Izrazi, jednačine i sistemi jednačina
With kompleksni brojevi

Danas ćemo na času vježbati tipične operacije sa kompleksnim brojevima, a također ćemo savladati tehniku ​​rješavanja izraza, jednačina i sistema jednačina koji sadrže te brojeve. Ova radionica je nastavak lekcije i stoga ako niste dobro upućeni u temu, slijedite gornji link. Pa, spremnijim čitaocima predlažem da se odmah zagrijete:

Primjer 1

Pojednostavite izraz , Ako . Predstavite rezultat u trigonometrijskom obliku i nacrtajte ga na kompleksnoj ravni.

Rješenje: dakle, trebate zamijeniti "strašni" razlomak, izvršiti pojednostavljenja i pretvoriti rezultat kompleksni broj V trigonometrijski oblik. Plus crtež.

Koji je najbolji način za formalizaciju odluke? sa "sofisticiranim" algebarski izraz Bolje je razumjeti korak po korak. Prvo, pažnja je manje ometena, a drugo, ako se zadatak ne prihvati, bit će mnogo lakše pronaći grešku.

1) Prvo, pojednostavimo brojilac. Zamijenimo vrijednost u nju, otvorimo zagrade i popravimo frizuru:

...Da, takav Kvazimodo je došao iz kompleksnih brojeva...

Da podsjetim da se prilikom transformacija koriste sasvim jednostavne stvari - pravilo množenja polinoma i jednakost koja je već postala banalna. Glavna stvar je da budete oprezni i da se ne zbunite znakovima.

2) Sada dolazi imenilac. Ako , onda:

Obratite pažnju u kakvoj se neobičnoj interpretaciji koristi formula kvadratnog zbira. Alternativno, ovdje možete izvršiti preuređivanje podformula Rezultati će naravno biti isti.

3) I na kraju, cijeli izraz. Ako , onda:

Da biste se riješili razlomka, pomnožite brojilac i nazivnik konjugiranim izrazom nazivnika. Istovremeno, za potrebe primjene formule kvadratne razlike prvo mora (i već obavezno!) negativni realni dio stavi na 2. mjesto:

A sada ključno pravilo:

NE ŽURNIMO! Bolje je igrati na sigurno i napraviti dodatni korak.
U izrazima, jednačinama i sistemima sa kompleksnim brojevima, drskim verbalnim proračunima opterećeniji nego ikad!

Došlo je do dobrog smanjenja u završnom koraku i to je samo odličan znak.

Napomena : strogo govoreći, ovdje je došlo do dijeljenja kompleksnog broja sa kompleksnim brojem 50 (zapamtite to). O ovoj nijansi sam do sada ćutao, a o tome ćemo malo kasnije.

Označimo naše postignuće slovom

Predstavimo dobijeni rezultat u trigonometrijskom obliku. Uopšteno govoreći, ovdje možete bez crteža, ali pošto je to potrebno, nešto je racionalnije to učiniti odmah:

Izračunajmo modul kompleksnog broja:

Ako crtate na skali od 1 jedinice. = 1 cm (2 ćelije bilježnice), tada se dobijena vrijednost može lako provjeriti pomoću običnog ravnala.

Hajde da nađemo argument. Pošto se broj nalazi u 2. koordinatnoj četvrti, onda:

Ugao se lako može provjeriti kutomjerom. Ovo je nesumnjiva prednost crteža.

Dakle: – traženi broj u trigonometrijskom obliku.

provjerimo:
, što je trebalo provjeriti.

Pogodno je pronaći nepoznate vrijednosti sinusa i kosinusa pomoću trigonometrijska tabela.

Odgovori:

Sličan primjer za nezavisna odluka:

Primjer 2

Pojednostavite izraz , Gdje . Nacrtajte rezultirajući broj na kompleksnoj ravni i zapišite ga u eksponencijalnom obliku.

Pokušajte da ne preskačete tutorijale. Možda izgledaju jednostavno, ali bez treninga „ući u lokvicu“ nije jednostavno, već vrlo lako. Stoga se „hvatamo u ruke“.

