Důležitý předpoklad kvality stavby regresní model podle OLS je nezávislost hodnot náhodných odchylek na hodnotách odchylek ve všech ostatních pozorováních. Absence závislosti zaručuje absenci korelace mezi jakýmikoli odchylkami, tzn. 
a zejména mezi sousedními odchylkami 
.
Autokorelace (sériová korelace) zbytky je definována jako korelace mezi sousedními hodnotami náhodných odchylek v čase (časová řada) nebo prostoru (průřezová data). Obvykle se vyskytuje v časových řadách a velmi zřídka v prostorových datech.
Možný následující případy :
Tyto případy mohou naznačovat příležitost zlepšit rovnici odhadem nového nelineárního vzorce nebo začleněním nové vysvětlující proměnné.
V ekonomických problémech je pozitivní autokorelace mnohem častější než negativní autokorelace.
Pokud je povaha odchylek náhodná, pak můžeme předpokládat, že v polovině případů se znaménka sousedních odchylek shodují a v polovině jsou odlišné.
Autokorelace v reziduích může být způsobena několika důvody různé povahy.
1. Může souviset se zdrojovými daty a způsobena přítomností chyb měření v hodnotách výsledné charakteristiky.
2. V některých případech může být autokorelace důsledkem nesprávné specifikace modelu. Model nemusí obsahovat faktor, který má významný vliv na výsledek a jehož vliv se odráží v reziduích, v důsledku čehož se mohou projevit jako autokorelované. Velmi často je tímto faktorem faktor času.
Od skutečné autokorelace reziduí je třeba odlišit situace, kdy příčina autokorelace spočívá v nesprávné specifikaci funkční formy modelu. V tomto případě byste měli spíše změnit tvar modelu než použít speciální metody výpočet parametrů regresní rovnice za přítomnosti autokorelace v reziduích.
K detekci autokorelace se používá buď grafická metoda. Nebo statistické testy.
Grafická metoda spočívá ve vynesení chyb proti času (v případě časových řad) nebo vysvětlujících proměnných a vizuálním určení přítomnosti či nepřítomnosti autokorelace.
Nejznámějším kritériem pro detekci autokorelace prvního řádu je kritérium Durbin-Watson. Statistika DW Durbin-Watson je uveden ve všech speciálních počítačových programech jako jeden z nejdůležitější vlastnosti kvalita regresního modelu.
Nejprve se pomocí sestrojené empirické regresní rovnice určí hodnoty odchylky 
. A pak se Durbin-Watsonova statistika vypočítá pomocí vzorce:
.
Statistika DW se pohybuje od 0 do 4. DW=0 odpovídá pozitivní autokorelace, s negativní autokorelaci DW=4 . Když žádná autokorelace, autokorelační koeficient je nula a statistika DW = 2 .
Algoritmus pro identifikaci autokorelace reziduí na základě Durbin-Watsonova testu je následující.
Je předložena hypotéza o absenci autokorelace reziduí. Alternativní hypotézy spočívají v přítomnosti pozitivní nebo negativní autokorelace v reziduích. Dále pomocí speciálních tabulek určíme kritické hodnoty Durbin-Watsonův test (- spodní hranice pro rozpoznání pozitivní autokorelace) a ( -horní limit rozpoznání absence pozitivní autokorelace) pro daný počet pozorování, počet nezávislých proměnných v modelu a hladina významnosti. Na základě těchto hodnot je číselný interval rozdělen do pěti segmentů. Přijetí nebo zamítnutí každé hypotézy s pravděpodobností se provádí následovně:
– pozitivní autokorelace, akceptována;
– zóna nejistoty;
– neexistuje autokorelace;
– zóna nejistoty;
– negativní autokorelace, přijata.
 |
Pokud skutečná hodnota Durbin-Watsonova testu spadá do zóny nejistoty, pak se v praxi předpokládá existence autokorelace reziduí a hypotéza je zamítnuta.
Dá se ukázat, že statistika DWúzce souvisí s autokorelačním koeficientem prvního řádu:
Vztah je vyjádřen vzorcem: 
.
Hodnoty r se pohybují od –1 (v případě negativní autokorelace) do +1 (v případě pozitivní autokorelace). Blízkost r na nulu znamená absenci autokorelace.
Při absenci tabulek kritických hodnot DW můžete použít následující „hrubé“ pravidlo: s dostatečným počtem pozorování (12-15), s 1-3 vysvětlujícími proměnnými, pokud 
, pak lze odchylky od regresní přímky považovat za vzájemně nezávislé.
