Newtonova metoda za rješavanje nelinearnih jednačina c. Rješavanje sistema nelinearnih jednadžbi stacionarnog stanja primjenom Newton-Raphsonove metode

Newtonova metoda (također poznata kao tangentna metoda) je iterativna numerička metoda za pronalaženje korijena (nule) date funkcije. Metodu je prvi predložio engleski fizičar, matematičar i astronom Isaac Newton (1643-1727), pod čijim je imenom postala poznata.

Metodu je opisao Isaac Newton u rukopisu De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .O analiza jednadžbama beskonačnih nizova), upućenom Barrowu 1669. godine, te u djelu De metodis fluxionum et serierum infinitarum (latinski: Metoda fluksija i beskonačnih nizova) ili Geometria analytica ( lat.Analytical geometrija) u sabranim delima Njutna, koja je napisana 1671. Međutim, opis metode se značajno razlikovao od trenutne prezentacije: Njutn je svoju metodu primenio isključivo na polinome. On nije izračunao uzastopne aproksimacije za x n, već niz polinoma i kao rezultat dobio približno rješenje za x.

Metoda je prvi put objavljena u raspravi Algebra Johna Wallisa 1685. godine, na čiji zahtjev ju je ukratko opisao sam Newton. Joseph Raphson je 1690. objavio pojednostavljeni opis u svom djelu Analysis aequationum universalis (lat. Opća analiza jednačine). Raphson je Newtonovu metodu posmatrao kao čisto algebarsku i ograničio njenu upotrebu na polinome, ali je metodu opisao u terminima uzastopnih aproksimacija x n umjesto teže razumljivog niza polinoma koji je koristio Newton.

Konačno, 1740. godine, Newtonov metod je opisao Thomas Simpson kao iterativnu metodu prvog reda za rješavanje nelinearne jednačine koristeći derivat kao što je ovdje prikazano. U istoj publikaciji, Simpson je generalizovao metodu na slučaj sistema od dve jednačine i primetio da se Njutnova metoda takođe može primeniti za rešavanje problema optimizacije pronalaženjem nule izvoda ili gradijenta.

U skladu sa ovom metodom, zadatak pronalaženja korena funkcije svodi se na zadatak pronalaženja tačke preseka sa x-osom tangente ucrtane na graf funkcije.

Fig.1 . Grafikon promjene funkcije

Tangentna linija povučena u bilo kojoj tački na graf funkcije određena je derivacijom ove funkcije u tački koja se razmatra, a koja je zauzvrat određena tangentom ugla α (). Tačka presjeka tangente sa osom apscise određuje se na osnovu sljedećeg odnosa u pravougaonog trougla: tangent uglau pravokutnom trokutu je određen omjerom suprotne strane i susjedne strane trougla. Tako se u svakom koraku konstruiše tangenta na graf funkcije u tački sledeće aproksimacije . Tačka presjeka tangente sa osom Ox će biti sljedeća tačka pristupa. U skladu s metodom koja se razmatra, izračunavanje približne vrijednosti korijena nai-iteracije se izvode prema formuli:

Nagib ravne linije se prilagođava na svakom koraku na najbolji mogući način, međutim, treba obratiti pažnju na činjenicu da algoritam ne uzima u obzir zakrivljenost grafa i, stoga, tokom procesa izračunavanja ostaje nepoznat u kom smjeru graf može odstupiti.

Uslov za završetak iterativnog procesa je ispunjenje sledećeg uslova:

Gdje ˗ dozvoljena greška u određivanju korena.

Metoda ima kvadratnu konvergenciju. Kvadratna stopa konvergencije znači da se broj tačnih predznaka u aproksimaciji udvostručuje sa svakom iteracijom.

Matematičko opravdanje

Neka je data realna funkcija, koja je definisana i kontinuirana na području koje se razmatra. Potrebno je pronaći pravi korijen dotične funkcije.

Izvođenje jednačine se zasniva na metodi jednostavne iteracije, prema kojem se jednadžba svodi na ekvivalentnu jednačinu za bilo koju funkciju. Hajde da uvedemo koncept mapiranja kontrakcije, koje je definisano relacijom .

Za najbolju konvergenciju metode, uvjet mora biti zadovoljen u tački sljedeće aproksimacije. Ovaj zahtjev znači da korijen funkcije mora odgovarati ekstremumu funkcije.

Derivat karte kontrakcijedefinira se kako slijedi:

Izrazimo varijablu iz ovog izrazapodložno prethodno prihvaćenoj izjavi da kada je potrebno osigurati stanje . Kao rezultat, dobijamo izraz za definisanje varijable:

Uzimajući ovo u obzir, funkcija kompresije je sljedeća:

Stoga se algoritam za pronalaženje numeričkog rješenja jednadžbe svodi na iterativni postupak izračunavanja:

Algoritam za pronalaženje korijena nelinearne jednadžbe korištenjem metode

1. Postavite početnu tačku približne vrijednosti korijena funkcije, kao i grešku u proračunu (mali pozitivan broj) i početni korak iteracije ().

2. Izračunajte približnu vrijednost korijena funkcije u skladu sa formulom:

3. Provjeravamo približnu vrijednost korijena za navedenu tačnost, u slučaju:

Ako razlika između dvije uzastopne aproksimacije postane manja od navedene tačnosti, tada se iterativni proces završava.

Ako razlika između dvije uzastopne aproksimacije ne dostigne potrebnu tačnost, tada je potrebno nastaviti iterativni proces i prijeći na korak 2 algoritma koji se razmatra.

Primjer rješavanja jednačina

metodomNewton za jednadžbu s jednom promjenljivom

Kao primjer, razmotrite rješavanje nelinearne jednadžbe korištenjem metodeNewton za jednadžbu s jednom promjenljivom. Korijen se mora pronaći s točnošću kao prva aproksimacija.

