Bod M se nazývá vnitřní k určité množině G, pokud do této množiny patří spolu s nějakým jejím okolím. Bod N se nazývá hraničním bodem pro množinu G, jestliže v jakémkoli jeho úplném okolí existují body, které do G patří i do ní nepatří.

Množina všech hraničních bodů množiny G se nazývá hranice G.

Množina G bude nazývána oblastí, pokud jsou všechny její body vnitřní (otevřená množina). Množina G s přidruženou hranicí Г se nazývá uzavřená oblast. Oblast se nazývá ohraničená, pokud je celá obsažena v kruhu s dostatečně velkým poloměrem.

Nejmenší a největší hodnoty funkce v dané oblasti se nazývají absolutní extrémy funkce v této oblasti.

Weierstrassova věta: funkce spojitá v omezeném a uzavřená oblast, dosahuje v této oblasti svých minimálních a maximálních hodnot.

Následek. Absolutního extrému funkce v dané oblasti je dosaženo buď v kritickém bodě funkce patřící do této oblasti, nebo při K nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce v uzavřené oblasti G je nutné najít všechny její kritické body v této oblasti, vypočítejte hodnoty funkce v těchto bodech (včetně hraničních) a porovnáním získaných čísel vyberte největší a nejmenší z nich.

Příklad 4.1. Najděte absolutní extrém funkce (největší a nejmenší hodnoty)
v trojúhelníkové oblasti D s vrcholy
,
,
(Obr. 1).

;
,

to znamená, že bod O(0, 0) je kritický bod patřící do oblasti D. z(0,0)=0.

Pojďme prozkoumat hranici:

a) OA: y=0
z(x, 0)=0; z(0,0)=0; z(1; 0)=0,

b) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0,0)=0; z(0; 2)=0,

c) AB: ;
,

Příklad 4.2. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce v uzavřené oblasti ohraničené souřadnicovými osami a přímkou
.

1) Najděte kritické body ležící v oblasti:

,
,

.

Pojďme prozkoumat hranici. Protože hranice se skládá ze segmentu OA osy Ox, segmentu OB osy Oy a segmentu AB, poté určíme největší a nejmenší hodnoty funkce z na každém z těchto segmentů.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Mezi všemi nalezenými hodnotami vyberte z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Podmíněný extrém. Lagrangeova multiplikační metoda

Uvažujme problém specifický pro funkce více proměnných, kdy se jeho extrém nehledá přes celý definiční obor, ale nad množinou, která splňuje určitou podmínku.

Podívejme se na funkci
, argumenty A které splňují podmínku
, nazývané spojovací rovnice.

Tečka
se nazývá podmíněný maximální (minimální) bod, pokud existuje takové okolí tohoto bodu, které pro všechny body
z této čtvrti splňující podmínku
, nerovnost platí
nebo
.

Obrázek 2 ukazuje podmíněný maximální bod
. Je zřejmé, že to není bezpodmínečný krajní bod funkce
(na obr. 2 je to bod).
).

Nejjednodušší způsob, jak najít podmíněný extrém funkce dvou proměnných, je redukovat problém na nalezení extrému funkce jedné proměnné. Předpokládejme rovnici připojení
podařilo vyřešit s ohledem na jednu z proměnných, například vyjádřit přes :
. Dosazením výsledného výrazu do funkce dvou proměnných dostaneme

těch. funkce jedné proměnné. Jeho extrém bude podmíněným extrémem funkce
.

Příklad 5.1. Najděte maximální a minimální body funkce
vzhledem k tomu
.

Řešení. Vyjádřeme se z rovnice
variabilní přes proměnnou a nahradit výsledný výraz
do funkce . Dostaneme
nebo
. Tato funkce má jedinečné minimum at
. Odpovídající hodnota funkce
. Tím pádem,
– bod podmíněného extrému (minimum).

V uvažovaném příkladu spojovací rovnice
se ukázalo být lineární, takže bylo snadno vyřešeno s ohledem na jednu z proměnných. Ve složitějších případech to však nelze provést.

K nalezení podmíněného extrému v obecném případě se používá metoda Lagrangeova multiplikátoru. Uvažujme funkci tří proměnných. Tato funkce se nazývá Lagrangeova funkce a – Lagrangeův multiplikátor. Následující věta je pravdivá.