Nebo na data použijte transformaci snižující autokorelaci (například autokorelační transformaci nebo metodu klouzavého průměru).
Použití Durbin-Watsonova testu má několik omezení.
1. Kritérium DW platí pouze pro modely, které obsahují fiktivní výraz.
2. Předpokládá se, že náhodné odchylky jsou určeny pomocí iteračního schématu
,
3. Statistická data musí mít stejnou frekvenci (v pozorováních by neměly být žádné mezery).
4. Durbinovo-Watsonovo kritérium nelze použít pro autoregresní modely, které mezi faktory obsahují i závisle proměnnou s časovým zpožděním (lag) jedné periody.
,
kde je odhad autokorelačního koeficientu prvního řádu, DC)– výběrový rozptyl koeficientu pro zpožděnou proměnnou yt-1, n– počet pozorování.
Obvykle se hodnota vypočítá pomocí vzorce 
, A DC) rovná druhé mocnině standardní chyby S C odhady koeficientů S.
Pokud existuje autokorelace reziduí, výsledný regresní vzorec je obvykle považován za neuspokojivý. Autokorelace chyb prvního řádu indikuje nesprávnou specifikaci modelu. Proto byste se měli pokusit upravit samotný model. Po zhlédnutí chybového grafu můžete hledat jiný (nelineární) vzorec závislosti, zahrnout faktory, které dříve nebyly brány v úvahu, objasnit období výpočtů nebo jej rozdělit na části.
Pokud všechny tyto metody nepomáhají a autokorelaci způsobují některé vnitřní vlastnosti řady ( e i), můžete použít transformaci tzv autoregresní schéma prvního řádu AR(1). (pomocí autoregrese tento převod se nazývá proto, že hodnota chyby je určena hodnotou stejné veličiny, ale se zpožděním.Protože maximální zpoždění je 1, pak se jedná o autoregresi první objednávka).
Vzorec AR(1) má tvar: . 
.
Kde je autokorelační koeficient regresních chyb prvního řádu.
Uvažujme AR(1) použití párové regrese jako příklad:
.
Potom sousední pozorování odpovídají vzorci:
(1),
(2).
Vynásobte (2) a odečtěte od (1):
Udělejme změny proměnných
bereme v úvahu :
(6)
.
Protože náhodné rozptyly splňují předpoklady OLS, odhady A * A b bude mít vlastnosti nejlepších lineárních nestranných odhadů. Na základě transformovaných hodnot všech proměnných jsou odhady parametrů vypočteny pomocí běžných nejmenších čtverců. A* A b, které lze následně použít v regresi.
Že. pokud jsou rezidua z původní regresní rovnice autokorelovaná, pak se k odhadu parametrů rovnice použijí následující transformace:
1) Převeďte původní proměnné na A X vytvořit (3), (4).
2) Pomocí obvyklé metody nejmenších čtverců pro rovnici (6) určete odhady A * A b.
4) Napište původní rovnice(1) s parametry A A b(Kde A- z bodu 3, a b je převzat přímo z rovnice (6)).
Převést AR(1) je důležité odhadnout autokorelační koeficient ρ . To se provádí několika způsoby. Nejjednodušší je hodnotit ρ na základě statistik DW:
,
Kde r bráno jako odhad ρ . Tato metoda funguje dobře s velkým počtem pozorování.
V případě, kdy existuje důvod se domnívat, že pozitivní autokorelace odchylek je velmi velká ( 
), může být použito metoda prvního rozdílu (metoda detrendu), rovnice má tvar
.
Z rovnice metodou nejmenších čtverců se odhadne koeficient b. Parametr A zde není přímo určeno, ale z nejmenších čtverců je známo, že .
V případě úplné negativní autokorelace odchylek ()
Dostaneme regresní rovnici:
nebo 
.
Vypočítají se průměry za 2 období a pak se z nich vypočítají A A b. Tento model se nazývá klouzavý průměr regresního modelu.
Durbin-Watsonův test (nebo DW test) je statistický test používaný k nalezení autokorelace prvního řádu prvků studované sekvence. Nejčastěji se používá při analýze časových řad a reziduí regresních modelů. Kritérium je pojmenováno po Jamesi Durbinovi a Geoffrey Watsonovi. Durbin-Watsonovo kritérium se vypočítá pomocí následujícího vzorce
kde ρ1 je autokorelační koeficient prvního řádu.