Opcija za rješavanje nelinearne jednadžbe u softverskom paketuMathCADprikazano na slici 3.

Rezultati proračuna, odnosno dinamika promjena približne vrijednosti korijena, kao i računske greške u zavisnosti od koraka iteracije, prikazani su u grafičkom obliku (vidi sliku 2).

Fig.2. Rezultati proračuna primjenom Newtonove metode za jednadžbu s jednom promjenljivom

Da bi se osigurala navedena točnost pri traženju približne vrijednosti korijena jednadžbe u opsegu, potrebno je izvršiti 4 iteracije. U posljednjem koraku iteracije, približna vrijednost korijena nelinearne jednadžbe će biti određena vrijednošću: .

Fig.3 . Popis programa uMathCad

Modifikacije Newtonove metode za jednadžbu s jednom promjenljivom

Postoji nekoliko modifikacija Newtonove metode koje imaju za cilj pojednostavljenje procesa izračunavanja.

Pojednostavljena Newtonova metoda

U skladu sa Newtonovom metodom, potrebno je izračunati derivaciju funkcije f(x) na svakom koraku iteracije, što dovodi do povećanja računskih troškova. Da biste smanjili troškove povezane s izračunavanjem izvoda u svakom koraku proračuna, možete zamijeniti izvod f’(x n) u tački x n u formuli s izvodom f’(x 0) u tački x 0. U skladu s ovom metodom izračuna, približna vrijednost korijena određuje se sljedećom formulom:Modificirana Newtonova metoda

Newtonova razlika metoda

Kao rezultat toga, približna vrijednost korijena funkcije f(x) bit će određena izrazom Newtonove metode razlike:

Newtonova metoda u dva koraka

U skladu sa Newtonovom metodom, potrebno je izračunati derivaciju funkcije f(x) u svakom koraku iteracije, što nije uvijek zgodno, a ponekad i praktično nemoguće. Ova metoda dozvoljava da se izvod funkcije zamijeni omjerom razlike (približna vrijednost):

Kao rezultat, približna vrijednost korijena funkcije f(x) bit će određena sljedećim izrazom:

Gdje

Fig.5 . Newtonova metoda u dva koraka

Metoda sekante je metoda u dva koraka, odnosno nova aproksimacijaodređeno dvije prethodne iteracije i . Metoda mora specificirati dvije početne aproksimacije i . Stopa konvergencije metode će biti linearna.

• Nazad
• Naprijed

Da biste dodali svoj komentar na članak, molimo vas da se registrujete na sajtu.

2. Newtonova metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina.

Ova metoda ima mnogo bržu konvergenciju od jednostavne iteracijske metode. Newtonova metoda za sistem jednadžbi (1.1) zasniva se na korištenju proširenja funkcije

, Gdje
(2.1)

u Tejlorovom nizu, sa terminima koji sadrže drugi ili više visoke narudžbe derivati ​​se odbacuju. Ovaj pristup omogućava da se rješenje jednog nelinearnog sistema (1.1) zamijeni rješenjem većeg broja linearnih sistema.

Dakle, riješit ćemo sistem (1.1) Newtonovom metodom. U regiji D izaberite bilo koju tačku
i nazvati je nultom aproksimacijom tačnog rješenja originalnog sistema. Proširimo sada funkcije (2.1) u Taylorov red u susjedstvu tačke . Imat će

Jer leve strane (2.2) moraju nestati u skladu sa (1.1), zatim i desne strane (2.2) takođe moraju nestati. Dakle, iz (2.2) imamo

Sve parcijalne derivacije u (2.3) moraju se izračunati u tački .

(2.3) je sistem linearnih algebarske jednačine u odnosu na nepoznanice Ovaj sistem se može riješiti Cramerovom metodom ako je njegova glavna determinanta različita od nule i količine se mogu pronaći

Sada možemo precizirati nultu aproksimaciju konstruiranjem prve aproksimacije sa koordinatama

one.
. (2.6)

Hajde da saznamo da li je aproksimacija (2.6) dobijena sa dovoljnim stepenom tačnosti. Da bismo to učinili, provjerimo stanje

,
(2.7)

Gdje unaprijed određen mali pozitivan broj (tačnost s kojom se sistem (1.1) mora riješiti). Ako je uslov (2.7) zadovoljen, onda biramo (2.6) kao aproksimativno rješenje sistema (1.1) i završavamo proračune. Ako uslov (2.7) nije zadovoljen, tada izvodimo sljedeću radnju. U sistemu (2.3), umjesto
uzmimo ažurirane vrijednosti

, (2.8)

one. hajde da to uradimo sledeće radnje

. (2.9)

Nakon ovoga, sistem (2.3) će biti sistem linearnih algebarskih jednadžbi za veličine. Odredivši ove veličine, sljedeća druga aproksimacija
do rješenja sistema (1.1) nalazimo pomoću formula

Sada provjerimo uslov (2.7)

Ako je ovaj uslov ispunjen, onda završavamo proračune uzimajući drugu aproksimaciju kao približno rješenje sistema (1.1)
. Ako ovaj uslov nije ispunjen, nastavljamo s konstruiranjem sljedeće aproksimacije, uzimajući u obzir (2.3)
Potrebno je graditi aproksimacije sve dok uslov nije zadovoljen.

Radne formule Njutnove metode za rešavanje sistema (1.1) mogu se zapisati u obliku.

Izračunaj sekvencu

Evo
su rješenje za sistem

Formulirajmo algoritam proračuna koristeći formule (2.11)-(2.13).

