগ্রেশনের সীমা নিয়ে কোন সমস্যা নেই; তারা শর্ত থেকে সরাসরি অনুসরণ করে: "x" শূন্য থেকে "pi" এ পরিবর্তিত হয়। আসুন আরও একটি সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক:

সেগমেন্টে, ফাংশনের গ্রাফটি অক্ষের উপরে অবস্থিত, তাই:

এই নিবন্ধে আপনি শিখবেন কিভাবে অবিচ্ছেদ্য গণনা ব্যবহার করে রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল বের করতে হয়। প্রথমবারের মতো আমরা হাই স্কুলে এই জাতীয় সমস্যা তৈরির মুখোমুখি হই, যখন আমরা সবেমাত্র নির্দিষ্ট অখণ্ডের অধ্যয়ন শেষ করেছি এবং অনুশীলনে অর্জিত জ্ঞানের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা শুরু করার সময় এসেছে।

সুতরাং, পূর্ণাঙ্গ ব্যবহার করে একটি চিত্রের ক্ষেত্র খুঁজে বের করার সমস্যাটি সফলভাবে সমাধান করার জন্য কী প্রয়োজন:

• দক্ষ অঙ্কন করার ক্ষমতা;
• ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করার ক্ষমতা বিখ্যাত সূত্রনিউটন-লাইবনিজ;
• একটি আরও লাভজনক সমাধান বিকল্প "দেখতে" ক্ষমতা - যেমন এক ক্ষেত্রে বা অন্য ক্ষেত্রে ইন্টিগ্রেশন চালানো আরও সুবিধাজনক হবে কিভাবে বুঝতে? x-অক্ষ (OX) বা y-অক্ষ (OY) বরাবর?
• ঠিক আছে, সঠিক গণনা ছাড়া আমরা কোথায় থাকব?) এর মধ্যে রয়েছে কীভাবে সেই অন্যান্য ধরণের অখণ্ডগুলি এবং সঠিক সংখ্যাসূচক গণনাগুলি সমাধান করা যায় তা বোঝা।

লাইন দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করার সমস্যা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম:

1. আমরা একটি অঙ্কন তৈরি করছি। এটি একটি বড় স্কেলে, কাগজের একটি চেকার্ড টুকরাতে এটি করার পরামর্শ দেওয়া হয়। আমরা প্রতিটি গ্রাফের উপরে একটি পেন্সিল দিয়ে এই ফাংশনের নাম সাইন ইন করি। গ্রাফগুলিতে স্বাক্ষর করা শুধুমাত্র আরও গণনার সুবিধার জন্য করা হয়। পছন্দসই চিত্রের একটি গ্রাফ পাওয়ার পরে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি অবিলম্বে স্পষ্ট হয়ে যাবে যে কোন একীকরণের সীমা ব্যবহার করা হবে। এইভাবে আমরা সমস্যার সমাধান করি গ্রাফিকাল পদ্ধতি. যাইহোক, এটি ঘটে যে সীমার মানগুলি ভগ্নাংশ বা অযৌক্তিক। অতএব, আপনি অতিরিক্ত গণনা করতে পারেন, দ্বিতীয় ধাপে যান।

2. যদি একীকরণের সীমা স্পষ্টভাবে নির্দিষ্ট না করা হয়, তাহলে আমরা একে অপরের সাথে গ্রাফগুলির ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে পাই এবং দেখি যে আমাদের গ্রাফিক সমাধানবিশ্লেষণাত্মক সঙ্গে।

3. এর পরে, আপনাকে অঙ্কনটি বিশ্লেষণ করতে হবে। ফাংশন গ্রাফ কিভাবে সাজানো হয় তার উপর নির্ভর করে, আছে বিভিন্ন পন্থাএকটি চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে। চলো বিবেচনা করি বিভিন্ন উদাহরণপূর্ণাঙ্গ ব্যবহার করে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার ক্ষেত্রে।