Teorém. Pokud bod
je podmíněný krajní bod funkce
vzhledem k tomu
, pak je tu hodnota takový ten bod
je krajní bod funkce
.

Tedy najít podmíněný extrém funkce
vzhledem k tomu
je potřeba najít řešení systému

P poslední z těchto rovnic se shoduje se spojovací rovnicí. První dvě rovnice soustavy lze přepsat do tvaru, tzn. v podmíněném extrémním bodě funkce gradienty
A
kolineární. Na Obr. Obrázek 3 ukazuje geometrický význam Lagrangeových podmínek. Čára
tečkovaná, rovná čára
funkcí
pevný. Z Obr. z toho vyplývá, že v podmíněném extrému je přímka funkční úrovně
se dotýká čáry
.

Příklad 5.2. Najděte extrémní body funkce
vzhledem k tomu
pomocí Lagrangeovy multiplikační metody.

Řešení. Skládáme Lagrangeovu funkci. Přirovnáním jeho parciálních derivací k nule získáme soustavu rovnic:

Její jediné řešení. Bodem podmíněného extrému tedy může být pouze bod (3; 1). Je snadné ověřit, že v tomto okamžiku funguje
má podmíněné minimum. Pokud je počet proměnných větší než dvě, lze uvažovat o několika vazebných rovnicích. V tomto případě tedy bude několik Lagrangeových multiplikátorů.

Problém nalezení podmíněného extrému se využívá při řešení takových ekonomických problémů, jako je nalezení optimální alokace zdrojů, volba optimálního portfolia cenných papírů atd.

Joseph Louis Lagrange se narodil v Turíně (Itálie) do italsko-francouzské rodiny. Studoval a poté učil na dělostřelecké škole. V roce 1759 byl na doporučení Eulera zvolen 23letý Lagrange členem Berlínské akademie věd. V roce 1766 se již stal jejím prezidentem. Frederick II pozval Lagrange do Berlína. Po smrti Fredericka II v roce 1786 se Lagrange přestěhoval do Paříže. Od roku 1722 byl členem pařížské akademie věd, roku 1795 byl jmenován členem úřadu pro zeměpisné délky a aktivně se podílel na tvorbě metrické soustavy měr. Kruh vědecký výzkum Lagrange byl neobvykle široký. Věnují se mechanice, geometrii, matematické analýze, algebře, teorii čísel a teoretické astronomii. Hlavním směrem Lagrangeova výzkumu byla prezentace široké škály jevů v mechanice z jednotného hlediska. Odvodil rovnici, která popisuje chování jakéhokoli systému pod vlivem sil. V oblasti astronomie udělal Lagrange hodně pro vyřešení problému stability Sluneční Soustava; prokázaly některé speciální případy stabilního pohybu, zejména u malých těles umístěných v takzvaných trojúhelníkových libračních bodech.

Lagrangeova metoda─ je metoda pro řešení omezeného optimalizačního problému, ve kterém jsou omezení zapsaná jako implicitní funkce kombinována s objektivní funkcí ve formě nové rovnice tzv. Lagrangian.

Uvažujme speciální případ společný úkol Ne lineární programování:

Vzhledem k systému nelineární rovnice (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Najděte nejmenší (nebo největší) hodnotu funkce (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

pokud neexistují žádné podmínky pro to, aby proměnné byly nezáporné a f(x1,x2,…,xn) a gi(x1,x2,…,xn) jsou funkce, které jsou spojité spolu se svými parciálními derivacemi.

Chcete-li najít řešení tohoto problému, můžete použít další metoda: 1. Zadejte množinu proměnných λ1, λ2,…, λm, nazývanou Lagrangeovy multiplikátory, sestavte Lagrangeovu funkci (3)

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. Najděte parciální derivace Lagrangeovy funkce vzhledem k proměnným xi a λi a přirovnejte je k nule.

3. Řešení soustavy rovnic, najděte body, ve kterých Objektivní funkce problém může mít extrém.

4. Mezi body, které jsou podezřelé, nejedná se o extrém, najděte ty, ve kterých je extrém dosaženo, a vypočítejte hodnoty funkce v těchto bodech .