1. Odaberimo nultu aproksimaciju koja pripada području D.

2. U sistemu linearnih algebarskih jednačina (2.13) postavljamo
,A .

3. Riješimo sistem (2.13) i pronađemo količine
.

4. U formule (2.12) stavljamo
i izračunajte komponente sljedeće aproksimacije.

5. Provjerimo uslov (2.7) za: (Pogledajte algoritam za izračunavanje maksimuma od nekoliko veličina.)

6. Ako je ovaj uslov ispunjen, onda završavamo proračune odabirom aproksimacije kao približnog rješenja sistema (1.1). Ako ovaj uvjet nije ispunjen, prijeđite na korak 7.

7. Stavimo
za sve .

8. Izvršimo korak 3, stavljanje
.

Geometrijski, ovaj algoritam se može napisati kao:

Algoritam. Izračunavanje maksimuma od nekoliko veličina.

Primjer. Razmotrimo korištenje Newtonove metode za rješavanje sistema od dvije jednačine.

Riješite koristeći Newtonov metod do tačnosti sledeći sistem nelinearne jednačine

, (2.14)

Evo
. Odaberimo nultu aproksimaciju
, koji pripada domenu D. Konstruirajmo sistem linearnih algebarskih jednadžbi (2.3). Ona će izgledati

(2.15)

Označimo

Rešimo sistem (2.15) u odnosu na nepoznanice
, na primjer Cramer metoda. Zapisujemo Cramerove formule u obliku

(2.17)

gdje je glavna determinanta sistema (2.15)

(2.18)

a pomoćne determinante sistema (2.15) imaju oblik

.

Pronađene vrijednosti zamjenjujemo u (2.16) i nalazimo komponente prve aproksimacije
na rješenje sistema (2.15).

Hajde da proverimo stanje

, (2.19)

ako je ovaj uslov ispunjen, onda završavamo proračune uzimajući prvu aproksimaciju kao približno rješenje sistema (2.15), tj.
. Ako uslov (2.19) nije zadovoljen, postavljamo
,
a mi ćemo izgraditi novi sistem linearne algebarske jednadžbe (2.15). Nakon što smo ga riješili, nalazimo drugu aproksimaciju
. Hajde da to proverimo. Ako je ovaj uslov zadovoljen, onda biramo kao približno rješenje sistema (2.15)
. Ako uslov na nije zadovoljen, postavljamo
,
i konstruisati sledeći sistem (2.15) za pronalaženje
itd.

Zadaci

Svi zadaci zahtijevaju:

Napraviti program za numeričku implementaciju metode prema predloženom algoritmu.

Dobijte rezultate proračuna.

Provjerite svoje rezultate.

Dat je sistem dvije nelinearne jednačine.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Poglavlje 3. Numeričke metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE).

Cilj rada. Upoznavanje sa nekim aproksimativnim metodama za rešavanje SLAE-a i njihovom numeričkom implementacijom na računaru.

Preliminarne napomene. Sve metode za rješavanje SLAE obično se dijele na dvije velike grupe. Prva grupa uključuje metode koje se obično nazivaju tačnima. Ove metode nam omogućavaju da pronađemo za bilo koji sistem tačne vrijednosti nepoznanice nakon konačnog broja aritmetičkih operacija, od kojih se svaka izvodi tačno.

U drugu grupu spadaju sve metode koje nisu tačne. Nazivaju se iterativnim, numeričkim ili približnim. Tačno rješenje, kada se koriste takve metode, dobija se kao rezultat beskonačnog procesa aproksimacija. Atraktivna karakteristika takvih metoda je njihova samoispravka i lakoća implementacije na PC-u.

Razmotrimo neke približne metode za rješavanje SLAE i konstruiramo algoritme za njihovu numeričku implementaciju. Dobićemo približno rješenje SLAE s tačnošću , gdje je neki vrlo mali pozitivan broj.

1. Metoda iteracije.

Neka je SLAE dat u obliku

(1.1)

Ovaj sistem se može zapisati u matričnom obliku

, (1.2)

Gdje
- matrica koeficijenata za nepoznate u sistemu (1.1),
- kolona slobodnih članova,
- kolona nepoznanica sistema (1.1).

. (1.3)

Rešimo sistem (1.1) metodom iteracije. Da bismo to učinili, izvršit ćemo sljedeće korake.

Prvo. Odaberimo nultu aproksimaciju

(1.4)

na tačno rješenje (1.3) sistema (1.1). Komponente nulte aproksimacije mogu biti bilo koji brojevi. Ali zgodnije je uzeti bilo koju nulu za komponente nulte aproksimacije
, ili slobodni uslovi sistema (1.1)

Drugo. Komponente nulte aproksimacije zamjenjujemo u desna strana sistema (1.1) i izračunaj

(1.5)

Količine lijevo u (1.5) su komponente prve aproksimacije
Radnje koje su rezultirale prvom aproksimacijom nazivaju se iteracija.

Treće. Provjerimo nultu i prvu aproksimaciju za

(1.6)

Ako su ispunjeni svi uslovi (1.6), tada za približno rješenje sistema (1.1) biramo ili , ili nije bitno, jer razlikuju se jedno od drugog samo po i završimo proračune. Ako barem jedan od uslova (1.6) nije ispunjen, prelazimo na sljedeću radnju.

Četvrto. Izvršimo sljedeću iteraciju, tj. u desnu stranu sistema (1.1) zamjenjujemo komponente prve aproksimacije i izračunavamo komponente druge aproksimacije
, Gdje

Peto. Hajde da proverimo
i na , tj. Provjerimo uslov (1.6) za ove aproksimacije. Ako su svi uslovi (1.6) ispunjeni, tada ćemo za približno rješenje sistema (1.1) izabrati ili , ili nije bitno, jer razlikuju se jedni od drugih za ne više od . U suprotnom ćemo konstruisati sljedeću iteraciju zamjenom komponenti druge aproksimacije u desnu stranu sistema (1.1).