3.1. সমস্যার সবচেয়ে ক্লাসিক এবং সহজতম সংস্করণ হল যখন আপনাকে একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্র খুঁজে বের করতে হবে। বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড কি? এটি x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি সমতল চিত্র (y = 0), সোজা x = a, x = bএবং থেকে ব্যবধানে ক্রমাগত যেকোনো বক্ররেখা কআগে খ. অধিকন্তু, এই চিত্রটি অ-নেতিবাচক এবং x-অক্ষের নীচে অবস্থিত নয়। এই ক্ষেত্রে, কার্ভিলিনিয়ার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের সংখ্যাগতভাবে সমান:

উদাহরণ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

চিত্রটি কোন রেখা দ্বারা আবদ্ধ? আমরা একটি প্যারাবোলা আছে y = x2 – 3x + 3, যা অক্ষের উপরে অবস্থিত উহু, এটা অ নেতিবাচক, কারণ এই প্যারাবোলার সমস্ত পয়েন্টের ইতিবাচক মান রয়েছে। পরবর্তী, দেওয়া সোজা লাইন x = 1এবং x = 3, যা অক্ষের সমান্তরালে চলে OU, বাম এবং ডানদিকে চিত্রের সীমানা রেখা। আমরা হব y = 0, এটি x-অক্ষও, যা চিত্রটিকে নীচে থেকে সীমাবদ্ধ করে। ফলস্বরূপ চিত্রটি ছায়াযুক্ত, যেমনটি বাম দিকের চিত্র থেকে দেখা যায়। এই ক্ষেত্রে, আপনি অবিলম্বে সমস্যার সমাধান শুরু করতে পারেন। আমাদের সামনে একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েডের একটি সাধারণ উদাহরণ, যা আমরা নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করি।

3.2. পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ 3.1-এ, আমরা কেসটি পরীক্ষা করেছি যখন একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড x-অক্ষের উপরে অবস্থিত। এখন কেসটি বিবেচনা করুন যখন সমস্যার শর্তগুলি একই থাকে, ফাংশনটি x-অক্ষের নীচে থাকে। স্ট্যান্ডার্ড নিউটন-লাইবনিজ সূত্রে একটি বিয়োগ যোগ করা হয়েছে। আমরা নীচের এই ধরনের একটি সমস্যা সমাধান কিভাবে বিবেচনা করা হবে।

উদাহরণ 2 . রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

এই উদাহরণে আমরা একটি প্যারাবোলা আছে y = x2 + 6x + 2, যা অক্ষ থেকে উদ্ভূত হয় উহু, সোজা x = -4, x = -1, y = 0. এখানে y = 0উপরে থেকে পছন্দসই চিত্র সীমাবদ্ধ। সরাসরি x = -4এবং x = -1এগুলি হল সেই সীমানা যার মধ্যে সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করা হবে। একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধানের নীতিটি প্রায় সম্পূর্ণরূপে 1 নম্বর উদাহরণের সাথে মিলে যায়। শুধুমাত্র পার্থক্য হল যে প্রদত্ত ফাংশনটি ধনাত্মক নয়, এবং বিরতিতেও অবিচ্ছিন্ন। [-4; -1] . আপনি ইতিবাচক না মানে কি? চিত্রটি থেকে দেখা যায়, প্রদত্ত x এর মধ্যে থাকা চিত্রটিতে একচেটিয়াভাবে "নেতিবাচক" স্থানাঙ্ক রয়েছে, যা সমস্যাটি সমাধান করার সময় আমাদের দেখতে এবং মনে রাখতে হবে। আমরা নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করে চিত্রটির ক্ষেত্রফল অনুসন্ধান করি, শুধুমাত্র শুরুতে একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে।

নিবন্ধটি সম্পূর্ণ হয়নি।

ক)

সমাধান।

সিদ্ধান্তের প্রথম এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল অঙ্কন নির্মাণ.

চলুন অঙ্কন করা যাক:

সমীকরণটি y=0 "x" অক্ষ সেট করে;

- x=-2 এবং x=1 - সোজা, অক্ষের সমান্তরাল OU;

- y=x 2 +2 - একটি প্যারাবোলা, যার শাখাগুলি ঊর্ধ্বমুখী, বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ (0;2)।

মন্তব্য করুন।একটি প্যারাবোলা নির্মাণের জন্য, স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির সাথে এর ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট, যেমন বসানো x=0 অক্ষের সাথে ছেদ খুঁজে বের করুন OU এবং সেই অনুযায়ী সিদ্ধান্ত নেওয়া দ্বিঘাত সমীকরণ, অক্ষের সাথে ছেদ খুঁজে বের করুন উহু .

