N experimentů se provádí podle Bernoulliho schématu s pravděpodobností úspěchu p. Nechť X je počet úspěchů. Náhodná veličina X má rozsah hodnot (0,1,2,...,n). Pravděpodobnosti těchto hodnot lze zjistit pomocí vzorce: , kde C m n je počet kombinací n až m. 
Distribuční série vypadá takto:
| X | 0 | 1 | ... | m | n |
| p | (1-p)n | np(1-p) n-1 | ... | Cmnpm(l-p)n-m | p n |
Účel služby. K vykreslení se používá online kalkulačka binomické rozdělení řad a výpočet všech charakteristik řady: matematické očekávání, rozptyl a směrodatná odchylka. Protokol s rozhodnutím je vyhotoven ve formátu Word (příklad).
Video návod
Bernoulli testovací okruh
Numerické charakteristiky náhodné veličiny rozdělené podle binomického zákona
Matematické očekávání náhodné veličiny X rozdělené podle binomického zákona.M[X]=np
Rozptyl náhodné veličiny X rozdělené podle binomického zákona.
D[X]=npq
Příklad č. 1. Výrobek může být vadný s pravděpodobností p = 0,3 každý. Z šarže jsou vybrány tři produkty. X je počet vadných dílů z vybraných. Najít (zadejte všechny odpovědi do formuláře desetinná místa): a) distribuční řada X; b) distribuční funkce F(x) .
Řešení. Náhodná proměnná X má rozsah hodnot (0,1,2,3).
Pojďme najít distribuční řadu X.
P3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44
P3(3) = pn = 0,33 = 0,027
| x i | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p i | 0.34 | 0.44 | 0.19 | 0.027 |
Matematické očekávání najdeme pomocí vzorce M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Zkouška: m = ∑x i p i.
Očekávání M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Rozptyl zjistíme pomocí vzorce D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Zkouška: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Rozptyl D[X].
D[X] = 0 2 * 0,34 + 1 2 * 0,44 + 2 2 * 0,19 + 3 2 * 0,027 - 0,9 2 = 0,63
Směrodatná odchylka σ(x).
Distribuční funkce F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1
- Pravděpodobnost, že k události dojde v jedné studii, je 0,6. Provádí se 5 testů. Sestavte zákon rozdělení náhodné veličiny X - počet výskytů události.
- Sestavte distribuční zákon pro náhodnou veličinu X počet zásahů čtyřmi ranami, je-li pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou 0,8.
- Mince se hází 7krát. Nalézt očekávaná hodnota a rozptyl v počtu vzhledů erbu. Poznámka: zde je pravděpodobnost výskytu erbu p = 1/2 (protože mince má dvě strany).
Příklad č. 2. Pravděpodobnost, že k události dojde v jedné studii, je 0,6. Pomocí Bernoulliho věty určete počet nezávislých pokusů, z nichž vycházeje pravděpodobnost odchylky frekvence události od její pravděpodobnosti podle absolutní hodnota méně než 0,1, více než 0,97. (Odpověď: 801)
Příklad č. 3. Studenti absolvují test v hodině informatiky. Práce se skládá ze tří úkolů. Abyste získali dobrou známku, musíte najít správné odpovědi alespoň na dva problémy. U každého problému je uvedeno 5 odpovědí, z nichž pouze jedna je správná. Žák vybere odpověď náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že dostane dobrou známku?
Řešení. Pravděpodobnost správné odpovědi na otázku: p=1/5=0,2; n=3.
Tyto údaje je nutné zadat do kalkulačky. Odpověď viz P(2)+P(3).
Příklad č. 4. Pravděpodobnost, že střelec zasáhne cíl jednou ranou, je (m+n)/(m+n+2) . Je vypáleno n+4 ran. Najděte pravděpodobnost, že nemine více než dvakrát.
Poznámka. Pravděpodobnost, že nemine více než dvakrát, zahrnuje následující události: nikdy netrefí P(4), jednou netrefí P(3), dvakrát netrefí P(2).