Iteracije se moraju izgraditi do dvije susjedne aproksimacije
i međusobno će se razlikovati za ne više od .

Radna formula iteracijske metode za rješavanje sistema (1.1) može se zapisati kao

Algoritam za numeričku implementaciju formule (1.7) može biti sljedeći.

Dovoljni uslovi za konvergenciju metode iteracije za sistem (1.1) imaju oblik

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Jednostavna metoda iteracije.

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) dat u obliku

(2.1)

Da bi se sistem (2.1) riješio jednostavnim iteracijskim metodom, prvo se mora svesti na oblik

(2.2)

U sistemu (2.2) -ta jednačina je -ta jednačina sistema (2.1), riješena u odnosu na -tu nepoznatu (
).

Metoda za rješavanje sistema (2.1), koja se sastoji od njegovog svođenja na sistem (2.2) nakon čega slijedi rješavanje sistema (2.2) korištenjem iteracijske metode, naziva se jednostavna metoda iteracije za sistem (2.1).

Tako će radne formule jednostavne iteracijske metode za rješavanje sistema (2.1) imati oblik

(2.3)

Formule (2.3) se mogu napisati u obliku

Algoritam za numeričku implementaciju jednostavne iteracijske metode za sistem (2.1) prema formulama (2.4) može biti sljedeći.

Ovaj algoritam se može napisati geometrijski.

Dovoljni uslovi za konvergenciju jednostavne iteracijske metode za sistem (2.1) imaju oblik

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Stacionarna Seidelova metoda.

Seidelova metoda za rješavanje SLAE razlikuje se od metode iteracije po tome što nakon što smo pronašli neku aproksimaciju za -tu komponentu, odmah je koristimo da pronađemo sljedeću
,
, …, -th komponenta. Ovaj pristup omogućava više velika brzina konvergenciju Seidelove metode u odnosu na metodu iteracije.

Neka je SLAE dat u obliku

(3.1)

Neka
- nulta aproksimacija do tačnog rješenja
sistemi (3.1). I neka se nađe th aproksimacija
. Hajde da definišemo komponente
th aproksimacija pomoću formula

(3.2)

Formule (3.2) se mogu napisati u kompaktnom obliku

,
,
(3.3)

Algoritam za numeričku implementaciju Seidelove metode za rješavanje sistema (3.1) korištenjem formula (3.3) može biti sljedeći.

1. Odaberimo npr.
,

2. Stavimo .

3. Izračunajmo za sve.

4. Provjerićemo uslove za sve
.

5. Ako su ispunjeni svi uslovi iz stava 4, onda ćemo izabrati jedno ili kao približno rješenje sistema (3.1) i završiti proračune. Ako barem jedan uvjet u koraku 4 nije ispunjen, prijeđite na korak 6.

6. Spustimo ga i pređimo na korak 3.

Ovaj algoritam se može napisati geometrijski.

Dovoljan uslov za konvergenciju Seidelove metode za sistem (3.1) ima oblik
, .

4. Nestacionarna Seidelova metoda.

Ova metoda rješavanja SLAE (3.1) omogućava još veću brzinu konvergencije Seidelove metode.

Hajde da nekako pronađemo komponente th aproksimacije i th aproksimacije za sistem (3.1).

Izračunajmo vektor korekcije

Izračunajmo vrijednosti

, (4.2)

Složimo količine
, u opadajućem redoslijedu.

Istim redosledom prepisujemo jednačine u sistemu (3.1) i nepoznanice u ovom sistemu: Linearnoalgebra I nelinearni ... MenadžmentZa laboratorija radiBy ... metodološki instrukcije ZapraktičnoradiBy Zastudenti ...

Obrazovna literatura (prirodna i tehnička) 2000-2011 OP ciklus – 10 godina CD ciklus – 5 godina

Književnost

... Prirodnonauke općenito 1. Astronomija [Tekst]: priručnik Za ... Numeričkimetode: Linearnoalgebra I nelinearni ... MenadžmentZa laboratorija radiBy ... metodološki instrukcije ZapraktičnoradiBy disciplina "Ekonomika transporta" Zastudenti ...

- prirodne nauke (1)

Tutorial

... menadžmentZastudenti i nastavnici, namijenjeni Za koristiti ne samo za učenje metoderad... proizvodnja praktično vještine korištenja stvarnih podataka. Metodički preporuke By ispunjenje testa radBy ovo...

- prirodne nauke - fizičke i matematičke nauke - hemijske nauke - nauke o zemlji (geodetske geofizičke geološke i geografske nauke)

Dokument

... Zastudentiprirodno- ... radiBy disciplina "Genetika i selekcija", posvećena trenutni problemi ovo nauke. Sistematizovana samostalna PosaostudentiBy teorijski i praktično ... linearno, nelinearni, dinamičan. Sve metode ...

- prirodne nauke - fizičke i matematičke nauke - hemijske nauke - nauke o zemlji (geodetske geofizičke geološke i geografske nauke) (7)

Spisak udžbenika

Ereminova determinanta linearno I nelinearnialgebra : linearno I nelinearni programiranje: novo metoda/ Eremin, Mihail... Zastudenti i nastavnici geoloških specijalnosti na univerzitetima. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktičnomenadžmentBy ...



Ključne riječi:

Cilj rada: proučavati metode za rješavanje nelinearnih jednadžbi s jednom nepoznatom i testirati ih u eksperimentalnom radu.

Ciljevi posla:

1. Analiza specijalna literatura i odaberite najracionalnije metode za rješavanje nelinearnih jednadžbi, omogućavajući vam da duboko proučavate i asimilirate ovu temu svi maturanti.
2. Razviti neke aspekte metodologije za rješavanje nelinearnih jednačina korištenjem ICT-a.
3. Istražite metode za rješavanje nelinearnih jednačina:

‒ Step metoda

‒ Metoda prepolovljenja

‒ Newtonov metod

Uvod.

Bez matematičke pismenosti nemoguće je uspješno savladati metode rješavanja zadataka iz fizike, hemije, biologije i drugih predmeta. Čitav kompleks prirodnih nauka izgrađen je i razvijen na bazi matematičkog znanja. Na primjer, proučavanje niza aktuelnih problema u matematičkoj fizici dovodi do potrebe rješavanja nelinearnih jednačina. Rješenje nelinearnih jednačina neophodno je u nelinearnoj optici, fizici plazme, teoriji supravodljivosti i fizici niskih temperatura. Postoji dovoljna količina literature na ovu temu, ali mnogi udžbenici i članci su teško razumljivi srednjoškolcima. U ovom radu se razmatraju metode rješavanja nelinearnih jednadžbi koje se mogu koristiti za rješavanje primijenjenih problema u fizici i hemiji. Zanimljiv aspekt je aplikacija informacione tehnologije za rješavanje jednačina i zadataka iz matematike.

Step metoda.

Neka je potrebno riješiti nelinearnu jednačinu oblika F(x)=0. Pretpostavimo i da nam je dat određeni interval pretraživanja. Potrebno je pronaći interval [a,b] dužine h, koji sadrži prvi korijen jednačine, počevši od lijeve granice intervala pretraživanja.

Rice. 1. Step metoda

Postoji nekoliko načina za rješavanje takvog problema. Korak metoda je najjednostavnija od numeričkih metoda za rješavanje nejednačina, ali da bi se postigla visoka tačnost potrebno je značajno smanjiti korak, a to uvelike povećava vrijeme proračuna. Algoritam za rješavanje jednačina koristeći ovu metodu sastoji se od dvije faze.

Ipozornici. Odvajanje korijena.

U ovoj fazi se određuju presjeci od kojih svaki sadrži samo jedan korijen jednačine. Postoji nekoliko opcija za implementaciju ove faze:

• Zamijenimo vrijednosti X (po mogućnosti s nekim prilično malim korakom) i vidimo gdje funkcija mijenja predznak. Ako je funkcija promijenila svoj predznak, to znači da postoji korijen u području između prethodne i trenutne vrijednosti X (ako funkcija ne promijeni prirodu svog povećanja/smanjenja, onda možemo reći da postoji samo jedan korijen u ovom intervalu).
• Grafička metoda. Gradimo graf i procjenjujemo na kojim intervalima leži jedan korijen.
• Hajde da istražimo svojstva određene funkcije.

IIpozornici. Rafiniranje korijena.

U ovoj fazi se razjašnjava značenje korijena ranije određene jednačine. U pravilu se u ovoj fazi koriste iterativne metode. Na primjer, metoda pola divizije(dihotomije) ili Newtonov metod.

Metoda polovičnog dijeljenja

Brza i prilično jednostavna numerička metoda za rješavanje jednadžbi, zasnovana na sekvencijalnom sužavanju intervala koji sadrži jedini korijen jednadžbe F(x) = 0 dok se ne postigne specificirana tačnost E. Ova metoda se obično koristi pri rješavanju kvadratne jednačine i jednačine viših stepeni. Međutim, ova metoda ima značajan nedostatak - ako segment [a,b] sadrži više od jednog korijena, tada neće moći postići dobre rezultate.

Rice. 2. Metoda dihotomije

Algoritam za ovu metodu je sljedeći:

‒ Odrediti novu aproksimaciju korijena x u sredini segmenta [a;b]: x=(a+b)/2.

‒ Pronađite vrijednosti funkcije u tačkama a i x: F(a) i F(x).

‒ Provjerite uvjet F(a)*F(x)

‒ Idite na korak 1 i ponovo podijelite segment na pola. Nastavite algoritam do uvjeta |F(x)|

Newtonova metoda

Najpreciznija metoda numeričkog rješenja; pogodno za rješavanje vrlo složenih jednačina, ali je komplikovano potrebom da se izračunaju derivati ​​u svakom koraku. je da ako je x n neka aproksimacija korijenu jednadžbe , tada je sljedeća aproksimacija definirana kao korijen tangente na funkciju f(x) nacrtanu u tački x n.

Tangentna jednadžba na funkciju f(x) u tački x n ima oblik:

U tangentnoj jednadžbi stavljamo y = 0 i x = x n +1.

Tada je algoritam za sekvencijalne proračune u Newtonovom metodu sljedeći:

Konvergencija tangentne metode je kvadratna, red konvergencije je 2.

Dakle, konvergencija Newtonove tangentne metode je vrlo brza.

Bez ikakvih promjena, metoda je generalizirana na složeni slučaj. Ako je korijen x i korijen drugog višestrukosti ili više, tada red konvergencije opada i postaje linearan.

Nedostaci Newtonove metode uključuju njenu lokalnost, jer je zajamčeno da će konvergirati za proizvoljnu početnu aproksimaciju samo ako je uvjet svuda zadovoljen , u suprotnoj situaciji, konvergencija se događa samo u određenom susjedstvu korijena.

Njutnova metoda (metoda tangente) se obično koristi kada se jednačina f(x) = 0 ima root i ispunjeni su sljedeći uslovi:

1) funkcija y=f(x) definisano i kontinuirano na ;

2) f(a) f(b) (funkcija uzima vrijednosti različitih predznaka na krajevima segmenta [ a;b]);

3) derivati f"(x) I f""(x) sačuvaj znak na intervalu [ a;b] (tj. funkcija f(x) ili se povećava ili smanjuje na segmentu [ a;b], uz zadržavanje smjera konveksnosti);

Značenje metode je sljedeće: na segmentu [ a;b] takav broj je odabran x 0 , na kojoj f(x 0) ima isti predznak kao f""(x 0), tj. uslov je zadovoljen f(x 0) f""(x) > 0. Tako je odabrana tačka sa apscisom x 0, u kojem je tangenta na krivu y=f(x) na segmentu [ a;b] siječe osu Ox. Po bodu x 0 Prvo, zgodno je odabrati jedan od krajeva segmenta.

Razmotrimo ovaj algoritam na konkretnom primjeru.

Neka nam je data rastuća funkcija y = f(x) =x 2– 2, kontinuirano na segmentu (0;2) i ima f "(x) =2x>0 I f ""(x) = 2> 0.

U našem slučaju, tangentna jednačina ima oblik: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). IN kao tačku x 0 biramo tačku B 1 (b; f(b)) = (2,2). Nacrtajte tangentu na funkciju y = f(x) u tački B 1, i označimo tačku preseka tangente i ose Ox dot x 1. Dobijamo jednačinu prve tangente: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Ox: x 1 =

Rice. 3. Konstrukcija prve tangente na graf funkcije f(x)

y=f(x) Ox kroz tačku x 1, shvatili smo poentu B 2 =(1,5; 0,25). Ponovo nacrtajte tangentu na funkciju y = f(x) u tački B 2, i označimo tačku preseka tangente i Ox dot x 2.

Jednačina druge tangente: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Točka preseka tangente i ose Vol: x 2 =.

Zatim nalazimo točku presjeka funkcije y=f(x) i okomicu povučenu na osu Ox kroz tačku x 2, dobijamo tačku B 3 i tako dalje.

Rice. 4. Konstrukcija druge tangente na graf funkcije f(x)

Prva aproksimacija korijena određena je formulom:

= 1.5.

Druga aproksimacija korijena određena je formulom:

=

Treća aproksimacija korijena određena je formulom:

Dakle ,i th aproksimacija korijena određena je formulom:

Proračuni se vrše sve dok se decimalna mjesta koja su potrebna u odgovoru ne poklapaju, odnosno dok se ne postigne navedena preciznost e - dok se ne ispuni nejednakost |xi-xi-1|

U našem slučaju, uporedimo aproksimaciju dobijenu u trećem koraku sa stvarnim odgovorom. Kao što vidite, već u trećem koraku dobili smo grešku manju od 0,000002.

Rješavanje jednadžbe pomoću CAD-aMathCAD

Za najjednostavnije jednačine oblika f(x) = 0 rješenje u MathCAD-u se nalazi pomoću funkcije root.

korijen (f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - vraća vrijednost X 1 , koji pripada segmentu [ a, b ] , u kojem je izraz ili funkcija f (X ) ide na 0. Oba argumenta ove funkcije moraju biti skalari. Funkcija vraća skalar.

Rice. 5. Rješavanje nelinearne jednadžbe u MathCAD-u (korijenska funkcija)

Ako se greška dogodi kao rezultat primjene ove funkcije, to može značiti da jednačina nema korijena, ili da se korijeni jednadžbe nalaze daleko od početne aproksimacije, izraz ima lokalni max I min između početne aproksimacije i korijena.

Da bi se utvrdio uzrok greške, potrebno je ispitati graf funkcije f(x). Pomoći će da se otkrije prisustvo korijena jednadžbe f(x) = 0 i, ako postoje, onda približno odrediti njihove vrijednosti. Što je preciznije odabrana početna aproksimacija korijena, brže će se pronaći njegova tačna vrijednost.

Ako je početna aproksimacija nepoznata, onda je preporučljivo koristiti funkciju riješiti . Štaviše, ako jednadžba sadrži nekoliko varijabli, morate naznačiti nakon ključna riječ solve je lista varijabli za koje je jednačina riješena.

Rice. 6. Rješavanje nelinearne jednadžbe u MathCAD-u (funkcija rješavanja)

Zaključak

Studija je ispitala kako matematičke metode, te rješavanje jednačina programiranjem u CAD sistemu MathCAD. Razne metode imaju svoje prednosti i mane. Treba napomenuti da upotreba određene metode zavisi od početnih uslova date jednačine. One jednadžbe koje se mogu dobro riješiti metodama faktorizacije itd., koje su poznate u školi, nema smisla rješavati više na složene načine. Problemi primijenjene matematike koji su važni za fiziku i hemiju i zahtijevaju složene računske operacije pri rješavanju jednačina uspješno se rješavaju, na primjer, programiranjem. Dobro ih je riješiti Newtonovom metodom.

Da biste razjasnili korijene, možete koristiti nekoliko metoda za rješavanje iste jednadžbe. Upravo je ovo istraživanje činilo osnovu ovog rada. Istovremeno, lako je vidjeti koja je metoda najuspješnija u rješavanju svake faze jednadžbe, a koju metodu je bolje ne koristiti u ovoj fazi.

Proučavano gradivo, s jedne strane, pomaže u proširenju i produbljivanju matematičkog znanja i usađivanju interesa za matematiku. S druge strane, za one koji planiraju da steknu tehničku i inženjersku struku važno je da budu sposobni da rešavaju realne matematičke probleme. Zbog toga ovo djelo stvari za daljnje obrazovanje(na primjer, u visokoškolskoj ustanovi).

književnost:

1. Mityakov S. N. Informatika. Kompleks edukativni materijali. - N. Novgorod: Nižnji Novgorod. stanje tech. univ., 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Teorija rješenja grananja nelinearnih jednačina. M.: Nauka, 1969. - 527 str.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Priručnik iz matematike za inženjere i studente tehničkih fakulteta - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Matematika: tutorial. - Rostov n/d.: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. enciklopedijski rječnik mladi matematičar. - M.: Pedagogija, 1989.
6. Korn G., Korn T. Priručnik iz matematike za naučnike i inženjere. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Sankt Peterburg: BHV-Peterburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Opšti kurs. - Sankt Peterburg: BHV-Peterburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Numeričke metode zasnovane na Mathcad-u. - Sankt Peterburg: BHV-Peterburg, 2012.

