Primjer rješenja tangentne metode. Nastavni rad: Newtonova metoda za rješavanje nelinearnih jednačina



Ključne riječi:

Cilj rada: proučavati metode za rješavanje nelinearnih jednadžbi s jednom nepoznatom i testirati ih u eksperimentalnom radu.

Ciljevi posla:

1. Analiza specijalna literatura i odaberite najracionalnije metode za rješavanje nelinearnih jednadžbi, omogućavajući vam da duboko proučavate i asimilirate ovu temu svi maturanti.
2. Razviti neke aspekte metodologije za rješavanje nelinearnih jednačina korištenjem ICT-a.
3. Istražite metode za rješavanje nelinearnih jednačina:

‒ Step metoda

‒ Metoda prepolovljenja

‒ Newtonov metod

Uvod.

Bez matematičke pismenosti nemoguće je uspješno savladati metode rješavanja zadataka iz fizike, hemije, biologije i drugih predmeta. Čitav kompleks prirodnih nauka izgrađen je i razvijen na bazi matematičkog znanja. Na primjer, proučavanje niza aktuelnih problema u matematičkoj fizici dovodi do potrebe rješavanja nelinearnih jednačina. Rješenje nelinearnih jednačina neophodno je u nelinearnoj optici, fizici plazme, teoriji supravodljivosti i fizici niskih temperatura. Postoji dovoljna količina literature na ovu temu, ali mnogi udžbenici i članci su teško razumljivi srednjoškolcima. U ovom radu se razmatraju metode rješavanja nelinearnih jednadžbi koje se mogu koristiti za rješavanje primijenjenih problema u fizici i hemiji. Zanimljiv aspekt je aplikacija informacione tehnologije za rješavanje jednačina i zadataka iz matematike.

Step metoda.

Neka je potrebno riješiti nelinearnu jednačinu oblika F(x)=0. Pretpostavimo i da nam je dat određeni interval pretraživanja. Potrebno je pronaći interval [a,b] dužine h, koji sadrži prvi korijen jednačine, počevši od lijeve granice intervala pretraživanja.

Rice. 1. Step metoda

Postoji nekoliko načina za rješavanje takvog problema. Korak metoda je najjednostavnija od numeričkih metoda za rješavanje nejednačina, ali da bi se postigla visoka tačnost potrebno je značajno smanjiti korak, a to uvelike povećava vrijeme proračuna. Algoritam za rješavanje jednačina koristeći ovu metodu sastoji se od dvije faze.

Ipozornici. Odvajanje korijena.

U ovoj fazi određuju se presjeci od kojih svaki sadrži samo jedan korijen jednačine. Postoji nekoliko opcija za implementaciju ove faze:

• Zamijenimo vrijednosti X (po mogućnosti s nekim prilično malim korakom) i vidimo gdje funkcija mijenja predznak. Ako je funkcija promijenila svoj predznak, to znači da postoji korijen u području između prethodne i trenutne vrijednosti X (ako funkcija ne promijeni prirodu svog povećanja/smanjenja, onda možemo reći da postoji samo jedan korijen u ovom intervalu).
• Grafička metoda. Gradimo graf i procjenjujemo na kojim intervalima leži jedan korijen.
• Hajde da istražimo svojstva određene funkcije.

IIpozornici. Rafiniranje korijena.

U ovoj fazi se razjašnjava značenje korijena ranije određene jednačine. U pravilu se u ovoj fazi koriste iterativne metode. Na primjer, metoda pola divizije(dihotomije) ili Newtonov metod.

Metoda polovičnog dijeljenja

Brza i prilično jednostavna numerička metoda za rješavanje jednačina, zasnovana na sekvencijalnom sužavanju intervala koji sadrži jedini korijen jednačine F(x) = 0 dok se ne postigne zadana tačnost E. Ova metoda se obično koristi pri rješavanju kvadratne jednačine i jednačine viših stepeni. Međutim, ova metoda ima značajan nedostatak - ako segment [a,b] sadrži više od jednog korijena, tada neće moći postići dobre rezultate.

Rice. 2. Metoda dihotomije

Algoritam za ovu metodu je sljedeći:

‒ Odrediti novu aproksimaciju korijena x u sredini segmenta [a;b]: x=(a+b)/2.

‒ Pronađite vrijednosti funkcije u tačkama a i x: F(a) i F(x).

‒ Provjerite uvjet F(a)*F(x)

‒ Idite na korak 1 i ponovo podijelite segment na pola. Nastavite algoritam do uvjeta |F(x)|

Newtonova metoda

Najpreciznija metoda numeričkog rješenja; pogodno za rješavanje vrlo složenih jednačina, ali je komplikovano potrebom da se izračunaju derivati ​​u svakom koraku. je da ako je x n neka aproksimacija korijenu jednadžbe , tada je sljedeća aproksimacija definirana kao korijen tangente na funkciju f(x) nacrtanu u tački x n.

Tangentna jednadžba na funkciju f(x) u tački x n ima oblik:

U tangentnoj jednadžbi stavljamo y = 0 i x = x n +1.

Tada je algoritam za sekvencijalne proračune u Newtonovom metodu sljedeći:

Konvergencija tangentne metode je kvadratna, red konvergencije je 2.

Dakle, konvergencija Newtonove tangentne metode je vrlo brza.

Bez ikakvih promjena, metoda je generalizirana na složeni slučaj. Ako je korijen x i korijen druge višestrukosti ili više, tada red konvergencije opada i postaje linearan.

Nedostaci Newtonove metode uključuju njenu lokalnost, jer je zajamčeno da će konvergirati za proizvoljnu početnu aproksimaciju samo ako je uvjet svuda zadovoljen , u suprotnoj situaciji, konvergencija se događa samo u određenom susjedstvu korijena.

Njutnova metoda (metoda tangente) se obično koristi kada se jednačina f(x) = 0 ima root i ispunjeni su sljedeći uslovi:

1) funkcija y=f(x) definisano i kontinuirano na ;

2) f(a) f(b) (funkcija uzima vrijednosti različitih predznaka na krajevima segmenta [ a;b]);

3) derivati f"(x) I f""(x) sačuvaj znak na intervalu [ a;b] (tj. funkcija f(x) ili se povećava ili smanjuje na segmentu [ a;b], uz zadržavanje smjera konveksnosti);

Značenje metode je sljedeće: na segmentu [ a;b] takav broj je odabran x 0 , na kojoj f(x 0) ima isti predznak kao f""(x 0), tj. uslov je zadovoljen f(x 0) f""(x) > 0. Tako je odabrana tačka sa apscisom x 0, u kojem je tangenta na krivu y=f(x) na segmentu [ a;b] siječe osu Ox. Po bodu x 0 Prvo, zgodno je odabrati jedan od krajeva segmenta.

