Domov Protetika a implantace Co je jednočlen standardní definice tvaru. Definice monomiálu: související pojmy, příklady

Protetika a implantace

Co je jednočlen standardní definice tvaru. Definice monomiálu: související pojmy, příklady

Síla jednočlenu

Pro monomial existuje pojem jeho stupně. Pojďme zjistit, co to je.

Definice.

Síla jednočlenu standardní forma je součet exponentů všech proměnných zahrnutých v jeho záznamu; pokud v zápisu jednočlenu nejsou žádné proměnné a je odlišný od nuly, pak se jeho stupeň považuje za rovný nule; číslo nula je považováno za jednočlenný, jehož stupeň není definován.

Určení stupně monomiálu umožňuje uvádět příklady. Stupeň monomiálu a je roven jedné, protože a je a 1. Mocnina jednočlenu 5 je nulová, protože je nenulový a jeho zápis neobsahuje proměnné. A součin 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 je monočlen osmého stupně, protože součet exponentů všech proměnných a, x a y je roven 2+1+3+2=8.

Mimochodem, stupeň monomiálu nepsaného ve standardní formě se rovná stupni odpovídajícího monomiu standardního tvaru. Abychom to ilustrovali, vypočítejme stupeň monomiálu 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Tento jednočlen ve standardním tvaru má tvar −6·x 8 ·y 4, jeho stupeň je 8+4=12. Stupeň původního monomiálu je tedy 12.

Monomiální koeficient

Monomial ve standardním tvaru, který má ve svém zápisu alespoň jednu proměnnou, je součin s jediným číselným faktorem - číselným koeficientem. Tento koeficient se nazývá monomiální koeficient. Zformulujme výše uvedené argumenty ve formě definice.

Definice.

Monomiální koeficient je číselný faktor monomiálu zapsaného ve standardním tvaru.

Nyní můžeme uvést příklady koeficientů různých monočlenů. Číslo 5 je podle definice koeficientem jednočlenu 5·a 3, podobně i jednočlen (−2,3)·x·y·z má koeficient −2,3.

Zvláštní pozornost si zaslouží koeficienty monočlenů rovné 1 a −1. Tady jde o to, že obvykle nejsou v nahrávce výslovně přítomny. Předpokládá se, že koeficient standardních monočlenů, které nemají ve svém zápisu číselný faktor, je roven jedné. Například monočleny a, x·z 3, a·t·x atd. mít koeficient 1, protože a lze považovat za 1·a, x·z 3 - za 1·x·z 3 atd.

Stejně tak koeficient monočlenů, jejichž zápisy ve standardním tvaru nemají číselný faktor a začínají znaménkem mínus, se považuje za mínus jedna. Například monočleny −x, −x 3 y z 3 atd. mít koeficient −1, protože −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 a tak dále.

Mimochodem, pojem koeficient jednočlenu bývá často označován jako jednočleny standardního tvaru, což jsou čísla bez písmenných faktorů. Koeficienty takových jednočlenných čísel jsou považovány za tato čísla. Takže například koeficient monomiálu 7 je považován za rovný 7.

Bibliografie.

Algebra: učebnice pro 7. třídu obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 240 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich A.G. Algebra. 7. třída. Ve 14 hodin 1. díl. Učebnice pro žáky vzdělávací instituce/ A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dodat. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro studenty technických škol): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.

Koncept monomiálu

Definice jednočlenu: jednočlen je algebraický výraz, který používá pouze násobení.

Standardní forma monomiálu

Jaká je standardní forma monomiálu? Jednočlen se zapisuje ve standardním tvaru, pokud má na prvním místě číselný činitel a tento činitel se nazývá koeficient jednočlenu, v jednočlenu je pouze jeden, písmena jednočlenu jsou uspořádána v abecedním pořadí a každé písmeno se objeví pouze jednou.

Příklad monomiálu ve standardním tvaru:

zde na prvním místě je číslo, koeficient jednočlenu, a toto číslo je v našem jednočlenu pouze jedno, každé písmeno se vyskytuje pouze jednou a písmena jsou uspořádána v abecedním pořadí, v v tomto případě toto je latinská abeceda.

Další příklad monomiálu ve standardním tvaru:

každé písmeno se vyskytuje pouze jednou, jsou seřazeny v latinském abecedním pořadí, ale kde je koeficient jednočlenu, tzn. číselný faktor, který by měl být na prvním místě? Zde se rovná jedné: 1adm.

Může být koeficient monomiálu záporný? Ano, možná, příklad: -5a.

Může být koeficient monomiálu zlomkový? Ano, možná, příklad: 5.2a.

Pokud se jednočlen skládá pouze z čísla, tzn. nemá žádné dopisy, jak to přivést standardní pohled? Jakýkoli jednočlen, který je číslem, je již ve standardním tvaru, například: číslo 5 je jednočlen ve standardním tvaru.

Redukce monomiálů na standardní formu

Jak převést monomiál do standardní formy? Podívejme se na příklady.

Nechť je dán monomiál 2a4b, musíme jej uvést do standardního tvaru. Vynásobíme jeho dva číselné faktory a dostaneme 8ab. Nyní je monomiál zapsán ve standardním tvaru, tzn. má pouze jeden číselný faktor, psaný na prvním místě, každé písmeno v monomiálu se vyskytuje pouze jednou a tato písmena jsou uspořádána v abecedním pořadí. Takže 2a4b = 8ab.

Dáno: monomial 2a4a, převeďte monomial do standardního tvaru. Vynásobíme čísla 2 a 4 a nahradíme součin aa druhou mocninou a 2. Dostáváme: 8a 2 . Toto je standardní forma tohoto monomiálu. Takže 2a4a = 8a 2 .

Podobné monomiály

Jaké jsou podobné monomiály? Pokud se monočleny liší pouze v koeficientech nebo jsou stejné, pak se nazývají podobné.

Příklad podobných monočlenů: 5a a 2a. Tyto monomiály se liší pouze v koeficientech, což znamená, že jsou podobné.

Jsou monomily 5abc a 10cba podobné? Převedeme druhý monomiál do standardního tvaru a dostaneme 10abc. Nyní vidíme, že monomily 5abc a 10abc se liší pouze svými koeficienty, což znamená, že jsou podobné.

Sčítání monomiálů

Jaký je součet monomií? Podobné monomiály můžeme pouze sčítat. Podívejme se na příklad přidávání monočlenů. Jaký je součet monočlenů 5a a 2a? Součet těchto monočlenů bude jim podobný monočlen, jehož koeficient rovnající se součtu koeficienty termínů. Součet monočlenů je tedy 5a + 2a = 7a.

Další příklady přidávání monočlenů:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Znovu. Můžete přidávat pouze podobné monočleny, sčítání spočívá v sečtení jejich koeficientů.

Odečítání monomiálů

Jaký je rozdíl mezi monomily? Podobné monomiály můžeme pouze odečíst. Podívejme se na příklad odčítání monomií. Jaký je rozdíl mezi monomiály 5a a 2a? Rozdíl těchto monočlenů bude jim podobný monočlen, jehož koeficient se rovná rozdílu koeficientů těchto monočlenů. Rozdíl monočlenů je tedy 5a - 2a = 3a.

Další příklady odečítání monomií:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Násobení monomiálů

Jaký je součin monomiálů? Podívejme se na příklad:

těch. součin monočlenů je roven jednočlenu, jehož činitele jsou tvořeny činiteli původních monočlenů.

Další příklad:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Jak k tomuto výsledku došlo? Každý faktor obsahuje „a“ na mocninu: v prvním – „a“ na mocninu 2 a ve druhém – „a“ na mocninu 5. To znamená, že produkt bude obsahovat „a“ na mocninu ze 7, protože při násobení stejných písmen se exponenty jejich mocnin skládají:

A 2 * a 5 = a 7 .

Totéž platí pro faktor „b“.

Koeficient prvního faktoru je dva a druhého je jedna, takže výsledek je 2 * 1 = 2.

Výsledek byl vypočítán takto: 2a 7 b 12.

Z těchto příkladů je zřejmé, že koeficienty monočlenů se násobí a shodná písmena jsou v součinu nahrazena součty jejich mocnin.

Monomiály jsou jedním z hlavních typů výrazů studovaných v kurzu školní algebry. V tomto materiálu vám řekneme, co tyto výrazy jsou, definujeme jejich standardní formu a ukážeme příklady a také porozumíme souvisejícím pojmům, jako je stupeň monomiálu a jeho koeficient.

Co je to monomial

Školní učebnice obvykle uvádějí následující definici tohoto pojmu:

Definice 1

Mezi mononomy patříčísla, proměnné a také jejich mocniny s přirozenými exponenty a odlišné typy díla z nich sestavená.

Na základě této definice můžeme uvést příklady takových výrazů. Všechna čísla 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 tedy budou jednočlenné. Všechny proměnné, například x, a, b, p, q, t, y, z, budou také podle definice monočleny. Patří sem také mocniny proměnných a čísel, například 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 a t 15, jakož i výrazy ve tvaru 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z atd. Vezměte prosím na vědomí, že monočlen může obsahovat jedno číslo nebo proměnnou nebo několik a mohou být uvedeny několikrát v jednom polynomu.

Takové typy čísel, jako jsou celá čísla, racionální čísla a přirozená čísla, také patří k monočlenům. Můžete také zahrnout platné a komplexní čísla. Tedy výrazy ve tvaru 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 budou také jednočlenné.

Jaký je standardní tvar jednočlenu a jak na něj převést výraz

Pro snadné použití jsou všechny monomily nejprve zredukovány na speciální formu nazývanou standard. Pojďme formulovat konkrétně, co to znamená.

Definice 2

Standardní forma monomiálu nazývají jeho formu, ve které je součinem číselného faktoru a přirozených mocnin různých proměnných. Číselný faktor, nazývaný také koeficient monomiálu, se obvykle píše jako první na levé straně.

Pro názornost vybereme několik monočlenů standardního tvaru: 6 (jedná se o monočlen bez proměnných), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Patří sem i výraz x y(zde bude koeficient roven 1), − x 3(zde je koeficient - 1).

Nyní uvádíme příklady monomií, které je třeba uvést do standardní podoby: 4 a 2 a 3(zde musíte zkombinovat stejné proměnné), 5 x (− 1) 3 y 2(zde je třeba kombinovat číselné faktory vlevo).

Typicky, když monomial má několik proměnných napsaných písmeny, faktory dopisu jsou psány v abecedním pořadí. Například je lepší psát 6 a b 4 c z 2, jak b 4 6 a z 2 c. Pořadí však může být jiné, vyžaduje-li to účel výpočtu.

Jakýkoli monomiál lze zredukovat na standardní formu. Chcete-li to provést, musíte provést všechny potřebné transformace identity.

Pojem stupně monomiálu

Velmi důležitý je doprovodný koncept stupně monomiálu. Zapišme si definici tohoto pojmu.

Definice 3

Silou monomiálu, zapsaný ve standardním tvaru, je součtem exponentů všech proměnných, které jsou zahrnuty v jeho zápisu. Pokud v něm nejsou žádné proměnné a samotný monomial se liší od 0, pak bude jeho stupeň nulový.

Uveďme příklady mocnin jednočlenu.

Příklad 1

Jednočlen a má tedy stupeň rovný 1, protože a = a 1. Pokud máme monomiální 7, pak bude mít stupeň nula, protože nemá žádné proměnné a liší se od 0. A tady je záznam 7 a 2 x y 3 a 2 bude monomiál 8. stupně, protože součet exponentů všech stupňů proměnných v něm zahrnutých bude roven 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Monomial zredukovaný na standardní tvar a původní polynom bude mít stejný stupeň.

Příklad 2

Ukážeme si, jak vypočítat stupeň monomiálu 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Ve standardním tvaru může být zapsán jako − 6 x 8 y 4. Vypočítáme stupeň: 8 + 4 = 12 . To znamená, že stupeň původního polynomu je také roven 12.

Pojem monomiální koeficient

Máme-li monomiál zredukovaný na standardní tvar, který obsahuje alespoň jednu proměnnou, pak o něm mluvíme jako o součinu s jedním číselným faktorem. Tento faktor se nazývá číselný koeficient nebo monomiální koeficient. Zapišme si definici.

Definice 4

Koeficient monomiálu je číselný faktor monomiálu zredukovaný na standardní tvar.

Vezměme si jako příklad koeficienty různých monočlenů.

Příklad 3

Tedy ve výrazu 8 a 3 koeficient bude číslo 8 a in (− 2, 3) x y z budou − 2 , 3 .

Zvláštní pozornost je třeba věnovat koeficientům rovným jedné a mínus jedné. Zpravidla nejsou výslovně uvedeny. Předpokládá se, že v monomiálu standardního tvaru, ve kterém není žádný číselný faktor, je koeficient roven 1, například ve výrazech a, x · z 3, a · t · x, protože mohou být považováno za 1 · a, x · z 3 – Jak 1 x z 3 atd.

Podobně v monočlenech, které nemají číselný faktor a začínají znaménkem mínus, můžeme za koeficient považovat -1.

Příklad 4

Například výrazy − x, − x 3 · y · z 3 budou mít takový koeficient, protože je lze reprezentovat jako − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1 ) · x 3 y z 3 atd.

Pokud monomiál nemá vůbec jednopísmenný faktor, pak můžeme v tomto případě mluvit o koeficientu. Koeficienty takových jednočlenných čísel budou tato čísla sama. Takže například koeficient monomiálu 9 se bude rovnat 9.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

V této lekci uvedeme přesnou definici monomiálu a podíváme se na různé příklady z učebnice. Připomeňme si pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy. Definujme standardní tvar jednočlenu, koeficient jednočlenu a jeho písmennou část. Uvažujme dvě hlavní typické operace s monomiály, a to redukci na standardní tvar a výpočet konkrétní číselné hodnoty monomiálu pro dané hodnoty v něm obsažených doslovných proměnných. Formulujme pravidlo pro redukci monomiálu na standardní tvar. Naučme se řešit typické úkoly s jakýmikoli monomily.

Předmět:Monomiály. Aritmetické operace s monočleny

Lekce:Koncept monomiálu. Standardní forma monomiálu

Zvažte několik příkladů:

3. ;

najdeme společné rysy pro dané výrazy. Ve všech třech případech je výraz součinem čísel a proměnných umocněných na mocninu. Na základě toho dáváme monomiální definice : Monomial je algebraický výraz, který se skládá ze součinu mocnin a čísel.

Nyní uvedeme příklady výrazů, které nejsou jednočlenné:

Pojďme najít rozdíl mezi těmito výrazy a předchozími. Spočívá v tom, že v příkladech 4-7 jsou operace sčítání, odčítání nebo dělení, zatímco v příkladech 1-3, které jsou jednočlenné, tyto operace nejsou.

Zde je několik dalších příkladů:

Výraz číslo 8 je jednočlenný, protože je součin mocniny a čísla, zatímco příklad 9 jednočlenný není.

Teď to zjistíme akce na monomiály .

1. Zjednodušení. Podívejme se na příklad č. 3 ;a příklad č. 2 /

Ve druhém příkladu vidíme pouze jeden koeficient - , každá proměnná se vyskytuje pouze jednou, tedy proměnná " A"" je reprezentováno v jediné kopii jako "", podobně se proměnné "" a "" vyskytují pouze jednou.

V příkladu č. 3 jsou naopak dva různé koeficienty - a , proměnnou "" vidíme dvakrát - jako "" a jako "", obdobně se proměnná "" vyskytuje dvakrát. To znamená, že tento výraz by měl být zjednodušen, čímž se dostáváme první akcí prováděnou na monomiích je redukce monomií na standardní formu . K tomu zredukujeme výraz z příkladu 3 do standardního tvaru, poté nadefinujeme tuto operaci a naučíme se, jak zredukovat libovolný monomický tvar na standardní tvar.

Zvažte tedy příklad:

První akcí při operaci redukce na standardní formu je vždy vynásobení všech číselných faktorů:

;

Výsledek této akce bude vyvolán koeficient monomiálu .

Dále musíte znásobit síly. Vynásobme mocniny proměnné" X„podle pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy, které říká, že při násobení se exponenty sčítají:

Nyní znásobme síly" na»:

;

Zde je tedy zjednodušený výraz:

;

Jakýkoli monomiál lze zredukovat na standardní formu. Pojďme formulovat standardizační pravidlo :

Vynásobte všechny číselné faktory;

Umístěte výsledný koeficient na první místo;

Vynásobte všechny stupně, to znamená, že získáte část písmene;

To znamená, že jakýkoli monomial je charakterizován koeficientem a písmennou částí. Při pohledu do budoucna si všimneme, že monočleny, které mají stejnou část písmene, se nazývají podobné.

Teď musíme zapracovat technika pro redukci monomiálů na standardní formu . Zvažte příklady z učebnice:

Zadání: uveďte jednodílný znak do standardní podoby, pojmenujte koeficient a písmennou část.

Ke splnění úkolu použijeme pravidlo pro zmenšení jednočlenu na standardní tvar a vlastnosti mocnin.

1. ;

3. ;

Komentáře k prvnímu příkladu: Nejprve zjistěme, zda je tento výraz skutečně jednočlen, k tomu zkontrolujme, zda obsahuje operace násobení čísel a mocnin a zda obsahuje operace sčítání, odčítání nebo dělení. Můžeme říci, že tento výraz je jednočlenný, protože je splněna výše uvedená podmínka. Dále podle pravidla pro redukci monomiálu na standardní tvar vynásobíme číselné faktory:

- našli jsme koeficient daného monomiálu;

; ; ; to znamená, že se získá doslovná část výrazu:;

Zapišme si odpověď: ;

Komentáře k druhému příkladu: Podle pravidla, které provádíme:

1) vynásobte číselné faktory:

2) vynásobte mocniny:

Proměnné jsou uvedeny v jedné kopii, to znamená, že je nelze s ničím násobit, jsou přepisovány beze změn, stupeň je násoben:

Zapišme si odpověď:

;

V tomto příkladu je koeficient jednočlenu roven jedné a písmenná část je .

Komentáře ke třetímu příkladu: a Podobně jako v předchozích příkladech provedeme následující akce:

1) vynásobte číselné faktory:

;

2) vynásobte mocniny:

;

Zapišme si odpověď: ;

V tomto případě je koeficient monomiálu „“ a písmenná část .

Nyní uvažujme druhý standardní provoz na monomilech . Protože jednočlen je algebraický výraz skládající se z doslovných proměnných, které mohou nabývat specifických hodnot číselné hodnoty, pak máme aritmetický číselný výraz, který je třeba vypočítat. To znamená, že další operace s polynomy je výpočet jejich konkrétní číselné hodnoty .

Podívejme se na příklad. Monomický daný:

tento jednočlen je již zredukován do standardní podoby, jeho koeficient je roven jedné a písmenná část

Již dříve jsme řekli, že algebraický výraz nelze vždy vypočítat, to znamená, že proměnné, které jsou v něm obsaženy, nemohou nabývat žádné hodnoty. V případě monočlenu mohou být v něm obsažené proměnné libovolné, to je vlastnost monočlenu.

Takže dovnitř uvedený příklad je třeba vypočítat hodnotu monomiálu v , , , .

V této lekci uvedeme přesnou definici monomiálu a podíváme se na různé příklady z učebnice. Připomeňme si pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy. Definujme standardní tvar jednočlenu, koeficient jednočlenu a jeho písmennou část. Uvažujme dvě hlavní typické operace s monomiály, a to redukci na standardní tvar a výpočet konkrétní číselné hodnoty monomiálu pro dané hodnoty v něm obsažených doslovných proměnných. Formulujme pravidlo pro redukci monomiálu na standardní tvar. Pojďme se naučit, jak řešit standardní problémy s libovolnými monomily.

Předmět:Monomiály. Aritmetické operace s monočleny

Lekce:Koncept monomiálu. Standardní forma monomiálu

Zvažte několik příkladů:

3. ;

Pojďme najít společné rysy pro dané výrazy. Ve všech třech případech je výraz součinem čísel a proměnných umocněných na mocninu. Na základě toho dáváme monomiální definice : Monomial je algebraický výraz, který se skládá ze součinu mocnin a čísel.

Nyní uvedeme příklady výrazů, které nejsou jednočlenné:

Zde je několik dalších příkladů:

Výraz číslo 8 je jednočlenný, protože je součin mocniny a čísla, zatímco příklad 9 jednočlenný není.

Teď to zjistíme akce na monomiály .

1. Zjednodušení. Podívejme se na příklad č. 3 ;a příklad č. 2 /

Zvažte tedy příklad:

První akcí při operaci redukce na standardní formu je vždy vynásobení všech číselných faktorů:

;

Výsledek této akce bude vyvolán koeficient monomiálu .

Dále musíte znásobit síly. Vynásobme mocniny proměnné" X„podle pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy, které říká, že při násobení se exponenty sčítají:

Nyní znásobme síly" na»:

;

Zde je tedy zjednodušený výraz:

;

Jakýkoli monomiál lze zredukovat na standardní formu. Pojďme formulovat standardizační pravidlo :

Vynásobte všechny číselné faktory;

Umístěte výsledný koeficient na první místo;

Vynásobte všechny stupně, to znamená, že získáte část písmene;

Teď musíme zapracovat technika pro redukci monomiálů na standardní formu . Zvažte příklady z učebnice:

Zadání: uveďte jednodílný znak do standardní podoby, pojmenujte koeficient a písmennou část.

Ke splnění úkolu použijeme pravidlo pro zmenšení jednočlenu na standardní tvar a vlastnosti mocnin.

1. ;

3. ;

- našli jsme koeficient daného monomiálu;

; ; ; to znamená, že se získá doslovná část výrazu:;

Zapišme si odpověď: ;

Komentáře k druhému příkladu: Podle pravidla, které provádíme:

1) vynásobte číselné faktory:

2) vynásobte mocniny:

Proměnné jsou uvedeny v jedné kopii, to znamená, že je nelze s ničím násobit, jsou přepisovány beze změn, stupeň je násoben:

Zapišme si odpověď:

;

V tomto příkladu je koeficient jednočlenu roven jedné a písmenná část je .

Komentáře ke třetímu příkladu: a Podobně jako v předchozích příkladech provedeme následující akce:

1) vynásobte číselné faktory:

;

2) vynásobte mocniny:

;

Zapišme si odpověď: ;

V tomto případě je koeficient monomiálu „“ a písmenná část .

Nyní uvažujme druhý standardní provoz na monomilech . Protože monočlen je algebraický výraz sestávající z doslovných proměnných, které mohou nabývat konkrétních číselných hodnot, máme aritmetický číselný výraz, který je třeba vyhodnotit. To znamená, že další operace s polynomy je výpočet jejich konkrétní číselné hodnoty .

Podívejme se na příklad. Monomický daný:

tento jednočlen je již zredukován do standardní podoby, jeho koeficient je roven jedné a písmenná část

V uvedeném příkladu tedy musíte vypočítat hodnotu monomiálu v , , , .