Algebarska notacija kompleksni broj................................................................ | |||
Ravan kompleksnih brojeva.................................................. ...................... ................................ ................................ ... | |||
Kompleksni konjugirani brojevi.................................................. ................................................................... .......................... | |||
Operacije sa kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.................................................. ......... ... | |||
Sabiranje kompleksnih brojeva.................................................. ........................................................ ................. | |||
Oduzimanje kompleksnih brojeva................................................... ................................................................... ........................ | |||
Množenje kompleksnih brojeva.................................................. ........................................................ ................... | |||
Deljenje kompleksnih brojeva.................................................. ........................................................ ................ ... | |||
Trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja.................................................. ......... ......... | |||
Operacije sa kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku........................................ ......... | |||
Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku................................................ ........ | |||
Dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku................................................... ........ ... | |||
Podizanje kompleksnog broja na pozitivan cijeli broj na stepen ........................................ ........... | |||
Izdvajanje korijena pozitivnog cjelobrojnog stepena iz kompleksnog broja.................................. | |||
Podizanje kompleksnog broja na racionalni stepen........................................ ................... ..... | |||
Kompleksna serija ................................................ ................................................... ........................................ | |||
Serija kompleksnih brojeva.................................................. ................................................................... .......................... | |||
Redovi snaga u kompleksnoj ravni ................................................. ........................................ | |||
Dvostrano power series u kompleksnoj ravni ................................................. ..... | |||
Funkcije kompleksne varijable ................................................. ...................... ................................ ............ | |||
Osnovne elementarne funkcije ................................................. ........................................................ . | |||
Ojlerove formule ................................................................ ................................................... ........................................ | |||
Eksponencijalni oblik predstavljanja kompleksnog broja........................................................ ...................... . | |||
Odnos između trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija ........................................ | |||
Logaritamska funkcija ................................................................ ................................................... ......... ... | |||
Opće eksponencijalne i opće funkcije snage ................................................. ........ ............... | |||
Diferencijacija funkcija kompleksne varijable........................................................ ......... ... | |||
Cauchy-Riemannovi uslovi.................................................. ........................................................ ........... ............ | |||
Formule za izračunavanje izvoda.................................................. ..................................................... | |||
Osobine operacije diferencijacije................................................. ........................................................ | |||
Svojstva realnog i imaginarnog dijela analitičke funkcije................................. | |||
Rekonstrukcija funkcije kompleksne varijable iz njene realne ili imaginarne |
|||
Metoda broj 1. Korištenje integrala krive ................................................. ...... ...... | |||
Metoda broj 2. Direktna primjena Cauchy-Riemannovih uslova................................... | |||
Metoda br. 3. Kroz derivaciju tražene funkcije ........................................ ........ ......... | |||
Integracija funkcija kompleksne varijable........................................................ ......... ......... | |||
Integralna Cauchy formula ................................................. ........................................................ ........... ... | |||
Proširenje funkcija u serijama Taylor i Laurent ........................................ ........................................................ | |||
Nule i singularne tačke funkcije kompleksne varijable ......................................... ............. ..... | |||
Nule funkcije kompleksne varijable ........................................................ ........................................................ | |||
Izolirane singularne tačke funkcije kompleksne varijable ................................ | |||
14.3 Beskonačna tačka kao singularna tačka funkcije kompleksne varijable
Odbici ................................................ ........................................................ ............................................................ ... | |||
Odbitak u završnoj tački ................................................. ........................................................ ............ ...... | |||
Ostatak funkcije u tački u beskonačnosti ........................................ ........................................ | |||
Izračunavanje integrala pomoću ostataka................................................ ........................................ | |||
Pitanja za samotestiranje.................................................. ........................................................ ........................... ........ | |||
Književnost ................................................................. ................................................... ...... ................................... | |||
Predmetni indeks ................................................ ................................................... ......... .............. | |||
Predgovor
Pravilna raspodjela vremena i truda u pripremama za teorijske i praktične dijelove ispita ili modula je prilično teška, pogotovo zato što tokom sesije uvijek nema dovoljno vremena. I kao što praksa pokazuje, ne mogu se svi nositi s tim. Kao rezultat toga, neki studenti tokom ispita rješavaju tačno probleme, ali im je teško odgovoriti na najjednostavniji teorijska pitanja, dok drugi mogu formulisati teoremu, ali je ne mogu primijeniti.