Razmotrimo ovaj algoritam na konkretnom primjeru.

Neka nam je data rastuća funkcija y = f(x) =x 2–2, kontinuirano na segmentu (0;2) i ima f "(x) =2x>0 I f ""(x) = 2> 0.

U našem slučaju, tangentna jednačina ima oblik: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). IN kao tačku x 0 biramo tačku B 1 (b; f(b)) = (2,2). Nacrtajte tangentu na funkciju y = f(x) u tački B 1, i označimo tačku preseka tangente i ose Ox dot x 1. Dobijamo jednačinu prve tangente: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Ox: x 1 =

Rice. 3. Konstrukcija prve tangente na graf funkcije f(x)

y=f(x) Ox kroz tačku x 1, shvatili smo poentu B 2 =(1,5; 0,25). Ponovo nacrtajte tangentu na funkciju y = f(x) u tački B 2, i označimo tačku preseka tangente i Ox dot x 2.

Jednačina druge tangente: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Točka preseka tangente i ose Vol: x 2 =.

Zatim nalazimo točku presjeka funkcije y=f(x) i okomicu povučenu na osu Ox kroz tačku x 2, dobijamo tačku B 3 i tako dalje.

Rice. 4. Konstrukcija druge tangente na graf funkcije f(x)

Prva aproksimacija korijena određena je formulom:

= 1.5.

Druga aproksimacija korijena određena je formulom:

=

Treća aproksimacija korijena određena je formulom:

Dakle ,i th aproksimacija korijena određena je formulom:

Proračuni se vrše sve dok se decimalna mjesta koja su potrebna u odgovoru ne poklapaju, odnosno dok se ne postigne navedena preciznost e - dok se ne ispuni nejednakost |xi-xi-1|

U našem slučaju, uporedimo aproksimaciju dobijenu u trećem koraku sa stvarnim odgovorom. Kao što vidite, već u trećem koraku dobili smo grešku manju od 0,000002.

Rješavanje jednadžbe pomoću CAD-aMathCAD

Za najjednostavnije jednačine oblika f(x) = 0 rješenje u MathCAD-u se nalazi pomoću funkcije root.

korijen (f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - vraća vrijednost X 1 , koji pripada segmentu [ a, b ] , u kojem je izraz ili funkcija f (X ) ide na 0. Oba argumenta ove funkcije moraju biti skalari. Funkcija vraća skalar.

Rice. 5. Rješavanje nelinearne jednadžbe u MathCAD-u (korijenska funkcija)

Ako se greška dogodi kao rezultat primjene ove funkcije, to može značiti da jednačina nema korijena, ili da se korijeni jednadžbe nalaze daleko od početne aproksimacije, izraz ima lokalni max I min između početne aproksimacije i korijena.

Za utvrđivanje uzroka greške potrebno je ispitati graf funkcije f(x). Pomoći će da se otkrije prisustvo korijena jednadžbe f(x) = 0 i, ako postoje, onda približno odrediti njihove vrijednosti. Što je preciznije odabrana početna aproksimacija korijena, brže će se pronaći njegova tačna vrijednost.

Ako je početna aproksimacija nepoznata, onda je preporučljivo koristiti funkciju riješiti . Štaviše, ako jednadžba sadrži nekoliko varijabli, morate naznačiti nakon ključna riječ solve je lista varijabli za koje je jednačina riješena.

Rice. 6. Rješavanje nelinearne jednadžbe u MathCAD-u (funkcija rješavanja)

Zaključak

Studija je ispitala kako matematičke metode, te rješavanje jednačina programiranjem u CAD sistemu MathCAD. Razne metode imaju svoje prednosti i mane. Treba napomenuti da upotreba određene metode zavisi od početnih uslova date jednačine. One jednadžbe koje se mogu dobro riješiti metodama faktorizacije itd., koje su poznate u školi, nema smisla rješavati više na složene načine. Problemi primijenjene matematike koji su važni za fiziku i hemiju i zahtijevaju složene računske operacije pri rješavanju jednačina uspješno se rješavaju, na primjer, programiranjem. Dobro ih je riješiti Newtonovom metodom.

Da biste razjasnili korijene, možete koristiti nekoliko metoda za rješavanje iste jednadžbe. Upravo je ovo istraživanje činilo osnovu ovog rada. Istovremeno, lako je vidjeti koja je metoda najuspješnija u rješavanju svake faze jednadžbe, a koju metodu je bolje ne koristiti u ovoj fazi.

Proučavano gradivo, s jedne strane, pomaže u proširenju i produbljivanju matematičkog znanja i usađivanju interesa za matematiku. S druge strane, za one koji planiraju da steknu tehničku i inženjersku struku važno je da budu sposobni da rešavaju realne matematičke probleme. Zbog toga ovo djelo stvari za daljnje obrazovanje(na primjer, u visokoškolskoj ustanovi).

književnost:

1. Mityakov S. N. Informatika. Kompleks edukativni materijali. - N. Novgorod: Nižnji Novgorod. stanje tech. univ., 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Teorija rješenja grananja nelinearnih jednačina. M.: Nauka, 1969. - 527 str.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Priručnik iz matematike za inženjere i studente tehničkih fakulteta - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Matematika: tutorial. - Rostov n/d.: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. enciklopedijski rječnik mladi matematičar. - M.: Pedagogija, 1989.
6. Korn G., Korn T. Priručnik iz matematike za naučnike i inženjere. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Sankt Peterburg: BHV-Peterburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Viša matematika zasnovana na Mathcad-u. Opšti kurs. - Sankt Peterburg: BHV-Peterburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Numeričke metode zasnovane na Mathcad-u. - Sankt Peterburg: BHV-Peterburg, 2012.

Ključne riječi: nelinearne jednadžbe, primijenjena matematika, CAD MathCAD, Newtonova metoda, step metoda, metoda dihotomije..

Napomena: Članak je posvećen proučavanju metoda za rješavanje nelinearnih jednačina, uključujući korištenje MathCAD-ovog kompjuterskog sistema za projektovanje. Razmatrana je metoda koraka, polovina i Newton metoda, dati su detaljni algoritmi za primjenu ovih metoda, te komparativna analiza navedene metode.