4. Porovnejte získané hodnoty funkce f a vyberte tu nejlepší.

Podle plánu výroby potřebuje společnost vyrobit 180 produktů. Tyto výrobky lze vyrábět dvěma technologickými způsoby. Při výrobě x1 produktů metodou I jsou náklady 4*x1+x1^2 rublů a při výrobě x2 produktů metodou II jsou to 8*x2+x2^2 rublů. Určete, kolik produktů by se mělo vyrobit pomocí jednotlivých metod, aby celkové náklady na výrobu byly minimální.

Řešení: Matematickou formulací úlohy je určit nejnižší hodnota funkce dvou proměnných:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, za předpokladu, že x1 +x2 = 180.

Složme Lagrangeovu funkci:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Vypočítejme jeho parciální derivace vzhledem k x1, x2, λ a srovnejme je s 0:

Přesuneme λ na pravé strany prvních dvou rovnic a srovnáme jejich levé strany, dostaneme 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, neboli x1 − x2 = 2.

Řešením poslední rovnice spolu s rovnicí x1 + x2 = 180 zjistíme x1 = 91, x2 = 89, to znamená, že jsme dostali řešení, které splňuje podmínky:

Pojďme najít hodnotu účelové funkce f pro tyto hodnoty proměnných:

F(x1, x2) = 17278

Tento bod je podezřelý pro extrémní bod. Pomocí druhých parciálních derivací můžeme ukázat, že v bodě (91.89) má funkce f minimum.

Popis metody

kde .

Odůvodnění

Následující odůvodnění Lagrangeovy multiplikační metody není jejím přesným důkazem. Obsahuje heuristické uvažování, které pomáhá pochopit geometrický význam metoda.

Dvourozměrné pouzdro

Úrovňové linie a křivka.

Nechť je požadováno najít extrém nějaké funkce dvou proměnných za podmínky určené rovnicí . Budeme předpokládat, že všechny funkce jsou spojitě derivovatelné a tato rovnice definuje hladkou křivku S na povrchu. Pak se problém redukuje na nalezení extrému funkce F na křivce S. To budeme také předpokládat S neprochází body, kde gradient F změní na 0.

Nakreslete na rovinu čáry funkční úrovně F(tedy křivky). Z geometrických úvah je zřejmé, že extrém funkce F na křivce S mohou existovat pouze body, ve kterých tečny k S a odpovídající čára úrovně se shodují. Opravdu, pokud křivka S překročí linii hladiny F v bodě příčně (tj. v nějakém nenulovém úhlu), pak se pohybuje po křivce S z bodu se můžeme dostat na čáry úrovně odpovídající větší hodnotě F, a méně. Takový bod tedy nemůže být extrémním bodem.

Nezbytnou podmínkou extrému v našem případě tedy bude shoda tečen. Chcete-li to napsat v analytické formě, všimněte si, že je ekvivalentní rovnoběžnosti gradientů funkcí F a ψ v daném bodě, protože vektor gradientu je kolmý k tečně k linii hladiny. Tato podmínka je vyjádřena v následujícím tvaru:

kde λ je nenulové číslo, které je Lagrangeovým multiplikátorem.

Podívejme se nyní Lagrangeova funkce, v závislosti na a λ:

Nezbytnou podmínkou pro jeho extrém je, aby byl gradient roven nule. V souladu s pravidly rozlišování se zapisuje do formuláře

Získali jsme systém, jehož první dvě rovnice jsou ekvivalentní nezbytné podmínce lokální extrém(1) a třetí - do rovnice . Najdete to z něj. Navíc, protože jinak gradient funkce F mizí v bodě , což je v rozporu s našimi předpoklady. Je třeba poznamenat, že takto nalezené body nemusí být žádoucími body podmíněného extrému - uvažovaná podmínka je nutná, ale ne dostačující. Hledání podmíněného extrému pomocí pomocné funkce L a tvoří základ metody Lagrangeova multiplikátoru, která je zde aplikována pro nejjednodušší případ dvou proměnných. Ukazuje se, že výše uvedené úvahy lze zobecnit na případ libovolného počtu proměnných a rovnic, které specifikují podmínky.

