Tačka M se naziva internom određenom skupu G ako pripada tom skupu zajedno sa nekim njegovim susjedstvom. Tačka N naziva se granična tačka za skup G ako u bilo kojoj njegovoj potpunoj okolini postoje tačke koje pripadaju G i koje mu ne pripadaju.

Skup svih graničnih tačaka skupa G naziva se granica G.

Skup G će se zvati region ako su sve njegove tačke unutrašnje (otvoreni skup). Skup G sa pridruženom granicom G naziva se zatvoreno područje. Područje se naziva ograničeno ako je u potpunosti sadržano u krugu dovoljno velikog radijusa.

Najmanje i najveće vrijednosti funkcije u datom području nazivaju se apsolutnim ekstremima funkcije u ovoj oblasti.

Weierstrassov teorem: funkcija kontinuirana u ograničenom i zatvorenom prostoru, dostiže svoje minimalne i maksimalne vrijednosti u ovoj regiji.

Posljedica. Apsolutni ekstrem funkcije u datoj regiji postiže se ili u kritičnoj tački funkcije koja pripada ovoj regiji, ili u da bi se pronašla najveća i najmanja vrijednost funkcije u zatvorenom području G, potrebno je pronaći sve njegove kritične točke u ovoj regiji, izračunajte vrijednosti funkcije u tim tačkama (uključujući granične) i upoređujući dobijene brojeve, odaberite najveći i najmanji od njih.

Primjer 4.1. Pronađite apsolutni ekstrem funkcije (najveće i najmanje vrijednosti)
u trouglastoj oblasti D sa vrhovima
,
,
(Sl. 1).

;
,

odnosno tačka O(0, 0) je kritična tačka koja pripada regionu D. z(0,0)=0.

Hajde da istražimo granicu:

a) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

b) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

taksi: ;
,

Primjer 4.2. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u zatvorenom području ograničenom koordinatnom osom i pravom linijom
.

1) Pronađite kritične tačke koje leže u regionu:

,
,

.

Hajde da istražimo granicu. Jer granica se sastoji od segmenta OA ose Ox, segmenta OB ose Oy i segmenta AB, tada na svakom od ovih segmenata određujemo najveću i najmanju vrednost funkcije z.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Među svim pronađenim vrijednostima, odaberite z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Uslovni ekstrem. Lagrangeova metoda množenja

Razmotrimo problem specifičan za funkcije više varijabli, kada se njegov ekstremum ne traži u cijeloj domeni definicije, već nad skupom koji zadovoljava određeni uvjet.

Razmotrimo funkciju
, argumenti I koji zadovoljavaju uslov
, nazvana jednadžba spajanja.

Dot
naziva se uslovna maksimalna (minimalna) tačka ako postoji takva okolina ove tačke da za sve tačke
iz ovog naselja koji zadovoljava uslov
, vrijedi nejednakost
ili
.

Slika 2 prikazuje uslovnu maksimalnu tačku
. Očigledno, to nije bezuslovna tačka ekstrema funkcije
(na slici 2 ovo je poenta
).

Najjednostavniji način za pronalaženje uslovnog ekstremuma funkcije dvije varijable je da se problem svede na pronalaženje ekstrema funkcije jedne varijable. Pretpostavimo jednačinu veze
uspio riješiti u odnosu na jednu od varijabli, na primjer, izraziti kroz :
. Zamjenom rezultirajućeg izraza u funkciju dvije varijable, dobijamo

one. funkcija jedne varijable. Njegov ekstrem će biti uslovni ekstrem funkcije
.

Primjer 5.1. Pronađite maksimalnu i minimalnu tačku funkcije
s obzirom na to
.

Rješenje. Izrazimo iz jednačine
varijabla preko varijable i zamijenite rezultirajući izraz
u funkciju . Dobijamo
ili
. Ova funkcija ima jedinstveni minimum na
. Odgovarajuća vrijednost funkcije
. dakle,
– tačka uslovnog ekstrema (minimuma).

U razmatranom primjeru jednačina spajanja
ispostavilo se da je linearan, pa se lako riješio u odnosu na jednu od varijabli. Međutim, u složenijim slučajevima to se ne može učiniti.

Za pronalaženje uslovnog ekstremuma u opštem slučaju koristi se Lagrangeova metoda množenja. Razmotrimo funkciju tri varijable. Ova funkcija se zove Lagrangeova funkcija i – Lagrangeov množitelj. Sljedeća teorema je tačna.