একটি প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু সূত্রগুলি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে:

আপনি পয়েন্ট দ্বারা লাইন বিন্দু নির্মাণ করতে পারেন.

ব্যবধানে [-2;1] ফাংশনের গ্রাফ y=x 2 +2 অবস্থিত অক্ষের উপরে বলদ , এই জন্য:

উত্তর: এস =9 বর্গ একক

টাস্ক শেষ হওয়ার পরে, অঙ্কনটি দেখতে এবং উত্তরটি আসল কিনা তা নির্ধারণ করা সর্বদা কার্যকর। এই ক্ষেত্রে, "চোখ দ্বারা" আমরা অঙ্কনে কক্ষের সংখ্যা গণনা করি - ভাল, প্রায় 9টি হবে, এটি সত্য বলে মনে হচ্ছে। এটা একেবারে পরিষ্কার যে আমরা যদি উত্তর পাই, বলুন: 20 বর্গ ইউনিট, তাহলে এটা স্পষ্ট যে কোথাও একটি ভুল করা হয়েছে - 20 টি ঘর স্পষ্টতই প্রশ্নে থাকা চিত্রের সাথে খাপ খায় না, অন্তত এক ডজন। যদি উত্তর নেতিবাচক হয়, তাহলে কাজটিও ভুলভাবে সমাধান করা হয়েছিল।

বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড অবস্থিত হলে কি করবেন অক্ষের নীচে উহু?

খ)রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন y=-e x , x=1 এবং সমন্বয় অক্ষ।

সমাধান।

এর একটি অঙ্কন করা যাক.

যদি একটি বাঁকা trapezoid সম্পূর্ণরূপে অক্ষ অধীনে অবস্থিত উহু , তারপর সূত্র ব্যবহার করে এর এলাকা পাওয়া যাবে:

উত্তর: S=(e-1) বর্গ ইউনিট" 1.72 বর্গ ইউনিট

মনোযোগ! দুই ধরনের কাজ বিভ্রান্ত করা উচিত নয়:

1) যদি আপনাকে কোন জ্যামিতিক অর্থ ছাড়াই কেবল একটি নির্দিষ্ট অখণ্ড সমাধান করতে বলা হয়, তাহলে এটি নেতিবাচক হতে পারে।

2) যদি আপনাকে একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল বের করতে বলা হয়, তাহলে ক্ষেত্রটি সর্বদা ইতিবাচক হয়! সেজন্য শুধু আলোচিত সূত্রে মাইনাস দেখা যাচ্ছে।

অনুশীলনে, প্রায়শই চিত্রটি উপরের এবং নীচের অর্ধ-সমতল উভয় স্থানে অবস্থিত।

সঙ্গে)লাইন দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজুন y=2x-x 2, y=-x।

সমাধান।

প্রথমে আপনাকে অঙ্কনটি সম্পূর্ণ করতে হবে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, এলাকার সমস্যায় একটি অঙ্কন তৈরি করার সময়, আমরা লাইনের ছেদ বিন্দুতে সবচেয়ে বেশি আগ্রহী। চলুন প্যারাবোলার ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করা যাক এবং সোজা এটা দুইভাবে সম্পাদন করা যেতে পারে। প্রথম পদ্ধতিটি বিশ্লেষণমূলক।

আমরা সমীকরণটি সমাধান করি:

এর মানে হল একীকরণের নিম্ন সীমা a=0 , ইন্টিগ্রেশনের উপরের সীমা b=3 .