Na základě Lagrangeovy multiplikační metody je možné některé dokázat dostatečné podmínky pro podmíněný extrém, vyžadující analýzu druhých derivací Lagrangeovy funkce.

aplikace

• Metoda Lagrangeova multiplikátoru se používá k řešení problémů nelineárního programování, které vznikají v mnoha oborech (například v ekonomii).
• Hlavní metoda pro řešení problému optimalizace kvality kódování audio a video dat při daném průměrném datovém toku (optimalizace zkreslení - angl. Optimalizace rychlosti zkreslení).

viz také

Odkazy

• Zorich V. A. Matematická analýza. Část 1. - vyd. 2., rev. a doplňkové - M.: FAZIS, 1997.

Nadace Wikimedia. 2010.

Podívejte se, co jsou „Lagrangeovy multiplikátory“ v jiných slovnících:

Lagrangeovy multiplikátory- další faktory, které transformují objektivní funkci extrémního problému konvexního programování (zejména lineárního programování) při jeho řešení jednou z klasických metod, metodou řešení multiplikátorů... ... Ekonomický a matematický slovník

Lagrangeovy multiplikátory- Další faktory, které transformují objektivní funkci extremního konvexního programovacího problému (zejména lineárního programování) při jeho řešení jednou z klasických metod, metodou řešení multiplikátorů (Lagrangeova metoda).... ... Technická příručka překladatele

Mechanika. 1) Lagrangeovy rovnice 1. druhu, diferenciální rovnice mechanického pohybu. soustav, které jsou uvedeny v průmětech na pravoúhlé souřadnicové osy a obsahují t. zv. Lagrangeovy multiplikátory. Získal J. Lagrange v roce 1788. Pro holonomní systém, ... ... Fyzická encyklopedie

Obyčejná mechanika diferenciální rovnice 2. řádu, popisující pohyby mechan. systémy pod vlivem sil, které na ně působí. L.u. založil J. Lag rozsah ve dvou formách: L. u. 1. druh, neboli rovnice v kartézských souřadnicích s... ... Matematická encyklopedie

1) v hydromechanice rovnice pohybu tekutiny (plynu) v Lagrangeových proměnných, což jsou souřadnice prostředí. Obdržel francouzštinu vědec J. Lagrange (cca 1780). Od L. u. zákon pohybu média je určen ve formě závislostí... ... Fyzická encyklopedie

Metoda Lagrangeova multiplikátoru, metoda pro nalezení podmíněného extrému funkce f(x), kde se vzhledem k m omezením i mění od jedné do m. Obsah 1 Popis metody ... Wikipedie

Funkce používaná při řešení úloh na podmíněném extrému funkcí mnoha proměnných a funkcionálů. S pomocí L. f. jsou zaznamenány potřebné podmínky optimalita v problémech na podmíněném extrému. V tomto případě není nutné vyjadřovat pouze proměnné... Matematická encyklopedie

Metoda řešení problémů na podmíněném extrému; L.M.M. spočívá v redukci těchto problémů na problémy na bezpodmínečném extrému pomocné funkce, tzv. Lagrangeovy funkce. Pro problém extrému funkce f (x1, x2,..., xn) pro... ...

Proměnné, s jejichž pomocí je konstruována Lagrangeova funkce při studiu problémů na podmíněném extrému. Použití lineárních metod a Lagrangeovy funkce nám umožňuje získat potřebné podmínky optimality v problémech zahrnujících podmíněný extrém jednotným způsobem... Matematická encyklopedie

1) v hydromechanice pohybové rovnice tekutého prostředí zapsané v Lagrangeových proměnných, což jsou souřadnice částic média. Od L. u. zákon pohybu částic prostředí je určen ve formě závislostí souřadnic na čase az nich... ... Velká sovětská encyklopedie

• Tutorial

Každý dobrý den. V tomto článku chci ukázat jeden z grafické metody konstrukce matematické modely pro dynamické systémy, který je tzv dluhopisový graf("vazba" - spojení, "graf" - graf). V ruské literatuře jsem našel popisy této metody pouze v Tomskyho učebnici Polytechnická univerzita, A.V. Voronin „MODELOVÁNÍ MECHATRONICKÝCH SYSTÉMŮ“ 2008 Ukažte také klasická metoda prostřednictvím Lagrangeovy rovnice 2. druhu.