Često problem ima više od jednog rješenja:

Primjer 3

Izračunaj ako ,

Rješenje: pre svega, obratimo pažnju na izvorni uslov - jedan broj je predstavljen u algebarskom, a drugi u trigonometrijskom obliku, pa čak i sa stepenima. Hajde da to odmah prepišemo u poznatijem obliku: .

U kom obliku treba izvršiti proračune? Izraz očigledno uključuje prvo množenje i dalje podizanje na 10. stepen Moivreova formula, koji je formuliran za trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Stoga se čini logičnijim pretvoriti prvi broj. Nađimo njegov modul i argument:

Koristimo pravilo za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:
ako , onda

Čineći razlomak tačnim, dolazimo do zaključka da možemo "uvrnuti" 4 okreta (drago):

Drugo rješenje je pretvoriti 2. broj u algebarski oblik , izvršiti množenje u algebarski oblik, pretvorite rezultat u trigonometrijski oblik i koristite Moivreovu formulu.

Kao što vidite, postoji jedna „dodatna“ radnja. Oni koji žele mogu da dovrše odluku i da se uvere da rezultati budu isti.

Uslov ne govori ništa o obliku konačnog kompleksnog broja, tako da:

Odgovori:

Ali "za ljepotu" ili na zahtjev, rezultat je lako zamisliti u algebarskom obliku:

samostalno:

Primjer 4

Pojednostavite izraz

Ovdje se trebamo sjetiti akcije sa stepenom, iako jedan korisno pravilo Nema ga u uputstvu, evo ga: .

I još jedna važna napomena: primjer se može riješiti u dva stila. Prva opcija je raditi sa dva brojevima i u redu sa razlomcima. Druga opcija je da se svaki broj predstavi kao količnik dva broja: I riješite se četverokatne strukture. Sa formalne tačke gledišta, nije važno kako se odlučite, ali postoji suštinska razlika! Molimo vas da pažljivo razmislite o:
je kompleksan broj;
je količnik dva kompleksna broja ( i ), ali ovisno o kontekstu, možete reći i ovo: broj predstavljen kao kvocijent dva kompleksna broja.

Quick Solution i odgovor na kraju lekcije.

Izrazi su dobri, ali jednačine su bolje:

Jednačine sa kompleksnim koeficijentima

Po čemu se one razlikuju od „običnih“ jednačina? Šanse =)

U svjetlu gornjeg komentara, počnimo s ovim primjerom:

Primjer 5

Riješite jednačinu

I neposredna preambula "vruće za petama": u početku desnu stranu jednadžba je pozicionirana kao količnik dva kompleksna broja ( i 13) i stoga bi bilo loše prepisati uvjet sa brojem (iako ovo neće uzrokovati grešku). Ova razlika je, inače, jasnije vidljiva u razlomku - ako se, relativno govoreći, onda ova vrijednost prvenstveno razumije kao "pun" kompleksni korijen jednadžbe, a ne kao djelitelj broja, a pogotovo ne kao dio broja!

Rješenje, u principu, takođe se može urediti korak po korak, ali u u ovom slučaju igra nije vrijedna svijeće. Početni zadatak je pojednostaviti sve što ne sadrži nepoznato "z", što rezultira da se jednačina svede na oblik:

Pouzdano pojednostavljujemo srednji razlomak:

Prenosimo rezultat na desnu stranu i nalazimo razliku:

Napomena : i opet vam skrećem pažnju na suvislu stvar - ovdje nismo oduzimali broj od broja, već smo razlomke doveli do zajedničkog imenioca! Treba napomenuti da već u TIJEKU rješavanja nije zabranjen rad sa brojevima: , međutim, u primjeru koji se razmatra ovaj stil je više štetan nego koristan =)

Prema pravilu proporcije, izražavamo "zet":

Sada možete ponovo dijeliti i množiti konjugatom, ali sumnjivo slični brojevi u brojniku i nazivniku sugeriraju sljedeći potez:

Odgovori:

Za provjeru, zamijenimo rezultirajuću vrijednost lijevoj strani originalna jednadžba i napravimo neka pojednostavljenja:

– dobije se desna strana izvorne jednadžbe, tako da je korijen pravilno pronađen.

...Sada, sad... Naći ću nešto zanimljivije za tebe... evo ti:

Primjer 6

Riješite jednačinu

Ova jednadžba se svodi na oblik , što znači da je linearna. Mislim da je nagoveštaj jasan - samo napred!

Naravno..kako živjeti bez njega:

Kvadratna jednadžba sa kompleksnim koeficijentima

U razredu Kompleksni brojevi za lutke naučili smo da kvadratna jednadžba sa realnim koeficijentima može imati konjugirane kompleksne korijene, nakon čega se postavlja logično pitanje: zašto, zapravo, sami koeficijenti ne mogu biti kompleksni? Dozvolite mi da formulišem opšti slučaj:

Kvadratna jednadžba sa proizvoljnim kompleksnim koeficijentima (od kojih 1 ili 2 ili sva tri mogu posebno važiti) ima dva i samo dva složeni korijen (verovatno jedan ili oba su važeća). U isto vrijeme, korijeni (i stvarni i sa nenultim imaginarnim dijelom) mogu se podudarati (biti višestruki).

Kvadratna jednadžba s kompleksnim koeficijentima rješava se po istoj shemi kao "školska" jednačina, uz neke razlike u tehnici proračuna:

Primjer 7

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

Rješenje: imaginarna jedinica je na prvom mjestu i, u principu, možete je se riješiti (množenjem obje strane sa), međutim, za tim nema posebne potrebe.

Radi praktičnosti ispisujemo koeficijente:

Ne gubimo "minus" besplatnog člana! ...Možda nije svima jasno - prepisaću jednačinu standardni obrazac :

Izračunajmo diskriminanta:

A evo glavne prepreke:

Aplikacija opšta formula vađenje korena (vidi zadnji pasus članka Kompleksni brojevi za lutke) komplikovano ozbiljnim poteškoćama povezanim sa argumentom radikalnog kompleksnog broja (uvjerite se sami). Ali postoji još jedan, “algebarski” način! Potražit ćemo korijen u obliku:

Kvadratirajmo obje strane:

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki. Dakle, dobijamo sledeći sistem:

Sistem je lakše riješiti odabirom (temeljiji način je da izrazite iz 2. jednačine - zamijenite u 1., dobijete i riješite bikvadratna jednačina) . Pod pretpostavkom da autor problema nije čudovište, postavljamo hipotezu da su i cijeli brojevi. Iz 1. jednačine slijedi da je “x” modulo više od "Y". Osim toga, pozitivan proizvod nam govori da su nepoznanice istog predznaka. Na osnovu gore navedenog i fokusirajući se na 2. jednačinu, zapisujemo sve parove koji joj odgovaraju:

Očigledno je da je prva jednačina sistema zadovoljena sa posljednja dva para, dakle:

Međuprovjera ne bi škodila:

što je trebalo provjeriti.

Možete odabrati kao "radni" root bilo koji značenje. Jasno je da je bolje uzeti verziju bez "protiv":

Pronalazimo korijene, ne zaboravljajući, usput, da:

Odgovori:

Provjerimo da li pronađeni korijeni zadovoljavaju jednačinu :

1) Zamenimo:

istinska jednakost.

2) Zamenimo:

istinska jednakost.

Dakle, rješenje je pronađeno ispravno.

Na osnovu problema o kojem smo upravo razgovarali:

Primjer 8

Pronađite korijene jednadžbe

Treba napomenuti da je kvadratni korijen od čisto složeno brojevi se mogu lako izdvojiti upotrebom opće formule , Gdje , tako da su obje metode prikazane u uzorku. Druga korisna primjedba odnosi se na činjenicu da preliminarna ekstrakcija korijena konstante uopće ne pojednostavljuje rješenje.

Sada se možete opustiti - u ovom primjeru ćete se izvući s blagim strahom :)

Primjer 9

Riješite jednačinu i provjerite

Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Završni pasus članka je posvećen

sistem jednačina sa kompleksnim brojevima

Opustimo se i... nemoj se naprezati =) Razmotrimo najjednostavniji slučaj - sistem dvojke linearne jednačine sa dvije nepoznanice:

Primjer 10

Riješite sistem jednačina. Predstavite odgovor u algebarskom i eksponencijalnom obliku, ocrtajte korijene na crtežu.

Rješenje: sam uvjet sugerira da sistem ima jedinstveno rješenje, odnosno da moramo pronaći dva broja koja zadovoljavaju svima jednačina sistema.

Sistem se zaista može riješiti na "djetinjast" način (izraziti jednu varijablu u terminima druge) , međutim, mnogo je praktičniji za korištenje Cramerove formule. Hajde da izračunamo glavna odrednica sistemi:

, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.

Ponavljam da je bolje da odvojite vrijeme i napišete korake što je moguće detaljnije:

Pomnožimo brojilac i imenilac zamišljenom jedinicom i dobijemo 1. korijen:

Isto tako:

Dobivaju se odgovarajuće desne strane itd.

Napravimo crtež:

Predstavimo korijene u eksponencijalnom obliku. Da biste to učinili, morate pronaći njihove module i argumente:

1) – arktangens od “dva” je izračunat “loše”, pa ga ostavljamo ovako:

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE

DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA

VISOKO STRUČNO OBRAZOVANJE

"VORONJEŽ DRŽAVNI PEDAGOŠKI UNIVERZITET"

ZAVOD ZA AGLEBRU I GEOMETRIJU

Kompleksni brojevi

(odabrani zadaci)

DIPLOMSKI KVALIFIKACIJSKI RAD

specijalnost 050201.65 matematika

(sa dodatnom specijalnošću 050202.65 informatika)

Završio: student 5. godine

fizičke i matematičke

fakultet

Naučni rukovodilac:

VORONJEŽ – 2008

1. Uvod……………………………………………………………………………..…

2. Kompleksni brojevi (odabrani problemi)

2.1. Kompleksni brojevi u algebarskom obliku…………………….….

2.2. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva…………..…

2.3. Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva

2.4. Primjena teorije kompleksnih brojeva na rješavanje jednačina 3. i 4. stepena……………..…………………………………………………………………………………

2.5. Kompleksni brojevi i parametri………………………………………………….

3. Zaključak…………………………………………………………………………………………….

4. Spisak referenci…………………………………………………………………………..

1. Uvod

U programu matematike školski kurs teorija brojeva se uvodi na primjerima skupova prirodnih brojeva, cijelih brojeva, racionalnih, iracionalnih, tj. na skupu realnih brojeva čije slike ispunjavaju čitavu brojevnu pravu. Ali već u 8. razredu nema dovoljno realnih brojeva, rješavanje kvadratnih jednadžbi sa negativnim diskriminantom. Stoga je bilo potrebno dopuniti zalihu realnih brojeva uz pomoć kompleksnih brojeva, za koje je kvadratni korijen od negativan broj ima smisla.

Odabrao sam temu “Kompleksni brojevi” kao diplomsku temu kvalifikacioni rad, je da koncept kompleksnog broja proširuje znanja učenika o brojevnim sistemima, o rješavanju široke klase zadataka kako algebarskog tako i geometrijskog sadržaja, o rješavanju algebarske jednačine bilo kog stepena i o rješavanju problema sa parametrima.

Ovaj rad ispituje rješenje za 82 problema.

Prvi dio glavnog dijela “Kompleksni brojevi” daje rješenja za probleme s kompleksnim brojevima u algebarskom obliku, definira operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, operacije konjugacije za kompleksne brojeve u algebarskom obliku, snagu zamišljene jedinice , modul kompleksnog broja, a također postavlja ekstrakciju pravila kvadratni korijen iz kompleksnog broja.

U drugom dijelu rješavaju se zadaci geometrijske interpretacije kompleksnih brojeva u obliku tačaka ili vektora kompleksne ravni.

Treći dio ispituje operacije nad kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku. Formule koje se koriste su: Moivre i izdvajanje korijena kompleksnog broja.

Četvrti dio je posvećen rješavanju jednačina 3. i 4. stepena.

Prilikom rješavanja zadataka u posljednjem dijelu, „Kompleksni brojevi i parametri“, koriste se i objedinjuju informacije date u prethodnim dijelovima. Niz problema u poglavlju posvećen je određivanju familija pravih u kompleksnoj ravni definisanih jednačinama (nejednačinama) sa parametrom. U dijelu vježbi potrebno je riješiti jednadžbe sa parametrom (nad poljem C). Postoje zadaci u kojima kompleksna varijabla istovremeno zadovoljava niz uslova. Posebnost rješavanja problema u ovom dijelu je svođenje mnogih od njih na rješenje jednačina (nejednačina, sistema) drugog stepena, iracionalnih, trigonometrijskih sa parametrom.

Karakteristika prezentacije materijala u svakom dijelu je početni unos teorijske osnove, a potom i njihovu praktičnu primjenu u rješavanju problema.

Na kraju teza predstavljen je spisak korišćene literature. Većina njih dovoljno detaljno i pristupačno iznosi teorijski materijal, razmatra rješenja nekih problema i daju praktični zadaci za nezavisnu odluku. Posebna pažnjaŽelio bih da se pozovem na takve izvore kao što su:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Kompleksni brojevi i njihova primjena: Udžbenik. . Materijal nastavno pomagalo prezentovani u vidu predavanja i praktičnih vežbi.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Odabrani zadaci i teoreme elementarne matematike. Aritmetika i algebra. Knjiga sadrži 320 zadataka vezanih za algebru, aritmetiku i teoriju brojeva. Ovi zadaci se po prirodi značajno razlikuju od standardnih školskih zadataka.

2. Kompleksni brojevi (odabrani problemi)

2.1. Kompleksni brojevi u algebarskom obliku

Rješenje mnogih problema iz matematike i fizike svodi se na rješavanje algebarskih jednačina, tj. jednačine oblika

,

gdje su a0, a1, …, an realni brojevi. Stoga je proučavanje algebarskih jednačina jedna od kritična pitanja u matematici. Na primjer, kvadratna jednadžba sa negativan diskriminant. Najjednostavnija takva jednadžba je jednačina

.

Da bi ova jednadžba imala rješenje, potrebno je proširiti skup realnih brojeva dodavanjem korijena jednadžbe

.

Označimo ovaj korijen sa

. Dakle, po definiciji, ili,

dakle,

.

nazvana imaginarna jedinica. Uz njegovu pomoć i uz pomoć para realnih brojeva sastavlja se izraz oblika.

Dakle, kompleksni brojevi su izrazi oblika

, i realni su brojevi, te je određeni simbol koji zadovoljava uvjet . Broj se naziva realnim dijelom kompleksnog broja, a broj je njegov imaginarni dio. Za njihovo označavanje koriste se simboli .

Kompleksni brojevi forme

su realni brojevi i, prema tome, skup kompleksnih brojeva sadrži skup realnih brojeva.

Kompleksni brojevi forme

nazivaju se čisto imaginarnim. Za dva kompleksna broja oblika i kažemo da su jednaki ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki, tj. ako jednakosti , .

Algebarska notacija kompleksnih brojeva dozvoljava operacije nad njima prema uobičajenim pravilima algebre.

Da biste riješili probleme s kompleksnim brojevima, morate razumjeti osnovne definicije. Glavni cilj ovog preglednog članka je objasniti šta su kompleksni brojevi i predstaviti metode za rješavanje osnovnih problema s kompleksnim brojevima. Dakle, kompleksni broj će se zvati broj oblika z = a + bi, Gdje a, b- realni brojevi, koji se nazivaju realni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja, odnosno, i označavaju a = Re(z), b=Im(z).
i nazvana imaginarna jedinica. i 2 = -1. Konkretno, svaki realan broj se može smatrati kompleksnim: a = a + 0i, gdje je a realno. Ako a = 0 I b ≠ 0, tada se broj obično naziva čisto imaginarnim.