আমরা প্রদত্ত লাইনগুলি তৈরি করি: 1. প্যারাবোলা - বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু (1;1); অক্ষ ছেদ উহু -পয়েন্ট (0;0) এবং (0;2)। 2. সরলরেখা - 2য় এবং 4র্থ স্থানাঙ্ক কোণের দ্বিখণ্ডক। এবং এখন মনোযোগ! যদি সেগমেন্টে [ a;b] কিছু একটানা ফাংশন f(x)কিছু একটানা ফাংশনের চেয়ে বড় বা সমান g(x), তারপর সূত্র ব্যবহার করে সংশ্লিষ্ট চিত্রের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে: . এবং চিত্রটি কোথায় অবস্থিত তা বিবেচ্য নয় - অক্ষের উপরে বা অক্ষের নীচে, তবে কোন গ্রাফটি উচ্চতর (অন্য গ্রাফের সাথে সম্পর্কিত) এবং কোনটি নীচে তা গুরুত্বপূর্ণ৷ বিবেচনাধীন উদাহরণে, এটা স্পষ্ট যে সেগমেন্টে প্যারাবোলা সরলরেখার উপরে অবস্থিত, এবং তাই এটি থেকে বিয়োগ করা প্রয়োজন

আপনি লাইন বিন্দু বিন্দু নির্মাণ করতে পারেন, এবং একীকরণের সীমা "নিজেদের দ্বারা" পরিষ্কার হয়ে যায়। তবুও, সীমা খুঁজে বের করার বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতিটি এখনও কখনও কখনও ব্যবহার করতে হয় যদি, উদাহরণস্বরূপ, গ্রাফটি যথেষ্ট বড় হয়, বা বিশদ নির্মাণ একীকরণের সীমা প্রকাশ না করে (সেগুলি ভগ্নাংশ বা অযৌক্তিক হতে পারে)।

পছন্দসই চিত্রটি উপরে একটি প্যারাবোলা এবং নীচে একটি সরল রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সেগমেন্টে , সংশ্লিষ্ট সূত্র অনুযায়ী:

উত্তর: এস = 4.5 বর্গ ইউনিট

পূর্ববর্তী বিভাগে, একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের জ্যামিতিক অর্থের বিশ্লেষণে উত্সর্গীকৃত, আমরা একটি বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য বেশ কয়েকটি সূত্র পেয়েছি:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x একটি ক্রমাগত এবং অ-নেতিবাচক ফাংশনের জন্য y = f (x) ব্যবধানে [ a ; খ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x একটি ক্রমাগত এবং অ-ধনাত্মক ফাংশনের জন্য y = f (x) ব্যবধানে [ a ; খ]

এই সূত্রগুলি সমাধানের জন্য প্রযোজ্য সহজ কাজ. বাস্তবে, আমাদের প্রায়শই আরও জটিল পরিসংখ্যান নিয়ে কাজ করতে হবে। এই বিষয়ে, আমরা এই বিভাগটিকে অ্যালগরিদমগুলির একটি বিশ্লেষণে উত্সর্গ করব পরিসংখ্যানগুলির ক্ষেত্র গণনা করার জন্য যা স্পষ্ট আকারে ফাংশন দ্বারা সীমাবদ্ধ, যেমন যেমন y = f(x) বা x = g(y)।

উপপাদ্য

ফাংশন y = f 1 (x) এবং y = f 2 (x) ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন করা যাক [ a ; b ] , এবং f 1 (x) ≤ f 2 (x) যে কোনো মানের জন্য x থেকে [ a ; খ] তারপর x = a, x = b, y = f 1 (x) এবং y = f 2 (x) রেখা দ্বারা আবদ্ধ G চিত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি S (G) = ∫ এর মতো দেখাবে। a b f 2 (x) - f 1 (x) d x।

একটি অনুরূপ সূত্র y = c, y = d, x = g 1 (y) এবং x = g 2 (y) দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলের জন্য প্রযোজ্য হবে: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y।

প্রমাণ

আসুন তিনটি ক্ষেত্রে দেখি যার জন্য সূত্রটি বৈধ হবে।

প্রথম ক্ষেত্রে, ক্ষেত্রফলের সংযোজন বৈশিষ্ট্য বিবেচনায় নিয়ে, আসল চিত্র G এবং বক্ররেখা ট্র্যাপিজয়েড G 1 এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি G 2 চিত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। এটা মানে

অতএব, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

আমরা নির্দিষ্ট অখণ্ডের তৃতীয় বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে শেষ রূপান্তর করতে পারি।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সমতা সত্য: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

গ্রাফিক ইলাস্ট্রেশনটি এরকম দেখাবে:

যদি উভয় ফাংশন অ-ধনাত্মক হয়, তাহলে আমরা পাব: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x। গ্রাফিক ইলাস্ট্রেশনটি এরকম দেখাবে:

এর বিবেচনা এগিয়ে চলুন সাধারণ ক্ষেত্রে, যখন y = f 1 (x) এবং y = f 2 (x) O x অক্ষকে ছেদ করে।

আমরা ছেদ বিন্দুগুলিকে x i, i = 1, 2, হিসাবে চিহ্নিত করি। . . , n - 1। এই পয়েন্টগুলি সেগমেন্টকে বিভক্ত করে [a; b] n অংশে x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, যেখানে α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

তাই,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

আমরা নির্দিষ্ট অখণ্ডের পঞ্চম বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে শেষ রূপান্তর করতে পারি।

আসুন গ্রাফে সাধারণ কেসটি চিত্রিত করি।

সূত্র S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x প্রমাণিত বলে বিবেচিত হতে পারে।

এখন চলুন y = f (x) এবং x = g (y) রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রফল গণনার উদাহরণ বিশ্লেষণের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক।

আমরা একটি গ্রাফ তৈরি করে উদাহরণগুলির যেকোনো একটি বিবেচনা শুরু করব। ইমেজ আমাদের প্রতিনিধিত্ব করতে অনুমতি দেবে জটিল পরিসংখ্যানসরল পরিসংখ্যানের ইউনিয়ন হিসাবে। যদি তাদের উপর গ্রাফ এবং পরিসংখ্যান তৈরি করা আপনার অসুবিধার কারণ হয়, আপনি মৌলিক অংশটি অধ্যয়ন করতে পারেন প্রাথমিক ফাংশন, ফাংশন গ্রাফের জ্যামিতিক রূপান্তর, সেইসাথে একটি ফাংশন অধ্যয়নের সময় গ্রাফের নির্মাণ।

উদাহরণ 1

চিত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করা প্রয়োজন, যা প্যারাবোলা y = - x 2 + 6 x - 5 এবং সরল রেখা y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সমাধান

কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে গ্রাফে রেখা আঁকুন।

সেগমেন্টে [ 1 ; 4 ] প্যারাবোলার গ্রাফটি y = - x 2 + 6 x - 5 সরলরেখা y = - 1 3 x - 1 2 এর উপরে অবস্থিত। এই বিষয়ে, উত্তর পাওয়ার জন্য আমরা পূর্বে প্রাপ্ত সূত্রটি ব্যবহার করি, সেইসাথে নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করে সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করার পদ্ধতিটি ব্যবহার করি:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

উত্তরঃ S(G) = 13

আসুন আরও জটিল উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 2

চিত্রটির ক্ষেত্রফল গণনা করা প্রয়োজন, যা লাইন y = x + 2, y = x, x = 7 দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সমাধান

এই ক্ষেত্রে, আমাদের কাছে x-অক্ষের সমান্তরালে অবস্থিত শুধুমাত্র একটি সরল রেখা রয়েছে। এটি হল x = 7। এর জন্য আমাদের নিজেদেরকে একীকরণের দ্বিতীয় সীমা খুঁজে বের করতে হবে।

আসুন একটি গ্রাফ তৈরি করি এবং এতে সমস্যা বিবৃতিতে দেওয়া লাইনগুলি প্লট করি।

আমাদের চোখের সামনে গ্রাফটি থাকলে, আমরা সহজেই নির্ধারণ করতে পারি যে সংহতকরণের নিম্ন সীমাটি সরলরেখা y = x এবং আধা-প্যারাবোলা y = x + 2 এর গ্রাফের ছেদ বিন্দুর অবসিসা হবে। অ্যাবসিসা খুঁজে পেতে আমরা সমতা ব্যবহার করি:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