Lagrangeova metoda

Nebudu popisovat teorii, s pár komentáři ukážu fáze výpočtů. Osobně je pro mě snazší učit se z příkladů, než číst teorii 10x. Zdálo se mi, že v ruské literatuře je vysvětlení této metody a vlastně matematiky nebo fyziky obecně velmi bohaté složité vzorce, což vyžaduje seriózní matematický základ. Při studiu Lagrangeovy metody (studuji na Polytechnické univerzitě v Turíně v Itálii) jsem studoval ruskou literaturu pro srovnání výpočtových metod a bylo pro mě obtížné sledovat průběh řešení této metody. I při vzpomínce na modelářské kurzy v Charkovském leteckém institutu bylo odvozování takových metod velmi těžkopádné a nikdo se nesnažil tuto problematiku pochopit. Toto jsem se rozhodl napsat, manuál pro konstrukci matematických modelů podle Lagrange, jak se ukázalo, není to vůbec těžké, stačí vědět, jak počítat derivace s ohledem na čas a parciální derivace. U složitějších modelů se přidávají i rotační matice, ale ani v nich není nic složitého.

Vlastnosti metod modelování:

• Newton-Euler: vektorové rovnice založené na dynamické rovnováze platnost A momenty
• Lagrange: skalární rovnice založené na stavových funkcích spojených s kinetickou a potenciálovou energií
• Bond Count: metoda založená na toku Napájení mezi prvky systému

Začněme s jednoduchý příklad. Hmota s pružinou a tlumičem. Ignorujeme gravitační sílu.

Obr. 1. Hmota s pružinou a tlumičem

V první řadě označujeme:

• počáteční systém souřadnice(NSK) nebo pevná sk R0(i0,j0,k0). Kde? Můžete ukázat prstem na oblohu, ale škubáním špiček neuronů v mozku prochází myšlenka umístit NSC na linii pohybu těla M1.
• souřadnicové systémy pro každé těleso s hmotou(máme M1 R1(i1,j1,k1)), orientace může být libovolná, ale proč si komplikovat život, nastavit si ji s minimálním rozdílem od NSC
• zobecněné souřadnice Qi(minimální počet proměnných, které mohou popsat pohyb), v tomto příkladu je jedna zobecněná souřadnice, pohyb pouze podél osy j

Obr. 2. Zadali jsme souřadnicové systémy a zobecněné souřadnice

Obr. 3. Poloha a rychlost tělesa M1

Potom najdeme kinetickou (C) a potenciální (P) energii a disipativní funkci (D) pro tlumič pomocí vzorců:

Obr. 4. Kompletní vzorec Kinetická energie

V našem příkladu není žádná rotace, druhá složka je 0.

Obr. 5. Výpočet kinetické, potenciální energie a disipativní funkce

Lagrangeova rovnice má následující tvar:

Obr. 6. Lagrangeova rovnice a Lagrangeova rovnice

Delta W_i Jedná se o virtuální práci vykonávanou aplikovanými silami a momenty. Pojďme ji najít:

Obr. 7. Výpočet virtuální práce

Kde delta q_1 virtuální pohyb.

Vše dosadíme do Lagrangeovy rovnice:

Obr. 8. Výsledný hmotový model s pružinou a tlumičem

Tady Lagrangeova metoda skončila. Jak vidíte, není to tak složité, ale stále je to velmi jednoduchý příklad, pro který by s největší pravděpodobností byla Newton-Eulerova metoda ještě jednodušší. Pro složitější systémy, kde bude několik těles vůči sobě natočených pod různými úhly, bude Lagrangeova metoda jednodušší.

Metoda dluhopisového grafu

Hned vám ukážu, jak vypadá model v bond-grafu na příkladu s hmotou, pružinou a tlumičem:

Obr. 9. Bond-graph hmoty s pružinou a tlumičem

Zde budete muset říci trochu teorie, která bude stačit k sestavení jednoduché modely. Pokud má někdo zájem, může si knihu přečíst ( Metodika dluhopisového grafu) nebo ( Voronin A.V. Modelování mechatronických systémů: tutorial. – Tomsk: Nakladatelství Tomské polytechnické univerzity, 2008).