Newtonova metoda (također poznata kao tangentna metoda) je iterativna numerička metoda za pronalaženje korijena (nule) date funkcije. Metodu je prvi predložio engleski fizičar, matematičar i astronom Isaac Newton (1643-1727), pod čijim je imenom postala poznata.

Metodu je opisao Isaac Newton u rukopisu De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .O analiza jednadžbama beskonačnih nizova), upućenom Barrowu 1669. godine, te u djelu De metodis fluxionum et serierum infinitarum (latinski: Metoda fluksija i beskonačnih nizova) ili Geometria analytica ( lat.Analytical geometrija) u sabranim delima Njutna, koja je napisana 1671. Međutim, opis metode se značajno razlikovao od trenutne prezentacije: Njutn je svoju metodu primenio isključivo na polinome. On nije izračunao uzastopne aproksimacije za x n, već niz polinoma i kao rezultat dobio približno rješenje za x.

Metoda je prvi put objavljena u raspravi Algebra Johna Wallisa 1685. godine, na čiji zahtjev ju je ukratko opisao sam Newton. Joseph Raphson je 1690. objavio pojednostavljeni opis u svom djelu Analysis aequationum universalis (lat. Opća analiza jednačine). Raphson je Newtonovu metodu posmatrao kao čisto algebarsku i ograničio njenu upotrebu na polinome, ali je metodu opisao u terminima uzastopnih aproksimacija x n umjesto teže razumljivog niza polinoma koji je koristio Newton.

Konačno, 1740. godine, Newtonovu metodu je opisao Thomas Simpson kao iterativnu metodu prvog reda za rješavanje nelinearnih jednačina koristeći derivate kao što je ovdje navedeno. U istoj publikaciji, Simpson je generalizovao metodu na slučaj sistema od dve jednačine i primetio da se Njutnova metoda takođe može primeniti za rešavanje problema optimizacije pronalaženjem nule izvoda ili gradijenta.

U skladu sa ovom metodom, zadatak pronalaženja korena funkcije svodi se na zadatak pronalaženja tačke preseka sa x-osom tangente ucrtane na graf funkcije.

Fig.1 . Grafikon promjene funkcije

Tangentna linija povučena u bilo kojoj tački na graf funkcije određena je derivacijom ove funkcije u tački koja se razmatra, a koja je zauzvrat određena tangentom ugla α (). Tačka presjeka tangente sa osom apscise određuje se na osnovu sljedećeg odnosa u pravougaonog trougla: tangent uglau pravokutnom trokutu je određen omjerom suprotne strane i susjedne strane trougla. Tako se u svakom koraku konstruiše tangenta na graf funkcije u tački sljedeće aproksimacije . Tačka presjeka tangente sa osom Ox će biti sljedeća tačka pristupa. U skladu s metodom koja se razmatra, izračunavanje približne vrijednosti korijena nai-iteracije se izvode prema formuli:

Nagib ravne linije se prilagođava na svakom koraku na najbolji mogući način, međutim, treba obratiti pažnju na činjenicu da algoritam ne uzima u obzir zakrivljenost grafa i, stoga, tokom procesa izračunavanja ostaje nepoznat u kom smjeru graf može odstupiti.

Uslov za završetak iterativnog procesa je ispunjenje sledećeg uslova:

Gdje ˗ dozvoljena greška u određivanju korena.

Metoda ima kvadratnu konvergenciju. Kvadratna stopa konvergencije znači da se broj tačnih predznaka u aproksimaciji udvostručuje sa svakom iteracijom.

Matematičko opravdanje

Neka je data realna funkcija, koja je definisana i kontinuirana u oblasti koja se razmatra. Potrebno je pronaći pravi korijen dotične funkcije.

Izvođenje jednačine se zasniva na metodi jednostavne iteracije, prema kojem se jednadžba svodi na ekvivalentnu jednačinu za bilo koju funkciju. Hajde da uvedemo koncept mapiranja kontrakcije, koje je definisano relacijom .

Za najbolju konvergenciju metode, uvjet mora biti zadovoljen u tački sljedeće aproksimacije. Ovaj zahtjev znači da korijen funkcije mora odgovarati ekstremumu funkcije.

Derivat karte kontrakcijedefinira se kako slijedi:

Izrazimo varijablu iz ovog izrazapodložno prethodno prihvaćenoj izjavi da kada je potrebno osigurati stanje . Kao rezultat, dobijamo izraz za definisanje varijable:

Uzimajući ovo u obzir, funkcija kompresije je sljedeća:

Stoga se algoritam za pronalaženje numeričkog rješenja jednadžbe svodi na iterativni postupak izračunavanja:

Algoritam za pronalaženje korijena nelinearne jednadžbe korištenjem metode

1. Postavite početnu tačku približne vrijednosti korijena funkcije, kao i grešku u proračunu (mali pozitivan broj) i početni korak iteracije ().

2. Izračunajte približnu vrijednost korijena funkcije u skladu sa formulom:

3. Provjeravamo približnu vrijednost korijena za navedenu tačnost, u slučaju:

Ako razlika između dvije uzastopne aproksimacije postane manja od navedene tačnosti, tada se iterativni proces završava.

Ako razlika između dvije uzastopne aproksimacije ne dostigne potrebnu tačnost, tada je potrebno nastaviti iterativni proces i prijeći na korak 2 algoritma koji se razmatra.

Primjer rješavanja jednačina

metodomNewton za jednadžbu s jednom promjenljivom

Kao primjer, razmotrite rješavanje nelinearne jednadžbe korištenjem metodeNewton za jednadžbu s jednom promjenljivom. Korijen se mora pronaći s točnošću kao prva aproksimacija.

Mogućnost rješavanja nelinearne jednačine u softverskom paketuMathCADprikazano na slici 3.

Rezultati proračuna, odnosno dinamika promjena približne vrijednosti korijena, kao i računske greške u zavisnosti od koraka iteracije, prikazani su u grafičkom obliku (vidi sliku 2).

Fig.2. Rezultati proračuna primjenom Newtonove metode za jednadžbu s jednom promjenljivom

Da bi se osigurala navedena točnost pri traženju približne vrijednosti korijena jednadžbe u opsegu, potrebno je izvršiti 4 iteracije. U posljednjem koraku iteracije, približna vrijednost korijena nelinearne jednadžbe će biti određena vrijednošću: .

Fig.3 . Popis programa uMathCad

Modifikacije Newtonove metode za jednačinu s jednom promjenljivom

Postoji nekoliko modifikacija Newtonove metode koje imaju za cilj pojednostavljenje procesa izračunavanja.