Příklad č. 5. Určete rozdělení pravděpodobnosti počtu neúspěšných letadel, pokud vzlétnou 4 letadla. Pravděpodobnost bezporuchového provozu letadla P = 0,99. Počet letadel, která selhala při každém letu, se rozdělí podle binomického zákona.
Stručná teorie
Teorie pravděpodobnosti se zabývá experimenty, které lze (alespoň teoreticky) neomezeně mnohokrát opakovat. Nechť se nějaký experiment jednou zopakuje a výsledky každého opakování nezávisí na výsledcích předchozích opakování. Takové série opakování se nazývají nezávislé zkoušky. Zvláštním případem takových testů jsou nezávislé Bernoulliho testy, které se vyznačují dvěma podmínkami:
1) výsledkem každého testu je jeden ze dvou možných výsledků, nazývaných „úspěch“ nebo „neúspěch“.
2) pravděpodobnost „úspěchu“ v každém následujícím testu nezávisí na výsledcích předchozích testů a zůstává konstantní.
Bernoulliho věta
Pokud se provede série nezávislých Bernoulliho pokusů, z nichž každý se objeví s pravděpodobností „úspěch“, pak pravděpodobnost, že se „úspěch“ objeví právě jednou v pokusech, je vyjádřena vzorcem:
kde je pravděpodobnost „selhání“.
– počet kombinací prvků podle (viz základní kombinatorické vzorce)
Tento vzorec se nazývá Bernoulliho vzorec.
Bernoulliho vzorec umožňuje zbavit se velkého množství výpočtů – sčítání a násobení pravděpodobností – s dostatečně velkým počtem testů.
Bernoulliho testovací schéma se také nazývá binomické schéma a odpovídající pravděpodobnosti se nazývají binomické, což je spojeno s použitím binomických koeficientů.
Rozdělení podle Bernoulliho schématu umožňuje zejména .
Pokud počet testů n je velký, pak použijte:
Příklad řešení problému
Úkol
Klíčivost některých rostlinných semen je 70%. Jaká je pravděpodobnost, že z 10 zasetých semen: 8, alespoň 8; aspoň 8?
Řešení problému
Použijme Bernoulliho vzorec:
V našem případě
Nechť se stane, že z 10 semen vyklíčí 8:
Nechť je událost alespoň 8 (to znamená 8, 9 nebo 10)
Nechte událost vzrůst alespoň o 8 (to znamená 8, 9 nebo 10)
Odpovědět
Průměrný náklady na řešení zkušební práce 700 - 1200 rublů (ale ne méně než 300 rublů za celou objednávku). Cenu do značné míry ovlivňuje naléhavost rozhodnutí (od jednoho dne až po několik hodin). Náklady na online pomoc ke zkoušce / testu jsou od 1 000 rublů. za vyřešení tiketu.
Požadavek můžete zanechat přímo v chatu poté, co jste předem zaslali podmínky úkolů a informovali vás o termínech řešení, které potřebujete. Doba odezvy je několik minut.
Definice opakovaných nezávislých testů. Bernoulliho vzorce pro výpočet pravděpodobnosti a nejpravděpodobnějšího čísla. Asymptotické vzorce pro Bernoulliho formuli (lokální a integrální, Laplaceovy věty). Použití integrální věty. Poissonův vzorec pro nepravděpodobné náhodné události.
Opakované nezávislé testy
V praxi se musíme vypořádat s úlohami, které mohou být reprezentovány formou opakovaně opakovaných testů, v jejichž důsledku se událost A může nebo nemusí objevit. V tomto případě není výsledkem zájmu výsledek každého jednotlivého testu, ale celkový výskyty události A v důsledku určitého počtu pokusů. V takových úlohách musíte být schopni určit pravděpodobnost libovolného počtu m výskytů události A jako výsledek n pokusů. Uvažujme případ, kdy jsou pokusy nezávislé a pravděpodobnost výskytu jevu A v každém pokusu je konstantní. Takové testy se nazývají opakované nezávislé.
Příkladem nezávislého testování je kontrola vhodnosti produktů odebraných z několika šarží. Pokud je procento vad v těchto šaržích stejné, pak pravděpodobnost, že vybraný výrobek bude vadný, je v každém případě konstantní číslo.