Ove smernice za pripremu ispita iz predmeta „Teorija funkcija kompleksne varijable“ (TFCP) pokušaj su da se razreši ova kontradikcija i obezbedi istovremeno ponavljanje teorijskog i praktičnog materijala predmeta. Vođeni principom „Teorija bez prakse je mrtva, praksa bez teorije je slepa“, sadrže kako teorijske odredbe predmeta na nivou definicija i formulacija, tako i primere koji ilustruju primenu svakog datog teoretskog stava, i na taj način olakšavaju njegovo pamćenje i razumijevanje.
Svrha predloženog metodološke preporuke– pomoći studentu da se pripremi za ispit na osnovnom nivou. Drugim riječima, sastavljena je proširena radna knjižica koja sadrži glavne tačke koje se koriste u nastavi na kursu TFKP i koje su neophodne pri izvođenju domaći zadatak i priprema za kontrolne događaje. Osim toga samostalan rad učenika, ova elektronska obrazovna publikacija može se koristiti prilikom izvođenja nastave u interaktivni oblik korišćenje elektronske table ili za postavljanje u sistem učenja na daljinu.
Napominjemo da ovo djelo ne zamjenjuje ni udžbenike ni bilješke sa predavanja. Za dubinsko proučavanje materijala, preporučuje se da se pozovete na relevantne odjeljke koje je objavio MSTU. N.E. Bauman osnovni udžbenik.
Na kraju priručnika nalazi se lista preporučene literature i predmetni indeks, koji uključuje sve što je istaknuto u tekstu bold italic uslovi. Indeks se sastoji od hiperlinkova na odeljke u kojima su ovi termini striktno definisani ili opisani i gde su dati primeri koji ilustruju njihovu upotrebu.
Priručnik je namijenjen studentima 2. godine svih fakulteta MSTU. N.E. Bauman.
1. Algebarski oblik pisanja kompleksnog broja
Zapis oblika z = x + iy, gdje su x,y realni brojevi, i je imaginarna jedinica (tj. i 2 = − 1)
naziva se algebarski oblik pisanja kompleksnog broja z. U ovom slučaju, x se naziva realnim dijelom kompleksnog broja i označava se sa Re z (x = Re z), y se naziva imaginarni dio kompleksnog broja i označava se sa Im z (y = Im z).
Primjer. Kompleksni broj z = 4− 3i ima realni dio Rez = 4 i imaginarni dio Imz = − 3.
2. Ravan kompleksnih brojeva
IN razmatraju se teorije funkcija kompleksne varijableravan kompleksnih brojeva, koji se označava ili slovima koji označavaju kompleksne brojeve z, w, itd.
Horizontalna os kompleksne ravni se naziva realna osa, na njega se postavljaju realni brojevi z = x + 0i = x.
Vertikalna os kompleksne ravni naziva se imaginarna osa;
3. Kompleksni konjugirani brojevi
Zovu se brojevi z = x + iy i z = x − iy kompleksni konjugat. Na kompleksnoj ravni odgovaraju tačkama koje su simetrične u odnosu na realnu os.
4. Operacije sa kompleksnim brojevima u algebarskom obliku
4.1 Sabiranje kompleksnih brojeva
Zbir dva kompleksna broja | z 1= x 1+ iy 1 | i z 2 = x 2 + iy 2 se naziva kompleksnim brojem |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | operacija | dodatak |
||||||||||
kompleksni brojevi je sličan operaciji sabiranja algebarskih binoma. | |||||||||||||
Primjer. Zbir dva kompleksna broja z 1 = 3+ 7i i z 2 | = −1 +2 i | će biti kompleksan broj |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Očigledno, | ukupan iznos | konjugirati | je | pravi | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Oduzimanje kompleksnih brojeva | |||||||||||||
Razlika dva kompleksna broja z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | pozvao | sveobuhvatan |
||||||||||
broj z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Primjer. Razlika dva kompleksna broja | z 1 =3 −4 i | i z 2 | = −1 +2 i | biće sveobuhvatan |
|||||||||
broj z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Po razlici | kompleksni konjugat | je | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Množenje kompleksnih brojeva | |||||||||||||
Proizvod dva kompleksna broja | z 1= x 1+ iy 1 | i z 2= x 2+ iy 2 | naziva se složenim |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Dakle, operacija množenja kompleksnih brojeva slična je operaciji množenja algebarskih binoma, uzimajući u obzir činjenicu da je i 2 = − 1.