Pojednostavljena Newtonova metoda

U skladu sa Newtonovom metodom, potrebno je izračunati derivaciju funkcije f(x) na svakom koraku iteracije, što dovodi do povećanja računskih troškova. Da biste smanjili troškove povezane s izračunavanjem izvoda u svakom koraku proračuna, možete zamijeniti izvod f’(x n) u tački x n u formuli s izvodom f’(x 0) u tački x 0. U skladu s ovom metodom izračuna, približna vrijednost korijena određuje se sljedećom formulom:Modificirana Newtonova metoda

Newtonova razlika metoda

Kao rezultat toga, približna vrijednost korijena funkcije f(x) bit će određena izrazom Newtonove metode razlike:

Newtonova metoda u dva koraka

U skladu sa Newtonovom metodom, potrebno je izračunati derivaciju funkcije f(x) u svakom koraku iteracije, što nije uvijek zgodno, a ponekad i praktično nemoguće. Ova metoda dozvoljava da se izvod funkcije zamijeni omjerom razlike (približna vrijednost):

Kao rezultat, približna vrijednost korijena funkcije f(x) bit će određena sljedećim izrazom:

Gdje

Fig.5 . Newtonova metoda u dva koraka

Metoda sekante je metoda u dva koraka, odnosno nova aproksimacijaodređeno dvije prethodne iteracije i . Metoda mora specificirati dvije početne aproksimacije i . Stopa konvergencije metode će biti linearna.

• Nazad
• Naprijed

Da biste dodali svoj komentar na članak, molimo vas da se registrujete na sajtu.

2. Newtonova metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina.

Ova metoda ima mnogo bržu konvergenciju od jednostavne iteracijske metode. Newtonova metoda za sistem jednadžbi (1.1) zasniva se na korištenju proširenja funkcije

, Gdje
(2.1)

u Tejlorovom nizu, sa terminima koji sadrže drugi ili više visoke narudžbe derivati ​​se odbacuju. Ovaj pristup omogućava rješavanje jednog nelinearni sistem(1.1) zamjenjuje se rješenjem većeg broja linearnih sistema.

Dakle, riješit ćemo sistem (1.1) Newtonovom metodom. U regiji D izaberite bilo koju tačku
i nazvati je nultom aproksimacijom tačnog rješenja originalnog sistema. Proširimo sada funkcije (2.1) u Taylorov red u susjedstvu tačke . Imat će

Jer leve strane (2.2) moraju nestati prema (1.1), a zatim i desne strane (2.2) takođe moraju nestati. Dakle, iz (2.2) imamo

Sve parcijalne derivacije u (2.3) moraju se izračunati u tački .

(2.3) je sistem linearnih algebarske jednačine u odnosu na nepoznanice Ovaj sistem se može riješiti Cramerovom metodom ako je njegova glavna determinanta različita od nule i količine se mogu pronaći

Sada možemo precizirati nultu aproksimaciju konstruiranjem prve aproksimacije sa koordinatama

one.
. (2.6)

Hajde da saznamo da li je aproksimacija (2.6) dobijena sa dovoljnim stepenom tačnosti. Da bismo to učinili, provjerimo stanje

,
(2.7)

Gdje unaprijed određen mali pozitivan broj (tačnost s kojom se sistem (1.1) mora riješiti). Ako je uslov (2.7) zadovoljen, onda biramo (2.6) kao aproksimativno rješenje sistema (1.1) i završavamo proračune. Ako uslov (2.7) nije zadovoljen, tada izvodimo sljedeću radnju. U sistemu (2.3), umjesto
uzmimo ažurirane vrijednosti

, (2.8)

one. hajde da to uradimo sledeće radnje

. (2.9)

Nakon toga, sistem (2.3) će biti sistem linearnih algebarskih jednadžbi za veličine. Odredivši ove veličine, sljedeća druga aproksimacija
do rješenja sistema (1.1) nalazimo pomoću formula

Sada provjerimo uslov (2.7)

Ako je ovaj uslov ispunjen, onda završavamo proračune uzimajući drugu aproksimaciju kao približno rješenje sistema (1.1)
. Ako ovaj uslov nije ispunjen, nastavljamo s konstruiranjem sljedeće aproksimacije, uzimajući u obzir (2.3)
Potrebno je graditi aproksimacije sve dok uslov nije zadovoljen.

Radne formule Njutnove metode za rešavanje sistema (1.1) mogu se zapisati u obliku.

Izračunaj sekvencu

Evo
su rješenje za sistem

Formulirajmo algoritam proračuna koristeći formule (2.11)-(2.13).

1. Odaberimo nultu aproksimaciju koja pripada području D.

2. U sistemu linearnih algebarskih jednačina (2.13) postavljamo
,A .

3. Riješimo sistem (2.13) i pronađemo količine
.

4. U formule (2.12) stavljamo
i izračunajte komponente sljedeće aproksimacije.

5. Provjerimo uslov (2.7) za: (Pogledajte algoritam za izračunavanje maksimuma od nekoliko veličina.)

6. Ako je ovaj uslov ispunjen, onda završavamo proračune odabirom aproksimacije kao približnog rješenja sistema (1.1). Ako ovaj uvjet nije ispunjen, prijeđite na korak 7.

7. Stavimo
za sve .

8. Izvršimo korak 3, stavljanje
.

Geometrijski, ovaj algoritam se može napisati kao:

Algoritam. Izračunavanje maksimuma od nekoliko veličina.

Primjer. Razmotrimo korištenje Newtonove metode za rješavanje sistema od dvije jednačine.

Riješite koristeći Newtonov metod do tačnosti sledeći sistem nelinearne jednačine

, (2.14)

Evo
. Odaberimo nultu aproksimaciju
, koji pripada domenu D. Konstruirajmo sistem linearnih algebarskih jednadžbi (2.3). Ona će izgledati

(2.15)

Označimo

Rešimo sistem (2.15) u odnosu na nepoznanice
, na primjer Cramer metoda. Zapisujemo Cramerove formule u obliku

(2.17)

gdje je glavna determinanta sistema (2.15)

(2.18)

a pomoćne determinante sistema (2.15) imaju oblik

.

Pronađene vrijednosti zamjenjujemo u (2.16) i nalazimo komponente prve aproksimacije
na rješenje sistema (2.15).