Sada da uvedemo operacije nad kompleksnim brojevima.
Razmotrimo dva kompleksna broja z 1 = a 1 + b 1 i I z 2 = a 2 + b 2 i.

Hajde da razmotrimo z = a + bi.

Skup kompleksnih brojeva proširuje skup realnih brojeva, koji zauzvrat proširuje skup racionalni brojevi itd. Ovaj lanac investicija može se vidjeti na slici: N – prirodni brojevi, Z - cijeli brojevi, Q - racionalni, R - realni, C - kompleksni.

Predstavljanje kompleksnih brojeva

Algebarska notacija.

Razmotrimo kompleksan broj z = a + bi, ovaj oblik pisanja kompleksnog broja se zove algebarski. O ovom obliku snimanja smo već detaljno govorili u prethodnom dijelu. Sljedeći vizualni crtež se često koristi

Trigonometrijski oblik.

Sa slike se vidi da je broj z = a + bi može se napisati drugačije. Očigledno je da a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, dakle z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) naziva se argument kompleksnog broja. Ova reprezentacija kompleksnog broja se zove trigonometrijski oblik. Trigonometrijski oblik zapisa ponekad je vrlo zgodan. Na primjer, zgodno ga je koristiti za podizanje kompleksnog broja na cijeli broj, naime, ako z = rcos(φ) + rsin(φ)i, To z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ova formula se zove Moivreova formula.

Demonstrativna forma.

Hajde da razmotrimo z = rcos(φ) + rsin(φ)i- kompleksni broj u trigonometrijskom obliku, napišite ga u drugom obliku z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, posljednja jednakost proizlazi iz Eulerove formule, pa dobivamo nova uniforma zapis kompleksnog broja: z = re iφ, koji se zove indikativno. Ovaj oblik zapisa je također vrlo zgodan za podizanje kompleksnog broja na stepen: z n = r n e inφ, Evo n nije nužno cijeli broj, ali može biti proizvoljan realan broj. Ovaj oblik notacije se često koristi za rješavanje problema.

Osnovni teorem više algebre

Zamislimo da imamo kvadratnu jednačinu x 2 + x + 1 = 0. Očigledno, diskriminanta ove jednadžbe je negativna i nema realne korijene, ali ispada da ova jednadžba ima dva različita kompleksna korijena. Dakle, fundamentalna teorema više algebre kaže da svaki polinom stepena n ima barem jedan kompleksan korijen. Iz ovoga slijedi da svaki polinom stepena n ima tačno n kompleksnih korijena, uzimajući u obzir njihovu višestrukost. Ova teorema je vrlo važan rezultat u matematici i široko se koristi. Jednostavna posledica ove teoreme je da postoji tačno n različiti koreni stepen n jedinice.

Glavne vrste zadataka

Ovaj odjeljak će pokriti glavne tipove jednostavni zadaci na kompleksne brojeve. Uobičajeno, problemi koji uključuju kompleksne brojeve mogu se podijeliti u sljedeće kategorije.

• Izvođenje jednostavnih aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima.
• Pronalaženje korijena polinoma u kompleksnim brojevima.
• Podizanje kompleksnih brojeva na stepene.
• Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva.
• Korištenje kompleksnih brojeva za rješavanje drugih problema.

Sada razmotrimo opšte tehnike rješenja ovih problema.

Najjednostavnije aritmetičke operacije s kompleksnim brojevima izvode se prema pravilima opisanim u prvom dijelu, ali ako su kompleksni brojevi predstavljeni u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku, tada ih u ovom slučaju možete pretvoriti u algebarski oblik i izvoditi operacije prema poznatim pravilima.