Nejprve to určíme komplexní systémy skládají z několika domén. Například elektrický motor se skládá z elektrických a mechanických částí nebo domén.

dluhopisový graf založené na výměně moci mezi těmito doménami, subsystémy. Všimněte si, že výměna energie v jakékoli formě je vždy určena dvěma proměnnými ( proměnlivý výkon) s jehož pomocí můžeme studovat interakci různých subsystémů v rámci dynamického systému (viz tabulka).

Jak je vidět z tabulky, projev síly je všude téměř stejný. Celkem, Napájení- Tato práce " tok - f"zapnuto" úsilí - e».

Úsilí(Angličtina) snaha) v elektrické oblasti je to napětí (e), v mechanické oblasti je to síla (F) nebo točivý moment (T), v hydraulice je to tlak (p).

Tok(Angličtina) tok) v elektrické oblasti je to proud (i), v mechanické oblasti je to rychlost (v) popř úhlová rychlost(omega), v hydraulice – průtok kapaliny nebo průtok (Q).

Vezmeme-li tyto zápisy, získáme výraz pro sílu:

Obr. 10. Výkonový vzorec prostřednictvím výkonových proměnných

V jazyce bond-graph je spojení mezi dvěma subsystémy, které si vyměňují moc, představováno vazbou. pouto). Proto se tomu říká tato metoda dluhopisový graf nebo g raf-spojení, souvislý graf. Uvažujme blokové schéma zapojení v modelu s elektromotorem (toto ještě není bond-graf):

Obr. 11. Blokové schéma toku energie mezi doménami

Pokud máme zdroj napětí, pak podle toho generuje napětí a předává je motoru k vinutí (proto šipka směřuje k motoru), v závislosti na odporu vinutí se objevuje proud podle Ohmova zákona (směrovaný od motoru ke zdroji). Jedna proměnná je tedy vstupem do subsystému a druhá musí být výstup ze subsystému. Zde napětí ( snaha) – vstup, proud ( tok) - výstup.

Pokud použijete zdroj proudu, jak se změní diagram? Že jo. Proud bude směrován do motoru a napětí do zdroje. Poté proud ( tok) - vstupní napětí ( snaha) - výstup.

Podívejme se na příklad v mechanice. Síla působící na hmotu.

Obr. 12. Síla působící na hmotu

Blokové schéma bude následující:

Obr. 13. Blokové schéma

V tomto příkladu síla ( snaha) – vstupní proměnná pro hmotnost. (Síla působící na hmotu)
Podle druhého Newtonova zákona:

Hmotnost reaguje rychlostí:

V tomto příkladu, pokud jedna proměnná ( platnost - snaha) je vchod do mechanické domény, pak další výkonová proměnná ( Rychlost - tok) – automaticky se stane výstup.

Pro rozlišení, kde je vstup a kde výstup, se na konci šipky (spojení) mezi prvky používá svislá čára, tato čára se nazývá znamení kauzality nebo příčinná souvislost (kauzalita). Ukazuje se: aplikovaná síla je příčinou a rychlost je důsledkem. Tento znak je velmi důležitý pro správnou konstrukci modelu systému, protože kauzalita je důsledkem fyzické chování a výměna mocnin dvou subsystémů, proto volba umístění znaku kauzality nemůže být libovolná.

Obr. 14. Označení kauzality

Tato svislá čára ukazuje, na který subsystém působí síla ( snaha) a výsledkem je tok ( tok). V příkladu s hmotností by to bylo takto:

Obr. 14. Příčinný vztah pro sílu působící na hmotu

Ze šipky je zřejmé, že vstup pro hmotnost je - platnost a výstupem je Rychlost. To se děje tak, aby nedošlo k zahlcení diagramu šipkami a systematizaci konstrukce modelu.

další důležitý bod. Generalizovaný impuls(množství pohybu) a pohybující se(energetické proměnné).

Tabulka výkonových a energetických proměnných v různých oblastech

Výše uvedená tabulka představuje dvě další fyzikální veličiny používané v metoda dluhopisového grafu. Jmenují se generalizovaný impuls (R) A generalizovaný pohyb (q) nebo energetické proměnné a lze je získat integrací proměnných výkonu v čase:

Obr. 15. Vztah mezi proměnnými výkonu a energie

V elektrické doméně :

Na základě Faradayova zákona, Napětí na koncích vodiče se rovná derivaci magnetického toku tímto vodičem.