Teorema. Ako je poenta
je uslovna tačka ekstrema funkcije
s obzirom na to
, onda postoji vrijednost takva ta tačka
je tačka ekstrema funkcije
.

Dakle, pronaći uslovni ekstrem funkcije
s obzirom na to
potrebno je pronaći rješenje za sistem

P posljednja od ovih jednačina poklapa se sa jednadžbom spajanja. Prve dvije jednačine sistema mogu se prepisati u obliku, tj. u tački uslovnog ekstrema gradijenti funkcije
I
kolinearno. Na sl. Slika 3 pokazuje geometrijsko značenje Lagrangeovih uslova. Linija
tačkasta, ravna linija
funkcije
solidan. Od sl. slijedi da je u tački uslovnog ekstrema linija nivoa funkcije
dodiruje liniju
.

Primjer 5.2. Pronađite ekstremne tačke funkcije
s obzirom na to
, koristeći Lagrangeovu metodu množitelja.

Rješenje. Sastavljamo Lagrangeovu funkciju. Izjednačavajući njegove parcijalne derivate sa nulom, dobijamo sistem jednačina:

Njeno jedino rešenje. Dakle, tačka uslovnog ekstrema može biti samo tačka (3; 1). Lako je provjeriti da je u ovom trenutku funkcija
ima uslovni minimum. Ako je broj varijabli veći od dvije, može se razmotriti nekoliko jednačina spajanja. Prema tome, u ovom slučaju će postojati nekoliko Lagrangeovih množitelja.

Problem pronalaženja uslovnog ekstremuma koristi se u rješavanju ekonomskih problema kao što je pronalaženje optimalne alokacije resursa, izbor optimalnog portfelja vrijednosnih papira itd.

Joseph Louis Lagrange rođen je u Torinu (Italija) u italijansko-francuskoj porodici. Studirao je, a potom predavao u Artiljerijskoj školi. Godine 1759., na preporuku Eulera, 23-godišnji Lagrange je izabran za člana Berlinske akademije nauka. Već 1766. postao je njen predsjednik. Fridrih II je pozvao Lagranža u Berlin. Nakon smrti Fridrika II 1786. godine, Lagrange se preselio u Pariz. Od 1722. bio je član Pariške akademije nauka, 1795. imenovan je za člana Biroa za geografske dužine i aktivno je učestvovao u stvaranju metričkog sistema mjera. Circle naučno istraživanje Lagrange je bio neobično širok. Posvećeni su mehanici, geometriji, matematičkoj analizi, algebri, teoriji brojeva i teorijskoj astronomiji. Glavni pravac Lagrangeovog istraživanja bio je predstavljanje širokog spektra pojava u mehanici sa jedinstvene tačke gledišta. Izveo je jednačinu koja opisuje ponašanje bilo kog sistema pod uticajem sila. Na polju astronomije, Lagrange je učinio mnogo da riješi problem stabilnosti Solarni sistem; dokazali su neke posebne slučajeve stabilnog kretanja, posebno za mala tijela koja se nalaze na takozvanim trokutastim libracijskim točkama.

Lagrangeova metoda─ je metoda za rješavanje problema ograničene optimizacije u kojoj se ograničenja, napisana kao implicitne funkcije, kombiniraju s ciljnom funkcijom u obliku nove jednadžbe tzv. Lagranžian.

Hajde da razmotrimo poseban slučaj zajednički zadatak Ne linearno programiranje:

S obzirom na sistem nelinearne jednačine (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Pronađite najmanju (ili najveću) vrijednost funkcije (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

ako nema uslova da varijable budu nenegativne i f(x1,x2,…,xn) i gi(x1,x2,…,xn) su funkcije koje su kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim derivatima.

Da biste pronašli rješenje za ovaj problem, možete koristiti sledeća metoda: 1. Unesite skup varijabli λ1, λ2,…, λm, koji se nazivaju Lagrangeovi množitelji, sastavite Lagrangeovu funkciju (3)

(3) F(h1,h2,…,hn, λ1,λ2,…,λm) = f(h1,h2,…,hn)+ λi.

2. Naći parcijalne izvode Lagrangeove funkcije u odnosu na varijable xi i λi i izjednačiti ih sa nulom.

3. Rješavajući sistem jednačina, pronaći tačke u kojima ciljna funkcija problem može imati ekstrem.

4. Među tačkama koje su sumnjive da nisu ekstremu, pronađite one u kojima je ekstremum dostignut i izračunajte vrijednosti funkcije u tim tačkama .