Hajde da proverimo stanje

, (2.19)

ako je ovaj uslov ispunjen, onda završavamo proračune uzimajući prvu aproksimaciju kao približno rješenje sistema (2.15), tj.
. Ako uslov (2.19) nije zadovoljen, postavljamo
,
a mi ćemo izgraditi novi sistem linearne algebarske jednadžbe (2.15). Nakon što smo ga riješili, nalazimo drugu aproksimaciju
. Hajde da to proverimo. Ako je ovaj uslov zadovoljen, tada biramo kao približno rješenje sistema (2.15)
. Ako uslov na nije zadovoljen, postavljamo
,
i konstruišite sledeći sistem (2.15) da biste pronašli
itd.

Zadaci

Svi zadaci zahtevaju:

Napraviti program za numeričku implementaciju metode prema predloženom algoritmu.

Dobijte rezultate proračuna.

Provjerite svoje rezultate.

Dat je sistem dvije nelinearne jednačine.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Poglavlje 3. Numeričke metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE).

Cilj rada. Upoznavanje sa nekim aproksimativnim metodama za rešavanje SLAE-a i njihovom numeričkom implementacijom na računaru.

Preliminarne napomene. Sve metode za rješavanje SLAE obično se dijele na dvije velike grupe. Prva grupa uključuje metode koje se obično nazivaju tačnima. Ove metode nam omogućavaju da pronađemo za bilo koji sistem tačne vrijednosti nepoznanice nakon konačnog broja aritmetičkih operacija, od kojih se svaka izvodi tačno.

U drugu grupu spadaju sve metode koje nisu tačne. Zovu se iterativni, numerički ili približni. Tačno rješenje, kada se koriste takve metode, dobija se kao rezultat beskonačnog procesa aproksimacija. Atraktivna karakteristika takvih metoda je njihova samoispravka i lakoća implementacije na PC-u.

Razmotrimo neke približne metode za rješavanje SLAE i konstruiramo algoritme za njihovu numeričku implementaciju. Dobićemo približno rješenje SLAE s tačnošću , gdje je neki vrlo mali pozitivan broj.

1. Metoda iteracije.

Neka je SLAE dat u obliku

(1.1)

Ovaj sistem se može zapisati u matričnom obliku

, (1.2)

Gdje
- matrica koeficijenata za nepoznate u sistemu (1.1),
- kolona slobodnih članova,
- kolona nepoznanica sistema (1.1).

. (1.3)

Rešimo sistem (1.1) metodom iteracije. Da bismo to učinili, izvršit ćemo sljedeće korake.

Prvo. Odaberimo nultu aproksimaciju

(1.4)

na tačno rješenje (1.3) sistema (1.1). Komponente nulte aproksimacije mogu biti bilo koji brojevi. Ali zgodnije je uzeti bilo koju nulu za komponente nulte aproksimacije
, ili slobodni uslovi sistema (1.1)

Drugo. Komponente nulte aproksimacije zamjenjujemo u desna strana sistema (1.1) i izračunaj

(1.5)

Količine lijevo u (1.5) su komponente prve aproksimacije
Radnje koje su rezultirale prvom aproksimacijom nazivaju se iteracija.

Treće. Provjerimo nultu i prvu aproksimaciju za

(1.6)

Ako su svi uslovi (1.6) ispunjeni, tada za približno rješenje sistema (1.1) biramo ili , ili nije bitno, jer razlikuju se jedno od drugog samo za i završimo proračune. Ako barem jedan od uslova (1.6) nije ispunjen, prelazimo na sljedeću radnju.

Četvrto. Izvršimo sljedeću iteraciju, tj. u desnu stranu sistema (1.1) zamjenjujemo komponente prve aproksimacije i izračunavamo komponente druge aproksimacije
, Gdje

Peto. Hajde da proverimo
i na , tj. Provjerimo uslov (1.6) za ove aproksimacije. Ako su svi uslovi (1.6) ispunjeni, tada ćemo za približno rješenje sistema (1.1) izabrati ili , ili nije bitno, jer razlikuju se jedni od drugih za ne više od . U suprotnom ćemo konstruisati sljedeću iteraciju zamjenom komponenti druge aproksimacije u desnu stranu sistema (1.1).

Iteracije se moraju izgraditi do dvije susjedne aproksimacije
i međusobno će se razlikovati za ne više od .

Radna formula iteracijske metode za rješavanje sistema (1.1) može se zapisati kao

Algoritam za numeričku implementaciju formule (1.7) može biti sljedeći.

Dovoljni uslovi za konvergenciju metode iteracije za sistem (1.1) imaju oblik

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Jednostavna metoda iteracije.

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) dat u obliku

(2.1)

Da bi se sistem (2.1) riješio jednostavnim iteracijskim metodom, prvo se mora svesti na oblik

(2.2)

U sistemu (2.2) -ta jednačina je -ta jednačina sistema (2.1), riješena u odnosu na -tu nepoznatu (
).

Metoda za rješavanje sistema (2.1), koja se sastoji od njegovog svođenja na sistem (2.2) nakon čega slijedi rješavanje sistema (2.2) korištenjem iteracijske metode, naziva se jednostavna metoda iteracije za sistem (2.1).

Tako će radne formule jednostavne iteracijske metode za rješavanje sistema (2.1) imati oblik

(2.3)

Formule (2.3) se mogu napisati u obliku

Algoritam za numeričku implementaciju jednostavne iteracijske metode za sistem (2.1) prema formulama (2.4) može biti sljedeći.

Ovaj algoritam se može napisati geometrijski.

Dovoljni uslovi za konvergenciju jednostavne iteracijske metode za sistem (2.1) imaju oblik

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Stacionarna Seidelova metoda.

Seidelova metoda za rješavanje SLAE razlikuje se od metode iteracije po tome što nakon što smo pronašli neku aproksimaciju za -tu komponentu, odmah je koristimo da pronađemo sljedeću
,
, …, -th komponenta. Ovaj pristup omogućava više velika brzina konvergenciju Seidelove metode u poređenju sa metodom iteracije.

Neka je SLAE dat u obliku

(3.1)

Neka
- nulta aproksimacija do tačnog rješenja
sistemi (3.1). I neka se nađe th aproksimacija
. Hajde da definišemo komponente
th aproksimacija pomoću formula

(3.2)

Formule (3.2) se mogu napisati u kompaktnom obliku

,
,
(3.3)

Algoritam za numeričku implementaciju Seidelove metode za rješavanje sistema (3.1) korištenjem formula (3.3) može biti sljedeći.