A Síla proudu - Fyzické množství, rovnající se poměru množství náboje Q procházejícího nějakým časem t průřez vodiči, na hodnotu tohoto časového úseku.

Mechanická doména:

Z druhého Newtonova zákona, Platnost– časová derivace impulsu

A odpovídajícím způsobem, Rychlost- časová derivace posunutí:

Pojďme si to shrnout:

Základní prvky

Všechny prvky v dynamických systémech lze rozdělit na dvoupólové a čtyřpólové komponenty.
Uvažujme bipolární komponenty:

Prameny
Existují zdroje jak úsilí, tak toku. Analogie v elektrické oblasti: zdroj úsilí – zdroj napětí, zdroj proudu – aktuální zdroj. Příčinné znaky pro zdroje by měly být pouze takové.

Obr. 16. Příčinné souvislosti a označení zdrojů

Komponenta R – disipativní prvek

Složka I – setrvačný prvek

Komponenta C – kapacitní prvek

Jak je vidět z obrázků, různé prvky téhož typ R,C,I popsané stejnými rovnicemi. Rozdíl je POUZE v elektrické kapacitě, stačí si to zapamatovat!

Čtyřpólové komponenty:

Podívejme se na dvě součásti: transformátor a gyrátor.

Poslední důležitou součástí metody bond-graph jsou spoje. Existují dva typy uzlů:

S komponentami je to tak.

Hlavní kroky pro stanovení kauzálních vztahů po sestrojení dluhopisového grafu:

1. Dejte kauzální souvislosti všem Zdroje
2. Projděte všechny uzly a po bodu 1 uveďte příčinné vztahy
3. Pro komponenty I přiřadit vstupní kauzální vztah (snaha je zahrnuta v této složce), pro komponenty C přiřadit výstupní kauzalitu (z této komponenty vychází úsilí)
4. Opakujte bod 2
5. Vložte příčinné souvislosti pro R komponenty

Tímto minikurz teorie končí. Nyní máme vše, co ke stavbě modelů potřebujeme.
Pojďme vyřešit pár příkladů. Začněme elektrickým obvodem, je lepší pochopit analogii sestrojení vazebného grafu.

Příklad 1

Začněme sestavovat bond-graf se zdrojem napětí. Stačí napsat Se a dát šipku.

Vidíte, všechno je jednoduché! Podívejme se dále, R a L jsou zapojeny do série, což znamená, že v nich teče stejný proud, pokud mluvíme ve výkonových proměnných - stejný tok. Který uzel má stejný tok? Správná odpověď je 1-uzel. Do 1-uzlu připojíme zdroj, odpor (složka - R) a indukčnost (složka - I).

Dále máme kapacitu a odpor paralelně, což znamená, že mají stejné napětí nebo sílu. 0-uzel je vhodný jako žádný jiný. K nulovému uzlu připojíme kapacitu (složka C) a odpor (složka R).

Také spojujeme uzly 1 a 0 k sobě. Směr šipek se volí libovolně, směr spojení ovlivňuje pouze znaménko v rovnicích.

Získáte následující graf připojení:

Nyní musíme navázat kauzální vztahy. Podle pokynů pro pořadí jejich umístění začneme se zdrojem.

1. Máme zdroj napětí (úsilí), takový zdroj má pouze jednu variantu kauzality - výstup. Pojďme si to nasadit.
2. Dále je tu komponenta I, podívejme se, co doporučují. Vložili jsme
3. Položili jsme to pro 1-uzel. Jíst
4. 0-uzel musí mít jeden vstupní a všechna výstupní kauzální spojení. Zatím máme jeden den volna. Hledáme komponenty C nebo I. Našli jsme to. Vložili jsme
5. Pojďme si vyjmenovat, co zbylo

To je vše. Bond graf je vytvořen. Hurá, soudruzi!