Při absenci autokorelace d = 2, s pozitivní autokorelací má d tendenci k nule a s negativní autokorelací - ke 4:
V praxi je aplikace Durbin-Watsonova testu založena na porovnání hodnoty d s teoretickými hodnotami dL a dU pro daný počet pozorování n, počtem nezávislých proměnných modelu k a hladinou významnosti. α.
Pokud d< dL, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);
Jestliže d > dU, pak hypotéza není zamítnuta;
Pokud dL< d < dU, то нет достаточных оснований для принятия решений.
Když vypočtená hodnota d přesáhne 2, pak se s dL a dU neporovnává samotný koeficient d, ale výraz (4 − d).
Pomocí tohoto kritéria je také detekována přítomnost kointegrace mezi dvěma časovými řadami. V tomto případě je testována hypotéza, že skutečná hodnota kritéria je nulová. Pomocí metody Monte Carlo byly získány kritické hodnoty pro dané hladiny významnosti. Pokud skutečná hodnota Durbin-Watsonova kritéria překročí kritickou hodnotu, pak je nulová hypotéza o absenci kointegrace zamítnuta.
Nedostatky:
Neschopnost detekovat autokorelaci druhého a vyššího řádu.
Poskytuje spolehlivé výsledky pouze u velkých vzorků.
13. Srovnatelné ukazatele blízkosti spojení
Mezi srovnatelné ukazatele blízkosti komunikace patří:
1) koeficienty částečné elasticity;
2) standardizované parciální regresní koeficienty;
3) dílčí koeficient odhodlání.
Pokud faktorové proměnné mají nesrovnatelné jednotky měření, pak se vztah mezi nimi měří pomocí srovnatelných ukazatelů blízkosti vztahu. Pomocí srovnatelných indikátorů blízkosti souvislosti je charakterizována míra závislosti mezi faktorovými a výsledkovými proměnnými v modelu vícenásobná regrese.
Koeficient částečné elasticity se vypočítá podle vzorce:
– průměrnou hodnotu faktorové proměnné xi pro výběrový soubor,
– průměrná hodnota výsledné proměnné y pro výběrový soubor;
– první derivace výsledné proměnné y vzhledem k proměnné faktoru x.
Koeficient částečné elasticity se měří v procentech a charakterizuje velikost změny výsledné proměnné y při změně o 1 % od průměrné úrovně faktorové proměnné xi za předpokladu, že všechny ostatní faktorové proměnné zahrnuté v regresním modelu jsou konstantní.
Pro lineární regresní model se koeficient částečné elasticity vypočítá pomocí vzorce:
kde βi je koeficient vícenásobného regresního modelu.
Pro výpočet standardizovaných parciálních regresních koeficientů je nutné sestavit vícenásobný regresní model na standardní (normalizované) stupnici. To znamená, že všechny proměnné zahrnuté v regresním modelu jsou standardizovány pomocí speciálních vzorců. Prostřednictvím procesu standardizace je referenční bod pro každou normalizovanou proměnnou nastaven na její průměrnou hodnotu v populaci vzorku. V tomto případě je její směrodatná odchylka β brána jako jednotka měření standardizované proměnné.
Faktorová proměnná x se převede na standardizované měřítko pomocí vzorce:
kde xij je hodnota proměnné xj v i-tém pozorování;
G(xj) – směrodatná odchylka faktorové proměnné xi;
Výsledná proměnná y se převede na standardizovanou stupnici pomocí vzorce:
kde G(y) je směrodatná odchylka výsledné proměnné y.
Standardizované parciální regresní koeficienty charakterizují, o jaký podíl své směrodatné odchylky G(y) se změní výsledná proměnná y, když se faktorová proměnná x změní o hodnotu své směrodatné odchylky G(x), za předpokladu, že všechny ostatní faktorové proměnné zahrnuté do regrese model jsou konstantní.
Standardizovaný parciální regresní koeficient charakterizuje míru přímé nebo přímé závislosti mezi výslednými a faktorovými proměnnými. Ale vzhledem k tomu, že existuje závislost mezi faktorovými proměnnými zahrnutými do vícenásobného regresního modelu, faktorová proměnná má nejen přímý, ale i nepřímý vliv na výslednou proměnnou.