1. Odaberimo npr.
,

2. Stavimo .

3. Izračunajmo za sve.

4. Provjerićemo uslove za sve
.

5. Ako su ispunjeni svi uslovi iz stava 4, onda ćemo izabrati jedno ili kao približno rješenje sistema (3.1) i završiti proračune. Ako barem jedan uvjet u koraku 4 nije ispunjen, prijeđite na korak 6.

6. Spustimo ga i pređimo na korak 3.

Ovaj algoritam se može napisati geometrijski.

Dovoljan uslov za konvergenciju Seidelove metode za sistem (3.1) ima oblik
, .

4. Nestacionarna Seidelova metoda.

Ova metoda rješavanja SLAE (3.1) omogućava još veću brzinu konvergencije Seidelove metode.

Hajde da nekako pronađemo komponente th aproksimacije i th aproksimacije za sistem (3.1).

Izračunajmo vektor korekcije

Izračunajmo vrijednosti

, (4.2)

Složimo količine
, u opadajućem redoslijedu.

Istim redosledom prepisujemo jednačine u sistemu (3.1) i nepoznanice u ovom sistemu: Linearnoalgebra I nelinearni ... MenadžmentZa laboratorija radiBy ... metodološki instrukcije ZapraktičnoradiBy Zastudenti ...

Obrazovna literatura (prirodna i tehnička) 2000-2011 OP ciklus – 10 godina CD ciklus – 5 godina

Književnost

... Prirodnonauke općenito 1. Astronomija [Tekst]: priručnik Za ... Numeričkimetode: Linearnoalgebra I nelinearni ... MenadžmentZa laboratorija radiBy ... metodološki instrukcije ZapraktičnoradiBy disciplina "Ekonomika transporta" Zastudenti ...

- prirodne nauke (1)

Tutorial

... menadžmentZastudenti i nastavnici, namijenjeni Za koristiti ne samo za učenje metoderad... proizvodnja praktično vještine korištenja stvarnih podataka. Metodički preporuke By ispunjenje testa radBy ovo...

- prirodne nauke - fizičke i matematičke nauke - hemijske nauke - nauke o zemlji (geodetske geofizičke geološke i geografske nauke)

Dokument

... Zastudentiprirodno- ... radiBy disciplina "Genetika i selekcija", posvećena trenutni problemi ovo nauke. Sistematizovana samostalna PosaostudentiBy teorijski i praktično ... linearno, nelinearni, dinamičan. Sve metode ...

- prirodne nauke - fizičke i matematičke nauke - hemijske nauke - nauke o zemlji (geodetske geofizičke geološke i geografske nauke) (7)

Spisak udžbenika

Ereminova determinanta linearno I nelinearnialgebra : linearno I nelinearni programiranje: novo metoda/ Eremin, Mihail... Zastudenti i nastavnici geoloških specijalnosti na univerzitetima. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktičnomenadžmentBy ...

Rješavanje nelinearnih jednadžbi Newtonovom metodom

Za rješavanje problema s električnom energijom postoji nekoliko modifikacija metode. Oni omogućavaju povećanje brzine konvergencije iterativnog procesa i smanjenje vremena izračunavanja.

Osnove dostojanstvo metoda - ima brzu konvergenciju.

Ideja metode sastoji se od sekvencijalne zamjene pri svakoj iteraciji izračunavanja originalnog nelinearnog sistema jednadžbi sa nekim pomoćnim linearnim sistemom jednadžbi, čije rješenje nam omogućava da dobijemo sljedeću aproksimaciju nepoznatih, bliže željenom rješenju ( linearizacija).

Razmotrimo nelinearnu jednačinu u opšti pogled:

Traženo rješenje jednačine je tačka u kojoj kriva siječe x-osu.

Postavili smo početnu aproksimaciju nepoznatog x (0). Odredite vrijednost funkcije u ovom trenutku w(x(0)) i nacrtajte tangentu na krivu u tački B. Tačka presjeka ove tangente sa x-osom određuje sljedeću aproksimaciju nepoznate x (1) itd.

Proširimo jednačinu (1) u Taylorov red u blizini tačke x (0). Razmotrimo termine proširenja koji sadrže samo prvi izvod:

(2)

x – x (0) = Δx- amandman na nepoznato. Ako ga definiramo, možemo odrediti sljedeću aproksimaciju.

Iz (2) određujemo amandman (3)

Zatim sledeća aproksimacija: (5)

Slično dobijamo To-e aproksimacije:

Ovo rekurentna formula Newtonove metode za rješavanje nelinearnih jednačina. Omogućava vam da odredite sljedeće aproksimacije nepoznatih.

Formula (6) se može dobiti na drugi način sa slike:

Iterativni proces konvergira ako se smanjuje i približava 0 . Rezultat se postiže ako .

Komentar geometrijske interpretacije

Iterativni korak metode svodi se na zamjenu krivulje pravom linijom, koja je opisana lijevom stranom jednačine (2). Tangenta je na krivu u tački . Ovaj proces se zove linearizacija. Točka presjeka tangente na krivulju sa osom X daje još jednu aproksimaciju nepoznatog. Stoga se ova metoda zove tangentna metoda.

primjer:

primjer:

Da bi se ovom metodom odredili svi korijeni nelinearne jednadžbe, potrebno je na bilo koji način odrediti približno lokaciju ovih korijena i postaviti početne aproksimacije blizu njih.

Jednostavan način za određivanje područja na kojem se nalaze korijeni je tabelarno.

Newtonov iteracijski proces ne konvergira, ako su početne aproksimacije odabrane tako da:

Proces ili ne konvergira ili konvergira vrlo slabo.

Newton-Raphsonova metoda za rješavanje SNAU

Raphson je pokazao da je Newtonov iterativni metod predložen za rješavanje jedan nelinearni jednačine, može se koristiti za rješavanje sistemima nelinearne jednačine.

Istovremeno, za rješavanje sistema nelinearnih jednačina potrebno je uzeti u obzir skup (vektor) umjesto jedne nepoznate nepoznato:

umjesto jedne rezidualne jednačine, razmatramo vektor ostataka jednačine sistema:

Jedan izvod u (6) je zamijenjen matrica derivata. Operacija dijeljenja u (6) zamjenjuje se množenjem sa obrnuto matrica derivata. U ovom slučaju, Newton-Raphsonova metoda se razlikuje od Newtonove metode po prijelazu s jednodimenzionalnog problema na multidimenzionalni.