দেখা যাচ্ছে যে ছেদ বিন্দুর অবসিসা হল x = 2।

আমরা আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করছি যে ইন সাধারণ উদাহরণঅঙ্কনে, লাইন y = x + 2, y = x বিন্দুতে ছেদ করে (2; 2), তাই এই ধরনের বিস্তারিত গণনা অপ্রয়োজনীয় বলে মনে হতে পারে। আমরা এখানে যেমন একটি বিস্তারিত সমাধান দিয়েছি শুধুমাত্র কারণ আরো কঠিন মামলাসমাধান এত সুস্পষ্ট নাও হতে পারে. এর মানে হল যে রেখাগুলির ছেদগুলির স্থানাঙ্কগুলি বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা সর্বদা ভাল।

ব্যবধানে [ 2 ; 7] y = x ফাংশনের গ্রাফটি y = x + 2 ফাংশনের গ্রাফের উপরে অবস্থিত। ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

উত্তরঃ S (G) = 59 6

উদাহরণ 3

চিত্রটির ক্ষেত্রফল গণনা করা প্রয়োজন, যা y = 1 x এবং y = - x 2 + 4 x - 2 ফাংশনের গ্রাফ দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সমাধান

গ্রাফের রেখাগুলো প্লট করা যাক।

আসুন একীকরণের সীমা সংজ্ঞায়িত করি। এটি করার জন্য, আমরা 1 x এবং - x 2 + 4 x - 2 অভিব্যক্তিগুলিকে সমীকরণ করে রেখাগুলির ছেদ বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করি। যদি x শূন্য না হয়, তাহলে সমতা 1 x = - x 2 + 4 x - 2 তৃতীয় ডিগ্রি সমীকরণের সমতুল্য হবে - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 পূর্ণসংখ্যা সহ। এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য আপনার অ্যালগরিদমের স্মৃতিকে রিফ্রেশ করতে, আমরা "ঘন সমীকরণগুলি সমাধান করা" বিভাগটি উল্লেখ করতে পারি।

এই সমীকরণের মূল হল x = 1:- 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0।

রাশিটি - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 দ্বিপদ x - 1 দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

আমরা x 2 - 3 x - 1 = 0 সমীকরণ থেকে অবশিষ্ট মূলগুলি খুঁজে পেতে পারি:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 । 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0। 3

আমরা ব্যবধান খুঁজে পেয়েছি x ∈ 1; 3 + 13 2, যেখানে চিত্র G নীলের উপরে এবং লাল রেখার নীচে রয়েছে। এটি আমাদের চিত্রের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে সহায়তা করে:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

উত্তর: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

উদাহরণ 4

চিত্রটির ক্ষেত্রফল গণনা করা প্রয়োজন, যা বক্ররেখা y = x 3, y = - লগ 2 x + 1 এবং অ্যাবসিসা অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সমাধান

গ্রাফের সমস্ত লাইন প্লট করা যাক। আমরা y = - লগ 2 x + 1 গ্রাফ y = log 2 x থেকে ফাংশনটির গ্রাফ পেতে পারি যদি আমরা এটিকে x-অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসমভাবে অবস্থান করি এবং এটিকে এক একক উপরে নিয়ে যাই। x-অক্ষের সমীকরণ হল y = 0।

রেখার ছেদ বিন্দু চিহ্নিত করা যাক।

চিত্র থেকে দেখা যায়, ফাংশনের গ্রাফগুলি y = x 3 এবং y = 0 বিন্দুতে ছেদ করে (0; 0)। এটি ঘটে কারণ x = 0 হল x 3 = 0 সমীকরণের একমাত্র আসল মূল।

x = 2 হল সমীকরণের একমাত্র মূল - লগ 2 x + 1 = 0, তাই ফাংশনের গ্রাফগুলি y = - লগ 2 x + 1 এবং y = 0 বিন্দুতে ছেদ করে (2; 0)।

x = 1 হল x 3 = - লগ 2 x + 1 সমীকরণের একমাত্র মূল। এই বিষয়ে, ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি y = x 3 এবং y = - লগ 2 x + 1 বিন্দুতে ছেদ করে (1; 1)। শেষ বিবৃতিটি স্পষ্ট নাও হতে পারে, কিন্তু সমীকরণ x 3 = - লগ 2 x + 1 এর একাধিক রুট থাকতে পারে না, যেহেতু ফাংশন y = x 3 কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে, এবং ফাংশন y = - লগ 2 x + 1 হল কঠোরভাবে কমছে।

পরবর্তী সমাধান বিভিন্ন বিকল্প জড়িত.