Bernoulliho vzorec
Použijme koncept složitá událost, což znamená kombinaci několika elementárních událostí sestávajících z objevení se nebo neexistence události A v i-tém pokusu. Nechť se provede n nezávislých pokusů, v každém z nich se událost A může objevit s pravděpodobností p nebo se neobjeví s pravděpodobností q=1-p. Uvažujme událost B_m, což znamená, že událost A nastane přesně mkrát v těchto n pokusech, a proto nenastane přesně (n-m)krát. Označme A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) výskyt události A, a \overline(A)_i - nevyskytnutí události A v i-tém pokusu. Vzhledem ke stálosti testovacích podmínek máme
Událost A se může objevit mkrát v různých sekvencích nebo kombinacích a střídat se s opačná událost\overline(A) . Počet možných kombinací tohoto druhu je roven počtu kombinací n prvků na m, tj. C_n^m. V důsledku toho může být událost B_m reprezentována jako součet komplexních událostí, které jsou navzájem nekonzistentní, a počet členů se rovná C_n^m:
B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),
kde každý součin obsahuje událost A m krát a \overline(A) - (n-m) krát.
Pravděpodobnost každé komplexní události obsažené ve vzorci (3.1) je podle věty o násobení pravděpodobností pro nezávislé události rovna p^(m)q^(n-m) . Protože celkový počet takových událostí je roven C_n^m, pak pomocí věty o sčítání pravděpodobností pro neslučitelné události získáme pravděpodobnost jevu B_m (označíme ji P_(m,n))
P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(nebo)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}
Zavolá se vzorec (3.2). Bernoulliho vzorec, a opakované pokusy, které splňují podmínku nezávislosti a stálosti pravděpodobností výskytu jevu A v každém z nich, se nazývají Bernoulliho testy nebo Bernoulliho schéma.
Příklad 1. Pravděpodobnost překročení toleranční zóny při zpracování dílů na soustruhu je 0,07. Určete pravděpodobnost, že z pěti náhodně vybraných dílů během směny má jeden rozměry průměrů, které neodpovídají zadané toleranci.
Řešení. Stav problému splňuje požadavky Bernoulliho schématu. Proto za předpokladu n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, pomocí vzorce (3.2) získáme
P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\přibližně 0,\!262.
Příklad 2. Pozorování zjistila, že v určité oblasti je v září 12 deštivých dnů. Jaká je pravděpodobnost, že z 8 náhodně vybraných dní v tomto měsíci budou 3 dny deštivé?
Řešení.
P_(3;8)=C_8^3(\left(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}
Nejpravděpodobnější počet výskytů události
Nejpravděpodobnější datum výskytu jev A v n nezávislých pokusech se nazývá takové číslo m_0, pro které pravděpodobnost odpovídající tomuto číslu převyšuje nebo alespoň není menší než pravděpodobnost každého z dalších možných čísel výskytu jevu A. Pro určení nejpravděpodobnějšího počtu není nutné počítat pravděpodobnosti možného počtu výskytů jevu, stačí znát počet pokusů n a pravděpodobnost výskytu jevu A v samostatném pokusu. Označme P_(m_0,n) pravděpodobnost odpovídající nejpravděpodobnějšímu číslu m_0. Pomocí vzorce (3.2) zapíšeme
P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}
Podle definice nejpravděpodobnějšího čísla nesmí pravděpodobnosti výskytu jevu A, respektive m_0+1 a m_0-1 krát, minimálně překročit pravděpodobnost P_(m_0,n), tzn.
P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))
Dosazením hodnoty P_(m_0,n) a pravděpodobnostních výrazů P_(m_0+1,n) a P_(m_0-1,n) do nerovností získáme
Vyřešením těchto nerovností pro m_0 získáme
M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)
Spojením posledních nerovností dostaneme dvojitou nerovnost, která slouží k určení nejpravděpodobnějšího čísla:
Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).
Jelikož délka intervalu definovaného nerovností (3.4) je rovna jedné, tzn.