4. Uporedite dobijene vrednosti funkcije f i izaberite najbolju.

Prema planu proizvodnje, preduzeće treba da proizvede 180 proizvoda. Ovi proizvodi se mogu proizvoditi na dva tehnološka načina. Kada se proizvodi x1 proizvoda metodom I, troškovi su 4*x1+x1^2 rublje, a kada se proizvodi x2 proizvoda metodom II, oni su 8*x2+x2^2 rublje. Odredite koliko proizvoda treba proizvesti korištenjem svake metode, tako da ukupni trošak proizvodnje bude minimalan.

Rješenje: Matematička formulacija problema je odrediti najniža vrijednost funkcije dvije varijable:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, pod uslovom da je x1 +x2 = 180.

Sastavimo Lagrangeovu funkciju:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Izračunajmo njegove parcijalne derivacije u odnosu na x1, x2, λ i izjednačimo ih sa 0:

Pomerimo λ na desnu stranu prve dve jednačine i izjednačimo njihove leve strane, dobićemo 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, ili x1 − x2 = 2.

Rešavajući poslednju jednačinu zajedno sa jednačinom x1 + x2 = 180, nalazimo x1 = 91, x2 = 89, odnosno dobili smo rešenje koje zadovoljava uslove:

Nađimo vrijednost ciljne funkcije f za ove vrijednosti varijabli:

F(x1, x2) = 17278

Ova tačka je sumnjiva za ekstremnu tačku. Koristeći druge parcijalne izvode, možemo pokazati da u tački (91.89) funkcija f ima minimum.

Opis metode

Gdje .

Obrazloženje

Sljedeće opravdanje za Lagrangeovu metodu množitelja nije rigorozan dokaz za to. Sadrži heurističko rezonovanje koje pomaže u razumijevanju geometrijsko značenje metoda.

Dvodimenzionalno kućište

Linije i krivulje.

Neka je potrebno pronaći ekstremum neke funkcije dvije varijable pod uvjetom specificiranim jednadžbom . Pretpostavit ćemo da su sve funkcije kontinuirano diferencibilne, a ova jednačina definira glatku krivu S na površini. Tada se problem svodi na pronalaženje ekstrema funkcije f na krivini S. To ćemo takođe pretpostaviti S ne prolazi kroz tačke u kojima je gradijent f pretvara se na 0.

Nacrtajmo linije na nivou funkcije na ravni f(odnosno krive). Iz geometrijskih razmatranja jasno je da je ekstremum funkcije f na krivini S mogu postojati samo tačke u kojima tangente S i odgovarajuća linija nivoa se poklapaju. Zaista, ako je kriva S prelazi liniju nivoa f u tački transverzalno (tj. pod nekim uglom koji nije nula), a zatim se kreće duž krive S iz tačke možemo doći do linija nivoa koje odgovaraju većoj vrijednosti f, i manje. Dakle, takva tačka ne može biti tačka ekstrema.

Dakle, neophodan uslov za ekstremum u našem slučaju će biti podudarnost tangenti. Da biste to zapisali u analitičkom obliku, imajte na umu da je to ekvivalentno paralelizmu gradijenata funkcija f i ψ u datoj tački, pošto je vektor gradijenta okomit na tangentu na liniju nivoa. Ovo stanje se izražava u sljedećem obliku:

gdje je λ broj različit od nule koji je Lagrangeov množitelj.

Hajde sada da razmotrimo Lagrangeova funkcija, u zavisnosti od i λ:

Neophodan uslov za njegov ekstrem je da je gradijent jednak nuli. U skladu sa pravilima diferencijacije, ispisuje se u obliku

Dobili smo sistem čije su prve dvije jednačine ekvivalentne potrebnom uslovu lokalni ekstrem(1), a treći - na jednačinu . Možete ga pronaći iz njega. Štaviše, jer inače gradijent funkcije f nestaje u tački , što je u suprotnosti sa našim pretpostavkama. Treba napomenuti da na ovaj način pronađene tačke možda nisu željene tačke uslovnog ekstremuma - razmatrani uslov je neophodan, ali nije dovoljan. Pronalaženje uslovnog ekstremuma pomoću pomoćne funkcije L i čini osnovu Lagrangeove metode množitelja, koja se ovdje primjenjuje za najjednostavniji slučaj dvije varijable. Ispostavilo se da se gornje razmišljanje može generalizirati na slučaj proizvoljnog broja varijabli i jednačina koje specificiraju uslove.