Dílčí koeficient determinace se používá k charakterizaci míry nepřímého vlivu faktorové proměnné x na výslednou proměnnou y:
kde βi je standardizovaný parciální regresní koeficient;
r(xixj) – parciální korelační koeficient mezi faktorovými proměnnými xi a xj.
Parciální koeficient determinace charakterizuje procento variace ve výsledné proměnné způsobené variací i-tého faktoru proměnné zahrnuté do vícenásobného regresního modelu za předpokladu, že všechny ostatní faktorové proměnné zahrnuté v regresním modelu jsou konstantní.
Standardizované parciální regresní koeficienty a parciální koeficienty elasticity mohou poskytovat různé výsledky. Tento nesoulad lze vysvětlit například příliš velkou směrodatnou odchylkou jedné z faktorových proměnných nebo nejednoznačným vlivem jedné z faktorových proměnných na výslednou proměnnou.
1 vypočítat d-statistiku (Durbinův–Watsonův test)
2 vypočítat první autokorelační koeficient r(1)
Připravíme se na výpočty -
∑e 2 (t) = 14,6 - použijte Excel fx/matematický/SUMMKV),
∑(e(t)-e(t-1)) 2 = 32,32 – použijte Excel fx/mathematical/SUMMARVARIE) – 1 pole kromě 1., 2 pole kromě posledního.
d=∑(e(t)-e(t-1)) 2 / ∑e 2 (t) = 32,32/14,6=2,213699
Pomocí tabulky Hodnoty Durbin-Watsonova d-kritéria určíme, že d 1 = 1,08 a d 2 = 1,36
Tito. naše d=2,213699? (1,08;1,36), proto je potřeba další ověření, najdeme d’=4-d=4-2,213699=1,786301, tedy d’ ? (1,36; 2)
nedokončený Kontrola dokončena d’=4-d
proto je splněna vlastnost nezávislosti hladin řady zbytků, zbytky jsou nezávislé.
Pro kontrolu normální distribuce zůstatky počítáme R/S - statistika
R/S=emax-emin/Se
e max - maximální úroveň počtu reziduí,
e min - minimální úroveň počtu reziduí,
e max =2,2333333 použijte Excel fx/statistical/MAX),
e min = -2,466666667 použijte Excel fx/statistical/MIN),
Se=1,444200224 1. řádek výsledků regrese „standardní chyba“
Proto R/S=2,2333333 - (-2,466666667)/ 1,444200224=3,254396
Kritický interval (2,7;3,7), tj. R/S = 3,254396? (2.7;3.7), vlastnost normálního rozdělení reziduí je splněna.
Shrneme-li výsledky testu, můžeme konstatovat, že se model chová adekvátně.
Pro posouzení přesnosti modelu vypočítáme průměr relativní chyba aproximace E rel = |e(t)/Y(t)|*100 %, pomocí získaných hodnot určete průměrnou hodnotu (fx/matematický/PRŮMĚRNÝ)
se týká ponořit |
| 28,88888889 |
| 6,19047619 |
| 7,333333333 |
| 8,787878788 |
| 2,222222222 |
| 2,156862745 |
| 4,444444444 |
| 8,933333333 |
| 10,72463768 |
E rel av = 8,853564 – dobrá úroveň přesnost modelu
Pro výpočet bodové prognózy dosadíme do vytvořeného modelu odpovídající hodnoty t=10 a t=11:
y 10 = 1,166666667 + 2,7 * 10 = 28,16666667
y 11 = 1,166666667 + 2,7 * 11 = 30,86666667,
Očekávaná poptávka po úvěrových zdrojích finanční společnost za týden 10 by mělo být asi 28,16666667 milionů rublů a za týden 11 asi 30,86666667 milionů rublů.