Strana 2 od 3
Algebarski oblik kompleksnog broja.
Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva.
Već smo se upoznali sa algebarskim oblikom kompleksnog broja - ovo je algebarski oblik kompleksnog broja. Zašto govorimo o formi? Činjenica je da postoje i trigonometrijski i eksponencijalni oblici kompleksnih brojeva, o čemu će biti riječi u sljedećem pasusu.
Operacije sa kompleksnim brojevima nisu posebno teške i ne razlikuju se mnogo od obične algebre.
Sabiranje kompleksnih brojeva
Primjer 1
Dodajte dva kompleksna broja,
Da biste sabrali dva kompleksna broja, potrebno je sabrati njihove stvarne i imaginarne dijelove:
Jednostavno, zar ne? Radnja je toliko očigledna da ne zahtijeva dodatne komentare.
Na ovaj jednostavan način možete pronaći zbir bilo kojeg broja pojmova: zbrojite realne dijelove i zbrojite imaginarne dijelove.
Za kompleksne brojeve važi pravilo prve klase: 
– preuređivanje uslova ne menja zbir.
Oduzimanje kompleksnih brojeva
Primjer 2
Pronađite razlike između kompleksnih brojeva i , ako ,
Radnja je slična sabiranju, jedina je posebnost u tome što je oduzeti dio potrebno staviti u zagrade, a zatim se zagrade moraju otvoriti na standardni način sa promjenom predznaka:
Rezultat ne bi trebao biti zbunjujući, rezultirajući broj ima dva, a ne tri dijela. Jednostavno pravi dio je spoj: . Radi jasnoće, odgovor se može prepisati na sljedeći način: .
Izračunajmo drugu razliku:
Ovdje je i pravi dio kompozitni:
Da izbjegnem bilo kakvo potcjenjivanje, dat ću kratak primjer sa “lošim” imaginarnim dijelom: . Ovdje više ne možete bez zagrada.
Množenje kompleksnih brojeva
Došlo je vrijeme da vas upoznamo sa čuvenom jednakošću:
Primjer 3
Pronađite proizvod kompleksnih brojeva,
Očigledno, rad bi trebao biti napisan ovako:
Šta ovo sugeriše? Traži se otvaranje zagrada prema pravilu množenja polinoma. To je ono što treba da uradite! Sve algebarske operacije su vam poznate, glavna stvar je zapamtiti to i budi oprezan.
Ponovimo, omg, školsko pravilo za množenje polinoma: Da biste pomnožili polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma.
Napisat ću to detaljno:
Nadam se da je to svima bilo jasno
Pažnja, a opet pažnja, najčešće se greške prave u znakovima.
Kao i zbir, proizvod kompleksnih brojeva je promjenjiv, odnosno jednakost je tačna: .
IN edukativna literatura a na internetu je lako pronaći posebnu formulu za izračunavanje proizvoda kompleksnih brojeva. Koristite ga ako želite, ali čini mi se da je pristup sa množenjem polinoma univerzalniji i jasniji. Neću davati formulu, mislim da je to unutra u ovom slučaju- Ovo je punjenje glave piljevinom.
Podjela kompleksnih brojeva
Primjer 4
Dati kompleksni brojevi , . Pronađite količnik.
Napravimo količnik:
Izvodi se podjela brojeva množenjem nazivnika i brojioca konjugiranim izrazom nazivnika.
Prisjetimo se bradate formule i pogledajmo naš nazivnik: . Imenilac već ima , Tako da je konjugirani izraz u ovom slučaju , To jest
Prema pravilu, nazivnik se mora pomnožiti sa , a, da se ništa ne promijeni, brojilac se mora pomnožiti istim brojem:
Napisaću to detaljno:
Odabrao sam "dobar" primjer: ako uzmete dva broja "od nule", tada ćete kao rezultat dijeljenja gotovo uvijek dobiti razlomke, nešto poput .