Na osnovu Lagrangeove metode množitelja moguće je neke dokazati dovoljne uslove za uslovni ekstrem, koji zahtijeva analizu drugih izvoda Lagrangeove funkcije.

Aplikacija

• Metoda Lagrangeovog množitelja koristi se za rješavanje problema nelinearnog programiranja koji se javljaju u mnogim oblastima (na primjer, u ekonomiji).
• Glavna metoda za rješavanje problema optimizacije kvalitete kodiranja audio i video podataka pri datom prosječnom bitrate-u (optimizacija izobličenja - engleski. Optimizacija brzine i distorzije).

vidi takođe

Linkovi

• Zorich V. A. Matematička analiza. Dio 1. - ur. 2., rev. i dodatne - M.: FAZIS, 1997.

Wikimedia fondacija. 2010.

Pogledajte šta su “Lagrangeovi množitelji” u drugim rječnicima:

Lagrangeovi množitelji- dodatni faktori koji transformišu ciljnu funkciju ekstremnog problema konveksnog programiranja (posebno linearnog programiranja) prilikom njegovog rješavanja jednom od klasičnih metoda, metodom rješavanja množitelja... ... Ekonomsko-matematički rječnik

Lagrangeovi množitelji- Dodatni faktori koji transformišu ciljnu funkciju problema ekstremnog konveksnog programiranja (posebno linearnog programiranja) prilikom njegovog rješavanja jednom od klasičnih metoda, metodom rješavanja množitelja (Lagrangeova metoda).... Vodič za tehnički prevodilac

Mehanika. 1) Lagranžove jednačine 1. vrste, diferencijalne jednačine mehaničkog kretanja. sistema, koji su dati u projekcijama na pravougaone koordinatne ose i sadrže tzv. Lagrangeovi množitelji. Dobio J. Lagrange 1788. Za holonomski sistem, ... ... Fizička enciklopedija

Obična mehanika diferencijalne jednadžbe 2. red, koji opisuje mehanička kretanja. sistema pod uticajem sila koje se na njih primenjuju. L.u. koji je ustanovio J. Lag raspon u dva oblika: L. u. 1. vrsta, ili jednadžbe u kartezijanskim koordinatama sa ... ... Mathematical Encyclopedia

1) u hidromehanici, jednačina kretanja fluida (gasa) u Lagrangeovim varijablama, koje su koordinate sredine. Received French naučnik J. Lagrange (oko 1780). Od L. u. zakon kretanja medija određen je u obliku zavisnosti...... Fizička enciklopedija

Lagrangeova metoda množitelja, metoda za pronalaženje uslovnog ekstrema funkcije f(x), gdje, u odnosu na m ograničenja, i varira od jedan do m. Sadržaj 1 Opis metode ... Wikipedia

Funkcija koja se koristi u rješavanju problema na uslovnom ekstremumu funkcija mnogih varijabli i funkcionala. Uz pomoć L. f. su snimljeni neophodne uslove optimalnost u problemima na uslovnom ekstremumu. U ovom slučaju nije potrebno izražavati samo varijable... Mathematical Encyclopedia

Metoda za rješavanje problema na uslovnom ekstremumu; L.M.M. se sastoji u svođenju ovih problema na probleme na bezuslovnom ekstremumu pomoćne funkcije, tzv. Lagrangeove funkcije. Za problem ekstremuma funkcije f (x1, x2,..., xn) za ... ...

Varijable, uz pomoć kojih se konstruiše Lagrangeova funkcija pri proučavanju problema na uslovnom ekstremumu. Upotreba linearnih metoda i Lagrangeove funkcije nam omogućava da na uniforman način dobijemo potrebne uslove optimalnosti u problemima koji uključuju uslovni ekstrem... Mathematical Encyclopedia

1) u hidromehanici, jednačine kretanja fluidne sredine, zapisane u Lagrangeovim varijablama, koje su koordinate čestica sredine. Od L. u. zakon kretanja čestica medija određen je u vidu zavisnosti koordinata od vremena, a iz njih ... ... Velika sovjetska enciklopedija

• Tutorial

Svi dobar dan. U ovom članku želim pokazati jednu od grafičke metode izgradnja matematički modeli za dinamičke sisteme, što se zove graf obveznica(“veza” - veze, “graf” - graf). U ruskoj literaturi sam pronašao opise ove metode samo u Tomskyjevom Udžbeniku Politehnički univerzitet, A.V. Voronin “MODELIRANJE MEHATRONIČKIH SISTEMA” 2008 klasična metoda kroz Lagrangeovu jednacinu 2. vrste.