Na hladině významnosti L=30 % pravděpodobnost spolehlivosti se rovná 70 % a Studentův test pro k=n-2=9-2=7 se rovná
t cr (30 %;7)=1,119159 (fx/statistické/STUDARIST),
S e =1,444200224 1. tabulka výsledků regrese, řádek „standardní chyba“,
t’av = 5(fx/matematický/PRŮMĚRNÝ) – průměrná úroveň pro uvažovaný časový okamžik,
∑(t-t’ avg)=60 (fx/statistické/QUADROTCL),
Šířka interval spolehlivosti Pojďme to vypočítat pomocí vzorce:
U 1 = t*Se*√1+1/n+(t*-t') 2 /∑(t-t' prům.)= 1,119159*1,444200224*√1+1/9+(10-5) 2 /60=1,997788
U2 = t*Se*√1+1/n+(t*-t') 2 /∑(t-t' prům.)=1,119159*1,444200224*√1+1/9+(11-5) 2 /60= 2,11426
u nižší =28,16666667-1,997788=26,16888
u nahoře =28,16666667+1,997788=30,16445
u nižší =30,86666667-2,11426=28,75241
u nižší =30,86666667+2,11426= 32,98093
Poptávka po úvěrových zdrojích finanční společnosti za 10. týden se pohybuje od 26,16888 milionů rublů. až 30,16445 milionů rublů a za 11. týden od 28,75241 milionů rublů. až 32,98093 milionů rublů.
Pojďme sestavit rozvrh:
Ai je spotřeba surovin na jednotku produkce; B - celková zásoba surovin; W - oblast přípustných omezení; Téma 2. Metoda matematické modelování v ekonomii. 2.1. Pojem „model“ a „simulace“. S pojmem „modelování ekonomických systémů“ (stejně jako matematických atd.) jsou spojeny dvě třídy problémů: 1) analytické problémy, kdy je systém podroben hloubkovému studiu jeho...
Délka času. Zpravidla se jedná o problém, jehož řešení s sebou nese formulaci souvisejících nebo podobných problémů. Kapitola 2. Ekonomické a matematické modelování rozhodovacích procesů managementu. Klasifikace rozhodnutí podle času působení vyjadřuje princip jejich cykličnosti, určité časové posloupnosti, jejíž časový rámec je nutno v procesu nevyhnutelně zohlednit...
Produkční funkce, modely chování firmy, modely obecné ekonomické rovnováhy, především model L. Walrase a jeho modifikace. Kapitola 2. Historie vývoje ekonomického a matematického modelování v USA K charakterizaci matematického směřování v ekonomii za posledních 80–90 let uvedu jen několik výsledků, které sehrály významnou roli v jeho vývoji. Stejně jako v teoretické...
Otázky by měly být přijímány během marketingu a návrhu a průzkumu během fáze návrhu sportovních zařízení. A již v této fázi se do procesu aktivně zapojují ekonomické a matematické metody a využívá se stávající aparát matematického modelování a prognózování. Tyto metody a výpočty jsou naprosto nezbytné pro stanovení: doby návratnosti pro jednotlivé podniky...
Durbin-Watsonův test slouží k detekci autokorelace, která se řídí autoregresním procesem 1. řádu. Předpokládá se, že hodnota zbytků et v každém t-té pozorování nezávisle na jeho hodnotách ve všech ostatních pozorováních. Pokud je autokorelační koeficient ρ kladný, pak je autokorelace kladná, je-li ρ záporná, pak je autokorelace záporná. Pokud ρ = 0, pak nedochází k autokorelaci (tj. je splněn čtvrtý předpoklad normálního lineárního modelu).Durbin-Watsonovo kritérium spočívá v testování hypotézy:
- H 0 (hlavní hypotéza): ρ = 0
- H 1 (alternativní hypotéza): ρ > 0 nebo ρ
K testování hlavní hypotézy se používá statistika Durbin-Watsonova testu - DW:kde e i = y - y(x)
To se provádí pomocí tří kalkulaček:
- Trendová rovnice (lineární a nelineární regrese)
Zvažme třetí možnost. Lineární rovnice trend má tvar y = v + b
1. Najděte parametry rovnice pomocí metody nejmenší čtverce přes služba online Trendová rovnice.
Systém rovnic
Pro naše data má soustava rovnic tvar
Z první rovnice vyjádříme 0 a dosadíme ji do druhé rovnice
Dostaneme a 0 = -12,78, a 1 = 26763,32
Trendová rovnice
y = -12,78 t + 26763,32
Vyhodnoťme kvalitu trendové rovnice pomocí absolutní aproximační chyby.