(np+p)-(np-q)=p+q=1,
a událost může nastat v n pokusech pouze celočíselný počet opakování, pak je třeba mít na paměti, že:
1) pokud je np-q celé číslo, pak existují dvě hodnoty nejpravděpodobnějšího čísla, a to: m_0=np-q a m"_0=np-q+1=np+p ;
2) je-li np-q zlomkové číslo, pak existuje jedno nejpravděpodobnější číslo, a to: jediné celé číslo obsažené mezi zlomková čísla, získané z nerovnosti (3.4);
3) je-li np celé číslo, pak existuje jedno nejpravděpodobnější číslo, konkrétně: m_0=np.
Pro velké hodnoty n je nepohodlné používat vzorec (3.3) pro výpočet pravděpodobnosti odpovídající nejpravděpodobnějšímu číslu. Pokud dosadíme Stirlingův vzorec do rovnosti (3.3)
N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),
platí pro dostatečně velké n a vezmeme si nejpravděpodobnější číslo m_0=np, získáme vzorec pro přibližný výpočet pravděpodobnosti odpovídající nejpravděpodobnějšímu číslu:
P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).
Příklad 2. Je známo, že \frac(1)(15) část produktů dodávaných závodem do obchodní základny nesplňuje všechny požadavky normy. Na základnu byla doručena dávka 250 položek. Najděte nejpravděpodobnější počet výrobků, které splňují požadavky normy a vypočítejte pravděpodobnost, že tato šarže bude obsahovat nejpravděpodobnější počet výrobků.
Řešení. Podle stavu n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Podle nerovnosti (3.4) máme
250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)
kde 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Následně nejpravděpodobnější počet výrobků, které splňují požadavky normy v dávce 250 ks. rovná se 234. Dosazením dat do vzorce (3.5) vypočítáme pravděpodobnost, že budeme mít v dávce nejpravděpodobnější počet produktů:
P_(234,250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\cca0,\!101
Místní Laplaceova věta
Je velmi obtížné použít Bernoulliho vzorec pro velké hodnoty n. Například pokud n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, pak pro zjištění pravděpodobnosti P_(30,50) je nutné vypočítat hodnotu výrazu
P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}
Přirozeně vyvstává otázka: je možné vypočítat pravděpodobnost úroku bez použití Bernoulliho vzorce? Ukazuje se, že je to možné. Laplaceův lokální teorém dává asymptotický vzorec, který nám umožňuje přibližně najít pravděpodobnost, že události nastanou přesně mkrát v n pokusech, pokud je počet pokusů dostatečně velký.
Věta 3.1. Pokud je pravděpodobnost p výskytu jevu A v každém pokusu konstantní a liší se od nuly a jedničky, pak pravděpodobnost P_(m,n), že se jev A objeví přesně mkrát v n pokusech, je přibližně stejná (čím přesnější, větší n) k hodnotě funkce
Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) na .
Existují tabulky, které obsahují hodnoty funkcí \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), odpovídající kladným hodnotám argumentu x. Pro záporné hodnoty argumentu se použijí stejné tabulky, protože funkce \varphi(x) je sudá, tzn. \varphi(-x)=\varphi(x).
Takže přibližně pravděpodobnost, že se událost A objeví přesně mkrát v n pokusech, je
P_(m,n)\přibližně\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Kde x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).
Příklad 3. Najděte pravděpodobnost, že událost A nastane přesně 80krát ve 400 pokusech, pokud je pravděpodobnost výskytu události A v každém pokusu 0,2.
Řešení. Podle stavu n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Použijme asymptotický Laplaceův vzorec:
P_(80 400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (X).
Vypočítejme hodnotu x určenou daty úlohy:
X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.
Podle tabulky adj. 1 najdeme \varphi(0)=0,\!3989. Požadovaná pravděpodobnost
P_(80 100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.
Bernoulliho vzorec vede k přibližně stejnému výsledku (výpočty jsou vynechány kvůli jejich těžkopádnosti):
P_(80,100)=0,\!0498.