Lagrangeova metoda

Neću opisivati ​​teoriju, pokazaću faze proračuna uz nekoliko komentara. Lično mi je lakše učiti na primjerima nego 10 puta čitati teoriju. Činilo mi se da je u ruskoj književnosti objašnjenje ove metode, ai matematike ili fizike općenito, vrlo bogato složene formule, što shodno tome zahtijeva ozbiljnu matematičku pozadinu. Dok sam studirao Lagrangeovu metodu (studiram na Politehničkom univerzitetu u Torinu, Italija), proučavao sam rusku literaturu kako bih uporedio metode proračuna i bilo mi je teško pratiti napredak rješavanja ove metode. Čak i prisjećajući se kurseva modeliranja na Harkovskom vazduhoplovnom institutu, izvođenje takvih metoda bilo je vrlo glomazno i ​​niko se nije trudio da shvati ovo pitanje. Ovo sam odlučio da napišem, priručnik za konstruisanje matematičkih modela po Lagranžu, kako se pokazalo da nije nimalo teško, dovoljno je znati izračunati izvode po vremenu i parcijalne izvode. Za složenije modele dodaju se i matrice rotacije, ali ni u njima nema ništa komplicirano.

Karakteristike metoda modeliranja:

• Newton-Euler: vektorske jednačine zasnovane na dinamičkoj ravnoteži sila I momente
• Lagrange: skalarne jednadžbe zasnovane na funkcijama stanja povezanih s kinetičkim i potencijalnim energije
• Bond Count: metoda zasnovana na protoku moć između elemenata sistema

Počnimo sa jednostavan primjer. Masa sa oprugom i amortizerom. Zanemarujemo silu gravitacije.

Slika 1. Masa sa oprugom i amortizerom

Prije svega, označavamo:

• početni sistem koordinate(NSK) ili fiksni sk R0(i0,j0,k0). Gdje? Možete uprijeti prstom u nebo, ali trzanjem vrhova neurona u mozgu, ideja prolazi kroz to da se NSC postavi na liniju kretanja M1 tijela.
• koordinatni sistem za svako tijelo sa masom(imamo M1 R1(i1,j1,k1)), orijentacija može biti proizvoljna, ali zašto si komplicirati život, postavite ga s minimalnom razlikom od NSC-a
• generalizovane koordinate q_i(minimalni broj varijabli koje mogu opisati kretanje), u ovom primjeru postoji jedna generalizirana koordinata, kretanje samo duž j ose

Slika 2. Zapisali smo koordinatne sisteme i generalizirane koordinate

Slika 3. Položaj i brzina tijela M1

Tada ćemo pronaći kinetičku (C) i potencijalnu (P) energiju i disipativnu funkciju (D) za prigušivač koristeći formule:

Slika 4. Kompletna formula kinetička energija

U našem primjeru nema rotacije, druga komponenta je 0.

Slika 5. Proračun kinetičke, potencijalne energije i disipativne funkcije

Lagrangeova jednadžba ima sljedeći oblik:

Slika 6. Lagrangeova jednadžba i Lagranžijan

Delta W_i Ovo je virtualni rad koji obavljaju primijenjene sile i momenti. Hajde da je nađemo:

Slika 7. Obračun virtuelnog rada

Gdje delta q_1 virtuelno kretanje.

Sve zamjenjujemo u Lagrangeovu jednačinu:

Slika 8. Dobiveni model mase sa oprugom i amortizerom

Tu je završio Lagrangeov metod. Kao što vidite, nije tako komplikovano, ali je ipak vrlo jednostavan primjer, za koji bi najvjerovatnije Newton-Eulerova metoda bila još jednostavnija. Za složenije sisteme, gdje će biti nekoliko tijela rotiranih jedno u odnosu na drugo pod različitim uglovima, Lagrangeova metoda će biti lakša.