Protože chyba je větší než 15 %, není vhodné používat tuto rovnici jako trend
Průměrné hodnoty
Disperze
Standardní odchylkaIndex determinace
, tj. v 97,01 % případů ovlivňuje změny dat. Jinými slovy, přesnost výběru trendové rovnice je vysoká.t y t 2 y 2 t∙y y(t) (y-y cp) 2 (y-y(t)) 2 (t-t p) 2 (y-y(t)): y 1990 1319 3960100 1739761 2624810 1340.26 18117.16 451.99 148.84 28041.86 1996 1288 3984016 1658944 2570848 1263.61 10732.96 594.99 38.44 31417.53 2001 1213 4004001 1471369 2427213 1199.73 817.96 176.08 1.44 16095.92 2002 1193 4008004 1423249 2388386 1186.96 73.96 36.54 0.04 7211.59 2003 1174 4012009 1378276 2351522 1174.18 108.16 0.03 0.64 210.94 2004 1159 4016016 1343281 2322636 1161.4 645.16 5.78 3.24 2786.55 2005 1145 4020025 1311025 2295725 1148.63 1552.36 13.17 7.84 4155.05 2006 1130 4024036 1276900 2266780 1135.85 2959.36 34.26 14.44 6614.41 2007 1117 4028049 1247689 2241819 1123.08 4542.76 36.94 23.04 6789.19 2008 1106 4032064 1223236 2220848 1110.3 6146.56 18.51 33.64 4758.73 20022 11844 40088320 14073730 23710587 11844 45696.4 1368.3 271.6 108081.77 Durbin-Watsonův test na přítomnost autokorelace reziduí pro časovou řadu.
y y(x) e i = y-y(x) e 2 (e i - e i-1) 2 1319 1340.26 -21.26 451.99 0 1288 1263.61 24.39 594.99 2084.14 1213 1199.73 13.27 176.08 123.72 1193 1186.96 6.04 36.54 52.19 1174 1174.18 -0.18 0.03 38.75 1159 1161.4 -2.4 5.78 4.95 1145 1148.63 -3.63 13.17 1.5 1130 1135.85 -5.85 34.26 4.95 1117 1123.08 -6.08 36.94 0.05 1106 1110.3 -4.3 18.51 3.15 1368.3 2313.41
Kritické hodnoty d 1 a d 2 jsou stanoveny na základě speciálních tabulek pro požadovanou hladinu významnosti a, počet pozorování n a počet vysvětlujících proměnných m.
Bez odkazu na tabulky můžete použít přibližné pravidlo a předpokládat, že neexistuje autokorelace reziduí, pokud 1,5< DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .Příklad. Na základě dat za 24 měsíců byla sestrojena regresní rovnice pro závislost zisku zemědělské organizace na produktivitě práce (x1): y = 300 + 5x.
Byly získány následující průběžné výsledky:
∑ε2 = 18500
∑(ε t - ε t-1) 2 = 41500
Vypočítejte Durbin-Watsonovo kritérium (s n=24 ak=1 (počet faktorů), dolní hodnota d = 1,27, horní hodnota d = 1,45. Vyvodit závěry.Řešení.
DW = 41500/18500 = 2,24
d2 = 4-1,45 = 2,55
Protože DW > 2,55, existuje důvod se domnívat, že neexistuje žádná autokorelace. Toto je jedno z potvrzení Vysoká kvalita výsledná regresní rovnice je y = 300 + 5x.
Durbin-Watsonův test (nebo statistika DW).
Jedná se o nejznámější test pro detekci autokorelace prvního řádu. Durbin-Watsonovy statistiky jsou uvedeny ve všech speciálních počítačových programech jako jedna z nejdůležitějších charakteristik kvality regresního modelu.
Nejprve podle sestrojené empirické regresní rovnice
hodnoty odchylky jsou stanoveny Vypočteno
statistika
0 pozitivní autokorelace;
d t zóna nejistoty;
d u - d u - neexistuje autokorelace;
- 4 - d u
- 4 - d/ negativní autokorelace.
Lze ukázat, že statistika (2,64) úzce souvisí s autokorelačním koeficientem prvního řádu: 
Vztah je vyjádřen vzorcem:
Z toho vyplývá význam statistické analýzy autokorelace. Od hodnot G liší se od -1 až + 1, DW se pohybuje od 0 do 4. Pokud neexistuje autokorelace, je autokorelační koeficient nulový a statistika DW rovná se 2. Statistika D.W. rovno 0, odpovídá pozitivní autokorelaci, když se výraz v závorkách rovná nule (g= +1). S negativní autokorelací (g= - 1), DW= 4 a výraz v závorce je roven dvěma.
Omezení Durbin-Watsonova kritéria jsou následující.
- 1. Statistika DW platí pouze pro modely, které obsahují fiktivní výraz.