বিকল্প 1

আমরা চিত্র G কে কল্পনা করতে পারি x-অক্ষের উপরে অবস্থিত দুটি বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের সমষ্টি, যার প্রথমটি x ∈ 0 সেগমেন্টের মধ্যরেখার নীচে অবস্থিত; 1, এবং দ্বিতীয়টি x ∈ 1 সেগমেন্টে লাল রেখার নিচে; 2. এর মানে হল যে ক্ষেত্রফল S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x এর সমান হবে।

বিকল্প নং 2

চিত্র G দুটি চিত্রের পার্থক্য হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যার প্রথমটি x-অক্ষের উপরে এবং x ∈ 0 সেগমেন্টের নীল রেখার নীচে অবস্থিত; 2, এবং x ∈ 1 সেগমেন্টে লাল এবং নীল রেখার মধ্যে দ্বিতীয়টি; 2. এটি আমাদের নিম্নরূপ এলাকা খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- লগ 2 x + 1) d x

এই ক্ষেত্রে, ক্ষেত্রফল বের করতে আপনাকে S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ফর্মের একটি সূত্র ব্যবহার করতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, যে রেখাগুলি চিত্রটিকে আবদ্ধ করে তা আর্গুমেন্ট y এর ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

চলুন x এর ক্ষেত্রে y = x 3 এবং - লগ 2 x + 1 সমীকরণগুলি সমাধান করি:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - লগ 2 x + 1 ⇒ লগ 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

আমরা প্রয়োজনীয় এলাকা পাই:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

উত্তর: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

উদাহরণ 5

চিত্রটির ক্ষেত্রফল গণনা করা প্রয়োজন, যা লাইন y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 লাইন দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সমাধান

একটি লাল রেখা দিয়ে আমরা y = x ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত লাইনটি প্লট করি। আমরা রেখাটি y = - 1 2 x + 4 নীল রঙে আঁকি এবং রেখাটি y = 2 3 x - 3 কালো রঙে আঁকি।

ছেদ বিন্দু চিহ্নিত করা যাক.

y = x এবং y = - 1 2 x + 4 ফাংশনগুলির গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে বের করা যাক:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 চেক করুন: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 not হল x 2 = সমীকরণের সমাধান? 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 হল সমীকরণের সমাধান ⇒ (4; 2) ছেদ বিন্দু i y = x এবং y = - 1 2 x + 4

আসুন y = x এবং y = 2 3 x - 3 ফাংশনগুলির গ্রাফগুলির ছেদ বিন্দুটি খুঁজে বের করি:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 চেক করুন: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 হল সমীকরণের সমাধান ⇒ (9 ; 3) বিন্দু a s y = x এবং y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 সমীকরণের কোনো সমাধান নেই

y = - 1 2 x + 4 এবং y = 2 3 x - 3 রেখাগুলির ছেদ বিন্দুটি খুঁজে বের করা যাক:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) ছেদ বিন্দু y = - 1 2 x + 4 এবং y = 2 3 x - 3

পদ্ধতি নং 1

আসুন কাঙ্ক্ষিত চিত্রের ক্ষেত্রফলকে পৃথক চিত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি হিসাবে কল্পনা করি।

তারপর চিত্রের ক্ষেত্রফল হল:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

পদ্ধতি নং 2

মূল চিত্রটির ক্ষেত্রফলকে অন্য দুটি চিত্রের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

তারপরে আমরা x এর সাপেক্ষে লাইনের সমীকরণটি সমাধান করি এবং তার পরেই আমরা চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করি।

y = x ⇒ x = y 2 লাল রেখা y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 কালো রেখা y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

তাই এলাকা হল:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মানগুলি একই।

উত্তরঃ S (G) = 11 3

ফলাফল

প্রদত্ত রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে পেতে, আমাদের একটি সমতলে রেখা তৈরি করতে হবে, তাদের ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে বের করতে হবে এবং ক্ষেত্রটি খুঁজে বের করার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে। এই বিভাগে, আমরা কাজগুলির সবচেয়ে সাধারণ রূপগুলি পরীক্ষা করেছি।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন