Mezi číselné charakteristiky náhodné proměnné je třeba si především povšimnout těch, které charakterizují polohu náhodné veličiny na číselné ose, tzn. označují nějakou průměrnou, přibližnou hodnotu, kolem které jsou seskupeny všechny možné hodnoty náhodné proměnné.
Průměrná hodnota náhodné veličiny je určité číslo, které je jakoby jejím „reprezentantem“ a nahrazuje jej ve zhruba přibližných výpočtech. Když říkáme: „průměrná doba provozu lampy je 100 hodin“ nebo „průměrný bod dopadu je posunut vzhledem k cíli o 2 m doprava“, označujeme tím určitou číselnou charakteristiku náhodné veličiny, která popisuje její umístění. na číselné ose, tzn. „polohové charakteristiky“.
Z charakteristik pozice v teorii pravděpodobnosti zásadní roli hraje matematické očekávání náhodné veličiny, které se někdy říká jednoduše průměrná hodnota náhodné veličiny.
Uvažujme diskrétní náhodnou veličinu s možnými hodnotami s pravděpodobnostmi. Musíme charakterizovat nějakým číslem polohu hodnot náhodné veličiny na ose x, s ohledem na skutečnost, že tyto hodnoty mají různé pravděpodobnosti. Pro tento účel je přirozené používat tzv. „vážený průměr“ hodnot a každá hodnota by měla být při průměrování brána v úvahu s „váhou“ úměrnou pravděpodobnosti této hodnoty. Vypočítáme tedy průměr náhodné veličiny, kterou označíme:
nebo vzhledem k tomu,
. (5.6.1)
Tento vážený průměr se nazývá matematické očekávání náhodné veličiny. Uvedli jsme tedy v úvahu jeden z nejdůležitějších konceptů teorie pravděpodobnosti – koncept matematické očekávání.
Matematické očekávání náhodné veličiny je součtem součinů všech možných hodnot náhodné veličiny a pravděpodobností těchto hodnot.
Všimněte si, že ve výše uvedené formulaci platí definice matematického očekávání, přísně vzato, pouze pro diskrétní náhodné proměnné; Níže tento pojem zobecníme na případ spojitých veličin.
Aby byl koncept matematického očekávání jasnější, přejděme k mechanické interpretaci rozdělení diskrétní náhodné veličiny. Nechť jsou body s úsečkami na ose úseček, ve kterých jsou soustředěny hmoty a . Pak je zřejmé, že matematické očekávání definované vzorcem (5.6.1) není nic jiného než úsečka těžiště daného systému hmotných bodů.
Matematické očekávání náhodné veličiny je spojeno zvláštní závislostí s aritmetickým průměrem pozorovaných hodnot náhodné veličiny během velkého počtu experimentů. Tato závislost je stejného typu jako závislost mezi frekvencí a pravděpodobností, totiž: při velkém počtu experimentů se aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodné veličiny blíží (konverguje v pravděpodobnosti) jejímu matematickému očekávání. Z přítomnosti souvislosti mezi frekvencí a pravděpodobností lze v důsledku odvodit přítomnost podobné souvislosti mezi aritmetickým průměrem a matematickým očekáváním.
Uvažujme diskrétní náhodnou proměnnou charakterizovanou distribuční řadou:
Kde 
.
Nechť jsou prováděny nezávislé experimenty, v každém z nich má veličina určitou hodnotu. Předpokládejme, že se hodnota objevila jednou, hodnota se objevila jednou a hodnota se objevila jednou. Očividně,
Vypočítejme aritmetický průměr pozorovaných hodnot veličiny, kterou na rozdíl od matematického očekávání označujeme:
Ale není nic víc než četnost (nebo statistická pravděpodobnost) události; tato frekvence může být určena. Pak
,
těch. aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodné veličiny se rovná součtu součinů všech možných hodnot náhodné veličiny a četností těchto hodnot.
S rostoucím počtem experimentů se frekvence přiblíží (pravděpodobně se sblíží) odpovídajícím pravděpodobnostem. V důsledku toho se aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodné veličiny bude s rostoucím počtem experimentů přibližovat (pravděpodobně konvergovat) svému matematickému očekávání.
Výše formulovaná souvislost mezi aritmetickým průměrem a matematickým očekáváním tvoří obsah jedné z forem zákona vysoká čísla. Důkladný důkaz tohoto zákona poskytneme v kapitole 13.
Již víme, že všechny formy zákona velkých čísel uvádějí skutečnost, že některé průměry jsou stabilní při velkém počtu experimentů. Zde mluvíme o stabilitě aritmetického průměru ze série pozorování stejné veličiny. U malého počtu experimentů je aritmetický průměr jejich výsledků náhodný; s dostatečným nárůstem počtu experimentů se stává „téměř nenáhodným“ a stabilizací se blíží konstantní hodnotě - matematickému očekávání.
Stabilitu průměrů ve velkém počtu experimentů lze snadno ověřit experimentálně. Například při vážení tělesa v laboratoři na přesných vahách získáme v důsledku vážení pokaždé novou hodnotu; Abychom snížili chybu pozorování, těleso několikrát zvážíme a použijeme aritmetický průměr získaných hodnot. Je snadné vidět, že s dalším nárůstem počtu pokusů (vážení) aritmetický průměr na tento nárůst reaguje stále méně a při dostatečně velkém počtu pokusů se prakticky přestává měnit.
Vzorec (5.6.1) pro matematické očekávání odpovídá případu diskrétní náhodné veličiny. Pro spojitá hodnota matematické očekávání se přirozeně nevyjadřuje jako součet, ale jako integrál:
, (5.6.2)
kde je hustota distribuce veličiny .
Vzorec (5.6.2) získáme ze vzorce (5.6.1), pokud jsou jednotlivé hodnoty v něm nahrazeny plynule se měnícím parametrem x, odpovídající pravděpodobnosti - prvkem pravděpodobnosti a konečný součet - integrálem. V budoucnu budeme často používat tento způsob rozšíření vzorců odvozených pro nespojité veličiny na případ spojitých veličin.
V mechanické interpretaci si matematické očekávání spojité náhodné veličiny zachovává stejný význam - úsečka těžiště v případě, kdy je hmota rozložena na úsečce spojitě, s hustotou . Tato interpretace často umožňuje najít matematické očekávání bez výpočtu integrálu (5.6.2) z jednoduchých mechanických úvah.
Výše jsme zavedli notaci pro matematické očekávání veličiny . V řadě případů, kdy je veličina ve vzorcích zahrnuta jako konkrétní číslo, je vhodnější ji označit jedním písmenem. V těchto případech označíme matematické očekávání hodnoty:
Zápis a pro matematické očekávání budou v budoucnu používány paralelně, v závislosti na výhodnosti konkrétního záznamu vzorců. Domluvme se také, že v případě potřeby slova „matematické očekávání“ zkrátíme písmeny m.o.
Je třeba poznamenat, že nejdůležitější charakteristika ustanovení - matematické očekávání - neexistuje pro všechny náhodné veličiny. Je možné sestavit příklady takových náhodných veličin, pro které neexistuje matematické očekávání, protože odpovídající součet nebo integrál se rozcházejí.
Uvažujme například nespojitou náhodnou veličinu s distribuční řadou:
Je snadné ověřit, že tzn. distribuční série má smysl; nicméně částka v v tomto případě se liší, a proto neexistuje žádné matematické očekávání hodnoty. Takové případy však nejsou pro praxi výrazně zajímavé. Náhodné proměnné, kterými se zabýváme, mají obvykle omezenou oblast možné hodnoty a samozřejmě mít matematické očekávání.
Výše jsme uvedli vzorce (5.6.1) a (5.6.2), vyjadřující matematické očekávání pro nespojitou a spojitou náhodnou veličinu.
Pokud nějaká veličina patří k veličinám smíšeného typu, pak její matematické očekávání je vyjádřeno vzorcem ve tvaru:
, (5.6.3)
kde součet zasahuje do všech bodů, ve kterých je distribuční funkce nespojitá, a integrál se rozšiřuje na všechny oblasti, ve kterých je distribuční funkce spojitá.
Kromě nejdůležitějších charakteristik pozice – matematického očekávání – se v praxi někdy používají další charakteristiky pozice, zejména modus a medián náhodné veličiny.
Modus náhodné veličiny je její nejpravděpodobnější hodnota. Termín "nejpravděpodobnější hodnota" se přísně vzato vztahuje pouze na nespojité veličiny; pro spojitou veličinu je mod hodnota, při které je hustota pravděpodobnosti maximální. Domluvme se na označení režimu písmenem . Na Obr. 5.6.1 a 5.6.2 ukazují režim pro nespojité a spojité náhodné veličiny.
Pokud má distribuční polygon (distribuční křivka) více než jedno maximum, nazývá se rozdělení „multimodální“ (obr. 5.6.3 a 5.6.4).
Někdy existují distribuce, které mají uprostřed spíše minimum než maximum (obr. 5.6.5 a 5.6.6). Takové distribuce se nazývají „antimodální“. Příkladem antimodální distribuce je distribuce získaná v příkladu 5, č. 5.1.
V obecný případ modus a matematické očekávání náhodné veličiny se neshodují. V konkrétním případě, kdy je rozdělení symetrické a modální (tj. má mod) a existuje matematické očekávání, pak se shoduje s modem a středem symetrie rozdělení.
Často se používá další charakteristika polohy - tzv. medián náhodné veličiny. Tato charakteristika se obvykle používá pouze pro spojité náhodné veličiny, i když ji lze formálně definovat i pro nespojitou veličinu.
Medián náhodné veličiny je její hodnota, pro kterou
těch. je stejně pravděpodobné, že náhodná proměnná bude menší nebo větší než . Geometricky je medián úsečkou bodu, ve kterém je plocha ohraničená distribuční křivkou rozdělena na polovinu (obr. 5.6.7).
Očekávaná hodnota. Matematické očekávání diskrétní náhodná veličina X s konečným počtem hodnot Xi s pravděpodobnostmi Ri, částka se nazývá:
Matematické očekávání spojitá náhodná veličina X se nazývá integrál součinu jeho hodnot X na hustotě rozdělení pravděpodobnosti F(X):
(6b)
Nepravý integrál (6 b) se předpokládá, že je absolutně konvergentní (jinak říkají, že matematické očekávání M(X) neexistuje). Charakterizuje matematické očekávání průměrná hodnota náhodná proměnná X. Jeho rozměr se shoduje s rozměrem náhodné veličiny.
Vlastnosti matematického očekávání:
Disperze. Rozptyl náhodná proměnná Xčíslo se jmenuje:
Rozptyl je rozptylová charakteristika náhodné proměnné hodnoty X vzhledem k jeho průměrné hodnotě M(X). Dimenze rozptylu se rovná rozměru druhé mocniny náhodné proměnné. Na základě definic rozptylu (8) a matematického očekávání (5) pro diskrétní náhodnou veličinu a (6) pro spojitou náhodnou veličinu získáme podobné výrazy pro rozptyl:
(9)
Tady m = M(X).
Vlastnosti disperze:
Standardní odchylka:
(11)
Od rozměru průměru čtvercová odchylka stejně jako u náhodné veličiny se častěji používá jako míra rozptylu než rozptylu.
Okamžiky distribuce. Koncepty matematického očekávání a rozptylu jsou zvláštními případy více obecný koncept pro číselné charakteristiky náhodných veličin – distribuční momenty. Momenty rozdělení náhodné veličiny jsou představeny jako matematická očekávání některých jednoduchých funkcí náhodné veličiny. Takže moment objednávky k vzhledem k bodu X 0 se nazývá matematické očekávání M(X–X 0 )k. Chvíle o původu X= 0 jsou volány počáteční momenty a jsou určeny:
(12)
Počáteční moment prvního řádu je středem rozdělení uvažované náhodné veličiny:
(13)
Momenty o centru distribuce X= m jsou nazývány centrální body a jsou určeny:
(14)
Z (7) vyplývá, že centrální moment prvního řádu je vždy roven nule:
Centrální momenty nezávisí na původu hodnot náhodné proměnné, protože když jsou posunuty o konstantní hodnotu S jeho střed distribuce se posune o stejnou hodnotu S a odchylka od středu se nemění: X – m = (X – S) – (m – S).
Teď je to jasné disperze- Tento centrální moment druhého řádu:
Asymetrie. Centrální moment třetí objednávka:
(17)
slouží k hodnocení distribuční asymetrie. Pokud je rozložení symetrické podle bodu X= m, pak bude centrální moment třetího řádu roven nule (jako všechny centrální momenty lichých řádů). Pokud je tedy centrální moment třetího řádu odlišný od nuly, pak rozdělení nemůže být symetrické. Velikost asymetrie se posuzuje pomocí bezrozměrného koeficient asymetrie:
(18)
Znaménko koeficientu asymetrie (18) označuje pravostrannou nebo levostrannou asymetrii (obr. 2).
Rýže. 2. Typy distribuční asymetrie.
Přebytek. Centrální moment čtvrtého řádu:
(19)
slouží k hodnocení tzv přebytek, který určuje míru strmosti (špičatosti) distribuční křivky v blízkosti středu rozdělení vzhledem ke křivce normální distribuce. Protože pro normální rozdělení je hodnota brána jako špičatost:
(20)
Na Obr. Obrázek 3 ukazuje příklady distribučních křivek s různými hodnotami špičatosti. Pro normální distribuci E= 0. Křivky, které jsou špičatější než normálně, mají kladnou špičatost, ty, které jsou více ploché, mají zápornou špičatost.
Rýže. 3. Distribuční křivky s různé míry chlad (nadbytek).
Momenty vyššího řádu v inženýrských aplikacích matematické statistiky se obvykle nepoužívá.
Móda
oddělený náhodná veličina je její nejpravděpodobnější hodnota. Móda kontinuální náhodná veličina je její hodnota, při které je hustota pravděpodobnosti maximální (obr. 2). Pokud má distribuční křivka jedno maximum, pak se nazývá rozdělení unimodální. Pokud má distribuční křivka více než jedno maximum, nazývá se rozdělení multimodální. Někdy existují distribuce, jejichž křivky mají spíše minimum než maximum. Takové distribuce se nazývají antimodální. V obecném případě se modus a matematické očekávání náhodné veličiny neshodují. Ve zvláštním případě pro modální, tj. mající modus, symetrické rozdělení a za předpokladu, že existuje matematické očekávání, toto druhé se shoduje s modem a středem symetrie rozdělení.
Medián náhodná proměnná X- to je jeho význam Meh, pro které platí rovnost: tzn. je stejně pravděpodobné, že náhodná veličina X bude méně nebo více Meh. Geometricky medián je úsečka bodu, ve kterém je plocha pod distribuční křivkou rozdělena na polovinu (obr. 2). V případě symetrického modálního rozdělení jsou medián, modus a matematické očekávání stejné.
Móda- hodnota v souboru pozorování, která se vyskytuje nejčastěji
Po = X Po + h Po * (f Po - f Po-1) : ((f Po - f Po-1) + (f Po - f Po+1)),
zde X Mo je levá hranice modálního intervalu, h Mo je délka modálního intervalu, f Mo-1 je frekvence premodálního intervalu, f Mo je frekvence modálního intervalu, f Mo+1 je frekvence postmodálního intervalu.
Režim absolutně spojitého rozdělení je libovolný bod místní maximum hustota distribuce. Pro diskrétní distribuce za mod se považuje jakákoli hodnota a i, jejíž pravděpodobnost p i je větší než pravděpodobnosti sousedních hodnot
Medián spojitá náhodná veličina X nazývá se její hodnota Me, pro kterou je stejně pravděpodobné, že náhodná veličina bude menší nebo větší Meh, tj.
Me = (n+l)/2 P(X < Já) = P(X > Meh)
Rovnoměrně distribuované NSV
Jednotná distribuce. Spojitá náhodná veličina se nazývá rovnoměrně rozložená na segmentu (), pokud její funkce hustoty rozdělení (obr. 1.6, A) má tvar:
Označení: – SW je rozmístěn rovnoměrně po .
Podle toho distribuční funkce na segmentu (obr. 1.6, b):
Rýže. 1.6. Funkce náhodné veličiny rozdělené rovnoměrně na [ A,b]: A– hustoty pravděpodobnosti F(X); b– distribuce F(X)
Matematické očekávání a rozptyl daného SV jsou určeny výrazy:
Vzhledem k symetrii funkce hustoty se shoduje s mediánem. Mods rovnoměrné rozložení nemá
Příklad 4. Doba čekání na odpověď na telefonní hovor je náhodná veličina jednotný zákon distribuce v rozsahu od 0 do 2 minut. Najděte integrální a diferenciální distribuční funkce této náhodné veličiny.
27.Normální zákon rozdělení pravděpodobnosti
Spojitá náhodná veličina x má normální rozdělení s parametry: m,s > 0, pokud má hustota rozdělení pravděpodobnosti tvar:
kde: m – matematické očekávání, s – směrodatná odchylka.
Normální rozdělení se také nazývá Gaussovo podle německého matematika Gausse. Skutečnost, že náhodná veličina má normální rozdělení s parametry: m, je označena následovně: N (m,s), kde: m=a=M[X];
Poměrně často se ve vzorcích matematické očekávání značí A . Pokud je náhodná veličina rozdělena podle zákona N(0,1), pak se nazývá normalizovaná nebo standardizovaná normální veličina. Distribuční funkce pro něj má tvar:
Graf hustoty normálního rozdělení, který se nazývá normální křivka nebo Gaussova křivka, je znázorněn na obr. 5.4.
Rýže. 5.4. Normální hustota rozdělení
vlastnosti náhodná veličina mající zákon normálního rozdělení.
1. Pokud , pak pro zjištění pravděpodobnosti, že tato hodnota spadá do daného intervalu ( x 1;) používá se vzorec:
2. Pravděpodobnost, že odchylka náhodné veličiny od jejího matematického očekávání nepřekročí hodnotu (o absolutní hodnota), je roven.
Účel lekce: vytvořit u studentů představu o mediánu množiny čísel a schopnost jej vypočítat pro jednoduché numerické množiny, upevnit koncept aritmetického průměru množiny čísel.
Typ lekce: vysvětlení nové látky.
Vybavení: tabule, učebnice vyd. Yu.N Tyurina „Teorie a statistika pravděpodobnosti“, počítač s projektorem.
Během vyučování
1. Organizační moment.
Informujte téma lekce a formulujte její cíle.
2. Aktualizace předchozích znalostí.
Otázky pro studenty:
- Jaký je aritmetický průměr množiny čísel?
- Kde se nachází aritmetický průměr v rámci sady čísel?
- Co charakterizuje aritmetický průměr množiny čísel?
- Kde se často používá aritmetický průměr množiny čísel?
Ústní úkoly:
Najděte aritmetický průměr množiny čísel:
- 1, 3, 5, 7, 9;
- 10, 12, 18, 20
Zkouška domácí práce pomocí projektoru ( Příloha 1):
Učebnice: č. 12 (b, d), č. 18 (c, d)
3. Studium nového materiálu.
V předchozí lekci jsme se seznámili s takovou statistickou charakteristikou, jako je aritmetický průměr množiny čísel. Dnes budeme lekci věnovat další statistické charakteristice – mediánu.
Nejen aritmetický průměr ukazuje, kde na číselné ose se nacházejí čísla libovolné množiny a kde je jejich střed. Dalším ukazatelem je medián.
Medián množiny čísel je číslo, které rozděluje množinu na dvě stejné části. Místo „medián“ byste mohli říci „střední“.
Nejprve se na příkladech podíváme na to, jak zjistit medián, a poté uvedeme přesnou definici.
Zvažte následující ústní příklad s použitím projektoru ( Dodatek 2)
Na konci školní rok 11 žáků 7. ročníku prošlo normou na běh na 100 metrů. Byly zaznamenány následující výsledky:
Poté, co kluci uběhli vzdálenost, Petya přistoupil k učiteli a zeptal se, jaký byl jeho výsledek.
"Většina průměrný výsledek: 16,9 sekundy,“ odpověděl učitel
"Proč?" – překvapilo se Péťa. – Koneckonců, aritmetický průměr všech výsledků je přibližně 18,3 sekundy a běžel jsem o více než sekundu lépe. A obecně, Katyin výsledek (18,4) je mnohem blíže průměru než můj.“
"Váš výsledek je průměrný, protože pět lidí běželo lépe než vy a pět - horší." To znamená, že jste přímo uprostřed,“ řekl učitel. [2]
Napište algoritmus pro nalezení mediánu množiny čísel:
- Uspořádejte sadu čísel (vytvořte seřazenou řadu).
- Zároveň škrtejte „největší“ a „nejmenší“ čísla dané sady čísel, dokud nezbude jedno nebo dvě čísla.
- Pokud zbývá jedno číslo, pak je to medián.
- Pokud zbývají dvě čísla, pak medián bude aritmetický průměr dvou zbývajících čísel.
Vyzvěte studenty, aby samostatně formulovali definici mediánu množiny čísel, poté si přečetli dvě definice mediánu v učebnici (str. 50), poté se podívali na příklady 4 a 5 z učebnice (str. 50–52)
Komentář:
Upozorněte studenty na důležitou skutečnost: medián je prakticky necitlivý na výrazné odchylky jednotlivých krajních hodnot číselných sad. Ve statistice se tato vlastnost nazývá stabilita. Stabilita statistického ukazatele je velmi důležitý majetek, pojišťuje nás proti náhodným chybám a jednotlivým nespolehlivým datům.
4. Konsolidace studovaného materiálu.
Řešení čísel z učebnice pro odstavec 11 „Medián“.
Sada čísel: 1,3,5,7,9
=(1+3+5+7+9):5=25:5=5
Sada čísel: 1,3,5,7,14.
=(1+3+5+7+14):5=30:5=6
a) Sada čísel: 3,4,11,17,21
b) Sada čísel: 17,18,19,25,28
c) Sada čísel: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
Závěr: medián množiny čísel skládající se z lichého počtu členů se rovná číslu uprostřed.
a) Sada čísel: 2, 4, 8 , 9.
Me = (4+8):2=12:2=6
b) Sada čísel: 1,3, 5,7 ,8,9.
Me = (5+7):2=12:2=6
Medián množiny čísel obsahujících sudý počet členů se rovná polovině součtu dvou čísel uprostřed.
Student během čtvrtletí získal následující známky z algebry:
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Najděte průměr a medián tohoto souboru. [3]
Seřadíme sadu čísel: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5
Existuje pouze 10 čísel, abyste našli medián, musíte vzít dvě střední čísla a najít jejich poloviční součet.
Me = (5+5):2 = 5
Otázka pro studenty: Kdybyste byl učitel, jakou známku byste tomuto studentovi za čtvrtletí dali? Zdůvodněte svou odpověď.
Prezident společnosti dostává plat 300 000 rublů. tři jeho zástupci dostávají každý 150 000 rublů, čtyřicet zaměstnanců - každý 50 000 rublů. a plat uklízečky je 10 000 rublů. Najděte aritmetický průměr a medián platů ve společnosti. Kterou z těchto vlastností je pro prezidenta výhodnější využít pro reklamní účely?
= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (rub.)
Úkol 3. (Vyzvěte studenty, aby jej vyřešili sami, promítněte problém pomocí projektoru)
Tabulka ukazuje přibližný objem vody v krychlových metrech největších jezer a nádrží v Rusku. km. (Dodatek 3) [ 4 ]
A) Najděte průměrný objem vody v těchto nádržích (aritmetický průměr);
B) Najděte objem vody v průměrné velikosti nádrže (medián dat);
Otázka, která z těchto charakteristik – aritmetický průměr nebo medián – podle vašeho názoru lépe popisuje objem typické velké nádrže v Rusku? Vysvětli svoji odpověď.
a) 2459 metrů krychlových km
b) 60 cu. km
c) Medián, protože data obsahují hodnoty, které se velmi liší od všech ostatních.
Úkol 4. Ústně.
A) Kolik čísel je v množině, je-li její devátý člen jejím mediánem?
B) Kolik čísel je v množině, je-li její medián aritmetickým průměrem 7. a 8. členu?
C) V sadě sedmi čísel je největší číslo zvětšeno o 14. Změní to aritmetický průměr a medián?
D) Každé z čísel v množině se zvětší o 3. Co se stane s aritmetickým průměrem a mediánem?
Sladkosti v obchodě se prodávají na váhu. Aby zjistila, kolik bonbónů obsahuje jeden kilogram, rozhodla se Masha zjistit hmotnost jednoho bonbonu. Zvážila několik bonbónů a získala následující výsledky:
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
Obě charakteristiky jsou vhodné pro odhad hmotnosti jednoho bonbonu, protože se od sebe příliš neliší.
Pro charakterizaci statistických informací se tedy používá aritmetický průměr a medián. V mnoha případech nemusí mít jedna z charakteristik žádný smysluplný význam (např. mít informace o době dopravních nehod, má jen stěží smysl hovořit o aritmetickém průměru těchto údajů).
- Domácí úkol: odstavec 11, č. 3,4,9,11.
- Shrnutí lekce. Odraz.
Literatura:
- Yu.N. Tyurin a kol. „Teorie a statistika pravděpodobnosti“, nakladatelství MTsNMO, OJSC „Moskva učebnice“, Moskva 2008.
- E.A. Bunimovič, V.A. Bulychev „Základy statistiky a pravděpodobnosti“, DROFA, Moskva 2004.
- Noviny „Matematika“ č. 23, 2007.
- Demo verze zkušební práce o teorii pravděpodobnosti a statistice pro 7. ročník školní rok 2007/2008. rok.