Laplaceova integrální věta
Předpokládejme, že je provedeno n nezávislých pokusů, z nichž je pravděpodobnost výskytu jevu A konstantní a rovna p. Je potřeba vypočítat pravděpodobnost P_((m_1,m_2),n), že událost A se objeví v n pokusech alespoň m_1 a maximálně m_2krát (pro stručnost budeme říkat „od m_1 do m_2krát“). To lze provést pomocí Laplaceovy integrální věty.
Věta 3.2. Pokud je pravděpodobnost p výskytu jevu A v každém pokusu konstantní a liší se od nuly a jedničky, pak přibližně pravděpodobnost P_((m_1,m_2),n), že se jev A objeví v pokusech m_1 až m_2krát,
P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, kde .
Při řešení problémů, které vyžadují aplikaci Laplaceova integrálního teorému, se používají speciální tabulky, od r neurčitý integrál \int(e^(-x^2/2)\,dx) nevyjádřeno prostřednictvím elementární funkce. Integrální stůl \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz uvedeno v příloze. 2, kde hodnoty funkce \Phi(x) jsou uvedeny pro kladné hodnoty x, pro x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 můžeme vzít \Phi(x)=0,\!5 .
Takže přibližně pravděpodobnost, že se událost A objeví v n nezávislých pokusech od m_1 do m_2krát, je
P_((m_1,m_2),n)\přibližně\Phi(x"")-\Phi(x"), Kde x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).
Příklad 4. Pravděpodobnost, že díl je vyroben v rozporu s normami, je p=0,\!2. Najděte pravděpodobnost, že mezi 400 náhodně vybranými díly bude 70 až 100 nestandardních dílů.
Řešení. Podle stavu p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Použijme Laplaceovu integrální větu:
P_((70,100),400)\přibližně\Phi(x"")-\Phi(x").
Pojďme vypočítat limity integrace:
dolní
X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,
horní
X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,
Tím pádem
P_((70,100),400)\přibližně\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .
Podle tabulky adj. 2 najdeme
\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.
Požadovaná pravděpodobnost
P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.
Aplikace Laplaceovy integrální věty
Pokud se číslo m (počet výskytů události A v n nezávislých pokusech) změní z m_1 na m_2, pak zlomek \frac(m-np)(\sqrt(npq)) se bude lišit od \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" před \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Proto lze Laplaceovu integrální větu napsat také takto:
P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.
Položme si za úkol najít pravděpodobnost, že odchylka relativní četnosti \frac(m)(n) od konstantní pravděpodobnosti p v absolutní hodnotě nepřekročí dané číslo \varepsilon>0. Jinými slovy, najdeme pravděpodobnost nerovnosti \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, což je stejné -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Tuto pravděpodobnost budeme označovat takto: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Vezmeme-li v úvahu vzorec (3.6) pro tuto pravděpodobnost, dostaneme
P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\že jo).
Příklad 5. Pravděpodobnost, že součástka je nestandardní, je p=0,\!1. Najděte pravděpodobnost, že mezi náhodně vybranými 400 díly se relativní četnost výskytu nestandardních dílů bude odchylovat od pravděpodobnosti p=0,\!1 v absolutní hodnotě nejvýše o 0,03.
Řešení. Podle stavu n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Musíme najít pravděpodobnost P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). Pomocí vzorce (3.7) získáme
P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)
Podle tabulky adj. 2 najdeme \Phi(2)=0,\!4772 , tedy 2\Phi(2)=0,\!9544 . Požadovaná pravděpodobnost je tedy přibližně 0,9544. Význam výsledku je následující: odeberete-li dostatečně velký počet vzorků po 400 dílech, pak u přibližně 95,44 % těchto vzorků bude odchylka relativní četnosti od konstantní pravděpodobnosti p=0.\!1 v absolutních hodnotách. hodnota nepřesáhne 0,03.
Poissonův vzorec pro nepravděpodobné události
Pokud se pravděpodobnost p výskytu události v samostatném pokusu blíží nule, pak i při velkém počtu pokusů n, ale s malá hodnota součinu np se hodnoty pravděpodobnosti P_(m,n) získané pomocí Laplaceova vzorce ukazují jako nedostatečně přesné a je potřeba jiný přibližný vzorec.