Pronalaženje korijena polinoma obično se svodi na pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Pretpostavimo da imamo kvadratnu jednadžbu, ako je njen diskriminanta nenegativna, tada će njeni korijeni biti realni i mogu se naći prema dobro poznatoj formuli. Ako je diskriminant negativan, tj. D = -1∙a 2, Gdje a je određeni broj, onda se diskriminanta može predstaviti kao D = (ia) 2, dakle √D = i|a|, a zatim možete koristiti dobro poznata formula za korijene kvadratne jednadžbe.

Primjer. Vratimo se na ono što je gore pomenuto. kvadratna jednačina x 2 + x + 1 = 0 .
diskriminatorno - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Sada možemo lako pronaći korijene:

Povećanje kompleksnih brojeva na stepene može se izvesti na nekoliko načina. Ako trebate podići kompleksan broj u algebarskom obliku na mali stepen (2 ili 3), onda to možete učiniti direktnim množenjem, ali ako je stepen veći (u problemima je često mnogo veći), onda morate napišite ovaj broj u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku i koristite već poznate metode.

Primjer. Uzmimo z = 1 + i i povisimo ga na deseti stepen.
Zapišimo z u eksponencijalnom obliku: z = √2 e iπ/4.
Onda z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Vratimo se algebarskom obliku: z 10 = -32i.

Izdvajanje korijena iz kompleksnih brojeva je inverzna operacija eksponencijacije i stoga se izvodi na sličan način. Za izdvajanje korijena često se koristi eksponencijalni oblik pisanja broja.

Primjer. Nađimo sve korijene stepena 3 jedinice. Da bismo to učinili, pronaći ćemo sve korijene jednadžbe z 3 = 1, potražit ćemo korijene u eksponencijalnom obliku.
Zamijenimo u jednačinu: r 3 e 3iφ = 1 ili r 3 e 3iφ = e 0 .
Dakle: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, dakle φ = 2πk/3.
Različiti korijeni se dobivaju pri φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Stoga su 1, e i2π/3, e i4π/3 korijeni.
Ili u algebarskom obliku:

Posljednja vrsta problema uključuje ogromnu raznolikost problema i nema općih metoda za njihovo rješavanje. Dajemo jednostavan primjer takvog zadatka:

Pronađite iznos sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Iako formulacija ovog problema ne govori o kompleksnim brojevima, lako se može riješiti uz njihovu pomoć. Da bi se to riješilo, koriste se sljedeće reprezentacije:


Ako sada zamijenimo ovu reprezentaciju u zbir, onda se problem svodi na zbrajanje uobičajene geometrijske progresije.

Zaključak

Kompleksni brojevi se široko koriste u matematici, ovaj pregledni članak ispitao je osnovne operacije nad kompleksnim brojevima, opisao nekoliko tipova standardnih problema i ukratko opisao opšte metode njihova rješenja, za detaljnije proučavanje mogućnosti kompleksnih brojeva, preporučuje se korištenje specijalizirane literature.

Književnost

Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Radi jasnoće, riješimo sljedeći problem:

Izračunajte \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ako je \

Prije svega, obratimo pažnju na činjenicu da je jedan broj predstavljen u algebarskom obliku, a drugi u trigonometrijskom obliku. Potrebno ga je pojednostaviti i dovesti u sljedeći oblik

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Izraz \ kaže da prije svega radimo množenje i dizanje na 10. stepen koristeći Moivreovu formulu. Ova formula je formulirana za trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

dobijamo:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Slijedeći pravila za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, radimo sljedeće:

u našem slučaju:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Ispravnim razlomak \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] dolazimo do zaključka da možemo "uvrnuti" 4 okreta \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Odgovor: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Ova se jednadžba može riješiti na drugi način, koji se svodi na dovođenje 2. broja u algebarski oblik, zatim izvođenje množenja u algebarskom obliku, pretvaranje rezultata u trigonometrijski oblik i primjenu Moivreove formule:

Gde mogu da rešim sistem jednačina sa kompleksnim brojevima na mreži?