Razmotrimo sistem realnih nelinearnih algebarskih jednadžbi:

(7)

Može se napisati u matričnom obliku:

Gdje X= x 2 – vektor – kolona nepoznatih;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

W = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – vektorska funkcija.

w n (x 1, x 2, ... x n)

Neka - početne aproksimacije nepoznatih. Proširimo svaku jednačinu sistema (7) u Tejlorov red u blizini tačke X (0), odnosno izvršit ćemo približnu zamjenu originalnih nelinearnih jednadžbi linearnim u kojima je sačuvan samo 1. izvod (linearizacija). Kao rezultat, sistem jednačina (7) ima oblik:

(9)

Kao rezultat smo dobili sistem linearnih jednačina(linearizirani sistem), u kojem su nepoznanice korekcije . Koeficijenti za nepoznate u ovom sistemu su prvi izvodi jednačina w j originalnog nelinearnog sistema za sve nepoznate Xi.. Oni formiraju matricu koeficijenata – Jacobijeva matrica:

=

Svaki red matrice sastoji se od prvih izvoda sljedeće jednačine nelinearnog sistema u odnosu na sve nepoznate.

Zapišimo linearizirani sistem (9) u matričnom obliku:

(10)

Evo vektora reziduala jednadžbi originalnog sistema. Njegovi elementi se dobijaju supstitucijom uzastopnih aproksimacija nepoznatih u jednačine nelinearnog sistema;

- Jakobijanska matrica. Njegovi elementi su prvi parcijalni derivati ​​svih jednačina originalnog sistema u odnosu na sve nepoznanice;

- vektor korekcije do željenih nepoznanica. Na svakoj iteraciji može se napisati:

Sistem (10), uzimajući u obzir prihvaćenu notaciju, može se napisati:

(12)

Ovaj sistem linearno u vezi sa amandmanima ΔH (k).

Sistem (13) je linearizirani sistem jednačina koji zamjenjuje originalni SNAU u svakom koraku iterativnog procesa.

Sistem (13) se rješava bilo kojom poznatom metodom, kao rezultat nalazimo vektor korekcije . Tada iz (11) možemo naći sledeći pristupi nepoznato:

To. svaki iterativni korak proces se sastoji u rješavanju linearnog sistema (13) i određivanju sljedeće aproksimacije iz (14).

Iz (11) i (12) možemo dobiti opšte formula recidiva(u matričnom obliku), što odgovara Newton-Raphson metodi:

(15)

Ima strukturu koja odgovara formuli (6).

Formula (15) se koristi u praktičnim proračunima rijetko, budući da je ovdje potrebno invertirati Jacobian matricu (velike dimenzije) pri svakoj iteraciji proračuna. U realnim proračunima korekcije se određuju kao rezultat rješavanja linearnog sistema (13).

Kontrola završetka Izvodimo iterativni proces koristeći vektor reziduala:

Ovaj uslov mora biti zadovoljen za ostatke svima jednačine sistema.

Algoritam za rješavanje SNAU pomoću Newton-Raphsonove metode

1. Određivanje vektora početnih aproksimacija nepoznatih.

Podešavanje tačnosti proračuna є , ostali parametri proračuna

2. Određivanje reziduala nelinearnih jednačina u tački aproksimacije;

2.3. Određivanje elemenata Jakobijanske matrice u tački sljedeće aproksimacije nepoznatih;

2.4. Rješenje lineariziranog sistema (13) bilo kojom poznatom metodom. Utvrđivanje amandmana na nepoznate.

2.5. Određivanje sljedeće aproksimacije nepoznatih u skladu sa (14).

2.6. Praćenje završetka procesa iteracije u skladu sa (16). Ako uslov nije ispunjen, vratite se na korak 2.

primjer:

Riješite SLAE koristeći Newton-Raphsonovu metodu:

(rješenje X 1 = X 2 =2)

Zapišimo jednadžbe u obliku reziduala:

Definiramo elemente Jakobijanske matrice:

Jakobijanska matrica:

Hajde da implementiramo algoritam Newton-Raphsonove metode:

1) Prva iteracija:

Početne aproksimacije

Ostaci

Jakobijanska matrica:

Linearizovani sistem jednačina:

1. aproksimacija nepoznatih:

2) Druga iteracija

3) Treća iteracija:

… ……… …… …… …… ……..

Rješavanje sistema jednadžbi stacionarnog stanja primjenom Newton-Raphsonove metode

Nelinearna jednadžba stacionarnog stanja u obliku bilansa snaga za th čvor ima oblik:

(17)

Ovo je jednadžba sa kompleksnim nepoznanicama i koeficijentima. Da bi takve jednadžbe oblika (17) bilo je moguće odlučiti pomoću Newton-Raphsonove metode, oni se transformiraju: stvarni i imaginarni dijelovi su odvojeni. Kao rezultat ovoga, svaki složena jednačina oblik (17) se rastavlja na dvije realne jednadžbe koje odgovaraju ravnoteži aktivne i jalove snage u čvoru:

Ovdje su specificirane moći u čvoru;

Nepoznate komponente napona na čvorovima. Oni su potrebni

utvrđeno kao rezultat proračuna.

Na desnoj strani jednadžbe (18) je izračunata ukupna snaga strujanja u granama koje se približavaju th čvoru.

Zapišimo ove jednačine (18) u obliku ostaci:

Ostaci jednadžbi (19) odgovaraju izračunatim neravnoteža aktivna i jalova snaga u čvoru.

Ostaci opisuju način rada čvorova і i nelinearne su funkcije nepoznatih napona u čvorovima. Potrebno je da -> 0.

Sistem ćemo rješavati Newton-Raphsonovom metodom 2n jednadžbe oblika (19), odnosno da biste riješili problem izračunavanja stacionarnog stanja električne mreže pomoću Newton-Raphsonove metode, potrebno je:

1) formiraju sistem 2n jednačine oblika (19) za sve čvorove električne mreže, osim za balansne;

2) organizovati iterativni proces Newton-Raphsonove metode

da se reši ovaj sistem jednačina. Kao rezultat odluke

dobijamo potrebne komponente naprezanja u čvorovima.

Zapišimo ovaj sistem jednačina u opštem obliku:

(20)

Dobili smo sistem od 2 nelinearna rezidualne jednačine sa 2 nepoznate, koje. Nepoznate komponente u njemu su naponske komponente - moduli i uglovi.