Věta 3.3. Pokud je pravděpodobnost p výskytu jevu A v každém pokusu konstantní, ale malá, počet nezávislých pokusů n je dostatečně velký, ale hodnota součinu np=\lambda zůstává malá (ne více než deset), pak pravděpodobnost že událost A nastane mkrát v těchto pokusech je
P_(m,n)\přibližně\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}
Pro zjednodušení výpočtů pomocí Poissonova vzorce byla sestavena tabulka hodnot Poissonových funkcí \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(viz příloha 3).
Příklad 6. Nechť pravděpodobnost výroby nestandardního dílu je 0,004. Najděte pravděpodobnost, že mezi 1000 díly bude 5 nestandardních.
Řešení. Tady n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Všechna tři čísla splňují požadavky věty 3.3, proto k nalezení pravděpodobnosti požadované události P_(5,1000) použijeme Poissonův vzorec. Z tabulky hodnot Poissonovy funkce (příloha 3) s \lambda=4;m=5 získáme P_(5,1000)\cca 0,\!1563.
Najděte pravděpodobnost stejné události pomocí Laplaceova vzorce. K tomu nejprve vypočítáme hodnotu x odpovídající m=5:
X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\cca0 ,\!501.
Proto podle Laplaceova vzorce požadovaná pravděpodobnost
P_(5,1000)\approx\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\cca0,\ !1763
a podle Bernoulliho vzorce je jeho přesná hodnota
P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\approx0,\!1552.
Tím pádem, relativní chyba výpočet pravděpodobností P_(5,1000) pomocí přibližného Laplaceova vzorce je
\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\cca0,\!196, nebo 13,\!6\%
a podle Poissonova vzorce -
\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\cca0,\!007, nebo 0,\!7\%
Tedy mnohonásobně méně.
Přejděte na další sekci
Jednorozměrný náhodné proměnné
Javascript je ve vašem prohlížeči zakázán.
Chcete-li provádět výpočty, musíte povolit ovládací prvky ActiveX!
FEDERÁLNÍ AGENTURA PRO VZDĚLÁVÁNÍ
Státní vzdělávací instituce
vyšší odborné vzdělání
"MATI" - RUSKÁ STÁTNÍ TECHNOLOGICKÁ UNIVERZITA POJMENOVANÁ PO K.E. TSIOLKOVSKÝ
Katedra „systémového modelování a informačních technologií“
Opakování testů. Bernoulliho okruh
Pokyny pro praktická cvičení
v oboru "Vyšší matematika"
Sestavil: Egorova Yu.B.
Mamonov I.M.
Moskva 2006 úvod
Pokyny jsou určeny pro prezenční a večerní studenty fakulty č. 14, obory 150601, 160301, 230102. Pokyny zvýrazňují základní pojmy tématu a určují posloupnost studia látky. Velké množství probíraných příkladů pomáhá při praktickém rozvíjení tématu. Pokyny slouží jako metodický základ pro praktické třídy a plnění jednotlivých úkolů.
BERNOULLIHO SCHÉMA. BERNOULLI FORMULE
Bernoulliho schéma- schéma opakovaných nezávislých testů, při kterých se nějaká event A lze opakovat mnohokrát s konstantní pravděpodobností R (A)= R .
Příklady testů prováděných pomocí Bernoulliho schématu: opakované házení mincí nebo kostkou, výroba dávky dílů, střelba na cíl atd.
Teorém. Pokud pravděpodobnost výskytu události A v každém testu je konstantní a stejný R, pak pravděpodobnost, že událost A přijde m jednou za každý n testy (bez ohledu na to, v jakém pořadí), lze určit podle Bernoulliho vzorce:
Kde q = 1 – p.
PŘÍKLAD 1. Pravděpodobnost, že spotřeba elektřiny během jednoho dne nepřekročí stanovenou normu, se rovná p= 0,75. Najděte pravděpodobnost, že v následujících 6 dnech spotřeba elektřiny po dobu 4 dnů nepřekročí normu.