Metoda grafa obveznica

Odmah ću vam pokazati kako model izgleda u bond-grafu za primjer sa masom, oprugom i amortizerom:

Slika 9. Bond-graf mase sa oprugom i amortizerom

Ovdje ćete morati ispričati malo teorije, koja će biti dovoljna za izgradnju jednostavni modeli. Ako je neko zainteresovan, može pročitati knjigu ( Metodologija Bondovog grafa) ili ( Voronin A.V. Modeliranje mehatroničkih sistema: tutorial. – Tomsk: Izdavačka kuća Tomskog politehničkog univerziteta, 2008).

Hajde da prvo to utvrdimo složeni sistemi sastoji se od nekoliko domena. Na primjer, električni motor se sastoji od električnih i mehaničkih dijelova ili domena.

graf obveznica na osnovu razmene moći između ovih domena, podsistema. Imajte na umu da je razmjena snage, bilo kojeg oblika, uvijek određena dvije varijable ( promenljiva snaga) uz pomoć kojih možemo proučavati interakciju različitih podsistema unutar dinamičkog sistema (vidi tabelu).

Kao što se vidi iz tabele, izraz moći je skoro svuda isti. Ukratko, Snaga- Ovaj rad" protok - f" na " napor - e».

Napor(engleski) napor) u električnoj domeni to je napon (e), u mehaničkom domenu to je sila (F) ili obrtni moment (T), u hidraulici je pritisak (p).

Protok(engleski) protok) u električnom domenu to je struja (i), u mehaničkom domenu je brzina (v) ili ugaona brzina(omega), u hidraulici – protok tečnosti ili protok (Q).

Uzimajući ove notacije, dobijamo izraz za snagu:

Slika 10. Formula snage kroz varijable snage

U jeziku grafova veza, veza između dva podsistema koji razmjenjuju snagu predstavljena je vezom. obveznica). Zato se i zove ovu metodu bond-graf ili g raf veze, povezani graf. Hajde da razmotrimo blok dijagram veze u modelu sa elektromotorom (ovo još nije graf veze):

Slika 11. Blok dijagram toka snage između domena

Ako imamo izvor napona, onda on u skladu s tim stvara napon i prenosi ga na motor za namotavanje (zbog toga je strelica usmjerena prema motoru), ovisno o otporu namota, pojavljuje se struja prema Ohmovom zakonu (usmjerena od motora do izvora). Prema tome, jedna varijabla je ulaz u podsistem, a druga mora biti Izlaz iz podsistema. Ovdje je napon ( napor) – ulaz, struja ( protok) - Izlaz.

Ako koristite izvor struje, kako će se dijagram promijeniti? U redu. Struja će biti usmjerena na motor, a napon na izvor. Zatim struja ( protok) – ulaz, napon ( napor) - Izlaz.

Pogledajmo primjer iz mehanike. Sila koja djeluje na masu.

Slika 12. Sila primijenjena na masu

Blok dijagram će biti sljedeći:

Slika 13. Blok dijagram

U ovom primjeru, snaga ( napor) – ulazna varijabla za masu. (Sila primijenjena na masu)
Prema drugom Newtonovom zakonu:

Masa odgovara brzinom:

U ovom primjeru, ako jedna varijabla ( sila - napor) je ulaz u mehaničku domenu, zatim drugu varijablu snage ( brzina - protok) – automatski postaje Izlaz.

Za razlikovanje gdje je ulaz, a gdje izlaz, koristi se okomita linija na kraju strelice (veza) između elemenata, ova linija se naziva znak uzročnosti ili uzročnost (uzročnost). Ispostavilo se: primijenjena sila je uzrok, a brzina je posljedica. Ovaj znak je veoma važan za ispravnu konstrukciju modela sistema, jer je kauzalnost posledica fizičko ponašanje i razmjenu snaga dva podsistema, stoga izbor lokacije znaka uzročnosti ne može biti proizvoljan.

Slika 14. Označavanje uzročnosti

Ova vertikalna linija pokazuje koji podsistem prima silu ( napor) i kao rezultat proizvesti protok ( protok). U primjeru sa masom to bi bilo ovako:

Slika 14. Uzročna veza za silu koja djeluje na masu

Iz strelice je jasno da je ulaz za masu - sila, a izlaz je brzina. To se radi kako se dijagram ne bi zatrpao strelicama i sistematizirao konstrukciju modela.

Sljedeći važna tačka. Generalizovani impuls(količina pokreta) i kreće se(energetske varijable).