Zbývá jen napsat rovnice, které popisují naši soustavu. Chcete-li to provést, vytvořte tabulku se 3 sloupci. První bude obsahovat všechny komponenty systému, druhý bude obsahovat vstupní proměnnou pro každý prvek a třetí bude obsahovat výstupní proměnnou pro stejnou komponentu. Vstup a výstup jsme již definovali pomocí kauzálních vztahů. Takže by neměly být žádné problémy.

Pro snadnější zaznamenávání úrovní očíslujme každé připojení. Rovnice pro každý prvek vezmeme ze seznamu složek C, R, I.

Po sestavení tabulky definujeme stavové proměnné, v tomto příkladu jsou 2, p3 a q5. Dále si musíte zapsat stavové rovnice:

To je vše, model je připraven.

Příklad 2. Hned bych se chtěl omluvit za kvalitu fotky, hlavní je, že umíte číst

Vyřešme další příklad pro mechanický systém, stejný, který jsme řešili pomocí Lagrangeovy metody. Řešení ukážu bez komentáře. Podívejme se, která z těchto metod je jednodušší a jednodušší.

V Matbale byly sestaveny oba matematické modely se stejnými parametry, získané Lagrangeovou metodou a bond-graph. Výsledek je níže: Přidejte značky

Metoda pro určení podmíněného extrému začíná konstrukcí pomocné Lagrangeovy funkce, která v oblasti proveditelných řešení dosahuje maxima pro stejné hodnoty proměnných. X 1 , X 2 , ..., X n , což je stejné jako účelová funkce z . Nechť je vyřešen problém určení podmíněného extrému funkce z = f(X) pod omezeními φ i ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Složíme funkci

který se nazývá Lagrangeova funkce. X , - konstantní faktory ( Lagrangeovy multiplikátory). Všimněte si, že Lagrangeovým multiplikátorům lze přiřadit ekonomický význam. Li f(x 1 , X 2 , ..., X n ) - příjem v souladu s plánem X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) a funkce φ i (X 1 , X 2 , ..., X n ) - náklady i-tého zdroje odpovídající tomuto plánu, pak X , je cena (odhad) i-tého zdroje, charakterizující změnu extrémní hodnoty účelové funkce v závislosti na změně velikosti i-tého zdroje (mezní odhad). L(X) - funkce n+m proměnné (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Určení stacionárních bodů této funkce vede k řešení soustavy rovnic

To je snadné vidět . Tedy úkol najít podmíněný extrém funkce z = f(X) redukuje na nalezení lokálního extrému funkce L(X) . Pokud je nalezen stacionární bod, pak je otázka existence extrému v nejjednodušších případech vyřešena na základě dostatečných podmínek pro extrém - studium znaménka druhého diferenciálu d 2 L(X) ve stacionárním bodě za předpokladu, že se proměnná zvyšuje Δx i - spojeno vztahy

získané derivováním vazebných rovnic.

Řešení soustavy nelineárních rovnic o dvou neznámých pomocí nástroje Najít řešení

Nastavení Hledání řešení umožňuje najít řešení systému nelineárních rovnic se dvěma neznámými:

Kde
- nelineární funkce proměnných X A y ,
- libovolná konstanta.

Je známo, že pár ( X , y ) je řešením soustavy rovnic (10) právě tehdy, když je řešením následující rovnice o dvou neznámých:

S na druhé straně řešením systému (10) jsou průsečíky dvou křivek: F ] (X, y) = C A F 2 (x, y) = C 2 na povrchu XOY.

To vede k metodě hledání kořenů systému. nelineární rovnice:

Určete (alespoň přibližně) interval existence řešení soustavy rovnic (10) nebo rovnice (11). Zde je třeba vzít v úvahu typ rovnic obsažených v soustavě, definiční obor každé jejich rovnice atd. Někdy se používá volba počáteční aproximace řešení;

Sepište do tabulky řešení rovnice (11) pro proměnné x a y na zvoleném intervalu nebo sestrojte grafy funkcí F 1 (X, y) = C a F 2 (x,y) = C 2 (systém(10)).

Lokalizujte předpokládané kořeny soustavy rovnic - najděte několik minimálních hodnot z tabulky tabulkové kořeny rovnice (11) nebo určete průsečíky křivek zahrnutých v soustavě (10).

4. Najděte kořeny soustavy rovnic (10) pomocí doplňku Hledání řešení.