ŘEŠENÍ. Pravděpodobnost běžné spotřeby elektřiny pro každý ze 6 dnů je konstantní a rovná se R= 0,75. V důsledku toho je pravděpodobnost nadměrné spotřeby energie každý den také konstantní a stejná q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Požadovaná pravděpodobnost podle Bernoulliho vzorce je rovna:
PŘÍKLAD 2. Střelec vypálí tři rány na cíl. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém výstřelu se rovná p= 0,3. Najděte pravděpodobnost, že: a) je zasažen jeden cíl; b) všechny tři cíle; c) ani jeden cíl; d) alespoň jeden cíl; e) méně než dva cíle.
ŘEŠENÍ. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém výstřelu je konstantní a rovná se R=0,75. Pravděpodobnost neúspěchu je tedy rovna q = 1 R= 1 0,3 = 0,7. Celkový počet provedených experimentů n=3.
a) Pravděpodobnost zasažení jednoho terče třemi ranami je rovna:
b) Pravděpodobnost zasažení všech tří terčů třemi ranami je rovna:
c) Pravděpodobnost tří netrefení se třemi ranami je rovna:
d) Pravděpodobnost zasažení alespoň jednoho terče třemi ranami je rovna:
e) Pravděpodobnost zasažení méně než dvou cílů, to znamená buď jednoho nebo žádného:
Lokální a integrální Moivre-Laplaceovy věty
Pokud se provádí velké množství testů, pak se výpočet pravděpodobností pomocí Bernoulliho vzorce stává technicky obtížným, protože vzorec vyžaduje operace s velkými čísly. Proto existují jednodušší přibližné vzorce pro výpočet pravděpodobností obecně n. Tyto vzorce se nazývají asymptotické a jsou určeny Poissonovou větou, lokální a integrální větou Laplaceovou.
Lokální Moivre-Laplaceova věta. A A se stane m jednou za každý n n (n →∞ ), se přibližně rovná:
kde je funkce 
a argument 
Více n, tím přesnější je výpočet pravděpodobností. Proto je vhodné aplikovat Moivre-Laplaceovu větu, když npq 20.
F ( X ) byly sestaveny speciální tabulky (viz příloha 1). Při používání tabulky je třeba mít na paměti vlastnosti funkce f(x) :
Funkce f(x) je sudý F( x)=f(x) .
Na X ∞ funkce f(x) 0. V praxi můžeme předpokládat, že již při X>4 funkce f(x) ≈0.
PŘÍKLAD 3. Najděte pravděpodobnost, že událost A nastane 80krát ze 400 pokusů, pokud je pravděpodobnost, že k události dojde A v každém pokusu je stejný p= 0,2.
ŘEŠENÍ. Podle stavu n=400, m=80, p=0,2, q= 0,8. Proto:
Pomocí tabulky určíme hodnotu funkce F (0)=0,3989.
Moivre-Laplaceova integrální věta. Pokud pravděpodobnost výskytu události A v každém pokusu je konstantní a liší se od 0 a 1, pak pravděpodobnost, že událost A pochází z m 1 před m 2 jednou za každý n testy s dostatečně velkým počtem n (n →∞ ), se přibližně rovná:
Kde 
integrál nebo Laplaceova funkce, 
Chcete-li najít hodnoty funkce F( X ) Byly sestaveny speciální tabulky (viz například příloha 2). Při používání tabulky je třeba mít na paměti vlastnosti Laplaceovy funkce Ф(x) :
Funkce Ф(x) je lichý F( x)= Ф(x) .
Na X ∞ funkce Ф(x) 0,5. V praxi můžeme předpokládat, že již při X>5 funkce Ф(x) ≈0,5.
F (0)=0.
PŘÍKLAD 4. Pravděpodobnost, že díl neprošel kontrolou kvality, je 0,2. Najděte pravděpodobnost, že mezi 400 díly bude 70 až 100 netestovaných dílů.
ŘEŠENÍ. Podle stavu n=400, m 1 =70, m 2 =100, p=0,2, q= 0,8. Proto:
Pomocí tabulky, která ukazuje hodnoty Laplaceovy funkce, určíme:
Ф(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; Ф(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