Tabela varijabli snage i energije u različitim domenima

Gornja tabela uvodi dvije dodatne fizičke veličine koje se koriste u Bond-graph metoda. Zovu se generalizovani impuls (R) I generalizovani pokret (q) ili energetske varijable, a one se mogu dobiti integracijom varijabli snage tokom vremena:

Slika 15. Odnos između varijabli snage i energije

U domenu električne energije :

Na osnovu Faradejevog zakona, voltaža na krajevima provodnika jednak je derivatu magnetskog fluksa kroz ovaj provodnik.

A Snaga struje - fizička količina, jednak omjeru količine naboja Q koja prolazi kroz neko vrijeme t presjek kondukter, na vrijednost ovog vremenskog perioda.

Mehanički domen:

Iz Njutnovog 2. zakona, Force– vremenski derivat impulsa

I shodno tome, brzina- vremenski derivat pomaka:

Hajde da sumiramo:

Osnovni elementi

Svi elementi u dinamičkim sistemima mogu se podijeliti na dvopolne i četveropolne komponente.
Hajde da razmotrimo bipolarne komponente:

Izvori
Postoje izvori i napora i protoka. Analogija u električnoj domeni: izvor napora – izvor napona, izvor toka – izvor struje. Uzročni znaci za izvore bi trebali biti samo ovakvi.

Slika 16. Uzročne veze i označavanje izvora

Komponenta R – disipativni element

Komponenta I – inercijski element

Komponenta C – kapacitivni element

Kao što se može vidjeti iz slika, različiti elementi istog tip R,C,I opisani istim jednadžbama. SAMO postoji razlika za električni kapacitet, samo je treba zapamtiti!

Kvadrupolne komponente:

Pogledajmo dvije komponente: transformator i girator.

Posljednje važne komponente u metodi grafa veze su veze. Postoje dvije vrste čvorova:

To je to sa komponentama.

Glavni koraci za uspostavljanje uzročno-posledičnih veza nakon konstruisanja grafa veza:

1. Dajte uzročno-posledične veze svima izvori
2. Prođite kroz sve čvorove i zapišite uzročne veze nakon tačke 1
3. Za komponente I dodijeliti ulaznu uzročnu vezu (napor je uključen u ovu komponentu), za komponente C dodijeliti uzročnost izlaza (napor dolazi iz ove komponente)
4. Ponovite tačku 2
5. Umetnite uzročne veze za R komponente

Ovim je završen mini tečaj teorije. Sada imamo sve što nam je potrebno za izradu modela.
Hajde da riješimo par primjera. Počnimo s električnim krugom; bolje je razumjeti analogiju konstrukcije grafa veze.

Primjer 1

Počnimo da gradimo graf veze sa izvorom napona. Samo napišite Se i stavite strelicu.

Vidite, sve je jednostavno! Pogledajmo dalje, R i L su spojeni serijski, što znači da u njima teče ista struja, ako govorimo u varijablama snage - isti protok. Koji čvor ima isti tok? Tačan odgovor je 1-čvor. Povezujemo izvor, otpor (komponenta - R) i induktivnost (komponenta - I) na 1-čvor.

Zatim imamo kapacitet i otpor paralelno, što znači da imaju isti napon ili silu. 0-čvor je prikladan kao nijedan drugi. Povezujemo kapacitivnost (komponenta C) i otpor (komponenta R) na 0-čvor.

Također povezujemo čvorove 1 i 0 jedan na drugi. Smjer strelica se bira proizvoljno; smjer veze utječe samo na predznak u jednadžbi.

Dobićete sledeći grafikon povezivanja:

Sada moramo uspostaviti uzročne veze. Slijedeći upute za redoslijed njihovog postavljanja, počnimo s izvorom.

1. Imamo izvor napona (napor), takav izvor ima samo jednu varijantu uzročnosti - izlaz. Hajde da ga stavimo.
2. Sljedeća je komponenta I, da vidimo šta oni preporučuju. Mi smo stavili
3. Stavili smo ga za 1-čvor. Jedi
4. 0-čvor mora imati jedan ulaz i sve izlazne uzročne veze. Imamo jedan slobodan dan za sada. Tražimo komponente C ili I. Našli smo je. Mi smo stavili
5. Hajde da navedemo šta je ostalo

To je sve. Grafikon obveznica je izgrađen. Ura, drugovi!