U nekim slučajevima, prije dijeljenja razlomka, preporučljivo je da ga pojednostavite, na primjer, razmotrite količnik brojeva: . Prije dijeljenja, riješimo se nepotrebnih minusa: u brojniku i u nazivniku minuse izvlačimo iz zagrada i smanjujemo ove minuse: 
. Za one koji vole da rešavaju probleme evo tačnog odgovora:
Rijetko, ali se javlja sljedeći zadatak:
Primjer 5
Dat je kompleksan broj. Zapišite ovaj broj u algebarskom obliku (tj. u obliku).
Tehnika je ista - množimo imenilac i brojilac sa izrazom konjugiranim sa nazivnikom. Pogledajmo ponovo formulu. Imenilac već sadrži , tako da se imenilac i brojilac moraju pomnožiti konjugiranim izrazom, odnosno sa:
U praksi, oni lako mogu ponuditi sofisticirani primjer u kojem trebate izvesti mnoge operacije sa kompleksnim brojevima. bez panike: budi oprezan, slijedite pravila algebre, uobičajenu algebarsku proceduru, i zapamtite to .
Trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog broja
Ima više u ovom paragrafu razgovaraćemo o trigonometrijskom obliku kompleksnog broja. Demonstrativna forma u praktični zadaci je mnogo rjeđi. Preporučujem preuzimanje i, ako je moguće, štampanje trigonometrijskih tablica, metodološki materijal možete pronaći na stranici Matematičke formule i tablice. Ne možete daleko bez stolova.
Bilo koji kompleksni broj (osim nule) može se napisati u trigonometrijskom obliku: 
, gdje je ovo modul kompleksnog broja, A - argument kompleksnog broja. Nemojmo bježati, sve je jednostavnije nego što se čini.
Predstavimo broj na kompleksnoj ravni. Radi određenosti i jednostavnosti objašnjenja smjestićemo ga u prvi koordinatni kvadrant, tj. vjerujemo da:
Modul kompleksnog broja je rastojanje od početka do odgovarajuće tačke u kompleksnoj ravni. jednostavno rečeno, modul je dužina radijus vektor, koji je na crtežu označen crvenom bojom.
Modul kompleksnog broja obično se označava sa: ili
Koristeći Pitagorinu teoremu, lako je izvesti formulu za pronalaženje modula kompleksnog broja: . Ova formula pošteno za bilo koji značenja "a" i "biti".
Napomena: Modul kompleksnog broja je generalizacija koncepta modul realnog broja, kao udaljenost od tačke do ishodišta.
Argument kompleksnog broja pozvao kutak između pozitivna polu-osa realnu os i radijus vektor povučen od početka do odgovarajuće tačke. Argument nije definisan za jednina: .
Dotični princip je zapravo sličan polarne koordinate, gdje polarni radijus i polarni ugao jednoznačno definiraju tačku.
Argument kompleksnog broja standardno se označava: ili
Iz geometrijskih razmatranja dobijamo sljedeću formulu za pronalaženje argumenta:
. Pažnja! Ova formula radi samo u desnoj poluravni! Ako se kompleksni broj ne nalazi u 1. ili 4. koordinatnom kvadrantu, formula će biti malo drugačija. Analiziraćemo i ove slučajeve.
Ali prvo, pogledajmo najjednostavnije primjere kada se kompleksni brojevi nalaze na koordinatnim osama.
Primjer 7
Napravimo crtež:
Zapravo, zadatak je usmeni. Radi jasnoće, prepisat ću trigonometrijski oblik kompleksnog broja: 
Podsjetimo se čvrsto, modul – dužina(što je uvijek nenegativno), argument je kutak.
1) Predstavimo broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument. Očigledno je da . Formalni proračun pomoću formule: .
Očigledno je da (broj leži direktno na realnoj pozitivnoj poluosi). Dakle, broj u trigonometrijskom obliku je: 
.
Radnja obrnute provjere je jasna kao dan:
2) Predstavimo broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument. Očigledno je da . Formalni proračun pomoću formule: .
Očigledno (ili 90 stepeni). Na crtežu je ugao označen crvenom bojom. Dakle, broj u trigonometrijskom obliku je: 
.
Korištenje tablice vrijednosti trigonometrijske funkcije, lako je vratiti algebarski oblik broja (istovremeno obavljajući provjeru):
3) Predstavimo broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument. Očigledno je da . Formalni proračun pomoću formule: .
Očigledno (ili 180 stepeni). Na crtežu je ugao označen plavom bojom. Dakle, broj u trigonometrijskom obliku je: 
.
pregled:
4) I četvrti zanimljiv slučaj. Predstavimo broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument. Očigledno je da . Formalni proračun pomoću formule: .
Argument se može napisati na dva načina: Prvi način: (270 stepeni), i, shodno tome: 
. pregled:
Međutim, standardnije je pravilo: Ako je ugao veći od 180 stepeni, zatim se piše sa znakom minus i suprotnom orijentacijom („skrolovanjem“) ugla: (minus 90 stepeni), ugao je označen na crtežu zeleno. To je lako vidjeti i isti su ugao.
Dakle, unos ima oblik: 
Pažnja! Ni u kom slučaju ne biste trebali koristiti parnost kosinusa, neparnost sinusa i dodatno "pojednostaviti" notaciju:
Usput, korisno je zapamtiti izgled i svojstva trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija, referentni materijali su u zadnjim pasusima stranice Grafovi i svojstva glavnog elementarne funkcije . A kompleksni brojevi će se naučiti mnogo lakše!
U dizajnu najjednostavnijih primjera treba napisati: „očigledno je da je modul jednak... očigledno je da je argument jednak...“. Ovo je zaista očito i lako se rješava usmeno.
Idemo dalje na razmatranje uobičajenih slučajeva. Kao što sam već primetio, nema problema sa modulom, uvek treba da koristite formulu. Ali formule za pronalaženje argumenta bit će različite, ovisi o tome u kojoj se koordinatnoj četvrtini nalazi broj. U ovom slučaju su moguće tri opcije (korisno ih je kopirati u svoju bilježnicu):
1) Ako (1. i 4. koordinatna četvrtina, ili desna poluravan), onda se argument mora pronaći pomoću formule.
2) Ako (2. koordinatna četvrtina), onda se argument mora pronaći pomoću formule 
.
3) Ako (3. koordinatna četvrtina), onda se argument mora pronaći pomoću formule 
.
Primjer 8
Predstavite kompleksne brojeve u trigonometrijskom obliku: , , , .
Pošto postoje gotove formule, nije potrebno dovršiti crtež. Ali postoji jedna stvar: kada se od vas traži da predstavite broj u trigonometrijskom obliku, onda U svakom slučaju, bolje je napraviti crtež. Činjenica je da je rješenje bez crteža često odbačeno od strane nastavnika, odsustvo crteža je ozbiljan razlog za minus i neuspjeh.
Eh, nisam ništa rukom crtao sto godina, izvolite:
Kao i uvijek, ispalo je malo prljavo =)
predstaviću u složen oblik brojevi i , prvi i treći broj će biti za samostalnu odluku.
Predstavimo broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument.
Plan lekcije.
1. Organizacioni momenat.
2. Prezentacija materijala.
3. Domaći.
4. Sumiranje lekcije.
Napredak lekcije
I. Organizacioni momenat.
II. Prezentacija materijala.
Motivacija.
Proširenje skupa realnih brojeva sastoji se od dodavanja novih brojeva (imaginarnih) realnim brojevima. Uvođenje ovih brojeva je zbog nemogućnosti izdvajanja korijena negativnog broja u skupu realnih brojeva.
Uvod u pojam kompleksnog broja.
Imaginarni brojevi, koje koristimo za dopunu realnih brojeva, zapisuju se u obliku bi, Gdje i je imaginarna jedinica, i i 2 = - 1.
Na osnovu ovoga dobijamo sljedeću definiciju kompleksnog broja.
Definicija. Kompleksni broj je izraz oblika a+bi, Gdje a I b- pravi brojevi. U ovom slučaju su ispunjeni sljedeći uslovi:
a) Dva kompleksna broja a 1 + b 1 i I a 2 + b 2 i jednako ako i samo ako a 1 =a 2, b 1 = b 2.
b) Sabiranje kompleksnih brojeva određuje se pravilom:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Množenje kompleksnih brojeva određuje se pravilom:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Algebarski oblik kompleksnog broja.
Zapisivanje kompleksnog broja u formu a+bi se naziva algebarski oblik kompleksnog broja, gdje A– pravi dio, bi je imaginarni dio, i b– pravi broj.
Kompleksni broj a+bi smatra se jednakim nuli ako su njegovi stvarni i imaginarni dijelovi jednaki nuli: a = b = 0
Kompleksni broj a+bi at b = 0 smatra se istim kao i realan broj a: a + 0i = a.
Kompleksni broj a+bi at a = 0 naziva se čisto imaginarnim i označava se bi: 0 + bi = bi.
Dva kompleksna broja z = a + bi I = a – bi, koji se razlikuju samo u predznaku imaginarnog dijela, nazivaju se konjugati.
Operacije nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.
Sljedeće operacije možete izvesti nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.
1) Dodatak.
Definicija. Zbir kompleksnih brojeva z 1 = a 1 + b 1 i I z 2 = a 2 + b 2 i naziva se kompleksnim brojem z, čiji je realni dio jednak zbiru realnih dijelova z 1 I z 2, a imaginarni dio je zbir imaginarnih dijelova brojeva z 1 I z 2, odnosno z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Brojevi z 1 I z 2 nazivaju terminima.
Sabiranje kompleksnih brojeva ima sljedeća svojstva:
1º. komutativnost: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. asocijativnost: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Kompleksni broj –a –bi naziva suprotnost kompleksnom broju z = a + bi. Kompleksni broj, suprotan kompleksnom broju z, označeno -z. Zbir kompleksnih brojeva z I -z jednako nuli: z + (-z) = 0
Primjer 1: Izvršite sabiranje (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Oduzimanje.
Definicija. Oduzmite od kompleksnog broja z 1 kompleksni broj z 2 z, sta z + z 2 = z 1.
Teorema. Razlika između kompleksnih brojeva postoji i jedinstvena je.
Primjer 2: Izvršite oduzimanje (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Množenje.
Definicija. Proizvod kompleksnih brojeva z 1 =a 1 +b 1 i I z 2 =a 2 +b 2 i naziva se kompleksnim brojem z, definisana jednakošću: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Brojevi z 1 I z 2 nazivaju faktori.
Množenje kompleksnih brojeva ima sljedeća svojstva:
1º. komutativnost: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. asocijativnost: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- pravi broj.
U praksi se množenje kompleksnih brojeva provodi po pravilu množenja zbira sa zbrojem i razdvajanja realnog i imaginarnog dijela.
U sljedećem primjeru ćemo razmotriti množenje kompleksnih brojeva na dva načina: po pravilu i množenjem zbira sa zbrojem.
Primjer 3: Uradite množenje (2 + 3i) (5 – 7i).
1 način. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) divizija.
Definicija. Podijelite kompleksan broj z 1 na kompleksan broj z 2, znači pronaći tako kompleksan broj z, sta z · z 2 = z 1.
Teorema. Kvocijent kompleksnih brojeva postoji i jedinstven je ako z 2 ≠ 0 + 0i.
U praksi, količnik kompleksnih brojeva se nalazi množenjem brojnika i nazivnika konjugatom nazivnika.
Neka z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Onda
.
U sljedećem primjeru ćemo izvršiti dijeljenje koristeći formulu i pravilo množenja brojem konjugiranim sa nazivnikom.
Primjer 4. Pronađite količnik 
.
5) Podizanje do pozitivne ukupne snage.
a) Potencije imaginarne jedinice.
Iskorištavanje jednakosti i 2 = -1, lako je definirati bilo koji pozitivan cijeli broj imaginarne jedinice. imamo:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 itd.
Ovo pokazuje da je stepen vrijednosti i n, Gdje n– pozitivan cijeli broj, koji se periodično ponavlja kako se indikator povećava za 4 .
Dakle, da se poveća broj i na pozitivnu cjelinu, moramo eksponent podijeliti sa 4 i izgraditi i na stepen čiji je eksponent jednak ostatku dijeljenja.
Primjer 5: Izračunajte: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) Dizanje kompleksnog broja na pozitivan cijeli broj vrši se prema pravilu dizanja binoma na odgovarajući stepen, jer predstavlja poseban slučaj množenje identičnih kompleksnih faktora.
Primjer 6: Izračunajte: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