Ključne riječi: nelinearne jednadžbe, primijenjena matematika, CAD MathCAD, Newtonova metoda, metoda koraka, metoda dihotomije..

Napomena: Članak je posvećen proučavanju metoda za rješavanje nelinearnih jednačina, uključujući korištenje MathCAD-ovog kompjuterskog sistema za projektovanje. Razmatrana je metoda koraka, polovina i Newton metoda, dati su detaljni algoritmi za primjenu ovih metoda, te komparativna analiza navedene metode.

Na primjer:

Postavimo zadatak da pronađemo validan korijene ove jednačine.

I definitivno ih ima! - iz članaka o grafovi funkcija I jednačine više matematike dobro znaš kakav je raspored polinomska funkcija neparan stepen siječe osu barem jednom, stoga naša jednačina ima najmanje jedan pravi koren. Jedan. Ili dva. Ili tri.

Prvo, treba provjeriti dostupnost racionalno korijenje. Prema odgovarajuća teorema, samo brojevi 1, –1, 3, –3 mogu dobiti ovu “titulu”, a direktnom zamjenom lako je osigurati da nijedan od njih “ne odgovara”. Dakle, iracionalne vrijednosti ostaju. Može se pronaći iracionalni korijen(i) polinoma stepena 3 upravo (izraziti kroz radikale) koristeći tzv Cardano formule , međutim, ova metoda je prilično glomazna. Ali za polinome 5. i višeg stepena uopšte ne postoji opšta analitička metoda, a pored toga, u praksi postoje mnoge druge jednadžbe u kojima tačne vrijednosti nemoguće je dobiti prave korijene (iako postoje).

Međutim, u primijenjenom (na primjer, inženjering) problema, više je nego prihvatljivo koristiti izračunate približne vrijednosti sa određenom tačnošću.

Postavimo tačnost za naš primjer. Šta to znači? To znači da moramo pronaći TAKVU približnu vrijednost korijena (korijeni) u kojoj smo zagarantovano je da nismo u pravu za najviše 0,001 (hiljaditi dio) .

Apsolutno je jasno da se rješenje ne može pokrenuti “nasumično” i stoga u prvom koraku korijeni odvojeno. Odvojiti korijen znači pronaći dovoljno mali (obično jedan) segment kojem ovaj korijen pripada i na kojem nema drugih korijena. Najjednostavniji i najpristupačniji grafička metoda odvajanja korijena. Hajde da gradimo tačku po tačku graf funkcije :

Iz crteža slijedi da jednačina, po svemu sudeći, ima jedan realni korijen koji pripada segmentu. Na krajevima ovog intervala funkcija uzima vrijednosti različitih predznaka: , i iz činjenice kontinuitet funkcije na segmentu odmah vidljivo elementarni način preciziranje korijena: podijelite interval na pola i odaberite segment na čijim krajevima zauzima funkcija različiti znakovi. IN u ovom slučaju ovo je očigledno segment. Dobiveni interval podijelimo na pola i ponovo izaberemo segment "drugačiji znak". I tako dalje. Takve sekvencijalne radnje se nazivaju iteracije. U tom slučaju ih treba izvoditi sve dok dužina segmenta ne postane manja od dvostruke točnosti proračuna, a sredinu posljednjeg segmenta „različitih znakova“ treba odabrati kao približnu vrijednost korijena.

Razmatrana šema dobila je prirodno ime - metoda poludijeljenja. A nedostatak ove metode je brzina. Polako. Tako sporo. Biće previše iteracija pre nego što postignemo potrebnu tačnost. Sa razvojem kompjuterska tehnologija To, naravno, nije problem, ali matematika tome služi, da traži najracionalnija rješenja.

I jedan od više efikasne načine pronalaženje približne vrijednosti korijena je precizno tangentna metoda. Kratka geometrijska suština metode je sljedeća: prvo, korištenje posebnog kriterija (više o tome malo kasnije) jedan od krajeva segmenta je odabran. Ovaj kraj se zove početni aproksimacija korijena, u našem primjeru: . Sada crtamo tangentu na graf funkcije na apscisi (plava tačka i ljubičasta tangenta):

Ova tangenta je prešla x-osu u žutoj tački, i imajte na umu da smo u prvom koraku skoro “pogodili korijen”! Biti će prvo root pristup. Zatim spuštamo žutu okomicu na graf funkcije i "dolazimo" do narančaste točke. Ponovo povlačimo tangentu kroz narandžastu tačku, koja će presjeći osu još bliže korijenu! I tako dalje. Nije teško shvatiti da se metodom tangente približavamo cilju skokovima i granicama, a za postizanje točnosti potrebno je doslovno nekoliko iteracija.

Pošto je tangenta definisana kroz derivacija funkcije, onda je ova lekcija završila u odjeljku „Derivati“ kao jedna od njegovih primjena. I ne ulazeći u detalje teorijsko opravdanje metode, razmotrit ću tehničku stranu pitanja. U praksi se gore opisani problem javlja otprilike u sljedećoj formulaciji:

Primjer 1

Korišćenjem grafička metoda pronaći interval na kojem se nalazi pravi korijen jednadžbe. Koristeći Newtonovu metodu, dobijte približnu vrijednost korijena s točnošću od 0,001

Evo "poštedne verzije" zadatka, u kojoj se odmah navodi prisustvo jednog važećeg korijena.