Ostaje samo da napišemo jednačine koje opisuju naš sistem. Da biste to uradili, kreirajte tabelu sa 3 kolone. Prvi će sadržavati sve komponente sistema, drugi će sadržavati ulaznu varijablu za svaki element, a treći će sadržavati izlaznu varijablu za istu komponentu. Već smo definisali ulaz i izlaz uzročno-posledičnom vezama. Tako da ne bi trebalo biti nikakvih problema.

Označimo svaku vezu radi lakšeg snimanja nivoa. Uzimamo jednačine za svaki element sa liste komponenti C, R, I.

Nakon što smo sastavili tabelu, definišemo varijable stanja, u ovom primeru ih ima 2, p3 i q5. Zatim morate zapisati jednadžbe stanja:

To je to, model je spreman.

Primjer 2. Odmah se izvinjavam zbog kvaliteta fotografije, glavna stvar je da možete čitati

Rešimo još jedan primer za mehanički sistem, isti onaj koji smo rešili Lagranžovom metodom. Rešenje ću pokazati bez komentara. Provjerimo koja je od ovih metoda jednostavnija i lakša.

U Matbali su sastavljena oba matematička modela sa istim parametrima, dobijena Lagrangeovom metodom i bond-grafom. Rezultat je ispod: Dodajte oznake

Metoda za određivanje uslovnog ekstremuma počinje konstruisanjem pomoćne Lagrangeove funkcije, koja u području izvodljivih rješenja dostiže maksimum za iste vrijednosti varijabli x 1 , x 2 , ..., x n , što je isto što i ciljna funkcija z . Neka je riješen problem određivanja uslovnog ekstremuma funkcije z = f(X) pod ograničenjima φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Sastavimo funkciju

koji se zove Lagrangeova funkcija. X , - konstantni faktori ( Lagrangeovi množitelji). Imajte na umu da se Lagrangeovim množiteljima može dati ekonomsko značenje. Ako f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - prihod u skladu sa planom X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , i funkciju φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - troškovi i-tog resursa koji odgovara ovom planu, zatim X , je cijena (procjena) i-tog resursa, koja karakterizira promjenu ekstremne vrijednosti funkcije cilja ovisno o promjeni veličine i-tog resursa (marginalna procjena). L(X) - funkcija n+m varijable (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Određivanje stacionarnih tačaka ove funkcije dovodi do rješavanja sistema jednačina

Lako je to vidjeti . Dakle, zadatak pronalaženja uslovnog ekstremuma funkcije z = f(X) svodi se na pronalaženje lokalnog ekstremuma funkcije L(X) . Ako se pronađe stacionarna tačka, onda se pitanje postojanja ekstrema u najjednostavnijim slučajevima rješava na osnovu dovoljnih uvjeta za ekstrem - proučavanjem znaka drugog diferencijala d 2 L(X) u stacionarnoj tački, pod uslovom da se varijabla povećava Δx i - povezani odnosima

dobijeno diferenciranjem jednadžbi sprege.

Rješavanje sistema nelinearnih jednačina u dvije nepoznate pomoću alata Find Solution

Postavke Pronalaženje rješenja omogućava vam da pronađete rješenje za sistem nelinearnih jednačina sa dvije nepoznanice:

Gdje
- nelinearna funkcija varijabli x I y ,
- proizvoljna konstanta.

Poznato je da je par ( x , y ) je rješenje sistema jednadžbi (10) ako i samo ako je rješenje sljedeće jednačine sa dvije nepoznanice:

WITH s druge strane, rješenje sistema (10) je presjek dvije krive: f ] (x, y) = C I f 2 (x, y) = C 2 na površini XOY.

Ovo dovodi do metode za pronalaženje korijena sistema. nelinearne jednadžbe:

Odrediti (barem približno) interval postojanja rješenja sistema jednačina (10) ili jednačine (11). Ovdje je potrebno uzeti u obzir vrstu jednačina uključenih u sistem, domen definicije svake njihove jednačine, itd. Ponekad se koristi izbor početne aproksimacije rješenja;

Tablični prikaz rješenja jednadžbe (11) za varijable x i y na odabranom intervalu ili konstruirajte grafove funkcija f 1 (x, y) = C, i f 2 (x,y) = C 2 (sistem(10)).

Lokalizirajte pretpostavljene korijene sistema jednadžbi - pronađite nekoliko minimalnih vrijednosti iz tabele koja prikazuje korijene jednadžbe (11), ili odredite točke presjeka krivulja uključenih u sistem (10).

4. Pomoću dodatka pronađite korijene za sistem jednačina (10). Pronalaženje rješenja.