Da biste riješili sistem (20) pomoću Newton-Raphsonove metode, potrebno je pisati pomoćni linearizovani sistem jednadžbi oblika (13), rešavanjem kojeg pri svakoj iteraciji određujemo korekcije nepoznanica:

(21)

Uzimajući u obzir prihvaćenu notaciju, sistem (21) se može napisati:

(22)

gdje je Jacobijeva matrica, njeni elementi su parcijalni derivati ​​jednadžbi sistema (20) u odnosu na sve nepoznanice - komponente napona

Vektor reziduala jednadžbi sistema (20). Njihove vrijednosti se dobivaju zamjenom uzastopnih aproksimacija nepoznatih u jednačine;

Vektor korekcija nepoznatih:

; Δɨ i = Ө i (k+1) - Ө i (k), ΔU i = U i (k+1) - U i (k) .

Za određivanje elemenata Jacobian matrice koristimo se analitička diferencijacija, tj. Svaku jednačinu sistema (20) razlikujemo prema traženim veličinama – uglovima i modulima naprezanja. Da biste formirali Jacobian matricu, morate dobiti analitičke izraze za derivacije sljedećeg vrste:

1) Derivat jednačine zaostalog za aktivnu snagu th čvora u odnosu na ugao napona istog čvora: ;

2) Derivat jednačine zaostalog za aktivnu snagu th čvora u odnosu na naponski ugao susednog j- th čvor: ;

3) Derivat ostatka aktivne snage thog čvora po modulu napona istog čvora: ;

4) Derivat ostatka aktivne snage thog čvora po modulu napona susednog čvora: ;

Slično se određuju još četiri vrste derivacija - derivati ​​iz jednadžbi ostatka jalove snage th čvora za sve nepoznanice:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Uzimajući ove derivate u obzir, Jacobijeva matrica se može napisati u opštem obliku:

(23)

Hajde da definišemo analitičke izraze za derivate, diferenciranje jednadžbi sistema (20) s obzirom na nepoznate veličine. izgledaju kao:

(24)

Jakobijanska matrica V opšti slučaj- kvadratna matrica, simetrična, sa dimenzijom , njeni elementi su parcijalni derivati ​​reziduala jednadžbi (neravnoteža snaga) u odnosu na sve nepoznanice.

Ako čvorovi nisu međusobno povezani, tada će odgovarajuće derivacije matrice, Jacobian matrice, smještene izvan dijagonale, biti jednake nuli (slično matrici provodljivosti) - jer u odgovarajućim formulama (24) međusobna provodljivost y ij je faktor i. y ij =0.

Svaki red matrice je derivat naredne jednačine sistema (20).

Prisutnost posebnih čvorova u modeliranom mrežnom dijagramu (čvorovi podrške i balansiranja, FM čvorovi) utiče na struktura sistem jednadžbi stacionarnog stanja i o strukturi Jakobijanske matrice:

1. Za čvorove sa fiksiranje modula naponi (FM), u kojima su zadane i nepoznate i , iz Jacobian matrice isključeno linija derivata (od Qi nije specificirano, onda se ne može sastaviti jednadžba ravnoteže jalove snage (18), (19) i stupac derivacija (pošto naponski modul U i je poznato i isključeno je sa liste nepoznatih).

2. Za čvorove podrške i balansiranja, odgovarajući redovi i stupci matrice su isključeni;

3. Ako čvorovi nisu direktno povezani, odgovarajuće derivacije u matrici su jednake nuli.

Jakobijanska matrica se može podijeliti na četiri blok:

1) - derivati ​​iz jednačina neravnoteže aktivan snaga (20) by uglovi stres;

2) - derivati ​​jednačina neravnoteže aktivan power by moduli stres;

3) - derivati ​​jednačina neravnoteže reaktivan snaga (20) by uglovi stres;

4) - derivati ​​jednačina neravnoteže reaktivan power by moduli stres.

To su matrične ćelije parcijalnih izvoda neravnoteža aktivnih i reaktivnih snaga pod nepoznatim uglovima i naponskim modulima. Općenito, ovo su kvadratne matrice dimenzija n×n.

Uzimajući ovo u obzir, Jacobian matrica se može predstaviti kao blok matrice:

Gdje podvektor nepoznatih veličina.

Uzimajući ovo u obzir, onda se linearizovani sistem jednačina (22) može zapisati u obliku:

. (25)

Rješavanje ovoga linearni sistem jednadžbe (po bilo kojoj poznatoj metodi) na

Za svaku iteraciju metode nalazimo ispravke nepoznanica, a zatim

redovno približava se nepoznato:

(26)

Sljedeća aproksimacija nepoznanica također se može dobiti korištenjem formula iteracije Newton-Raphsonova metoda, slična (15):

- · (27)

Ovo zahtijeva invertiranje Jacobian matrice pri svakoj iteraciji - glomazna računska operacija.

Algoritam za rješavanje sistema stabilnih jednadžbi pomoću Newton-Raphsonove metode

1. Postavljanje početnih vrijednosti nepoznatih napona. Kao početne aproksimacije prihvatamo: , tj. nazivni naponi čvorova;

2. Postavljanje uvjeta proračuna: tačnost ε , maksimalan broj iteracija, koeficijenti ubrzanja itd.

3. Određivanje reziduala jednačina u skladu sa jednačinama (20) uz uzastopne aproksimacije nepoznanica;

4. Određivanje elemenata Jacobijeve matrice u skladu sa (24) uzastopnim aproksimacijama nepoznatih;

5. Rješavanje lineariziranog sistema jednadžbi (25) i određivanje korekcija nepoznanica;

6. Određivanje sljedećih aproksimacija nepoznatih u skladu sa (26);

7. Provjera završetka procesa iteracije:

Preostale vrijednosti jednadžbi za sve čvorove moraju biti manje od navedene točnosti.

Ako uslov nije ispunjen, vratite se na tačku 3 i ponovite proračun sa novim aproksimacijama nepoznatih.

Postoji broj modifikacije Newton-Raphsonove metode. Uključujući:

1. Modificirana Newton-Raphsonova metoda.

Jacobian matrica se izračunava jednom za početne vrijednosti nepoznatih. U narednim iteracijama to je prihvaćeno konstantan. Ovo značajno smanjuje količinu izračunavanja na svakoj iteraciji, ali povećava broj iteracija.

2. Podijeljena Newton-Raphsonova metoda.

Derivati ​​oblika su vrlo mali i njihove vrijednosti se mogu zanemariti. Kao rezultat, u Jakobijanskoj matrici ostaju dva bloka - 1. i 4. i sistem (25) koji se sastoji od jednadžbi raspada u dva nezavisna sistema dimenzija. Svaki od ovih sistema rješava se odvojeno od drugog. To dovodi do smanjenja količine proračuna i potrebne memorije računara.