Rješenje: na prvom koraku korijen treba grafički odvojiti. Ovo se može uraditi iscrtavanjem (pogledajte ilustracije iznad), ali ovaj pristup ima niz nedostataka. Prvo, nije činjenica da je graf jednostavan (ne znamo unaprijed), A softver– nije uvek pri ruci. I drugo (posledica od 1.), sa velikom vjerovatnoćom rezultat neće biti čak ni šematski crtež, već grubi crtež, što, naravno, nije dobro.

Pa, zašto su nam potrebne nepotrebne poteškoće? Hajde da zamislimo jednačina u obliku, PAŽLJIVO konstruišite grafikone i označite koren na crtežu („X“ koordinata tačke preseka grafika):

Ocigledna prednost ovu metodu je da se grafovi ovih funkcija grade ručno mnogo preciznije i mnogo brže. Usput, zapazite to ravno prešao kubna parabola u jednoj tački, što znači da predložena jednačina zapravo ima samo jedan pravi korijen. Vjerujte, ali provjerite ;-)

Dakle, naš „klijent“ pripada segmentu i „na oko“ je otprilike jednako 0,65-0,7.

Na drugom koraku treba izabrati početna aproksimacija root Obično je ovo jedan od krajeva segmenta. Početna aproksimacija mora zadovoljiti sledeći uslov:

Hajde da nađemo prvo I sekunda izvedene funkcije :

i provjerite lijevi kraj segmenta:

Dakle, nula „nije odgovarala“.

Provjera desnog kraja segmenta:

- Sve je uredu! Mi biramo kao početnu aproksimaciju.

Na trećem koraku Ceka nas put do korena. Svaka sljedeća korijenska aproksimacija izračunava se iz prethodnih podataka koristeći sljedeće rekurentno formule:

Proces se završava kada se ispuni uslov, gdje je unaprijed određena tačnost proračuna. Kao rezultat, "n-ta" aproksimacija se uzima kao približna vrijednost korijena: .

Slijede rutinski proračuni:

(zaokruživanje se obično vrši na 5-6 decimala)

Budući da je dobivena vrijednost veća od , prelazimo na 1. aproksimaciju korijena:

Računamo:

, pa je potrebno prijeći na 2. aproksimaciju:

Idemo dalje u sljedeću rundu:

, time su iteracije završene, a 2. aproksimaciju treba uzeti kao približnu vrijednost korijena, koju, u skladu sa zadatom tačnošću, treba zaokružiti na hiljaditi dio:

U praksi je zgodno uneti rezultate proračuna u tabelu kako bi se unos donekle skratio, razlomak se često označava sa:

Ako je moguće, bolje je izvršiti same izračune u Excelu - mnogo je praktičnije i brže:

Odgovori: tačno do 0,001

Da vas podsjetim da ova fraza implicira činjenicu da smo pogriješili u procjeni pravo značenje korijen za ne više od 0,001. Oni koji sumnjaju mogu uzeti mikrokalkulator i još jednom zamijeniti približnu vrijednost od 0,674 in lijeva strana jednačine

Sada hajde da "skeniramo" desnu kolonu tabele od vrha do dna i primetimo da vrednosti konstantno opadaju u apsolutnoj vrednosti. Ovaj efekat se zove konvergencija metoda koja nam omogućava da izračunamo korijen sa proizvoljno visokom preciznošću. Ali konvergencija se ne dešava uvijek – ona je osigurana niz uslova, o čemu sam ćutao. Posebno mora biti segment na kojem je korijen izoliran dovoljno mali– inače će se vrijednosti nasumično mijenjati i nećemo moći dovršiti algoritam.

Šta učiniti u takvim slučajevima? Provjerite da li su ispunjeni navedeni uvjeti (vidi link iznad), i, ako je potrebno, smanjite segment. Dakle, relativno govoreći, ako u analiziranom primjeru interval nije odgovarao za nas, onda bismo trebali razmotriti, na primjer, segment. U praksi sam se susreo sa takvim slučajevima, a ova tehnika zaista pomaže! Isto se mora učiniti ako oba kraja “širokog” segmenta ne zadovoljavaju uvjet (tj. nijedan od njih nije prikladan kao početna aproksimacija).

Ali obično sve radi kao sat, iako ne bez zamki:

Primjer 2

Odredite grafički broj realnih korijena jednadžbe, odvojite ove korijene i pomoću Newtonove metode pronađite približne vrijednosti korijena s točnošću

Uvjet problema je postao primjetno stroži: prvo, sadrži jak nagovještaj da jednačina nema ni jedan korijen, drugo, povećan je zahtjev za preciznošću, i treće, sa grafikom funkcije mnogo teže izaći na kraj.

I zbog toga rješenje Počnimo s trikom za uštedu: zamislite jednadžbu u obliku i nacrtajte grafikone:


Iz crteža slijedi da naša jednadžba ima dva realna korijena:

Algoritam, kao što razumete, treba dvaput da se „pokrene“. Ali to je čak iu najtežim slučajevima potrebno je pregledati 3-4 korijena.

1) Korištenje kriterija Hajde da saznamo koji kraj segmenta izabrati kao početnu aproksimaciju prvog korena. Pronalaženje izvoda funkcija :

Testiranje lijevog kraja segmenta:

- došao gore!

Dakle, to je početna aproksimacija.

Pročistit ćemo korijen koristeći Newtonovu metodu koristeći rekurentnu formulu:
- do razlomka modulo neće biti manja od tražene tačnosti:

I ovdje riječ "modul" dobija neiluzornu važnost, jer su vrijednosti negativne:


Iz istog razloga, posebnu pažnju treba obratiti pri prelasku na svaku sljedeću aproksimaciju:

Uprkos dovoljno visok zahtjev tačnije, proces je ponovo završio na 2. aproksimaciji: , dakle:

Precizno do 0,0001

2) Nađimo približnu vrijednost korijena.

Provjeravamo lijevi kraj segmenta za vaške:

, stoga nije pogodan kao početna aproksimacija.