- 2. Předpokládá se, že náhodné odchylky jsou určeny pomocí iteračního schématu
- 3. Statistická data musí mít stejnou frekvenci (v pozorováních by neměly být žádné mezery).
- 4. Durbin-Watsonovo kritérium se nevztahuje na autoregresivní modely formuláře
Pro modely (2.66) jsou navrženy Durbinovy r-statistiky:
kde p je odhad prvního řádu p (2,65);
DC)- výběrový rozptyl koeficientu pro zpožděnou proměnnou y, _ b P- počet pozorování.
S velkým P a platnost nulové hypotézy H 0: p = 0 A- statistiky mají standardní rozdělení h ~ N( 0, 1). Na dané hladině významnosti je tedy kritický bod určen z podmínky: 
a L-statistiky jsou porovnány s iar.. Li A > IA/2 , pak by měla být zamítnuta nulová hypotéza o žádné autokorelaci. Jinak se neodmítá.
Obvykle se hodnota p vypočítá jako první aproximace pomocí vzorce p&1-DIV/2, A DC) rovná druhé mocnině standardní chyby t s odhady koeficientů S. Je třeba poznamenat, že výpočet /r-statistiky je nemožný, když nD(c) > 1.
Autokorelace je nejčastěji způsobena chybnou specifikací modelu. Proto byste se měli pokusit upravit samotný model, zejména zavést nějaký nezohledněný faktor nebo změnit formu modelu, například z lineárního na semilogaritmický nebo hyperbolický. Pokud všechny tyto metody nepomáhají a autokorelaci způsobují některé vnitřní vlastnosti řady (e,), lze použít transformaci nazvanou autoregresní schéma prvního řádu AR( 1).
Podívejme se na /Sh1) pomocí párové regrese jako příklad:
Potom podle (2.68) sousední pozorování odpovídají následujícím vzorcům:
Jsou-li náhodné odchylky určeny výrazem (2.65), kde je znám koeficient p, pak transformace vzorců (2.69) a (2.70) dává:
Udělejme změny proměnných v (2.71): dostaneme, vezmeme-li v úvahu výraz (2.65):
Protože náhodné odchylky y splňují předpoklady OLS, odhady A A b rovnice (2.73) budou mít vlastnosti nejlepších lineárních nestranných odhadů. Na základě transformovaných hodnot všech proměnných jsou odhady parametrů vypočteny pomocí běžných nejmenších čtverců. A A b, který pak lze použít v regresi (2.68).
Způsob výpočtu transformovaných proměnných (2.72) však vede ke ztrátě prvního pozorování, pokud neexistují žádné informace o předchozích pozorováních. Tím se sníží počet stupňů volnosti o jeden, což u velkých vzorků není příliš významné, ale u malých vzorků to vede ke ztrátě účinnosti. Poté je první pozorování obnoveno pomocí Price-Winstenovy korekce:
Pro transformaci /Sh1), stejně jako při zavádění korekcí (2,74), je důležitý odhad autoregresního koeficientu p. To se provádí několika způsoby. Nejjednodušší je odhadnout p na základě statistiky
Kde G se bere jako odhad p.
Vzorec (2,75) funguje dobře pro velké množství pozorování.
Existují další metody pro odhad p: metoda Cochran-Orcutt a metoda Hildreth-Lu. Podívejme se na metodu Cochran-Orcutt krok za krokem:
- 1. Nejprve se na netransformovaná zdrojová data aplikuje obvyklá OLS, pro která se vypočítají rezidua.
- 2. Poté se jeho odhad OLS v regresi (2,65) vezme jako přibližná hodnota autoregresního koeficientu p.
- 3. Původní proměnné se transformují podle vzorců (2.72) a na transformovaná data se použije metoda nejmenších čtverců, aby se určily nové odhady parametrů. A A b.
- 4. Postup se opakuje od kroku 2.
Proces obvykle končí, když se další aproximace p jen málo liší od předchozí. Někdy je počet iterací jednoduše pevně daný. Tento postup je implementován ve většině ekonometrických počítačových programů.
kde Du, = y, - y 1, Dx, = x, - x,_ 1 - tzv. první rozdíly (zpětně).
Z rovnice (2.76) je koeficient odhadnut pomocí nejmenších čtverců. b. Parametr A zde není přímo určeno, ale z nejmenších čtverců je známo, že a = y-bx.
V případě p = -1, sečtením (2,69) a (2,70) při zohlednění (2,65) získáme regresní rovnici.
